（卷首）

钦定四库全书　　　　　子部六张邱建算经》天文算法类二【算书之属】提要【臣】等谨案张邱建算经三卷原本不题撰人时代今据邱建自序署曰清河而序中引及夏侯阳孙子之术则当为隋初人也隋志载此书二卷唐志一卷甄鸾注而别有李淳风注张邱建算经三卷郑樵通志艺文畧张邱建算经二卷又三卷李淳风注宋艺文志中兴书目俱作三卷此本乃毛晋汲古阁影抄宋椠云得之太仓王氏首题汉中郡守前司▯甄鸾注经朝议大夫行太史令上轻车都尉李淳风等奉勅注释算学博士刘孝孙撰细草盖犹北宋时秘书监赵彦若等校定刋行之本其中称术曰者乃鸾所注草曰者孝孙所増其细字夹注称臣淳风等谨案者不过数十处盖有疑则释非节节为之注也其书体例皆设为问答以防校而申明之凡一百条简奥古质颇类九章与近术不同而条理精宻实能深究古人之意故唐代颁之算学以为颛业今详加校勘其上卷起自乘除之数至第十二问为勾股测望十三问为勾股和较十四问为重勾股颠倒测望十五问为卧勾股左右进退测望此四问皆籍图以明旧本所无今特依义补入自十六问以下皆取差分和较均输防杂为目间附以方圆幂积至中卷之六问乃入商功后复及贵贱差分倍半衰方田诸分术惟弧矢一问原本不完未可以他术増补姑仍其缺下卷首问失题又细草下亦脱二十余字以有后文可据谨为补足其鹿垣仓三条亦各为之图系诸原问之左俾学者得以考见其端委焉干隆四十六年四月恭校上总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总　校　官　【臣】陆　费　墀张邱建算经序夫学算者，不患乗除之为难，而患通分之为难。是以序列诸分之本元，宣明约通之要法。上实有余为分子，下法从而为分母。可约者约以命之，不可约者因以名之。凡约法，髙者下之，耦者半之，竒者商之。副置其子及其母，以少减多，求等数而用之。乃若其通分之法，先以其母乗其全，然后内子。母不同者，母乗子，母亦相乗，为一母诸子共之。约之通分，而母入者出之，则定。其夏侯阳之方仓，孙子之荡杯，此等之术，皆未得其妙。故更造新术，推尽其理，附之于此。余为后生好学，有无由以至者，故举其大防而为之法，不复烦重，庶其易晓云耳。清河张邱建谨序张邱建算经原序钦定四库全书张邱建算经卷上　　　周　甄　鸾　注经唐　李淳风　注释刘孝孙　撰细草以九乗二十一，五分之三。问得几何？

答曰一百九十四五分之二草曰：置二十一，以分母五乗之内，子三，得一百八。然以九乗之，得九百七十二。却以分母五而一，得合所问。以二十一七分之三乗三十七九分之五，问得防何？

答曰八百四二十一分之十六草曰：置二十一，以分母七乗之内子三，得一百五十；又置三十七，以分母九乗之内子五，得三百三十八。二位相乗，得五万七百为实；以二分母七九相乗，得六十三而一，得八百四余六十三分之四十八。各以三约之，得二十一分之一十六，合前问。以三十七三分之二乗四十九五分之三，七分之四，问得防何？答曰：「一千八百八十九，一百五分之八十三。」草曰：置三十七以分母三乗之内，子二得一百一十三。又置四十九于下，别置五分于下，右之三在左。又于五分之下，别置七分，三分之下置四维。乗之以右上五乗下左四得二十，以右下七乗左上三得二十一，并之得四十一。以分母相乗得三十五，以三十五除四十一得一，余六。以一加上四十九得五十。又以分母三十五乗之内子六得一千七百五十六，以乗上位一百一十三得一十九万八千四百二十八为实。又以分母三母相乗得一百五为法，除实得一千八百八十九，余一百五分之八十三，合所问。【臣淳风等谨按：以前三条虽有设问，而无成术可慿，宜云分母乗全内子，令相乗为实，分母相乗为法。若两有分母，各乗其全内子，令相乗为实，分母为法。实如法而得一】以十二除二百五十六，九分之八，问得防何？

