（卷首）

钦定四库全书　　　　　子部六提要益古演段三卷　　　　天文算法类二【算书之属臣】等谨案益古演段三卷元李冶撰据至元壬午砚坚序称冶测圆海镜既巳刻梓其亲旧省掾李师徴复命其弟师珪请冶是编刋行是书在测圆海镜之后矣其曰益古演段者盖当时某氏算书【案冶序但称近世有某是冶已不知作者名氏】以方圆周径幂积和较相求定为诸法名益古集冶以为其蕴犹匿而未发因为之移补条目厘定图式演为六十四题以阐明奥义故踵其原名其中有草有条段有图有义草即古立天元一法条段即方田少广等法图则绘其加减开方之理义则随图解之盖测圆海镜以立天元一法为根此书即设为问答为初学明是法之意也所列诸法文皆浅显盖此法虽为诸法之根然神明变化不可端倪学者骤欲通之茫无门径之可入惟因方圆幂积以明之其理犹属易见故冶于方圆相求各题下皆以此法步之为草俾学者得以易入自序称今之为算者未必有刘李之工而褊心局见不肯晓然示人惟务隐互错糅故为溟涬黯黮惟恐学者得窥其彷佛云云可以见其著书之防矣至其条段图义触类杂陈则又以必习于诸法而后可以通此法故取以互相发也其书世无▯本顾应祥唐顺之等见测圆海镜而不解立天元一法遂谓秘其机以为竒则明之中叶业已散佚今检永乐大典尚载有全编特録存之俾复见于世以为筭家之圭臬永乐大典所载不分卷数砚坚序称三卷今约畧篇页仍厘为三卷其▯写讹谬者各以本法推之咸为校正焉乾隆四十六年七月恭校上总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总　校　官　【臣】　陆　费　墀益古演段序算数之学，其来尚矣。率自《九章》支分派委，刘徽、李淳风又为之注。后之学者，咸祖其法。敬斋先生天资明敏，世间书凡所经见，靡不洞究，至于薄物细故，亦不遗焉。近代有移补方圆，自成一家，号《益古集》者，大小七十问【按书中六十四问】先生一寓目，见其用心之勤，惜其秘而未尽剖露，繙图式，绎条段，可移则移之，可补则补之，祥【按祥字有脱误，应作説之详】非若溟涬黯黮之不可晓，析之明，非若浅近觕俗之无足观，厘为三卷，目曰《益古演段》。颇晓十百，披而览之，辟如登坦途，前无滞碍，旁蹊曲径，自可纵横而通。嘉恵后来，为视隠互杂糅，惟恐人窥其彷佛者，相去大有迳庭矣。先生又尽摅已见，辑为《测圆海镜》一编，二百问【按今本一百七十问】同出一原，致宻纎悉，备而不防，叅考互见，真学者之指南也。《海镜》既命工刻梓，省掾李师征，其亲旧也，嘱弟师珪请是编刋而行之，将与众共推善及人，良可尚也。已，数学在六艺为未求，之人最为切要，迩来精其能者殊鲜，自非先生学有余力，诚能搜剔轩辕、隶首之奥，有不暇矣。虽然是特大烹之一脔耳。若夫先生胷中浑涵停蓄，测之愈深，挹之不穷，时发于翰墨，昭不可揜者，则《大全集》在，当嗣此出，愿肃袵以观。至元壬午仲秋二十六日，郧城砚坚序。

自序术数虽居六艺之末，而施之人事则最为切务。故古之博雅君子，马、郑之流，未有不研精于此者也。其撰著成书者，无虑百家，然皆以九章为祖，而刘徽、李淳风又加注释，而此道益明。今之为算者，未必有刘、李之工，而褊心局见，不肯晓然示人，惟务隠互错糅，故为溟涬黯黮，惟恐学者得闚其彷佛也。不然则又以浅近觕俗，无足观者，致使轩辕、隶首之术，三五错综之妙，尽堕于市井沾沾之儿，及夫荒村下里，蚩蚩之民，殊可悯悼。近世有某者，以方圆移补，成编号益古集，真可与刘、李相颉颃。予犹恨其闭匿而不尽发，遂再为移补条段，细繙图式，使粗知十百者，便得入室啗其文，顾不快哉！客有订愚曰：「子所述果能尽轩隶之秘乎？」愚应之曰：「吾所述虽不敢追配作者，诚令后生軰优而柔之，则安知轩隶之秘不于是乎始？」客退，因书以为自序。时大元己未夏六月二十有四日，栾城李冶序。

