夏侯阳算经卷上

夏侯阳算经卷上

眀乘除法夏侯阳曰：夫算之法，约省为善。有分者通之，分不均者同之，位髙者下之，可约者约之，耦则半之，五则倍而折之，一三七九，商用所宜。于此不得，乃为之命分。分母入者湏出之，然后为定。子可半者半之，不可半者倍母而入之，此算之要道也。凡除分者，全数易了，竒残难用心意之劳正在于此。后当随事释之，其物残分求尺，尺之求寸，皆上十之；斤之求两，二而八之；两之求铢，三而八之；铢之求絫黍，皆上十之；斗之求升合抄撮，皆上十之；里之求步，三百之；步之求尺，六之；牦毫丝忽，可以意知。夫乗除之法，先眀九九。一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。满六已上，五在上方，六不积算，五不单张。上下相乗，实居中央。言十自过，不满自当，以法除之，宜得上商，从算相似，横算相当，以次右行，极于左方。言法之上，见十步至十，见百步至百，见千步至千，见万步至万，悉观上数，以安下位。上不满十，下不满一，步随多少以为楷式。以少呼多，因法为母，积实为子，二分之一为中半，三分之二为太半，三分之一为少半，四分之一为弱半，此漏刻之数也。凡算者有五乗五除【除者散繁除约乃以除减为名乗者令少乗多乃以乗长为称乗盈除缩故曰乗除也】一曰法除【上下置位以少呼多言十自过不满自当实居中央故曰法除也】二曰步除【如斛中求斗斗中求升升中求合合中求勺勺中求抄及丈中求尺尺中求寸寸中求分皆言上十之上百之故曰步除也】三曰约除【如等数所得者约实约法各得分数故曰为除也】四曰开平方除【借一算为下法步之超一位幂方十其积有百幂方百其积有万至百言十至万言百故曰开平方除也】五曰开立方除【借一算为下法步之超二位立方十其积有千立方百其积有百万至千言十至百万言百故曰开立方除也】时务云：「十乗加一等，百乗加二等，千乗加三等，万乗加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。」

辩度量衡田曹云：度之所起，起于忽。十忽为一丝，十丝为一毫，十毫为一牦，十牦为一分。十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈，十丈为一引。四丈为一匹，五丈为一端。六尺为一步，二百四十步为一畞。三百步为一里。仓曹云：量之所起，起于粟。十粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛。金曹云称，之所起，起于黍。十黍为一絫，十絫为一铢，二十四铢为一两，十六两为一斤，三十斤为一钧，四钧为一石。汉书·律厯志》曰：度者，所以度长短，本起于黄钟之长，以子谷秬黍中者，一黍之广，度之，九十分黄钟之长，一黍为分，十分为寸，十寸为尺，十尺为丈，十丈为引，而五度审矣。量者，所以量多少。本起于黄钟之龠，用度数审其容。以子谷秬黍中者千二百实其龠。十龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为斛。而五量嘉矣。权者，所以称物平施，知轻重。本起于黄钟之重，一龠容千二百黍，重十二铢。二十四铢为两，十六两为斤，三十斤为钧，四钧为石。而五权谨矣【两者，黄钟之重，二十四铢，象二十四气；十六两为斤，象四时乗四方；三十斤为钧，象一月；四钧为石，象四时也】权与物均而生衡【谓重与物均，所称适停，时衡平也】衡运生规，规圆生矩，矩方生绳，绳直生准【立凖以望，防以水为平也】是为五则。规者，所以规圆器械，令得其类也。矩者，所以矩方器械，令不失其形也。规矩相须，阴阳位序，圆方乃成。准者，所以揆平取正也。绳者，上下端直，经纬四通也。准绳连体，权衡合徳，百工繇焉，以定法式【以上古法】在京诸司及诸州各给称尺，并五尺度斗升合等様，皆铜为之。仓库令诸量函，所在官造，大者五斛，中者三斛，小者一斛，以铁为縁，勘平印书，然后给用【以上今时用之也】