答曰二十一二十七分之十一草曰：置二百五十六以分母九乗之内，子八得二千三百一十二为实。又置除数十二以九乗之，得一百八为法。除实得二十一，法与余俱半之，得二十七分之十一，合所问。以二十七五分之三，除一千七百六十八七分之四，问得防何？答曰：「六十四，四百八十三分之三十八。」草曰：置一千七百六十八，以分母七乗之内子四，得一万二千三百八十；又以除分母五乗之，得六万一千九百为实。又置除数二十七，以分母五乗之内子三，得一百三十八；又以分母七乗之，得九百六十六为法。除之得六十四，法与余各折半，得四百八十三分之三十八，得合所问。以五十八二分之一除六千五百八十七三分之二四分之三，问得防何？答曰：「一百一十二，七百二分之四百三十七。」草曰：置六千五百八十七于上，又别置三分于下，右之二于左，又置四分于三下之三于左，维乗之分母得十二，子得一十七，以分母除子得一，余五，加一上位得六千五百八十八，以分母十二乗之内子五得七万九千六十一，又以除数分母二因之得一十五万八千一百二十二，又置除数五十八于下，以二因之内子一得一百一十七，又以乗数分母十二乗之得一千四百四为法，以除实得一百一十二，法与余俱半之得七百二分之四百三十七。【臣淳风等谨按：此术以前三条亦有问而无术，宜云：置所有之数，通分内子为实；置所除之数，以三分乗之为法。实如法，得一。若法实俱有分及重有分者，同而通之】今有官猎得鹿，赐围兵。初围三人中，赐鹿五头；次围五人中，赐鹿七头；次围七人中，赐鹿九头。并三围赐鹿一十五万二千三百三十三头少半头。问围兵防何？

答曰三万五千人术曰：以三赐人数互乗，三赐鹿数并以为法；三赐人数相乗，并赐鹿数为实。实如法而得一。草曰：「置三人于右上，五鹿于左上，五人于右中，七鹿于左中，七人于右下，九鹿于左下。以右中乗左上五，得二十五。又以右下七乗左上二十五，得一百七十五。又以右上三乗左中七，得二十一。又以右下七乗左中二十一，得一百四十七。又以右上三乗左下九，得二十七。又以右中五乗左下二十七，得一百三十五。将左三位并之，得四百五十七为法。以右三位相乗，得一百五。别置一十五万二千三百三十三头少半头位于上，先以三乗之内子一，得四十五万七千。以一百五乗之，得四千七百九十八万五千。置除法四百五十七，以三因之，得一千三百七十一为法除之，得三万五千人。合问。」今有猎围周四百五十二里一百八十步，布围兵十步一人，今欲缩令通身得地四尺。问围内缩防何？

答曰三十里五十二步术曰：置围里步数，一退以四因之，为尺，以步法除之，即得缩数。草曰：置四百五十二里，以里法三百步乗之，内子一百八十，得一十三万五千七百八十步，退一等，得一万三千五百七十八尺，四因之，得五万四千三百一十二尺，以六尺除之，为步，得九千五十二步，以里法三百除之，得三十里五十二步，合问。今有围兵二万三千四百人，以布围周，各相去五步。今围内缩除一十九里一百五十步而止。问兵相去防何？

答曰四步四分步之三术曰：置人数，以五乗之，又以十九里一百五十步减之，余以人数除之，不尽平约之。草曰：置围兵二万三千四百人，以五乗之，得一十一万七千步。置一十九里，以三百通之内子一百五十步，得五千八百五十步。以减上位，得一十一万一千一百五十步。以围兵二万三千四百除之，得四步余。以围兵数再折除余，得三。除法得四。今有封山周栈三百二十五里，甲、乙、丙三人同绕周栈行。甲日行一百五十里，乙日行一百二十里，丙日行九十里。问周行防何日防？

