筭法第六

译围三寸，每尺体积一十五尺；围四寸，每尺体积二十六尺六寸六分；围五寸，四十一尺六寸六分；围六寸，六十尺；围七寸，八十一尺六寸六分；围八寸，一百六尺六寸六分；围九寸，一百三十五尺；围一尺，一百六十六尺六寸六分；围一尺一寸，二百一尺六寸六分；围一尺二寸，二百四十尺；围一尺三寸，二百八十一尺六寸六分；围一尺四寸，三百二十六尺六寸六分；围一尺五寸，三百七十五尺。方法是：列出围三寸，自乘得九寸，减去二得七分半，乘四再折半，得一丈五尺，作为每尺的积寸；其余依此类推，各项每尺积寸均见于上表【此法未详，姑且保存原文】。假设截修堤坝，长三十四步，中部宽三十五尺，高七尺，取土距离三十步，问体积多少、总功多少？回答：体积四万一千六百五十尺，五百九十五功。方法是：高乘宽得二百四十五尺，按一步五尺换算，得一千二百二十五尺，作为每步体积；乘长三十四步，得四万一千六百五十尺，为总积。按三十步取土的条例，以七十尺计一功；用七十尺除总积，得总功，即为所问。假设修补一百步旧堤，高一丈五尺、宽三尺五寸，用夫二百人，五日完成，问取土距离多远时以多少土量计一功？回答：取土一百四十步，以三十四尺计一功。方法是：高乘宽，再按一步五尺换算，得一步积；又乘长一百步，得总积二万六千二百五十尺，记在左边。二百人乘五日，得一千功；用一千功除总积，得每功二十六尺二寸半，即筑成的坚实体积。折算为开挖土方三十四尺，按逐步减土法考查，正是取土一百四十步。假设修筑一料堤坝，长一千步、高一丈，用三千人，以五十尺计一功，三日完成，问宽多少？回答：宽九尺。方法是：每功五十尺乘三千人，得一十五万尺，为一日功积；再乘三日，得四十五万尺，为总功积；以长一千步除之，得每步积四百五十尺；再按一步五尺除算，即得宽九尺。假设堤长九百步、高一丈，现在想帮宽十步，用二千人，以五十尺计一功，三日完成，问应加高多少？回答：一尺三寸三分二厘。方法是：每功五十尺乘二千人，得一十万尺，为一日功；乘三日，得三十万尺，为总积；以堤长九百步除之，得每步积三百三十三尺【余数按零数处理】；再按高一丈折算，得出相应数；将宽十步折合五十尺，再折半作为平均宽度，用它除算【因为斜帮构成勾股形，所以采用平均宽度】。假设修堤长三百七十五步，直高八尺，外贴东头宽一丈五尺，西头宽二丈七尺，想从东头修接一百三十二步，问接到处宽多少？回答：宽一丈九尺二寸二分四厘。方法是：列出西头宽二丈七尺，减去东头宽一丈五尺，余一丈二尺；以长三百七十五步除之，得每步差三分二厘；乘接长一百三十二步，得接住处差四尺二寸二分四厘；再加东头宽一丈五尺，共为接住处宽度，即得所问。假设筑堤长四十步，南头高六尺、下宽三丈四尺，北头高四尺、下宽二丈六尺，两端上部宽都为一丈，问体积多少？回答：二万一百三十三尺三分之一尺。方法是：南端高度乘二再加北端高度，得一丈六尺；南端上下宽相加后折半，得二十二尺，作为平均宽，二者相乘得三百五十二尺，记在左边。北端高度乘二再加南端高度，得一丈四尺；北端上下宽相加后折半，得一丈八尺，作为平均宽，二者相乘得二百五十二尺；与左边数相加，得六百零四尺。长四十步换算为二百尺，乘之得一十二万八百尺，为六段体积；除以六，余数作为余分，即得所问。井橛法：将井橛堤面自乘【堤面方一尺，两次入土打筑一百二十件】。