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钦定四库全书　　　　　子部六圜容较义》天文算法类一【推步之属】提要【臣】等谨案《圜容较义》一卷，明李之藻撰，亦利玛窦之所授也。前有万厯甲寅之藻自序，称「凡厥有形，惟圜为大；有形所受，惟圜至多。浑圜之体难名，而平面之形易析。试取同周一形，以相叅考：等边之形，必距于不等边形；多边之形，必距于少边之形。最多边者，圜也；最等边者，亦圜也。析之则分杪不亿，是知多边聨之则圭角全无，是知等边不多边，等边则必不成圆，惟多边等边故圜容最钜。昔从邢公研穷天体，因论圜容，拈出一义，次为五界十八题，借平面以推立圜，设角形以徴浑体」云云。盖形有全体，视为一面，从其一面例其全体，故曰「借平面以测立圜」。面必有界，界为线为边，两线相支必有角。析圜形则各为角，合角形则共成圜，故曰「设角以徴浑体」。其书虽明圜容之义，而各面各体比例之义胥于是见，且次第相生于《周髀》「圆出于方，方出于矩」之义，亦多足发明焉。乾隆四十六年十二月恭校上。总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总　校　官【臣】陆　费　墀圜容较义序自造物主以大圜天包小圜地，而万形万象错落其中，亲上亲下，肖呈圜体。大则日躔月离轨度，所以循环；细则▯防雪花，润泽旉于涓滴。人文则有旋中规而坐抱鼓，况颅骨目瞳耳窍之浑成。物宜则有谷孕实而核含仁，暨鸢翔鱼泳虵蟠之咸若。胎生卵育，混沌合其最初，葩发苞藏，团栾于焉保合。俯视沤浮水面，仰观晕合天心。▯风滃乎苹端，湛露擎于荷葢。砂倾活永，任分合以成颗。鲛泣明珠，撒柈杆而竞走。无情者飞蓬转石，斡运总属天机。有情若鼄网虫窠，经营自凭意匠。若乃灵心濬发，尤多规运成能。壁水明堂，居中而宣政敎。六花八阵，周衞而运正奇。乐部在悬箫鼓，共圜钟迭奏。轺车欲驾轮辕，贯枢轴其旋戏塲。有蹴鞠弹棊雅事，对莆团莲漏，忽然一啑，成如珠如雾之谈奇谩説。恒沙满三千大千之国土。至于火炎鋭上，试逺瞩而一防圆光。水积纡回，指寥天而两缝规合。葢天籁地籁人籁，声声触窍，皆圜如象。官象事象物，粒粒浮空有烂。所以龟畴蓍防，用九之妙无穷。羲画文重，围圜之图不改。草▯翁之三数，安乐窝之一丸。先天后天，此物此志云尔。凡厥有形，惟圜为大。有形所受，惟圜最多。夫浑圜之体，难明而平面之形，易晰。试取同周一形，以相参考。等边之形，必钜于不等边形。多边之形，必钜于少边之形。最多边者，圜也。最等边者，亦圜也。析之则分秒不亿，是知多边聨之则圭角全无。是知等边不多边，等边则必不成圜。惟多边等边故圜容最钜。若论立圜浑成一面，则夫至圜何有周边？周边尚莫能窥，容积奚复可量？所以造物主之化成天地也，令全覆全载，则不得不从其圜。而万物之赋形天地也，其成大成小，亦莫不铸形于圜。即细物可推大物，即物物可推不物之物。天圜地圜，自然必然，何复疑乎？第儒者不究其所以。然而异学顾恣诞于必不然，则有设两小儿之争，以为车葢近而盘盂逺，沧凉逺而探汤近者，不知二曜附丽于乾元将旦午之近逺，畴异气行周绕于地域，其厚薄以斜直殊观，初▯暎气，故晖散影巨，而炎旭应防亭午笼虚，则障薄光澄而曝射当烈。又有造四大洲之诳，以为日月绕须弥为昼夜，地形较纵广于由旬者，试问须弥何物，凌日与月而亏天，且纵广奚稽？乃狭与弯之变相，积由旬至亿千万，则地径有度，金轮岂厚载所容？统忉利谓三十三，则象纬正圜，诸天之棊絫可怪。且夫极辨者，方圜之体，若白黒一二之难欺；最精者，方圜之度，当防渺毫茫之必析。冲虚撰模棱而侮圣，释氏骋荒忽以诬民，彼曽不识圜形，恶足与窥乾象？夫寰穹邈矣，岂排空驭气可以纵观？乃道理跃如，若指掌按图，无难坐得。昔从利公研穷天体，因论圜容，拈出一义，次为五界十八题，借平面以推立圜，设角形以征浑体，探原循委，辨解九连之环，举一该三。光映万川之月，测圜者测此者也，割圜者割此者也。无当于厯厯稽度数之容，无当于律律穷絫黍之容。存是论也，庸谓迂乎？译旬日而成编，名曰《圜容较义》，杀青杀竟，被命守澶时戊申十一月也。柱史毕公梓之京邸，近反人汪孟朴氏因校算指，重付剞劂以公同志，匪徒广略异闻，实亦阐着实理。其于表里祘术推演，防何合而观之？抑亦解▯诗之颐者也。

