益古演段卷上

益古演段卷上

钦定四库全书益古演段卷中元李冶撰第二十三问今有圆方田，各为叚，共计积一千三百七步半。只云方面大如圆径一十步，圆依密率。问面径各多少？答曰：方面三十一步，圆径二十一步。法曰：立天元一为圆径，加一十步，得□丨为方面，以自之，得□【○二】丨为方田积，以十四之，得下式□□□。为十四叚方田积于头，又立天元。圆径以自乗为幂，又以十一之得。【太○】□便为十四叚圆田积【依密率合以径自乗又十一之如十四而一，今以十一乗不受除，故就为十四分母】【也】以并入头位得□□□为十四叚。如积寄左，然后列真积一千三百七步半，就分十四之，得一万八千三百五步，与左相消得□□□。开平方除之，得二十一步为密率径也。加不及步为方田也。依条叚求之，十四之积步于上，内减十四叚不及步，幂为实，二十八之不及步为从，二十五步常法。

义曰将此十四个方幂之式只作一个方幂求之自见隅从也第二十四问今有方圆田合一叚，共计积一千四百六十七步。只云方面与圆径相穿，得五十四步。问面径各多少？答曰：方面一十二步，圆径四十二步。法曰：立天元一为圆径，减穿步五十。四步得□丨，为方田面，以自増乗得。下式□□丨为方田积于头位，再立天元圆径，以自之，又三之四而一，得。【元○】□为圆田积也，并入头位，得□□□为一叚。如积寄左，然后列真积一千四百六十七步，与左相消，得□□□倒积。倒从开平方，得四十二步，为圆田径也。以减穿步，即方面。按法内所言倒积倒从，即飜积法也。盖初商积常减原积，此独以原积减初商积；倍防常减従步，此独以従步减倍防。乃平方中之一变也，古法多用之。今依数布算于后，以存其式。法列积一千四百四十九步为实，以一百零八步为长与一濶又七分半之和，即从数求。濶初商四十步，以一濶七分半乗之。得七十步以减和数，余三十八步以初，商乗之，得一千五百二十步，为初。商积大扵原积，反减之余实七十一。步乃二因一濶七分半所乗初商之数得一百四十步，大扵和数，反减之。余三十二步为次，商防次商二步以一濶七分半，乗之得三步半，为次商。隅凡和数防隅相减，此反相加得三。十五步半，以次商乗之，得七十一步，为次商积，与余积相减，恰尽，开得濶四十二步。依条叚求之，穿步幂内减田积为实，倍穿步为従，一步七分半，虚常法。义曰：「二之従步内元减了七分半。」又叠了一步，计虚却一步，七分半。

也第二十五问今有方圆田各一叚，共计积一千三百七步半。只云方周大如圆周五十八步，问方圆各多少【圆依密率】答曰：「方周一百二十四步，圆周六十六步。」法曰：立天元一为圆周，加周差五十。八步得□丨，为方田，周以自増乗得。下式□□丨为方周幂，便是十六个。方田积，又就密率分母一十一之，得。

□□□为一百七十六叚方田积于头又立天元圆周以自之为幂又就分一十四之得【元○】□为一百七十六叚圆田积【依密率周上求积合以周自乗又以七乗之如八十八而一为一叚田积也今又周宻上更以十四乗之则合用一百七十六而一故就分便为此数】以添入头位得□□□共为一百七十六叚如积寄左然后列真积一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二十三万一百二十步与左相消得□□□开平方得六十六步为圆田周也加多步见方周依条叚求之，一百七十六之积内减一十一叚多步幂为实，二十二之多步为从，二十五步常法。

义曰一百七十六之积步内有一十一个方周方一十四个圆周方也今画此式其一十四个圆周方与一十一个圆周方大小俱同者，止为欲见差步，权作此式，其实合作一十二叚圆式求之，其实自见也【按：十一方周幂，十四圆周幂共积内，减去十一不及幂，余不及步乗圆周长，方二十二圆周幂二十五，故以二十二不及步为従，二十五为隅也】

第二十六问今有方圆田各一叚，共计一千四百五十六步。只云方周大如圆周，方圆周共相和得二百步。问二周各多少？答曰：方周一百二十八步，圆周七十二步。法曰：立天元一为圆周，减于相和二。百步得□丨，为方周以自乗，得□□。丨为方周幂【是十六个方积也】就分三之得。□□□为四十八叚方田积扵头再立天元，圆周以自之，又就分四之，得【元○】□，亦为四十八叚圆田积，并入头位，得□□□为四十八叚，如积数寄左，然后列真积一千四百五十六步，就分四十八之，得六万九千八百八十八步，与左相消，得□□□，开平方得七十二步，为圆田径也，减共步则方周。依条叚求之，三叚和步幂内减四十八之田积为实，六之和步为従，七益隅。

义曰：「减时减过，一个方六之従步内，又欠六个方，共虚了七步，故以为益隅。」

第二十七问今有方圆田各一叚，共计积二千二百八十六步。只云方面不及圆径一十二步，圆依密率。问面径各多少？答曰：方面三十步，圆径四十二步。法曰：立天元一为方面，加不及一十。二步得□丨，为圆径，以自之，得□□。丨为圆径幂，以一十一之，得下式□□□便为十四个圆积于头，再立天。元方面以自之又就分一十四之得【元○】□为十四个方积也，并又头位得□□□为十四叚。如积数寄左，然后列真积二千二百八十六步，就分一十四之得三万二千四步，与左相消得下式□□□平方开之得三十步，即方面也。加不及一十二步，即圆径也。依条叚求之，十四之真积内减一十一叚差步幂为实，二十二之差步为従，差步即不及步二十五歩常法。

义曰十四之积步内有一十一个圆径方与一十四个方面方此式与第二十五问畧同其一十一个圆径幂，有十一个方正，当十一叚之，其数自见也。

第二十八问今有方圆田各一叚，共计积二千二百八十六步。只云方周不及圆周一十二步，问周各若干【圆依密率】答曰：「方周一百二十步，圆周一百三十二步。」法曰：立天元一为方，周加不及步一十二，得【太□】丨为圆周，以自之得□□丨，又以一十四乗之得□□□。为一百七十六叚，密率积扵头，再立。天元方周，以自之为方，积一十六叚。又就分一十一之得【元○】□便为一百。七十六叚，方田积并入头位，得下式。□□□为一百七十六叚，如积数寄左，然后列真积二千二百八十六步，就分以一百七十六乗之，得四十万二千三百三十六步，与左相消，得□□□，开平方得一百二十步，为方周，加不及步，即圆周也。依条叚求之，一百七十六之真积内减十四叚差步幂，为方实，二十八之差步为従，二十五常法。

