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御制题宋版周髀算经皇祖精明勾股弦，惜吾未习。值髫年【余逮侍皇祖时，年甫十二嵗。设至十六七嵗时，想亦蒙指示算法矣。践阼后，即以是为要，命皇子辈随庄亲王学之，故有通其术者。而朕以因循未学，此毎以为愧】授时以是为要矣。考古亦常有舛焉。设匪敬诚存，曰旦可能容易事。占天而今老，固难为学。自画追思，毎愧旃。
钦定四库全书 子部六周髀算经》天文算法类一【推歩之属】提要【臣】等谨案《周髀算经》二卷，音义一卷。案《隋书·经籍志》天文类，首列《周髀》一卷，赵婴注；又一卷，甄鸾重述。《唐书·艺文志》李淳风释《周髀》二卷，与赵婴、甄鸾之注列之天文类，而复列李淳风注《周髀算经》二卷于厯算类。葢一书重出。也是书内称「周髀长八尺，夏至之日，晷一尺六寸」。葢髀者股也，于周地立八尺之表以为股，其影为勾，故曰周髀。其首章周公与商髙相问答，实勾股之鼻祖故。御定《数理精蕴》载在卷首而详释之，称为成周六艺之遗文。荣方问于陈子以下，徐光启谓为千古大愚。今详考其文，惟论南北影差，以地为平逺，复以平逺测天，诚为臆説，然与本文已絶不相类，疑后人传説而误入正文者。如《夏小正》之经传参合，朱子未订以前，使人不能读也。其本文之广大精防者，皆足以存古法之意，开西法之源。如书内以璇玑一昼夜环绕北极一周而过一度，冬至夜半，璇玑起北极下子位；春分夜半，起北极左卯位；夏至夜半，起北极上午位；秋分夜半，起北极右酉位。是为璇玑四防所极，终古不变。以七衡六间测日躔法，敛冬至日在外衡，夏至在内衡，春秋分在中衡，当其衡为中气，当其间为节气，亦终古不变。古葢天之学，此其遗法。葢浑天如毬，冩星象于外，人自天外观天；葢天如笠，冩星象于内，人自天内观天。笠形半圆，有如张葢，故称葢天。合地上地下两半圆体，即天地之浑圆矣。其法失传已久，故自汉以迄元明，皆主浑天。明万厯中，欧逻巴人入中国，始别立新法，号为精密。然其言地圆，即《周髀》所谓地法覆槃，滂沱四隤而下也。其言南北里差，即《周髀》所谓北极左右，夏有不释之氷，物有朝生暮获；中衡左右，冬有不死之草，五糓一嵗再熟，是为寒暑推移，随南北不同之故。春分至秋分，极下常有日光；秋分至春分，极下常无日光，是为昼夜永短，随南北不同之故也。其言东西里差，即《周髀》所谓东方日中，西方夜半；西方日中，东方夜半，昼夜易处，如四时相反，是为节气合朔如时早晚，随东西不同之故也。又李之藻以西法制浑葢通宪，展昼短规使大于赤道规，一同《周髀》之展半衡使大于中衡。其新法算书述第谷以前西法，三百六十五日四分日之一，每四嵗之小余成一日，亦即《周髀》所谓三百六十五日者。三三百六十六日者，一也。西法多出于《周髀》，此皆显证，特后来测验增修，愈推愈宻耳。《明史·厯志》谓尧时宅西，居昧谷，畴人子弟散入遐方，因而传为西学者，固有由矣。此书刻本脱误多，不可通，今据《永乐大典》内所载，详加校订，补脱文一百四十七字，改讹舛者一百十三字，删其衍复者十八字。旧本相承题云“汉赵卿注”，其自序称“爽以暗蔽”，注内屡称“爽”，或疑焉。爽未之前闻，葢即君卿之名，然则《隋唐志》之赵婴，殆即赵爽之讹欤？注引《灵宪》《乾象》，则其人在张衡、刘洪后也。旧有李借音义，别自为卷，今仍其旧。书内凡为图有五，而失传者三，讹舛者一，谨据正文及注为之补订。古者九数，惟《九章》《周髀》二书流传最古，故讹误亦特甚。然溯委穷源，得其端绪，固述数家之鸿寳也。乾隆四十九年十月恭校上。总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总 校 官 【臣】陆 费 墀钦定四库全书周髀算经卷上之一汉 赵君卿 注周 甄 鸾 重述唐 李淳风 注释昔者，周公问于啇高曰：「窃闻乎大夫，善数也。」周公姓姬，名旦，武王之弟。啇高，周时贤大夫，善算者也。周公位居冡宰，徳则至圣【案：圣刻本作高，今从永乐大典本】尚卑己以自牧【案：卑上刻本衍“自”字，今据永乐大典本删】下学而上达，况其凡乎？
请问古者包牺立周天厯度包牺，三皇之一。始画八卦，以啇高善数，能通乎防妙，达乎无方。无大不综，无幽不显。闻包牺立周天厯度，建章蔀之法【案：建刻本作运，今据《永乐大典》本改】易》曰：“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地。”此之谓也。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度【案：得刻本作将，今从《永乐大典》本改】▯乎悬广无阶可升，荡乎遐逺无度可量。请问数安从出【案：安从刻本讹作从案，今据《永乐大典》本改】
心昧其机请问其目啇高曰数之法出于圆方圆径一，而周三方；径一，而帀四。伸圆之周而为句，展方之帀而为殷，共结一角邪？适▯五，此圆方邪径相通之率【案此刻本讹作政，今据永乐大典本改】故曰：数之法出于圆方。圆方者，天地之形，隂阳之数。然则周公之所问天地也，是以啇高陈圆方之形，以见其象，因奇耦之数，以制其法。所谓言约指逺，防妙幽通矣。
圆出于方方出于矩圆规之数，理之以方，方周帀也；方正之物，出之以矩，矩广长也。
矩出于九九八十一推圆方之率，通广长之数，当湏乘除以计之。九九者，乘除之原也。
故折矩故者，申事之辞也。将为句股之率，故曰折矩也。
以为句广三应圆之周【案刻本讹作广，谓之周，今据永乐大典本改】横者谓之广，句亦广，广短也。
股脩四应方之帀，从者谓之脩股。亦脩脩长。
径隅五自然相应之率，径直隅角也。亦谓之「▯既方外外半之一矩【案：各本作「既方之外半其一矩」讹舛不可通。注内引径作「既方其外惟半之」讹作「半其耳」。据上云「折矩以为句广三股修四径隅五」，谓以十二折之句三股四，其▯必五。此盖承上所折之形，令其外各自成古则句实九，股实十六，▯实二十五，合五十年也为一矩于内减股实，开其余得句；减句实，▯其余得股。若开北一矩则得▯。下云「环而共盘得成三四五」是也。▯实二十五为一矩，并句实股实亦二十五为一矩，故下又云「两矩共长二十有五」是谓积矩推防。上下文可证其字之字互讹，今改正】句股之法，先知二数，然后推一；见句股，然后求▯。先各自乘成其实，实成势化，尔乃变通。故曰「既方其外」，或并句股之实以求▯。▯实之中【案：各本脱一「▯」字，今补】乃求句股之分，并实不正等，更相取与，互有所得。故曰「半之一矩【案：「之」各本亦讹作「其」，今改正】其术，句股各自乘，三三如九，四四一十六，并为▯自乘之实二十五。减句于▯为股之实一十六，减股于▯为句之实九。
环而共盘得成三四五盘读如盘桓之盘，言取其并减之积【案其刻本讹作而，今据永乐大典本改】环屈而共盘之【案此下刻本衍“谓”字，今据永乐大典本删】开方除之，得其一靣【案刻本脱“得”字，令据永乐大典本补】故曰得成三四五也。
两矩共长二十有五是谓积矩两矩者，句股各自乘之实，共长者，并实之数，将以施于万事，而此陈其率也。故禹之所以治天下者，此数之所生也。禹治洪水，决疏江河【案：疏刻本讹作流，今据《永乐大典》本改】望山川之形，定高下之势，除淊天之灾，释昬垫之厄，使东注于海而无浸逆【案：逆刻本作溺，今从《永乐大典》本】乃句股之所由生也。
<子部,天文算法类,推步之属,周髀算经,卷上之一><子部,天文算法类,推步之属,周髀算经,卷上之一>句股圆方图，句股各自乘，并之为▯实，开方除之，即▯。按▯图，又可以句股相乘为朱实，二倍之为朱实四，以句股之差自相乘为中黄实，加差实亦成▯实，以差实减▯实，半其余，以差为从法，开方除之，复得句矣。加差于句，即股。凡并句股之实，即成▯实，或矩于外，或方于内【案：各本讹作“或矩于内，或方于外”，与下云“句实之矩，股实方其里；股实之矩，句实方其里”适相反。据刘徽注《九章算术》云：“里者则成方幂，其居表者则成矩幂”，可证“外内”二字互讹，今改正】形诡而量均，体殊而数齐。句实之矩，以股▯差为广，股▯并为袤，而股实方其里，减矩句之实于▯实，开其余即股。倍股在两邉为从法，开矩句之角，即股▯差，加股为▯，以差除句实，得股▯并，以并除句实，亦得股▯差。令并自乘，与句实为实，倍并为法，所得亦▯。句实减并自乘如法为股。股实之矩，以为▯差为广【案：▯各本讹作“股”，今改正】句▯并为袤，而句实方其里，减矩股之实于▯实，开其余即句。倍句在两邉为从法，开矩股之角，即句▯差，加句为▯，以差除股实，得句▯并，以并除股实，亦得句▯差。令并自乘，与股实为实，倍并为法，所得亦▯。股实减并自乘如法为句。两差相乘，倍而开之，所得以股▯差増之为句，以句▯差增之为股，两差增之为▯。倍▯实列句股差实，减▯实者，以图攷之。倍▯实满外大方而多黄实，黄实之多即句股差实，以差实减之，开其余得外大方，大方之面即句股并也。令并自乘，倍▯实乃减之，开其余得中黄方，黄方之面即句股差，以差减并而半之为句，加差于并而半之为股。其倍▯为广袤合，令句股见者自乘为其实，四实以减之，开其余所得为差，以差减合，半其余为广，减广于▯即所求也。观其迭相规矩，共为反覆，互与通分，各有所。得然，则统叙羣伦，宏纪众理，贯幽入微，钩深致远。故曰：「其裁制万物，惟所为之也。」臣鸾释曰：按君卿注云「句股各自乘，并之为▯实，开方除之即▯」。臣鸾曰：「假令句三，自乘得九；股四，自乘得一十六，并之得二十五，开方除之得五为▯也。」注云：「按▯图，又可以句股相乘为朱实，二倍之为朱实四，以句股之差自相乘为中黄实。」臣鸾曰：「以句▯差二倍之为四，自乘得一十六为左图中黄实也。」臣淳风等谨按：注云「以句股之差自乘为中黄实」，鸾云「倍句▯差自乘者，苟求异端，虽合其数，于率不通」。注云「加差实亦成▯实」。
臣鸾曰：「加差实一，并外矩青八得九，并中黄一十六得二十五，亦成▯实也。」臣淳风等谨按：注云「加差实一亦成▯实」，鸾云「加差实并外矩及中黄者，虽合其数，于率不通」。注云：以差实减▯实，半其余，以差为从，法开方除之，复得句矣。臣鸾曰：以差实九减▯实二十五，余一十六，半之得八，以差一加之，得九，开之得句三也。臣淳风等谨按：注宜云：以差实一减▯实二十五，余二十四，半之为一十二，以差一为从，开方除之，得句三。鸾云：以差实九减▯实者，虽合其数，于率不通。注云：加差于句，即股。臣鸾曰：加差一于句三，得股四也。注云：凡并句股之实，即成▯实。臣鸾曰：「句实九，股实一十六，并之得二十五也。」注云：或矩于外，或方于内【案：外内二字，各本亦互讹，今改正】形诡而量均，体殊而数齐。句实之矩，以股▯差为广，股▯并为袤。臣鸾曰：以股▯差一为广，股四幷▯五得九为袤。左图外青也。注云：而股实方，其表臣鸾曰：为左图中，黄十六。注云：减矩句之实于▯实，开其余即股。臣鸾曰：减矩句之实九于▯实二十五，余一十六，开之得四股也。注云：倍股在两邉为从法，开矩句之角即股▯差。臣鸾曰：倍股四得八，在图两邉以为从法，开矩句之角九得一也。注云：加股为▯。臣鸾曰：加差一于股四，则▯五也。注云：以差除句实，得股▯并。臣鸾曰：以差一除句实九，得九，即股四，▯五，幷为九也。注云：「以幷除句实，亦得股▯差。」臣鸾曰：「以九除句实，九得股▯差一。」注云：令并自乘与句实为实。臣鸾曰：令并股▯得九，自乘为八十一，又以句实九加之，得九十为实。注云：倍并为法。臣鸾曰：倍股▯并九得一十八为法。注云：所得亦▯。臣鸾曰：除之得五为▯。注云：句实减并自乘，如法为股。臣鸾曰：以句实九减并自乘八十一，余七十二，以法一十八除之，得四为股也。注云：「股实之矩，以句▯差为广，句▯并为袤。」臣鸾曰：「股实之矩，以句▯差二为广，句▯并八为袤。」注云：「而句实方，其里减矩股之实于▯实，开其余即句。」臣鸾曰：「句实有九，方在右图里，以减矩股之实一十六于▯实二十五，余九，开之得三句也。」注云：倍句在两邉。臣鸾曰：各三也。注云：为从法开矩股之角，即句▯差加句为▯。臣鸾曰：加差二于句三，则▯五也。注云：以差除股实，得句▯并。臣鸾曰：以差二除股实一十六，得八句三▯五，并为八也。注云：「以并除股实，亦得句▯差。」臣鸾曰：「以并除股实一十六，得句▯差二。」注云：令并自乘与股实为实。