钦定四库全书益古演段卷上元李冶撰。第一问。今有方田一段，内有圆池水，占之外，计地一十三亩七分半，并不记内圆外方，只云从外田楞至内池楞四边各二十步，问内圆外方各多少？答曰：「外田方六十步，内池径二十步。」法曰：立天元一为内池径，加倍至步，得□丨【按：太即真数，此即四十步并一池径】为田方靣【按方靣即每边】以自增乗得□□丨【按此即一千六百步八十】池径一平方，并】为方积，于头再立天元。

一为内池径以自之又三因四而一得【太○】○□【按此即百分平方之七十五上二○存步与池之位】为池积，以减头位，得□□□【按此即一千六百步八十池径二分半平方】为一段虚积，寄左。然后列直积，以亩法【按亩法二百四十步】通之，得三千三百步，与左相消【按相消者两边同减一千六百歩后凡言相消者皆两邉加减一数也】得□□□【按此即一千七百歩与八十池径二分半平方等】开平方，得二十步，为圆池径也。倍至步加池径，即外方靣也。按今借根方法，即立天元一法，详见御制数理精蕴兹不尽释以条段求之，真积内减，四段至步幂为实，四之至步为从，二分半常法。义曰：真积内减，四段至步幂者，是减去四隅也。以二分半为常法者，是于一步之内占却七分半外有二。

分半也第二问今有方田一段，内有圆池，水占之，外计地一十三亩七分半，并不记径面，只云从外田南楞通内池北楞四十步，问内圆外方各多少？

答曰同前法曰立天元为池径减倍通步得□丨【按此即八十步少一圆径】为田方靣。以自増乗得□□丨【按此即六千四百步】。少一百六十，径多一，平方】为方田，积于头，又以天元池径自之，三因四而一，得【太○○】□【按此即百分平方之七十五】为池积，以减头位，得□□□【按此即六千四百步少一百六十径多二分半平方】为一段虚积，寄左。然后列真积三千三百步与左相消，得□□□【按此即三千一百步与一百六十径少二分半平方等】开平方，得二十歩，即内池径也。倍通步，内减池径，为方靣也。依条段求之，倍通步，自乗于头位，以田积减头位，余为实，四之通步为从，二分半虚常法。义曰：「倍通步者，是于方靣之外，引出一圆也。用二分半虚常法者，是一个虚方内，却有减余圆池，补了七分半，外欠二分半，故以之为虚隅也。」

第三问今有方田一段，内有圆池水占之，外计地一万一千三百二十八歩，只云从外田角斜至内池楞各五十二步，问靣径外方各多少？答曰：「外田方一百二十步，内池径六十四步。」

法曰立天元一为内池径加倍至步得□丨为方斜以自増乗得□□丨为方斜幂于头【其方斜上】本合身外减四，今不及减，便是寄一步。四分为分母也。今此方斜幂乃】

【是变斜为方靣以自乘之数又别得是展起之数也】又立天元为池径自之又三因四而一为池积今为方田积既以展起则此池积亦须展起故又用一步九分六厘乗之得一步四分七厘亦为一个展起底圆池积也【以一步九分六厘乘之者葢为分母十四以自之得一步九分六厘也】以池积减田积余□□□为一段虚积寄左然后列真积一万一千三百二十八步亦用分母幂一步九分六厘乗之【或两度不加四亦同】得二万二千二百○二步八分八厘与左相消得□□□平方开之得六十四步为内池径也倍至步加池径身外除四见方靣也　一法求所展池积以径自之了更不湏三因四除及以一步九分六厘乗之只于径幂上以一步四分七厘【按此即三因四除一步九分六厘之数】乗之便为所展之池积也依条段求之，展积内减四段，至步幂余为实，四之至步为从，四分七厘益隅。义曰：凡言展积者，是于正积上，以一步九分六厘乗起之数。元法本是方靣上，寄一步四分，分母自乗过于每步上，得一步九分六厘，故今命之为展起之数。

