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钦定四库全书　　　　子部六测量法义。天文算法类一【推▯之属】测量异同。天文算法类一【推步之属】勾股义。天文算法类一【推歩之属】提要。【臣】等谨案测量法义一卷，测量异同一卷，勾股义一卷，明徐光启撰。首卷演利玛窦所译，以明勾股测量之义。首造器，器即周髀所谓矩也。次论景，景有倒正，即周髀所谓仰矩、覆矩、卧矩也。次设问十五题，以明测望髙深广逺之法，即周髀所谓知髙、知逺、知深也。次卷取古法九章勾股测量，与新法相较，证其异同，所以明古之测量法虽具，而义则隠也。然测量仅勾股之一端，故于三卷则专言勾股之义焉。序引周髀者，所以明立法之所自来，而西术之本于此者，亦隠然可见。其言李冶广勾股法为测圆海镜，已不知作书之意。又谓欲説其义而未遑，则是未解立天元一法，而谬为是饰説也。古立天元一法，即西洋借根方法。是时西人之来，亦有年矣，而于冶之书犹不得其解，可以断借方法必出于其后也。三卷之次第大畧如此，而其意则皆以明几何原本之用。葢古法鲜有言其义者，即有之，皆随题讲解。欧逻巴之学，其先有欧几里得者，按三角方圆推明各类之理，作书十三卷，名曰《几何原本【按后利玛窦之师丁氏续为二卷，共十五卷】自是之后，凡学算者必先熟习其书。如释某法之义，遇有与几何原本相同者，第注曰见几何原本某卷某节，不复更举其言。惟几何原本所不能及者，始解之，此西学之条约也。光启既与利玛窦译得几何原本前六卷，并欲用是书者依其条约，故作此以设例焉。其测量法义序云：「法而系之义也，自嵗丁未始也。曷待乎？」于时几何原本之六卷始卒业矣。至是而传其义也，可以知著书之意矣。乾隆四十六年十二月恭校上。总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总　校　官【臣】陆　费　墀题测量法义西泰子之译测量诸法也，十年矣。法而系之义也，自嵗丁未始也。曷待乎？于时《几何原本》之六卷始卒业矣。至是而后能传其义也。是法也，与《周髀》《九章》之句股测望异乎？不异也。不异，何贵焉？亦贵其义也。刘徽、沈存中之流，皆尝言测望矣。能説一表，不能説重表也。言大小句股能相求者，以小股大句、小句大股两容积等，不言何以必等，能相求也。犹之乎丁未以前之西泰子也。曷故乎？无以为之借也。无以为之借，岂惟诸君子不能言之，即▯首、商髙亦不得而言之也。《周髀》不言借乎？非借也。借之中又有借焉，不尽説。《几何原本》不止也。原本之能为用，如是乎？未尽也。是鼷之于河，而蠡之于海也。曷取是焉？先之数易见也，小数易解也。广其术而以之治水、治田之为利钜、为务急也，故先之。嗣而有述者焉，作者焉。用之乎？百千万端。夫犹是饮于河而勺于海也，未尽也。是《原本》之为义也。

钦定四库全书测量法义明　徐光启　撰最目先造器次论景本题十五首附三数算法造器测量者以测望知山岳楼台之髙，并谷之深，土田道里之逺近也。其法先造一测望之器，名曰矩度。造矩度法，用坚木版或铜版，作甲乙丙丁直角方形，以甲角为矩极作甲丙对角线次依乙丙丙丁两边各作相近两平行线次以乙丙丙丁两边各任若干平分之从甲向各分各作虚直线，而两边之各外两平行线间则作实线。如上图，即外两线间为宗矩极之十二平分度也。其各内两平行线间则于三、六、九度亦作实线，以便别识。若以十二度更细分之，或每度分三分、五分、六分、十二，视矩大小作分，分愈细即法愈详密矣。次于甲乙边上作两耳相等，耳各有通光窍。通光者，或取日光相射，或取目光透照也。或植两小表代耳亦可，其耳窍表末须与甲乙平行。末从甲▯置一线，线末垂一权，其线稍长于甲丙对角线，用时任其垂下，审定度分【既设表度十二，下方悉依此论若有成器欲验已如式否，亦同上法其用法如下方诸题】

论景法中俱用直景、倒景布算，故先正解二景之义，次解其转合于矩度，以资后论。直景者，直立之表及山岳、楼台、树木诸景之在平地者也。若于向日墙上横立一表，表景在墙，则为倒景。

如上图作甲乙丙丁直角方形于乙丙丁丙各从丙任引长之令丁丙为地平面或为地平平行面其乙丙亦向日作面与地平面为直角即甲丁为丁丙平面上直立之表，而甲乙为乙丙平面上横立之表也。次以甲为心，丙为界，作戊巳丙圜。次引甲乙、甲丁线各至圜界。夫地球比日天，既止一▯【说见天地仪解】即甲▯为地心，丁丙面在地心之下，而戊巳丙圜为随地平上日轮之天顶圜矣。即戊乙亦可当地平线，而巳丁线为正过顶圜矣。则丁丙面离地平线者，甲丁表之度；而乙丙面离过顶圜线者，甲乙表之度也。故日轮在庚，其光必过地心甲，截丁丙面于辛，而遇乙丙之引长面于壬。则甲丁表在丁丙面上之丁辛景为直景，而甲乙表在乙丙面上之乙壬景为倒景。若日轮在癸，则丁丑为直景，而乙子为倒景。若日轮在寅，则丁丙为直景，而乙丙为倒景。是甲乙丙丁直角方形之内，随日所至，其直景恒在丁丙边，倒景恒在乙丙边也。

凡测量十二景得一即可推算但须备晓二景之理何者有直景过丁丙边之外有倒景过乙丙邉之外如上图者则直景过丁丙邉如丁丑当用倒景代之倒景过乙丙边，如乙壬，当用直景代之也。若日光至丙，即直倒景等，可任意用之。因两景各与本表等，故欲知目前日景所至，在丙耶？在丁丙乙丙之内耶？又有一法，如日轮离地平四十五度，即景当在丙；日在四十五度以上，即景在丁丙之内；日在四十五度以下，即景在乙丙之内。论曰：戊甲巳巳甲乙乙甲丁丁甲戊，既四皆直角，即等而对直角之各圜界亦等【三卷廿六】是每分为四分圜之一也，而戊巳亦四分圜之一也。又甲丙对角线分乙甲丁角为两平分【一卷三十四注】即丁甲丙、丙甲乙两角等，戊甲寅、寅甲巳两交角亦等【一卷十五】而戊寅、寅巳两圜界亦等。夫戊巳圜界既九十度，即戊寅必四十五度，则日在寅，景必在丙；日在寅之下倒景，必在乙丙之内；日在寅之上直景，必在丁丙之内【凡云某卷某题者，皆引《几何原本》为证，下同】今从上论解二景之转，合于矩度者，如日轮髙四十五度，而其光过甲乙，即矩度上权线在丙日，在四十五度以上即权线在乙丙邉之内日在四十五度以下即权线在丁丙邉之内故矩度上之乙丙邉为直景而丁丙为倒景论曰：前圜之甲戊巳分圜形，既四分之一，试两平分之于庚，即日在庚为四十五度，在辛为四十五度以上，在壬为四十五度以下。设于辛庚壬各出日光下射，为辛甲乙、庚甲乙、壬甲乙三景线，同过甲心，而以矩度承之。其甲为地心，而甲乙邉与日景相直。次以巳甲线引长之至地心下为丙，而甲丙为矩度之权线。夫戊庚、庚巳圜界既等，即戊甲庚、庚甲巳两角亦等【三卷廿七】戊甲巳既直角，即戊甲庚、庚甲巳皆半直角【一卷十五】而矩度上之乙甲丙角，在庚甲乙景线及甲丙权线内者，亦半直角。凡直角方形之对角线，必分两直角为两平分，即甲丙为依庚甲乙景线之甲乙丙丁直角方形之对角线【一卷三十四注】则日在庚为四十五度，权线必在丙。又巳甲辛角小于巳甲庚半直角，即辛甲乙景线及甲丙权线内之乙甲癸交角，亦小于半直角【一卷十五】凡直角方形之对角线，必分两直角为两平分【一卷三十四注】则于依辛甲乙景线之甲乙丙丁直角方形上，若作一甲丙对角线，其权线必不至丙，必在乙丙之内，而分乙丙边于癸，是日在四十五度之上其权线必在乙丙邉之内也又巳甲壬角大于巳甲庚半直角即壬甲乙景线及甲丙权线内之乙甲癸交角亦大于半直角【一卷十五】凡直角方形之对角。线必分两直角为两平分【一卷三十四注】则于依壬甲乙景线之甲乙丙丁直角方形上，若作一甲丙对角线，其权线必过丙，必在丁丙之内，而分丁丙邉于癸，是日在四十五度之下，其权线必在丁丙邉之内也，故矩度之内，其傍通光耳之分度边为直景，而对通光耳之分度边为倒景。