臣鸾曰：令并八自乘，得六十四，以股实一十六加之，得八十为实。注云：倍并为法。臣鸾曰：倍句▯，并八得一十六为法。注云：所得亦▯。臣鸾曰：除之得▯五也。注云：股实减并自乘，如法为句。臣鸾曰：「以股实一十六减并自乘六十四，余四十八，以法一十六除之，得三为句也。」注云：两差相乘，倍而开之，所得以股▯差增之为句。臣鸾曰：以股▯差一乘句▯差二，得二倍之为四，开之得二，以句▯差一增之，得三句也。注云：以句▯差增之为股。臣鸾曰：以句▯差二【案各本脱句字，今补】増之，得四股也。注云：两差增之为▯。臣鸾曰：「以股▯差，一句▯差二，増之得五▯也。」注云：倍▯实，列句股差实，减▯实者，以图攷之。倍▯实，满外大方，而多黄实，黄实之多，即句股差实。臣鸾曰：倍▯实二十五，得五十，满外大方七七四十九，而多黄实，黄实之多，即句股差实一也【案各本脱一字，今据上下文补】注云：以差实减之，开其余，得外大方，大方之面，即句股并。臣鸾曰：以差实一减五十，余四十九，开之即大方之面七也，亦是句股幷也。注云：令并自乘，倍▯实，乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面，即句股差。臣鸾曰：并七自乘，得四十九；倍▯实二十五，得五十；以减之余，即中黄方差实一也。故开之，即句股差一也。注云：「以差减并而半之为句。」臣鸾曰：「以差一减并七，余六，半之得三句也。」注云：加差于并，而半之为股。臣鸾曰：以差一加并七，得八，而半之得四股也。注云：其倍▯为广袤合。臣鸾曰：倍▯二十五，为五十，为广袤合。臣淳风等谨按：列广袤术，宜云倍▯五，得十为广袤合。今鸾云倍▯二十五者，错也。注云：令句股见者自乘为其实，四实以减之，开其余，所得为差。臣鸾曰：令自乘为其实，四实乘得四十九。四实者，大方句股之中有四方，一方之中有方一十二，四实有四十八，减上四十九，余一也。开之得一，即句股差一。臣淳风等谨按：注意令自乘者十，自乘得一百。四实者，大方广袤之中有四方。若据句实而言，一方之中有实九，四实有三十六，减上一百，余六十四，开之得八，即广袤差。此是股▯差，减股▯并余数。若据股实而言，之一方之中有实十六，四实有六十四，减上一百，余三十六，开之得六，即广袤差。此是句▯差【案：▯刻本讹作股，今改正】减句▯并余数也。鸾云：令自乘者，以七七自乘得四十九。四实者，大方句股之中有四方，一方之中有方一十二，四实有四十八，减上四十九，余一也。开之得一，即句股差一者错也。注云：以差减合，半其余为广。
臣鸾曰：以差一减合七，余六，半之得三广也。臣淳风等谨按：注意，以差八六各减合十余二四半之，得一二一，即股▯差二，即句▯差。以差减▯，即各袤广也。鸾云：以差一减合七，余六半之，得三广者，错也。注云：减广于▯，即所求也。臣鸾曰：以广三减▯五，即所求差二也。臣淳风等谨按：注意，以广一，二各减▯五，即所求股四句三也。鸾云：以广三减▯五，即所求差二者错也。
周公曰大哉言数心逹数术之意故发大哉之叹请问用矩之道谓用表之宜测望之法商高曰平矩以正绳以水绳之正，定平悬之体，将欲慎毫牦之差，防千里之失。偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。言施用无方，曲从其事，术在九章。
环矩以为圆合矩以为方既已追寻情理，又可造制圆方，言矩之于物，无所不至。
方属地圆属天天圆地方物有圆方，数有奇耦。天动为圆，其数奇；地静为方，其数耦。此配阴阳之义，非寔天地之体也。天不可穷而见，地不可尽而观，岂能定其圆方乎？又曰：北极之下，高人所居六万里，滂沱四隤而下。天之中央，亦高四旁六万里，是为形状同归而不殊涂，隆高齐轨而易以陈。故曰：天似葢笠，地法覆槃。
方数为典以方出圆夫体方则度影正，形圆则审实难。盖方者有常，而圆者多变，故当制法而理之。理之法者，半周半径相乘，则得方矣。又可周径相乘，十而一；又可径自乘，三之四而一；又可周自乘，十二而一。故曰圆出于方。
笠以写天笠亦如葢，其形正圆，戴之所以象天。写犹象也，言笠之体象天之形。《诗》云：“何蓑何笠”，此之义也。天青黒，地黄赤。天数之为笠也，青黒为表，卅黄为里，以象天地之位。既象其形，又法其位。言相方类，不亦似乎？
是故知地者智知天者圣言天之高，大地之广远，自非圣智，其孰能与于此乎？
智出于句句，亦影也。察句之损益，知物之高远。故曰：智出于句。
句出于矩矩谓之表，表不移，亦为句。为句将正，故曰句出于矩焉。夫矩之于数，其裁制万物，惟所为耳。
言包含几防转通旋环也周公曰善哉善哉！言明，晓其意。所谓问一事，而万事逹周髀算经卷上之一钦定四库全书周髀算经卷上之二汉 赵君卿 注周 甄鸾 重述唐 李淳风 注释昔者荣方问于陈子荣方、陈子是周公之后，人非《周髀》之本文，然此二人共相觧释，后之学者为之章句，因从其类列于事下，又欲尊而逺之，故云：“昔者时世官号未之前闻。”曰今者窃闻夫子之道荣方闻陈子能述商髙之防，明周公之道。
知日之髙大日去地与圆径之大光之照明日旁照之所及也一日所行日行天之度也逺近之数冬至夏至去人之逺近也人所望见人目之所极也四极之穷日光之所逺也列星之宿二十八宿之度也天地之地袤袤长也东西南北谓之广长夫子之道，皆能知之，其信有之乎？
能明察之故不昧不疑陈子曰然言可知也荣方曰：「方虽不省，愿夫子幸而説之。」
欲以不省之情而观大雅之法今若方者可教此道耶不能自料访之能者陈子曰然言可教也此皆算术之所及言周髀之法出于算术之妙也子之于算，足以知此矣。若诚累思之。累重也，言若诚能重累思之，则达至微之理。于是荣方归而思之，数日不能得。
虽潜心驰思而才单智竭复见陈子曰：「方思之不能得，敢请问之。」陈子曰：「思之未熟，熟犹善也。」此亦望逺起髙之术，而子不能得，则子之于数未能通类。定髙逺者，立两表；望悬邈者，施累矩。言未能通类，求句股之意。
是智有所不及而神有所穷言不能通类，是情智有所不及，而神思有所穷滞。夫道术，言约而用博者，智类之明。夫道术，圣人之所以极深而硏几。惟深也，故能通天下之志；惟防也，故能成天下之务。是以其言约，其旨逺。故曰：智类之明也。
问一类而万事逹者谓之知道引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣。故谓之知道也。
今子所学欲知天地之数算数之术，是用智矣，而尚有所难。是子之智，类单算术所▯，尚以为难。是子智，类单尽。夫道术所以难通者，既学矣，患其不博。
不能广博既博矣患其不习不能究习既习矣患其不能知不能知类故同术相学术教同者则当学通类之意同事相观事类同者观其旨趣之类此列士之愚智列，犹别也。言视其术，鉴其学，则愚智者别矣。
贤不肖之所分贤者逹于事物之理，不肖者闇于照察之情。至于役神驰思，聪明殊别矣。是故，能类以合类，此贤者业精、习智之质也。学其伦类，观其指归，惟贤智精习者，能之也。夫学同业而不能入神者，此不肖；无智而业不能精，习俱学道术，明智不察，不能以类合类而长之。此心游目荡，义不入神也。是故算不能精，习吾岂以道隠子哉？固复熟思之。凡教之道，不愤不啓，不悱不发。愤之，悱之，然后啓发。既不精思，又不学习，故言吾无隠也。尔固复熟思之，举一隅，使反之以三也。荣方复归，思之数日不能得，复见陈子曰：「方思之，已精熟矣。智有所不及，而神有所穷，知不能得，愿终请説之。」自知不敏，避席而请説之。陈子曰：「复坐，吾语汝。」于是荣方复坐而请，陈子説之曰：「夏至南万六千里【案经文之例，首位一万但称万，一千但称千，一百但称百，一十但称十，省去一字；次位以下不得省。注文则首位亦不省，此书中通例】冬至南十三万五千里，日中立竿测影。」臣鸾曰：「南戴日下，立八尺表，表影一千里而差一寸，是则天上一寸，地下一千里。今夏至影有一尺六寸，故知其一万六千里；冬至影一丈三尺五寸，故知其一十三万五千里。」
此一者天道之数言天道之数一悉以如此周髀长八尺，夏至之日，晷尺六寸。晷影也，此数望之，从周城之南一千里也。而周官测景尺有五寸，葢出周城南一千里也。记云：「神卅之土，方五千里，虽差一寸，不出畿地之分。」先四和之实，故建王国。
髀者股也正晷者句也以髀为股，以影为句，股定，然后可以度日之高逺。正晷者，日中之时节也。正南千里，句尺五寸；正北千里，句尺七寸。候其影，使表相去二千里，影差二寸。将求日之高逺，故先见其表影之率。
日益表南晷日益长▯句六尺▯其影使长六尺者，欲令句股相应：句三，股四，▯五；句六，股八，▯十。即取竹空，径寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日。以径一寸之空，视日之影，髀长则大，矩短则小，正满八尺也。捕索也，掩犹覆也。
而日应空之孔掩若重规，更言八尺者，举其定也。又日近则大，逺则小，以影六尺为正。由此观之，率八十寸而得径一寸。
以此为日髀之率故以句为首以髀为股首犹始也，股犹末也。句能制物之率，股能制句之正。欲以为总见之数，立精理之本。明可以周万事，智可以逹无方。所谓智出于句，句出于矩也。从髀至日下六万里，而髀无影，从此以上至日则八万里。臣鸾曰：「求从髀至日下六万里者，先置南表晷六尺，上十之为六十寸，以两表相去二千里乘，得一十二万里为实，以影差二寸为法，除之，得日底地去表六万里。求从髀至日八万里者，先置表高八尺，上十之为八十寸，以两表相去二千里乘之，得一十六万里【案：各本脱『里』字，今补正】为实，以影差二寸为法，除之，得从表端上至日八万里也。」若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，幷而开方除之，得邪至日。从髀所旁至日所，十万里旁，此古邪字求其数之术曰：以表南至日下六万里为句，以日高八万里为股，为之求▯。句股各自乘，幷而开方除之，即邪至日之所也。臣鸾曰：「求从髀邪至日所法，先置南至日底六万里为句，重张自乘得三十六亿为句实，更置日高八万里为股，重张自乘得六十四亿为股实，幷句股实得一百亿为▯实，开方除之，得从王城至日一十万里。今有一十万里，问径防何？曰：一千二百五十里。八十寸而得径一寸，以一寸乘一十万里为实，八十寸为法，即得。」以率率之八十里，符径一里；十万里得径千二百五十里。法当以空径为句，率竹长为股，率日去人为大股。大股之句即日径也。其术以句率乘大股，股率而一。此以八十里为法，一十万里为实，实如法而一，即得日径。
故曰日晷径千二百五十里臣鸾曰：「求以率八十里得径一里，一十万里得径一千二百五十里。法先置竹空，径一寸为一千里【案：千各本讹作十，今改正】为句；更置邪去日一十万里为股。以句一千里【案：干各本亦讹作十，今改正】乘股一十万里，得一亿为实；更置日去地八万里为法，除实得日晷径一千二百五十里，故云日晷径也。」臣淳风等谨按：「夏至王城望日，立两表，相去二千里，表高八尺，影去前表一尺五寸，去后表一尺七寸。旧术以前后影差二寸为法，以前影寸数乘表间为实，实如法得万五千里为日下去南表里；又以表髙八十寸乘表间为实，实如法得八万里为表上去日里。仍以表寸为日髙影寸为日下。待日渐髙俟日影六尺用之为句，以表为股，为之求▯，得十万里为邪。表数目取管圆孔径一寸，长八尺，望日满筒以为率，长八十寸为一邪去日一十万里，日径即一千二百五十里。以理推之，法云天之处心，髙于外衡六万里者，此乃语与术违。句六尺，股八尺，▯十尺，角隅正方自然之数。葢依绳水之定，施之于表矩。然则天无别体，用日心为髙下。术既随平而迁，河下从何而出？语术相违，是为大失。又按二表下地依水平法定其髙下，若此表地高则以为句，以间为▯，置其髙数，其影乘之，其表除之，所得益股为定间。若北表下者，亦置所下以法乘除所得，以减股为定间。又以髙下之数与间相约为地髙逺之率，求逺者影乘定间差法而一所得，加表日之髙也。求邪去地者，▯乘定间差法而一所得，加▯日邪去地也。此三等至，皆以日为正。求日下地髙下者，置戴日之逺近地髙下率乘之，如间率而一所得为日下地髙下，形势隆杀与表间同，可依此率。若形势不等，非代所知。率日径求日大小者，径率乘间如法而一得日径，此径当即得不。」待影长六尺，凡度日者，先须定二矩：水平者，影南北立，句齐髙四尺，相去二丈，以二▯▯牵于句上，并率二则拟为▯。影句上立表，▯下望日前一则上畔，后一则下畔，引则就影，令与表日参直。二至前后三四日间，影不移处即是。当以侯表并望人，取一影亦可。日径影端，表头为则。然地有髙下，表望不同。后六术乃穷其实。第一，后髙前下术：髙为句，表问为▯，后复影为所求率，表为所有率【案：所有各本讹作有所，今改正】以句为所有数，所得益股为定间。第二，后下术：以其所下为句，表问为▯，置其所下，以影乘表除，所得减股，余为定间。第三，邪下术：依其此髙之率，髙其句影，令与地势隆杀相似，余同平法。假令髀邪下而南，其邪亦同，不须别望，但▯短与句股不得相应，其南里数亦随地势不得校平。
平则促，若用此术，但得南望。若此望者，即用句影南下之术，当此面之地。第四，邪上术：依其后下之率，下其句影，此谓▯望北极以为髙逺者，望去取望亦同南望。此术▯长亦与句股不得相应，惟得北望，不得南望。若南望者，即用句影北髙之术。第五，平术：不论髙下，周髀度日用此平术，故东西南北四望皆通，逺近一差，不须别术。第六术者，是外衡，其径云四十七万六千里，半之得二十三万八千里者，是外衡去天心之处。心髙于外衡六万里为率，南行二十三万八千里下校六万里，约之得南行一百一十九里下校三十里，一百一十九步差下三十步，则三十步太强，差十步。以此约准则，不合有平地。地既平而用术尤乖理验，且自古论晷影差变，每有不同，今畧其梗槩，取其推步之要。《尚书》攷灵曜云：日永景尺五寸，日短一十三尺，日止南千里而灭一寸。张衡《灵宪》云：悬天之晷，薄地之仪，皆移千里而差一寸。郑元注《周礼》云：凡日景于地，千里而差一寸，王蕃美岌，因此为説。按前诸説差数并同，其言更出，书非直有此，以事攷量，恐非实矣。谨按宋元嘉十九年，嵗在壬午，遣使往交州，度日影，夏至之日影在表南三寸二分。《太康地理志》：交趾去洛阳一万一千里，阳城去洛阳一百八十里。交趾西南望阳城，洛阳在其东南，较而言之，令阳城去交趾近于洛阳去交趾一百八十里，则交趾去阳城一万八百二十里，而影差有八寸寸二分，是六百里而影差一寸也。况复人路迂回，羊肠曲折，方于鸟道所较弥多。心事验之，又未盈五百里而差一寸，明矣。千里之言，固非实也。何承天又六诏，以上圭测景攷校二至，差三日有余。从来积嵗及交州所上，验其増减，亦相符合，此则影差之验也。《周礼·大司徒职》曰：「夏至之景尺有五寸。」马融以为洛阳，郑元以为阳城。《尚书攷灵曜》：「日永影一尺五寸。」郑▯以为阳城。《日短十三尺》。《易纬·通卦验》：「夏至景尺有四寸八分，冬至一丈三尺。」刘向《洪范传》：「夏至景一尺五寸八分。」是时汉都长安，而向不言测影处所，若在长安，则非晷影之正也。夏止影长一尺五寸八分，冬至影一丈三尺一寸四分。向又云：「春秋分长七尺三寸六分。」此则总是虚妄。《后汉厯志》：「夏至影一尺五寸。」后汉洛阳冬至一丈三尺，自梁天监以前并同此数。魏景初夏至影一尺五寸，魏初都昌昌与颍州相近，后都洛阳，又在地中之数。但《易纬》因汉厯旧影，似不别影之冬至一丈三尺。晋姜岌影一尺五寸，晋都建康在江表，验影之数，遥取阳城，冬至一丈三尺。宋大明祖冲之厯夏至影一尺五寸，宋都秣陵，遥取影同前，冬至一丈三尺。