例如高半寸，就用每步积土半寸相乘，便是每步高所对应的积土；如果要知道每步亏功，就用每步亏损的半寸乘每步功数，便是亏功数。假设筑圆台一座，上周三丈，下周六十尺，高一丈五尺，问体积多少【按：此处下脱“答曰一条”】？方法是：上周自乘得九百尺，下周自乘得三千六百尺；上下周相乘得一千八百尺；三数相加共得六千三百尺；乘高得九万四千五百尺；除以三十六，即得所问。假设筑方台一座，上方三丈二尺，下方五丈六尺，高四十八尺，问体积多少？回答：七千九百三十六尺。方法是：上方自乘得一千零二十四尺，下方自乘得三千一百三十六尺；上下方相乘得一千七百九十二尺；三数相加得五千九百五十二尺；乘高四十八尺得二十八万五千六百九十六尺；除以三十六，即得所问。假设筑土牛一座，上长二丈五尺，下长三丈五尺，上宽一丈，下宽二丈，高一丈八尺，问体积多少？回答：八千一百尺。方法是：上下长度相加折半，得三丈，作为平均长度；上下宽度相加折半，得一丈五尺，作为平均宽度；二者相乘得四百五十尺，再乘高，即得所问数。卷埽。除去心索的条例：通常卷埽用梢三、草七、心索，心索的体积从梢草总积中扣除。各种埽的高、宽不等，按长二十步、定高和宽各一尺计算，应扣除心索五尺。现将应扣除的心索体积列在后面。

译高、宽各为五尺时，除得一十二尺五寸；六尺时，除得一十八尺；七尺时，除得二十四尺五寸；八尺时，除得三十二尺；九尺时，除得四十尺五寸；一丈时，除得五十尺；一丈一尺时，除得六十尺五寸；一丈二尺时，除得七十二尺；一丈三尺时，除得八十四尺五寸；一丈四尺时，除得九十八尺；一丈五尺时，除得一百十二尺五寸；一丈六尺时，除得一百二十八尺；一丈七尺时，除得一百四十四尺五寸；一丈八尺时，除得一百六十二尺；一丈九尺时，除得一百八十尺五寸；二丈时，除得二百尺。法则说：取高、宽各一尺，按照圆法自乘，乘三除四，得到积七寸半。又取高、宽各五尺，自乘，乘三除四，得到积一十八尺七寸半。按异乘因除法，以此为例，求除数和积：用五尺乘它，再除以一尺积七寸半，得到一十二尺五寸，与题意相合【其余类推】。又一种方法说：把各个高、宽自乘，再用五尺换算，便与题意相合【此法非常重要】。假设一束卷埽长二十步，高、宽各一丈，问体积是多少，应使用梢、草各多少？答：梢一千一百束，草二千六百二十五束。法则说：高、宽自乘，乘三除四，得到七十五尺；再用长一百尺乘它，得到七千五百尺，作为总积；用每束梢草积二尺除之，得到三千七百五十束，这是梢草的总数。按：梢占三成、草占七成，乘三除十，得到一千一百二十五束；外余一千一百束。又取梢草总数，乘七除十，得到二千六百二十五束，即草数，与题意相合。假设有一处用埽填垫的坑，长一百八十步，宽二十步，深一丈五尺，每三尺六寸用梢草一束，梢草各用一半，问各需多少？答：一千八百七十五束。法则说：把长、宽的步数换算为尺后相乘，得到九千尺；再乘以深一丈五尺，得到一万三千五百尺作为体积；用三尺六寸除之，得到三千七百五十束，再取一半，与题意相合。假设埽垫向外展开，离堤而上，卷成重埽以坚固防护，长二十步，宽一丈五尺，深度从七尺至一丈，问需用梢草多少？答：梢草共六百三十七束半。法则说：把两个深度相加取一半，得到八尺五寸；用原宽乘之，得到一百二十七尺半，作为一尺的积；用步法五尺换算，得到六百三十七尺五寸，作为每步的积；再乘以长二十步，得到一千二百七十五尺，作为总积；用每束积二尺约除，便与题意相合。