本题十五首第一题日轮髙四十五度，直景倒景皆与表等。在四十五度以上，则直景小于表，而倒景大于表；在四十五度以下，则直景大于表，而倒景小于表。依矩度即可明此题之义。葢上已论日轮在四十五度，权线必在丙，即显乙丙直景，丁丙倒景，皆与甲乙、甲丁两表等。何者直角方形之各边俱等，故也。若日在四十五度以上，权线必在乙丙分度边上，而倒景当在丁丙之引出边上，是直景小于倒景，而倒景大于甲丁表。若日在四十五度以下，权线必在丁丙分度边上而直景当在乙丙之引出邉上，是倒景小于直景，而直景大于甲乙表。

第二题表随日所至，皆为直景与倒景连比例之中率。先设日轮在四十五度，而权线在丙。题言甲乙，或甲丁表，皆为乙丙直景与丁。

丙倒景连比例之中率论曰：甲乙丙丁直角方形之四边既等，即乙丙直景与甲乙，或甲丁表之比例，若表与丁丙倒景。何者三线等，即为两相同之比例，故。次设日轮在四十五度以上，权线。在乙丙直景边内，分乙丙于戊而。倒景在丁丙之引出边上，遇权线于已题言甲乙，或甲丁表为乙戊直景与丁巳倒景连比例之中率。论曰：乙与丁两直角等，而乙甲戊与已相对之两内角亦等【一卷廿八】即甲乙戊巳丁甲为等角形【六卷四】则乙戊直景与甲乙或甲丁表之比例，若表与丁巳倒景是甲乙或甲丁表为两景之中率【六卷八之系】后设日轮在四十五度以下，权线。在丁丙倒景边，内分丁丙于戊而直景在乙丙之引出边上与权线遇于已，题言甲乙或甲丁表为丁戊倒景与乙巳直景连比例之中率。论曰：丁与乙两直角等，而丁甲戊与巳甲戊，丁与乙甲巳各相对之两内角各等【一卷廿八】即甲丁戊、甲乙巳为等角形【六卷四】则丁戊倒景与甲乙或甲丁表之比例若表与乙巳直景，是甲乙或甲丁表为两景之中率【六卷八之系】注曰：直景表倒景三线，既为连比例，即直景、倒景两线矩内直角形，与表上直角方形等【六卷十七】故表度十二，则其羃为一百四十四。若以为实，以所设景数为法除之，即得所求景数。假如权线所至，在倒景之三度，即以三为法除其实一百四十四，得四十八度为直景。又如权线所至，在所设景之五度三分度之二，即所求景为二十五度十七分度之七。何者？以五度三分度之二为法除其实一百四十四，即得二十五度十七分度之七。是二景互变相代法【畸分除法见后附】

第三题物之髙立于地，平以直角，其景与物之比例，若直景与表，亦若表与倒景。解曰：物之髙以直角立于地平，如巳庚，其景在地平上为庚辛。题言直景与表之比例若庚辛与巳庚，又言表与倒景之比例若庚辛与巳庚【凡言地平者，皆依直线取平，若不平者，烦先准平，然后测量，后仿此】先论权线在丙者，曰：权线恒与物之髙为平行线，何者？两线下至庚辛，皆为直角，故【一卷廿八】即辛甲丙角与巳角等【一卷廿九】而乙与庚、两直角又等，则甲乙丙巳庚辛为等角形【一卷廿二】是乙丙直景与甲乙表之比例，若庚辛景与巳庚髙【六卷四】二论曰：若权线在乙丙直景边内，而分乙丙于戊，依前论，显乙甲戊角与巳角等【一卷廿九】乙角与庚角等，则甲乙戊巳庚辛为等角形【一卷三十二】是乙戊直景与甲乙表之比例，若庚辛景与巳庚髙【六卷四】三论第一图之倒景曰：权线在丙，其巳角、丁丙甲角各与乙甲丙角等【一卷廿九】即自相等，丁角与庚角又等，则甲丁丙与巳庚辛亦等角形【一卷三十二】是甲丁表与丁丙倒景之比例，若庚辛景与巳庚髙【六卷四】后论曰：若权线在丁丙倒景边内，而分丁丙于戊，依前论，显乙甲戊角与巳角等【一卷廿九】即丁戊甲角与巳角亦等【一卷廿八】丁角与庚角又等，则丁戊甲巳庚辛为等角形【一卷三十二】是甲丁表与丁戊倒景之比例，若庚辛景与巳庚髙【六卷四】注曰：前既论【本篇第一题】日轮在四十五度，直景倒景皆与表等。在四十五度以上，直景小于表。在四十五度以下，表大于倒景。即显日轮在四十五度，各物在地平之景与其物之髙等。在四十五度以上，即景小于物在四十五度以下，即景大于物，如上三图可见，第四题。

冇物之景测物之髙法曰：如前图，以矩度向日，甲耳在前，取日光透耳两窍，以权线与矩度平直相切，任其垂下，细审所值何度何分。若在十二度之中对角线上，则景与物必正相等【本篇三题注】故量其景长，即得其物髙。若权线在直景边，即景小于物【本篇三题注】则直景与表之比例，若物之景与其髙。用三数法，以直景上所值度分为第一数，以全表度十二为第二数，以物景之度为第三数算之，即所得数为其物髙【三数算法见后附】注曰：欲测巳庚之髙，以矩度承日，审权线如在直景乙戊，得八度正。庚辛景三十步，即以表度十二，庚辛三十步相乗，得三百六十为实，以乙戊八度为法除之，得四十五，即巳庚之髙四十五步。若权线在倒景邉，即景大于物【本篇三题注】则表与倒景之比例，若物之景与其髙，用三数法，以表为第一数，以倒景上所值度分。为第二数，以物景之度为第三数，算之，即所得数为其物髙。注曰：欲测巳庚之髙，以矩承日，审权线如在倒景于戊，得七度五分度之一。庚辛景六十步，即以丁戊七度五分度之一，庚辛六十步相乗，得二千一百六十为实，以表度六十分为法除之，得三十六，即巳庚之髙三十六度【因权值有畸分五分度之一，故以分母五通七度通作三十五分，以分子一从之为三十六分，其表度十二亦通作六十分，说见算家六分法】

