乾坤体义卷下

乾坤体义卷下

明　利玛窦　撰容较图义万形有全体，目视惟一面，即面可以推全体也。面从界显，界从线结，总曰边线。邉线之最少者为三邉形，多者四邉、五邉，乃至千万亿邉，不可数尽也。三邉形等度者，其容积固大于三邉形不等度者，四邉以上亦然而。四边形容积恒大于三邉形，多邉形容积恒大于少邉形，恒以周线相等者騐之。邉之多者莫如浑圜之体，浑圜者多邉等邉。试以周天度剖之，则三百六十邉等也；又剖度为分，则二万一千六百邉等也，乃至秒忽毫厘，不可胜算。万形愈多邉则愈大，故造物者天也，造天者圜也。圜故无不容，无不容故为天，试论其槩。

凡两形外周等，则多邉形容积恒大于少邉形容积。假如有甲乙丙三角形，其邉最少，就底线乙丙两平分于丁，作甲丁线，其甲乙、甲丙两腰等，丁乙、丁丙又等，甲丁丙角、甲丁乙角皆等，则甲丁线为乙丙之垂线【几何原本一卷八】次作甲戊丙丁直角形，而甲戊与丁丙平行，戊丙与甲丁平行，视前形增一角者【一卷四又三十六】既甲丁丙、甲丁乙两形等，而甲丙戊与甲丁乙亦等【一卷三十四】则甲丁丙戊方形与甲乙丙三角形自相等矣。以周论之，其甲戊、戊丙、丙丁、甲丁四邉皆与乙丁相等，甲丙邉为▯，其线稍长。试引丙戊至己，引丁甲至庚，皆与甲丙、甲乙线等，而作庚丁己丙形与甲乙丙三角形同周，则赢一甲庚己戊形。故知四邉形与三邉形等周者，四邉形容积必大于三邉形。

凡同周、四直角形，其等邉者所容大于不等邉者。假有直角形，等邉者，每邉六，共二十四，其中积三十六。另有直角形，不等邉者，两邉数十，两邉数二，其周亦二十四，与前形等周，而其邉不等，故中积只二十。又设直角形，其两邉各九，其两邉各三，亦与前形同周，而中积二十七。又设一形，两邉各八，两邉各四，亦与前同周，而中积三十二。或设以两邉为七，以两邉为五，亦与前同周，而中积三十五。是知邉度渐相等，则容积固渐多也。

试作直角长方形，令中积三十六，同前形之积，然周得三十，与前周二十四者迥异，今以此周作四邉等形，则中积必大于前形。

<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下》>凡同周四角形，其等邉等角者，所容大于不等邉等角者。设甲乙丙丁不等角形，从丙丁各作垂线。又设引甲乙至己，作戊丙己丁四角相等形【一卷三十五】与不等角形同底原相等【一卷十九又三十四】甲乙亦同戊己，而乙丁及甲丙线则赢于己丁戊丙线。是甲乙丙丁之周大于戊丙己丁之周。试引丁己至辛与乙丁等，引丙戊至庚与甲丙等，而作庚丙辛丁形，则多一庚戊辛己形。因显四等角形大于不等角形。以上四则，见方形大于长形，而多邉形更大于少邉形，则圜形更大于多邉形，此其大畧。若详论之，则另立五界説及诸形十八论于左。

