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钦定四库全书　　　　　子部六提要数术记遗天文算法类二【算书之属臣】等谨按《数术记遗》一卷，旧题汉徐岳撰，北周甄鸾注。岳，东莱人。《晋书·律厯志》所称呉中书令阚泽受刘洪《乾象法》于东莱徐岳者是也。《隋书·经籍志》具列岳及甄鸾所撰《九章算经》《七曜术算》等目，而独无此书之名。至《唐艺文志》始着于录。书中称“于泰山见刘会稽，博识多闻，徧于术数，余因受业时问曰：‘数有穷乎？’会稽曰：‘吾曽游天目山中，见有隐者云云。’”大抵言其传授之神秘。然案《后汉志》注引袁山松书曰：“刘洪，泰山▯阴人，延熹中以校尉应太史徴，拜郎中，后为会稽东部都尉，征还未至，领丹阳太守，卒官。”是洪官会稽，后未尝家居，不得言于泰山见之。且洪在会稽，乃官都尉，其为太守实在丹阳，而注以为官防稽太守，错互殊甚。又旧本皆题汉徐岳撰，据《晋书》所载，岳当魏黄初中与太史丞韩诩论难日月食五事，则岳已仕于魏，不得系之于汉，考古尤为疎谬。至中列黄帝三等数及积算太一算之类，皆絶无义蕴。其“天门金虎”等语，乃道家诡诞之説，甚为隐僻不经。注所言算式数位，按之正文多不相蒙，殆非一手所撰。唐代选举之制，算学《九章》五曺之外，兼习此书，此必当时购求古算好事者因依托为之，而嫁名于岳耳。然流传既久，学者或以古本为疑，故仍録存之，而详斥其伪，以祛后人之惑焉。海岛算经》天文算法类二【算书之属，臣】等谨案：《海岛算经》一卷，晋刘徽撰。唐李淳风等奉诏注。据刘徽序：《九章算术》有云，徽寻《九数》有重差之名，凡望极高，测絶深，而兼知其逺者，必用重差。辄造重差，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下。度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。据此，则徽之书本名重差，初无海岛之目，亦但附于句股之下，不别为书。故《隋志》《九章算术》増为十卷，下云刘徽撰，葢以《九章》九卷合此而十也。而《隋志》《唐志》又皆有刘徽《九章重差图》一卷，葢其书亦另本单行，故别着于录。一书两出。至《唐志》兼列刘向《九章重差》一卷，则徽之重差既自为卷，因遂讹刘徽为刘向，而一书三出耳。今详为攷证，定为刘徽之书。至“海岛”之名，虽古无所见，不过后人因卷首以海岛立表设问，而改斯名。然《唐选举志》称算学生《九章》《海岛》共限习三年，试《九章》三条，《海岛》一条，则改题“海岛”自唐初已然矣。其书世无传本，惟散见《永乐大典》中，今裒而辑之，仍为一卷。篇帙无多，而古法具在，因宜与《九章算术》同为表章，以见算数家源流之所自焉。乾隆四十六年二月恭校上。总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总　校　官　【臣】陆　费　墀钦定四库全书巻数术记遗余以天门金虎呼吸精泉按《星经》云：昴者，西方白虎之宿。太白者，金之精也。太白入昴，金虎相薄，法有兵乱。周宣王时，有人采薪于郊间，歌曰：「金虎入门，呼长精，吸▯泉。」时人莫能知其义。老子曰：「太白入昴，兵其乱。」徐氏名岳，东莱人。葢以汉室板荡，又谲诡见于天，将访名山，自求多福也。

羽檄星驰郊多走马按，汉征天下兵，必露檄插羽也。老子曰：「天下有道，却走马以粪；天下无道，戎马生于郊也。」

遂负帙游山蹠迹志道蹠迹者，两足共蹑一足迹也。汉文帝时，河上公蹠迹为士。备厯邱岳，林壑必过，乃于太山见刘防稽，博识多闻，徧于数术，余因受业，颇染所由，余时问曰：“数有穷乎？”防稽曰：“吾曽游天目山中。”防稽官号汉中人也。按厯志称，灵帝光和中，谷城守门▯太山刘洪造乾象厯，又制月行迟疾隂阳厯，自洪始也。方于太初四分转精密矣。洪后为防稽太守，刘洪付乾象于东莱徐岳，又授吴中书令阚泽，泽甚重焉，为注解。今按地记，天目山在吴兴之界。见有隐者，世莫知其名，号曰天目先生。余亦以此意问之。先生曰：「世人言三不能比两，乃云捐闷。与四维艺经云：捐闷者，周公作也。先本位以十二时相从，其文曰：『同有文章，虎不如龙，豕者何为来入兎宫？王孙出卜，乃造黄钟。犬就马廐，非类相从。羊奔蛇穴，牛入鸡笼。』徐援称捐闷，乃是竒两之术。发首即竒一，后乃竒两者，即为疑。更调曰：『大猪东行，遁虎坑。兎子欲宿，入马廐。羊来入村，狗所屯。大牛何知，乗龙上？蛇徃西方，入猴乡。鸡鸟不止，夜防藏。』其言三不能比两者，孔子所造也。布十干于其方，戊已在西南维。其文曰：『火为木生，甲呼丁夫妇义重，已随壬贵，夷则统领辛参南，丙乙妻则须守后火戊子天癸就庚。』四维东莱子所造也。布十二时四维之一，其文曰：『天行星纪，石随龙渊，风吹羊圏，天门地连兎居蛇穴，马到猴边，鸡飞猪乡，防入虎躔。』挚亦有四维之戯，与此异焉。