第五题有物之髙测物之景法曰：如前图，以矩度承日，审值度分。若权线在丙，则景与物等【本篇三题注】若权线在直景边，即物大于景【夲篇三题注】即直景与表之比例，若景与物反之，则表与直景若物之髙与其景【五卷四之系】用三数法，以表为第一数，直景度分为第二数，物髙度为第三数算之，即所得数为景度。若权线在倒景边，即物小于景【本篇三题注】则表与倒景之比例，若景与物，反之则倒景与表，若物之髙与其景【五卷四】用三数法，以倒景度分为第一数，表为第一数，物髙度。为第三数，算之，即所得数为景度。

第六题以目测髙法曰：欲于辛目测巳庚之髙，先用一有度分之表，与地平为直角，以审目至足之髙。次以矩度向物顶，甲耳在前，目▯乙后，而乙辛为目至足之髙。以权线与矩度平直相切，任其垂下，目切于乙不动，而以甲角稍移就物顶，令目光穿两耳窍至物顶作一直线【如不能以目透通光耳中，只取两耳角或两小表相对亦可】细审权线值何度分，依前题论直景与表之比例，表与倒景之比例，皆若庚辛，或等庚辛之乙壬【若自乙至壬作直线，即与庚辛平行相等，见一卷三十四】与巳壬【壬庚与乙辛等，见一卷三十八】观上论【本篇三题】及本图自明。葢三图之甲乙丙、甲乙戊、甲丁戊各与其巳壬、乙为等角形，则量辛庚之度，而作直景与表之比例，或作表与倒景之比例，皆若辛庚与三数法所求得之他数，即得巳壬之高次加目至足乙辛之高，即得巳庚之高。注曰：如欲测巳庚高，权线在直景，即以直景乙戊为第一数，表为第二数，庚辛为第三数；若在倒景，即以表为第一数，以丁戊倒景为第二数，庚辛为第三数。各算定，各加自目至足乙辛数，即得。若权线不在丙而有平地可前可却，即任意前却至权线值丙而止，即不必推算，可知其高。若辛不欲至庚，或不能【或为山水林木屋舍所隔，或地非平面】则用两直景较算。其法依前用矩度向物顶审权线在直景否，如在倒景，即以所值度分变作直景【本篇二题注】次从辛依地平直线，或前或却，任意逺近至癸，仍用矩度向物顶审权线在直景否，如在倒景，亦以所值度分变作直景【本篇二题注】次以两直景度分相减之较为第一数，以表为第二数，以辛癸大小两相距之较为第三数，依法算之，即得巳壬之高，加自目至足乙癸，即得巳庚之高。何者，两景较与其表之比例，若两相距之较与物之高，故下论详之。论曰：以两直景之小乙戊线减其大乙戊线，存子戊线为景较；以两相距之小庚辛线减其大庚癸线，存癸辛线为距较。则子戊较线与甲乙表之比例，若癸辛较线与巳壬线何者？依上论【本篇三题】大乙戊直景与甲乙表之比例，若乙壬或等乙壬之庚癸大相距之逺，与巳壬之髙更之，即大乙戊直景与大相距癸庚之比例，若甲乙表与巳壬之高【五卷十六】依显，小乙戊直景或等小乙戊之乙子与小相距之庚辛之比例，若甲乙表与巳壬之高，则大乙戊直景与大相距庚癸之比例，亦若乙子小直景与小相距之庚辛也。夫大乙戊与大相距庚癸两全线之比例，既若两所减之乙子与庚辛【五卷十九】转之，即大乙戊与庚癸两全线之比例，亦若两减余之子戊与辛癸【五卷十九】而前巳论乙戊全与庚癸全之比例，若甲乙表与巳壬之高，则两减余之子戊与辛癸之比例，亦若甲乙表与巳壬之高【五卷卜一】更之，则景较子戊与甲乙表之比例，若距较癸辛与巳壬之高【五卷十六】注曰：如前图，欲测巳庚之高，先于辛得直景小乙戊为五度，次却立于癸得直景大乙戊为十度，景较五度以为第一数，以表度为第二数，次量距较癸辛十步以为第三数，依法算得二十四步，加自目至足乙辛或一步，即如巳庚髙二十五步，如后图，先于辛得直景小乙戊。为十一度次，却立于癸，得倒景九度，即如前法，变作大乙戊直景十六度，景较五度，以为第一数，以表度为第二数，次量距较癸辛二十步，以为第三数，依法算得四十八步，加自目至足乙辛，或一步，即知巳庚高四十九步。若山上有一楼台，欲测其楼台之高，先于平地总测楼台顶至地平之高，次测山髙，减之即得。有楼台高数层，欲测各层之高，仿此。

第七题地平测逺法曰：欲于巳测巳庚地平之逺，先用一有度分之表，与地平为直角，以审目至足之高为甲巳。若量极逺者，则立楼台或山岳之上，以目下至地平为甲巳【欲知山岳楼台之高，巳具前测高法】次以矩极甲角切于目，以乙向逺际庚，如前法稍移就之，令甲乙庚为一直线，细审权线值何度分。如权线在丙，则高与逺等；若在乙丙直景邉，即高大于逺，而矩度上截取甲乙戊与甲己庚为等。角形何者？两形之乙与己各为直角，庚甲己与乙甲戊为同角，即其余角必等，故【一卷三十二】则甲乙表与乙戊直景之比例若甲巳高与巳庚逺也【六卷四】若权线在丁丙倒景邉，即髙小于逺，而矩度上截取甲丁戊与甲己庚为等角形，何者？两形之丁与己各为直角，巳甲庚与甲戊丁相对之两内角等【一卷廿九】即其余角亦等，故【一卷三十二】则丁戊倒景与甲丁表之比例若甲巳髙与巳庚逺也【六卷四】次以表为第一数，直景为第二数；以倒景为第一数，表为第二数，各以甲巳为第三数，依法算之，各得巳庚之逺。

第八题测井之深法曰：己壬辛庚井，其口之边或径为己庚，欲测己壬。之深用矩，极甲角切，目以乙从，己向。对边或径之水际，辛如前法，稍移就。之令甲乙己辛为一直线，即权线垂。下截取矩度之甲乙戊与己壬辛为等角形？何者？两形之乙与壬各为直角。壬巳辛与乙甲戊两角为巳壬甲癸两平行线【井甃必用垂线故与权线平行】之同方内外角等【一卷二十九】即其余角亦等。故则乙戊直景与甲乙表之比例若等巳庚口之壬辛底与巳壬深也【六卷四】次以直景为第一数，表为第二数，巳庚为第三数，依法算之，即得巳壬之深。若权线在倒景，即表与倒景之比例，若井之巳庚口与巳壬深，观甲癸丁角形，可推何者？癸与乙甲戊相对，两内角等【一卷廿九】即与壬巳辛角等，故以表为第一数，倒景为等二数，巳庚口为第三数，依法算之，亦得巳壬之深。注曰：乙戊直景三度，巳庚井口十二尺，依法算得四十八尺，即巳壬之深。丁癸倒景四十八度，依法算同。