后魏信都芳注《周髀四术》云：「按永平元年戊子，是梁天监之七年也。」见洛阳测影，又见公孙崇集诸朝士共观秘书影同，是夏至之日，以八尺之表测日中影，皆长一尺五寸。八分虽无六寸【案寸各本讹作尺今改正】近六寸。梁武帝大同十年，太史令虞▯以九尺表于江左建康测，夏至日中影长一尺三寸二分。以八尺表测之，影长一尺一寸七分强。冬至一丈三尺七分，八尺表影长一丈一尺六寸二分弱。隋开皇元年冬至影长一丈二尺七寸二分。开皇二年夏至影一尺四寸八分，冬至长安测，夏至洛阳测，及王邵《隋灵感志》冬至一丈二尺七寸二分，长安测也。开皇四年夏至一尺四寸八分，洛阳测也。冬至一丈二尺八寸八分，洛阳测也。大唐贞观二年己丑五月二十三日癸亥，夏至中影一尺四寸六分，长安测也。十一月二十九日丙寅，冬至中影一丈二尺六寸三分，长安测也。按汉魏及隋所记夏至中影，或长或短，齐其盈缩之中，则夏至之影尺者五寸为近，定实矣。以《周官》推之，洛阳为所交防，则冬至一丈二尺五寸亦为近矣。按梁武帝都金陵，去洛阳南北大较千里，以尺表令其有九尺影，则大同十年江左八尺表夏至影长一尺一寸七分。若是为夏至八尺表千里而差一寸弱矣。此推验即是夏至影差降升不同，南北逺近数亦有异。若以一等永定，恐皆乖理之实【案此条字句多脱误不可通<子部,天文算法类,推步之属,周髀算经,卷上之二》>】日高图，黄甲与黄乙其实正等。以表高乘两表相去，为黄甲之实；以影差为黄乙之广，而一所得，则变得黄乙之袤，上与日齐。按图当加表高，今言八万里者，从表以上复加之。青丙与青己其实亦等，黄甲与青丙相连，黄乙与青己相连，其实亦等【案青己当作青戊，黄甲与青丙以下亦讹舛▯复】皆以影差为广。臣鸾曰：求日高法，先置表高八尺，为八万里为袤，以两表相去二千里为广，乘袤八万里，得一亿六千万里为黄甲之实，以影差二寸为二千里为法，除之得黄乙之袤八万里，即上与日齐。此言两表相去名曰甲，日底地上至日名曰乙，上天名青丙，下地名青戊。据影六尺，王城上天南至日六万里，王城内至日底地亦六万里，是上下等数。日夏至南万六千里者，立表八尺于王城，影一尺六寸，影寸千里，故王城去夏至日底地万六千里也。法曰：周髀长八尺，句之损益，寸千里。句谓影也，言悬天之影，薄地之仪，皆千里而差一寸。
故极极者天广袤也言极之，逺近有定则，天广长可知。今立表高八尺，以望极。其句丈三寸，由此观之，则从周北十万三千里而至极下。谓冬至日加夘酉之时，若春秋分之夜半，极南两旁与天中齐，故以为周去天中之数。荣方曰：「周髀者，何？」陈子曰：「古时天子治周。」古时天子，谓周成王时，以治周居王城，故曰：“昔先王之经邑，奄观九隩，靡地不营，土圭测影，不缩不盈，当风雨之所交，然后可以建王城，此之谓也。”此数望之从周故曰周髀言周都河南，为四方之中，故以为望主也。
髀者表也因其行事故曰髀，由此捕望故曰表，影为句故曰句股也。日夏至，南万六千里；日冬至，南十三万五千里。日中无影，以此观之，从南至夏至之日中，十一万九千里。诸言极者，斥天之中极，去周一十万三千里，亦谓极与天中齐时，更加南万六千里是也。
北至其夜半亦然日极在极半正等也凡径二十三万八千里幷南北之数也此夏至日道之径也其径者圆中之直者也其周七十万四千里周帀也，谓天戴日行，其数以三乘径。臣鸾曰：「求夏至日道径法，列夏至日去天中心一十一万九千里，夏至夜半日亦去天中心一十一万九千里，幷之得夏至日道径二十三万八千里，三乘径得周七十一万四千里也。」从夏至之日中，至冬至之日中，十一万九千里。冬至日中去周一十三万五千里，除夏至日中去周一万六千里，是也。北至极下亦然，则从极南至冬至之日中二十三万八千里，从极北至其夜北亦然，凡径四十七万六千里，此冬至日道径也。其周百四十二万八千里，从春秋分之日中至至极下十七万八千五百里。春秋之日影七尺五寸五分，加望极之句一丈三寸。臣鸾曰：「求冬至日道径法，列夏至去冬至日中一十一万九千里，从夏至日道北径亦一十一万九千里，幷之得冬至日中北极下二十三万八千里，从极至夜半亦二十三万八千里，幷之得冬至日道径四十七万六千里。以三乘径，即冬至日道周一百四十二万八千里。」从极下北至其夜半亦然，凡径三十五万七千里，周百七万一千里，故曰月之道常縁宿，日道亦与宿正，内衡之内外，衡之北圆而成规，以为黄道，二十八宿列焉。月之行也【案月各本讹作日，攷下文言月蚀，则此指月出入黄道甚明，今改正】一出一入或表或里，五月二十三分月之二十而一蚀【案各本脱而字蚀字，今攷后汉书云：百三十五月月二十三食，以二十三除百三十五得五月余二十，命为二十三分月之二十。后汉书所谓相除得五月二十三之二十而一食也。今后汉书五月讹作五百，与此各有讹舛，可以互订，今改今】道一交谓之合朔，交会及月蚀相去之数，故曰縁宿也。日行黄道，以宿为正，故曰宿正。于中衡之数与黄道等。臣鸾曰：「求春秋分日道法，列春秋分日中北至极下一十七万八千五百里，从北极北至其夜半亦然，幷之得春秋分日道径三十五万七千里。以三乘径，即日道周一百七万一千里。求黄道径法，列从北极南至夏至日中一十一万九千里，以从极北至冬至夜半二十三万八千里，幷之得黄道三十五万七千里。从极南至冬至日中【案：各本脱『中』字，今补】北至夏至日夜半亦黄道径也。以三乘径，得周一百七万一千里也。」南至夏至之日中，北至冬至之夜半；南至冬至之日中，北至夏至之夜半。亦径三十五万七千里，周百七万一千里。
此皆黄道之数与中衡等春分之日夜分，以至秋分之日夜分，极下常有日光。春秋分者，昼夜等。春分至秋分，日内近极，故日光照及也。秋分之日夜分，以至春分之日夜分，极下常无日光。秋分至春分，日外逺极，故日光照不及也。故春秋分之日夜分之时，日所照适至极，隂阳之分等也。冬至、夏至者，日道发敛之所生也。至，昼夜长短之所极。
发犹往也敛犹还也极终也春秋分者隂阳之脩昼夜之象脩长也言隂阳长短之等昼者阳夜者隂以明暗之差为隂阳之象春分以至秋分昼之象北极下，见日光也。日永，主物生，故象昼也。
秋分至春分夜之象北极下，不见日光也。日短，主物死，故象夜也。故春秋分之日，中光之所照，北极下；夜半日光之所照，亦南至极。此日夜分之时也。故曰：日照四旁，各十六万七千里。至极者，谓璇玑之际为阳絶隂彰，以日夜之时，而日光有所不逮，故知日旁照一十六万七千里，不及天中一万一千五百里也。
人所望见逺近宜如日光所照日近我一十六万七千里之内，日及我，我目见日，故为日出；日逺我一十六万七千里之外，日则不及我，我亦不见日，故为日入。是为日与目见于一十六万七千里之中，故曰逺近宜如日光之所照也。从周所望见，北过极六万四千里。自此以下诸言减者，皆置日光之所照，若人目之所见，一十六万七千里，以除之。此除极至周，一十万三千里。臣鸾曰：「求从周所望见北过极六万四千里，法列人目所极一十六万七千里。以王城周去极一十万三千里，减之余六万四千里，即人望过极之数也。」
南过冬至之日三万二千里除冬至日中去周一十三万五千里。臣鸾曰：「求冬至日中三万二千里法，列人目所极一十六万七千里，以冬至日中去王城一十三万五千里减之，余即过冬至日中三万二千里也。」夏至之日，中光南过；冬至之日，中光四万八千里。除冬至之日，相去一十一万九千里。臣鸾曰：「求夏至日中光南过冬至日中光四万八千里，法列日高照一十六万七千里，以冬夏至日中相去一十一万九千里，减之余即南过冬至之日中光四万八千里。」
南过人所望见万六千里夏至日中去周一万六千里臣鸾曰：「求夏至日中光南过人所望见一万六千里。法列王城去夏至日光，光南过人所望见一万六千里，加日光所及一十六万七千里，得一十八万三千里。以人目所极一十六万七千里减之，余即南过人目所望见一万六千里也。」
北过周十五万一千里除周夏至之日中一万六千里臣鸾曰：「求夏至日中光北过周一十五万一千里，法列日光所及一十六万七千里，以王城去夏至日中一万六千里，减之余即北过周一十五万一千里。」
北过极四万八千里除极去夏至之日，一十一万九千里。臣鸾曰：「求夏至日中光北过极四万八千里，法列日光所及一十六万七千里，以北极去夏至夜半一十一万九千里减之，余即北过极四万八千里也。」冬至之夜半，日光南不至，人所见七千里。倍日光所照里数，以减冬至日道径四十七万六千里，又除冬至日中去周一十三万五千里。臣鸾曰：「求冬至夜半日光南不至人目所见七千里，法列日光十六万七千里，倍之得三十三万四千里，以减冬至日道径四十七万六千里，余一十四万二千里，复以冬至日中去周一十三万五千里减之，余即不至人目所见七千里。」
不至极下七万一千里从极至夜半，除所照十六万七千里。臣鸾曰：「求冬至日光不至极下七万一千里，法列冬至夜半去极二十三万八千里，以日光一十六万七千里减之，余即不至极下七万一千里。」夏至之日，中与夜半，日光九万六千里，过极相接。倍日光所照，以夏至日道径减之余，即相接之数。臣鸾曰：「求夏至日中日光与夜半相接九万六千里，法列倍日光所照一十六万七千里，得径三十三万四千里，以夏至日道径二十三万八千里减之【案：道，各本讹作过，今改正】余即日光相接九万六千里也。」冬至之日，中与夜半，日光不相及，十四万二千里，不至极下，七万一千里。倍日光所照，以减冬至日道径，余即不相及之数，半之，即各不至极下。臣鸾曰：「求冬至日光与夜半日，不及十四万二千里，不至极下七万一千里。法列冬至日道径四十七万六千里，以倍日光所照三十三万四千里，减之余，即日光不相及一十四万二千里，半之即不至极下七万一千也。」夏至之日，正东西望，直周东西。日下至周五万九千五百九十八里半。求之术，以夏至日道径二十三万八千里为▯，倍极去周一十万三千里，得二十万六千里为股，为之求句，以股自乘减▯自乘，其余开方除之，得句一十一万九千一百九十七里有竒，半之各得周半数。臣鸾曰：求夏至日正冬西去周法，列夏至日道径二十三万八千里为▯，自相乘得五百六十六亿四千四百万为▯实，更置极去周一十万三千里，倍之为二十万六千里为股，重张自相乘得四百二十四亿三千六百万为股实，以减▯实，余一百四十二亿八百万即句实，以开方除之，得正东西去周一十一万九千一百九十七里，二十三万八千三百九十五分里之七万五千一百九十一，半之即周东西各五万九千五百九十八里半。注曰：竒者分也，若求分者，倍分母得四十七万六千七百九十，即一方得五万九千五百九十八里半，四十七万六千七百九十分里之七万五千一百九十一，本经无所余算之次，因而演之也。
冬至之日正东西方不见日正东西方，周之夘酉日，在一十六万七千里之外，故不见日。以算求之，日下至周二十一万四千五百五十七里半。求之术，以冬至日道径四十七万六千里为▯，倍极之去周一十万三千里，得二十万六千里为句，为之求股。句自乘，减▯之自乘，其余开方除之，得四十二万九千一百一十五里有竒。半之，各得东西数。臣鸾曰：求冬至正东西方，不见日法，列冬至日道径四十七万六千里为▯，重张相乘，得二千二百六十五亿七千六百万为▯实。更列极去周十万三千里，倍之得二十万六千里为句，重张相乘，得四百二十四亿三千六百万，以减▯实，余一千八百四十一亿四千万【案：四千各本讹作四十，今改正】即股实。开方除之，得周直东西四十二万九千一百一十五里，八十五万八千二百三十一分里之三十一万六千七百七十五。半之【案：各本脱之字，今据前后丈补】即周一方去日二十一万四千五百五十七里半，亦倍分母得一百七十一万六千四百六十二分里之三十一万六千七百七十五。
凡此数者日道之发敛凡此上周径之数者，日道往还之所至，昼夜长短之所极。
冬至夏至观律之数听钟之音观律数之生，听钟音之变，知寒暑之极，明代序之化也。
冬至昼夏至夜冬至昼夜日道径，半之，得夏至昼夜日道径。法置冬至日道径四十七万六千里，半之，得夏至日中去夏至夜半二十三万八千里，为四极之里也。
差数及日光所还观之以差数之所及，日光所还，以此观之，则四极之穷也。
四极径八十一万里从极南至冬日日中二十三万八千里，又日光所照一十六万七千里，凡径四十万五千里；北至其夜半亦然，故日径八十一万里。八十一者，阳数之终，日之所极。臣鸾曰：「求四极径八十一万里，法列冬至日中去极二十三万八千里，复加冬至日光所及十六万七千里，得四十万五千里。北至其夜半亦然，幷南北即是大径八十一万里。」