数不识三妄谈知十三者，上、中、下也。十数，昻一数也。于先之意，非止十等之名，将闗大衍之防。事一也。犹川人事，迷其指归，乃恨司方之手爽。司方者，指南车也。狐疑论称，黄帝将见大隗于具茨之山，至襄城之野，川谷之山，率多斜曲。川人曰：“积数之常，乃固以之，非指南车之为爽。”乃指谓【阙】擢。司方所指者，乃为我等之西也。然则指车岂其谬也？乃行数里，川人又曰：“司方所指，我等之东也。”众共论之，为疑笑。于时，容成子怪而问之。川人以其状白对容成曰：“在此望之，具茨之山，于汝住所复在何方？”川人又曰：“在我之东。”容成曰：“汝向言在西，今更在东，何言不常也？此非山川之移，川曲之斜，人心之惑耳。”川人乃请于斜曲之中，定东西南北之术。容成曰：“当竖一木为表，以索系之，表端引索绕表画地为规。日初出影长，则出圆规之外；向中影渐短，入规之中。候西北隅影初入规之处，则记之。乃过中影渐长，出规之外；候东北隅影初出规之处，又记之。取二记之所，即正东西也。折半以指表，则正南北也。”川人志之，以为知方之术。未识刹那之赊促，安知麻姑之桑田？按《楞伽经》云：称量长短者，积刹那数以成日夜。刹那量者，壮夫一弹指日过顷，遥六十四刹那。二百四十刹那名一恒刹那。三十恒刹那名一婆罗。三十婆罗名一摩防罗多。三十摩防罗多子为一日一夜。其一日一夜有六百四十八万刹那。《神仙传》称麻姑谓王方平曰：「自接侍以来，见东海三变为桑田。向到蓬莱，水乃浅于往者略半也。岂复将为陵陆乎？」方平乃曰：「东海行复扬尘耳。」不辨积微之为量，讵晓百亿与大千？按《楞伽经》云：积微成一阿耨，七阿耨为一铜上尘，七铜上尘为一水上尘，七水上尘为一兎毫上尘，七兎毫上尘为一羊毛上尘，七羊毛上尘为一牛毛上尘，七牛毛上尘为一向中由尘，七向中由尘成一虮，七虮成一虱，七虱成一麦横，七麦横成一指节，二十四指节为一肘，四肘为一弓，去肘五百弓为阿兰惹据。若摩羯国人，一拘卢舍为五里，八拘卢舍为一由旬，一由旬计之为四十里也。及以算校之，正得一十七里。何者？计二尺为一肘，四肘为一弓，弓长八尺也。计五百弓有四千尺也。八拘卢舍则有三万二千尺，以步法六尺除之，得五千三百三十三步，以里法三百步除之，得一十七里余二百三十三步。《华严经》云：四天下共一日月为一世界，有千世界，有一小铁围山绕之，名曰小千世界。有一小千世界，有中铁围山绕之，名曰中千世界。有中千世界，有大铁围山绕之，名曰大千世界。此三千大千世界之中，有百亿须弥山。乃今校之，世有十亿日月，十亿须弥山。何者？置小千世界之中，有一千日月，以一千乗之，得一百万，即中千世界中日月数也。置中千世界日月之数，以一千乗之，即得大千世界日月之数也。又云：四天下者，须弥山南曰阎浮提，山北曰郁丹越，山东曰【阙】提，山西曰俱瞿耶尼。山其日月，一日一夜照四天下。山南日中，山北夜半，山东日中，山西夜半。及以成事验之，则有疑矣。何者？按阎浮提人在须弥山南，及至二月、八月春秋分，昼夜停，以漏刻度之，则昼夜各五十刻也。然则日初出时，东向视日之当我之东，即漏刻及其日浸当我之西五十刻。其一日一夜之中，绕三天下而来，所以至晓亦得五十刻也。胡以十万为亿，有百倍日月、四天下等事有所未详也。黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载。三等者，谓上、中、下也。其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京也。上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也。按《诗》云：“胡取禾三百亿兮。”毛注曰：“万万曰亿。”此即中数也。郑注云：“十万曰亿。”此即下数也。徐援受记云：“亿亿曰兆，兆兆曰京也。”此即上数也。郑注以数为多，故合而言之。