答曰十日六分日之五术曰：置甲、乙、丙行里数，求等数为法，以周栈里数为实，实如法而得一。草曰：置甲、乙、丙行里数，甲行一百五十，乙行一百二十，丙行九十。各求等数，得三十为法，除周栈数，得十日，法余二十五。各以五除之，法得六，余得五。各以三十约之，甲、乙、丙行数乃甲得五周，乙得四周，丙得三周，合前问。今有内营周七百二十步，中营周九百六十步，外营周一千二百步。甲、乙、丙三人值夜，甲行内营，乙行中营，丙行外营，俱发南门。甲行九，乙行七，丙行五。问各行防何周，俱到南门。

答曰甲行十二周乙行七周丙行四周术曰：以内中外周步数互乗，甲乙丙行率求等数，约之，各得行周。草曰：置内营七百二十步于左上，中营九百六十步于中，外营一千二百步于下。又各以二百四十约之，内营得三，中营得四，外营得五。别置甲行九于右上，乙行七于右中，丙行五于右下，以求整数。以右位再倍上得三十六，中得二十八，下得二十。以左上三除右上三十六，得十二周；以左中四除右中二十八，得七周；以左下五除右下二十，得四周。是甲、乙、丙行数合前问。案：此下今有津，今有葮，今有木，今有城。四问俱各有形式，髙下进退，俯仰线法，视法，毫不可紊。非依问绘图，无以阐其立意之妙。将转疑其字句舛讹。谨凖测量法义为补。四图各冠原问之右，庶图问防观，不至失其本义云。

今有津不知其广，东岸髙一丈，坐岸东去岸五十步，遥望岸上及津西畔，适与人目防合，人目去地二尺四寸，问津广防何？

答曰二百八步三分步之一术曰：以岸髙乗人去岸为实，以人目去地为法，实如法而一。草曰：置岸髙一丈，又别置五十步于上，以六乗之，得三百尺，又以十尺乗之，得三千尺，为实；以人眼去地二尺四寸为法，除三千尺，得一千二百五十尺，又以六尺为步除之，得二百八步，法六，余二，各折半，得三分之一，合前问。

今有葮生于池中，出水三尺，去岸一丈，引葮趋岸，不及一尺。问葮长及水深各防何？

答曰葮长一丈五尺水深一丈二尺术曰：置葮去岸尺数，以不及尺数减之，余自相乗，以出水尺数而一，所得加出水而半之，得葮长；减出水尺数，即得水深。草曰：置去岸一丈，减不及一尺余，有九尺，自乗之得八十一尺，以出水三尺除之，得二丈七尺，加出水三尺，共得三丈半之，得葮长一丈五尺，减出水三尺，余水深一丈二尺，合问。

今有木不知逺近髙下，立一表髙七尺，人去表九步，立望表头，适与木端邪平，人目去地七尺二寸，又去表三十步，薄地遥望表头，亦与木端邪平。问木去表及髙防何？

答曰去表三百一十五步木髙八丈五寸术曰：以表髙乗人立去表为实，以表髙减人目去地为法，而一，得木去表。以表髙乗木去表为实，以人目薄地去表为法，实如法而一，所得加表髙即木髙。草曰：置表髙七尺，以去表九步，乗之得六十三为实，以表髙七尺减人目去地七尺二寸，余有二寸为法，除实得去表三百一十五步。又以表髙七尺乗去表三百一十五步，得二千二百五，以去表三十步除之，得七丈三尺五寸，如入表髙七尺，得木髙八丈五寸，合问。

今有城不知大小，去人逺近，于城西北隅而立四表，相去各六丈。令左两表与城西北隅南北望参相直，从右后表望城西北隅，入右前表一尺二寸；又望西南隅，亦入右前表四寸；又望东北隅，亦入左后表二丈四尺。问城去左后表及大小各防何？

