律吕新书卷一

译季通，在这个时候，唯独内心喜好他的学说，并且极力探求。广泛搜求，远取博采，无论巨细都不舍弃，积累多年，才如同契合。撰写了两卷书，总共若干字。我常得到并阅读它，喜爱它明白而渊深，缜密而通畅，不做牵强附会的言论，而横斜曲直如同珠子不离开盘子。他的言论虽然多出自近世未曾讲习的，但实际上没有一字不本于古人已经试验过的成法。大概像黄钟围径的数目，那么汉斛的积分可以考证；以寸为九分作为法则，那么淮南太史小司马的学说可以推究；五声二变的数目，变律半声的条例，那么杜氏的《通典》具备；变宫变征不能成为调，那么孔氏的《礼疏》本来也可以看见。至于先探求声气的本源，而依据律来产生尺，那么尤其所谓卓然出众的，也明显杂见于两汉的制度，蔡邕的学说，以及本朝《防要》，还有程子、张子的言论。只是读者不深入考察其中，虽然有时在此处有所得，却又不能不在彼处有所失，因此晦涩混乱，不再有定论。大体上不拘泥于习熟见闻的近处，就放纵胸臆，妄自穿凿而没有依据。季通却能振奋他的独到见解，超然远览，梳理剔抉，参互考寻，用他半生的精力，以至于一旦豁然贯通，这也可以说是勤奋了。等到他著论，又能推究本源，排列条理，撮取机要，阐发精微，不用浮词滥说来扰乱其中，也差不多符合写书的体例了。我说国家将要平定中原，以开启中天的运数，必定会审音协律，以谐和神人。当这个时候，受诏典领的臣子，能得到这本书而进奏，那么东京郊庙的音乐，将不等待公孙述的乐师才完备，而参摹四分之书，也不必等待后世的扬雄才知晓喜爱了。况且季通写这本书，言辞简约道理明白，起初并不难读，而读它的人往往没读完一篇，就已经打哈欠想睡觉，本来无法了解它的旨趣。唯独因为我愚钝不敏，才能反复阅读多次，而仅仅得到他指意的仿佛。季通于是也赞许我能了解他的志向，所以嘱托我写序引，而我不能推辞。季通还想均调节族，施加于管乐器，另外编写乐书，以穷究他的学业，又用他的余力，发挥武侯六十四阵的图绪，校正邵氏《皇极经世》的历法，以大大完备一家的言论，他的用意也很强健了。我虽然老病，倘若能看见，那么难道不是千古的一大快事吗！淳熙丁未正月初一，新安朱熹序。

译朱熹说：蔡神与名发，博学强记，高洁简朴，旷达超脱，不能与世俗之人随波逐流，于是离开家乡游历四方，见闻更加广博，于是对于《易经》卦象、天文、地理、三式（遁甲、太乙、六壬）的学说没有不通晓的，而且都能考订其中的得失。他闭门谢客，断绝尘缘，专门以读书和教导儿子为事。季通（蔡沈）出生十年，就教他读《西铭》，稍大一些就给他看程氏的语录、邵雍的《皇极经世》、张载的《正蒙》，并对他说：“这是孔孟的正统道脉。”季通继承了他的志向，在学问品行之余，尤其精通律历，经过讨论确定，于是形成了一家的学说，使千古以来的谬误豁然一新，而追溯其源流，都有成法可循，这也足以让他的父亲在无穷后世中显扬了。季通的律书法度非常精严，近世的各位儒者都没有人能比得上。季通的律书分明是好的，却不是主观臆断，自有依据。季通推究乐律，很有心力，看了很多书。刘文简公说：“先生天资高，闻道早，对于书籍没有不读的，对于事理没有不讲的，通晓阴阳消长的运行，通达古今盛衰的道理，上考察天时，下考证人事。”朱文公曾说：“别人读《易经》难，季通读难书却容易。”又说：“造化的微妙，只有深明道理的人才能认识。我和季通谈论，从来没有感到厌倦。”西山真氏说：“先生曾经被特别征召，坚决推辞不出，世人称他为聘君。聘君以师礼侍奉朱文公，而朱文公却说：‘季通是我的老朋友。凡是关于性与天道的奥妙，其他弟子不能听到的，一定要告诉季通。’马异篇奥，传述微言大义，先让他探讨研究，然后亲自折中裁定。先生对于经学没有不通晓的，曾经对三个儿子说：‘渊，你应当继承我的易学；沉，你应当推演我的皇极数；而《春秋》则交给知方。’”黄瑞节说：“考察蔡氏祖孙三代在文学上的传承可以知道了。而在盛世时，三代一脉相承。朱子说：蔡神与用来教导儿子的方法，不追求利禄，而是用圣贤之学来开导他，他的志向见识高远，不是世人所能达到的。”西山先生推辞征聘不出仕，九峯先生三十岁就放弃了科举事业，一以圣贤为师。九峯的儿子蔡抗，才开始考中进士，理宗宝祐年间担任参政，说：“律吕书大概是朱熹和蔡氏师徒共同完成的。”朱子给西山的信中说：“只使用古言古语，或者注疏，而把自己的意思附在下方，非常简约而极其周全详尽，学者一看就能得到大概，其他推论的泛滥，旁证的异同，不完全记载。”

