张邱建算经卷上

张邱建算经卷上

钦定四库全书张邱建算经卷中　　　周　甄　鸾　注经唐　李淳风　注释刘孝孙　撰细草今有戸出银一斤八两一十二铢，今以家有贫富不等，令戸别作差品通融出之。最下戸出银八两，以次戸差各多三两。问戸防何？

答曰一十二戸术曰：置一戸出银斤两铢数，以最下戸出银两铢数减之，余倍之，以差多两铢数加之，为实；以差两铢数为法，实如法而一。草曰：置二十四两，以二十四乗之内，一十二铢，得五百八十八铢，减最下戸八两数一百九十二铢，余三百九十六，倍之得七百九十二，又加差多三两数七十二铢，共得八百六十四为实，以差多两数七十二为法，除实得一十二戸，合前问。今有人盗马乗去，已行三十七里，马主乃觉，追之一百四十五里，不及二十三里而还，今不还追之。问防何里及之？答曰：「二百三十八里一十四分里之三。」术曰：置不及里数，以马主追里数乗之，为实；以不及里数减已行里数，余为法。实如法而一。草曰：置马不及里数二十三里，以马主追去一百四十五里，乗之得三千三百三十五为实；以不及二十三里减已行三十七里，余一十四为法，除实得二百三十八里一十四分里之三，合前问。今有马行转迟，次日减半，疾七日行七百里。问日行防何？

答曰初，日行三百五十二里，一百二十七分里之九十六。次日行一百七十六里，一百二十七分里之四十八。次日行八十八里，一百二十七分里之二十四。次日行四十四里，一百二十七分里之一十二。次日行二十二里，一百二十七分里之六；次日行一十一里，一百二十七分里之三；次日行五里，一百二十七分里之六十五。术曰：置六十四、三十二、一十六、八、四、二、一为差，副并为法。以行里数乗未并者，各自为实。实如法而一。草曰：置七日为七位，以次倍之，得一、二、四、八、十六、三十二、六十四为差，以副并之，得一百二十七为法。以七日行七百里乗未并者，初日得四百四十八里，次得二百二十四里，次得一百一十二里，次得五十六里，次得二十八里，次得十四里，次得七里，各自为实。实如法而一，各合问。今有驽马日初发家，良马日以七分之一发家，日乃五分之二行四十五里，及驽马问良驽马一日不止各行防何答曰良马日行一百七十五里驽马日行一百一十二里，一百五十步。术曰：置五分之二，七分之一，相减，余为良马行率；増七分日之一为驽马行率。各以为法，以及里数乗二母为实，实如法而一。草曰：置七分于右上，一于左上，五分于右下，二于左下。以右上乗左下，得十四；以右下乗左上，得五。减十四得九，为良马率法。以五加九得十四，为驽马率法。以七分五分相乗得三十五，以乗追及四十五里，得一千五百七十五里为实。以良马九法除之，得一百七十五里为良马行。又以十四除实，得一百一十二里，余七里。以里法三百通之，得二千一百步。再以十四除之，得一百五十步，合前问。今有迟行者五十步，疾行者七十歩迟行者以先发，疾行者以后发。行八十七里一百五十步，乃及之。问迟行者先发行防何里？

答曰二十五里术曰：以迟行步数减疾行步数，余以乗及步数为实，以疾行步数为法，实如法而一。草曰：置疾行七十步，以迟行五十步，减之余二十步，以乗及八十七里半，得一千七百五十里。以疾行七十步为法，除实得二十五里，合前问。今有甲日行七十里，乙日行九十里。甲日以五分之一乃发，乙日以三分之二乃发。问乙行防何里及甲？

答曰一百四十七里术曰：以五分日之一减三分日之二，余以甲日行里数乗之，又以乙日行里数乗之为实，以甲乙行里数相减余以乗二分母为法，实如法而一。草曰：置五分于右上，置之一于左上，又置三分于右下之二于左下，以右上五乗左下二得一十，以右下三乗左上一得三，以减十余七，以甲行七十里乗之得四百九十，又以乙行九十里乗之得四万四千一百，以甲行里数减乙行里数余二十里，以二分母乗之得三百，以除实得一百四十七里，乃合前问。今有筑城，上广一丈，下广三丈，髙四丈。今已筑髙一丈五尺，问已筑上广防何？

答曰二丈二尺五寸术曰：置城下广，以上广减之。又置城髙，以减筑髙，余相乗，以城髙而一，所得加城上广，即得。草曰：置城下广三十尺，以上广减之余二十尺，别以城髙四十尺，以筑髙一丈五尺，减之得二丈五尺，以乗二十尺，得五百尺，以城髙四十尺为法，除之得一丈二尺五寸，所得加城上广一丈，得二丈二尺五寸，合前问。今有筑墙上广二尺，下广六尺，髙二丈。今已筑上广三尺六寸，问已筑髙防何？

答曰一丈二尺术曰：置已筑上广及下广，各减墙上广，以筑上广减余，以减下广减余，余乗墙髙为实，以墙上广减下广余为法，实如法而一。草曰：置墙下广六尺，以筑髙上广三尺六寸，减之余二尺四寸，以墙髙二十尺乗之，得四十八尺，又以墙上广二尺减下广六尺，余四尺为法，除之得一丈二尺，合前问。今有方锥，下方二丈，髙三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺。问斩髙防何？

答曰九尺术曰：令上方尺数乗髙尺数，为实；以下方尺数为法。实如法而一。【臣淳风等谨按：此术下方为勾率，髙为股率，上方为今有见勾数，以见勾乗股率，如勾率而一，即得】草曰：置上方六尺，以乗髙三十尺，得一百八十尺，以下方二十尺为法，实如法得九尺，合前问。今有方亭，下方三丈，上方一丈，髙二丈五尺，欲接筑为方锥。问接筑髙防何？