圜容较义序钦定四库全书圜容较义明　李之藻　撰万形有全体，目视惟一面，即面可以推全体也。面从界显，界从线结，总曰边线。边线之最少者为三边形，多者四边、五边，乃至千万亿边，不可数尽也。三边形等度者，其容积固大于三边形不等度者；四边以上亦然而，四边形容积恒大于三边形，多边形容积恒大于少边形，恒以周线相等者验之。边之多者莫如浑圜之体，浑圜者多边等边。试以周天度剖之，则三百六十邉等也；又剖度为分，则二万一千六百边等也，乃至秒忽毫厘，不可胜算。凡形愈多边，则愈大，故造物者天也，象天者圜也。圜故无不容，无不容所以为天，试论其槩凡两形外周等，则多边形容积恒大于少边形容积。假如有甲乙丙三角形，其边最少，就底线乙丙两平分于丁，作甲丁线，其甲乙、甲丙两腰等，丁乙、丁丙又等，甲丁丙角、甲丁乙角皆等，则甲丁线为乙丙之垂线【几何原本》一卷八】次作甲戊丙丁直角形，而甲戊与丁丙平行，戊丙与甲丁平行，视前形增一角者【一卷四又三十六】既甲丁丙甲丁乙两形等，而甲丙戊与甲丁乙亦等【一卷三十四】则甲丁丙戊方形与甲乙丙三角形自相等矣。以周论之，其甲戊、戊丙、丙丁、甲丁四边皆与乙丁相等，甲丙边为▯，其线稍长。试引丙戊至已，引丁甲至庚，皆与甲丙、甲丁线等，而作庚丁己丙形与甲乙丙三角形同周，则赢一甲庚己戊形。故知四边形与三边形等周者，四边形容积必大于三边形。凡同周四直角形，其等边者所容大于不等边者。假有直角形，等边者，每边六，共二十四，其中积三十六。另有直角形，不等边者，两边数十，两边数二，其周亦二十四，与前形等周，而其边不等，故中积只二十。又设直角形，其两边各九，其两边各三，亦与前形同周，而中积二十七。又设一形，两边各八，两边各四，亦与前同周，而中积三十二。或设以两边为七，以两边为五，亦与前同周，而中积三十五。是知边度渐相等，则容积固渐多也。试作直角长方形，令中积三十六。同前形之积，然周得三十，与前周。二十四者，逈异令，以此周作四边等形，则中积必大于前形。凡同周四角形，其等边等角者所容大于不等边等角者。设甲乙丙丁不等角形，从丙丁各作垂线。又设引甲乙至己，作戊丙己丁四角相等形【一卷三十五】与不等角形同底原相等【一卷十九又三十四】甲乙亦同戊己，而乙丁及甲丙线则赢于己丁戊丙线，是甲乙丙丁之周大于戊丙己丁之周。试引丁己至辛，与乙丁等；引丙戊至庚，与甲丙等。而作庚丙辛丁形，则多一庚戊辛己形。因显四等角形大于不等角形。以上四则，见方形大于长形，而多边形更大于少边形，则圜形更大于多边形，此其大略。若详论之，则另立五界说及诸形十八论于左。