第一界等周形谓两形之周大小等第二界有法形谓不拘三邉四邉及多邉，但邉邉相等，角角相等，即为有法；其攲邪不就规矩者，为无法形。

第三界求各形心但从心作圜，或形内切圜，或形外切圜，皆相等者，即系圜与形同心。

第四界求形面谓周线内所容，人目所见，乃形之一面。

第五界求形体如立方、立圜、三乗、四乗诸形，乃形之全体。

第一题凡诸三角形，从底线中分作垂线，与顶齐髙，以中分线及髙线作矩，内直角方形，必与三角形所容等。解曰：有甲乙丙三角形，平分乙丙于丁，于庚作垂线至甲，至辛作甲丁、己丙及辛庚、己丙直角。题言：直角与三角形等。先论曰：甲乙丙三角形，平分乙丙于丁，作甲丁线。次从甲作戊己线，与乙丙平行，又作己丙、戊乙二线，成直角形。此直角倍大于甲丁丙己形，亦倍大于甲乙丙角形【一卷四一】故甲乙丙三角形与甲丁丙己形等【一卷二十六】次论曰：「作甲丁垂线，而第二图丁非甲乙之平分，第三图甲在方形之外，皆从甲作戊己线，引长之与乙丙平行，成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形，而各以丙乙平分于庚，作庚辛垂线，视甲丁为平行，亦相等【一卷三十四】其戊己丙乙倍大于辛庚丙己，即倍大于三角形，何者？以辛庚丙己长方形分三角形底线半故【一卷三十六】

第二题凡有法六角等形，自中心到其一邉之半径线，作直角形线，其半径线及以形之半周线舒作直线，为矩内直角长方形，亦与有法形所容等。解曰：有甲乙丙丁戊己法，形其心庚。自庚至甲乙作直角线，为庚辛。另作壬癸线与庚辛等，作癸子与甲乙丙丁线等，即半周线也。题言：壬癸子丑直角形与甲乙丙丁戊己形之所容等。论曰：自庚到各角皆作直线，皆分作三角形，皆相等【一卷八】其甲乙庚三角形与甲辛、辛庚二线所作矩内直角形等【以甲辛分甲乙之半故，见本篇一题】若以甲乙丙丁半形之周线为癸子线，以与壬癸线共作矩内直角形，即与有法全形等。盖此半邉三个三角形照甲乙庚形作分中垂线，其矩线内直角形俱倍本三角形故。

第三题凡有法直线形与直角三邉形并设直角形傍二线一长一短，其短线与有法形半径线等，其长线与有法形周线等，则有法形与三邉形正等。解曰：甲乙丙有法形，其心丁，从丁望甲乙作垂线，又有丁戊己直角形，其邉丁戊与法形丁戊等，其戊己线又与甲乙丙之周线等。题言丁戊己三角之体与甲乙丙全形等。论曰：试作丁戊己庚直角形，两平分于壬辛，作直线与丁戊平行，则丁戊辛壬直角形与甲乙丙形相等【本篇二题】何者？戊辛线得甲乙丙之半周，而又在丁戊矩内，即与有法形全体等故也。其丁戊己三角形与丁戊壬辛直角形等，则丁戊己三角形与甲乙丙全形亦等。

第四题凡圜取半径线及半周线作矩内直角形，其体等。解曰：有甲乙丙圜，其半径为丁乙。又有丁乙戊己直角形，两丁乙等半圜线与戊乙等。题言甲乙丙所容与丁乙戊己直角形所容等。论曰：试以乙戊引长到庚，令庚戊与乙戊等，则乙庚与圜周全等。次从丁望庚作直线，既丁乙庚三角形之地与全圜地相等【在圜书一题】而丁乙戊己又与丁乙庚三角形等【本篇四又一卷四十注】则丁乙戊己自与全圜体等。

第五题凡直角三邉形，任将一锐角于对邉作一直线分之，其对邉线之全与近直角之分之比例，大于全锐角与所分内鋭角之比例。解曰：有甲乙丙直角三邉形，丙为直角，从甲鋭角望所对丙乙邉，任作甲丁线。题言：丙乙线与丙丁线之比例，大于乙甲丙角与丁甲丙角之比例。论曰：甲丁线大于甲丙，而小于甲乙【一卷十九】若以甲为心，以丁为界作半规，必分甲己线于乙之内，而透甲戊线于丙之外。其甲乙丁三角形与甲己丁三角形之比例，大于甲丁丙三角形与甲丁戊之比例。何者？一为甲乙丁大形与甲己丁小形比，一为甲丁丙小形与甲丁戊大形比也。则更之，乙甲丁形与丁甲丙形之比例，大于己甲丁形与丁甲戊形之比例【五卷二十七】合之则乙甲丙形与丁甲丙形，即是乙丁线与丁丙线之比例【形之比例与底线之比例相等，在六卷一】固大于甲己戊形与甲丁戊形之比例。其甲己戊圜分与甲丁戊圜分之比例，原若己甲戊角与丁甲戊角之比例【六卷三十三系】则乙丙线与丁丙线之比例，大于乙甲丙角与丁甲丙角之比例也。