答曰一丈二尺五寸术曰：置上方尺数，以髙乗之，为实；以上方尺数减下方尺数，余为法。实如法而一。草曰：置上方十尺，以髙二十五尺乗之，得二百五十尺。以上方一丈，减下方三丈，余二丈为法，除实，得一丈二尺五寸，乃合前问。今有堢壔方四丈髙二丈，欲以塼四靣单垒之。塼一枚广五寸，长一尺一寸，厚二寸。问用砖防何？答曰：「一万四千七百二十七砖，一十一分砖之三。」术曰：置堢壔方丈寸数，以塼广增之，而以四乗之，以髙乗之，为实；以塼长厚相乗为法。实如法而一。草曰：置四百寸，加五寸，以四因之，得一千六百二十寸；又以髙二百寸乗之，得三十二万四千寸。以塼长厚相乗，得二十二寸为法，除之，得一万四千七百二十七枚一十一分塼之三，合前问。今有筑圆堢壔，周九丈六尺，髙一丈三尺。问用壤土防何？

答曰一万六千六百四十尺术曰：周自相乗，以髙乗之，又以五乗为实，以三乗十二为法，实如法而一。草曰：以周九丈六尺自相乗，得九千二百一十六尺。又以髙一丈三尺乗之，得一十一万九千八百八。又以五乗之，得五十九万九千四十为实。以三乗十二，得三十六为法。除实，得一万六千六百四十尺。合前问。今有率戸出绢三疋，依贫富欲以九等出之，令戸各差除二丈。今有上上三十九戸，上中二十四戸，上下五十七戸，中上三十一戸，中中七十八戸，中下四十三戸，下上二十五戸，下中七十六戸，下下一十三戸。问九等戸各应出绢防何？

答曰上上戸戸出绢五疋上中戸戸出绢四疋二大上下戸戸出绢四疋中上戸戸出绢三疋二丈中中戸戸出绢三疋中下戸戸出绢二疋二丈下上戸戸出绢二疋下中戸戸出绢一疋二丈下下戸戸出绢一疋术曰：置上八等戸，各求积差。上上戸十六，上中戸十四，上下戸十二，中上戸十，中中戸八，中下戸六，下上戸四，下中戸二。各以其戸数乗而并之，以出绢疋丈数乗。凡戸所得，以并数减之余，以凡戸数而一，所得即下下戸递加差，各得上八等戸所出绢疋丈数。草曰：置上上戸三十九，以十六乗之，得六百二十四，列于上。又置上中户二十四，以十四因之，得三百三十六，并上。又置上下戸五十七，以十二因之，得六百八十四，并上位。又置中上戸三十一，以十因之，得三百一十，并上位。又置中中戸七十八，以八因之，得六百二十四，并上位。又置中下戸四十三，以六因之，得二百五十八，并上位。又置下上戸二十五，以四因之，得一百，并上位。又置下中戸七十六，以二因之，得一百五十二，并上位。都得三千八十八。又并九等戸三百八十六，以十二丈因之，得四千六百三十二丈，以减三千八十八丈，余一千五百四十四丈，以为平率。以众戸数三百八十六而一除之，得四丈为一疋，是最下之戸所出绢，以次各加二丈，至上上戸出五疋，皆合前问。今有粟米三千斛，六百人食之。其一百人日食糳米八斛，二百人日食粺米十四斛，三百人日食粝米十八斛。问：粟得防何日食之？答曰：「四十一日四十九分日之一十六。」术曰：置粟数为实，以三等日食米积数各求为粟之数，并以为法，实如法而一。草曰：置糳米八斛，以五十乗之，以糳米二十四除，得一十六斛，余一十六，以二十四八约之，得三余得二。又置粺米十四斛，以五十乗之，得七十斛，以粺米率二十七除，得二十五斛，余二十七分之二十五。又置粝米十八斛，以五十乗之，三十除之，得三十斛，并三位得七十一斛。又置余分三于右上，二于左上，二十七于右下，二十五于左下。以右上三乗左下二十五，得七十五，以右下二十七乗左上二，得五十四，并之得一百二十九。又以分母三乗二十七，得八十一为法，除得一斛，加上位七十一，得七十二，余四十八，分母八十一，各三约之，得二十七分之一十六。又以二十七分乗七十二斛内子一十六，得一千九百六十为法。乃置粟三千斛，以母二十七乗之，得八万一千为实，以一千九百六十为法，除得四十一日，法与余俱再折，得四十九分日之十六，合前问。今有三女，各刺文一方。长女七日刺讫，中女八日半刺讫，小女九日太半刺讫。今令三女共刺一方，问防何日刺讫？答曰：「二日一千二百五十六分日之九百三十九。」术曰：置日数，以防乘方数，并为法；日数相乘为实，实如法而一。草曰：置大女七日于右上，一于左上；中女八日半，是二分之一，以分母通分，内子一得十七于右中，一于左中；小女九日太半，以分母三因之内子二得二十九于右下，一于左下。乃防乗之，以右中十七乗左上一得十七，又以右下二十九乗之得四百九十三；又以右上七乗左中一得七，又以右下二十九乗之，又以分母二因之得四百六；又以右上七乗左下一，又以右中十七乗之，又以分母三因之得三百五十七，并之得一千二百五十六为法。又以右上七乗中一十七得一百一十九，又以右下二十九乗之得三千四百五十一为实。以法除之得二日一千二百五十六分日之九百三十九，合前问。今有车运麦输太仓，去三十七里十六分里之十一，重车日行四十五里，七日五返。问空车日行防何？