第一界等周形　谓两形之周大小等第二界有法形　谓不拘三边四边及多边但边边相等角，角相等，即为有法。其欹邪不就。

规矩者为无法形第三界求各形心　但从心作圜或形内切圜或形外切圜皆相等者即系圜与形同心第四界求形面　　谓周线内所容人目所见乃形之一面第五界求形体　　如立方立圜三乘四乘诸形乃形之全体第一题凡诸三角形，从底线中分作垂线，与顶齐高，以中分线及高线作矩，内直角方形必与三角形所容等。解曰：有甲乙丙三角形，平分乙丙于丁，于庚作垂线至甲，至辛作甲丁、己丙及辛庚、己丙直角。题言：直角与三角形等。先论曰：甲乙丙三角形，平分乙丙于丁，作甲丁线。次从甲作戊己线，与乙丙平行，又作己丙、戊乙二线，成直角形。此直角倍大于甲丁丙己形，亦倍大于甲乙丙角形【一卷四十一】故甲乙丙三角形与甲丁丙己形等【一卷三十六】次论曰：「作甲丁垂线，而第二图丁非甲乙之平分，第三图甲在方形之外，皆从甲作戊己线，引长之与乙丙平行，成戊己丙乙方形，及甲己丙丁方形，而各以丙乙平分于庚，作庚辛垂线，视甲丁为平行，亦相等【一卷三十四】其戊己丙乙倍大。于辛庚丙己，亦即倍大于三角形？何者？以辛庚丙己长方形，分三角形底线半故【一卷三十六】

第二题凡有法六角等形，自中心到其一边之半径线作直角形线，其半径线及以形之半周线舒作直线为矩，内直角长方形亦与有法形所容等。解曰：有甲、乙、丙、丁、戊、己，有法形其心。庚自庚至甲、乙作直。角线为庚辛，另作壬癸线与庚辛。等作癸子与甲乙丙丁线等，即半。周线也，题言：壬癸子丑，直角形与？

甲乙丙丁戊己形之所容等论曰：「自庚到各角，皆作直线，皆分。」作三角形，皆相等【一卷八】其甲乙庚。三角形与甲辛、辛庚二线所作矩。内直角形等【以甲辛分甲乙之半故本篇一题】若以甲乙丙丁半形之周线为癸子。线以与壬癸线共作矩内直角形。即与有法全形等，葢此半边三个。三角形，照甲乙庚形，作分中垂线。其矩线内直角形俱倍本三角形。

故第三题凡有法直线形与直角三邉形并设直角形傍二线一长一短，其短线与有法形半径线等，其长线与有法形周线等，则有法形与三邉形正等。解曰：甲乙丙有法形，其心丁，从丁望甲乙作垂线，又有丁戊己直角形，其边丁戊与法形丁戊有等，其戊己线又与甲乙丙之周线等。题言丁戊己三角之体与甲乙丙全形等。论曰：「试作丁、戊、己、庚直角形，两平。」分于壬辛，作直线与丁戊平行，则丁、戊、辛、壬直角形与甲、乙、丙形相等【本篇二题】何者？戊辛线得甲乙丙之？半周而又在丁戊矩内，即与有法。形全体等故也，其丁戊己三角形。与丁、戊、壬、辛直角形等，则丁、戊、巳。

三角形与甲乙丙全形亦等第四题凡圜取半径线及半周线作矩内直角形，其体等。解曰：有甲乙丙圜，其半径为丁乙。又有丁、乙、戊、巳直角形，两丁乙等。之半圜线与戊乙等，题言甲乙丙。所容与丁、乙、戊、巳直角形所容等。论曰：「试以乙戊引长到庚，令庚戊。」与乙戊等，则乙庚与圜周全等次。从丁望庚作直线，既丁乙庚三角形之地与全圜地相等【在圜书一题】而丁乙戊巳又与丁乙庚三角形等【本篇四又一卷四十注】则丁乙戊巳自与全圜体等第五题凡直角三边形，任将一锐角于对边作一直线，分之。其对边线之全，与近直角之分之比例，大于全锐角与所分内锐角之比例。解曰：有甲乙丙直角三边形，丙为直角，从甲锐角望所对丙乙边，任作甲丁线。题言：丙乙线与丙丁线之比例，大于乙甲丙角与丁甲丙角之比例。论曰：甲丁线大于甲丙，而小于甲乙【一卷十九】若以甲为心，以丁为界，作半规，必分甲己线于乙之内，而透甲戊线于丙之外，其甲乙丁三角形与甲己丁三角形之比例大于甲丁丙三角形与甲丁戊之比例？何者？一为甲乙丁大形与甲己丁小形比，一为甲丁丙小形与甲丁戊大形比也。则更之，乙甲丁形与丁甲丙形之比例大于己甲丁形与丁甲戊形之比例【五卷二十七】合之则乙甲丙形与丁甲丙形，即是乙丁线与丁丙线之比例【形之比例与底线之比例相等，在六卷】固大于甲己戊形与甲丁戊形之比例。其甲己戊圜分与甲丁戊圜分之比例，原若己甲戊角与丁甲戊角之比例【六卷三十三系】则乙丙线与丁丙线之比例大于乙甲丙角与丁甲丙角之比例也。