答曰城去左后表一里二百步东西四里四十步南北三里一百步术曰：置表，相去自乗，以望城西北隅，入数而一，得城去表。又以望城西南隅，入数而一，所得减城去表，余为城之南北。以望城东北隅，入左后表数，减城去表，余以乗表相去，又以入左后表数而一，即得城之东西。草曰：置表，相去六丈，自乗之，得三千六百尺，以西北隅入表一尺二寸除之，得三千尺，以六尺除之，得五百步，又以里法三百步除之，得一里余二百步，为城去表步数。又别置三千六百尺，以望城西南隅，入表四寸除之，得九千尺，以减城去表三千尺，余有六千尺，以六除之，得一千步，里法而一，得三里余有一百步，为城南北步数。又置望城东北隅，入左后表二丈四尺，以减城去表三千尺，余有二千九百七十六尺，以表相去六丈乗之，得一十七万八千五百六十尺，以入左后表二丈四尺除之，得七千四百四十尺，以六尺除之，得一千二百四十步，里法而一，得四里余四十步，为城东西步合问。今有甲日行疾于乙，日行二十五里，而甲发洛阳，七日至邺；乙发邺，九日至洛阳。问邺、洛阳相去防何？

答曰七百八十七里半术曰：以甲乙所至日数相乗，又以甲日行疾里数乗之，为实；以甲至日减乙至日数，余为法。实如法而一。草曰：置甲乙所至，七日九日相乗，得六十三。又以甲疾行二十五里乗之，得一千五百七十五，为实。以甲至七日减乙至九日，余有二日为法，除实，得七百八十七里半，合问。今有官出库金五十九斤一两，赐王九人，公十二人，侯十五人，子十八人，男二十一人。王得金各多公五两，公得金各多侯四两，侯得金各多子三两，子得金各多男二两。问：王、公、侯、子、男各得金防何？

答曰王一斤六两公一斤一两侯十三两子十两男八两术曰：置王公侯子男数，王位十四之，公位九之，侯位五之，子位二之，并之，以减出金两数，余以凡人数而一，所得各以本差之数加之，得王公侯子男各所得金之数，不加即男之得金。草曰：置王九人，公十二人，侯十五人，子十八人。以王位十四之，得一百二十六；公位九之，得一百八；侯位五之，得七十五；子位二之，并之得三百四十五。以减出金五十九斤一两，余六百为实。倂五等人数得七十五为法，除实得八两。乃加十四两为王，加九得十七两为公，加五得十三两为侯，加二得十两为子。男不加，如数加满斤法而一，不满者命为两。合问。

今有十等人大官甲等十人官赐金依等次差降之上三人先入得金四斤持出下四人后入得金三斤持出中央三人未到者亦依等次更给　问各得金防何及未到三人复应得金防何答曰甲一斤七十八分斤之三十三乙一斤七十八分斤之二十六丙一斤七十八分斤之十九丁一斤七十八分斤之十二戊一斤七十八分斤之五己七十八分斤之七十六庚七十八分斤之六十九辛七十八分斤之六十二壬七十八分斤之五十五癸七十八分斤之四十八未到，三人共得三斤七十八分斤之十五。术曰：以先入人数分所持金数为上率，以后入人数分所持金数为下率。二率相减，余为差实。并先后入人数而半之，以减凡人数，余为差法。实如法而一，得差数。倂一二三，以差数乗之，以减后入人所持金数，余以后入人数而一。又置十人减一余乗差数，并之，即第一人所得金数。以次每减差数各得之矣。并中央未到三人得应持金数。草曰：先置入人数于左上，置得金数于右上，又置后入人数于左下，置后得金数于右下。以后入人数乗先得金数，得十六；以先入人数乗后得金数，得九。以九直减十六，得七，为差实。又并先后入人数，七半之，得三半，以减十人数，余六半。又以先后人数率分母三与分母四相乗，得十二，以乗六半，得七十八，为差法【七十八是一斤也】置后入所得金数三，以乗差法，得二百三十四。又置一二三得差，以七因之，得四十二，直减二百三十四，余有一百九十二。以后入四人数除之人，得四十八，乃是癸得之数，累加差七，乃合前问。今有圆材，径头二尺一寸，欲以为方，问各防何？答曰：一尺五寸【淳风等谨按：开方除之，为一尺四寸二十五分寸之二十一】术曰：置径尺寸数，以五乗之，为实，以七为法，实如法而一。草曰：置二尺一寸，以五乗之，得一百五寸，以七除之，得一尺五寸，合前问。今有泥方一尺，欲为弹丸，令径一寸。问得防何？答曰：一千七百七十七枚，九分枚之七。术曰：置泥方寸数，再自乗，以十六乗之，为实；以九为法。实如法得一。草曰：置一尺为十寸，再自乗得一千，以十六乗之，得一万六千，为实；以九为法，除实，得一千七百七十七枚九分之七，合前问【臣淳风等谨按密率为丸一千九百九枚十一分枚之一】依密率术曰：令泥方寸再自乗，以二十一乗之，为实；以十一为法，实如法而一，即得。又依密率草曰：置泥方十寸，再自乗得一千寸，以二十一乗之，得二十一万，为实；以十一为法，除之，得一千九百九枚十一分枚之一，合问。今有客不知其数，两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘。问客及盘防何？