<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下》>第六题凡直线有法，形数端，但周相等者，多邉形必大于少邉形。解曰：设直线有法形二，为甲乙丙，为丁戊己，其圜周等，而甲乙丙形之邉多于丁戊己【不拘四邉、六邉，虽十邉与十一、二邉皆同此论】题言：甲乙丙之体大于丁戊己之体。论曰：试于两形外各作一圜，而从心望一邉作庚壬，作辛癸两垂线，平分乙丙于壬，分戊己于癸【三卷三】其甲乙丙形多邉者，与丁戊己形少邉者，外周既等，而以乙丙求周六而遍，以戊己求周四而徧，则乙丙邉固小于戊己邉，而乙壬半线亦小于戊癸半线矣。兹截癸子与壬乙等，而作辛子线，又作辛戊、辛己及庚丙、庚乙诸线，次第论之。其己丁戊圜内各切线等，即匀分各邉俱等，而全形邉所倍于戊己一邉数，与全圜切分所倍于戊己切分地亦等，则甲乙丙内形全邉所倍于乙丙一邉，与其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎？其戊己圜切分与戊丁己全圜之切分，若戊辛己角之与全形四直角【六卷三十三题之系】则以平理推之，移戊己邉于甲乙丙全邉，亦若戊辛己角之于四直角也。而甲乙丙内形周与乙丙一邉，犹甲乙丙诸切圜与乙丙界之一切圜，亦犹四直角之与庚乙丙角也【六卷三十三之二系】则又以平理推戊己与乙丙，即戊癸与乙壬，而乙壬即是癸子，又以平理推而戊辛己角与乙庚丙角，亦若戊辛癸之与乙庚壬也【五卷六五】夫戊癸与癸子之比例原大于戊辛癸角与子辛癸角之比例【本篇五】则戊辛癸与乙庚壬之比例大于癸辛戊与癸辛子之比例【五卷十三】而癸辛子角大于壬庚乙角【五卷十】其辛癸子与庚壬乙皆系直角，而辛子癸角明小于庚乙壬角【一卷三十二】令移壬乙庚角于癸子上，而作癸子丑角，则其线必透癸辛到丑。其庚壬乙三角形之壬与乙两角等于丑癸子三角形之癸子两角，而乙壬邉亦等于子癸邉，则丑癸线亦等于庚壬线，而庚壬实赢于辛癸【一卷二十六】今以庚壬线及甲乙丙半周线作矩内直角形，必大于辛癸线及丁戊己半周线所作矩内直角形也【本篇二】然则多邉直线形之所容，岂不大于等周少邉直线形之所容乎？

<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下》>第七题有三角形，其邉不等于一邉之上，另作两邉等三角形，与先形等周。解曰：有甲乙丙三角形，其甲乙大于丙乙两邉不等，欲于甲丙上另作三角形与甲乙丙周等，两邉又等。其法：作丁戊线与甲乙乙丙合线等，两平分于己。甲乙乙丙两邉并既大于甲丙邉【一卷十】则丁己己戊两邉并亦大于甲丙，而丁己己戊甲丙可作三角形矣【一卷三十二】以作甲庚丙，得所求。盖庚甲庚丙自相等，而甲丙同邉，则二形之周等，而甲庚丙与甲乙丙为两邉等之三角形【此庚防必在甲乙线外，若在甲乙邉上遇辛，则辛丙线小于辛乙乙丙合线，即不得同周】