第六题凡直线有法，形数端，但周相等者，多边形必大于少边形。解曰：设直线有法形二，为甲乙丙，为丁戊己，其圜周等。

而甲乙丙形之边多于丁戊己【不拘四边六边，虽十边与十一、二边皆同】

此论】题言甲乙丙之体大于丁戊己之体论曰：试于两形外各作一圜，而从心望一边作庚壬，作辛癸两垂线，平分乙丙于壬，分戊己于癸【三卷三】其甲乙丙形多边者，与丁戊己形少边者，外周既等，而以乙丙求周六而徧，以戊己求周四而徧，则乙丙边固小于戊己边，而乙壬半线亦小于戊癸半边矣。兹截癸子与壬乙等，而作辛子线，又作辛戊、辛己及庚丙、庚乙诸线。次第论之，其己丁戊圜内各切线等，即匀分各边俱等，而全形边所倍于戊己一边数，与全圜切分所倍于戊己切分地亦等，则甲乙丙内形全边所倍于乙丙一边，与其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎？其戊己圜切分与戊丁己全圜之切分，若戊辛己角之与全形四直角【六卷三十三题之系】则以平理推之，移戊己边于甲乙丙全边，亦若戊辛己角之于四直角也。而甲乙丙内形周与乙丙一边犹甲乙丙诸切圜与乙丙界之一切圜亦犹四直角之与庚乙丙角也【六卷三十三之二系】则又以平理推戊己与乙丙即戊癸与乙壬而乙壬即是癸子又以平理推而戊辛己角与乙庚丙角亦若戊辛癸之与乙庚壬也【五卷十五】夫戊癸与癸子之比例原大于戊辛癸角与子辛癸角之比例【本篇五】则戊辛癸与乙庚壬之比例大于癸辛戊与癸辛子之比例【五卷十三】而癸辛子角大于壬庚乙角【五卷十】其辛癸子与庚壬乙皆系直角而辛子癸角明小于庚乙壬角【一卷三十二】令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角则其线必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬与乙两角等于丑癸子三角形之癸子两角而乙壬边亦等于子癸边则丑癸线亦等于庚壬线而庚壬实赢于辛癸【一卷二十六】令取庚壬线及甲乙丙半周线作矩内直角形必大于辛癸线及丁戊己半周线所作矩内直角形也【本篇二】然则多邉直线形之所容，岂不大于等周少边直线形之所容乎？

第七题有三角形，其邉不等于一边之上，另作两边等三角形，与先形等周。解曰：有甲乙丙三角形，其甲乙大于丙乙，两边不等，欲于甲丙上另作三角形与甲乙丙周等，两边又等。其法：作丁戊线与甲乙乙丙合线等，两平分于己。甲乙乙丙两边并既大于甲丙边【一卷十】则丁己己戊两边并亦大于甲丙，而丁己己戊甲丙可作三角形矣【一卷三十二】以作甲庚丙，得所求。葢庚甲庚丙自相等，而甲丙同边，则二形之周等，而甲庚丙与甲乙丙为两边等之三角形【此庚防必在甲乙线外，若在甲乙邉上过辛，则辛丙线小于辛乙乙丙合线，即不得同周】

第八题有三角形，二等周等底，其一两边等，其一两边不等，其等边所容必多于不等邉所容。解曰：「有甲乙丙形，其甲乙边大于乙。」丙令于甲，丙上更作甲丁丙三角形。与甲乙丙等周【本篇上】而丁甲丁丙两腰等亦与甲乙、乙丙合线等题言，甲丁丙角形大于甲乙丙。论曰：试引甲丁至戊，令丁戊与丁甲等，亦与丁丙等。又作丁乙、乙戊线。夫甲乙、乙戊合线，既大于甲戊，即大于甲丁、丁丙合线亦大于甲乙乙丙合线。此两率者，令减一甲乙，则乙戊大于乙丙。而丁戊、乙三角形之丁戊、丁乙两边，与丁丙、乙三角形之丁丙、丁乙两边等，其乙戊底大于乙丙底，则戊丁乙角大于丙丁乙角，而戊丁乙角逾戊丁丙角之半【一卷三十二】令别作戊丁己角与丁甲丙角等，则丁己线在丁乙之上，而与甲丙平行【一卷廿八】又令引长丁己与甲乙相遇，而作己丙线聨之，其甲丁丙、甲己丙既在两平行之内，又同底，是三角形相等也【六卷】一】因显甲己丙大于甲乙丙，而甲丁。丙两边等三角形必大于等周之甲。乙丙矣【问：戊丁乙角何以逾戊丁丙角之半？曰：丁甲丙与丁丙甲】【两角等，而戊丁丙为其外角。凡外角必兼两内角，故也】