义曰所减数乃十四叚不及步幂也第二十九问今有方圆田各一叚，共计积一千四百四十三步。只云圆周大如方周，方圆周并得一百九十八步。问二周各多少？答曰：「方周九十六步，圆周一百二步。」法曰：立天元一为方，周减共步一百。九十八得□丨为圆周以自増乗得。□□丨为十二叚圆田积，四之得下。□□□为四十八叚圆田积扵头再立天元方，周以自之，为十六叚方田积。又就分三之，得【元○】□，便为四十八叚方田积，并入头位得□□□，为四十八叚。如积寄左，然后列真积一千四百四十三步，就分母以四十八乗之，得六万九千二百六十四，与左相消得□□□，开平方得九十六步，为方周也。减于并数，见圆周也。依条叚求之，四叚共步幂内减四十八之积为实，八之共步为従，七益隅。

义曰：「八之从内合虚八，个方今见有，一个方外只虚了七步，方也。」

第三十问今有圆田二叚【一叚依圆三径一率，一叚依密率】共积六百六十一步。只云二径共相和得四十步，问二径各数？答曰：「密径一十四步，古径二十六步。」法曰：立天元一为密径，以减相和四十步，得□丨为古径，以自之得下□□丨为古径幂，以三因之得□。□□合以四约之，又就分母七之得。□□□为二十八叚古圆积于头再立天元，密圆径以自之，又二十二之。得【元○】□为二十八叚密圆积也，并入头位得□□□为二十八叚，如积寄左，然后列真积六百六十一步，就分二十八乗之，得一万八千五百八步，与左相消，得□□□平方开之，得一十四步，为密圆径，以减和步，即古径也依条叚求之，二十一叚和步幂内减二十八之田积为实，四十二之和步为从，四十三步虚常法。

义曰其二十八之田积内有古积二十一叚，密积二十二叚。元初，减时减过一叚又并从步内合除之数计虚却四十三个方也第三十一问今有直田一叚，中心有圆池，水占之外，计地三千九百二十四步。只云从外田角斜通内池，径七十一步。外田阔不及长九十四步。问三事各多少？答曰：「圆池径一十二步，田长一百二十六步。」

阔三十二步法曰：立天元一为内圆径，以减倍通。步一百四十二步得□丨为直田斜。以自乗得□□丨为两叚直田并一。叚较幂扵头，再置阔不及长，九十四。步自之得八千八百三十六步，以减头位，得□□丨为两叚直积数，寄左。再立天元圆径，以自之为圆径幂，三之二而一，得【元○】□为两个池积数，加入二之见积七千八百四十八步，得□○□亦为二叚真积，与寄左相消，得□□□平方开之，得一十二步为圆径也。依条叚求之，倍通步为幂，内减二之见积，一个较幂为实，四之通步为从，半步常法。

义曰従步内少一个圆径幂其漏下底二个圆池共一步半今将一步补了従步合除之数外犹剰半步故以为常法第三十二问今有圆田一叚，中心直池，水占之外，计地五千三百二十四步。只云并内池长阔与外圆径等，内池阔不及长三十六步。问三事各多少？答曰：「外田径一百步，内池长六十八步，濶三」。

十二步法曰：立天元一为外圆径，以自乗。三因四而一得【元○】□为圆积内减。了见积五千三百二十四步余得。□○□为水池直积也，以四之，得。□○□为四叚水池直积，寄左再立天元圆径，命为直积和步，以自之得【元○】丨为四积一较幂，内减了池较幂一千二百九十六步，得□○丨亦为四叚池积，与左相消，得□○□平方开之，得一百步，为外圆径也。阔不及长，减圆径余折半见阔，却以不及步加之，即长也。依条叚求之，四积内减较幂为实，从空二步，常法。

义曰四之圆积内有四个水池又扵见积内减了一个池较幂相并恰是一个和幂也。今来池和与圆等共和幂恰是一个圆径幂也。除外有两个方。

第三十三问今有圆田一叚，中心有直池，水占之外，计地七千三百步。只云并内池长濶，少田径五十五步，阔不及长三十五步。问三事各多少？答曰：「田径一百步，内池长四十步，阔五步。」

法曰立天元一为外圆径自之得数又三之四而一，得【元○】□为。

外圆田积也减见积七千三百步得□○□为内池积也以四之得□○□为四叚池积，寄左再立天元圆径，内减少径步五十五，得□丨为池和也。以自之得□□丨为四池一较幂，内减池较幂一千二百二十五步，得□□丨亦为四池积也，与左相消，得□□□平方开之，得一百步为圆径也。内减少径，即水池和步，内加一差，即为二长；若减一差，即为二阔也。依条叚求之，四之积步内减池较幂，却加入少径幂为实，二之少径为从，二步常法。

义曰四池并所减底个较幂恰是一个和自之旧术下积步四之于头位，又以少径步自乗，加头位内，却减阔不及长幂，余折半为实用，少径为従，一步常法。

第三十四问今有圆田一叚，内有直池，水占之外，计地六千步。只云従内池四角斜至田楞，各一十七步半。其池阔不及长三十五步。问三事各若干？答曰：「圆田径一百步，池长六十步，濶二十五。」

步法曰立天元一为外径内减倍至步三十五步得□丨为池斜以自之得□□丨为二积一较幂于头又列阔不及长三十五步以自之，得□减头位，得○□□为四池积。寄左，又立天元圆径，以自之，又三之，便为四叚圆积，内减四之见积二万四千步，得下式□○□，亦为四个池积也，与左相消，得□□丨平方开，得一百步，为外田圆径也。圆径自之，又三之，四而一，内减见积，余为内池积也。又用差步为従，开方见池阔也。依条叚求之，四之见积，内加八叚，至步幂，却减两叚，阔不及长幂为实，八之至步为従，一步常法。

义曰四个圆积内有四个虚直池于积内又减了两叚阔不及长，幂合成两个池，斜幂也。八个従步内贴入，八个斜至步幂，其数与圆径正相应也。外恰有一步方。

第三十五问今有圆田一叚，中心有直池，水占之外，计地五千七百六十步。只云从外田东南楞至内池西北角，通斜一百一十三步。其内池阔不及长三十四步。问三事各多少？答曰：「外圆田径一百二十步，池长九十步，阔」。

五十六步法曰立天元一为角斜加通步得□丨为圆径以自之得□□丨为圆径幂又三之得□□□为四叚圆田积也内减了四之见积二万三千四十步，得□□□为四叚，内直池寄左，再立天元角斜，以减通步为池斜，以自之，得□□丨为池斜幂，于头。又列长平【按平即阔】较三十四步，以自之，得一千一百五十六步，以减头位，余□□丨为二池积也。又倍之，得□□□，亦为四直池，与左相消，得□□丨，开平方，得七步为角斜也。依条叚求之，四之积步内减两叚阔，不及长幂，又减一叚通步幂为实，十之通步为従，一步隅法。

义曰两个较幂并四个池积该两个斜幂也于四个圆积内减此两个斜幂，外更减了一个通步幂，恰是十之从外有一步常法也。

第三十六问今有圆田一叚，中心有直池，水占之外，计地六千步。只云従内池四角斜至田楞各一十七步半，其内池长阔共相和得八十五步。问三事各多少？答曰：「外田径一百步，池长六十步，阔二十五。」