也诸变斜为方者皆凖此所展之池积是于一步圆积上展出九分六厘若以池径上取斜为外圆径则一步上止生得四分七厘，也故以四分七厘为虚常法。又取方幂一步九分六厘，四分之三，亦得圆积一步四分七厘也。按法内皆以径一周三方五斜七为率，故各靣积分数与宻率不合。葢此书専为明理而作，宻率数繁，碍于讲解，故用古率以从简。且其法既明，即用宻率亦无不可。

第四问今有方田一段，内有圆池水占之，外计地一万一千三百二十八步，只云从外田角斜通池径得一百一十六步，问靣径外方各多少？答曰：「外田方一百二十步，内池径六十四步。」法曰：立天元一为圆径，减倍通步，得下□丨为方斜。

以自之得□□丨便为所展方田积于上再立天元一为池径以自之又以一步四分七厘乗之得【太○○】□【步】便为所展圆池。积也，以池积减上田积，余得□□□为一段。如积寄左，然后列真积如法展之，得二万二千二百○二步八分八厘。与左相消，得□□□平方开之，得六十四步，为内池径也。以池径减倍通步，即是方田斜身外，除四为方靣也。以条段求之，四段通步幂内减展积为实，四之通步为从，四分七厘常法。

义曰四之通步为从其减积外实欠一个方今即有展池减时所剰之积补却一个虚方外犹剰一个四分七厘为常法也第五问今有方田一段，内有圆池，水占之外，计地一十三亩二分。只云内圆周不及外方周一百六十八步，问方圆各多少？答曰：「外方周二百四十步，内圆周七十二步。」法曰：立天元一为内圆周，加一百六十八步，得□丨为外方周。以自増乗，得□□丨为一十六个方田积。又三因之，得□□□为四十八段方田积。于头【所以三因】为四十八者，就为四十八分母也】再立天元圆周以自之【元○】丨为十二段圆池。积【圆周幂为九个圆径幂，每三个圆径幂为四个圆池积，今九个圆径幂共为十二，个圆池积也】又就分四之得【元○】□为四十八个圆池积，以减头位得□□丨为四十八段。如积寄左，然后列真积一十三亩二分，以亩法通之得三千一百六十八步。又就分母四十八之得一十五万二千○六十四步，与寄左相消得□□丨，平方开之得七十二步，为内圆周也。三而一为池径。依条段求之，四十八段田积内减三段，不及步幂为实，六之不及为从，一虚隅。

义曰：每一个方周方为十六段，方田积今三之为四十八段，方田积也。内除了三个圆周幂外，于见积上虚了一个圆周幂也。今求圆周，故以一步为虚隅法。旧术曰：以十六乗田积为头位【以合方周之积】以不及步自乗减头位，余三之为实，六之不及步为从法，防常以一步为减从法。

第六问今有方田一段，内有圆池水，占之外，计地二千六百七十三步。只云内圆周与外方靣数等，问各多少？答曰：外方靣，内圆周，各五十四步。法曰：立天元一为方，靣【便是圆周】以自之得元丨便为十二段池积也再立天元方靣以自之又十二之得【元○】□为十二段方田积。也，二数相减，余【元○】□为十二段。如积寄左，然后列真积，就分母十二之得□，与左相消，得□□平方开之，得五十四步，为方靣，亦为圆周径也。依条段求之，十二之真积为实，无从一十一步常法。

义曰一个方田积便是一个圆周积也一个圆周积便是十二个圆池积今将一十二个圆池积减于十二个方田积，通有十一段方田积也。旧术曰：「以十二乗田，如十一而一，所得开方除之，合前问也。」又法，立天元一为等数，以自之为外田积。又就分母九之，得【元○】□为九个方田积于头。又立天元等数，以自之为十二个圆池积也。三之四而一，得【元○】□为九个圆池，以减头位，得【元○】□为九段如积，寄左。然后列真积，就分九之，得二万四千○五十七步，与左相消，得□○□平方开，得五十四步为等数也。依条段求之，九之积为实，无从八步二分半为常法。义曰：每一个方幂为十二个圆池，今将见有底九个。