<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下》>第八题有三角形，二等周，等底，其一两邉等，其一两邉不等，其等邉所容必多于不等邉所容。解曰：有甲乙丙形，其甲乙邉大于乙丙。令于甲丙上更作甲丁丙三角形，与甲乙丙等周【本篇七】而丁甲、丁丙两腰等，亦与甲乙、乙丙合线等。题言甲丁丙角形大于甲乙丙。论曰：试引甲丁至戊，令丁戊与丁甲等，亦与丁丙等。又作丁乙、乙戊线。夫甲乙、乙戊合线，既大于甲戊，即大于甲丁、丁丙合线亦大于甲乙乙丙合线。此两率者，令减一甲乙，则乙戊大于乙丙。而丁戊、乙三角形之丁戊、丁乙两邉，与丁丙、乙三角形之丁丙、丁乙两邉等，其乙戊底大于乙丙底，则戊丁乙角大于丙丁乙角，而戊丁乙角逾戊丁丙角之半【一卷三十二】令别作戊丁己角与丁甲丙角等，则丁己线在丁乙之上，而与甲丙平行【一卷二十八】又令引长丁己与甲乙相遇，而作己丙线聨之，其甲丁丙、甲己丙既在两平行之内，又同底，是三角形相等也【六卷一】因显甲己丙大于甲乙丙，而甲丁丙两边等三角形必大于等周之甲乙丙矣【问戊丁乙角何以逾戊丁丙角之半？曰丁甲丙与丁丙甲两角等，而戊丁丙为其外角，凡外角必兼两内角故也】

第九题相似直角三邉形，并对直角之两▯线为一直线以作直角方形。又以两相当之直线四并二直线各作直角方形，其容等。解曰：有甲乙丙及丁戊己三角形二相似，其乙戊两角为直角，而甲与丁、丙与己角各相等，甲丙与丁己相当，甲乙与丁戊相当。题言：并甲丙丁己为一直线，于上作直角方形；与并甲乙丁戊作直线，及并乙丙戊己作直线，各于其上作直形方形，两并等。论曰：引长丁戊至庚，令戊庚与甲乙同度次。从庚作线与戊己平行，又引丁己长之，令相遇于辛。从己作己壬线与戊庚平行【一卷二十九】则己壬辛之角形与丁戊己相似，而丁戊己与甲乙丙相似矣【一卷三十二】何者？己壬辛角与庚角等，庚角与丁戊己角等，己角又与乙角等，而辛角与丁己戊角及丙角俱等，壬己辛角与甲角亦等【一卷三十四】又己壬邉与戊庚相等，则亦与甲乙相等，而壬辛与乙丙，己辛与甲丙俱相等【一卷二十六】故丁辛线兼丁己甲丙之度，丁庚线兼丁戊甲乙之度，而庚辛亦兼戊己乙丙之度，庚壬即戊己也【一卷三十四】然则丁辛上直角方形与丁庚及庚辛上两直角方形并自相等矣。

<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下》>第十题有三角形二，其底不等，而腰等，求于两底上另作相似三角形二，而等周，其两腰各自相等。解曰：甲乙丙丁不等两底上有甲戊乙及丙己丁三角形二，其戊甲、戊乙腰与己丙、己丁腰俱相等。若甲乙大于丙丁者，则戊角大于己角【一卷二十五】而两三角形不相似，求于两底上各作三角形相似，而两腰各相等，其周亦等。法曰：作庚辛线，与甲戊、戊乙、丙己、己丁四线等，而分之于壬。令庚壬与壬辛之比例若甲乙与丙丁【六卷十】甲乙既大于丙丁，则庚壬亦大于壬辛。而平分庚壬于癸，平分壬辛于子。庚壬与壬辛既若甲乙与丙丁，则合之而庚辛之视壬辛若甲乙丙丁并之视丙丁矣【五卷】夫庚辛并既大于甲乙丙丁并【两邉必大于一邉，在一卷二十】则壬辛大于丙丁，而庚壬大于甲乙也【五卷十四】甲乙、庚癸、癸壬三线，每二线必大于一线；而丙丁、壬子、子辛亦然。令于甲乙上用庚癸、癸壬线作甲丑乙三角形，为两腰等，而其周在甲戊乙形之外【以戊甲、戊乙得庚辛之半，而庚壬之度过之故】于丙丁上用壬子、子辛线作丙寅丁三角形，亦两腰等，而其周在丙己丁之内【己丙、己丁亦得庚壬之半，而壬辛之度不及故，俱一卷二十二】论曰：「并甲戊戊乙丙己己丁四线之度，既与并甲丑丑乙丙己己丁四线之度相等，则甲丑乙丙寅丁两形，自与甲戊乙丙己丁两形同周，而其两腰亦自相同。至于两形相似，何也？甲乙与丙丁，若庚壬与辛壬，而减半之庚壬与壬子【五卷十五】又若丑甲与寅丙，丑乙与寅丁也，则更之而甲乙与甲丑，若丙丁与丙寅；而甲丑与丑乙，若丙寅与寅丁。是两形为同邉之比例，自相似【六卷五】