步法曰立天元一为内池斜加入倍至步三十五得□丨为外圆径以自之又三之得□□□为四叚圆积也内减四之见积二万四千步得下□□□为四个池积寄左乃置内池和八十五步以自之得□为四积一较幂于头再立天元内池斜以自之得【元○】丨为二池积一较幂以减于头位得□○丨为二池积也又倍之得□○□亦为四池积与左相消得□□□平方开得六十五步为内池斜加倍至步即圆径也径自之又三之四而一内减去田积余实以和步为从一虚隅开平方见阔也依条叚求之四之积步内加两叚和步幂却减十二叚至步幂为实十二之至步为从五步常法义曰所加两个和幂该八积二较幂数内元有四虚池外有四积，二较幂，其实只是添了两个池斜幂也。于四圆积内，除従步占外，元有三个方，今又加入两个池斜幂，共得五步，故五为常法。

第三十七问今有圆田一叚，中心有直池，水占之外，计地九千一百二十步。只云従外田楞通内池斜一百一十六步半，其内池长阔共相和得一百二十七步。问三事各多少？答曰：「圆田径一百二十步，池长一百一十二步。」

阔一十五步法曰立天元一为角斜加通步一百一十六步半□步丨为圆径以自之得□□丨为圆径幂以三之得□□□为四叚圆田也内减四之见积三万六千四百八十步得□步□□为四叚内池积寄左再立天元角斜以减通步得□步丨为内池斜以自乗得□步□丨为二积一较幂于头又列池和步以自乗得□内减头位余得□【元】□丨为二池积也倍之得下□步□□亦为四池积与左相消得□步□□平方开之得三步半为角斜也加通步为圆径依条叚求之，四之积步内加两叚和步幂，却减五个通步幂，余为实；二之通步为从，五步为常法。

义曰：两个和幂内虚了四池，只是两个池斜幂。今将两个池斜幂减于两个通步幂，止有二甲、二乙所占之地。今又将二甲、二乙及三叚通步幂并以减于四之见积，外实在两个通步，从五个方也。

第三十八问今有水旱田各一叚，共计积二千六百二十五步。只云水田长阔共一百步，其旱地阔不及长三十五步，而不及水地阔十步。问水旱地长阔各若干？答曰：「水地长七十五步，阔二十五步；旱地长」。

五十步　阔一十五步法曰立天元一为旱地阔加旱阔不及水阔一十步得□丨为水地阔以减水田长阔共一百步得□丨为水田长也，以水田长阔相乗，得□□丨为水田积。扵头再置天元旱地阔加不及三十五步，得□【兀丨】为旱田长也，以天元乗之，得【太○】□丨为旱田积也，加入头位得□□为一叚。如积寄左，然后列真积二千六百二十五步与左相消，得□□下法上实，如法得一十五步为旱田阔也，加阔不及长三十五步为旱田长也。又扵旱阔内加不及水地阔一十步为水地阔也，以水地阔减于水田长阔一百步余为水田长也。依条叚求之，以水田共步乗二阔差，于头位以二阔差幂减头位，得数复以减于田积为实，列水田共步加入旱地长阔差内，却减两个二阔差为法。

义曰：其水田阔二十五步为法，内元多一个水旱二阔差数，又积步内减了一叚旱阔为长，二阔差为平底直积是，又虚了一个水旱二阔差数，故于法内减去两个阔差也。按此条圗与义不合，盖▯写之误也。今仍存旧式，另拟图义扵后，以明之。

义曰水田长阔共步乗二阔差内减差幂即附水田周一磬折积也以减共积余同旱阔之两长方共积为实，其水田长阔比原数各减一，阔差扵此长阔和内加旱田长阔较，即两长方之共长，故为法，即得旱田阔也。

第三十九问今有直田一叚，内有圆池，水占之外，计地三十九畆一分半。只云従田两头至池各一百五步，两畔至池各九步。问三事各多少？答曰：「田长二百三十四步，阔四十二步，池径」。

二十四步法曰：立天元一为内池径，加二之边。至一十八步得□丨，为田阔。又置天。元池径加二之头至二百一十步得。□丨为田，长长、阔相乗，得下式□□丨为直田积于头，再置天元径以自之，又三之四而一，得○□为内池积，以减头位，得□□□为一叚。如积数寄左，然后列真积三十九亩一分半，以亩法通之，得九千三百九十六步，与左相消，得□□□，开平方得二十四步，为内池径也。加二之邉至步为田阔，若加二之头至步，即田长。依条叚求之，倍头至步，与倍边步相乗，以减田积为实，并一头一边步，又倍之为从，二分半常法。义曰：此问与第一问条叚颇同，但所减者为四个小池积【按：池当作隅】

第四十问今有直田一叚，中心有圆池，水占之外，计地四亩五十三步。只云外田长平和得七十六步太半步，従田四角去池楞各一十八步。问外田、水池径各多少？答曰：田长五十步，阔二十六步太，池径二十。

步太法曰：立天元一为内池径，加倍角至步三十六，得□丨为直田斜，以自之，得□□丨为田斜幂【便是二积一较幂也】又九之得下式□□□为十八积九。较幂也，寄左列，和步七十六步，太【按太即三分步之二】通分内子得□，以自之得五。万二千九百步为九叚，和幂于头【为九】【叚和幂者，元带三分母以自之，得九也。此九叚和幂，该三十六直积，九个较幂也】又置天元圆径，以自之，又三之，四而一，得【元○】□为一叚圆积也。加入见积一千一十三步，得□○□，共为直积一叚。又十八之，得□○□，为十八叚直积，以减头位，得□○□，亦为九叚田斜幂，与左相消，得□□□，合以平方开之，今不可开【按：不可开者，谓防隅数多，而得数又不能尽也】先以隅法二十二步半乗实二万三千单二步，得五十一万七千五百四十五步，正为实。元従六百四十八，负依旧为従一。益隅平方开之，得四百六十五步，以元隅二十二步半约之，得二十步三分之二，为内池径也。加倍至步为田斜，以自之为二积一较幂。又二之于头位，以和步幂减头位，余以平方开之，即田较也。加入和步折半为长，若减于和步折半为阔也。依条叚求之，列相和步，自乗为幂，内减倍积，及四叚至步，幂为实，四之至步为从，二步半，常法。

义曰和步幂内减了二直积只有一叚斜幂也减二直积时漏下两个圆池该一步半又正有一步共计二步半常法也　求较者，先置池径二十步太□带三分母，便为三个径也。加入六之，至步一百八步得□，便为三个田斜也。以自之得□，为九叚斜幂【便是十八个直积九个较幂】倍之得□，为三十六叚田积一十八叚较幂。于头，再置和步七十六步太□亦带三分母，便为三个和也。以自之得□，为九叚和幂【便是三十六直积九较幂也】以减头位，余□为九叚较幂也。平方开之得七十步，以三约之，得二十三步三分步之一，为田较也。欲见田长阔及斜者，准此法求之。又法求圆池径者，立天元一为三个内池径，以自之得【元○】丨，为九叚池径幂，便是十二叚圆积也。加十二叚见积得□○丨，为十二叚直积。又身外加五得□○□，为十八叚直田积扵头。又列和步七十六步太通分内子得二百三十，自之得□，为和幂九叚【便是直积三十六叚较幂九叚也】内减头位得下式□○□，为九叚斜幂数寄左。再置天元圆径加六之角至步一百八步得□丨，为三个田斜。以自之得□□丨，亦为九叚斜幂也。与左相消得□□□，开平方得六十二步，为三个圆池径也。以三约之，得一个圆径二十步三分之二。此名之分天元一术，前法乃连枝同体术也【按分天元一术即天元一内带分求之得数而后约之，连枝同体术即通分开方得数而后约之，皆兼通分之法也】