圆池去了七分半余二分半并实有八个方恰是八个二分半也又法立天元一为径以三之为外方靣以自之得【元○】□为外方积于上，再立天元圆径以自之，三之四而一，得【元○】□为圆池积也。以此圆积减方积，得【元○】□为一段，如积寄左，然后列真积与左相消，得下式□○□平方开，得一十八步为圆径也。以条段求之，积为实，八步二分半为常法。

义曰中间一方除圆池四分之三外有四分之一即是一步内得二分半也旧术曰列积步以八步二分半为法除之，所得再开方，见内圆径。

第七问今有方田一段，内有圆池，水占之外，计地一千三百五十七步。只云外方靣不及内池周一十四步，问方圆各多少？答曰：「方靣四十步，圆周五十四步。」

法曰立天元一为外方加不及一十四步得□丨为内周以自増乗得□□丨为十二个圆池积于头再立天元方靣以自之又十二之为十二个方田积内减头位得□□□为十二段如积寄左然后列见积一千三百五十七步就分母十二通之得一万六千二百八十四步与左相消得□□□开平方得四十步为外方靣也依条段求之十二之积内加入不及步幂为实二之不及步为虚从十一步常法义曰：其十二段积内，▯起十二个圆池。其十二个圆池，补成一个圆周。方其圆周，多于方靣十四步，故。

自之为幂加入所欠之一角又二之为虚从恰得十一个方也第八问今有方田一段，内有圆池，水占之，外有地一十三亩七分半，只云内外方圆周共相和得三百步，问方圆周各多少？答曰：「外方周二百四十步，内圆周六十步。」

法曰立天元一为圆径以三之为圆周以减共步得□□为方周以自増乗得□□□为十六段方田积于头再立天元圆径以自之又十二之得【太○】○□为十六个圆池积，以减头位得□□□为十六段，如积寄左，然后列真积一十三亩七分半，以亩法通之得三千三百步，又就分母一十六通之得五万二千八百步，与左相消得□□□，开平方得二十步为圆池径，又三之为圆周也，依条段求之，和步幂内减十六之见积为实，六之和步为从，三步常法。义曰：「十六个圆池，该十二个方内，从步合除去，九个方外，犹剰三个方，故以三步为常法也。」旧术曰：「列相和步，自乗为头位。又以十六之田积减头位，又六而一为实。以相和步为从法，廉常置五分。」

第九问今有方田一段，内有圆池水，占之外，计地三千一百六十八步。只云内外周与实径共相得三百三十步。问三事各多少？答曰：「外方周二百四十步，实径十八步，圆周七十二步。」

法曰立天元一为池径以五之减倍之相和步得□□为九个方靣以自増乗得□□□为八十一段方田积于头位【二之相和步别】

【得是八方面六圆径二实径今▯二实径与一圆径就成一方靣共前数计九方靣五圆径却更无实径也】再立天元池径以自之又以六十步七分半乗之得【元○】□为八十一个圆池【所以用六十步七分半乘之者欲齐其八十一分母也每个圆池七分半以八十一通之得六十步七分半也】以此减头位余□□□为八十一段如积寄左然后列真积三千一百六十八步以八十一通之得二十五万六千六百○八与左相消得下□□□【步】开平方得二十四步，为池径也。五因池径，减倍相和，余九而一，得方田靣。以池径减方，余折半为实径。依条段求之，倍共步，自乗于头，以八十一之田积减头位，余为实，二十之共步为从，三十五步七分半为常法。

义曰八十一个方田内▯起八十一个圆池每个圆池七分半此八十一个计该六十步七分半其从步内合除去二十五个外犹剰三十五个七分半，故以之为常法也。旧术曰：「倍相和步，自乗为头位。又以八十一乗田积，减头位，余退一位为实。倍相和步为从，法廉常置三步五分七厘半。」

第十问今有方田一段，内有圆池水，占之外，计地三千一百六十八步。只云内外方圆周与斜径共相和得三百四十二步，问三事各多少？答曰：「外方周二百四十步，内圆周七十二步。」