第九题相似直角三边形，并对直角之两▯线为一直线，以作直角方形。又以两相当之直线四，并二直线各作直角方形，其容等。解曰：有甲乙丙及丁戊己三角形二相似，其乙戊两角为直角，而甲与丁、丙与己角各相等，甲丙与丁己相当，甲乙与丁戊相当。题言：并甲丙丁己为一直线，于上作直角方形，与并甲乙丁戊作直线及并乙丙戊己作直线，各于其上作直角方形，两并。

等论曰：引长丁戊至庚，令戊庚与甲乙同度次。从庚作线与戊己平行，又引丁己长之，令相遇于辛。从己作己壬线与戊庚平行【一卷二十九】则巳壬辛之角形与丁戊巳相似，而丁戊巳与甲乙丙相似矣【一卷三十二】何者？巳壬辛角与庚角等，庚角与丁戊巳角等，己角又与乙角等，而辛角与丁巳戊角及丙角俱等，壬巳辛角与甲角亦等【一卷三十四】又巳壬边与戊庚相等，则亦与甲乙相等，而壬辛与乙丙，巳辛与甲丙俱相等【一卷二十六】故丁辛线兼丁巳甲丙之度，丁庚线兼丁戊甲乙之度，而庚辛亦兼戊巳乙丙之度，庚壬即戊巳也【一卷三十四】然则丁辛上直角方形与丁庚及庚辛上两直角方形并自相等矣第十题有三角形二，其底不等，而腰等，求于两底上另作相似三角形二，而等周，其两腰各自相等。解曰：甲乙丙丁不等两底上，有甲戊乙及丙己丁三角形二。其戊甲、戊乙腰与巳丙、巳丁腰俱相等。若甲乙大于丙丁者，则戊角大于己角【一卷二十五】而两三角形不相似。求于两底上各作三角形相似，而两腰各相等，其周亦等。法曰：作庚辛线，与甲戊、戊乙、丙己、己丁四。线等而分之于壬，令庚壬与壬辛之比例若甲乙与丙丁【六卷十】甲乙既大于丙丁，则庚壬亦大于壬辛。而平分庚壬于癸，平分壬辛于子。庚壬与壬辛既若甲乙与丙丁，则合之而庚辛之视壬辛若甲乙丙丁并之视丙丁矣【五卷一】夫庚辛并既大于甲乙丙丁并【两边必大于一边，在一卷二十】则壬辛大于丙丁，而庚壬大于甲乙也【五卷十四】甲乙、庚癸、癸壬三线，每二线必大于一线；而丙丁、壬子、子辛亦然。令于甲乙上用庚癸、癸壬线作甲丑乙三角形，为两腰等，而其周在甲戊乙形之外【以戊】【甲戊乙得庚辛之半而庚壬之度过之故】于丙丁上用壬子、子辛线作丙寅丁三角形，亦两腰等，而其周在丙己丁之内【己丙、己丁亦得庚壬之半而壬辛之度不及故】，俱一卷二十二】论曰：并甲戊、戊乙、丙己、己丁四线之度，既与并甲丑、丑乙、丙己、己丁四线之度相等，则甲丑乙丙寅丁两形，自与甲戊乙丙己丁两形同周，而其两腰亦自相同。至于两形相似，何也？甲乙与丙丁，若庚壬与壬辛，而减半之庚壬与壬子【五卷十五】又若丑甲与寅丙，丑乙与寅丁也，则更之而甲乙与甲丑，若丙丁与丙寅；而甲丑与丑乙，若丙寅与寅丁。是两形为同边之比例，自相似【六卷五】第十一题。有大小两底，令作相似平腰三角形相并，其所容必大于不相似之两三角形相并，其底同，其周同，又四腰俱同，而不相似形并必小于相似形并。解曰：甲丙、丙戊两底上，设有甲乙丙及丙丁戊两三角形，而甲乙、乙丙、丙丁、丁戊四线俱等。令于两底上依前。题别作甲、己、丙及丙、庚、戊两形相。似而与前两三角形相并者，等周。题言：甲己丙，丙庚戊，并大于甲乙。