律吕本原

黄钟第一【以《汉书·律历志》斛铭文确定】

长九寸，空围九分，积八百一十分。

考察天地之数，始于一，终于十。其中一、三、五、七、九为阳，九是阳的完成；二、四、六、八、十为阴，十是阴的完成。黄钟是阳声的开始，阳气的发动。所以它的数是九，分寸的数，在声气的本源中，不可见。等到截竹为管，吹它而声音和谐，〇（圆）它而气息相应，然后数才开始显现。均分它的长度，得到九寸；审察它的周长，得到九分【本章凡是说分的，都是十分寸之一】计算它的容积，得到八百一十分。长九寸，围九分，积八百一十分，这是律的本原，度量衡权都从这里接受法则。十一律由此而增减【算法，放置八百一十分，分成九重，每重得九分。圆田术，三分益一，得一十二，用开方法去除，得三分四厘六毫强作为实径的数，不尽二毫八丝四忽。现在求圆积的数，用径三分四厘三毫自相乘，得十一分九厘七毫一丝六忽，加上开方不尽的数二毫八丝四忽，得一十二分，用管长九十分乘它，得一千八十分作为方积的数，四分取三分为圆积，得八百一十分】。朱熹说：“本原第一章，围径的数，这是最大的关键，不可草率。”又说：“古代只说空围九分，不说径三分，大概不止三分，还有余数。”鲁斋彭氏说：“黄钟律管有周长，有直径，有面积，有空围内的容积，有长度。如《史记》论长度，《律历志》论长度及容积，东汉郑氏注《月令》论面积，东汉蔡氏《月令章句》论长度，都是不可改变的理论。唯独周长直径的说法，汉朝以前都没有明文。《汉律历志》开端未竟，东汉蔡氏才开始创立径三分的说法，晋孟氏以后诸儒继续周长九分、直径三分的说法。宋胡氏、蔡氏又提出径三分四厘六毫、围十分三厘八毫的说法。然而考察古代，周长、直径、面积、容积率都没有符合的。曾经依照东汉蔡氏所说的，径三分，用《九章算术》少广内祖氏密率乘除，只得到空围内面积七分七厘余，少了近一分九十二厘余。空围内积实只得到六百三十六分余，少了近一百七十三分余。这样那么黄钟的管子不是太狭窄了吗？大概黄钟空积忽微，如果直径内差一忽，那么面积及容积所差的忽数就非常多。这就是东汉蔡氏的说法不合的原因。晋孟氏诸儒说径三分围九分，又用径一围三的法子，虽然是古率，然而古人大概用它来算圆田。如果用密率推之，”