周二百四十三万里三乘径即得周臣鸾曰：「以三乘八十一万里，得周二百四十三万里，自此以外，日所不及也。」从周至南日照处，三十万二千里。
半径除周去极一十万三千里臣鸾曰：「求周南三十万二千里，法列半径四十万五千里，以王城去极十万三千里，减之余，即周南至日照处三十万二千里。」
周北至日照处五十万八千里半径加周去极一十万三千里臣鸾曰：「求周去冬至夜半日北极照处五十万八千里，法列半道径四十万五千里，加周夜半去极一十万三千里，得冬至夜半北极照去周五十万八千里。」东西各三十九万一千六百八十三里半。求之术，以径八十一万里为▯，倍去周一十万三千里，得二十万六千里为句，为之求股，得七十八万三千三百六十七里有竒，之各得东西之数。臣鸾曰：「求东西各三十九万一千六百八十三里半。法列径八十一万里，重张自乘，得六千五百六十一亿，为▯实。更置倍周，去北极二十万六千里，为句。重张自乘，得四百二十四亿三千六百万，以减▯实，余六千一百三十六亿六千四百万，即股实。以开方除之，得股七十八万三千三百六十七里，一百五十六万六千七百三十五分里之一十四万三千三百一十一。半之，即得去周三十九万一千六百八十三里半。分母亦倍之，得三百一十三万三千四百七十分里之一十四万三千三百一十一也。」周在天中，南十万三千里，故东西短。中径二万六千六百三十二里有竒【案：短各本讹作短，法同。今攷此计王城东西短于中径之数据术改正】求短中径二万六千六百三十二里有竒，法列八十一万里，以周东西七十八万三千三百六十七里有竒减之，余即短中径之数。臣鸾曰：「求短中径二万六千六百三十二里有竒，法列八十一万里，以周东西七十八万三千三百六十七里有竒，减之余二万六千六百三十三里，取一里破为一百五十六万六千七百三十五分，减一十四万三千三百一十一，余一百四十二万三千四百二十四，即径东西短二万六千六百三十二里，一百五十六万六千七百三十五分之一百四十二万三千四百二十五。」周北五十万八千里，冬至日十三万五千里，冬至日道径四十七万六千里，周百四十二万八千里，日光四极当周，东西各三十九万一千六百八十三里有竒，此方圆之法。
此言求圆于方之法万物周事，而圆方用焉。大匠造制，而规矩设焉。或毁方而为圆，或破圆而为方。方中为圆者，谓之圆；圆中为方者，谓之方。圆也。
周髀算经卷上之二钦定四库全书周髀算经卷上之三汉 赵君卿 注周 甄 鸾 重述唐 李淳风 注释七衡图，青图画者，天地合际，人目所逺者也。天至髙，地至非合也。人目极观而天地合也。日入青图画内，谓之日出。出青图画外，谓之日入。青图画之内外，皆天也。北辰正居天之中央。人所谓东西南北者，非有常处，各以日出之处为东，日中为南，日入为西，日没为北辰之下。六月见日，六月不见日。从春分至秋分，六月常见日；从秋分至春分，六月常不见日。见日为画，不见日为夜。所为一嵗者，即北辰之下一昼一夜。黄图昼者，黄道也。二十八宿列焉，日月星辰躔焉。使青图在上不动，贯其极而转之，即交焉。我之所在，北辰之南，非天地之中也。我之卯酉，非天地之卯酉。内第一，夏至日道也。出第四，春秋分日道也。外第七，冬至日道也。皆随黄道也。冬至在牵牛，春分在娄，夏至在东井，秋分在角。冬至从南而北，夏至从北而南，终而复始也。凡为此图，以丈为尺，以尺为寸，以寸为分，分千里。凡用绘方八尺以寸，今用绘方四尺五分，分为二千里，方为四极之图，尽七衡之意。吕氏春凡四海之内，东西二万八千里，南北二万六千里。吕氏，秦相吕不韦作《吕氏春秋》。此之义，在《有始》第一篇。非《周髀》本文，《尔雅》云：「九夷、八狄、七戎、六蛮，谓之四海。」言东西南北之数也，将以明车辙马迹之所至。《河图·括地象》云：「而有君长之州九阻，中国之文徳及而不治。」又云：「八极之广，东西二亿之万三千五百里，南北二亿三万三千五百里。」《淮南子·坠形训》云：「禹使大章步自东极至于西极，南极步自北极至于南极，而数皆然。」或其广阔，将焉可步矣？亦后学之徒，未之或知也。夫言亿者，十万曰亿也。凡为日月运行之圆周，七衡周六，六间以当六月，春秋分，冬夏至，璇玑之运也。节六月为百八十二日，八分日之五。节六月者，从冬至至夏至，日一百八十二日八分日之五，为半嵗。六月节者，谓中气也，不尽其日也。此日周天通四分之一【案：之一，各本讹作一之，今改正】倍法四，以除之，即得也。臣鸾曰：「求七衡周而六间，以当六月节。六月为一百八十二日八分日之五，此为半嵗也。列周天三百六十五日四分日之一，通分内子得一千四百六十一为实，倍分母四为八，除实得半嵗一百八十二日八分日之五也。」故日，在夏至，东井极南；衡日，冬至，在牵牛极外衡也。东井、牵牛，为长短之限，内外之极也。
衡复更终冬至冬至日，从外衡还黄道，一周年复于故衡，终于冬至。故曰：一嵗三百六十五日，四分日之一。一嵗一内极，一外极。从冬至一内极及一外极，度终于星月，穷于次，是为一嵗。三十日，十六分日之七月一，外极一，内极。欲分一嵗为一十二月，一衡间当一月，此举中相去之日数，以此言之，月行二十九日九百四十分日之四百九十九，则过周天一日而与日合宿。论其入内外之极，大归粗通，未必得也【案：各本大讹作六，必讹作心，今改正】日光言内极，月光言外极，日阳从冬至起，月阴从夏至起，往来之始。《易》曰：「日往则月来，月往则日来」，此之谓也。此数真一百八十二日八分日之五，通分内子五以六间乘分母以除之，得三十，以三约法得一十六，约余得七。臣鸾曰：「求三十日十六分日之七，法列半嵗一百八十二日八分日之五，通分内子得一千四百六十一为实，以六间乘分母八得四十八，除实得三十日，不尽二十一，更置法实，求等数平于三，即以约法得一十六，约余得七，即是从中气相去三十日十六分日之七也。」是故，一衡之间，万九千八百三十三里三分里之一，即为百步。此数，夏至冬至相去一十一万九千里，以六间除之，得矣。法与余分皆半之。臣鸾曰：「求一衡之间，一万九千八百三十三里三分里之一。法置冬至、夏至相去一十一万九千里，以六间除之，即得法余。余分半之，得也。」
欲知次衡径倍而增内衡之径倍一衡间数以增，内衡即次二衡径。
二之以增内衡径二乘所倍，一衡之间，数以增，内衡径，即得三衡径。
次衡放此次至皆如数内一衡径二十三万八千里，周七十一万四千里，分为三百六十五度四分度之一，度得千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三。通周天四分之一为法，又以四乘衡周为实，实如法得一百歩，不满法者十之如法，得一十歩，不满法者十之如法，得一歩，不满者以法命之，至七衡皆如此。臣鸾曰：求内衡度法，置夏至径二十三万八千里，以三乘之，得内外衡周七十一万四千里。以周天分母四乘内衡周，得二百八十五万六千里为实，以周天分一千四百六十一为法除之，得一千九百五十四里，不尽一千二百六，即因而三之为三千六百一十八，以法除之，得二百歩，不尽六百九十六步上十之如法而一【案各本脱一字今补】得四十步，不尽一千一百一十六，复上十之如法而一，得七步，不尽九百三十三，即是一千九百五十四里二百四十七步一千四百六十一分步之九百三十三。次二衡径二十七万七千六百六十六里二百步，周八十三万三千里，分里为度，度得二千二百八十里百八十八步，千四百六十一分步之千三百三十二。通周天四分之一为法，四乘衡周为实，实如法得里数，不满者求步数，不尽者命分。臣鸾曰：「求第二衡法，列一衡间一万九千八百三十三里少半里，倍之得三万九千六百六十六里太半里。增内衡径二十三万八千里，得第二衡径二十七万七千六百六十六里二百步，是三分里之二。又以三乘之，步满三百成一里，得二衡周八十三万三千里。以周天分母四乘周，得三百三十三万二千为实；更置周天三百六十五度四分度之一，通分内子得一千四百六十一为法，除之得二千二百八十里，不尽九百二十。以三百乘之得二十七万六千，复以前法除之得一百八十八步，不尽一千三百三十二。即是度得二千二百八十里一百八十八步一千四百六十一分步之一千三百三十二。」次三衡径三十一万七千三百三十里，百步步周九十五万二千里，分为度，度得二千二百六里百三十步，千四百六十一分步之二百七十。通周天四分之一为法，四乘衡周为实，实如法得里数，不满法者求步数，不尽者命分。臣鸾曰：「求第三衡法，列倍一衡间，得三万九千六百六十六一三分里之二，复增第二衡径二十七万七千六百六十六里之二，复即三分里之二，得第三衡径三十一万七千三百三十三里一百步。以三乘径，步步满三百成里，得周九十五万二千里。又以分母四乘周，得三百八十万八千为实，以周天分一千四百六十一为法，以除实，得二千六百六里，不尽六百三十四。以三百乘之，法以除之，得一百三十步，不尽二百七十，即是度，得二千六百六里一百三十步一千四百六十一分步之二百七十。
」次四衡，径三十五万七千里，周百七万一千里，分为度，度得二千九百三十二里七十一步千四百六十一分步之六百九十九【案：六十一分，各本讹作一十分，今改正】通周天四分之一为法，四乘衡周为实，实如法得里数，不满法者求步数，不尽者命分。臣鸾曰：「求第四衡法，列倍一衡，间三万九千六百六十六里三分里之二，増第三衡径三十万万七千三百三十三里，一百步步满三百成里，得径三十五万七千里，以三乘之，得周一百七万一千里，以分母乘之，得四百二十八万四千里为实，以周天分一千四四六十一除之，得二千九百百三十二里不三百四十八，以三百乘之，以法除之，得七十一步，不尽六百六十九，即是度，得二千九百三十二里七十一步一千四百六十一分步之六百六十九。」次五衡径三十九万六千六百六十六里二百步，周百一十九万里，分为度，度得三千二百五十八里十二步，千四百六十一分步之千六十八。通周天四分之一为法，四乘衡周为实，实如法得里数，不满法者求步数，不尽者命分。臣鸾曰：「求第五衡法，列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二，增第四衡径三十五万七千里，满三百成里，得第五衡径三十九万六千六百六十六里二百步。以三分乘径，得周一百一十九万里。又以分母四乘周，得四百七十六万为实，以周天分一千四百六十一为法除之，得三千二百五十八里，不尽六十二。以三百乘之，以法除之，得一百十步，不尽一千六十八。即是度得三千二百五十八里一十二步一千四百六十一分步之一千六十八。」次六，衡径四十三万六千三百三十三里百步，周百三十万九千里，分为度，度得三千五百八十三里二百五十四步，千四百六十一分步之六。通周天四分之一为法，四乘衡周为实，实如法得一里，不满法者求步，不尽者命分。臣鸾曰：「求第六衡法，列倍第一衡，间三万九千六百六十六里三分里之二，増第五衡径三十九万六千六百六十六里。二百步步满三百成里，得径四十三万六千三百三十三里一百步【案：近刻脱「二百步步满三百成里得径四十三万六千三百三十三里」共二十三字】又三乘径得周一百三十万九千里，又以分母四乘周得五百二十三万六千为实，以周天分一千四百六十一为法除之，得三千五百八十三里，不尽一千二百三十七，以三百乘之，以法除之，得二百五十四步，不尽六，即是度得三千五百八十三里二百五十四步一千四百六十一分步之六。次七衡径四十七万六千里，周百四十二万八千里，分为度，度得三千九百九里【案：各本脱“一度”字，今补】百九十五步，千四百六十一分步之四百五。
通周天四分之一为法，四乘衡周为实，实如法得里数，不满法者求步数，不尽者命分。臣鸾曰：「求第七衡法，列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二，增第六衡径四十三万六千三百三十三里一百步，得第七衡径四十七万六千里【案：千各本讹作十，今改正】以三乘之，得周一百四十二万八千里；以分母四乘之，得五百七十一万二千为实；以周天分一千四百六十一为法除之，得三千九百九里，不尽九百五十一。又以三百乘之，所得以法一千四百六十一除之，得一百九十五步，不尽四百五。即是度得三千九百九里一百九十五步，一千四百六十一分步之四百五。」其次曰：冬至所北照，过衡十六万七千里。冬至，十一月日，在牵牛，径在北方，因其在北，故言照过北衡。
为径八十一万里倍所照增七衡径周二百四十三万里三乘倍增七衡周分为三百六十五度四分度之一，度得六千六百五十二里二百九十三步，千四百六十一分步之三百二十七。过此而往者，未之或知。
过八十一万里之外或知，或疑其可知，或疑其难知。此言上圣不学而知之上圣者，智无不至，明无不见。攷灵曜曰：「防式出冥，惟审其形。」此之谓也。故冬至日晷丈三尺五寸，夏至日晷尺六寸。冬至日晷长，夏至日晷短。日晷损益寸，差千里。故冬至、夏至之日，南北游十一万九千里。四极径八十一万里，周二百四十三万里。分为度，度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七。此度之相去也。臣鸾曰：「求冬至日所北照十六万七千里，并南北日光得三十三万四千里，増冬至日道径四十七万六千里，得八十一万里，三之得周二百四十三万，以周天分母四乘之，得九百七十二万里为实，以周天分一千四百六十一为法除之，得六千六百五十二里，不尽一千四百二十八，以三百乘之，得四十二万八千四百【案：二万，各本讹作三万，今改正】复以法除之，得二百九十三步，不尽三百二十七，即是度得六千六百五十二里二百九十三步，一千四百六十一分步之三百二十七。」其南北游日，六百五十一里，一百八十二步，一千四百六十一分步之七百九十八。术曰：置十一万九千里为实，以半嵗一百八十二日八分日之五为法。半嵗者，从外衡去内衡以为法，除相去之数，得一日所行也。