答曰日行六十七里术曰：置麦去太仓里数，以返数乗之，以重车日行里数而一，所得为重行日数，以减凡日数，余为空行日数，以为法；以返数乗麦去太仓里数为实，实如法而一。草曰：置去太仓里数三十七里，以十六乗之，内子一十一，得六百三里。又以返数五乗之，得三千一十五。以重车日行四十五，以分母十六乗之，得七百二十为法，除三千一十五，得四日，不尽二，因九约，约得十六分日之三，为重车日行里。又置七日，以十六乗之，得一百一十二。又置四日，以十六乗之，内子三，得六十七，以减一百一十二，余四十五为法，以除去太仓里数三千一十五，得六十七里，合前问。今有人持钱之洛贾利五之初返归一万六千，第二返归一万七千，第三返归一万八千，第四返归一万九千，第五返归二万。凡五返归，本利俱尽。问本钱防何？答曰：三万五千三百二十六钱，一万六千八百七分钱之五千九百一十八。术曰：置后返归钱数，以五乗之，以七乗第四返归钱数，加之，以五乗之，以四十九乗第三返归钱数，加之，以五乗之，以三百四十三乗第二返归钱数，加之，以五乗之，以二千四百一乗初返归钱数，加之，以五乗之，以一万六千八百七而一，得本钱数。一法盈不足术为之，亦得。草曰：置最后返钱数，以五乗之，得十万。又以第四返钱一万九千，以七乗之，得一十三万三千，并上位得二十三万三千。又以五因之，得一百一十六万五千。又置第三返一万八千，以四十九乗之，得八十八万二千，又加上位得二百四万七千。又以五乗之，得一千二十三万五千。又置第二返一万七千，以三百四十三乗之，得五百八十三万一千，加上位得一千六百六万六千。又以五乗之，得八千三十三万。又置初返日一万六千，以二千四百一乗之，得三千八百四十一万六千，加上位得一亿一千八百七十四万六千。又以五乗之，得五亿九千三百七十三万为实。又以一万六千八百七为法，除实得三万五千三百二十六文，一万六千八百七分钱之五千九百一十八。今有清酒一防，直粟十防；醑酒一防，直粟三防。今持粟三斛，得酒五防。问：清、醑酒各防何？

答曰醑酒二防八升七分升之四清酒二防一升七分升之三术曰：置得酒防数，以清酒直数乗之，减去持粟防数，余为醑酒实。又置得酒防数，以醑酒直数乗之，以减持粟防数，余为清酒实。各以二直相减，余为法。实如法而一，即得。以盈不足为之，亦得。草曰：置得五防，以清酒十量乗之，得五斛。减持去粟三斛，余二斛为醑酒实。又置酒五防，以醑酒三量乗之，得一斛五防。以减三斛，余一斛五防为清酒实。以三减十，余七为法。除醑酒实，得二防八升七分升之四。又以法除清酒实，得二防一升七分升之三。合前问。今有田积一十二万七千四百四十九步，问为方？防何？

答曰三百五十七步术曰以开方除之即得草曰：置前积步数于上，借一算子于下，常超一位，步至百止。以上商，置三百于积步之上，又置三万于积步之下，下法之上，名曰方法。以方命上商，三三如九，除九万。又倍方法，一退，下法再退。又置五十于上商之下，又置五百于下法之上，名曰隅法。以方、隅二法除实，余有四千九百四十九。又倍隅法，以并方，得七千，退一等，下法再退。又置七于上商五十之下，又置七于下法之上，名曰隅法。以方、隅二法除实，得合前问。今有田方一百二十一步，欲以为圆。问周几何？答曰：四百一十九步八百二十九分步之一百三十一。术曰：方自相乗，又以十二乗之，为实，开方除之，即得。草曰：以一百二十一步自相乗，得一万四千六百四十一。又以十二乗之，得一十七万五千六百九十二。借一算子于下，常超一位，步至百止。上商得四百，下置四万为方法。命上商除一十六万，倍下方法退一位，得八千。下法退二等，又置上商得一十。又置下法之上一百，名曰隅法。以方隅除实八千，一百又置倍隅法从方法退一等，得八百二十。又置九于一十之下，又置九于下法之上，名隅法。以方命上商八九七十二，除七千二百。又以方法二命上商九除一百八十。又以隅法九命上商九除八十一，余一百三十一。即四百一十九步八百二十九之一百三十一，合前问。今有圆田周三百九十六步，欲为方问得几何？答曰：一百一十四步二百二十九分步之七十二。术曰：周自相乗，十二而一，所得开方除之，即得方。草曰：置三百九十六，自相乗，得一十五万六千八百一十六，以十二而一，得一万三千六十八，以开方法除。借一算子于下，常超一位至百止。上商置一百，下置一万于下法之上，名曰方法。以方法命上商除实，一万退，方法倍之，下法再退。又置一十于上商之下，又置一百于下法上，名曰隅法。以方隅二法皆命上商除实，二千一百。又隅法倍之，以从方法退一位，下法再退。又置四于上商一十之下，又置四于下法之上，名曰隅法。以方隅二法皆命上商除实，八百九十六，余得合前问。今有弧田▯六十八步五分步之三，为田二亩三十四步四十五分步之三十二。问矢几何？

答曰矢一十二步三分步之二术曰：置田积步，倍之为实，以▯步数为从【案此下原本阙】

张邱建算经卷中<子部,天文算法类,算书之属,张邱建算经》>钦定四库全书张邱建算经卷下　　　周　甄　鸾　注经唐　李淳风　注释刘孝孙　撰细草今有甲、乙、丙、丁、戊五人共猎，获鹿。约以甲六，乙五，丙四，丁三，戊二分之。今获鹿五，问各得几何？

答曰甲得一鹿四分鹿之二乙得一鹿四分鹿之一丙得一鹿丁得四分鹿之三戊得四分鹿之二术曰：列置甲六，乙五，丙四，丁三，戊二，各自为差，副并为法，以鹿数乘未并者，各自为实，实如法而一。草曰：置六五、四三、二，并之得二十为法，又以甲六乘五鹿得三十鹿，以二十除之得一鹿，余一，与法俱倍之，得四分鹿之二；以乙五乘五鹿得二十五，复以二十除得一鹿四分之一；又以丙四乘五鹿得二十为一鹿；又以丁三乘五鹿得一十五鹿，乃得四分鹿之三；又以戊一乘五鹿得一十，乃得四分鹿之二，合前问。案：此下今有鹿，今有垣，今有仓，三问亦仅有术而无图，未足显其立意所在。谨依勾股、测望、少广、堆垜各义，为补三图于问右，用便参观。