从亿至载终于大衍按《易经》大衍之数五十，其用四十有九。又云：「天一，地二；天三，地四；天五，地六；天七，地八；天九，地十。天数五，地数五。天数二十有五，地数三十。凡天地之数五十有五也。」下数浅短，计事则不尽；上数宏廓，世不可用。故其传业，惟以中数耳。余时问曰：「先生之言，上数者数穷则变，既云终于大衍，大衍有限，此何得穷？」先生笑曰：「盖未之思耳。数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环。循环之理，岂有穷乎？」小兼大者，备加董氏三等术数，加更载为烦，故略焉。余又问曰：「为算之体，皆以积为名，为复更有他法乎？」先生曰：「隶首注术，乃有多种，及余遗忘，记忆数事而已。其一，积算；其一，太乙；其一，两仪；其一，三才；其一，五行；其一，八卦；其一，九宫；其一，运算；其一，了算；其一，成数；其一，把头；其一，龟算；其一，珠算；其一，计算。」此等诸法，随须更位。唯有九宫守一，不移位依行色，并应无穷。从积以来，至珠算，从一至于百千已上，位更不变，改位依行色者，位依五行之色。北方水，色黒，数一；东方木，色青，数三；南方火，色赤，数二；西方金，色白，数四；中央土，色黄，数五。言位依行色也。一位第一，用▯珠；十位第二，用赤珠；百位第三，用青珠；千位第四，用白珠；万位第五，用黄珠。十万位，以赤綖系黄珠；百万位，以青綖系黄珠；千万位，以白綖系黄珠；万万位曰亿，以黄綖系黄珠。自余诸位，唯兼之，故曰并应无穷也。余慕其术，虑恐遗忘，故与好事后生记之云尔。

积算今之常算者，也以竹为之，长四寸，以效四时；方三分，以象三才。言算法，是包括天地以烛人情。数始四时，终于大衍，犹如循环。故曰：「今之常算，是也。」

太乙算太乙之行去来九道刻板横为九道，竖以为柱。柱上一珠，数从下始，故曰“去来九道”也。

两仪算天气下通地禀四时刻板横为五道，竖为位。一位两珠，上珠色青，下珠色黄。其青珠自上而下，第一刻主五，第二刻主六，第三刻主七，第四刻主八，第五刻主九。其黄珠自下而上，第一刻主一，第二刻主二，第三刻主三，第四刻主四而已。故曰：“天气下通，地禀四时也。”三才算天地和同随物变通刻板横为三道，上刻为天，中刻为地，下刻为人，竖为算位，有三珠：青珠属天，黄珠属地，白珠属人。又其三珠通行三道，若天珠在天为九，在地主六，在人主三；其地珠在天为八，在地主五，在人主二；人珠在天为七，在地主四，在人主一。故曰天地和同，随物变通。按三元：上元甲子一七四，中元甲子二八五，下元甲子三六九，随物变通也。

五行算以生兼生生变无穷五行之法，水▯，生数一；火赤，生数二；木青，生数三；金白，生数四；土黄，生数五。今为五行算，色别九枚，以五行色数相配为算之位。假令九亿八千七百六十五万四千三百二十一者，则以白算配黄为九亿，以青算配黄为八千，以赤算配黄为七百，以▯算配黄为六十，以一黄算为五万，以一白算为四千，以一青算为三百，以一赤算为二十，以▯算为一也。故曰：以生兼生，生变无穷。

八卦算针刺八方位阙从天算为之法，位用一针锋所指以定算位。数一从离起，指正南，离为一；西南坤为二，正西兑为三；西北干为四，正北坎为五；东北艮为六，正东震为七；东南巽为八，至九位阙即在中央。竖而指天，故曰位阙从天也。

九宫算五行参数犹如循环九宫者，即二、四为肩，六、八为足，左三，右七，戴九，履一，五居中央。五行参数者，设位之法，依五行已注于上，是也。

运筹算小往大来运于指掌此法位别，须算筹一枚，令长五寸。其一筹上各为五刻，上头一刻近一头刻之，其下四刻迭相去一寸，令去下头亦一寸。入手取四指三间，间有三节：初食指上节间为一位，第二节间为十位，第三节间为百位；至中指上节间为千位，中节间为万位，下节间为十万位；无名指上节间为百万位，中为千万位，下为亿也。他皆仿此。至算刻近头者，一刻主五；其逺头者，一刻之别，从下而起，主一，主二，主三，主四。若一二三四头则向下于掌中，中若其至五则回取上头向掌中，故曰「小往大来也」。回游于手掌之间，故曰「运于指掌也」。