而通之通之者数不合齐以法等【案此三字有讹脱永乐大典本作常以法等亦误据法用分母乘全数纳分子则实亦应以分母通之宜云数不合齐欲今实与法等】得相通入以八乘也得九十五万二千为实通一十一万九千里所得一千四百六十一为法，除之。
通百八十二日八分日之五也实如法得一里，不满法者三之，如法得百步。一里三百步，当以三百乘而言之。三之者，不欲转法，便以一位为百，实故从一位命为百。
不满法者十之如法得十步上既用三百乘，故此十之便，以一位为十实【案：各刻脱一字，今补】故从一位命为十。
不满法者十之如法得一步复十之者，但以一位为实，故从一位命为一。
不满法者以法命之位尽于一步，故以法命其余分为残步。臣鸾曰：「求南北游法，置冬至一十一万九千里，以半嵗日分母八乘之，得九十五万二千为实，通半嵗百八十二日八分日之五，得一千四百六十一，以除得六百五十一里，不尽八百八十九，以三百乘之，得二十六万六千七百，复以法除之，得一百八十二步，不尽七百九十八，即得日南北游日六百五十一里一百八十二步一千四百六十一分步之七百九十八。」
周髀▯经卷之三<子部,天文算法类,推步之属,周髀算经》>钦定四库全书周髀算经巻下之一汉 赵君卿 注周 甄 鸾重述唐 李淳风 注释凡日月运行四极之道运，周也。极，至也。谓外衡也。日月周行四方，至外衡而还，故曰四极也。极下者，其地高，人所居六万里，滂沱四隤而下。游北极，从外衡至极下，乃髙六万里，而言人所居所复，尽外□滂沱四隤而下，如覆槃也。
天之中央亦髙四旁六万里四旁犹四极也，随地穹隆而髙，如盖笠。故日光外所照，径八十一万里，周二百四十三万里，日至外衡而还，出其光一十六万七千里，故云照。故日运行处极北，北方日中，南方夜半。日在极东，东方日中，西方夜半。日在极南，南方日中，北方夜半。日在极西，西方日中，东方夜半。凡此四方者，天地四极。四和，四和者，谓之极。子午卯酉，得东西南北之中，天地之所合，四时之所交，风雨之所防，隂阳之所和。然则百物阜安，草木蕃庻。故曰四和。
昼夜易处南方谓昼北方谓夜加四时相及南方日中北方夜半然其隂阳所终，冬夏所极，皆若一也。隂阳之数齐冬夏之节同，寒暑之气均，长短之晷等，周回无差，运变不二。
天象象笠地法覆槃见乃谓之象，形乃谓之法。在上故凖，盖在下故拟槃。象法义同，盖槃形等，互文异器，以别尊卑。仰象俯法，名号殊矣。
天离地八万里言其隆髙相从其相去八万里冬至之日，虽在外衡，常岀极下地上二万里。天地隆髙，髙于外衡六万里。冬至之日，虽在外衡，其相望为平地直，常出于北极下地上二万里。言日月不相障蔽，故能扬光于昼，纳于夜。
故曰兆明日者，阳之精，譬犹火光；月者，隂之精，譬犹水光。月含景，故月光生于日之所照，魄生于日之所蔽。当日则光盈，就日则明尽。月禀日光而成形，兆故云日兆月也。
月光乃出故成明月待日然后能舒其光以成其明星辰乃得行列灵宪》曰：「众星被曜，因水火转光，故能成其形列。」是故秋分以往，到冬至三之精防，以成其道逺。日从中衡往至外衡，其径日逺以相逺，故光防不言。从冬至到春分者，俱在中衡之外，其同可知。
此天地阴阳之性自然也自然如此故曰性也欲知北极枢旋周四极极中不动，旋璇玑也。言北极璇玑周旋四至，极至也。常以夏至夜半时，北极南游所极。
游在枢南之所至冬至夜半时北游所极游在枢北之所至冬至日加酉之时西游所极游在枢西之所至日加卯之时东游所极游在枢东之所至此北极璇玑四游北极游常近冬至，而言夏至夜半者，极见【案：此二句有脱误，当云而言夏至者，夏至夜半极见】冬至夜半，极不见也。
正北极璇玑之中正北天之中极处，璇玑之中，天心之正，故曰璇玑也。正极之所游，冬至日加酉之时，立八尺表，以绳系表颠，希望北极中大星，引绳致地而识之。颠首希仰，致至也。识之者，所望大星表首，及绳至地，参相直而识之也。又到旦明，日加卯之时，复引绳希望之首，及绳致地而识其端，相去二尺三寸。日加卯酉之时，望至地之相去，子也。
故东西极二万三千里影，寸千里，故为东西所致之里数也。
其两端相去正东西以绳至地，所识两端相直【案：识，各本讹作“谓”，今改正】为东西之正也。
中折之以指表正南北所识两端之中，与表为南北之正。加此时者，皆以漏揆度之。此东西南北之时。冬至日加卯酉者，北极之正东西，日不见矣。以漏度之者，一日一夜百刻，从夜半至日中【案：夜半，各本讹作半夜，今改正】从日中至夜半，无冬夏常各五十刻，中分之得二十五刻，加极卯酉之时，揆亦度也。其绳致地，所识去表丈三寸，故天之中去周十万三千里。北极东西之时，与天中齐，故以所望表句为天中，去周之里数。何以知其南北极之时？以冬至夜半北游所极也。北过天中万一千五百里，以夏至南游所极，不及天中万一千五百里。此皆以绳系表颠而希望之。北极至地所识丈一尺四寸半，故去周十一万四千五百里【案：十一万，各本讹作十二万，今改正】过天中万一千五百里，其南极至地所识九尺一寸半，故去周九万一千五百里。其南不及天中万一千五百里。此璇玑四极南北过不及之法，东西南北之正句。以表为股，以影为句，绳至地所，亦如短中径二万六千六百三十二里有竒。法列八十一万里，以周东西七十八万三千三百六十七里有竒，减之余二万六千六百三十三里。取一里破为一百五十六万六千七百三十五分，减一十四万三千三百一十一万，一百四十二万三千四百二十四，即径东西二万六千六百三十二里一百五十六万六千七百三十五分里之一百四十二万三千四百二十四。周去极十万三千里，日去人十六万七千里。夏至去周万六千里，夏至日道径二十三万八千里，周七十一万四千里。春秋分日道径三十五万七千里，周百七万一千里。冬至日道径四十七万六千里，周百四十二万八千里。日光四极八十一万里，周二百四十三万里。从周南三十万二千里。影言正句者，四方之影皆正而定也。璇玑径二万三千里，周六万九千里。此阳絶，阴彰，故不生万物。春秋分谓之阴阳之中，而日光所照适至璇玑之径，为阳絶阴影，故万物不复生也。
其术曰立正句定之正四方之法也以日始出，立表而识其晷；日入，复识其晷。晷之两端相直者，正东西也；中折之指表者，正南北也。极下不生万物，何以知之？
以何法知之也冬至之日，去夏至十一万九千里，万物尽死；夏至之日，去北极十一万九千里，是以知极下不生万物。北极左右，夏有不释之冰。冰冻不解，是以推之夏至之日，外衡之下为冬矣。万物当死，此日逺近为冬夏，非阴阳之气爽，或疑焉。春分、秋分，日在中衡。春分以徃，日益北五万九千五百里；而夏至、秋分以徃，日益南五万九千五百里。而冬至，并冬至、夏至相去一十一万九千里。以徃日益北近中衡，以徃日益南逺中衡。
中衡去周七万五千五百里影七尺五寸五分中衡左右，冬有不死之草，夏长之类。此欲以内衡之外，外衡之内，常为夏也。然其脩广爽，未之前闻。此阳彰，阴微，故万物不死，五谷一歳再熟。
近日阳多农再熟凡北极之左右物有朝生暮获获疑作获？谓葶苈、荠、麦冬生之类。北极之下，从春分至秋分为昼，从秋分至春分为夜。物有朝生暮获者，亦有春刍而秋熟。然其所育，皆是周地冬生之类，荠、麦之属。言左右者，不在璇玑二万三千里之内也。此阳微阴彰，故无夏长之类。
立二十八宿以周天厯度之法以用也，列二十八宿之度，用周天。
术曰倍正南方倍犹背也，正南方者，二极之正，南北也。
以正句定之正句之法，日出入识其晷，晷两端相直者正东西，中折之以指表，正南北。即平地径二十一歩，周六十三歩，令其平矩以水，正如定水之平，故曰平矩以水正也。则位径百二十一尺七寸五分，因而三之，为三百六十五尺四分尺之一。径一百二十一尺七寸五分，周三百六十五尺二寸五分。二寸五分者，四分之一而或言一百二十尺，举其全数。以应周天三百六十五度四分度之一，审定分之，无令有纤微。所分平地周，一尺为一度，二寸五分，为四分度之一。其令审定，不欲使有细小之差也。纤微细分也。臣鸾曰：「求一百二十一尺七寸五分，因而三之，为三百六十五度四分度之一。法列径一百二十一尺七寸五分，以三乘，得三百六十五尺二寸五分。二寸五分者，即四分之一。此即周天三百六十五度四分度之一。」分度以定，则正督经纬，而四分之一合各九十一度十六分度之五。南北为经，东西为纬，督亦通周天四分之一。又以四乘分母为法，度之【案：为各本讹作“以”，今改正】臣鸾曰：「求分度以定四分之一，合各九十一度一十六分度之五。法列周天三百六十五度，以四分度之一而通分内子，得一千四百六十一为实，更以四乘分母，得一十六分法除之，得九十一，不尽五，即是各九十一度一十六分度之五也。」
于是圆定而正分所圆为天度，又四分之，皆定而正。则立表，正南北之中央，以绳系颠，希望牵牛中央星之中。引绳至经纬之交，以望之；星与表绳参相直也。则复候湏女之星先至者【案：候各本讹作望，今据注文改正】如复以表绳希望，湏女先至定中。湏女之先至者，又复如上引绳至经纬之交，以望之。即以一游仪，希望牵牛中央星出中正表西几何度？游仪亦表也。游仪移望星为正，知星出中正之表西防何度？故曰游仪。
各如游仪所至之尺为度数所游分圗，周一尺，应天一度，故以游仪所至尺数为度。游在于八尺之上，故知牵牛一度。湏女中而望牵牛，游在八尺之上，故牵牛为八度。其次星放此以尽二十八宿度则定矣【案：定，各本讹作之，今据注文改正】
皆如此上法定立周度者周天之度各以其所先至游仪度上二十八宿，不以一星为体，皆以先至之星为正之度。车辐引绳就中央之正，以为毂则正矣。以经纬之交为毂，以圆度为辐。知一宿得几何度，则引绳如辐凑毂为正，望星定度，皆以南方为正。知二十八宿为几何度，然后还分而布之也。
日所以入亦以周定之亦同望星之周欲知日之出入出入二十八宿，东西南北面之宿列置，各应其方，立表望之，知日出入何宿，从出入径几何度。即以三百六十五度四分度之一，而各置二十八宿，以二十八宿列置地所圆周之度，使四面之宿各应其方。以东井夜半中，牵牛之初，临子之中。东井牵牛，相对之宿也。东井临午，则牵牛临于子也。东井出，中正表西三十度十六分度之七，而临未之中。牵牛初，亦当临丑之中。分周天之度为一十二位，而一十二辰各当其一，所应一十二月，从午至未三十度一十六分度之七。未与丑相对，而东井、牵牛之所居，分之法己陈于上矣。臣鸾曰：「求东井出中正表西三十度一十六分度之七，法先通周天，得一千四百六十一为实，以位法一十二乘周天分母四，得四十八为法，除实得三十度，不尽二十一。更副置法实等数，平于三约，不尽二十一得七，约法四十八得一十六，即部三十度一十六分度之七。」
于是天与地恊协合也，置东井、牵牛，使居丑未，相对则天之列宿与地所为圆周相应，合得之矣。
乃以置周二十八宿从东井、牵牛所居，以置一十二位焉。置以定，乃复置周度之中央，立正表。
置周度之中央者经纬之交也以冬至、夏至之日，以望日始出也。立一游仪于度上，以望中央表之晷。从日所出度上立一游仪，皆望中表之晷。所以然者，当曜不复当日，得以视之也。
晷参正则日所出之度游仪与中央表及晷参相直，游仪之下即所出合宿度。
日入放此此日出法求之周髀算经卷下之一钦定四库全书周髀算经卷下之二汉 赵君卿 注周 甄 鸾 重述唐 李淳风 注释牵牛去北极百一十五度，千六百九十五里，二十一步，千四百六十一分步之八百一十九。牵牛冬至日所在之宿，于外衡者与相去，去之度数。术曰：置外衡去北极枢二十三万八千里，除璇玑万一千五百里。北极常近牵牛，为枢，过极一万一千五百里，此求去极，故以除之。其不除者，二十二万六千五百里，以为实。以三百乗里为步，以周天分一千四百六十一乗步为分，内衡之度，以周天分为法，法有分，故以周天乗实，齐同之，得九百九十二亿七千四百九十五万。内衡一度，数千九百五十四里二百四十七步，千四百六十一分步之九百三十三，以为法。如上乗内，步通分内，子得八亿五千六百八十万。
实如法得一度以八亿五千六百八十万为一度法。
不满法者求里步上求度故以此约之合三百得一以为实上以三百乗里为步而求里，故以三百约余分为里之实。以千四百六十一分为法，得一里。里步皆以周天之分为母，求度当齐同法实等，故乗以散之。
不满法者三之如法得百上以三百约之，为重之实，此当以三百乗之【案各本脱百字，今补】为步之实，而言三之者【案各本脱三字，今补】不欲转法，便以一位为百实，故从一位命为百也不满法者，又上十之，如法得一步。又复上十之者【案各本脱十字今补】便以一位为一实，故从一位命为一【案此句各本讹作故从一实为一，今据上注改正】
不满法者以法命之位尽于一步，故以其法命余为残分。