斜三十步法曰立天元一为池径以二十五之减于十之相和三千四百二十步得□□为四十七个外方靣以自増乗得□□□为二千二百九段方田积于头位【十之相和步三千四百二十为方靣四十个内池径三十个斜至步一十个以一十个斜至步合入五个池径共得五斜此五斜却便是七个方靣计总数该四十七个方靣二十五个圆径外更无斜至步也】再立天元池径以自之又以一千六百五十六步七分半乗之得【元○】　□为二千二百○九个圆池积也【所以用一千六百五十六步七分半乗之者欲齐其二千二百○九分母也每一个圆池积七分半今有二千二百○九个圆池积以七分半乘之该一千六百五十六步七分半也】以此减头位得□□□为二千二百九段如积数寄左然后列真积三千一百六十八步以分母二千二百九通之得六百九十九万八千一百一十二步与左相消得□□□开平方得二十四步即池径也以二十五之圆径减十之和步余四十七而一得为外方靣身加四内减了圆池径余折半为斜径也按法内所用四十七方靣之数，亦由立天元一法取出，但截去前段，恐初学不能无疑，兹仍依其法补之。法立天元一为池径，五因之以减倍和，得□□为八方靣一斜共数。以方五因之，得□□为实。又以方五因八方靣，得四十。以斜七乗一斜，得七，并之得四十七为法。除实得方靣，不除便为四十七个方靣也。依条段求之，相和步进一位，自乗于头位，以二千二百九之真积减头位，余为实，五百之和步为益从，一千三十一步七分五厘为益隅。义曰：「减数系是二千二百九段方靣幂内，却漏下二千二百九个圆池。此数该一千六百五十六个七分。」

圆径幂却于从步上叠用了六百二十五个池径幂外犹剰一千三十一个七分五厘故以之为隅法其从法元有五十个圆径今命为之，五百者縁相和步进，一位也。旧术曰：列相和步，进一位，自相乗为头位，以二千二百九之积减头位，余以三之为实，又以一千五百之相和步为从法，廉常置三千九十五步二分半，开平方，见池径。

第十一问今有圆田一段，内有方池，水占之外，计地二十五亩余二百四步，只云从外田楞至四边各三十二步，问外圆内方各多少？答曰：「外圆径一百步，内方靣三十六步。」法曰：立天元一为内方，靣加倍至步为外田径，以自之得下式□□丨，又三之得□□□为四段圆田积。

于头再立天元方靣以自之又就分母四之得【元○】□为四池积。

以减头位得□□丨为四段如积数寄左然后列真积又就分四之得二万四千八百一十六步，与左相消，得□□丨，开平方得三十六步，为方池靣也。加倍至步，即圆径也。依条段求之，四之积步于头位【作三个外圆径幂，内出了四个方池积也】内减十二之至步幂为实，十二之至步为从，一虚隅。

义曰：「四个外圆田，内减了十二段至步幂，复以十二之至步为从，又合去四个方池。今元积内有三个虚池，外犹欠一个虚池，故以一步为虚隅，常减从以为法。」又有圆田一段，中有方池，水占之外，有田五十步，只云方池一尖抵圆边，其一尖至圆边三步，问圆径、方靣各若干？

答曰径十歩　靣五步法曰立天元一为方斜加三步为圆径以自之又以一步九分六厘乗之得□【步】□□【按此为一平方】九分六厘多，十一元七分六厘多，十七步六分四厘，诸条皆步】【数在上此条独步数在下】又三之得□【步】□□内减四之天元幂得上层□中下云云【按即多三十五元二分八厘多五十二平方九分二厘】寄左。然后置五十步两度加四得□【步】又四之得□【步】与左相消得下层三百三十九步○八厘【按此下当加与一平方八分八厘多三十五元二分八厘等十八字方明】负开平方得七步，即池斜也。副置池斜上位加至步即圆径，下位身外减四即方靣也。合问依条段求之，四段展起，见积内减三段展起，至步幂为实，六之至步展起为从，一步八分八厘为常法也。此问若求方靣，则其法甚易，今求方斜，故其图须细分之。

义曰：三个九分六厘，共计二步八分八厘。其元初作四段，如积时合有四个所展之池。今来只见三个，故于二步八分八厘内去却一步有余，只有一步八分八厘为常法也【此法于别纸上抄得，故録于此】

第十二问今有圆田一段，内有方池水占之，外有地二十五亩零二百四步，只云从外田楞通内方，方靣六十八步，问各数若干？答曰：「外圆径一百步，内方靣三十六步。」法曰：立天元一为内方，靣减倍通步，得□丨为外圆。