<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下》>第十一题有大小两底，令作相似平腰三角形相并，其所容必大于不相似之两三角形相并，其底同，其周同，又四腰俱同，而不相似形并必小于相似形并。解曰：甲丙、丙戊两底上，设有甲乙丙及丙丁戊两三角形，而甲乙、乙丙、丙丁、丁戊四线俱等。令于两底上依前题，别作甲己丙及丙庚戊两形，相似而与前两三角形相并者等周。题言：甲己丙、丙庚戊并大于甲乙丙、丙丁戊并。论曰：将甲丙、丙戊作一直线，而甲丙底大于丙戊底，乃从巳过乙作己壬线，两分甲丙于壬；又从丁过庚作丁辛线，两分丙戊于辛。其甲己乙三角形之甲己、己乙两邉，与乙己丙三角形之己丙、己乙两邉等，而甲乙、乙丙两底又等，则甲己乙角与丙己乙角亦等【一卷八】又甲己壬三角形之甲己、己壬两邉，与丙己壬三角形之丙己、己壬两邉等，则甲己壬角与丙己壬角等，而甲壬、壬丙之两底亦等【一卷四】壬之左右皆直角，因显丙辛、辛戊亦等，而辛之左右角亦直角矣。次引丁辛至癸，令辛癸与丁辛同度，而从癸过丙作癸丑直线，则丁丙辛三角形之丁辛、辛丙两邉，与辛癸丙三角形之辛癸、辛丙两邉等，而辛之上下角亦等，为直角；丁丙、丙癸两底等，而丁丙辛角与癸丙辛角俱等【一卷四】丁丙辛角既大于庚丙辛角，而庚丙辛角相似与己丙壬角，即相等【一卷五】而丁丙辛即癸丙辛总大于己丙壬。其癸丙辛角等于对角之丑丙壬【一卷十五】是丑丙壬亦大于己丙壬，而引癸丑线当在于丙己之外也。若夫癸丙、丙乙二线涵癸丙乙角，向壬试作癸乙线，以分壬丙于子，而并乙丙、丙癸二线必大于癸乙线【一卷二十】则己丙、丙庚并亦大于乙癸线何也？此四形者，两两相并为等周，则甲乙、乙丙、丙丁、丁戊四线并与甲己、己丙、丙庚、庚戊四线并原相等，而减半之乙丙、丙丁即乙丙、丙癸与己丙、丙庚亦相等故也。并己丙、丙庚二线为一直线，就线上作直角方形，必大于乙癸线上之直角方形。夫己丙、丙庚并之直角方形，与己壬、庚辛并之直角方形及壬丙、丙辛上之直角方形并相等【九题】而癸乙上之直角方形，与乙壬并辛丁【即辛癸】上之直角方形及壬子、子辛上直角方形并又自相等【九题从子上分两对角，其角等，而壬与辛俱为直角，相似之形。令移置辛癸与乙壬之下，移置壬辛为癸垂线，则乙壬辛癸为股，壬辛为勾，乙癸为▯矣】此己壬庚辛线并之直角方形，及壬丙丙辛上之直角方形并，明大于乙壬丁辛并之直角方形，及壬子子辛上之直角方形并也。此两率者，每减一壬辛上直角方形，则己壬庚辛共线上之直角方形大于乙壬丁辛共线上直角方形矣。而己壬庚辛两线并大于乙壬丁辛两线并矣。此两率者，令一减乙壬，一减庚辛，则己乙岂不大于丁庚乎？壬丙原大于丙辛【以甲丙原大于丙戊故】则己乙与壬丙矩内直角形大于丁庚与辛丙矩内直角形。而乙己丙三角形为己乙壬丙矩内直角形之半。何者？令从壬丙作垂线与乙己平行，而以乙己为底就作直角形，此谓己乙壬丙矩内直角形，其中积倍于己乙丙三角形。反之，则己乙丙角形为己乙壬丙矩形之半。其丁庚丙三角形亦然，乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也。则己乙丙三角形大于丁庚丙三角形，而甲己丙乙甲形为丙乙己三角之倍者，亦大于丙庚戊丁形为丁庚丙三角之倍者矣。此两率者，又每加甲乙丙与丙庚戊之三角形，则甲己丙及丙庚戊之两三角形并，岂不大于甲乙丙及丙丁戊之两三角形并哉？