次放此次娄与角及东井皆如此也臣鸾曰：去牵牛星去极洗先列衡去极枢二十三万八千里，减极去枢心一万一千五百里，余二十二万六千五百里。以三百乗里，得六千七百九十五万步。又以周天分一千四百六十一乗之，得九百九十二亿七万四千九十五万步为实。更副置内衡一度数一千九百五十四里二百四十七步一千四百六十一分步之九百三十三，亦以三百乗一千九百五十四里为步，内二百四十七步，得五十八万六千四百四十七步。又以周天分母一千四百六十一乗步内子九百三十三，得八亿五千六百八十万为法，以除实，得一百一十五度，不尽七亿四千二百九十五万。去下法不周，更以三百约余分七亿四千二百九十五万，得二百四十七万六千五百为实，更以周天分一千四百六十一除之，得一千六百九十五里，不尽一五五。以三百乗之，得三万一千五百，复以前法除之，得二十一步，不尽八百一十九。即牵牛去北极一百一十五度【案：一十五度，各本讹作一十五度，全改正】一千六百九十五里二十一步一千四百六十一分步之八百一十九。娄与角去北极九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六。娄春分日所在之宿也，角秋分日所在之宿也，为中衡也。术曰：置中衡去北极枢十七万八千五百里以为实，不言加除者，娄与角准北极在枢两旁，正与枢齐，以娄、角无差，故便以去枢之数为实，如上乗里为步，步为分。以内衡一度数为法，实如法，得一度。不满法者，求里歩。不满法者，以法命之。臣鸾曰：「求娄与角去极法，列中衡去极枢一十七万八千五百里，以三百乘之，得五千三百五十五万歩。又以周天分一千四百六十一分乘之，得七百八十二亿三千六百五十五万为实。以内衡一度数一千九百五十四里二百四十七歩，一千四百六十一分步之九百三十三，亦以三百乗里内步二百四十七，得五十八万六千四百四十七歩。又以分母一千四百六十一分乗之内子，得八亿五千六百八十万为法，以除实，得九十一度，不尽二亿六千七百七十五万。以三百约之，得八十九万二千五百下法不用。以周天分一千四百六十一除之，得六百一十里，不尽一千二百九十。以三百乗之，得三十八万七千，如前法除，得二百六十四歩，不尽一千二百九十六。即是娄与角去极九十一度六百一十里二百六十四歩，一千四百六十一分歩之一千二百九十六。」东井去北极六十六度，千四百八十一里，百五十五步，千四百六十一分步之千二百四十五。
东井夏至日所在之宿为内衡术曰：置内衡去北极枢十一万九千里，加璇玑万一千五百里。北极游常近东井为枢，不及极一万一千五百里，此求去极，故加之。
得十三万五百里以为实如上乗里为歩歩为分得五百七十一亿九千八百一十五万分。以内衡一度数为法，实如法，得一度，不满法者，求里歩，不满法者【案：各本脱「法」字，今补】以法命之。臣鸾曰：「求东井去极法，列内衡去极枢一十一万九千里，加璇玑一万一千五百里，得一十三万五百里。以三百乗里为歩，复以分母一千四百六十一乘之，得五百七十一亿九千八百一十五万为实。通分内衡一度数为歩，歩为分，得八亿五千六百八十万为法，以除实，得六十六度，不尽六亿四千九百三十五万。以三百约之，得二百一十六万四千五百下法不用，更以周天一千四百六十一为法除之，得一千四百八十一里，不尽七百五十九。以三百乘之，得二十二万七千七百，复以周天分除之，得一百五十五歩，不尽一千二百四十五。即为东井去北极六十六度千四百八十一里一百五十五歩一千四百六十一分歩之一千二百四十五。」凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一。冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸。问次节损益寸数长短各几何？
冬至晷长丈三尺五寸小寒丈二尺五寸【小分五】大寒丈一尺五寸一分【小分四】
立春丈五寸二分【小分三】雨水九尺五寸三分【小分二】啓蛰八尺五寸四分【小分一】
春分七尺五寸五分清明六尺五寸八分【小分五】谷雨五尺五寸六分【小分四】立夏，四尺五寸八分【小分三】小满三尺五寸八分【小分二】芒种二尺五寸九分【小分一】
夏至尺六寸小暑二尺五寸九分【小分一】大暑三尺五寸八分【小分二】立秋，四尺五寸七分【小分三】处暑，五尺五寸六分【小分四】白露六尺五寸五分【小分五】
秋分七尺五寸五分寒露八尺五寸四分【小分一】霜降九尺五寸三分【小分二】
立冬丈五寸二分【小分三】小雪丈一尺五寸一分【小分四】
大雪丈二尺五寸【小分五】
凡为八节二十四气二至者，寒暑之极；二分者，阴阳之和；四立者，生长收藏之始。是为八节。节三气，三而八之，故为二十四。
气损益九寸九分六分分之一损者，减也。破一分为六分，然后减之。益者，加也。以小分满六得一，从分。
冬至夏至为损益之始冬至晷长极，当反短，故为损之始；夏至晷短极，当反长，故为益之始。此爽之新术。术曰：置冬至晷，以夏至晷减之，余为实，以十二为法。十二者，半嵗一十二气也。为法者，一节益之法。实如法得，一寸不满法者，十之以法除之，得一分，求分故十之也。
不满法者以法命之法与余分皆半之也。旧晷之术，于理未当。谓春秋分者，阴阳晷等各七尺五寸五分。故中衡去周七万五千五百里。按春分之影七尺五寸七百二十三分，秋分之影七尺四寸二百六十二分，差一寸四百六十一分。以此推之，是为不等。冬至至小寒，多半日之影；夏至至小暑，少半日之影；芒种至夏至，多二日之影；大雪至冬至，多三日之影。又半歳一百八十二日八分日之五，而此用四分。十分寸之四百七十六，非也。节▯不正，十五日有三十二分日之七【案：三十二，各本讹作二十二，今改正】以一日之率，一十五日为节，至令差错不通，尤甚。《易》曰："旧全井无禽，时舍也。"言法三十日，实当改而舍之。于是爽更为新术，以一气率之，使言约法易，上下相通，周而复始，除其纰缪。臣鸾曰：「求二十四气损益之法，先置冬至影长丈三尺五寸，以夏至影一尺六寸减之，余一丈一尺九寸，上十之为实，以半歳一十二为法除之，得九寸，不尽一十一，复上十之，如法而一，得九分，不尽二，与法一十二皆半之，得六分之一，即是小寒益法。先置冬至影长一丈三尺五寸，以气损益九寸九分六分分之一，其破一分以为六分，减其余，即是小寒影长一丈二尺五寸小分五余，悉依此法求益法。置夏至影一尺六寸，以九寸九分六分分之一増之，小分满六从大分一，即是小暑二尺五寸九分小分一。次气放此。」臣淳风等谨按：「此术本文【案各本脱文字，今补】及赵君卿注求二十四气影例损益九寸九分六分分之一以为定率，检勘术注有所未通。又按《宋书·厯志》所载何承天元嘉厯影，冬至一丈三尺，小寒一丈二尺四寸八分，大寒一丈一尺三寸四分，立春九尺九寸一分，雨水八尺二寸八分，啓蛰六尺七寸二分，春分五尺三寸九分，清明四尺二寸五分，谷雨三尺二寸五分，立夏二尺五寸，小满一尺九寸七分，芒种一尺六寸九分【案六寸各本讹作九寸，今据《宋书》改正】夏至一尺五寸，小暑一尺六寸九分，大暑一尺九寸七分，立秋二尺五寸，处暑三尺二寸五分【案二寸各本讹作三寸，今据《宋书》改正】白露四尺二寸五分，秋分五尺三寸九分，寒露六尺七寸二分，霜降八尺二寸八分，立冬九尺九寸一分，小雪一丈一尺三寸四分，大雪一丈二尺四寸八分。司马彪《续汉志》所载四分厯影，亦与此相近。至如祖冲之厯、宋大明厯影，与何承天虽有小差，皆是量天实数雠校三厯足验。君卿所立率虚诞，且《周髀》经本文『衡下于天中六万里』，而二十四气率乃是平迁【案是各本讹作足，今改正】所以知者，按望影之法，日近」。影短日逺，影长又以髙下言之，日髙影短，日卑影长。夏至之日最近北，又最髙，其影尺有五寸。自此以后，日行渐逺向南，天体又渐向下，以及冬至。冬至之日最近南，居于外衡，日最近下，故日影一丈三尺。此当每气差降有别【案气各本讹作嵗，今改正】不可均为一槩设其升降之理。今此文【案文各本讹作又，今改正】自冬至毕于芒种，自夏至毕于大雪，均差每气损九寸有竒。是为天体正平，无髙卑之异，而日但南北均行，又无升降之殊，即无内衡髙于外衡六万里，自相矛盾。又按《尚书攷灵曜》所陈格上格下里数，及郑注升降逺近，虽有成规，亦未臻理。实欲求至当，皆依天体髙下逺近脩规，以定差数。自霜降毕于立春，升降差多，南北差少；自雨水毕于寒露，南北差多，升降差少。依此推歩，乃得其实。既事涉浑仪与葢天相反。
月后天十三度十九分度之七月后天者，月东行也。此见日月与天俱西南游，一日一夜，天一周，而月在昨宿之东，故曰后天。又曰：章歳，除章月，加日周一日，作率以一日所行为一度，周天之日为天度。术曰：置章月二百三十五，以章歳十九除之，加日行一度，得十三度十九分度之七【案：十九分，各本讹作十分九，今改正】此月一日行之数，即后天之度及分。臣鸾曰：「月后天一十三度一十九分度之七，法列章月二百三十五，以章歳一十九除之，得一十二度，加日行一度，得一十三度，余一十九分度之七，即月后天之度分。」小歳月不及故舍三百五十四度，万七千八百六十分度之六千六百一十二。小嵗者，一十二月为一嵗。一嵗之月，一十二月，则有余一十三月，复不足而言大小嵗，通閠月焉。不及故舍，亦犹后天也。假令十一月朔旦冬至，日月俱起牵牛之初，而月一十二与日防，此数月发牵牛所行之度也。术曰：置小嵗三百五十四日，九百四十分日之三百四十八。小歳者，除经嵗一十九分月之七，以七乗周天分一千四百六十一，得一万二百二十七，以减经嵗之积分，余三十三万三千一百八，则小嵗之积分也。以九百四十分除之，即得小嵗之积日及分。以月后天十三度十九分度之七乗之为实。通分内子为二百五十四乗之者【案乗之各本讹作之乗今改正】乘小嵗积分也。又以度分母乗日分母为法，实如法得积，后天四千七百三十七度万七千八百六十分度之六千六百一十二【案：二各本讹作三，今改正】以月后天分乗小嵗积分得八千四百六十万九千四百三十二，则积后天分也。以度分母十九乗日分母九百四十得一万七千八百六十，除之即得。以周天三百六十五度万七千八百六十分度之四千四百六十五除之。此犹四分之一也，约之即得，当于齐同，故细言之，通分内子为六百五十二万三千三百六十五，除积后，天分得一十二周天，即去之。
其不足除者不足除者，不及故舍之。六百三十二万九千五十二是也。三百五十四度，万七千八百六十分度之六千六百一十二。以一万七千八百六十除，不及故舍之，分得此度矣。此月不及故舍之分度数，他皆放此。
次至经月皆如此臣鸾曰：求小嵗，月不及，故舍法。列经舍嵗，三百六十五日九百四十分日之二百三十五，通分内子得三十四万三千三百三十五，是为经嵗之积分。以十十九分月之七，以七乗周天分一千四百六十一，得一万二百二十七。以嵗经嵗积分不尽三十三万三千一百八，小嵗积分也。以九百四十除之，得三百五十四日，不尽三百四十八。还通分内子，复得本积分三十三万三千一百八。更置月后天一十三度一十九分度之七，通分内子得二百五十四，以乗本积分，得积后天分八千四百六十万九千四百三十二，为实。更列月后天分母一十九，以乗日分母九百四十，得一万七千八百六十，为法。除之，得积后天四千七百三十七度，不尽六千六百一十二。即是得四千七百三十七度，一万七千八百六十分度之六千六百一十二。还通分内子，得本分八千四百六十万九千四百三十二，为实。更列周天三百六十五度，一万七千八百六十分度之四千四百六十五，即通分内子得六百五十二万三千三百六十五，以除实，得一十二，下法不用余分，即不及故舍之分六百三十二万九千五十二。更以日月分母相乗，得万七千八百六十，为法。除不及故舍之分六百三十二万九千五十二【案：除字下各本讹分字，今删正】得三百五十四度，不尽六千六百一十二，即不及故舍三百五十四度，一万七千八百六十分度之六千六百一十二。大嵗月不及故舍十八度，万七千八百六十分度之万一千六百二十八。
大嵗者十三月为一嵗也术曰：置大歳三百八十三日九百四十分日之八百四十七。大嵗者，加经嵗一十九分月之一十二，以一十二乗周天分一千四百六十一，得一万七千五百三十二，以加经嵗积分，得三十六万八百六十七，则大嵗之积分也。以九百四十除之【案：九方本讹作七，今改正】即得。以月后天十三度十九分度之七乗之为实，又以度分母乗日分母为法，实如法得积后天五千一百三十二度万七千八百六十分度之二千六百九十八。此月后天分乗大嵗积分得九千一百六十六万二百一十八，则积后天分也。
以周天除之除积后，天分得一十四周天，即去之。
其不足除者不足除者，三十三万三千一百八是也。
此月不及故舍之分度数臣鸾曰：「求大嵗月不及故舍，法列经嵗三百六十五日九百四十分日之二百三十五，通分内子得经积分三十四万三千三百三十五。更以一十九分月之一十二乗周天分一千四百六十一，得一万七千五百三十二。以经嵗积分加大嵗积分，得三十六万八百六十七为实，以九百四十除之，得大嵗三百八十三日九百四十分日之八百四十七。还通分内子本分三十六万八百六十七，更列月后天一十三度一十九分度之七，通分内子得二百五十四，以乘本分得积后天分九千一百六十六万二百一十八为实，以一万七千八百六十为法除之，得积后天度五千一百三十二，不尽二千六百九十八，即命分。还通内子得本积后天分九千一百六十六万二百一十八为实，以周天分六百五十二万三千三百六十五为法除实，得十四周天之数，余以日月分母万七千八百六十除之，得大嵗不及故舍一十八度，不尽一万一千六百二十八，即以命分也。」经嵗月不及故舍，百三十四度万七千八百六十分度之万，一百五【案：五各本讹作里，今改正】经常也，即一十二月一十九分月之七也。术曰：置经嵗三百六十五日，九百四十分日之二百三十五。经嵗者，通一十二月一十九分月之七，为二百三十五，乗周天千四百六十一，得三十四万三千三百三十五，则经嵗之积分。又以周天分母四乗二百三十五，得九百四十为法，除之，即得。以月后天十三度十九分度之七乗之为实，又以度分母乘日分母为法，实如法得积后天四千八百八十二度万七千八百六十分度之万四千五百七十。以月后天分乗经嵗积分，得八千七百二十万七千九十，则积后天之分。