今有鹿直西走，马猎追之，未及三十六步，鹿囘直北走，马俱斜逐之，走五十步，未及一十步，斜直射之，得鹿。若鹿不回，马猎追之，问几何里而及之？

答曰三里术曰：置斜逐步数，以射步数增之，自相乘以追之。未及步数自相乘，减之余，以开方除之，所得以减斜逐步数，余为法。以斜逐步数乘未及步数为实，实如法而一。草曰：置斜逐步五十，增未及步数十步，共六十步，自乘得三千六百。又置追之未及步数三十六步，自相乘得一千二百九十六，以减斜自乘步二千三百四步，以开方除之，得四十八步，以减斜逐步数五十余二为法。又置未及三十六，以斜逐步数五十乘之，得一千八百，以法除之，得九百步，乃合前问。

今有垣髙一丈三尺五寸，材长二丈二尺五寸，倚之于垣末，与垣齐。问引材却行几何？材末至地。

荅曰四尺五寸术曰：垣髙自乘，以减材长自乘，余以开方除之，所得以减材余，即却行尺数。草曰：置垣髙数自相乘，得一百八十二尺二寸五分。又以材长数自相乘，得五百六尺二寸五分。以垣髙自乘减之余，三百二十四。以开方法除之，得一丈八尺。以减材长二丈二尺五寸，余四尺五寸。合前问。

今有仓图今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁髙九尺，北壁髙八尺。问：受粟几何？荅曰：得四百四十斛，二十七分斛之二十。术曰：「并南北壁髙而半之，以广袤乘之为实，实如斛法而一，得斛数。」草曰：置南北壁髙并之，得一十七，半之得八尺五寸。又置长一十二尺，以广七尺，因之得八十四尺。又以髙八尺五寸乘之，得七百一十四尺。以斛法一尺六寸二分除之，得四百四十斛，余一十二。并法，各以六除之，得二十七分之二十，合前问。今有圆圌上周一丈八尺，下周二丈七尺，高一丈四尺，问受几何？答曰：「三百六十九斛四防九分防之四。」术曰：上下周相乘，又各自乘，并以高乘之，以三十六而一，所得为实。实如斛法而一，得斛数。草曰：置上周一丈八尺，自相乘得三百二十四尺；以下周二丈七尺，自相乘得七百二十九尺；又上下周相乘得四百八十六尺，并三位得一千五百三十九。又以高一丈四尺乘之，得二万一千五百四十六尺；以三十六除之，得五百九十八尺五寸为实；以斛法除之，得三百六十九斛四防余与法各折半，皆以九除之，法得九，余得四，即合前问。今有窖，上广四尺，下广七尺，上袤五尺，下袤八尺，深一丈。问：受粟几何？答曰：「得二百二十五斛，三防八十一分防之七。」术曰：倍上袤，下袤从之；亦倍下袤，上袤从之。各以其广乘之，并以深乘之，六而一。所得为实，实如斛法而一，得斛数。草曰：置上长五尺，倍之得十尺，加下长八尺，倍下长八尺得一十六尺，加上长五尺为二十一尺。以上广四尺乘上长一十八尺得七十二尺，又以下广七乘下长二十一尺得一百四十七尺，并之得二百一十九尺。又以深十尺乘之得二千一百九十，以六除之得三百六十五尺，以斛法除之得二百二十五斛三防法余，各半之得八十一分防之七，即合前问。今有窖上方五尺，下方八尺，深九尺。问：受粟几何？答曰：「二百三十八斛，九分斛之八。」术曰：上下方相乘，又各自相乘，并以深乘之，三而一，所得为实。实如斛法而一，得斛数。草曰：置上方五尺，自相乘得二十五尺；置下方八尺，自相乘得六十四尺。又以上下方相乘得四十尺，并三位得一百二十九。又以深九尺乘之，得一千一百六十一；又以三而一，得三百八十七尺。以斛法除，得二百三十八斛，余与法皆半之九约，得九分斛之八，合前问。今有仓，东西袤一丈四尺，南北广八尺，南壁高一丈，受粟六百二十二斛九分斛之二。问北壁高几何？

答曰八尺术曰：置粟积尺，以仓广袤相乘而一，所得倍之，减南壁高尺数，余为北壁高。草曰：置六百二十二斛，以九因之，得五千六百；又以斛法一尺六寸二分乘之，得九千七十二尺，是粟积数。却以九除之，得一千八尺；以长广相乘，得一百一十二尺；以除一千八尺，得九尺。倍之，得一十八尺，减南壁高一丈余，即北壁高数，合前问。今有圆圌上周一丈五尺，高一丈二尺，受粟一百六十八斛五防二十七分防之五。问下周几何？

答曰一丈八尺术曰：置粟积尺，以三十六乘之，以高而一，所得以上周自相乘，减之余，以上周尺数从而开方除之，所得即下周。草曰：置粟一百六十八斛五，防以分母二十七乘之，内子五，得四千五百五十。又以斛法乘之，得七千三百七十一。又以三十六乘，得二十六万五千三百五十六。又以二十七除之，得九千三百二十八。又以高一丈二尺除之，得八百一十九。又以上周自乘，得二百二十五，以减上数，余五百九十四。又以上周一丈五尺为从法，开方，合前问。今有窖上方八尺，下方一丈二尺，受粟九百三十八斛，八十一分斛之二十二。问深几何？

答曰一丈五尺术曰：置粟积尺，以三乘之，为实；上下方相乘，并，又各自乘，并，以为法。实如法而一。草曰：置粟九百三十八斛，以分母八十一乘之，内子二十二，得七万六千，以斛法乘之，得一十二万三千一百二十，又以三因之，得三十六万九千三百六十，以八十一除之，得四千五百六十为实，又以上方自相乘，得六十四，以下方自相乘，得一百四十四，以上下方相乘，得九十六，三位并之，得三百四为法，除实，得一丈五尺，合前问。今有窖，上广五尺，上袤八尺，下广七尺，深九尺，受粟三百一斛八防八十一分防之四十二。问：下袤几何？