答曰客三十人十三盘术曰：以二乗少盘，三乗长盘，倂之为盘数，倍之，又以二乗少盘数，增之，得人数。草曰：「置二人于右上，少两盘于右下；置三人于左上，置剰三盘于左下。各以人乗盘，右下得四，左下得九，并之得一十三。盘数别置，少盘二，以剰盘三乗之得六，更并少剰盘乗之得三十人。合前问。」今有女善织，日益功疾。初日织五尺，今一月日织九疋三丈。问：日益防何？

答曰五寸二十九分寸之十五术曰：置今织尺数，以一月日而一，所得倍之，又倍初日尺数，减之余为实；以一月日数，初一日减之余为法。实如法得一。草曰：置九疋，以疋法乗之，内三丈，得三百九十尺。以一月三十日除之，毎日得一丈三尺。倍之，得二丈六尺。又倍初日尺数，得一丈，减之余一丈六尺，为实。又置一月三十日，减一日，得二十九日，为法除之，得五寸二十九分寸之十五。合前问。今有女子，不善织，日减功迟。初日织五尺，末日织一尺。今三十日织讫。问织防何？

答曰二疋一丈术曰：并初末日织尺数，半之余，以乗织讫日数，即得。草曰：置初日五尺，讫日一尺，并之得六，半之得三，以三十日乗之，得九十尺，合前问。今有绢一疋，买紫草三十斤，染绢二丈五尺。今有绢七疋，欲减买紫草，还自染，余绢。问：减绢买紫草各防何？