第十二题同周形，其邉数相等，而等角等邉者，大于不等角等邉者。先解曰：有甲、乙、丙、丁、戊、己多邉形，与他形同周、同角者，较必邉邉相等，乃为最大之形。论曰：若谓不然，先设甲乙、乙丙不等邉，如第一图，又作甲丙线，于上作等邉三角，为甲庚丙形，与甲乙丙等周【本篇七】则甲庚丙丁戊己形，亦与甲乙丙丁戊己形等周，而甲庚丙三角形，必大于甲乙丙三角形【本篇八】令每加丙丁戊己角形，则甲庚丙丁戊己形，亦大于甲乙丙丁戊己形。故知不等邉者不为最大，其他如丙丁邉之类，或不等者，亦如此推。次解曰：「又设甲乙丙丁戊己等邉形与他形同周同邉者，较必角角相等，乃为最大之形。」论曰：依上论，各邉俱等，则甲乙丙、丙丁戊为等邉三角形【邉角俱等】而甲乙、乙丙与丙丁、丁戊相等。若谓不然，而乙角可大于丁角，则甲丙线必大于丙戊线【一卷二十四】试于甲丙、丙戊两底上别作三角形，为甲庚丙，为丙辛戊，如第十题相似形，令与甲乙丙、丙丁戊并者等周，则甲庚丙并丙辛戊者大于甲乙丙并丙丁戊【本篇十一】而每加丙戊己角形，则甲庚丙辛戊己必大于甲乙丙丁戊己也。何得以等周等邉而不等角者为最大乎？

<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下》>第十三题凡同周形，惟圜形者大于众直线形有法者。解曰：「有甲、乙、丙圜形，又有丁、戊、己多邉有法形，其周等。题言甲、乙、丙大于丁、戊、己。」论曰：庚为甲乙丙之心，辛为丁戊己之心，甲乙丙外另作壬乙丙癸多邉形与丁戊己相似【四卷十六注】而从壬癸切圜于甲者，作半径线于庚，则庚甲为壬癸垂线，而分壬癸之半【三卷十八】又从辛作子丑垂线，则辛丁亦分子丑之半【三卷三此设于两多邉形外作切形圜，而以壬癸子丑为切圜线，向心作垂线，则垂线必分切线之中，故説在四卷十二】两形相似，其壬全角与子全角等，则半之而甲壬庚角与丁子辛角亦等，壬甲庚直角与子丁辛直角亦等【一卷三十二】然乙壬癸丙之周大于圜周，而圜周与丁戊己形相同，则是乙壬癸丙周原大于丁戊己周矣。夫两形相似，而壬癸邉大于子丑邉，则半之而壬甲亦大于子丁。又壬甲与甲庚若子丁与丁辛之比例【六卷四】而壬甲大于子丁，则甲庚亦大于丁辛【五卷十四】是故取甲庚线与半圜周线以作矩内直角形，其与圜地等也，大于取丁辛线与丁戊己半周线以作矩内直角形，其与形地等也【本篇四】系曰：推此见圜形大于各等周直线形【第五题证有法形同周者多邉为大，又十二题证等周及邉数之等者有法为大，又本题证等周之有法形惟圜为大，则圜为凡形等周者之最大】