答曰一丈术曰：置粟积尺，以六乘之，深而一，所得倍上袤，以上广乘之，又以下广乘上袤，并以减之，余以倍下广，上广从之，而一，得下袤。草曰：置三百一斛八防，以分母八十一乘之，内子四十二，得二万四千四百五十。又以斛法乘之，得三万九千六百九。又以六乘之，得二十三万七千六百五十四。以分母八十一除之，得二千九百三十四。又以深九尺除之，得三百二十六为实。又以倍上袤除之，得一十六。以上广五尺乘之，得八十。又以下广乘上袤，得五十六，并之得一百三十六。以减实，余一百九十。又倍下广七尺，得一十四。又加上广五尺，共一十九，除实得一丈，合前问。今有上锦三疋，中锦二疋，下锦一疋，直绢四十五疋；上锦二疋，中锦三疋，下锦一疋，直绢四十三疋；上锦一疋，中锦二疋，下锦三疋，直绢三十五疋。问：上、中、下锦各直绢几何？

答曰上锦一疋直绢九疋中锦一疋直绢七疋下锦一疋直绢四疋术曰如方程【臣淳风等谨案：此宜云「以右行上锦徧乘中行，而以直除之；又乘其左，亦以直除。以中行中锦不尽者，徧乘左行，又以直除。左行下锦不尽者，上为法，下为实。实如法，得下锦直绢。求中锦直绢者，以下锦直绢乘中行下锦，而减下实，余如中锦而一，即得中锦直绢。求上锦直绢者，亦以中下锦直绢各乘右行锦数，而减下实，余如上锦而一，即得上锦之数。列而别之，价直匹数杂而难分。价直匹数者，一行之下实。今以右行上锦徧乘中行者，欲为同齐而去中行上锦。同齐者，谓同行首齐诸下，而以直减中行术，从简易。虽不为同齐，以同齐之意观之，其宜然矣。又转去上锦、中锦，则其求者下锦一位及实存焉。故以上为法，下为实。实如法，得下锦一匹直绢。其中行两锦实，今下锦一匹直数先见，乘中行下锦匹数，得一位别实，减此别实一于下实，则其余专中锦一位价直匹数，故以中锦数而一。其右行三锦实，今中下锦直匹数并见，故亦如前右行求别实，以减中下实一，余如上锦数而一，即得】草曰：置上锦三疋于右上，中锦二疋于右中，下锦一疋于右下，直绢四十五疋于右下。又置上锦二疋于中上，中锦三疋于中中，下锦一疋于中下，直绢四十三疋于下。又置上锦一疋于左上，中锦二疋于左中，下锦三疋于左下，直绢三十五疋于下。然以右上锦三疋遍乘中行，上得六，中得九，下得三，直绢一百二十九。又以右上锦三遍乘左行，得上三，中六，下九，直绢一百五。乃以右上中下并直绢，再减中行一，减左行，余有中行中五，下一绢三十九；左行中四，下八，直绢六十。又以中行中五遍乘左行中得二十，下得四十，直绢三百。以中行四度遍减左行，余只有下锦三十六，直绢一百四十四。以下锦为法，除绢一百四十四，得四疋，是下锦一疋之直。求中锦，以下锦绢乘中行下锦一疋得四，以减下绢三十九，余三十五，以中锦五疋除之，得七疋，是中锦之直。求上锦，以中锦价乘右行中锦得一十四，以下锦直乘下锦得四，共一十八，以减下直四十五，余二十七，以上锦三除之，得九疋，合前问。今有孟、仲、季兄弟三人，各持绢，不知疋数。大兄谓二弟曰：「我得汝等绢各半，得满七十九疋。」中弟曰：「我得兄弟绢各半，得满六十八疋。」小弟曰：「我得二兄绢各半，得满五十七疋。」问兄弟本持绢各几何？

答曰孟五十六疋仲三十四疋季一十二疋术曰：大兄二，中弟一，小弟一，合一百五十八疋；大兄一，中弟二，小弟一，合一百三十六疋；大兄一，中弟一，小二，合一百一十四疋。如方程而求，即得。草曰：置大兄二于右上，中弟一于右中，小弟一于右下，绢一百五十八疋于下。又置大兄一于中上，中弟二于中中，小弟一于中下，绢一百三十六疋于下。又置大兄一于左上，中弟一于左中，小弟二于左下，绢一百一十四疋。以方程锦法求之【以右行上二遍因左行孟得二，仲得四，合得二百二十八，以左行直减之，仲余一，季余三，合余七十。又以右行上二遍因中行孟得二，仲得四，季得二，合得二百七十二，以右行直减之，仲得三，季得一，合余一百一十四。又以中行仲三遍因左行仲得三，季得九，合得二百一十，以中行直减之，季余得八，合余得九十六为实，以季余八为法除之，得季一十二疋。又中行合一百一十四减一十二余一百二，以仲三除之，得仲三十四疋。又右行合一百五十八减季一十二疋、仲三十四疋外余一百一十二，以孟二除之，得孟五十六疋。合前问】今有甲乙丙三人持钱不知多少。甲言：「我得乙大半，得丙少半，可满一百。」乙言：「我得甲大半，得丙半，可满一百。」丙言：「我得甲乙各大半，可满一百。」问：甲乙丙持钱各几何？

答曰甲六十乙四十五丙三十术曰：三甲、二乙、一丙，钱三百；四甲、六乙、三丙，钱六百；二甲、二乙、三丙，钱三百。如方程，即得。草曰：置三甲于右上，二乙于右中，一丙于右下，钱三百于下。又置四甲于中上，六乙于中中，三丙于中下，钱六百于下。又置二甲于左上，二乙于左中，三丙于左下，钱三百于下。以右行上三遍，因左行甲得六，乙得六，丙得九，钱得九百。以右行再减之余，乙二，丙七，钱三百。又以右行上三遍，因中行得甲一十二，乙一十八，丙九，钱一贯八百。以右行四遍减之余，乙一十，丙五，钱六百。左行进一位，得乙二十，丙七十，钱三贯。以中行再减之余，得丙六十，钱一贯八百。以六十除之，得丙三十。又中行钱六百，减一百五十余四百五十，以乙一十除之，得乙四十五。又去右行钱减一百二十余一百八十，以甲三除之，得甲六十。合前问。今有甲乙怀钱各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍；乙得甲十钱，适等。问：甲乙怀钱各几何？