言斛法不同仓曹云：「古者凿地方一尺，深一尺六寸二分，受粟一斛。至汉王莽改铸铜斛，用深一尺九寸二分。至宋元嘉二年，徐受重铸，用二尺三寸九分。至梁大同元年，甄鸾校之，用二尺九寸二分。然时异事变，斗尺不同，以古就今，临时校定，始可行用。若欲审之，以掘地作穴，方广三尺已下，以今时用斗量米一斛，置诸穴中，防令平满。如有少賸，临时増减，取米适平，然后出之，径量以知深浅，乃可以为斛法定数。」今有方窖，长一丈三尺，广六尺，深一丈。问受粟几何？答曰：四百八十一斛四斗八升二十七分升之四。术曰：置长尺数，以广尺数乗之，又以深乗之，得积尺，以斛法除之，即粟数【凡斛法：一尺六寸二分】今有圆篅周三丈，髙一丈六尺，问受粟几何？答曰：七百四十斛七斗四升二十七分升之二。术曰：置周尺数，自相乗，以髙数乗之，十二而一，得积尺；以斛法除之，即粟数。今有平地聚粟，下周三丈，髙四尺，问受粟几何？答曰：六十一斛七斗二升八十一分升之六十八。术曰：置周尺数，自相乗，以髙乗之，三十六而一，得积尺；以斛法除之，即粟▯。今有仓南北一丈五尺，东西三丈五尺，髙八尺。问受粟几何？答曰：二千五百九十二斛五斗九升二十七分升之七。术曰：以东西南北丈尺相乗，又以髙乗之，得积尺；以斛法除之，即粟数。今有仓广二丈六尺，长三丈四尺，深一丈二尺，中有二柱，长一丈二尺，圆三尺；牵二枚，长二丈六尺，方五寸；梁二枚，长二丈六尺，方三尺。问受粟几何？答曰：六千二百四十斛一斗二升八十一分升之二十八。术曰：置广长相乗，以其深乗，得一万六百八尺。柱圆三尺，自相乗得九尺，以乗其长得一百八尺，倍之得二百一十六尺，以十二除之，得一十八尺。牵方自相乗，退位得二寸五分，复乗其长得六尺五寸，倍之得一十三尺。梁方自乗得九尺，复乗其长得二百三十四尺，倍之得四百六十八尺，并柱牵梁【案原本脱梁字，今据上文补】得四百九十九尺，以减大数，余一万一百九尺，以斛法除之，即粟数。今有方仓，长三十一丈六尺，广七十二尺，髙一十七尺，中有九柱，各圆三尺五寸，长十七尺，又有六柱，各方二尺八寸，长十七尺，梁三枚，长三十二尺，厚广二尺，牵三枚【案牵下原本衍方字，今删】长三十二尺，各方七寸。问受粟几何？答曰：二十三万七千八百九十九斛四十三升五十四分升之五十三。术曰：置长广相乗，以髙乗为实。圆柱自乗，以乘长，十二而一，九因之为实。方柱自乗，以乗长，六因之为实。梁厚广相乗，以乗长，三因之为实。牵方自乗，以乗长，三因之为实。并柱梁牵等，减仓实尺，以斛法除之，即粟数。

课租庸调赋役令，诸戸一丁，租粟二斛。其调，各随乡土所出，绢防各二丈，布二丈五尺。输绢防者，绵三两；输布者，麻三斤。若当戸不成端匹屯綟者，皆丈尺折半之。求庸七尺五寸，法置丁数，三因之，折半丈尺，折半之。又法置丁数，以七尺五寸为法乗之，以五丈除之，不满为竒丁丈尺，他皆仿此。又法，重张丁数，下位退一等，五因之，以添上位丈尺，折半。又法置丁数三而五之，丈尺折半之。凡年终除闰月外，有二月，谓五月、十月【一云九月】为农事之月，免庸若役五十日，租庸调竝免，他皆放此。求毎丁闰有二尺五寸法【案毎丁下原本有布二端二尺五字系下文讹衍在此又脱闰有二字今据术删补】置丁数，五因之，丈尺折半之。求有闰年毎丁布二端二丈二尺五寸，法置丁数【案此下原本有“五因之丈尺折半之”求有闰年毎丁布二端二丈二尺五寸，置丁数凡二十六字，即上文衍复在此，今删正】七而七之，退一等，折半，丈尺折半之【案原本脱“丈尺折半”四字，今据术补】又法【案原本脱法字，今补】置丁数，以二百四十五乗之，退二等，丈尺折半之。求庸闰布，毎丁一端三丈二尺五寸，法重置丁数，各三因之，下位退一等，添头位讫，半之，其丈尺以下更半之。求无闰年，毎丁布二端一丈五尺，法重置丁数，上位二因之，下位退一等，三因之，丈尺折半，添上位。又法置丁数以二十三乗退一等丈尺折半之。求毎丁调綟布四丈，法置丁数八因退一等，丈尺折半之。求毎丁闰年庸调布二端二丈二尺五寸【案此即上求有闰年毎丁布二端二丈二尺五寸法而立术各异又求毎下原本衍年字今删正】列置丁数之位，头位二因【端也】中位退一等四因【丈也】下位退二等五因【尺也】丈尺半之，百丁已上不折半，并三位即都数【案此下原本有若毎丁因一位端也中退一等二因丈也下位退二等五因尺也奇丁丈尺折半三位即得凡三十六字系上下文衍复在此今删正】若毎丁庸调并賸布二丈五尺，都当二端二丈五尺，亦列丁数二位，头位二因【端也】下位退一等五因【丈也】奇丁丈尺折半之，并二位得都数。若毎丁庸调并賸布一尺六寸七分，都当二端一丈六尺六寸七分，亦列丁数五位：头位二因【端也】次位退一等三因【丈也】次位退二等三因【尺也】次位退三等三因【寸也】下位退四等四因【分也】奇丁丈尺折半之，并得都数。凡算布，从丈尺以下，皆倍本因之数。