第十四题锐觚全形所容，与鋭顶至邉垂线及三分底之一矩内直角立形等。解曰：有觚形，不拘几面，如甲乙丙丁戊底，其顶巳。又有寅庚直角立方形者，其底庚辛壬癸，得甲乙丙丁戊底三之一，其髙庚子与觚等髙。题言此寅庚形与觚形所容等。论曰：从立形底诸角与相对一角如子角者，皆作线以成庚辛壬癸子觚形。此形与寅庚形同底同髙，又同己甲鋭觚之髙。既己甲形兼庚辛壬癸子觚之三【十二卷六注言两觚形同髙者，其所容之比例如其底，底等亦等，底倍亦倍】寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三【以同底同髙故，在十二卷七系】则寅庚全方与己甲觚等。

第十五题平面不拘几邉，其全体可容浑圜切形者，设直角立形，其底得本形三之一，其髙得圜半径，即相等【可容浑圜切形者，必圜形与诸面相切，若长广不切诸面者，不在此论】解曰：有甲乙丙丁形，内含戊己庚辛，圜其心壬，而外线甲乙切圜于戊【十一卷三题】试从戊壬割圜之半，作戊己庚辛圜【圜形书一卷一题】从壬心望各切圜之防，作壬戊为甲乙垂线【三卷十八】壬己为乙丙垂线，壬庚为丙丁垂线，壬辛为甲丁垂线。别一直角立方形午子，其底子丑寅癸，得甲乙丙丁体三之一，而其髙辰子与圜半径等。题言此直角立方形与甲乙丙丁全体等。论曰：从壬心与甲乙丙丁各角作直线，即分其体为数觚形，其面即为觚底，而皆以壬心为觚锐顶。此各觚皆以其三分底之一及至锐髙之数为直角立方形，皆与觚所容等【本篇十四】又并为一形，即与甲乙丙丁体等，亦与午子等。以午子底正得甲乙全形三之一，而其髙分圜半径也。

<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下》>第十六题圜半径及圜面三之一作直角立方形，以较圜之所容，等。解曰：有甲乙丙浑圜，其心为丁。又有直角立形之戊，在甲丁径及甲乙丁浑圜三之一矩内。题言戊形所容与甲乙丙浑圜等。论曰：若言不等，谓戊大于浑圜形，其较有巳者，合以丁为心，外作庚辛壬浑圜，大于甲乙丙，而勿令大于戊，第令或等或小，以騐之，而于庚辛壬内试作有法形，勿切甲乙丙圜【十二卷十七】自丁心至形邉各作垂线，则垂线必长于甲丁。又自丁心至形各角作直线，以分此形为几觚，其庚辛壬法形诸直线为觚底，而垂线至丁心为觚鋭顶。试取各觚底三之一及丁垂线之髙，以作直角立形与觚等【本篇十四】则并为大直角立形，亦与庚辛壬内之法形等【本篇十五】如云以甲乙为髙，而以各觚底三之一为直角立形，并为大形，则必小于前形。因显庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一，而戊形甲丁径及甲乙丙圜三之一内小于庚辛壬体，而谓庚辛壬不大于戊形，则向庚辛壬之内形尚大于戊形也。又论曰：戊形小于甲乙丙浑圜体者，其较为己。试从丁心再作癸子丑圜，小于甲乙丙，而勿令小于戊，或大或等者，以验之。于甲乙丙圜内作有法形，不令切癸子丑【十二卷十七】而従丁至甲乙丙各面为垂线，此垂线大于丁癸之半径。又从丁向法形诸角作直线，以分此形为数觚，以形之各面为觚底，庚辛为觚鋭顶，而取觚底三之一及底至丁之垂线，以作直角立形与觚等。若使以甲丁为髙，而以各觚三之一为底，以作直角立形，则其形必髙于前形。既甲乙丙圜之面大于其内形之面，则圜面三之一大于内形面三之一，而直角立方形在甲丁髙及甲乙丁面三之一，固即戊体矣，愈大于甲乙丁之内形矣。而云癸子丑圜或等或大于戊，岂癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大于全欤？则戊体不小于甲乙丙矣。从后论不可为小，从前论不可为大，故曰等也。