答曰甲三十八钱乙钱十八术曰：以四乘十钱，又以七乘之，五而一，所得半之，以十钱增之，得甲钱数；以十钱减之，得乙钱数。草曰：置多钱，五倍除十钱，余四，因之得四十，又以七乘之，得二百八十，却以五除之，得五十六，半之得二十八，加得乙十钱，共三十八钱为甲怀钱；又以二十八钱减十钱，为乙怀钱。合问。今有车五乘，行道三十里，雇钱一百四十五。今有车二十六乘，雇钱三千九百五十四，四十五分钱之十四。问行道几何？

答曰一百五十七里少半里术曰：置今有雇钱数，以行道里数乘之，以本车乘数乘之，为实；以本雇钱数乘今有车数为法。实如法得一。草曰：置今雇钱三千九百五十四，四十五分钱之十四，通分内子得一十七万七千九百四十四，又以三十里乘之，得五百三十三万八千三百二十，又以本车五乘之，得二千六百六十九万一千六百为实，又以本雇钱一百四十五乘今有车二十六，得三千七百七十，又分母四十五乘之，得一十六万九千六百五十为法，除实得一百五十七里，余五万六千五百五十，与法各约之，得三分里之一，合问。今有恶粟一斛，五防舂之得粝米七防。今有恶粟二斛，问为粺米几何？

答曰八防四升术曰：置粝米之数，求为粺米所得之数，以乘今有恶粟为实，以本粟为法，实如法得一【臣淳风等谨按：此术置粝米十斗，以粺米率九乘之，以十而一，得六斗十分斗之三，是为恶粟十五斗得作粺米六斗十分斗之三，此今有术，恶粟二十斗为所有数，粺米六斗十分斗之三为所求率，恶粟十五斗为所有率】草曰：置粝米七斗，以九因得六十三，又以一十除得六斗一十分斗之三，却通分内子得六百三十，又以二斛因得一万二千六百为实，又置一斛五斗，以十分因之得一十五斛为法，除之得八斗四升，合问。今有好粟五斗，舂之得糳米二斗五升。今有御米十斗，问得好粟几何？答曰：「二斛二斗八升七分升之四。」术曰：置糳米数，求御米之数为法【臣淳风等谨按：问意宜云置糳米数，求御米之数为法，其术直云置糳米数为法者，错也】又置今御米数，以本粟乘之为实，实如法得一【臣淳风等谨按：此术置糳米二十五升，以御米率七乘之，以糳米率八而一，得二斗十六分斗之三为好粟五得，作御米二斗十六分斗之三，于今有术，御米十斗为所有数，好粟五斗为所求率，御米二斗十六分斗之三为所有率】草曰：置糳米二斗五升，以御米率七因之，得一百七十五，八而一，得二斗十六分之三。又却通分内子，得三十五为法。又置一十斗，以十六乘之，得一百六十为实。以法除之，得二斛二斗八升七分之四。合问。今有差丁夫五百人，合共重车一百一十三乘。问：各共重几何？

答曰六十五乘乘各四人共重四十八乘乘各五人共重术曰：置人数为实，车数为法，而一，得四人共重。又置一于上方，命之实余，返减法讫，以四加十一，方一，得五人共重。法余即四人共重车数，实余即五人共重车数。草曰：置五百人，以一百一十三乘除之，得四人，余四十八。以减法余六十五，为四人共一车。以四因六十五人，得二百六十，减五百，余二百四十。以四十八除之，得五人共重一车量，合问。今有甲持钱二十，乙持钱五十，丙持钱四十，丁持钱三十，戊持钱六十。凡五人合本治生，得利二万五千六百三十五，欲以本钱多少分之。问：各人得几何？

答曰甲得二千五百六十三钱，四分钱之二；乙得六千四百八钱，四分钱之三。

丙得五千一百二十七钱丁得三千八百四十五钱，四分钱之一；戊得七千六百九十钱，四分钱之二。术曰：各列置本持钱数，副并为法，以利钱乘未并者，各自为实，实如法得一。草曰：置甲等五人所持钱，并之得二百，为法。又以甲持钱二十，乘利钱二万五千六百三十五，得五十一万二千七百，以法除之，得二千五百六十三，余与法皆五除，得法四，余二是四分钱之二。求乙钱，以乙五十乘利钱，得一百二十八万一千七百五十，又以法除之，得六千四百八钱，余与法皆倍之，得四分钱之三。求丙持钱，以四十乘利钱，得一百二万五千四百，以法除之，得五千一百二十七钱。求丁钱，以三十乘利钱，得七十六万九千五十，以法除之，得三千八百四十五钱，四分钱之一。求戊钱，以六十乘利钱，得一百五十三万八千一百，以法除之，得七千六百九十钱，四分钱之二。乃合前问。今有甲乙丙三人共出一千八百钱买车一辆，欲与亲知乘之。为亲不取，还卖得钱一千五百，各以本钱多少分之。甲得五百八十三钱三分钱之一，乙得五百钱，丙得四百一十六钱三分钱之二。问本出钱各几何？

答曰甲出钱七百乙出钱六百丙出钱五百术曰：置甲、乙、丙分得之数，副并为法，以置车钱数，乘未并者，各自为实，实如法得一。草曰：置甲得钱五百八十三，以分母三乘之，内子乙得一千七百五十；又以本置车钱一千八百乘之，得三百一十五万。又置求分钱一千五百，以分母三因之，得四千五百为法，以除实，得七百。是甲钱，求乙置分得钱数五百，以一千八百乘之，得九十万，以一千五百为法除之，得六百。求丙置分得钱数四百一十六，以钱分母三因之，内子二得一千二百五十；又以八千八百乘之，得二百二十五万。又置未分钱一千五百，三因之，得四千五百为法，除实得五百，合前问。今有雀一只，重一两九铢；燕一只，重一两五铢。有雀燕二十五只，并重二斤一十三铢。问燕雀各几何？