第九题以平镜测高法曰：欲测甲乙之高，以平镜依地平线置丙，人依地平线立于丁，目在戊，向物顶甲。稍移就之，令目见甲在镜中心，是甲之景从镜心反射于目，成甲丙戊角。即目光至镜心，偕足至镜心，两线作戊丙丁角，与甲丙乙角等【此论见欧几里得镜书第一题】即甲乙丙戊丁丙为等角形【乙丁两皆直角故】则足至镜心丁丙与目至足之高丁戊。之比例若物之底至镜心乙丙与其高甲乙也【六卷四】今量丁丙为第一数，丁戊为第二数，乙丙为第三数，依法算之，即得甲乙之高。注曰：「可以防水，当镜若测极逺，可以水泽当镜。」

第十题以表测高法曰：欲测甲乙之高，依地平线，任立一表于丙，为丁丙与地平为直角【凡立表以线垂下，三面附表即与地平为直角】次依地平线退立于戊，使目在巳，视表末丁与物顶甲为一直线。若表仅与身等，或小于身，则俛首移就之可也【或别立一小表为巳戊亦可】次量目至足之数，次想从巳目至甲乙上之庚防，作直线与乙戊平行，而分丁丙表于辛，即巳辛、丁巳、庚甲为等角形【六卷四】则等丙戊之辛巳与辛丁之比例，若等乙戊之庚巳与庚甲也。次量丙戊为第一数，辛丁为第二数，乙戊为第三数，依法算之，即得甲庚之髙，加目至足之数巳戊，即得甲乙之高。若戊不欲至乙，或不能，则用两表较算，如前图立于戊，目在己巳，得辛巳等丙戊之度次，依地平线或前或却又，立一表【或即用前表，或两表等】为癸壬，依前法令丑子与巳戊目至足之度等，而使丑癸甲为一直线，即又得寅丑等壬子之度，其壬子若移前所得，必小于丙戊，何者巳辛与辛丁之比例，若巳庚与庚甲，丑寅与寅癸，若丑庚与庚甲【六卷四】而巳庚与庚甲大于丑庚与庚甲【五卷八】即巳辛与辛丁亦大于丑寅与寅癸也，又辛丁与寅癸既等【癸壬丁丙元等，所减寅壬辛丙等，即所存亦等】即巳辛必大于丑寅也【五卷十】次以两测所得之巳辛与丑寅相减，得卯辛较，以为第一数；以表目相减之较丁辛或癸寅为第二数；以两相距之较戊子或巳丑为第三数。依法算之，即得甲庚之髙，加目至足之数，即得甲乙之髙。论曰：两测较外辛与表目较辛丁或癸寅，其比例若距较戊子或巳丑与庚甲，何者巳辛与辛丁既若巳庚与庚甲【五卷四】更之，即巳辛与巳庚若辛丁与庚甲也【五卷十一】依显丑寅与丑庚若寅癸与庚甲也，则丑寅与丑庚亦若辛丁与庚甲也【辛丁与寅癸等故】而巳辛全线与巳庚全线若巳辛所截取之巳卯【巳印与丑寅等故】与巳庚所截取之丑庚也，则巳辛全与巳庚全亦若巳辛分余之卯辛与巳庚分余之巳丑也【五卷十九】前巳论巳辛与巳庚若辛丁与庚甲，即卯辛与巳丑亦若辛丁与庚甲也，更之即两测较卯辛与表目较辛丁，若距较等子戊之巳丑与甲庚也，若却后而得壬子，则反上论之第十一题。

以表测地平逺法曰：欲于甲测甲乙地平逺，先依地平线立一表为丙，甲与地平为直角，其表稍小于身之长。次却立于戊，目在丁，视表末丙与逺际乙为一直线。次想巳丙作直线，与甲乙平行，而分丁戊于巳，即丙巳丁、丙甲乙为等角形【六卷四】何者？甲与巳两为直角，丙丁巳乙、丙甲为平行。线同方内外角等【一卷廿九】即其余角必等，故【一卷三十二】则表目较丁巳与表目相距之度巳丙之比例，若丙甲表与甲乙也。次以丁巳为第一数，丙巳为第二数，丙甲为第三数，依法算之，即得甲乙之逺。

第十二题以矩尺测地平逺【今木工为方所用】法曰：欲于甲测甲乙地平逺，先立一表为丁，甲与地平为直角，次以矩尺之内直角置表末丁，以丁戊尺向远际乙，稍移就之，令丁戊乙为一直线，次从丁丙尺上依一直线视地。平得巳，次量巳甲为第一数，丁甲为第二数，又为第三数，依法算之，即得甲乙之逺。论曰：巳丁乙既直角，若从丁作丁甲，为巳乙之垂线，即丁甲为甲巳、甲乙之中率【六卷八之系】次以丁甲表自乗为实，以甲巳之度为法除之，即得甲乙之逺【六卷十七】第十三题。

移测地平远及水广法曰：欲于乙测乙戊地平逺及江河溪壑之广，凡近而不能至者，于此际立一表为甲，乙与地平为直角，次以一小尺或竹木等为丙丁，邪加表上，稍移就彼际戊作一直线，次以表带尺旋转向地平视，丙丁尺端所直得。巳次，自乙量至巳，即得乙戊之数。论曰：甲乙戊与甲乙巳两直角形等，即相当之乙戊与乙巳两边亦等，则量乙巳得乙戊【一卷廿六】又论曰：「若以乙为心，巳戊为界，作圜，即乙、巳、戊为同圜之各半径，等。」注曰：如不用表，以身代作甲乙，表不用尺，或以笠覆至目，代作丙丁，如上测之，尤便。

第十四题以四表测远【前题测逺诸法不依极髙不得极逺，此法于平地可测极逺】法曰：欲于乙测甲远【或城或山，凡可望见者皆是，不论平否】择于平旷处【前云。依地平线者，必依直线取平。此不必拘】立一表于乙次任却后若干大尺更立一表为丁，令两表与甲【甲者是所测处，指定一物或人或木或山及楼台之顶皆是】为一直线。次从乙依乙丁之垂线，任横行若干丈尺更立一表为丙。次从丁与乙丙平行，任若干丈尺，稍逺于乙丙，又立一表为戊【四表俱任意长短】从戊过丙望甲，亦作一直线。次以丁戊乙丙相减之较为第一数，乙丁为第二数，乙丙为第三数，依法算之，即得甲乙之逺。论曰：试作丙巳直线，即得丙巳戊与甲乙丙为等角形【六卷四】何者？甲乙丙、丙巳戊两为直角，丙戊巳、甲丙乙为平行线，同方内外角等【一卷廿九】即余角必等，故则戊巳与等丙巳之乙丁之比例，若丙乙与乙甲。注曰：如丁戊为三十六，乙丙为三十，乙丁为四十，即以三十与三十六之较六为第一数，以四十为第二数，以三十为第三数，依法算之，得二百四十为甲乙之远。

第十五题测髙深广逺，不用推算，而得其度分。不诸布算，难用前法。其有畸分者，更难。今求不用布。算而全数，畸分俱可推得，与布算同。功其法曰：凡测髙深广远，必先得三。率而推第四率，三率者其一，直景或。倒景其二，所立处至所测之底，若不能至者，则景较，或两测较，其三表，或距较也，设如测一髙，景较八，距较十。步其景较八与表十二之比例，若距较十步与所求之髙【此不论目至足之髙】则于平面作甲乙、甲丙两直线，任相聨为甲角。从甲向乙规取八，平分任意长短，以当景较为甲丁。次用元度，从丁向乙规取十二，平分以当表度。次从甲向丙规取十，平分其用度依前度任等不等，以当距较为甲戊。次从戊至丁作一直线。次从乙作一直线与戊丁平行，而截甲丙线于丙。次规取自甲至戊诸分内之一分为度，从戊向丙规得若干。