第四十一问今有直田一叚，中心有圆池，水占之外，计地三千九百二十四步。只云従外田角斜通池径七十一步，外田长阔相和得一百五十八步。问三事各多少？答曰：「圆径十二步，田长一百二十六步，阔三十二步。」法曰：立天元一为内圆径，以减倍通。步一百四十二步，得□丨为田，斜以自之得□□丨为二，积一较幂于头。又立和步一百五十八步以自之得。□为四积一较幂，以减头位，得□□丨为二直积，寄左。又立天元池径，以自之，又三之二而一，得【元○】□为两个池积也。加入二之见积七千八百四十八步，得□○□亦为一叚直积，与左相消，得□□□平方开之，得一十二步，为内池径也。依条叚求之，二之积步内加四叚通步幂，却减一叚和步幂为实，四之通步为従，二步半虚常法。

义曰减一和步幂是减四积一较幂也四之通步幂内减了一个斜幂却又减过二个直积故二之积步加之従内欠一个方减二积，时漏下二个圆池，又该欠一个半方，共欠二步半，虚常法也。

第四十二问今有直田一叚，中心有圆池，水占之外，计地一万八百步。只云从外田角至水池楞六十五步，其外田阔不及长七十步。问二事各多少？答曰：「田长一百五十步，阔八十步，圆池径四」。

十步法曰：立天元一为内池径，加倍至一。百三十步得□丨，为田斜以自之，得。□□丨为田斜幂于头，又置田较七。十步以自之得□，为较幂以减头位。得□□丨为二田积，寄左，再立天元，池径以自之，身外加五，得【元○】□为两个池积也，加二之见积二万一千六百步□○□，亦为二直积，与左相消，得□□□，开平方得四十步，即池径也。以径自之，三之四而一，加入见积为实，以阔不及长为従，开方得田阔。依条叚求之，二之田积内加较幂，却减四叚至步幂为实，四之至步为従，半步虚常法。

义曰二积内加一个较幂恰补就一个斜幂也其二积内有两个圆池是元虚了一步半方也扵积内却实有一步除外，止虚了半步也。

益古演段卷中<子部,天文算法类,算书之属,益古演段》>钦定四库全书益古演叚卷下元李冶撰。第四十三问。今有圆田三叚【一依古法，一依宻率，一依徽率】共计地二十畆五十二步一百七十五分步之二十三。只云宻径多于古径九步，徽径多于宻径九步，问三径各多少？答曰：「古径三十六歩，宻径四十五步，徽径五」。

十四步法曰：立天元一为古径，加多九步得。□丨为宻径以自之，得下□□丨为。宻径幂，又以十一乗之，得□□□为十四叚宻圆积于头，又立天元古径。加二之多，步一十八步，得□丨为徽。径以自之得□□丨为徽径幂也，又以一百五十七乗之，得□□□为二。百叚徽圆积于中【按徽率周一百五十七径五十径乗】【周四归为圆幂，今以径幂乗周，当以径五十除之，再四归之为圆幂，不除便为五十乗之，又四乗之之二百圆幂也】又置天元古径，以自之，又三之，得【元○】□为四叚古圆积，于下乃求三积齐同分母而并之。先以分母一万七千五百【按此即十四除二十四万五十之数】乗十四叚宻圆积，得□□□为二十四万五千叚宻圆积，于头位。次以分母一千二百二十五乗二百叚徽积，得□□□为二十四万五千叚徽积，于中位。次以分母六万一千二百五十乗四叚古积，得○○□为二十四万五千叚古积，于下位。三位相并，得□□□为二十四万五千叚如积数，寄左。然后列见积通分内子，得八十四万九千一百二十三，就分以一千四百乗之，得一十一亿八千八百七十七万二千二百，与左相消，得下式□□□平方开之，得三十六步为方径也。各加多步见徽宻二径也。义曰：所以齐同于二十四万五千叚者，以元母一百七十五乗一千四百得此数，依条叚求之。以一千四百乗田积于头位，置徽径多古径自之为幂，又以一千九十九【按置一千四百分以徽圆幂率一百五十七乗之，方幂率二百除之即得】乗之，减头位。续置宻径多古径自之为幂，又以一千一百【按置幂十】一【千四百分以宻率圆乗之，方幂十四除之即得】乗之，复减头位，余为实。又倍徽径多古径以千九十九乗之为徽从，又倍宻径多古径以一千一百乗之为宻从，并二从得五万九千三百六十四为从法，亷常置三千二百四十九。义曰：「以一千四百乗积者，取其三率皆可以除之也。」齐同分母，湏至于二十四万五千。叚者，葢以分母一百七十五元乗。积数一千四百，此二数相乗，得二。

十四万五千也此问求真积实数，古径三十六得积九百七十二步，宻径四十五步得积一千五百九十一步一十四分步之一，徽径五十四步得积二千二百八十九步二百分步之一十二，并三积全步四千八百五十二步外【宻零一十四分步之一，徽零二百分步之一十二】以上维乗下位【宻子得二百分，徽子得一百六十八分】相并得三百六十八分为子，实又上二位相乗得二千八百分为母，法子母俱以十六约之为一百七十五分步之二十三。一千四百乗田积来厯，盖只就宻率上定之也。置一千四百在地，以宻率十一之，如十四而一为一千一百积。若以古率三之四而一则得一千五十积。若以徽率一百五十七乗之，如二百而一得一千九十九积。所以用一千四百乗积者，縁古法四，徽法二百皆可以除之也。求三积齐同分母，元分母数一百七十五，元乗积数一千四百，此二数相乗二十四万五千，即大分母也。三积总率皆齐同于此，既得此齐同分母，乃各以先求到叚数约之，徽率得一千二百二十五，宻率得一万七千五百，古率得六万一千二百五十，故反以乗叚数，皆齐同于二十四万五千也。按条叚分母数简于前法者，用旧术也。然各分母之数犹有可省者，盖众数取分母数，必得最小者，方爲确凖。其义见《秦九韶数学九章》大衍术中，今附其法于后，以发明前法所未尽者。法列四数，先以元母一百七十五与宻方率十四相度，得度尽二数之数。为七次，以二数相乗，以度尽数除之。得三百五十，为二数总母，又以二数总母与徽方率数相度，得度尽二数。之数为五十，以二数相乗，度尽数除。之得一千四百，为三数总母，又以三数总母与古方率数相度，则古方率。四，即为度，尽二数之数，二数相乗，度。尽数除之，仍得一千四百，即为四数。总母，然后以宻方率十四除之，得一。百为宻分母，以徽方率二百除之，得。七为徽分母，以古方率四除之，得三。百五十为古分母，以元分母一百七。十五，除之得八，为原积分母，以此数。与各叚幂积相乗除，较原数所省多。