答曰雀十四只燕十一只术曰：置，假令雀一十五只，燕十只，盈四铢，于右行；又置，假令雀十二只，燕十三只，不足八铢，于左行。以盈不足维乘之，并以为实；并盈不足为法。实如法，得一。草曰：「置雀一十五只于右上，置盈四铢于右下；又置雀一十二只于左上，置不足八铢于左下。维乘之，以右下四乘左上一十二，得四十八；以左下八乘右上一十五，得一百二十。并之得一百六十八，以盈不足并之得一十二为法，除实得一十四雀。」求燕：「置燕十于右上，四于右下；又置燕十三于左上，置八于左下。以左下八乘右上十，得八十；以右下四乘左上十三，得五十二。并之得一百三十二，并盈不足为法，除实得一十一燕。」得合前问。今有七人，九日造成弓十二张半。今有十七人，造弓十五张。问几何日讫？答曰：「四日八十五分日之三十八。」术曰：置今造弓数，以弓日数乘之，又以成弓人数乘之，为实；以今有人数乘本有弓数，为法。实如法得一。草曰：置今造弓十五张，以成弓日数九乘之，得一百三十五。又以成弓人数七乘之，得九百四十五，为实。又置本造弓十二张半，以今造弓十七人乘之，得二百一十二半，为法。除之，得四日。法与余皆退位，四因得八十五分之三十八，合前问。今有城周二十里，欲三尺安鹿角一枚，五重安之。问：凡用鹿角几何？

答曰六万一百枚城若圆凡用鹿角六万六十枚术曰：置城周里尺数，三而一，所得五之，又置五以三乘之，又自相乘，以三自乘而一，所得四之，并上位，即得凡数。城若圆者，置城周里尺数，三而一，所得五之，又并一二三四，凡得一十，以六乘之，倂之得凡数。草曰：置二十里，以三百步乘之，得六千步。法六因之，得三万六千。以三尺除之，得一万二千。以重数五乘之，得六万，于上位。又以五乘三，得一十五，又自相乘，得二百二十五。又以三自乘，得九为法，以除二百二十五，得二十五。四因之，得一百。若求圆者，置城围尺数，三而一，得一万二千。所得五因之，为六万，于上位。又以一、二、三、四并之，得一十，以六因之，得六十，从上位，得六万六十，是圆也。今有粟二百五十斛，委注平地下，周五大四尺。问高几何？

答曰五尺术曰：置粟积尺，以三十六乘之，为实；以下周自乘为法。实如法得一。草曰：置粟二百五十，以斛法一尺六寸二分乘，又以三十六乘之，得一万四千五百八十；置下周五丈四尺，自相乘得二千九百一十六，为法除实，得五尺，合前问。今有客岁作【臣淳风等谨按问意三百五十四日】要与粟一百五十斛，已与之粟，先五十八日归问折粟与粟各几何？

答曰折粟二十四斛五防五十九分防之四十五，与粟一百二十五斛四防五十九分防之十四。术曰：置归作日数，以与粟乘之，各自为实，以一岁三百五十四日为法，实如法得一。草曰：置归作日五十八日，以粟一百五十斛乘之，得八千七百；又以岁三百五十四除，得二十四石五防余。与法皆六除之，得五十九分防之四十五。求与粟数，以作日二百九十六，以一百五十斛乘之，得四万四千四百；以岁三百五十四除之，得一百二十五斛四斗五十九分防之十四，合前问。今有廪人，人日食米六升。今三十五日，食米七千四百九十二斛八防。问人几何？

答曰三千五百六十八人术曰：置米数为实，以六升乘三十五日为法，实如法得一。草曰：置米七千四百九十二斛八防以六乘，三十五日得二斛一防为法，以除积数，得三千五百六十八人，合前问。今有五十八人，二十九日食麫九十五斛三防一升少半升。问人食几何？

答曰五升太半升术曰：置麫斛斗升数为实，以人日食相乘为法，实如法得一。草曰：置麫，数以三因之内，子一得二万八千五百九十四；置人数五十八，以二十九乘之，得一千六百八十二；又以三因之，得五千四十六为法，除得五升，余皆三约之，得三分之二，为太半升，合前问。今有二人，三日锢铜得一斤九两五铢。今一月日锢铜得九千八百七十六斤五两四铢少半铢。问：人功几何？答曰：「一千二百五十三人，三百六十三分人之二百六十二。」术曰：置二人三日所得锢铜斤两铢，通之作铢，以二人三日相乘除之，为一人一日之铢，二十四而一。还以一人一日所得两铢，通分内子，复以一月三日乘一人积分所得，复以铢分母三通之为法。又以今锢铜斤两通为铢，以少半铢者三分之一，以三通内一，以六乘之为实。实如法而一，得人数，不尽约之为分。草曰：置二人，三日所得铜一斤九两，以十六通斤，得二十五两；又以铢数二十四乘之，入五铢，得六百五。以二人乘三日，得六为法，除得一百铢六分之五，是一日所得之数。以二十四除之，一人所得四两四铢六分铢之五。却通分内子，得六百五。以一月三十日乘之，得一万八千一百五十；又以通分母三因之，得五万四千四百五十为法。置今锢铜，以十六两乘之内五两，得一十五万八千二十一两；又以二十四铢乘之内四铢，得二百七十九万二千五百八铢；又以通分母三因之内子一，得一千一百三十七万七千五百二十五；又以法分母六因之，得六千八百一十六万五千一百五十为实。以法除之，得一千二百五十三人，法与余皆一百五十约之，法得三百六十三，余得二百六十二，合前问。今有立方九十六尺，欲为立圆问径几何？答曰：「一百一十六尺四万三百六十九分尺之一万一千九百六十八。」术曰：立方，再自乘，又以十六乘之，九而一，所得开立方除之，径得圆径。草曰：置九十六，再自乘，得八十八万四千七百三十六。又以十六乘之，得一千四百一十五万五千七百七十六。以九除之，得一百五十七万二千八百六十四。以立方法除，借一算子于下，常超二位，步至百，而上商置一百，下置一百万于法之上，名曰方法。以法命上方一百除实一百万，方法三因之，得三百万。又置一百万于方法之下，名曰廉法。三因之，方法一退，廉法再退，下法三退。又置一十于上商一百之下，又置一千于下法之上，名曰隅法。以方、廉三法皆命上商一十除十毕，又倍廉法，三因之，隅法皆从方法。又置一百一十于方法之下，三因之，名曰廉法。方法一退，廉法再退，隅法三退。又置六于上商之下，又置六于下法之上，名曰隅法。乃自乘得三十六，又以六乘廉法，得一千九百八十五。方、廉、隅三法皆命上商六除之，除实毕，倍廉法，三因隅法，皆从方，得一百一十六尺四万三百六十九分尺之一万一千九百六十八。合前问。今有立圆径一百三十二尺，问为立方几何？答曰：「二百八尺，三万四千九百九十三分尺之三万四千二十。」术曰：令径再自乘，九之十六而一，开立方除之，得立方。草曰：置径一百三十二尺，再自乘，得二百二十九万九千九百六十八，又以九因之，得二千六十九万九千七百一十二，又以十六除之，得一百二十九万三千七百三十二，以开立方法除之，得合前问。今有立方材三尺，锯为方枕一百二十五枚。问：一枚为立方几何？