分即所求之髙论曰甲乙丙角形内之戊丁与乙丙两线平行即甲丁与丁乙之比例若甲戊与戊丙【六卷二】则戊丙当为十五分与？

三数法合加目至足之髙即得全髙又法曰：若景较七度有半，距较八步三分步之一，即物髙度十三步三分步之一。如后图，加目至足之髙，即得全髙。若恒以甲丁为第一数，丁乙为第二数，甲戊为第三数，即恒得戊丙为第四数。

三数算法【附】三数算法，即九章中异乗同除法也。先定某为第一数，某为第二、第三数。次以第二、第三两数相乘为实，以第一数为法除之，即得所求第四数。如月行三日得三十七度，问九日行几何度？即以三十七度为第二数，九为第三数，相乗得三百三十三数为实，次以三为第一数为法，除之得一百一十一数，即所求第四月行九日度数。如有畸分，即用通分约分法，依上算。如一星行八日三时得十二度二分度之一，问十四日六时行几何度？即以八日三时通作九十九为第一数，以十二度二分度之一通作二十五为第二数，以十四日六时通作一百七十四为第三数。次以二十五与一百七十四相乗，得四千三百五十为实，以九十九为法除之，得四十三分九十三。次以二分为一度约得二十一度三十三分度之三十二，即所求第四本星行十四日六时度分之数。

测量法义钦定四库全书测量异同明　徐光启　撰九章算法勾股篇中，故有用表、用矩尺测量数条，与今译测量法义相较，其法畧同，其义全阙，学者不能识其所繇。既具新论以攷旧文，如视掌矣。今悉存诸法对题胪列，推求同异，以竢讨论。其旧篇所有，今译所无者，仍补论一则，共为测量异同六首，如左。

第一题【与前篇第四题同】

以景测髙欲测甲乙之髙，其全景乙丙长五丈，立表于戊，为丁戊髙一丈，表景戊丙长一丈二尺五寸。以表与全景相乗，得五万寸为实，以表景百二十五寸为法，除之得甲乙髙四。

丈此旧法与今译同第二题【与前篇第十题同】

以表测髙欲测甲乙之髙，去乙二十五尺，立表。于丙为丁，丙高一丈，却后五尺，立于戊使目在巳，戊至巳高四尺，视表末。丁与甲为一直线，次以丁丙表髙十尺，减目至足丁辛四尺，得表目之较辛丙六尺，以乗乙丙二十五尺，得百五十尺为实，以丙戊五尺为法除之，得三十尺，加表十尺，得甲乙高四十尺。此旧法，以甲壬丁为大三角形，以丁辛巳为小三角形。今译以甲庚巳为大三角形，丁辛巳为小三角形。其实同法同论，何者？甲壬与壬丁，若甲庚与庚巳也【六卷四】

第三题【与前篇第八题同】

以表测深甲乙丙丁井欲测深其径，甲乙五尺，立一表于井口。为戊，甲高五尺，从戊视丙，截甲乙径。于巳甲至巳得四寸，次以井径五尺。减甲巳四寸，存巳乙四尺六寸，以乗戊甲五尺，得二千二百寸为实，以甲巳四寸为法除之，得井深五丈七尺五寸。此旧法以戊甲巳为小三角形，巳乙丙为大三角形。今译当以戊甲巳为小三角形，戊丁丙为大三角形。其实同法同论，何者？戊丁与丁丙，若丙乙与乙巳也【一卷三十四可推】

第四题【与前篇第十题后法同】以重表兼测，无远之高，无髙之逺。欲于戊测甲乙之高、乙丙之逺，或不欲至、或不能至，则用重表法。先于丙立丁丙表，髙十尺，却后五尺，立于戊。目在巳，巳戊髙四尺，视表末丁与甲为一直线。次从前表却后十五尺，立一癸壬表于壬，亦高十尺。却后八尺，立于子，去壬八尺，其目在丑，丑子亦高四尺，从丑视癸甲，亦一直线。次以表髙十尺，减足至目四尺，得表目较癸辛或丁寅六尺，与表间度癸丁或壬丙十五尺相乗，得九十尺为实，以两测所得巳寅丑辛相减之较卯辛三尺【此较旧名景差，今名两测较】为法除之，得三十尺，加表髙十尺，得甲乙髙四十尺。若以两测所得之小率丙戊五尺，与表间度癸丁或壬丙十五尺相乘，得七十五尺为实，以卯辛三尺为法除之，即得乙丙逺二十五尺。此旧法测髙，以癸辛或丁寅与辛卯偕甲辰与壬等丙之丁癸为同理之比例。今译以癸辛或丁寅与辛卯偕甲庚与等戊子之巳丑为同理之比例【旧用壬丙表间也，今用戊子距较也】其实同法同论，何者？甲辰与辰丁，若甲庚与庚巳也；辰丁与丁癸，若庚巳与己丑也【六卷四】平之。则甲辰与丁癸若甲庚与己丑也。补论曰：旧法以重表测逺，则卯辛与等丙戊之巳寅之比例若等壬丙之癸丁与等乙丙之丁辰。何者？甲辰癸癸辛丑为等角形【六卷三十二】即丑辛癸辰为相似边【六卷四】甲辰丁丁寅巳为等角形，即巳寅丁辰为相似边。是丑辛与癸辰若巳寅与丁辰也【六卷四】更之，则丑辛与巳寅若癸辰与丁辰也。今于丑辛减巳寅之度，存卯辛；于癸辰减丁辰，存癸丁。则卯辛与巳寅若癸丁与丁辰也【所减之比例等，所存之比例亦等】

第五题【与前篇第十四题同】

以四表测逺欲测甲乙之逺，于乙上立一表，次于丙巳丁上各立一表，成乙丙巳丁直角方形，每表相去一丈，令丁乙二表与甲为一直线次于已表之右戊上视丙表与甲为一直线戊巳相去三寸次以乙丙乙丁相乗，得一万寸，为实；以戊巳三寸为法，除之，得甲乙髙三十三丈三分丈之一。

此旧法与今译同第六题【与前篇第十题后法同理】以重矩兼测无广之深，无深之广【稍改旧法以从今论】有甲、乙、丙、丁壁立深谷，不知甲乙之广，欲测乙丙之深，则用重矩法。先于甲岸上依垂线立戊，甲巳句股矩尺，甲巳句长六尺。从股尺上视句末巳与谷底丙为一直线，而遇戊甲股于庚，庚甲髙五尺。次于甲上依垂线取壬，壬去甲一丈五尺。于壬上依垂线更立一辛壬癸句股矩尺，壬癸句亦长六尺。从股尺上视句末癸与谷底丙为一直线，而遇辛壬股于辛，辛壬髙八尺，次以前股所得庚甲五尺与两句间壬甲十五尺相乗，得七十五尺为实，以两股所得庚甲、辛壬相减之较辛子三尺为法除之，即得乙丙深二十五尺。若以句六尺与两句间十五尺相乗，得九十尺为实，以辛子三尺为法除之，即得甲乙之广三十尺。《测深论》：作癸巳丑直线，与本篇第四题重表测逺补论同。《测逺论》与前篇第十题重表测髙论同。