矣第四十四问今有梯田一叚，长二百四十步，并不知东西两濶，只云从东头截长五十步，计地三畆；从西头截长三十步，计地五畆。问二濶各多少？答曰：「东头元濶一十一步二分，西头元濶四十。」

一步九分二厘法曰：此问先湏求见两头各截之停广。求东截停广者，置东头所截三畆之积七百二十步，以截长五十步除之，得一十四步四分。为东截地之停广也。求西截停广者，置西头所截五畆之积一千二百步，以截长三十步，除之得四十步，为西头所。截停广也，乃立天元一为毎步之差。以东头截长五十步乗之，折半得□以减东停广一十四步四分得□【分】□为东头元小濶，于上再置天元差。

步以西头截长三十步乗之得□折半得□加入西头停广四十步得□□为西头大濶也内减东头小濶余□步□为二濶总差也寄左再立天元毎步差以正长二百四十步乗之得□亦为二濶总差与左相消得□步□下法上实如法而一得一分二厘八毫为毎步之差也置毎步之差以西头截长三十步乗之得三步八分四厘折半得一步九分二厘加入西头停广四十步得四十一步九分二厘为西头元大濶也又置毎步之差以东头截长五十步乗之得六步四分折半得三步二分以减于东头停广一十四步四分余一十一步二分为东头元小濶也此问止求毎步之差更不湏以条叚明之旧术依法求得东停广与西停广数，乃以二停广相减，余以二百而一【谓东截长五十步，其停广当二十五步，余去了二十五步也；西截长三十步，其停广当一十五步，余去了一十五步也。两头计去了四十步，以减于正长二百四十步，余二百步】所得为毎步之差。乃副置半步之差，左以东截长乗之，以减东停广，余为东元濶也；右以西截长乗之，以加西停广，并为西元濶也。又法置一步之差，以正长二百四十乗之，所得为都濶差也。以都濶差加于小头濶，则为大头濶也。

第四十五问今有方田一叚，中心有方田池，占之外计地一畆。只云从外田东南隅至内池西南隅一十三步，问内外田方各多少？答曰：「内池方七步，外田方一十七步。」法曰：立天元一为内池方，以自乗，倍之，得【元○】□，加入见积，得□□，寄左。又列至步，自之，得一百六十九步。又倍之，得三百三十八步，与左相消。得□○□，开平方得七步，即内池方。也池方自之加入见积再开平方即外田方面也依条叚求之，只据前式便是，更不湏重画，也只是将见积打作四叚小直田，以池面为较，以外田方面为和，以斜至步为▯，然此问惟是其池正在方田中心，可依此法求之，若稍有偏侧，则不能用也。旧术列去角步自乗为二位，头位减半田积，开平方见内池面，下位加半田积，开平方见外田面也。

第四十六问今有方圆田各一叚，共计积一百二十七步。只云其方面大如圆径，圆径穿方斜，共得二十步。问面径各多少？

答曰方面一十步　圆径六步法曰：立天元一为圆径，减穿步得□丨为方斜，以自之得□□丨为方斜幂于头再置天元圆径以自之又以一步四分七厘乗之得□□步为展起圆田也并入头位得□□□步为展数如积一叚寄左然后列见积一百二十七步，两度下加四【两度下加四，止是以一步九分六厘乗之也。以一步九分六厘乗之者，变方田为斜田也】得二百四十八步九分二厘，与左相消，得下式□□□开平方，得六步，即圆径也。以径减穿步，即方斜也。依条叚求之，穿步幂内减去展起，见积为实，二之穿步为从，二步四分七厘虚隅。

义曰下式乃展起之圆积也亦俱是减数也此数该一步四分七厘之方又从步内叠出一步虚隅计得二步四分七厘，常法也。旧术曰：以一步九分六厘乗田积为头位，又列穿步自乗，内减去头位，余为实，倍穿歩为从亷，常置二歩四分七厘，减从开方。

第四十七问今有直田一叚，中心有小方池，结角占之外，计地二千七十九步。只云从田二头至池角二十一步半，两邉至池角七步半。问三事各多少？答曰：「长六十四步，濶三十六步，池方一十五步。」法曰：立天元一为内，方面身外加四。又加二之头至步四十三得□□为田长也，又置池方面，身外加四，又加。入二之邉至步一十五得□□为田。

濶也长濶相乗得下式□□□为直田积于头又置天元池方面以自之得【元○】丨为内方池以减头位得□□□为如积一叚寄左然后列见积二千七十九步与左相消得□□□开平方得一十五步即内池方面也方面外加四副二位若加两头至池步见长若加两邉至池步即见濶也依条叚求之，积步内减四叚邉，至与头至步相乗数为实，并至头至步倍之，又身外加四为从，九分六厘常法。义曰：「水池外有九分六厘，常法从。」步皆加四者，盖于斜上求方面也。

第四十八问今有方田一叚，内有直池，水占之，外有地三百四十步。只云其池广不及长四步，又云从田楞通池长一十五步。问三事各多少？答曰：「田方二十步，内池长一十步，广六步。」法曰：立天元一为池长，减于倍通步□丨为田方面，以自之得□□丨为田方积，于头再置天元池长内，减较四步□丨为池濶，以天元乗之得□丨为直池。积以减头位得□□○，为如积一叚。寄左，然后列直积三百四十步与左。相消得□□下法上实如法而一得。一十步，即池长也。以长减于倍通步。

即方田面也依条叚求之，四叚通步幂内减田积为实，四之通步内减池较为法，如法得池长。义曰：「四之通步为法，内欠一个池长幂，却用所漏之」。

池补之犹差一池较为法合除之数也既于实积内虚了此数故作法时，于四之通步内减去一数也。

第四十九问今有方田一叚，内有小方池，结角占之外，计地一万八百步。只云从外田楞至内池角各一十八步，问内外方各多少？答曰：「外田方一百二十步，内池方六十步。」法曰：立天元一为内，方面身外加。四，又加倍至步三十六，得□□为。田方面以自乗得□□□为外方。积于头再置天元内方面以自之。得【元○】丨为内池积也，以减头位，得□□□为如积，一叚寄左，然后列真积一万八百步，与左相消，得□□□，开平方得六十步，为内池方面也。内方面身外加四，又加倍至步，即方面也。依条叚求之，见积内减四叚，至步幂为实，四之至步，身外加四为从，九分六厘常法。义曰：「从步内加四者，是于一个方。」

面上求第五十问今有方田一叚，自有小方池，结角占之外，计地九千三百七十五步。只云从外方角至内池面各五十七步半，问内外方各多少？答曰：「外田方一百步，内池方二十五步。」