答曰一枚方六寸术曰：以材方寸数，再自乘，以枚数而一，所得开立方除之，得枕方。草曰：以三十寸再自相乘，得二万七千寸，以枕一百二十五枚除之，得二百一十六，以开方除之。置上六于上，借一算子于下，置六于下法之上，以自乘得三十六，名曰方法。以方法命上商除之，得六寸，乃合前问。今有亭一区，五十人七日筑讫。今有三十人，问几何日筑讫？

答曰十一日三分日之二术曰：以本人数乘筑讫日数为实，以今有人数为法，实如法得一。草曰：置七，以五十人乘之，得三百五十；以三十人为法，除得十一日三分之二，合前问。今有负他钱，转利偿之。初去转利，得二倍，还钱一百。第二转利，得三倍，还钱二百。第三转利，得四倍，还钱三百。第四转利，得五倍，还钱四百。得毕，凡转利倍数皆通本钱。今除初本有钱五千九百五十，问初本几何？

答曰本钱一百五十术曰：置初利还钱，以三乘之，并第二还钱，又以四乘之，并第三还钱，又以五乘之，并第四还钱讫，并余钱为实，以四转得利倍数相乘，得一百二十，减一余为法，实如法得一。草曰：置初还钱一百，以三乘之，得三百。又并第二还钱，得五百，以四乘之，得二千。又并第三还钱，得二千三百，以五乘之，得一万一千五百。又并第四还钱，并今有钱，得五千九百五十，共得一万七千八百五十。以四转利二三四五相乘，得一百二十，除一余一百一十九为法，除实得一百五十。本合前问。今有三人，四日客作，得麦五斛。今有七人，一月日客作，问得麦几何？

答曰八十七斛五防术曰：以七人乘一月三十日，又以五斛乘之，为实；以三人乘四日为法。实如法而得一。草曰：以七人乘三十日，得二百一十，又五斛乘之，得一千五十，为实；以三人乘四日，得一十二，为法。除实，得八十七斛五防即合前问。今有人举取他绢，重作劵，要过限一日，息绢一尺；二日，息二尺。如是，息绢日多一尺。今过限一百日，问息绢几何？

答曰一百二十六疋一丈术曰：并一百一日息以乘百日而半之即得草曰置一百一尺，以一百日乘之，得一万一百尺，半之，得五千五十尺，以疋法四十尺除之，得一百二十六疋一丈，合前问。今有妇人于河上荡杯，津吏问曰：「杯何以多？」妇人答曰：「家中有客，不知其数，但二人共酱，三人共羮，四人共饭，凡用杯六十五。」问人几何？

答曰六十人术曰：列置共杯、人数于右方，又共置共杯数于左方。以人数互乘杯数，并以为法，令人数相乘以乘杯数为实。实如法得一。草曰：置人数二、三、四列于右行，置一一一杯数左行，以右中三乘左上一，得三；又以右下四乘之，得一十二；又以右上二乘左中一，得二；又以右下四乘之，得八；以右上二乘左下一，得二；又以右中三乘左下二，得六。三位并之，得二十六为法。又以二、三、四相乘，得二十四，以乘六十五杯，得一千五百六十；以二十六除之，得六十人数，合前问。今有鸡翁一直钱五，鸡母一直钱三，鸡雏三直钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？

答曰鸡翁四直钱二十鸡母十八直钱五十四鸡雏七十八直钱二十六又答鸡翁八直钱四十鸡母十一直钱三十三鸡雏八十一直钱二十七又答鸡翁十二直钱六十鸡母四直钱十二鸡雏八十四直钱二十八术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得【所以然者，其多少互相通融于同价，则无术可穷尽其理】此问若依上术推算，难以通晓。然较之诸本并同，疑其从来脱漏阙文。盖流传既久，无可考证。自汉唐以来，虽甄鸾、李淳风注释，未见详辨。今将算学教授，并谢察微拟立术草，剏新添入。其术曰：置钱一百在地，以九为法除之【以九除之，既雏三，直钱一，则是每雏直三分钱之一，宜以鸡翁母各三因并之，得九】得鸡母之数，不尽者返减下法为鸡翁之数，别列鸡都数一百只在地，减去鸡翁母数，余即鸡雏，得合前问。若鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三；或鸡翁每减四，鸡母每增七，鸡雏每损三，即各得又答之数。草曰：置钱一百文在地为实，又置鸡翁一，鸡母一，各以鸡雏三因之，鸡翁得三，鸡母得三，并鸡雏三，并之共得九为法，除实得一十一为鸡母数，不尽一，返减下法九，余八为鸡翁数。别列鸡都数一百只在地，减去鸡翁八，鸡母一十一，余八十一为鸡雏数。置翁八以五因之，得四十，即鸡翁直钱。又置鸡母一十一以三因之，得三十三，即鸡母直。又置鸡雏八十一以三除之，得二十七，即鸡雏直。合前问。又草曰：置鸡翁八，增四，得一十二；鸡母一十一，减七，得四；鸡雏八十一，益三，得八十四。得百鸡之数，如前求之；得百钱之数，亦合前问。又草曰：置鸡翁八，减四，得四；鸡母一十一，增七，得一十八；鸡雏八十一，损三，得七十八。如前求之，各得百鸡百钱之数，亦合前问。