以周天除之除积后，天分得一十三周天，即去之。
其不足除者不足除者，二百四十万三千三百四十五是也。
此月不及故舍之分度数臣鸾曰：求经歳月，不及故舍法，列一十二月一十九分月之七，通分内子得二百三十五，以乗周天分一千四百六十一，得三十四万三千三百三十五，即经嵗分也。以日分母四乗二百三十五，得九百四十为法，以除得经嵗三百六十五日，不尽二百三十五，即命分还通分内子，即复本嵗分三十四万三千三百三十五。更列通月后天度分二百五十，内以乗经嵗分，得积后天分八千七百二十万七千九十为实。更列万七千八百六十除实，得积后天度四千八百八十二，不尽万四千五百七十，即命分还通分内子，复本积后天分为实，以周天分六百五十二万三千三百六十五除实，得一十三周天，即去之余分二百四十万【案：二百各本讹作三百，今改正】三千三百四十五，以一万七千八百六十除之，得不及故舍一百三十四度，不尽一万一百五，即以命分也。小月不及故舍二十二度，万七千八百六十分度之七千七百三十五。小月者，二十九日为一月。一月之日【案：各本脱“日”字，今补】二十九日则有余，三十日复不足。而言大小者，通其余分。
术曰置小月二十九日小月者，减经月之积分四百九十九，余二万七千二百六十，则小月之积也。以九百四十除之，即得。以月后天十三度十九分度之七乗之为实，又以度分母乗日分母为法，实如法得积后天三百八十七度万七千八百六十分度之万二千二百二十。以月后天乗小月积分得六百九十二万四千四十，则积后天之分也。
以周天分除之除积后天分得一周天即去之其不足除者不足除者四十万六百七十五此月不及故舍之分度数臣鸾曰：求小月，不及故舍法，置二十九日，以九百四十乗之，得二万七千二百六十，则小月之分也。更列月后天一十三度一十九分度之七，通分内子，得二百五十四，以乗小月分，得六百九十二万四千四十，为实，以一万七千八百六十为法，除实，得三百八十七度，不尽一万二千二百二十，以命分还通分子，得本实。更列周天分六百五十二万三千三百六十五，除本实，得一周天，不尽四十万六百七十五，即不及故舍之分。又以万七千八百六十【案：七千，各本讹作九千，今改正】除不及故舍之分，得二十二度，不尽七千七百三十五，即以命分。大月不及故舍三十五度，万七千八百六十分度之万四千三百三十五。
大月者三十日为一月也术曰置大月三十日大月加经积分四百四十一，得二万八千二百，则大月之积分也。以九百四十除之，即得。以月后天十三度十九分度之七乗之为实，又以度分母乗日分母为法，实如法得积后天四百一度万七千八百六十分度之九百四十。以月后天分乗大月积分七百一十六万二千八百，则积后天之分也。
以周天除之除积后天分得一周天即去之其不足除者不足除者，六十三万九千四百三十五，是也。
此月不及故舍之分度数臣鸾曰：「求大月不及，故舍法置三十日，以九百四十乘之，得二万八千二百。以后天分二百五十四乗之，得七百一十六万二千八百，为实。以一万七千八百六十为法，以除实，得四百一度，不尽九百四十，即以命分。还通分内子，复本实，更以周天六百五十二万三千三百六十五为法，除本实，得一周余不足。除积六十三万九千四百三十五分，以一万七千八百六十为法，以除实，得大月不及，故三千一百之度，不尽万四千三百一十五，即命分也。」经月不及故舍二十九度，万七千八百六十分度之九十四，百八十一。经常也常月者，一月月与日合数术曰：置经月二十九日九百四十分日之四百九十九，经月者，以一十九乗周天分一千四百六十一，得二万七千七百五十九，则经月之积，以九百四十除之，即得。以月后天十三度十九分度之七乘之为实，又以度分母乗日分母为法，实如法得积后天三百九十四度万七千八百六十分度之万三千九百四十六。以月后天分乗经月积分，得七百五万七百八十六，则积后天之分。
以周天除之除积后天分得一周天即去之其不足除者不足除者，五十二万七千四百二十一是也。
此月不及故舍之分度数臣鸾曰：求经月不及故舍，法以一十九乗周天分一千四百六十一，得二万七千七百五十九，即经月积分。以九百四十除积分，得经月二十九曰九百四十分日之四百九十九。还通分内子，得本经月积分。以后天分乘本积分，得七百五万七百八千六，即后天之积分。更以一万七千八百六十除之，得积后天三百九十四度，不尽一万三千九百四十六。即以命分还通分内子，得本后天积分为实。以周天六百五十二万三千三百六十五除之，得一周余分五十二万七千四百二十一，即不及故舍之分。以一万七千八百六十除之，得经月不及故舍二十九度，不尽九千四百八十一，即以命分。
周髀算经卷下之二钦定四库全书周髀算经卷下之三汉 赵君卿 注周 甄鸾 重述唐 李淳风 注释冬至昼极短日出辰而入申如上日之分入何宿？法分十二辰于地，所图之周舍相去三十度一十六分度之七，子午居南北，卯酉居东西，日出入时立一游仪以望，中央表之晷，游仪之下即日出入。
阳照三不覆九阳，日也，覆犹徧也，照三者，南，三辰，已、午、未。
东西相当正南方日出入相当不覆正辰正南方夏至，昼极长。日出寅，而入戌。阳照九，不覆三。不覆三者，北方三辰，亥子丑，冬至日出入之三辰，属昼昼夜互见，是出入三辰分为昼夜各半，明矣。攷《灵曜》曰：分周天为三十六顷【案：顷，各本讹作「头」，下同。据《隋书·天文志》梁大同十年改周一百八刻，依《尚书》攷《灵曜》昼夜三十六顷之数，因而三之，可证字当为「顷」，所谓「顷刻」是也，今并改正】顷有一十度九十六分度之十四，长日分于寅行二十四顷入于戌行，一十二顷短日分于辰行，一十二顷入子申行二十四顷之谓也。
东西相当正北方出入相当不覆三辰为北方日出左而入右南方行圣人南靣而治天下，故以东为左，西为右。日冬至从南而北，夏至从北而南。故冬至，从坎，阳在子，日出巽而入坤，见日光少，故曰寒。冬至，十一月，斗建子位，在北方，故曰从坎。坎亦北也，阳气所始起，故曰在子。巽东西，坤西南，坤见少，晷阳照三，不覆九也。夏至，从离隂在午。日出艮，而入干。见日光多，故曰暑。夏至五月，斗建午位在南方，故曰离。离亦南也。隂气始生，故曰在午。艮东北，干西北。日见多，晷阳照九不覆三也。
日月失度而寒暑相奸考灵曜》曰：「在璇玑玉衡以齐七政。璇玑未中而星中，是急；急则日过其度，不及其宿。璇玑玉衡中而星未中，是舒；舒则日不及其度，夜月过其宿。璇玑中而星中，是周；周则风▯时。风▯时则草木蕃庶，而百谷熟。故书曰：『急常寒若，舒常燠若。』急舒不调，是失度；寒暑不时，即相奸。」
往者诎来者信也故诎信相感从夏至南往，日益短，故曰诎。从冬至北来，日益长，故曰信。言来往相推，诎信相感，更衰代盛，此天之常道。《易》曰：「日往则月来，月往则日来，月相推，推而明生焉。寒往则暑来，暑往则寒来，寒暑相推而嵗成焉。往者诎也，来者信也，诎信相感而利生焉。」此之谓也。故冬至后，后日右行；夏至之后，日左行。左者往，右者来。冬至日出从辰来北，故曰右行；夏至日出从寅往南，故曰左行。
故月与日合为一月从合至合则为一月日复日为一日从旦至旦则为一日也日复星为一嵗冬至日，出在牵牛。从牵牛，周牵牛，则为一嵗也。
外衡冬至日在牵牛内衡夏至日在东井六气复返皆谓中气中气，月中也。言日月往来，中气各六。传曰：“先王之正时，履端于始，举正于中，归余于终。”谓中气也。
隂阳之数日月之法谓隂阳之度数日月之法十九为为一章章条也，言闰余尽为法。章条也，乾象曰：「辰为嵗中，以御朔之月而纳焉。」朔为章中，除朔为章月，月差为闰。臣鸾曰：「嵗中除章中为章嵗。」求余法，置中气相去三十日十六分日之七，通分内子，得四百八十七。又置从朔至朔一月之日二十九九百四十分日之四百九十九，通之得二万七千七百五十九。二者法异，当同之者，以中气分母得六，乘朔分得四十四万四千一百四十四，变为中气积分也。以朔分母九百四十乘中气分，得四十五万七千七百八十，为朔日积分。以少减多，求等数平之，得一千九百四十八为法，除中气积得二百二十八，即章中也。更以一千九百四十八除朔积分，得二百三十五，即章月也。章月与章中差七，即一章之闰。更置二百二十八，以嵗中一十二除之，得一十九，为章嵗也。更置章月二百三十五，以章嵗一十九除之，得一十五月一十九分月之七，即一年之月也。
四章为一蔀七十六嵗为蔀之言，齐同日月之分为一蔀也。一嵗之月，十二月一十九分月之七，通分内子得二百三十五。一嵗之日，三百六十五日四分日之一，通之得一千四百六十一。分母不同，则子不齐，当互乘之，以齐同之者，以日分母四乘月分，得九百四十，即一蔀之月。以月分母一十九乘日分，得二万七千七百五十九，即一蔀之日。以日月分母相乘，得七十六，得一蔀之嵗。以一嵗之月除蔀月，得七十六嵗。又以一嵗之日除蔀日，亦得七十六嵗矣【案嵗字各本讹在矣字下，今改正】月余既终，日分又尽，众残齐合，羣数毕满，故谓之蔀。臣鸾曰：求蔀法，列章嵗一十九，以四乘之，得一蔀七十六嵗。求一蔀之月，法一十二月一十九分，月之七，通分内子，得二百三十五，即月分也。更列一嵗三百六十五日四分日之一，通分内子，得一千四百六十一，以日分母四乘月分，得九百四十，即一蔀之月。以月分母一十九乘日分，得二万七千七百五十九，即一蔀之日。以日分母四乘月分母一十九，得七十六，即一蔀之嵗。更以月分母一十九乘蔀月九百四十，得一万七千八百六十为寔，以十二月一十九分月之七通分内子，得二百三十五为法，以除实，得七十六，亦以蔀之嵗也。更列一蔀之日二万七千七百五十九，以分母四乘之，得一十一万一千三十六为寔，以周天分千四百六十一除之，得一蔀之嵗七十六也。二十蔀为一遂，遂千五百二十嵗。遂者竟也。言五行之得一终竟极。日月辰终也。干凿度曰：至徳之数，先立金木水火土五，凡各三百四嵗。五徳运行，日月开辟。甲子为蔀首，七十六嵗，次得癸夘蔀，十六嵗，次壬午蔀，七十六嵗，次辛酉蔀，七十六嵗，凡三百四嵗，木徳也，主春生。次庚子蔀，七十六嵗，次己夘蔀，七十六嵗，次戊午蔀，七十六嵗，次丁酉蔀，七十六嵗，凡三百四嵗，金徳也，主秋成。次丙子蔀，七十六嵗，次乙夘蔀，七十六嵗，次甲午蔀，七十六嵗，次癸酉蔀，七十六嵗，凡三百四嵗，火徳也，主夏长。次壬子蔀，七十六嵗，次辛卯蔀，七十六嵗，次庚午蔀，七十六嵗，次己酉蔀，七十六嵗，凡三百四嵗，水徳也，主冬藏。次戊子蔀，七十六嵗，次丁夘蔀，七十六嵗，次丙午蔀，七十六嵗，次乙酉蔀，七十六嵗，凡三百四嵗，土徳也，主致飬。其得四正少字午夘酉而朝四时焉。凡一千五百二十嵗终一纪，复甲子，故谓之遂也。求五徳日名之法，置一蔀者七十六嵗，得四蔀，因而四之，为三百四嵗。以一嵗三百六十五日四分日之一乘之，为一十一万一千三十六，以六十去之余三十六，命甲子算外，得庚子金徳也。求次徳加三十六去之，命如前，则次徳日也。求算部名，置一章嵗数，以周天分乘之，得二万七千七百五十九，以六十六之余三十九，命以甲子算外，得癸夘蔀。求蔀加三十九，满六十去之，命如前，得次蔀。臣鸾曰：「求遂法，列一蔀七十六嵗，以二十乘之，得一千五百二十嵗，即以遂之嵗求五徳金木水火土。法列一蔀七十六嵗，以周天分千四百六十一乘之，得一十一万一千三十六，即以六十除之，余三十六，命从甲子算外，得庚子，凡三百四嵗，主秋成，金徳也。加三十六得七十二，以六十除之，余一十二，命从甲子算外，得丙子，凡四百四嵗，火徳主夏长。次放此求蔀名。列一章一十九嵗，以周天分一千四百六十一嵗乘之，得二万七千七百五十九，以六十去之，余三十九，命从甲子算外，得癸夘。蔀七十六嵗，复加三十九，亦六十去之，余一十八，命亦起甲子算外，次得壬午蔀。次放此至甲子即止之。」三遂为一首，首四千五百六十嵗。首始也，言日月五集，终而复始也。《考灵曜》曰：日月首甲子冬至，日月五星俱起牵牛初，日月若合璧，五星如联珠。青龙甲寅，摄提格，并四千五百六十嵗积，及初故谓首也。臣鸾曰：「求一首法，列遂一千五百二十嵗，三之得一首，四千五百六十嵗也。」七首为一极，极三万一千九百二十嵗，生数皆终，万物得始。极，终也。言日月星辰▯望晦朔，寒暑推移，万物生育，皆复始，故谓之极。臣鸾曰：「求极法，先列一首四千五百六十，以七乘之，得一极三万一千九百二十嵗也。」
天以更元作纪厯元始作为七纪，法天数更，始复为法，述之。何以知天三百六十五度四分度之一而日行一度【案：日各本讹作已，今改正】而月后天十三度十九分度之七，二十九日九百四十分日之四百九十九为一月，十二月十九分月之七为一嵗。非《周髀》本文，盖人问师之辞，其欲知度之所分，法术之所生耳。
周天除之除积后天分得一周即弃之其不足除者，如合朔。古者，包牺、神农制作，为厯度元之始，见三光未如其则。
三光日月星则法也日月列星未有分度列星之初【案：列各本讹作则，今改正】列，谓二十八宿也。日主昼，月主夜，昼夜为一日，日月俱起，建星。建六星在斗上也。日月起建星，谓十一月朔旦冬至日也。为厯术者，度者牵牛前五度，则建星其近也。
月度疾日度迟度日月所行之度也日月相逐于二十九日、三十日间。
而日行天二十九度余如九百四十分日之四百九十九。