径以自之得□□丨为圆径幂以三之得□□□为四段圆田积于头再立天元内方靣以自之又就分母四之得【元○】□为四。段方池积以减头位得□□丨为四段，如积数寄左，然后以四之见积二万四千八百一十六步，与左相消，得□□丨平方开之，得三十六步，为内方靣也，减倍通步，即圆径。依条段求之，十二段至步幂内减四之见积为实，十二之通步为从，一常法。

义曰所减数内剰下四个方池叠补了三个外犹剰一个故以之为常法第十三问今有圆田一段，内有方池水占之，外计地五千步。只云从外田楞至内池角四边各一十五步，问方圆各多少？答曰：「外圆径一百步，内方靣五十步。」

法曰立天元一为内方靣身外加四为内方斜又加倍至步得□□为外圆径也以自増乗得□□□为外径幂以三之得□□□为四段，外圆积于头，再立天元内方靣，以自之，又四之，得【元○】□为四段方池积也，以减头位，余□□□为四段，如积数寄左，然后列四之见积二万步，与左相消，得□□□开平方得五十步，为池方靣也，身外加四，又加入倍至步，即为外田径也依条段求之，四之积步内减十二段至步，幂为实，十二之至步身外加四为从，一步八分八厘为常法。义曰：三个九分六厘，计二步八分八厘。其四个圆田内有四个方水，池除从步合占三个外，犹剰一个水。

池却于数内取了一步余一步八分八厘，故以之为常法也。其从步加四者，葢取斜中之方靣也。葢不加四，不能见方靣，而但得方斜也。旧术曰：四因积步为头位，又倍去角步，自乗，三之，减头位，余折半为实，又倍去角步，三因加四为从法，廉常置九分四厘。

第十四问今有圆田一段，内有方池，水占之外，计地三百四十七步。只云从田外楞通内池斜三十五步半，问外圆内方各多少？答曰：「外圆径三十六步，内方靣二十五步。」法曰：立天元一为内方，靣加四得【元□】为方斜，以减倍通步得【太□】□为外圆径，以自増乗得□□□为外田。

径幂也以三之得□□□为四段圆田积于头再立天元内方靣以自之，又就分四之得【元○】□为四段方池以减头位得□□□为四段，如积寄左，然后列四之见积，一千三百八十八步，与左相消，得□□□，开平方得二十五步，为内方靣也，方靣加四，减于倍通步，得圆径也依条段求之，十二段通步幂内减四之田积为实，十二之通步加四为益，从一步八分八厘常法。

义曰：此式元系虚从，今以虚隅命之。四段圆田减积时，剰下四段方池。于从步内用讫三个，外犹剰一个。却于二步八分八厘虚数内补了一歩，外虚一步八分八厘。故以之为法【从负隅正，或从正隅负，其实皆同，故因此廉从以别之】旧术曰：倍通步自乗，三之为头位。四因田积减头位，余为实。又十二通步加四为从法，廉常置一步八分八厘，减从开方【新旧廉从不同，开时则同，故两存之】

第十五问今有圆田一段，内有方池，水占之外，计地三十三亩一百七十六步。只云内方周不及外圆周一百五十二步，问外圆内方各多少？答曰：「外圆周三百六十步，内方周二百八步。」

法曰立天元一为内方靣以四之为内方周加不及一百五十二步得□□为外圆周以自増乗得□□□为十二段圆田积于头再立天元，内方靣以自之，又就分十二之得【元○】□为十二段，方池积以减头位，余□□□为十二段，如积寄左，然后列见积八千○九十六步，又就分十二之得九万七千一百五十二步，与左相消得□□□平方，开得五十二步，为内池方靣也，以四之为内方周，加不及步为圆周也依条段求之，十二段积步内减，不及步幂为实，八之不及步为从，四步为常法也。

义曰十二段圆积该九段圆径幂九段圆径幂便是九个圆周幂也据十二段圆积内元少十二个方池今于周幂内除折筭外剰四个池积故以四步为常法也。旧术曰：「十二之积步为头位，以不及步自乗，减头位，余八而一为实，以不及步为从法，廉常置半步，开平方【新旧二术不同者，旧术从简耳。算术本贵简易，而犹立新术者，縁旧术难画条段也，余仿此】第十六问。今有圆田一段，内有方池水占之，外计地三千五百六十四步，只云内方周与外圆径等，问等数各若干？答曰：内方周，外圆径各七十二步。