测量异同钦定四库全书句股义明　徐光启　撰句股即三边直角形也。底线为句，底上之垂线为股，对直角边为▯。句股上两直角方形并与▯上直角方形等，故句三股四则▯必五【一卷四七注】从此可以句股求▯，句▯求股，股▯求句【一卷四七注】可以求句股中容方容圆，可以各较求句，求股，求▯。可以各和求句，求股，求▯。可以大小两句股互相求，可以立表求髙深广逺，以通句股之穷。可以二表四表求极髙深极广逺，以通立表之穷。其大小相求及立表诸法，测量法义所论著畧备矣。句股自相求，以至容方容圆各和各较相求者，旧九章中亦有之，第能言其法，不能言其义也。所立诸法芜陋不堪读，门人孙初阳氏删为正法十五条，稍简明矣。余因各为论譔其义，使夫精于数学者览图诵说，庶或为之解頥。

第一题句股求▯法曰：甲乙股四，乙丙句三，求▯。以股自之，得十六；句自之，得九。并得二十五为实，开方得甲丙▯五。

第二题句▯求股法曰：如前图，乙丙句三，自之得九；甲丙▯五，自之得二十五。相减得较十六，开方得甲乙股四。

第三题股▯求句法曰：如前图，甲乙股四，自之得十六；甲丙▯五，自之得二十五。相减得较九，开方得乙丙句三。巳上三论俱见一卷四十七题【凡言某卷某题者皆引《几何原本》为证，下同】

第四题句股求容方法曰：甲乙股三十六，乙丙句二十。七求容方以句股相乗为实并句股得甲戊六十三，为法除之，得容。方辛、乙、乙、癸各边俱一十五、四二八。论曰：甲乙三十六，乙丙二十七，相乗得九百七十二，以为实，即成甲乙丙丁直角形。次以甲乙乙丙并得六十三为法，即成甲戊线。除实得戊巳邉十五四二八，即成甲戊巳庚直角形，与甲乙丙丁形等【六卷十六】而巳庚边截乙丙句于癸，甲丙▯于壬，即成乙辛壬癸满句股之直角方形。何者？甲乙丙丁与甲戊己庚两形互相视，即甲乙与甲戊若乙癸与乙丙【六卷十五】分之，即甲乙与乙戊若乙癸与癸丙，是甲乙与乙丙亦若乙癸与癸丙也【乙丙乙戊元等】又甲辛与辛壬若壬癸与癸丙【六卷四】更之，即甲辛与壬癸若辛壬与癸丙也。而辛乙与壬癸等，乙癸与辛壬等，则甲辛与辛乙若乙癸与癸丙矣。夫甲乙与乙丙既若乙癸与癸丙，而甲辛与辛乙又若乙癸与癸丙，则甲乙与乙丙亦若甲辛与辛乙，而乙辛壬癸为满句股之直角方形【六卷十五增题】又简论曰：如前图，以甲乙戊为法而除甲丙实，既得甲庚戊巳各与方形边等。今以等甲乙戊之丙乙戊为法，而除甲丙实，得庚丙戊巳亦各与方形边等，则辛乙癸壬为直角方形。

第五题余句余股求容方求句求股法曰：甲丁余股七百五十，戊丙余句。三十，求丁、乙、戊、巳容方边，以丙、戊、甲。丁相乘得二万二千五百，为实，开方。得容方乙，丁丁巳各边俱一百五十。加余股，得股九百；加余句，得句一百八十。论曰：甲丁戊丙相乘为实，即成巳壬辛庚直角形，与丁乙戊巳为甲丙角线形内之两余方形等【一卷四三】而壬巳与巳戊，偕丁巳与巳庚，为互相视之边【六卷十四】故巳壬辛庚之实，即丁乙戊巳之实，开方得丁乙戊巳直角方形边。又论曰：甲丁与丁巳，既若巳戊与戊丙【六卷四之系】即方形边当为甲丁戊丙之中率【六卷三十三之十五增题】今列甲丁七百五十，戊丙三十，而求其中率之数。其法以前率比后率为二十五倍大之比例，二十五开方得五，则中率当为五倍之比例。甲丁七百五十反五倍得一百五十，一百五十反五倍得丙戊三十，则方形边一百五十为甲丁丙戊之中率【六卷界说五】

第六题容方与余句，求余股与余股，求余句。法曰：容方乙丁，丁巳各边俱一百五。十戊、丙余句三十，求甲丁余股以容。方边自之为实，以余句为法，除之得。甲丁余股七百五十，以容方与余股求余句，法同。论曰：如上论，两余方形等实，故以等己庚之丙戊除之，得等壬巳之甲丁。又论曰：方形边既为甲丁、戊丙之中率【六卷三十三之十五增题】即方形边自乘为实，以戊丙除之，得甲丁；以甲丁除之，得戊丙【六卷十七】

第七题句股求容圆法曰：甲乙股六百，乙丙句三百二十，求容圆。以句股相乘，得一万九千二百，倍之，得三万八千四百，为实。

别以句股求▯得甲丙▯六百八十【本篇一】并句股▯为法除实得容圆径乙子二百四十论曰：甲乙股，乙丙句相乘，即甲乙丙丁直角形倍之为实，即丙丁戊己直角形，求得甲丙▯，幷句股得一千六百，于甲乙线引长之，截乙庚与句等，庚辛与▯等，得甲辛为▯和，和线以为法除实，得辛壬边二百四十，即成甲辛壬癸直角形，与丙丁戊巳形等【六卷十六】而壬癸边截乙丙句于子，次从子作子丑寅乙直角方形，即此形之各边皆为容圆径。曷名为容圆径也？谓于甲乙丙三边直角形内作一圜，其甲丙▯截子丑寅乙直角方形之卯辰线，与乙子、子丑、丑寅、寅乙诸边皆为切圜线也。则何以显此五边之皆为切圜线乎？试于甲乙丙形上复作一丙午未直角三邉形，交加其上，其丙午与乙丙等，未午与甲乙等，未丙与甲丙等，即两形必等【一卷二十二可推】次依丙午未直角作午申酉戌直角方形，与乙子丑寅直角方形等。次于戌酉线引之至亥，又成甲戌亥直角三边形，以甲为同角交加于甲乙丙形之上，亦以午申酉戌为容圆径。次于亥戌寅丑两线引之，遇于干，又成干寅亥直角三边形以亥为同角交加于甲乙丙形之上亦以乙子丑寅为容圆径次作丙兊线遇诸形之交，加线于离于兊，次作甲震线遇诸形之交，加线于巽于震，次作亥辰线遇诸形之交，加线于坎于辰，次作未干线遇诸形之交，加线于艮于卯，而四线俱相遇于坤。夫午丙与乙丙两线等，而减相等之午戌乙子，即戌丙与子丙必等。丙离同线，丙戌离丙子离又等为直角，戌离丙子离丙又俱小于直角，即丙离戌丙离子两三角形必等，而两形之各边各角俱等【六卷七】则丙兊线必分甲丙未角为两平分矣【一卷九】又子离与戌离两边既等【本论】子离震戌离卯两交角又等【一卷十五】卯戌离震子离又等为直角，即卯离戌离震子之各边各角俱等，而两形亦等【一卷廿六】又子离与离戌两边既等，离卯与离震两边又等【本论】即子卯与戊震两边亦等，子丑与戌酉各为相等之直角方形边必等，而各减相等之子卯戌震，其所存卯丑震酉必等。丑卯辰坎震酉两角又各为离卯戌离震子相等角之交角必等，辰丑卯震酉坎又等。