论步数不等田曹以六尺为步，三百步为一里【此古法】杂令诸度地以五尺为一步，三百六十步为一里。田令诸田广一步，长二百四十步为畞，畞百为顷【此今用之】方田【四方平等，名曰方田】术曰：方自乗为积步，以畞法除之。直田【从长而广狭，故曰直田】术曰：以从广相乗为积步，以畞法除之。腰鼓田【形似腰鼓，细】术曰：并三广以三而一，乗长为积步，以畞法除之。圆田【形如鼓面】术曰：周自乗，以十二而一，得积步。

又术周乗径四而一亦得又术，半周乗半径，亦得各得积步，竝以畞法除之。环田【此外周而心空如环】术曰：并外内周而半之，以径乗为积步，以畞法除之。丸田【形如覆半弹丸】术曰：径乗周四而一，得积步，以畞法除之。圭田【三角之田】术曰：半长乗广为积步，以畞法除之。弓田【形如弓样】术曰：矢乗▯，矢又自乗，并之，二而一，以畞法除之。箕田【一头广一头狭】术曰：并二广而半之，以乗长为积步，以畞法除之。四不等田【二广二长不齐也】术曰：并二长而半之，又并二广而半之，相乗为积步，以畞法除之。今有田二十一顷七十八畞一百八十步，问为方几何？答曰：七百二十三步，奇百七十一步。术曰：先置顷畞于上，以二百四十步乗之，得五十二万二千七百二十步，内零一百八十步，以开方除之。借一算为下法，步之，超一位至百止。万上置上商七百，下亦置七万于实位之下。下法之上，命上商除实讫，倍方为一十四万。方法一退，下法再退。又置上商二十于前商后，又置二百于方法之下，下法之上，名曰隅法。以方隅二法皆命上商以除实讫，倍隅法为四百，从上方法一退，下法再退。又置上商三扵前商二十之后，又置三步于方法之下，下法之上，名曰隅法。以方隅二法皆命上商除实讫，倍隅法得六，从上方法得一千四百四十六，即是上方得七百二十三步，奇一百七十一步。

变米谷仓库令云：其折糙米者，稻三斛折纳糙米一斛四斗。若谷求米法，十四乗三除【除毕，以米数折退一等】又法四二乗九除，一四乗三除【案：此句即上“十四乗三除”句复出】二八乗六除。

若米求谷法三乗十四除又法九乗四，二除三乗一，四除【案：此句即上三乗十四除句复出】六乗二，八除。粟五斗为粝米三斗，三十乗之，五十而一，为粺米二斗七升，二十七乗之，五十而一，为糳米二斗四升，二十四乗之，五十而一，为御米二斗一升，二十一乗之，五十而一。今有粟五千五百一十斛九斗，欲毎斛为粝米六斗，粺米五斗四升，糳米四斗八升，御米四斗二升，问各几何？答曰：粝米三千三百六斛五斗四升，粺米二千九百七十五斛八斗八升六合，糳米二千六百四十五斛二斗三升二合，御米二千三百一十四斛五斗七升八合。术曰：置粟退一等，以六斗乗为粝米，以五斗四升乗为粺米，以四斗八升乗为糳米，以四斗二升乗为御米。返求粟法：置粝米数，以五因之，三除之；置粺米数，以上十之，以五斗四升除之；糳米各以本米数除之，皆得本粟。今有谷一千八百四十三斛八斗三升，欲依租变米，毎谷三斛为米一斛四斗，问合得米几何？答曰：八百六十斛四斗五升四合。术曰：置谷数，以一斛四斗为法，乗之，以三斛为法，除之，得米数。

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