法曰立天元一为等数便以为方周以自之为十六个方池于头【元○】丨再立天元等数，便以为圆径以自之，又十二之，得【元○】□为十六段圆田积内减头位余【元○】□，为十六段，如积寄左。然后列真积三千五百六十四步，又就分十六之，得五万七千○二十四步，与左相消，得□○□平方开，得七十二步，即等数也。按法，后落条段一条，依前例补之。依条段求之，十二之真积为实，无从一十一步常法。

义曰十六个圆积乃十二段圆径幂也其十六个圆积内有十六个方池，恰是一个方也。此一个方便，是等数幂也。旧术曰：列田积，从十一段平方开之，得内方靣，四之，即等数也。乂法：以十六乗田积，如十一而一，所得开方，即等数。

第十七问今有圆田一段，内有方池，水占之，外有地一千六百一十一步，只云外圆径不及内方周四十二步，问方圆各若干？答曰：「外圆径五十四步，内方周九十六步。」法曰：立天元一为外圆径，加不及四十二步，得。

为内方周以自増乗得下式□□丨为十六段池积于头再立天元外圆径以自之又十二之得【元○】□为十六段田积也，内减头位余□□□为十六段，如积寄左，然后列真积一千六百一十一步，就分母十六之，得二万五千七百七十六步，与左相消，得□□□平方，开得五十四步，为外圆径也，加不及步为内方周也。依条段求之，置十六之积，加不及步幂为实，倍不及步为虚，从一十一步为常。

义曰十二个圆径幂该十六个圆田积十六个圆田积内有十六个方池，其十六个方池于实积内侵过所加一角，并二段虚从之数也。

第十八问今有圆田一段，内有方池，水占之外，计地三百四十七步。只云外圆周，内方周共得二百八步。问内外周各多少？答曰：「外圆周一百八步，内方周一百步。」

法曰立天元一为内方靣以四之为内方周减于相和二百八步得□□为外圆周以自增乗得□□□为圆周幂便为十二段圆田积于头，再立天元，内方靣以自之，又就分十二之得【元○】□为十二段，方池积也，以减头位，余□□□为十二段，如积寄左，然后列见积三百四十七步，就分母十二之得四千一百六十四步，与左相消得□□□，开平方得二十五步，为内方靣也，四之为内方周，减于相和步为圆周也。依条段求之，以十二之积步减和步幂为实，八之和步为虚从，四常法。

义曰十二段圆田内有十二个方池于方周幂内补了十二池外犹欠四个故以四为隅法此式元系虚从今却为虚隅命之故以四为虚常法旧术曰：「相和步自乗于头位，以十二之积步减头位，余八而一为实，相和步为从法廉。常置半步，减从第十九问。」今有圆田一段，内有方池，水占之外，计地三十三亩一百七十六步。只云内外周与实径共相和得六百二步，问三事各多少？答曰：「外圆周三百六十步，内方周二百八步。」

实径三十四步法曰：立天元一为内方靣，以减一百七十二，得□丨为外田径也【倍云数得一千二百四步，别得是六个圆径，八个方靣，两个实径。今将一个方靣，两个实径合成一个圆俓，并前数而计，是七个方靣，七个圆径也。今置一千二百四步在地，以七约之。】得一百七十二步为径，靣共也，便是一个方，靣一个圆径，更无。实径也】以自增乘得□□丨为圆径幂也以三之得□□□为四段圆田积于头再立天元内池靣以自之，又就分四之，得【元○】□为四池，积以减头位，得□□丨为四段，如积寄左，然后列见积八千九十六步，又就分四之，得三万二千三百八十四步，与左相消，得□□丨，开平方得五十二步，为内方靣也，以七之方靣减于倍和步，余以七而一，即圆径也，圆径内减方靣，余者又半之，即实径也。依条段求之，径靣共一百七十二也。自之为幂，又三之于头位内，减四之见积，余为实。六之径靣共步为从，一常法。