为直角即卯丑辰震酉坎之各边各角俱等而两形亦等【一卷廿六】依显午巽辰与坎艮乙之各边各角俱等而两形亦等巽寅兊与兊艮申之各邉各角俱等而两形亦等又子丙戌丙之数各八十乙子戌午各二百四十以诸率分数论之则丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百○二【算见测圆海镜之句股步率】则减丑卯之卯子必一百五十也卯子股一百五十丙子句八十以求卯丙▯则一百七十也【本篇一】次减丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌离两三角形之辰丑卯离戌卯既等为直角丑卯辰戌卯离两交角又等丑卯与戌卯复等即两形必等而其各边各角俱等【一卷廿六】依显子离震与震酉坎两形亦等依显诸形之交角者皆相等其连角如酉亥坎乙亥坎两形亦等而子离离戌皆四十八也则酉坎坎乙亦皆四十八也亥酉亥乙皆八十也子乙与戌酉等子丙与酉亥复等，则乙丙与戌亥必等，而甲为同角，甲乙丙、甲戌亥又等为直角，则甲乙丙、甲戌亥之各边各角俱等，而两形亦等【一卷廿六】甲亥与甲丙既等，各减相等之丙戌、乙亥，又减相等之乙寅、戌午，即甲寅与甲午必等。夫甲巽午、甲巽寅两形之甲寅、甲午既等，甲巽同线，甲午巽、甲寅巽又等为直角，即两形必等，而各边各角俱等【六卷七】是甲震线必分丙甲亥角为两平分也【一卷九】甲乙丙一形内，既以丙兑线分甲丙乙角为两平分，又以甲震线分丙甲乙角为两平分，而相遇于坤，则以坤为心，甲乙为界作圜，必切乙子、子丑、丑寅、寅乙、卯辰五邉，而为甲乙丙直角三边形之内切圜，即乙丑直角方形之各边为容圆径【四卷四】展转论之，则各大直角三边形内之分角线皆分本角为两平分，皆遇于坤，而坤心圜为各形之内切圜，即两直角方形边为各句股形内之容圆径。又法曰：甲乙股六百，乙丙句三百二十，并得九百二十，与甲丙▯六百八十相减，亦得乙子二百四十。论曰：如前论诸大句股形之分，余句俱八十，诸句股和与诸▯相减之较亦俱八十，则初分句二百四十为诸形之容圆径。

第八题句股较求股求句法曰：甲丙▯四十五，甲乙股，甲丙句之较为甲丁九，求股，求句，以▯自之，得二千○二十五，倍之得四千。○五十较自之得八十一以减两。▯羃存三千九百六十九为实，开。方得句股和六十三，加较九，得七。十二半之，得三十六，为甲乙股减。

较得二十七为乙丙句论曰：▯幂为甲戊直角方形，倍之为己丙直角形，较幂为甲庚直角方形，与甲辛等，相减即得减甲辛形之己辛丙磬折形也。今欲显己辛丙磬折形开方而得句股和者，试察甲丙上直角方形与甲乙、乙丙上两直角方形并等【一卷四七】即甲戊一▯幂内有一甲乙股幂，一乙丙句幂也。己丙两▯幂内有两甲乙幂，两乙丙幂也。故以己丙为实开方，即得丑辰直角方形。其丑寅与卯辰两形两股幂也，丙。壬与癸子，两形两句，幂也，而丑寅。卯辰之间，则重一等。甲辛之卯寅。形减之即丑，辰直角方形与己辛。丙磬折形等矣。乙丙为句。丙丑与甲乙等。故乙丑边即句股和也。若于乙丙句加甲丁较。即与甲乙股等。故甲乙、乙丙、甲丁并半之为甲乙股。以甲丁较减甲乙股为乙丙句。

第九题句▯较求句求▯法曰：甲乙股三十六，乙丙句，甲丙▯之较，为甲丁十八。求句，求▯。以股自之，得一千二百九十六。较自之，得三百二十四，相减存九百七十二。为实倍较，为法除之，得二十七为乙。

丙句加较得四十五为甲丙▯论曰：股幂为甲戊直角方形，较幂为丁庚直角方形与辛癸等相减，存甲壬戊磬折形为实。次倍甲丁较线为乙寅线，以为法除实，即得乙子直角形与甲壬戊磬折形等。何者？乙子直角形加一等较幂之乙丑直角方形成子卯癸磬折形，即与股幂之甲戊直角方形等也。又何者？甲丙▯幂之甲辰直角方形内，当函一句幂一股幂【一卷四七】试于甲辰形内截取丁庚较幂之外，分作庚未未。午午丁三，直角形其甲庚申未酉戌。三线各与甲丁较线等，庚申未戌未。辰、午、酉四线，各与等乙、丙句之丁、丙。线等，夫未酉酉戌并与句等，即申未未酉并亦与句等，而庚申未辰各与句等，即庚未未午两形并为句幂，而丁庚午丁两形并为股幂矣。丁戌戌酉两较也，乙卯卯寅亦两较也。而丁丙与乙丙元等，即丁午乙子两形等，丁庚与乙丑两形又等，即丁庚午丁并与子卯癸磬折形等。而子卯癸磬折形与股幂之甲戌形等，此两率者各减一等，较幂之辛癸乙丑形，即乙子直角形与甲壬戊磬折形等。又法曰：股自之，得一千二百九十六，为实；以句▯较十八为法，除之，得句▯和七十二，加较，得九十，半之，得▯四十五，减较，得句二十七。论曰：股幂为甲己直角方形，以较而一为甲辛直角形，即得甲壬边与乙丙丙，甲句▯和等？何者？甲丙▯幂之？甲丑直角方形内，当函一股幂，一句。幂【一卷四七】试于甲丑形内截取子卯丑辰边各与甲丁较线等，即卯丑辰丙俱与等，乙丙句之丁丙线等，而作甲卯、卯辰、辰丁三直角形，其辰丁形之四边皆与句等句幂也，即甲卯、卯辰两形当与股幂等亦当与甲辛形等，而甲庚卯。寅皆较也，甲子▯也，卯丑句也，则甲。

辛形之甲壬边与句▯和等第十题股▯较求股求▯法曰：乙丙句，二十七；甲乙股，甲丙▯之较为丙丁九。求股，求▯，以句自之，得七百二十九；较自之，得八十。一相减，得六百四十八，为实；倍较，为。法除之，得甲乙股三十六，加较，得甲。

丙▯四十五论曰：句幂为乙，己直角方形较幂为丙丑直角方形与丙庚等相减，存乙庚己磬折形为实。次倍丙丁较线为乙辛线，以为法除实，即得辛壬直角形与乙庚己磬折形等。而乙壬边与甲乙股等，何者？甲丙▯幂之甲癸直角方形内，当函一句幂，一股幂【一卷四七】试于甲癸形内截取丙丑较幂之外分，作甲丑、丑癸、丑子三直角形，即丑子与股幂等，而丙丑、甲丑、丑癸三形并当与句幂等。次各减一相等之丙丑、丙、庚即甲丑，丑癸并与乙庚己磬。折形等亦与辛壬直角形等，辛乙与寅、丑、丑、丁，并等即乙、壬与甲、丁，或寅。

癸等亦与甲乙等又法曰：句自之，得七百二十九，为实，以较为法，除之。

得股▯和八十一加较得九十半之得▯四十五减较得股三十六论曰：句幂为丙戊直角方形，以较而一为丙己直角形，即得丙庚边与甲乙、甲丙股▯和等。何者？甲丙▯幂之甲辛直角方形内，当函一股幂、一句幂【一卷四七】试于甲辛形内，依丙丁较截作丁辛、丁癸、癸壬三直角形，即癸壬形与股幂等，而丁辛、丁癸两形并当与句幂等，亦与丙己直角形等。夫壬辛、甲癸、己庚皆较也，而甲丁与股等，丙辛与▯等，即丙庚与股▯和等。第十一题。