假设开挖填塞一处水渲，长七步，宽六步，深一丈，从三十步之外取土修填，问体积多少、多少工可以完成？答：积一万零五百尺，共一百五十工。法则说：把宽换算为尺，乘以深，得到三百尺；再把长的步数换算为尺后相乘，得到一万单五百尺，作为总积。从三十步外取土，以七十尺为一工，用七十除之，与题意相合。〔原文数字、纪年保留：一万五百尺〕 假设卷牛子高、宽各一尺，按照梢数为草数两倍的比例，问梢、草各需多少？答：梢一束二分半，草六分二厘半。法则说：取高、宽一尺作为圆径，自乘得一百寸，乘三除四得七十五寸，作为每尺的积；用步法五尺换算，成为每步积三百七十五寸；用每束积二尺约除，得到梢草总数；除以三得到草数，乘二得到梢数，与题意相合。假设修筑木岸一料，长一千三百五十步，高、宽各八尺。按每三尺六寸使用梢草一束、签桩一条的比例，梢草各用一半，问需用桩、梢草多少？答：桩一十二万条，梢草一十二万束【各为六万束】。法则说：高、宽相乘，得到六十四尺；用步法五尺换算，得到三百二十尺，作为每步的积；用长一千三百五十步乘之，得到四十三万二千尺，作为总积；用三尺六寸约除，便与题意相合。开河。假设开挖一条渠河，正长五百步。东头上宽一千单四十尺、下宽一千尺；西头上宽八百九十尺、下宽八百五十尺，深度相同，均为一丈。总积为二千三百六十二万五千尺；每一百步取土，以四十尺为一工，共计五十九万单六百二十五工。现在想分出一十四万四千四百五十工，问截取的长度和宽度是多少？答：截长一百二十步，截宽九百单六尺【截处上宽九百二十六尺，截处下宽八百八十六尺】。法则说：把东头上下两宽相加取一半，得到一千单二十尺，作为停大宽；又把西头上下两宽相加取一半，得到八百七十尺，作为停小宽；用停大宽减去停小宽，余一百五十尺，作为宽差；用正长五百步除之，得到三寸，作为每步的差。立天元为截长丨。○，用它乘每步的差，作为截住处的宽差□；加上停小宽，共作为截处停【三。○】□，加上停大宽，作为二段停藏宽【三。○】□，乘以深一丈，作为二段每尺积□；乘五，作为二段每步积；再用原截长乘之，作为二段截积□□。把原截工埽积乘二，得到一千一百五十五万六千尺，与寄左相消，得到一百五十五万六千尺作为实数；以九万四千五百尺从万一十五，从隅平方开之，得到一百二十步，作为截长。把截取的工数换算成积，得到五百七十七万八千尺；用截长换算成尺后除之，得到九千六百三十尺；再除以深一丈，作为停截宽。将其加倍，减去停大宽一千单二十尺，余九百单六尺，作为停截宽；加倍得到一千八百一十二尺；把它与上下截宽相加，再减去上下宽差四十尺，余数取一半，得到八百八十六尺，作为截下宽；再加四十尺，得到九百二十六尺，作为截上宽，与题意相合。《河防通议》后序。六府三事都得到妥善治理，禹的功绩没有比这更大的了。幸而这部书还保存着，可以据以考察。佥宪赡公得到此书后，在讲求修身、整齐、治理、平天下之余，取金、宋两代的《河防通议》一书，合并校订，实在可以称为有用的实学。我任真定郡副职时，曾取得此书并推行其中的方法。如今来到嘉禾，便在学校刻板刊印，以扩大它的流传。三吴地区的水利，如果能够取法于此，那么这部书又岂只是用于防河而已呢？至元四年戊寅八月望日，亚中大夫、嘉兴路总管兼管内劝农事和元升谨序。