义曰：「四之真积，内有四个方池，于从法内叠周了三个，外剰一个，故以一步为常法。」旧术曰：倍相和步，自乗，三之为头位。以一百九十六步【按此即四与四十九相乗之数】之田积减头位，余以十四而一为实。又六之相和步为从法，廉常置三步半，开平方，见内方靣。

第二十问今有圆田一段，内有方池，水占之，外计地二千四百七十五步，只云内外周与斜径相和得二百五十九步半，问三事各多少？答曰：「外圆周一百八十步，内方周六十步，斜。」

十九步半法曰立天元一为内方靣以三十三之减于十之云数二千五百九十五步得□□为三十五个圆田径【十之云数内有外圆径三十个内方靣四】【十个角斜，十个今将七个方靣并入十个角斜，为五个圆径也。总别得十之云数，是方靣三十三个，圆径三十五个，外更无斜径角也】乃以三十五之圆径自増乗，得下式□□□为一千二百二十五段圆径幂也。以三因之，得□□□。合以四除之，今不除，便为四千九百段圆田积于头。再立天元内池靣，以自之，又就分以四千九百乗之，得○□为四千九百段方池积，以减头位，得□□□为四千九百段如积数，寄左。然后列真积二千四百七十五步，就分以四千九百乗之，得一千二百一十二万七千五百步，与左相消，得□□□平方开，得一十五步为内方靣方【三十三之方靣以减于十之相和，二千五百九十五步，余三十五而一，即圆径。以方靣加四，减圆径，余半之，即斜径也】依条段求之，十之相和步，自之为幂，以三之于头位，以四千九百段见积，减头位为实，一千九百八十之相和步为从，一千六百三十三为常法。义曰：「减数计三千六百七十五个圆径幂，便是四千九百个圆田积也。内漏下四千九百个方池，却于从」

内叠用了三千二百六十七个方池外犹剰一千六百三十三个方靣幂，故以之为常法也。其从法元有一百九十八个方靣，合用一百九十八之相和步为从。今用一千九百八十个相和步者，縁为相和步先进了一位也。

第二十一问今有方田三段，共计积四千七百七十步。只云方方相较等，三方靣共并得一百八步。问三方多少？答曰：「大方靣五十七步，中方靣三十六步，小」

方靣一十五步法曰：立天元一为方，差以减中，方靣。【置并数三而一即得中方靣】得□丨为小方靣也。以自之得□□丨为小方积于头再立天元方差，加入中方靣，得□丨为大方靣以自之得□□丨为大方积于次位又列中方靣□自之得下□为中方积于下位三位相并得□○□为一段如积数寄左然后列真积四千七百七十步与左相消得□○□开平方得二十一步即是方差也【置方差数加中方即大方靣减中方即小方靣也】依条段求之，列并数以三约之，所得即中方靣也。以自之为幂，又三之以减积为实，无从二步，常法义曰：积步内减三个中方幂，外有两个方，故得二步。

常法旧术又折半止得一个方也第二十二问今有方田一段，其西北隅被斜水占之，外计地一千二百一十二步七分半，只云从田东南隅至水楞四十五步半，问田方靣多少？

答曰田方靣三十五步法曰立天元一为水占斜加入云数四十五步半，得□【元丨】为田。

斜以自増乗得□步□丨为田斜幂于头再立天元一水占斜以自之为水，占得小方积，就分以一步九分六厘乗。之得【元○】□【步】为所展得水占积也，以减头位得□□。□【步】为如积一段寄左然后列真积一千二百一十二步七分半，以一步九分六厘乘之，得二千三百七十六步九分九厘，与左相消，得□□□开平方，得三步半，为水占斜加至步为田斜身外减四，即是方靣也依条段求之，展积内减至步幂为实，二之至步为从，九分六厘虚常法，开平方得三步半，即水占斜也。义曰：今将水占斜直命为小方池靣也。旧术曰：「列田积于头位，又列至步，除四则，直至步以」

自乗减头位余为实二之直至为从以九分六厘为廉从开平方得二步半加直至步三十二步半得三十五步即田方靣也此图即旧术条段也旧术减云步为直至步入法而求得二步半为直至不及方靣步新术展积入法而求得三步半为水占斜