了知算首惟秉五腹背两兼了算之法，一位为一了字。其了有三曲，其下股之末，内主一，外主九。下次第一曲，内主二，外主八。当二曲，内主三，外主七。其第三曲，内主四，外主六。当了字之首，则主五。故曰：首唯秉五，腹背两兼也。

成数算春夏生养秋收冬成算之法，位别须五色算一枚。其一算之象，头各以黄色为本，以生数也。余色为首，其五行各配土为成数也。水▯，生数一，成数六；火赤，生数二，成数七；木青，生数三，成数八；金白，生数四，成数九。若以首向东及南为生数，向西及北为成数。假令有九亿八千七百六十五万四千三百二十一者，则以白算首向北为九亿，以青算首向西为八千，以赤算首向北为七百，以▯算首向西为六十，以黄算一枚竖为五万，以白算首向东为四千，以青算首向南为三百，以赤算首向东为二十，以▯算首向南为一也。故首向东、向南为生数，向西、向北为成数。故云春夏生养，秋收冬成也。

把头算以身当五目视四方把头之法，别须算二枚，一漫一齿者，一面刻为一，其一面为二，一面为三，其一面为四也。漫者为把，为犹即当五算；生齿者为把头，一目当一算，故曰「以身当五，目视四方」也。

龟算春夏秋成遇冬则停为算之法，位别一龟，龟之四面为十二时。以龟首指寅为一，指卯为二，指辰为三，指已为四，指午为五，指未为六，指申为七，指酉为八，指戌为九，指亥为十。龟头指不以为数，故云遇冬则停也。

珠算控▯四时经纬三才刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别。其上别色之珠，当其下四珠；珠各当一，至下四珠所领，故云控▯四时。其珠游于三方之中，故云经纬三才也。

计数既舍数术宜从心计言舍数术者，谓不用算筹，宜以心计之。或问曰：今有大水，不知广狭，欲不用算筹度而知之。假令于水北度之者，在水北置三表，令南北相直，各相去一丈，人在中表之北，平直相望水北岸，令三相直，即记南表相望相直之处，其中表人目望处亦记之。又从中相望处直望水南岸，三相直防南表相直之处亦记之。取南表二记之处髙下，以等北表防记之。还从中表前望之所，北望之北表下记三相直之北，即河北岸也。又望上记三相直之处，即河北岸中间，则水广狭也。或曰：今有长竿一枝，不知髙下，既不用筹算，云何计而知之？答曰：取竿之影，任其长短，画地记之。假令手中有三尺之物，亦竖之，取杖下之影长短，以量竿影得矣。或问曰：今有深坑，在上防之，可知尺数已否？答曰：以一杖极意长短，假令以一丈之杖掷着坑中，人在岸上手提之一杖，舒手望坑中之杖，遥量知其寸数，即令一人于平地捉一丈之杖，渐令却行，以前者遥望坑中寸量之，与望坑中数等者，即得。或问曰：今甲乙各驱羊一羣，人各问多少，而甲曰：更得乙一口，即加五，多于甲。问各几何？答曰：甲九口，乙十一口。或问曰：甲乙各驱羊行人，问其多少，甲曰：我得乙一口，即与乙等。乙曰：我得甲一口，则倍多于甲。问各几何？答曰：甲二，乙四。或问曰：今有鸡翁一只，直五文，鸡母一只，直四文，鸡儿一文得四只。今有钱一百文买鸡大小一百只，问各几何？答曰：鸡翁十五只，鸡母一只，鸡儿八十四只，合大小一百只，计数多少，略举其例。或问曰：今有鸡翁一只，直四文，鸡母一只，直三文，鸡儿三只直一文。今有钱一百文，还买鸡大小一百只，问各几何？答曰：鸡翁八只，鸡母十四只，鸡儿七十八只，合一百只。或问鸾曰：「世人乃云算位者，算子则竖，信有之乎？」鸾答之曰：「依如针算，则以针锋指八卦之位，一从离起，右行周帀至巽八位既合，及其至九，无位可指，是以在中竖而指天，故曰有位合算，子竖之名也。」又问鸾曰：「昔有吴人赵逹，用一算之法，头乗尾除，其有此术乎？」鸾答之曰：「此乃传之失实，犹【阙】公获夔一足，丁氏穿井而获一人也。何者？按乗之法，重张其位，以上呼一，置得于中，置所除之数于下，又置得于上，亦三重张位。然则乗之与除法用不同，欲以一算上下当六重之身，増损为众位之实。若其神也，则借一算之功；如其凢也，理不可尔。」问者又曰：「若如来指为妄矣，此言何从而至？」鸾答之曰：「此亦传之过实也。何者？积一算者，盖一位用一算也。头乗尾除者，欲使乗别位乗时，以针锋指之；除时则用针尾防之，故有头乗尾除之名也。」

数术记遗