法曰立天元一为内方面加倍至步一百一十五步得□丨为外田斜以自之得□□丨为所展方积于头再置天元内池面以自之得【元○】丨为内池积，又就分以一步九分六厘乗之，得下【元○】□，亦为所展之池积也，以减头位得□□□，为一叚所展，如积寄左，然后列真积九千三百七十五步，以一步九分六厘乗之，得一万八千三百七十五，与左相消得□□□，开平方得二十五步，即内方面也依条叚求之，展积内减四叚，至步幂为实，四之至步为从，九分六厘虚常法。义曰：「展积时，其池亦展得虚了九。」

分六厘也第五十一问今有方田一叚，内有小方池，结角占之。外计地四十五畆，只云从外田南邉斜通池北角一百二步，问内外方各多少？答曰：「外田方一百二十步，内池方六十步。」

法曰立天元一为内方面身外加四为池斜以减于倍通步二百四步得□□为外方面以自之得□□□为方田积于头，又置天元内池面，以自之，得下【元○】丨为内方池也。以内方池减头位，得□□□为如积一叚，寄左。然后列真积一万八百步，与左相消，得□□□平方开之，得六十步，为池方面也。依条叚求之，四叚通步幂内减见积为实，四之通步加四为从，九分六厘虚隅法。义曰：从步身外加四者，盖是于池。

斜上求池面也旧术曰：倍通步，自乗，以田积减之余，折半为实；倍通步加四为从，亷常置四分八厘，减从，开方见内方面。

第五十二问今有方田一叚，内有方池，结角占之。外计地三十九畆零一十五步，只云从田东南角至内池西北面八十二步半，问内外方面各多少？答曰：「外田方面一百步，内池方面二十五步。」法曰：立天元一为内方，面减于倍通步一百六十五。步得□丨为外田斜也，以自之得。□□丨为所展外田积于头再置。天元池方面，以自之为方池，积又就分以一步九分六厘乗之，得【元○】□为所展方池积也，以减头位得□□□为展起底，如积一叚寄左，然后列真积三十九畆一十五步，通纳得九千三百七十五步，又就所展分母一步九分六厘乗之，得一万八千三百七十五步，与左相消得□□□平方开之，得二十五步，即内池面也，以池面减于倍通步，又身外去四，即外方面也依条叚求之，四叚通步幂内减展积为实，四之通步为从，九分六厘常法。

义曰元以展积减四叚通步幂时漏下一步九分六厘池积今来于从步内叠用了一个方外剰九分六厘第五十三问今有方田一叚，内有直池，结角占之。外计地八百五十步，只云从田角通水长三十七步，通水濶三十二步。问三事各数。答曰：「池长二十五步，濶一十五步，外田方三十。」

五步法曰：立天元一为内池长，减于倍通步七十四步，得□丨为外田斜也。以自之，得□□丨为所展外田积。

于头再置倍通长七十四步内减倍通濶六十四步余一十步乃池长濶差也【或直以通长通濶相减于者倍】之亦为长濶差也】再置天元池长内减。长濶差得□丨，为濶也。以天元长乗之，得□丨，为直池积也。又就分以一步九分六厘乗之，得□□，为展起底直池积也。以减头位，得下式□□□，为所展。如积一叚，寄左。然后列真积八百五十步，就分以一步九分六厘乗之，得一千六百六十六步，与左相消，得□□□，开平方得二十五步，为内池长也【以减倍通长步，又身外去四，即外田方面也】依条叚求之，四叚通长幂内减展积为实，四之通长于头，以一步九分六厘乗长濶差，以减头位为从，九分六厘常法。义曰：「据从步合用之积，于叠起处少了一方。今将减积时漏下所展水池，补了一甲之地。若更得一乙之」

地则共补成一步九分六厘之地方也【按原图仍用正方，今易为直方，庶为简明】今不可补故于从步内减去所展差步便是于从法合用之积内借了一乙之地，恰补就一步九分六厘之方也。除补了叠起的一步方外，犹剰九分六厘，故以之爲常法也。

第五十四问今有方田一叚，内有直池，结角占之。外计地一千一百五十步，只云从田角至水两头各一十四步，至水两邉各一十九步。问三事各多少？答曰：「方四十五步，池长三十五步，濶二十五。」

步法曰：立天元一爲池濶，加二之邉，至步三十八，得□丨为外田斜，以自之，得□□丨为所展外田积于头二之邉至步内减二之头至步余一十步为池长濶差也再置天元池濶加差一十步得□丨为池长也用天元池濶乗之得□丨为直池积也，又就分以一步九分六厘乗之，得□□步为所展之池积也，以减头位，得□□□为所展如积一叚，寄左，然后列真积一千一百五十步，以一步九分六厘乗之，得二千二百五十五十四步，与左相消，得□□□，开平方得二十五步为池濶也【又加二之邉至步，又身外去四，即外方面也】依条叚求之，展积内减四叚邉至步幂为实，四之邉至步于头，以一步九分六厘乗长濶差，减头位余为从，九分六厘虚常法。义曰：所展池积内，将四叚红【按原图应减者，以红色别之】积恰补作九分六。

厘虚常法其两个所占半差于减从时又以一步九分六厘乗之者，葢欲合身外加四所乗积也。按，展积义多未备，此条尤略，今具图説以详之。

义曰外四隅方所减之四至幂也中十字积为实则池濶为隅四之至步为从也附直池外斜方展池积也平分上下二尖形附于左右二尖形外成一原池濶乗展池正长之直方展池正长为原池长之一步九分六厘十字积与展池积之较为实是前从隅内应少原池长之一步九分六厘又为少原池长濶较之一步九分六厘并原池濶之一步九分六厘故展较减前从以为从展隅反减前隅为虚隅也第五十五问今有圆田一叚，内有圆池，水占之外，计地二十三畆一分。只云内外周径共相和得四百二十四步，问内外周径各多少【图依宻率】答曰：「外周二百八十六步，径九十一步；内周一百一十步，径三十五步。实径二十八步。」

法曰立天元为实径以减相和步四百二十四得□丨为内外周共步用天元实径乗之得□丨为如积两叚寄左然后列二之真积一万一千八十八步，与左相消，得□□丨，开平方得二十八步，为实径也。以径步除田积，于头位，又二十二乗径步，如七而一，得数若加头位，即外周；若减头位，即内周也。义曰：以径步除田积，所得乃半内周，半外周共步也。又据古率，三个实径，即是半个外内周差步也。縁此问系是宻率，故以二十二乗径，以七约之也，即得半差，以加共步，即是外周，以减共步，即是内周也。又据古率，三之实径，以加减共步者，縁共步便三空径，三实径共数也。于此共数内加三实径，则恰是三个大圆径，故为一个外周也。若共数内减去三实径，则正有三个小圆径，故为一个内周也。今是宻率，故先以二十二之七而一，所以附就此数以求内外周也。依条叚求之，倍积步为实，和步为从，一益隅。