丙丙丁戊并论曰：将甲、丙、丙、戊作一直线，而甲。丙底大于丙戊，底乃从已过乙作。己壬线两分甲丙于壬，又从丁过庚作丁辛线两分丙戊于辛。其甲己乙三角形之甲己、己乙两边与乙己丙三角形之己丙、己乙两边等，而甲乙、乙丙两底又等，则甲己乙角与丙己乙角亦等【一卷八】又甲巳壬三角形之甲巳、巳壬两边与丙巳壬三角形之丙巳、巳壬两边等，则甲巳壬角与丙巳壬角等，而甲壬、壬丙之两底亦等【一卷四】壬之左右皆直角，因显丙辛、辛戊亦等，而辛之左右角亦直角矣。次引丁辛至癸，令辛癸与丁辛同度，而从癸过丙作癸丑直线，则丁丙辛三角形之丁辛、辛丙两边与辛癸丙三角形之辛癸、辛丙两边等，而辛之上下角亦等，为直角。丁丙、丙癸两底等，而丁丙辛角与癸丙辛角俱等【一卷四】丁丙辛角既大于庚丙辛角，而庚丙辛角相似与巳丙壬角，即相等【一卷五】而丁丙辛即癸丙辛总大于巳丙壬，其癸丙辛角等于对角之丑丙壬【一卷十五】是丑丙壬亦大于巳丙壬，而引癸丑线当在于丙巳之外也。若夫癸丙、丙乙二线涵癸丙乙角，向壬试作癸乙线以分壬丙于子，而并乙丙、丙癸二线必大于癸乙线【一卷二十】则巳丙、丙庚并亦大于乙癸线，何也？此四形者两两相并，为等周，则甲乙、乙丙、丙丁。丁、戊四线，并与甲、巳、巳、丙、丙、庚、庚。戊四线并原相等而减半之乙丙。丙丁，即乙丙；丙癸与巳丙，丙庚亦。相等，故也。并巳丙丙庚二线为一。直线就其上作直角方形，必大于乙癸线上之直角方形，夫己丙丙庚并之直角方形，与己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并相等【九题】而癸乙上之直角方形，与乙壬并辛丁【即辛癸】上直角方形及壬子子辛上直角方形并又自相等【九题，从子上分两对角，其角等，而壬与辛俱为直角，相似之形，令移置辛癸与乙壬之下，移置壬辛为癸垂线，则乙壬辛癸为股，壬辛为句，乙癸为▯矣】此己壬庚辛线并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并，明大于乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之直角方形并也。此两率者，每减一壬辛上直角方形，则巳壬庚辛共线上之直角方形，大于乙壬丁辛共线上直角方形矣。而己壬庚辛两线并大于乙，壬丁辛两线并矣。此两率。者，令一减乙，壬一减庚，辛则己乙，岂不，大于丁、庚乎？壬、丙原大于丙、辛【以甲丙原大于丙戊，故】则己乙与壬丙矩内直角。形大于丁，庚与辛，丙矩内直角形，而乙己丙三角形为己乙壬丙矩内直角形之半，何者？令从壬丙作垂线，与乙己平行，而以乙己为底，就作直角形，此谓己乙壬丙矩内直角形，其中积倍于己乙丙三角形。反之，则己乙丙角形为己乙壬丙矩形之半，其丁庚丙三角形亦然，乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也。则己乙丙三角形大于丁庚丙三角形，而甲己丙乙甲形为丙乙己三角之倍者，亦大于丙庚戊丙形为丁庚丙三角之倍者矣。此两率者，又每加甲乙丙与丙庚戊之三角形，则甲己丙及丙庚戊之两三角形并，岂不大于甲乙丙及丙丁戊之两三角形并哉？

第十二题同周形，其边数相等，而等角等边者，大于不等角等边者。先解曰：有甲、乙、丙、丁、戊、己多边形，与他形同周、同角者，较必边边相等，乃为最大之形。论曰：若谓不然，先设甲乙、乙丙不等边，如第一图，又作甲丙线，于上作等边三角，为甲庚丙形，与甲乙丙等周【本篇七】则甲庚丙丁戊己形，亦与甲乙丙丁戊己形等周，而甲庚丙三角形，必大于甲乙丙三角形【本篇八】令每加丙丁戊己角形，则甲庚丙丁戊己形，亦大于甲乙丙丁戊己形。故知不等边者不为最大，其他如丙丁边之类，或不等者，亦如此推。次解曰：「又设甲乙丙丁戊己等边形与他形同周同边者较，必角角相等，乃为最大之形。」论曰：依上论，各边俱等，则甲乙丙、丙丁戊为等边三角形【边角俱等】而甲乙、乙丙与丙丁、丁戊相等。若谓不然，而乙角可大于丁角，则甲丙线必大于丙戊线【一卷二十四】试于甲丙、丙戊两底上别作三角形，为甲庚丙，为丙辛戊，如第十题相似形，令与甲乙丙、丙丁戊并者等周，则甲庚丙并丙辛戊者大于甲乙丙并丙丁戊【本篇十一】而每加丙戊己角形，则甲庚丙辛戊己必大于甲乙丙丁戊己也。何得以等周、等边而不等角者为最大乎？