未有定分未知余分定防何也于是三百六十五日，南极影长，明日反短，以嵗终日影反长，知之。三百六十五日者三，三百六十六日者一，影四嵗而后知差一日，是为四嵗共一日，故嵗得四分日之一。故知一嵗三百六十五日四分日之一，嵗终也。月积后天十三周又与百三十四度余。经嵗月后，天之周及度求之余者，未知也。言欲求之也。无虑后天十三度十九分度之七，未有定。无虑者，粗计也。此己得月后天数而言，未有者，求之意，未有见，故也。于是日行天七十六周，月行天千一十六周，及合于建星。月行一月，则行过一周，而与日合。七十六嵗九百四十周，天所过复九百四十日，七十六周并之，得一千一十六，为一月后天率分尽度终，复还及初也。臣鸾曰：求于是日行天七十六周，月行天干一十六周【案月各本讹作日，今改正】及合于建星法，以九百四十周并七十六周，得一千一十六周，则日月气朔合于建星。置月行后天之数，以日后天之数除之，得十三度十九分度之七，则月一日行天之度。以日度行率除月行率，一日得月度防？何置月行率一千一十六为寔，日行率七十六为法，寔如法而一，法及余分皆四约之，与乾象同归而殊涂，义等而法异也。
复置七十六嵗之积月置章嵗之月二百三十五，以四乘之，得九百四十，则蔀之积月也。以七十六嵗除之，得十二月十九分月之七，则一嵗之月。亦以四约法，除分蔀嵗，除月与章嵗，除章月同也。置周天度数，以十二月十九分月之七除之，得二十九日九百四十分日之四百九十九，则一月日之数，通周天分，分日之一为千四百六十一，通十二月十九分月之七为二百三十五，分母不同，则子不齐，当互乘以同齐之，以十九乘千四百六十一为二万七千七百五十九，以四乘二百三十五为九百四十，及以除之，则月与日合之数。臣鸾曰：求日行一度，法还置前一千一十六，以七十六嵗除之，得十三度，不尽二十八。以求等平于四，以四约余，得七十分，得一十九，是一十三度一十九分度之七。更列一章嵗积月二百三十五，以周天分母四乘之，即一蔀月九百四十。亦以七十六嵗除之，得一嵗之一十二月一十九分月之七。余分及法，并以四约，更通周天，得千四百六十一。复通一十二月一十九分月之七，得二百三十五。分母不同，互乘之，以月分母一十九乘日分，得二万七千七百五十九。以日分母四乘月分，得九百四十。除寔二万七千七百五十九，得二十九日九百四十分日之四百九十九，而月与日合。此其数也。
周髀算经巻下之三钦定四库全书周髀算经音义唐 李籍 撰周髀序周髀》歩米切。《周髀算经》者，以九数、句股、重差算日月周天行度逺近之数，皆得于股表，卽推歩盖天之法也。髀者，股也。以表为股，周天厯度本包牺氏立法，其传自周公，受之于大夫商髙，周人志之，故曰《周髀》。赵君卿撰。《雏免切》述也。君卿，赵爽字也。不详何代人。恢，苦囘切。大也。
廓落 上枯郭切下厯各切晷仪 居洧切日影也度量 上达各切下录章切探赜。上吐南切，卞士革切。赜者，含蓄；含蓄者，探之可及。故《易》曰：探赜。索隐「上，色白切；下，于谨切。」隠者，隠匿。隠匿者，索之可得，故曰索隠。
诡异 古委切庄子曰恢诡谲异浑天胡昆切。浑天者，言天地之体，状如鸟卯。天包地外，犹殻之褁黄也。周旋无端，其形浑浑然，故曰浑天。史官▯台所用铜仪，则其法也。立八尺圎体，具天地之形，以正黄道，占察发敛，以行日月，以歩五纬。精防深妙，百代不易之道也。官有其器，而无其书。盖天，居大切益之之説，即周髀是也。其言天似盖笠，地似覆槃，天地各中髙外下。北极之下为天地之中，其地最髙，而滂沱四溃，三光隠映，以为昼夜。天中髙于外衡，冬至日之所在六万里。北极下地髙于外衡下地，亦六万里。外衡髙于北极下地二万里。天地隆髙相从，日去地常八万里。日丽天而平转，分夏冬之间，日前行道为七衡六间。每衡周径里数，各依算术，用句股重差推晷影极防，以为逺近之数，皆得于表股者也。故曰周髀。又周髀家云：天圎如张盖，地方如棊局。天防转如推磨而左行，日月右行，随天左转，故日月实东行而天牵之以西没。譬之于蚁行磨石之上，磨左旋而蚁右去，磨疾而蚁迟，故不得不随磨以左回焉。天形南髙而北下，日出髙故见，日入下故不见。天下之形如倚盖，故极在人北，是其证也。极在天中，而今在人北，所以知天之形如倚盖也。灵宪》许建切，《灵宪》张衡所述，其説故曰浑天。重仞，上直龙切，下音刃。八尺曰仞。
奥 于到切迥 户顶切逺也周髀卷上甄鸾。上之人切。下厯官切。甄鸾。北周司▯校尉。重述。上直龙切。下时律切。赵爽既加注释。甄鸾又从而发明。故曰重述。
善数 色具切数算也包牺 上蒲交切下虚宜切厯度 徒个切而度 大各切量也勾股圎方圗「勾，古侯切；股，公土切。」圗径一，而周三；方径一，而帀四。伸圎之周而为勾，展方之帀而为股。共结一角，而邪适五。乃圎方邪径相通之率也。勾股圎方图，盖以此设。学者观之，思过半矣。
▯ 胡田切共结一角也率 朔律切数相与也又音律竒耦 上居宜切下乌口切矩 俱▯切折 之列切更相 上古衡切下息羊切共盘 上渠用切下蒲官切昏垫，都念切，下也。书曰：「下民昏垫。」
并 畀政切勾股之差，楚佳切，不齐也。勾股之差，其数差一，谓勾三股四也。
量均 力仗切为袤 莫候切长也偃矩，覆矩。偃，于宪切，仰也。覆，敷目切，俯也。矩，表也。仰表，所以望髙；俯表，所以测表。
方属地 殊玉切下同滂沱 上普郎切下唐何切四隤 徒回切列星之宿，思救切，二十八宿之度也。《礼记·月令》：“宿离不成，是也。”不省。息井切。省，寤也。不省，言不寤也。犹言不敏也。累思。鲁水切。
累重也 ▯龙切才单 徳寒切单尽也驰思 相吏切虑也捕影 蒲故切索也掩日 衣检切覆也表间 古闲切隆杀 所介切薄地 补各切廹也姜岌 逆及切晋人也交趾「音止」，郡名也。去洛阳一万一千里。
路迂 云俱切逺也颍川 庾顷切郡名祖冲之，持中切，冲之，宋南徐州从事史，撰《缀术》五卷。秣陵，音末，郡名。信都芳，并如字，善算者也。撰《器准》三卷。
虞▯ 苦郭切梁太史令日髙圗。并如字。日髙圗者，求日髙之法也。求日髙法，先置表八尺，如八万里为袤，以两表相去二千里为广。广袤相乘，得一亿六千万里，为黄甲之实。以影差二寸为二千里为法，除之，得黄乙之袤八万里，即上与日齐。此设圗之意也。
黄甲 古狎切两表相去名曰甲黄乙，亿栗切。日，底地上至日，名曰乙。
青丙 补永切上天名青丙青戊 莫▯切下地名青戊极者，竭忆切切诸言。极者，斥天中极，去周十万三千里，奄衣检切，覆也。
九隩 于到切土可居也靡地 母被切无也斥 昌石切指也縁宿 息救切二十八宿也蚀，乘力切。日月亏曰蚀，稍小侵亏，如虫食草木之叶也。
适至 施直切恰也发敛 力冉切发往敛还也璇玑 上音旋下音机逮 音迨及也有竒，居宜切，数之余也。易曰：「归奇于扐。」冬至、夏至，观律之数，听钟之音。律吕，戌切；听，陀定切。此谓冬、夏二至，合八能之士，以观律之数，而听钟音之清浊也。《晋律厯志》曰：「隂阳和，则景至；律气应，则灰除。是故天子常以冬、夏至日，御前殿，合八能之士，陈八音，听乐均，度晷影，▯钟律，权土灰，效隂阳。冬至，阳气应，则灰除。是故乐均清，影长极，黄钟通，土炭轻而衡仰；夏至，隂气应，则乐均浊，影极蕤賔通，土炭炭重而衡低。进退于先后五日之中，八能各以候状闻太史令，封上。效则和，否则占。」七衡圗》何庚切。七衡者，七规者，谓规为衡者，取其衡运则生规。规者，正圎之谓也。内一衡，径二十三万八千里；次二衡，径二十七万七千六百六十六里二百歩；次三衡，径三十一万七千三百三十三里一百歩；次四衡，径三十五万七千里；次五衡，径三十九万六千六百六十六里二百歩；次六衡，径四十三万六千三百三十三里一百歩；次七衡，径四十七万六千里。即其径而三之，则各得其周也。凡日月运行之圎周，七衡周而六间。一衡之间，万九千八百三十三里一百歩。以六衡乘之，即夏至冬至相去十一万九千里也。
青圗画者 胡卦切界也俗作画合际 上胡阁切下子例切常处 昌据切所也躔 呈延切次也卯酉，上莫饱切，下以久切，皆辰名也。卯，正东也；酉，正西也。牵牛，上轻烟切，下如字。牵牛，北方宿也。冬至日，在牵牛。娄，卢侯切。娄，西方宿也。春分，日在娄。东井，子郢切，南方宿也。夏至日在东井。角，记岳切。东方宿也。秋分，日在角。
用缯 慈陵切帛也吕氏，两举切。吕氏者，吕氏春秋也。吕不韦为秦相国，集当世儒世，使着所闻，为十二纪，八览，六论，合十余万言，备古今之事，名为《吕氏春秋》。四海「呼改切」。《吕氏春秋》曰：「凡四海之内，东西二万八千里，南北二万六千里。」《尔雅》云：「九▯、八狄、七戎、六蛮，谓之四海。」言东西南北之数者，将明车辙马迹之所至。《河圗括地象》亦云里数，而有君长之州九阻，中国之文徳及而不治。又云：「八极之广，东西二亿二万三千五百里，南北二亿三万三千五百里。」《淮南子·地形》：「至于南极而数皆然。」河圗括地象，括音聒。河圗括地象，纬书名也。淮南子》并如字，汉淮南王安所着之书也。
大章 音防人名六间 古闲切两衡相去之间也六间 古闲切两衡相去之间也粗通 徂五切畧也放此 甫两切效也下同周髀卷下四和，戸戈切。调也。四和者，谓之极。子午卯酉，得东西南北之中。天地之所合，四时之所交，风雨之所防，隂阳之所和。然则百物阜安，草木蕃庶。故曰四和。
阜安 房缶切盛也蕃庶 符袁切茂也易处 夷益切交也葢笠 上居大切下音立覆槃 上方六切下蒲官切离地 力智切去也障蔽，上之亮切，隔也；下必袂切，奄也。日，兆月。直绍切。日者，阳之精，譬犹火光；月者，隂之精，譬犹水光。月含影，故月光生于日之所照，魄生于日之所蔽。当日则光盈，就日则明尽。月禀日光而成形，兆故云日兆月也。魄匹陌切月之明消也《康诰》曰惟三月哉生魄孔安国曰三月始生魄月十六日明消而魄生扬子曰旣望则终魄于东亦此意也行列 胡刚切极枢，春朱切尔雅曰：枢谓之枨。郭璞云：门戸扉枢也。此言极枢者，取其居中而临制四方也。
绳系 古诣切结也表颠 多年切顶也中折 之列切屈也漏卢侯切。漏以铜受水，刻节尽夜，百刻晷漏。中星略例曰：日行有南北，晷漏有长短。然二十四气晷差迟疾不同，勾股使然也。直规中则差迟，与勾股数齐则差极。随辰极髙下所遇不同，如黄道刻漏。此乃数之浅者，近代且犹未晓。今推黄道去极与晷影漏刻昏。距中星四术，而反覆相求，消息同率，旋相为中，以合九股之变。
揆度 上巨癸切下大各切释 施只切散也朝生 陟遥切旦也暮获 胡麦切获 胡郭切收也葶苈 上音亭下音厯荠麦 在礼切正钩 上音政下音钩无令 离呈切使也纤微 思亷切细也督 音笃察也分度 徒固切数也经，纬。上，坚丁切。下，于贵切。南北为经，东西为纬。圎，定正。音，政。
则复 扶复切又也须女 如字星名也逰仪，如字。逰仪所以望星也。贞观中，李淳风造四逰仪。元枢为轴，以连结玉衡逰筩，而贯约规矩。又元枢北立北辰，南距地轴，防转于内。玉衡在元枢之间，而南北逰仰，以观天之辰宿，下以识器之晷度。开元九年，率府兵曹参军梁令瓒以木为逰仪。一行是之，乃奏黄道逰仪。古有其术而无其器，昔人潜思未能得。令令瓒所为，日道月交皆自然契合于推歩尤要，请旨更铸以铜。十年仪成。车辐，方六切，所以实轮而凑毂者也。以圎度为辐，为毂，古禄切，所以受辐也。以经纬之交为毂。
二十八宿 息救切副置，敷救切，别也；别置，算也，下同。
地协 檄颊切合也相应 于证切参正 上仓含切下音政八节竝如字。二至者，寒暑之极；二分者，隂阳之和；四立者，生长收蔵之始。是为八节。二十四气，竝如字。一嵗凡八节，节三气，三而八之，故为二十四气。气损益九寸九分六分分之一，竝如字，损者减也，破一分为六分，然后减之；益者加也，加以小分，满六分得一，从分。冬至，「并如字」，至极也。冬至，夏至，寒暑之极。惊蛰直立切蔵也《易》曰龙蛇之蛰以存身也《左氏传》曰启蛰而郊春分。府文切。分之言中也。春分为阳之中，秋分为隂之中。
▯种 上莫郎切下之用切处暑 昌据切所也时舎 音舍不用也虚诞 音但谩也一槩 古代切矛盾。上，莫浮切；下，食闰切。矛，所以句；盾，所以蔽。器不同，不相为用。凡言矛盾者，况其所趣异也。后天，竝如字。月后天者，月东行者也。此见日月与天俱西南逰，一日一夜，天一周，而月在昨夜之东，故曰后天。故舎「式夜切」。舎谓二十八宿之舎也。积后天，资昔切。以月后天分看小嵗积分，则积后天分也。大嵗，徒盖切。大嵗者，十三月为一嵗。经嵗，坚丁切，经常也。经嵗者，通十二月，十九分之七小月，并如字。小月者，二十九日为一月。大月「徒盖切」，大月者，三十日为一月。经月，坚丁切。经月者，以十九乘周天分，则经月之积合朔。上，曷阁切；下，色角切。
覆九 敷救切盖也下同当 音珰正南方 音政三十六顷，并如字攷。《灵曜》曰：「分周天为三十六顷顷有十度九十六分之十四。长日分于寅，分二十四顷入于戌。行十二顷短日分于辰，行十二顷入于申，行二十四顷此之谓也。」
坎 苦感切正北方之卦也巽 苏困切东南隅之卦也坤 苦昆切西南隅之卦也离 吕支切正南方之卦也艮 古恨切东北隅之卦也干 渠焉切西北隅之卦也章，止良切。章，条也。十九嵗为一章，言余闰尽为厯法章条也。蔀，薄口切。蔀之言齐同日月之分也，而又众残齐合羣数毕满，故谓之蔀。四章为一蔀，凡七十六嵗也。遂，徐醉切。遂者，终也。言五行之徳，一终尽极。日月长终也。二十蔀为一遂，凡千五言二十嵗。首始九切。首，始也。言日月五星终而复始也。三遂为一首，凡四千五首，六十嵗也。极，如字，终也。言日月星辰▯望晦朔，寒暑推移，万物生育，终而复始，故谓之极。七首为一极，凡三万一千九百二十嵗也。干凿度，徒固切。《干凿度》易纬书也。
周髀算经音义