句股和求股求句法曰：甲丙▯四十五，甲乙乙丙句股和六十三，求句。求股以▯自之，得二千○二十五句。股和自之得三千九百六十九，相减。得一，千九百四十四，复与▯幂相减。得八十一，开方得句股较。甲卯九，加。和得七十二，半之得甲乙股三十六。

减较得乙丙句二十七论曰：以句股和作甲丁一直线，自之为甲己直角方形。此形内函甲辛、癸己两股幂，乙寅、庚壬两句幂。而甲辛、癸己之间重一癸辛直角方形。夫甲丙▯之幂，既与句股两幂并等【一卷四七】以减甲己形内之甲辛、乙寅两形，即所存戊辛寅磬折形少于▯幂者，为癸辛形矣。乙辛股也，乙丑句也，则丑辛较也。

第十二题句▯和求句求▯法曰：甲乙股三十六，乙丙甲丙句。▯和七十二，求句，求▯以股自之。得一千二百九十六句，▯和自之。得五千一百八十四，相减得三千。八百八十八，半之得一千九百四十四，为实；以和为法，除之，得乙丙句二十七。以减和，得甲丙▯四十五。论曰：以句▯和作乙丁一直线，自之为乙戊直角方形。次用句▯度相减，取丙庚两防，从丙从庚作庚辛。丙、壬二平行线，依此法作，癸子丑。寅二，平行线，即乙戊一形中截成。丙子，丑辛，丁卯，午己。句幂四庚，未。辰、壬、癸、辰、未、寅，较句矩内直角形。四卯午较幂一也。今欲于乙戊全形中减一甲乙股之幂，则于卯己▯幂内【一句一幂并为▯】存午己句幂而减子午辛磬折形，即股幂矣。何者？卯己▯幂内当函一句幂、一股幂也【一卷四七】又庚未与未寅等，即庚壬形亦。

股幂也以庚壬形代磬折形即丁辛丙己两形为和幂与股幂之减存形也，半之即丙己形以等。

句▯和之乙己除之得乙丙句又法曰股自之得一千二百九十六，以句▯和七十二为法，除之，得十八，为句▯较，加句▯和，得九十，半之，得四十五，为▯，减较，得二十七，为句。

此法与本篇第九题又法同论第十三题股▯和求股求▯法曰：乙丙句二十七，甲乙乙丙股▯和八十一。求股，求▯，以句自之，得七百二十九；股▯和自之，得六千。五百六十一相减，得五千八百三十。二半之得二千九百一十六，为实，以和为法，除之，得甲乙股三十六，以减。

和得甲丙▯四十五论曰：乙丁和，幂内之戊己，句幂也。余论同本篇十三。

题又法曰：句自之得七百二十九，以股▯和八十一为法，除之，得九为股▯较加股▯和得九十，半之得四十五，为▯；减较得三十六，为股。

此法与本篇第十题又法同论第十四题股▯较句▯较求句求股求▯法曰：甲乙股，甲丙▯较二，乙丙句，甲丙▯较九，求句，求股，求▯。以二较相乘得十八，倍之得三十六为实，平方开之得六为▯。和较加句▯较九得甲乙股十。

五加股▯较二得乙丙句八以句▯较加句或股▯较加股得十七为甲丙▯论曰股▯较甲丁二自之得四为己庚直角方形句▯较乙戊九自之得八十一为辛壬直角方形两幂并得八十五以二减九得七即句股较自之得四十九为干兊直角方形元设两较互乘为癸戊子丑两直角形并得三十六以三十六减八十五亦得四十九何以知癸戊子丑三十六为实开方得六之寅卯直角方形边则▯和较也凡直角三边形之▯幂，必与句股两幂。并等【一卷四七】甲乙丙既直角形，则甲乙乙丙两幂并必与甲丙幂等今于甲乙股加甲辰▯丙乙句加乙午▯甲丙▯加丙未句未申股各作一直线以此三和线作一三边形【一卷廿二】即甲申上。

之甲酉直角方形必不等于丙午上之丙戌直角方形乙辰上之乙亥直角方形并而此不相等之较必句股较幂之四十九也何者若于甲酉丙戌乙亥三直角方形各以元设句股▯分之即甲酉形内有▯幂一股幂一句幂一股▯矩内形二句▯矩内形二句股矩内形二而乙亥形内有▯幂一股幂一股▯矩内形二丙戌形内有▯幂一句幂、一句▯矩内形二次，以甲酉内诸形与乙亥、丙戌内诸形相当相抵，则甲酉内存句股矩内形二，丙戌或乙亥内存▯幂一次，以此两存形相当相抵，则一▯幂之大于两句股矩内形，必句股较幂之四十九也？何者？一▯幂内函一句幂、一股幂，今试如上图，任作一甲乙▯幂，其乙丙为句幂，则丁丙戊磬折形必与股幂等；乙己为股幂，则丁己戊磬折形必与句幂等。次以乙庚辛壬两句股矩内形辏乙角依角傍两边纵横交加于▯幂之上即得句股之较幂丙己而乙丙上重一句幂次以所重之句幂补其等句幂之丁己戊磬折形则甲乙▯幂之大于乙庚辛壬两句股矩内形必丙己句股较幂矣故知向者乙亥或丙戌内与甲酉内两存形之较必句股较幂之四十九也则乙亥丙戌两形并其大于甲酉形亦句股较幂之四十九也今于辛壬较幂内减句股较幂四十九之干兑直角方形其所存干离震兊两余方形及离震己庚两直角方形并必与癸戊子丑两形并等次以癸戊子丑两形开方为寅卯形则减寅卯之甲酉形与减辛壬之丙戌形减己庚之乙亥形并必等而减寅卯之甲酉形内元有▯幂如甲寅者四有▯偕寅卯形边矩内形如寅巽者，四减辛壬之丙戌形内元有句幂如丙辛者，四有句偕句▯较矩内形如辛坎者，四减己庚之乙亥形内元有句幂如己辰者，四有股偕股▯较矩内形如甲己者，四今以四▯幂当四句幂四股幂【一卷四七】则甲己辛坎两形并必与寅巽形等，甲丙与巽申等▯也，丙申句股和也，则两▯间等寅卯形边之丙巽不得不为▯和较矣，既得丙巽六为▯和较，即以元设两较相加可得句股▯各数也，何者巽申▯也，巽艮句▯较也，艮申句也，丙申句股和也，于丙申句股和减艮申句则丙巽加巽艮之丙艮股也，丙甲▯也，丙坤股▯较也，坤甲股也，巽甲句股和也，于巽甲句股和减坤甲股则巽丙加丙坤之巽坤句也，次以巽艮加艮申或丙坤加坤甲则▯也。

第十五题句▯和股▯和求句求股求▯法曰甲丙乙丙句▯和七十二甲乙甲丙股▯和八十一求句求股求▯以两和相乘得五千八百三十二倍之得一万一千六百六十四为实，平方开之，得▯。和和一百○八，以股▯和减之，得乙丙句二十七。以句▯和减之，得甲乙句三十六。以句股和减之，得甲丙▯四十五。论曰：两和相乘，为乙己直角形，倍之为丁戊直角形，以为实，平方开之，得己庚直角方形，与丁戊等，即其边为▯和。和者，何也？丁戊全形内有▯幂，二股▯矩内形，句▯矩内形，句股矩内形各二，与己庚全形内诸形比各等。独丁戊形内余一▯幂，己庚形内余一句幂，一股幂并二，较一，亦等【一卷四七】即己庚方形之各边皆▯和和。

句股义