第十三题凡同周形，惟圜形者大于众直线形，有法者。解曰：有甲、乙、丙圜形，又有丁、戊、己多边有法形，其周等。

题言甲乙丙大于丁戊己论曰：庚为甲乙丙之心，辛为丁戊己之心。甲乙丙外另作壬乙丙癸多边形与丁戊己相似【四卷十六注】而从壬癸切圜于甲者，作半径线于庚，则庚甲为壬癸垂线，而分壬癸之半【三卷十八】又从辛作子丑垂线，则辛丁亦分子丑之半【三卷三】。设于两多边形外作切形圜，而以壬癸子丑为切圜线，向心作垂线，则垂线必分切线之中央，故説在四卷十二】两形相似，其壬全角与子全角等，则半之而甲壬庚角与丁子辛角亦等，壬甲庚直角与子丁辛直角亦等【一卷三十二】然乙壬癸丙之周大于圜周，而圜周与丁戊己形相同，则是乙壬癸丙周原大于丁戊己周矣。夫两形相似，而壬癸边大于子丑边，则半之而壬甲亦大于子丁。又壬甲与甲庚，若子丁与丁辛之比例【六卷四】而壬甲大于子丁，则甲庚亦大于丁辛【五卷十四】是故取甲庚线与半圜周线以作矩内直角形，其与圜地等也。大于取丁辛线与丁戊己半周线以作矩内直角形，其与形地等也【本篇四】系曰：推此见圜形大于各等周直线形【第五题证有法形同周者多邉为大，又十二题证等周及边数之等者有法为大，又本题证等周之有法形惟圜为大，则圜为凡形等周者之最大】

第十四题锐觚全形所容，与锐顶至边垂线及三分底之一矩内直角立形等。解曰：有觚形，不拘几面，如甲乙丙丁戊底，其顶己。又有寅庚直角立方形者，其底庚辛壬癸，得甲乙丙丁戊底三之一，其髙庚子与觚等髙。题言此寅庚形与觚形所容等。论曰：从立形底诸角与相对一角，如子角者，皆作线以成庚辛壬癸子觚形，此。形与寅庚形同底同髙，又同己甲鋭觚之髙。既己甲形兼庚辛壬癸子觚之三【十二卷六注言两觚形同髙者，其所容之比例如其底，底等亦等，底倍亦倍】寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三【以同防同髙故，在十二卷七系】则寅庚全方与己甲觚等。

第十五题平面不拘几边，其全体可容浑圜切形者，设直角立形，其底得本形三之一，其髙得圜半径，即相等【可容浑圜▯形者，必圜形与诸面相切，若长广不切诸面者，不在此论】解曰：有甲乙丙丁形，内含戊己庚辛，圜其心壬，而外线甲乙切圜于戊【十一卷三题】试从戊壬割圜之半，作戊己庚辛圜【圜形书》一卷一题】从壬心望各切圜之防，作壬戊为甲乙垂线【三卷十八】壬己为乙丙垂线，壬庚为丙丁垂线，壬辛为甲丁垂线。别一直角立方形午子，其底子丑寅癸，得甲乙丙丁体三之一，而其髙辰子与圜半径等。题言此直角立方形与甲乙丙丁全体等。论曰：从壬心与甲乙丙丁各角作直线，即分其体为数觚形，其面即为觚底，而皆以壬心为觚锐顶。此各觚皆以其三分底之一及至锐髙之数为直角立方形，皆与觚所容等【本篇十四】又并为一形，即与甲乙丙丁体等，亦与午子等。以午子底正得甲乙全形三之一，而其髙合圜半径也。