第十七题圜形与平面他形之容，圜者其周同，其容积，圜为大。解曰：有甲圜，其心甲，其半径甲乙。又丙形与甲等周，其周内可作诸切邉圜形，而从心至邉为丙丁。题言甲圜大于丙形。论曰：甲圜外试作与丙相似形【十二卷】而从甲心至各邉切处作半径垂线皆等【本篇十五有解】其一为甲乙，甲圜外形大于甲圜，其周面亦大于丙面，而甲乙垂线亦大于丁丙垂线。以甲半径为髙，乃以三分圜体之一作直角立方形，即与甲圜形等【本篇十六】以丙丁线为髙，而以三分丙形之一作直角立方形，亦与丙形等。而甲之立方固大于丙之立方【本篇十五】则甲圜与丙形虽同周，而甲圜所容为大矣。

<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下》>第十八题凡浑圜形与圜外圜角形等周者，浑圜形必大于圜角形。解曰：有甲乙丙丁，圜外作戊己庚辛等法形，率以四数相偶，若八面、十二面、十六面、二十面及二十四、二十八之类等邉等角，近于圜形者，又作戊壬过心线为枢，以转甲乙丙圜及戊己庚辛法形，使平面旋为立圜之体，则其形为圜外圜角之形，而角与邉周遭皆等【圜书一卷二十二及二十七】又有浑圜形寅，与圜角形等周，题言：寅圜大于圜角形。论曰：圜角外形，既大于内之甲乙丙圜形，则寅圜亦大于甲乙丙圜。寅圜之半径，亦大于甲乙丙圜之半径也。夫浑圜中剖，是为过心最大之圜。此过心大圜之面，恒得浑体四分之一【圜书一卷三十一题】令倍寅径，以作夘辰径，其圜面四倍大于寅之圜面【此専以圜面相较也。夘辰径既倍寅径，则夘辰圜固四倍于寅圜，以圜与圜为径与径再加之比例故也，在六卷附一増题】则夘辰圜与寅浑圜等【此夘辰圜为欲见角故画作扁圜，实正圜也】次作未申圜与夘辰等，作未酉申圜角形，而取寅半径为酉戌之髙。又于夘辰上亦作夘巳辰圜角形，而取甲乙丙圜半径为巳午之髙。两圜体等，而未酉申圜角形髙于夘巳辰圜角形，则亦大于夘巳辰圜角形【圜角形同底之比例，若其髙之比例，在十二卷十四题】夫割寅浑圜之中半以为底【即过心大圜也】而以其半径之髙为圜角形，恒得寅浑圜四分之一【此旋转所成尖顶半圜形，非只论其一面，也在圜书一卷三十二十】则是一寅圜恒兼四圜角之形，而未申圜原四倍大于寅圜，则未酉申圜角形固与寅之浑圜形等矣【圜角形同髙之比例，若其底之比例故也，在十二卷十一题】其夘巳辰圜角形底原等戊己庚形之面【戊己庚之面与寅圜之面等故】而巳午之髙亦等于甲圜半径，即戊己庚辛角形自与夘巳辰圜角形等【圜书一卷二十九题论，凡圜外有圜角形如甲乙丙外有戊己庚形者，以圜体过心大圜为底，而以圜半径为髙旋作圜角形，即与圜外诸圜各等】夘巳辰圜角形既小于未酉申圜角形，而戊己庚辛壬癸子丑形，宁大于同周之寅乎？

乾坤体义卷下