义曰以和步为从是于内外周数外又引出一步虚常法也第五十六问今有圆田一叚，内有圆池，水占之外，计地二十三畆一分。只云从外田通内池，径六十三步。问同前。

答同前法曰立天元为实径加通步六十三得□丨为外田径以自之得下□□丨为外圆径幂又十一之得下式□□□为十四叚外圆积于头，再置天元实径以减通步，得□丨为内圆径，以自之得□□丨为内圆径幂，又十一之得□□□为十四叚内圆积也，以减头位得下式□步为十四叚如积，寄左，然后列真积二十三畆一分法，通得五千五百四十四，又就分一十四之得七万七千六百一十六，与左相消得□□下法，上实如法而一得二十八步为实径也，以实径加通步即外径，若减通步即内池径也依条叚求之，十四之积为实，四十四之通步为法，求得实径。

此问难以为式，强立此式以推之。毎积之长，乃三个通步。今十四之积，合以四十二个通步除之。今用四十四之通步为法者，縁宻率之周稍多于古率之周也。假令古率七个积，即合用二十一个通步为法。若依宻率七个积，即合用二十二个通步为法。此问乃并十四之积为实，是合用四十四个通步为法也。旧术曰：「二十二之通步如七而一为法，除田积见径。」又法：「倍通步自之，又十一之于上，以十四之积减上，余为实，四十四之通步为法，见池径。」按条叚皆于立天元一内取出，而于方圆变积之义或未暇深思，故谓难以为式。若以方环、圆环解之，固易易耳。今増一图义于后，而旧术又法先求池径，更可互相发明，因并附焉。义曰：「圆幂率十一，方幂率十四，以十四」乗圆环积，便为十一方环积，毎环为实。径乗通步之直方，四，故以十一方环积为实四十四，通步为法，即得实径也。义曰：「倍通步，即大小径并，其幂内有。」大小径幂各一，大小径相乗，直方二。内减圆环积，所变之方环积，余小径。幂二，大小径相乗之直，方二，又为小。径乗大小径并之直方二，又为小径乗通步之直方四，故以十一倍之积较为实，四十四之通步为法，即得小径也。

第五十七问今有圆田一叚，内有直池水占之，外计地八千七百四十四步。只云两头至田楞各二十一步，两畔至田楞各四十五步。问三事各数。答曰：「田径一百二十四步，池长八十二步，濶。」

三十四歩法曰：立天元一为池濶，加二之畔，至步得□丨为外田径以自之得□□丨为田径幂，以三之，得□□□爲四。叚圆田积于头二至歩相减余二十。四步又倍之得四十八步，为池长濶差也。再立天元，池濶加差得□丨，爲池长。以天元濶乗之得□丨，为池积。又就分四之得□□，为四叚直池积。以减头位得□□丨，为如积。四叚寄左，然后列真积八千七百四十四步，就分四之得三万四千九百七十六步，减头位得□□丨，平方开之得三十四步，为池濶也。依条叚求之，四之见积内减十二叚畔至步幂为实，十二之畔至步内减四个长濶差余为从，一步虚常法。

义曰：「八处以红志之者，共是从内所减之数也。旧术曰：四之积步于上，又倍一畔步自乗，三之减上余为实，又并一头一畔步六之内，减了长濶之差，余为从亷。常置一步减从，开方见池濶也。」

第五十八问今有圆田一叚，内有直池占之，外计地一千五百八十七步。只云从田楞通地长四十二步，通地濶三十七步。问三事各数？答曰：「田径五十四步，池长三十步，濶二十步。」

法曰立天元一为内池长以减倍通长八十四步得□丨为田径以自之得□□丨为田径幂以三之得□□□为四叚圆田于头，再立天元一为池长，内减长濶差，得□丨为池濶，以天元一乗之，得□丨，又就分四之，得□□为四叚池积【求长濶差者，倍通长内减倍通濶，即是也】以减头位，得下式□□丨为四叚如积，寄左，然后列四之真积六千三百四十八步，与左相消，得□□丨，开平方得三十步，为内池长也，以长减倍通长，即田径也，依条叚求之，十二之通步幂内减四之见积为实，十二之通步内减四差为从，一步常法。

义曰：十二之从步内，减去了三个差，又以三个漏下池积补了叠起底三步虚方，外犹剰一池，更用一差减从，并上所剰之一池，恰补成一步常法也。

第五十九问今有二方夹一圆，失却圆水，占外有田积一十一畆五分五厘，其方圆相去，重重径等，问方圆各多少？答曰：内方面一十二步，圆径三十六步，外方面六十步法曰立天元一为等数五之得□为外，方面自之得【元○】□为外。

方积于头一次立天元一为等数以三之得□为中圆径以自之得【元○】□为圆径幂，又三之四而一，得【元○】□为池积，以减头位，得【元○】□为外田积，内减了中圆积之数于次位，一再立天元等数，便为内方面，以自之，得【元○】丨为内方积，却加入次位，得下□为如积，一叚寄左，然后列真积一十一畆五分五厘，以畆法通，得二千七百七十二步，与左相消，得□□步，下法上实，如法而一，得一百四十四步，再开平方，得一十二步，为等数也，便是内方面也，三之为中圆径，五之为外方面。此问更无条叚旧法，以十九步二分半除积步，得内方幂，只是以一步推之也，假令内方一步，则圆径三步，外方面五步也，于外方积二十五步之内减了中圆积六步七分半，却加入内方积一步，计得十九步二分半也。第六十问今有二圆夹一方，失却中方，水占外有田积一十四畆一分七厘半，其方圆相去，重重径等，问方圆各几何？答曰：内圆径一十八步，方面五十四步，外圆径九十步。法曰：立天元一为等数，以五之为外。圆径以自之得【元○】□为外径幂，又三。之四而一，得□为外田，积于头，再立。天元等数以三之为中方面，又自之得【元○】□为中方幂，以减头位得【元○】□为外圆积，内减了中方幂之数于次位，又置天元等数便为内圆径，以自之得【元○】丨为内径幂，又三之四而一得【元○】□为内圆积也，却加入头位得【元○】□为如积一叚，寄左，然后列真积一十四畆一分七厘半，以畆法通得三千四百二步，与左相消得□□下法，上实如法而一得三百二十四步，再开平方得一十八步为等数，便是内圆径也，副置之，三因为中方面，五因为外圆径也。此问与前问意同，更无条叚，旧法以十步半除积步得内径幂，亦只是以一步推之，假令内圆径一步，则是中方面三步，外圆径五步，先置外圆积一十八步七分半，内减了中方积九步，却加内圆积七分半，共得一十步半也。