第十六题圜半径及圜面三之一作直角立方形，以较圜之所容等。解曰：有甲乙丙浑圜，其心为丁。又有直角立形之戊，在甲丁径及甲乙丁浑圜三之一矩内。题言戊形所容与甲乙丙浑圜等。论曰：若言不等，谓戊大于浑圜形，其较有己者，合以丁为心，外作庚辛壬浑圜，大于甲乙丙，而勿令大于戊，第令或等或小，以验之。而于庚辛壬内试作有法形，勿切甲乙丙圜【十二卷十七】自丁心至形边各作垂线，则垂线必长于甲丁。又自丁心至形各角作直线，以分此形为几觚，其庚辛壬法形诸直线为觚底，而垂线至丁心为觚锐顶，试取各觚底三之一及丁垂线之髙，以作直角立形与觚等【本篇十四】则并为大直角立形，亦与庚辛壬内之法形等【本篇十五】如云以甲丁为髙，而以各觚底三之一为直角立形，并为大形，则必小于前形。因显庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一，而戊形甲丁径及甲乙丙圜三之一内小于庚辛壬体，而谓庚辛壬不大于戊形，则向庚辛壬之内形尚大于戊形也。又论曰，戊形小于甲乙丙浑圜体者，其较为己。试从丁心再作癸子丑圜小于甲乙丙，而勿令小于戊，或大或等者以验之。于甲乙丙圜内作有法形，不令切癸子丑【十二卷十七】而从丁至甲乙丙各面为垂线，此垂线大于丁癸之半径。又从丁向法形诸角作直线，以分此形为数觚，以形之各面为觚底，丁心为觚锐顶，而取觚底三之一及底至丁之垂线，以作直角立形与觚等。若使以甲丁为髙，而以各觚三之一为底，以作直角立形，则其形必髙于前形。既甲乙丙圜之面大于其内形之面，则圜面三之一大于内形面三之一，而直角立方形在甲丁髙及甲乙丁面三之一，固即戊体矣，愈大于甲乙丁之内形矣。而云癸子丑圜或等或大于戊，岂癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大于全与，则戊体不小于甲乙丙矣。从后论不可为小，从前论不可为大，故曰等也。

第十七题圜形与平面、他形之容，圜者其周同，其容积，圜为大。解曰：有甲，圜其心，甲其半径，甲乙。又丙形与甲等周，其周内可作诸切边圜形，而从心至边为丙丁，题。

言甲圜大于丙形论曰：甲圜外试作与丙相似形【十二卷】而从甲心至各边切处作半径垂线皆等【本篇十五有解】其一为甲乙，甲圜外形大于甲圜，其周面亦大于丙面，而甲乙垂线亦大于丁丙垂线。以甲半径为髙，乃以三分圜体之一作直角立方形，即与甲圜形等【本篇十六】以丙丁线为髙，而以三分丙形之一作直角立方形，亦与丙形等。而甲之立方固大于丙之立方【本篇十五】则甲圜与丙形虽同周，而甲圜所容为大矣。

第十八题凡浑圜形与圜外圜角形等周者，浑圜形必大于圜角形。解曰：有甲、乙、丙、丁，圜外作戊、己、庚、辛等法形，率以四数。相偶若八面，十二面，十六面，二十面。及二十四、二十八之类，等边、等角，近。于圜形者，又作戊壬，过心线为枢以转甲、乙、丙、圜及戊、己、庚、辛法形，使平。面旋为立圜之体，则其形为圜，外圜。角之形，而角与边周遭皆等【圜书一卷廿二】廿七】又有浑圜形寅与圜角形等周题。

言寅圜大于圜角形论曰：圜角外形，既大于内之甲乙丙圜形，则寅圜亦大于甲乙丙圜。寅圜之半径，亦大于甲乙丙圜之半径也。夫浑圜中剖，是为过心最大之圜。此过心大圜之面，恒得浑体四分之一【圜书一卷三十一题】令倍寅径，以作卯辰径，其圜面四倍大于寅之圜面【此专以圜而相较也。卯辰径既倍寅径，则卯辰圜□四倍于寅圜，以圜与圜为径与径再加之比例故也，在六卷附一增题】则卯辰圜与寅浑圜等【此卯辰圜为欲见角故画作扁圜，实正圜也】次作未申圜与卯辰等，作未面申圜角形，而取寅半径为酉戌之髙。又于卯辰上，亦作卯巳辰圜角形，而取甲乙丙圜半径为己午之髙。两圜体等，而未酉申圜角形髙于卯巳辰圜角形，则亦大于卯巳辰圜角形【圜角形同底之比例，若其髙之比例，在十二卷十四题】夫割寅浑圜之中，半以为底【即过心大圜也】而以其半径之髙，为圜角形，恒得寅浑圜四。分之一【此旋▯所成尖顶半圜形，非只论其一面也，在圜书一卷。三十二】则是一寅圜恒兼四圜角之形。而未申圜，原四倍大于寅圜，则未酉。申圜角形，固与寅之浑圜形等矣【圜角，形同髙之比例，若其防之比例，故也。在十二卷十一题】其卯巳辰圜、角形、底原等戊己庚形之面【戊己庚之面与寅圜之面等故】而巳午之髙亦等于甲圜半径，即戊己庚辛角形自与卯巳辰圜角形等【圜书一卷二十九题论凡圜外有圜角形如甲乙丙外有戊己庚形者，以圜体过心大圜为底，而以圜半径为髙，旋作圜角形，即与圜外诸圜角等】卯巳辰圜角形既小于未酉申圜角形，而戊己庚辛壬癸子丑形，宁大于同周之寅乎？

圜容较义