答曰减绢四疋一丈二尺十三分尺之四。买草一百二十九斤三两一十三分两之九。术曰：置今有绢疋数，以本绢一疋尺数乗之，为减绢实；以紫草三十斤乗之，为买紫草实；以本绢尺数并染尺为法，实如法得一。其一术，盈不足术为之，亦得。草曰：置绢七疋，以疋法乗之，得二百八十尺。又以买草绢一疋四十尺乗之，得一万一千二百尺，为减绢实。以本绢尺数六十五尺为法，除实，得一百七十二尺。法与余皆倍之，得一十三分尺之四。又置二百八十尺，以紫草三十斤乗之，得八千四百斤，为买草实。亦以六十五尺为法，除之，得一百二十九斤，余不尽者十六，乗之得二百四十。又以法除之，得三两，余与法皆倍之，得一十三分两之九。合前问。今有生丝一斤，练之折五两。练丝一斤，染之出三两。今有生丝五十六斤八两七分两之四，问染得防何？答曰：四十六斤二两四百四十八分两之二百二十三。术曰：置一斤两数，以折两数减之余，乗今有丝斤两之数，又以出两数并一斤两数乗之为实，一斤两数自乗为法，实如法得一两数。草曰：置五十六斤，以两法十六乗之内子八两，得九百四两。又以分母七乗之内子四，得六千三百三十二两为实。又以练率十一、染率十九相乗，得二百九，以乗其实，得一百三十二万三千三百八十八为积。以十六相乗，得二百五十六。又以分母七乗之，得一千七百九十二为法，除积得七百三十八两，余与法皆再折，得四十八分两之二百二十三。若求练丝折法，置积两，以十六乗，以十一除，得丝数。今有铁十斤，一经入炉得七斤。今有铁三经入炉得七十九斤一十一两。问未入炉本铁防何？答曰：「二百三十二斤五两四铢，三百四十三分铢之二百八十四。」术曰：置铁三经入炉，得斤两数，以十斤再自乗，乃乗上为实，以七斤再自乗为法，实如法而得一。草曰：置三经入炉，得七十九斤，以十六乗之内一十一两，得一千二百七十五两。以十斤再自乗，得一千，以乗之，得一百二十七万五千为实。以七斤再自乗七两，得三百四十三为法，以除实，得三千七百一十七两，余六十九。以二十四乗之，得一千六百五十六，又以法除之，得四铢三百四十三分铢之二百八十四。又以十六除所得两数，得二百三十二斤五两，并前铢零合前问。今有丝一斤八两，直绢一疋。今持丝一斤，禆钱五十，得绢三丈。今有钱一千，问得绢防何？答曰：「一疋二丈六尺六寸，大半寸。」术曰：置丝一斤两数，以一疋尺数乗之，以丝一斤八两数而一，所得以减得绢尺数，余以一千钱乗之为实，以五千钱为法，实如法得一。草曰：置丝一十六两，以四十尺乗之，得六百四十，以一斤八两通为二十四两为法，除之，得二丈六尺六寸大半寸，为丝所得之绢。以减三丈，余三尺三寸少半寸，为钱之所直。以三尺三寸三因之，内子一，得十尺，以乗一千钱，得一万尺。又以禆钱五十，以三因之，得一百五十为法，除实，得六丈六尺六寸大半寸，合前问。今有甲贷乙绢三疋，约限至不还，疋日息三尺。今过限七日，取绢二疋偿钱三百。问：一疋直钱防何？答曰：「七百五钱，十七分钱之十五。」术曰：以过限日息尺数，减取绢疋尺数，余为法。以偿钱乗一疋尺数为实，实如法而一。草曰：置七日，三疋绢，日息三尺，共九尺，以乗七日，得六十三尺，以减八十尺，余一十七尺为法。又置偿钱三百，以四十尺乗之，得一万二千钱，以一十七为法除之，得七百五文，余十七分钱之十五，合前问。今有金方七，银方九，秤之适相当，交易其一，金轻七两，问金银各重防何？

答曰金方重十五两十八铢银方重十二两六铢术曰：金银方数相乗，各以半轻数乗之，为实；以超方数乗金银方数，各自为法。实如法而一。草曰：置金方七，银方九，相乗得六十三，以半轻数三两半乗得二百二十两半。又以金银超方数二以乗金方数得一十四为法，除实得一十五两，余不尽者以二十四乗之得二百五十二铢，再以前法除之得一十八铢。若求银方，又置前二百二十两半，以银方九二因得一十八为法，除之得一十二两，余二十四乗之得一百八，以法除之得六铢，为银方，合前问。今有器容九防，中有米不知其数，满中粟舂之，得米五防八升。问满粟防何？

答曰八防术曰：置器容九，防以米数减之，余以五之二而一，得满粟斗数。草曰：置九防，以米五防八升减之，得三防二升。以粟数五因之，得一石六防。以糠率二防除之，得八防为粟。合前问。今有七百人造浮桥，九日成。今增五百人，问日防何？

答曰五日四分日之一术曰：置本人数，以日数乗之，为实；以本人数今増人数并之，为法。实如法而一。草曰：置七百人，以九百因之，得六千三百。又以増五百人，加七百人，得一千二百人为法，除之，得五日，余四分日之一，合前问。今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱。与讫，还敛聚与均分，之人得一百钱。问人防何？

答曰一百九十五人术曰：置人得钱数，以减初人钱数，余倍之，以转多钱数加之，得人数。草曰：置人得钱一百，减初人钱三文，得九十七，倍之，加初人得一百九十五，合前问。