第六十一问今有方田一叚，靠西北隅，有圆池水，占之外，计地九百二十五步。只云从外田东南隅至池楞二十五步，问面径各多少？答曰：「外田方面三十五步，内池径二十步。」法曰：立天元一为内池径，身外加。二、得□为池东南楞至田西北角。也，又加斜至步二十五步得□□。为外田斜以自之得□□□为田。斜幂于头，再立天元圆径，以自之为幂，又以一步四分七厘乗之，得【元○】□为所展圆池积，以减头位，得□□□为所展如积，一叚寄左【初立天元身外加二者，以方求斜，合加四，今求一半，故加二也。按加二系以方求半方半斜和之数也】然后列真积九百二十五步，就分以一步九分六厘乗之，得一千八百一十三步，与左相消，得□□□平方开，得二十步为池径也。池径外加二，又添入斜至步，却身外除四，即外方面也。依条叚求之，展积内减斜至幂为实，倍至步身外加二为从，三厘虚常法，减从开平方。

义曰于一方外虚了四分七厘从上带了四分外虚七厘又于从上乗起四厘外犹虚三厘故以三厘为常法此图内二分合画作极细，形状与四分七厘外圆邉正自相应。今不应者，但二分差濶耳。所以画作差濶之状者，正欲易辩二分之数也。按原图式，有附斜至幂外磬折形，无附池径幂外磬折形，且二形相离，皆▯本之误也。故义中所论，亦不知其何指。今订补此图，二分不必加濶，未尝不易辨也。

第六十二问今有方田二叚，靠西北隅有方池，结角占外，计地四畆一十五步。只云从田东南隅斜至水方面一十九步，问内外面各多少？答曰：「外方面四十步，内方面二十五步。」法曰：立天元一为池，方面身外加。四八，又加入斜至步一十九步得。□□为外田斜也【先将池斜变为方，故加四后又】

【将池方变为斜复合加四两度加四于一步上合得一步九分六厘今求一半故身外止加四八也　按方一步求斜身外加四又以斜为方求斜再身外加四是原方求再斜为身外加九六今求半方半再斜之和数故加四八也】以自之得□□□为外田斜幂于上再立天元一为池方面以自之又以四十九乗之如二十五而一得【元○】□为展起方池积以减上得□□□为所展如积一叚寄左然后列真积四畆一十五步以畆法通内得九百七十五步又随分以一步九分六厘乗之得一千九百一十一步与左相消得□□□平方开得二十五步为内池方面也于此方面上两次求斜合得一步九分六厘以除元方一步外有九分六厘半之则得四分八厘故此方面上加四八更加入斜至步为大方斜也以条叚求之，展积内减至步幂为实，二之至步，以一步四分八厘乗之为从，二分三厘四丝为常法。

义曰此一问其展起积时于一池之外虚了九分六厘却于一个从步内加四分八厘二个从步计加了九分六厘恰就了所展虗数除外，有一叚四分，自乗数该一分六厘于上，又有两叚四分乗八厘数【按附自乗方外】该六厘四毫于次，又有一叚八厘自乗数【按小方隅】该六毫四丝于下，三位并得二分三厘四丝，此数系是于展积内实有之数，故以常法也旧术以四十九乗田积，如二十五而一，于头位，以至水步自乗，减头位为实，余与条叚同。按原图式四分八厘方内，按分厘数细分之，因其数甚微，又以分数厘数作等数分之，终不免混淆，今以亷隅线易之。

第六十三问今有大圆田一叚，大小方田二叚。其小方田内有圆池水，占之外，共计积六万一千三百步。只云小方田面至池楞三十步，大方田面多于小方田面五十步，其圆田径又多于大方田面五十步。问四事各多少？答曰：小方田面一百步，池径四十步，大方田面一百五十步　圆田径二百步法曰：立天元一为内池径，加二之至。水，六十步为小方，面于小方，面上又加入大小方面差五十步，即大方面。也于大方面上，又加入大圆径，大方。面差五十步，即大圆径也。具图于左。一内圆径【太○】丨，一小方面□丨。

一大方面□丨　一大圆径□丨乃先置天元，内圆径以自之，义三之。得【元○】□为四叚圆池积，于上又置小方面□丨以自之，得□□丨为小方积，以四之，得下式□□□为四叚小方积，于次又置大方面以自之，得□□丨为大方积，四之得□□□为四叚大方积，于下又置大圆径下式□丨以自之，得□□丨为大圆径幂，以三之得下式□□□为四叚大圆积，于下位之次，并下三位得下式□□□于右，以四池积【元○】□减于右，得□□□为如积，四叚寄左，然后列真积六万一千三百步，就分四之，得二十四万五千二百步，与左相消，得□□□平方开之，得四十步为内池径也，各加差步即各得方面与圆径也依条叚求之，四之田积于头位内，减三叚【按落大圆径三字】多池径幂，又减四叚大方面多池径幂，又减十六叚至水步幂为实；六之圆田多池径步，又八之大方田面多池径步，又十六之至水步三位并之，得二千三百二十步为从法亷，常置八步开平方。

义曰：三叚圆径幂乃四个圆田积，此数内有三个方也。其四叚大方田积内有四个方也。其四叚小方积，毎个圆池外余二分半，四池计余一步方也。三位上并带八步方。

第六十四问今有方田一叚，中心有环池，水占之外，计地四十七畆二百一十七步。只云共环水内周不及外周七十二步，又从田四角至水各五十步半。问内外周及田方、方各多少？答曰：「外周一百八十步，内周一百八步，田方。」

一百一十五步法曰立天元一为池内径先以六除内外周差七十二步得一十二步为水径倍之得二十四步加入天元池内径得□丨为池外径，又加倍至步一百一步得下式□丨为外田斜，以自之得□□丨为田斜幂，于头位再立天元，池内径加入二之水径得□丨为池外径，以自之得□□丨为外径幂，又以一步四分七厘乗之得下式□□□步为展起底外圆积，于次上再立天元，一池内径以自之【元○】丨亦以一步四分七厘乗之得【元○】□　　　　　　　　　　　【步】为展起底内圆积以减次上得□步□○为所展底池积也以此池积减头位得下式□步□丨为展起如积一叚寄左然后列真积四十七畆二百一十七步以畆法通纳之得一万一千四百九十七步又就分以一步九分六厘乗之得二万二千五百三十四步一分二厘与左相消得下式□步□丨开平方得三十六步即池内径也三之为内周又加差为外周置内径加二之水径又加倍至步为外方斜也置外方斜身外去四即外田方面也依条叚求之以一步九分六厘乗田积于头位以水径加至步以自之为幂又四之以减头位又倍水径自乗又以一步四分七厘乗之却加入头位为实又水径加至步四之于头位又三之水径以一步九分六厘乗之减头位为从一步常法此问图式有三第一式即所畵原様是也以一步九分六厘乗之变为斜幂其式如后右第二式也黒者为元问防者尽是展数恐糢糊难辩再具加减图式于下更不见旧式也右第三式也其圆环以条叚命之只是一个方环内取四分之三也却加入三叚展起底水径幂外只有三叚展起底水径乗内圆径直田积也，此系展环之虚数也。今以至步并水径共为从，故于内却除去水径之虚步也。必湏以一步九分六厘乗水径而去从者，縁二停虚环并是展起之积，故减从时将水径亦展起而减之也【按展水径，展内圆径皆于原数身外加四，今以内圆径为不动，则水径必两度加四，故以一步九分六厘乗之也】