译直径为一，周长则为三又有余。假如直径为七，那么周长应当是二十二又有余。如今依照孟氏所说的，直径三分，那么周长应当是九分四厘二毫一秒又强，不仅仅止于九分。如果依照九分周长的数值，那么直径应当只有二分八厘六毫二秒六忽又强，又达不到三分。这就是晋代孟氏等儒者的说法之所以不合的原因。宋代胡氏不主张直径三周长九的说法，大意是怀疑其管口狭窄罢了。然而他所说的直径三分四厘六毫，周长十分三厘八毫，也是使用直径一周长三的比率。如果依照所说的三分四厘六毫直径，应当得到周长十分八厘七毫六秒二忽又强，不仅仅止于十分三厘八毫。如果依照十分三厘八毫周长的数值，那么直径只得到三分三厘有余，又达不到三分四厘六毫。这就是宋代胡氏的说法之所以不合的原因。宋代蔡氏所说直径周长的分数与胡氏相同，至于算法，使用圆田术“三分益一”得到十二，开方去除求直径，又用直径相乘再乘以管长，使用“三分益一、四分退一”的方法求面积体积。现在暂且依照他的说法，将九平方分平放，再用“三分益一”，以三方分割置于九平方分之外，这样它的积是十二平方分，它的纵横可得三分四厘六毫又强，不尽二毫八丝四忽。确实如蔡氏所说，但依照此直径用密率相乘，那么空围内面的面积不仅仅止于九平方分，而是得到九平方分零四十厘六十毫五十七秒十四忽又强。空围内的体积不仅仅止于八百一十分，而是得到八百四十六分五百四十五厘一百四十二秒六百忽又强。这样那么黄钟的律管未免太大了，仔细考察，方内的圆所占的古者不止三分之三，圆外的方所应当退去的又不及四分之一。由此知道“三分益一、四分退一”是虚加实退，是算家的大略之法。这就是宋代蔡氏的说法之所以又不能尽合的原因。现在想要求得黄钟律管从长、周长、直径、面积、体积的确切定数，必须依照蔡氏多截管以验气的说法，又用祖冲之的密率乘除才可以。因为祖冲之是古今算家中最杰出的，而蔡氏多截管验气的说法，确实得到了造律的本原，他的说法是前人未曾阐发的，现在适宜依照此说法，先多截竹管以模拟黄钟的律管，或短或长，长短之间，每有细微差别，各为一管，全部将这些管埋入地下，等到冬至时验证，如果诸管中有气应的，就取那根管来计算，知道此管合乎造化自然，非人力所能为，就将此管分为九寸，一寸分为九分，一分分为九厘，一厘分为九毫，一毫分为九秒，一秒分为九忽，以合乎十二终天之数，这是元气运行，自子至亥，得到十七万七千一百四十七的数目，凡用此管三分损益，上下相生，由此又取此管九寸，一寸分为十分，一分分为十厘，一厘分为十毫，一毫分为十秒，一秒分为十忽，以合乎天地五位终于十的数目，就用十乘以八十一，得到八百一十分，用八百一十分配九十分管，知道此管长九十分，空围中容纳八百一十分，即十分管长，空围中容纳九十分，一分管长，空围中容纳九分，凡求度量衡由此，就用此管面空围中所容九分，用平方面积法推演，知道一分有百厘，一厘有百毫，一毫有百秒，一秒有百忽，累积计算，一平方分通有面积一万万忽，九平方分通有面积九万万忽，就用这九万万忽依照《算经》少广章所载宋代祖冲之密率乘除，得到圆周长的计十分六厘三毫六秒八忽万分忽之六千三百一十二，又用圆周求直径，计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五，又用半径半周相乘，仍得九万万忽内忽弱通之，得到面积九平方分，既然用周长直径相乘，复得面积，这样那么黄钟的宽度与长度及空围内体积都可计算了，所以面积计九平方分，深一分管则空围内当有九立方分，深九十分管计九寸，则空围内当有八百一十立方分，这就是黄钟一管的实体，其数与天地造化无不相合，此算法所以成立。算法既成之后，或用竹，或用铜，另外制作，依照其长各作八十一分，作为十二律相生的方法，又依照其长作九十分，乃取九十分的分计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五，以合孔径。这样那么圆长面积，以及空围内体积，自然无不和谐。只是直径数自八毫以下，不可细分，而算法积忽与秒不容不然。黄钟之实第二【以《淮南子》、《汉书·律历志》定其寸分厘毫丝的法度，以律书生钟分定】

译子一，黄钟之律；

丑三，为丝法；

寅九，为寸数；

卯二十七，为毫法；

辰八十一，为分数；

巳二百四十三，为厘法；

午七百二十九，为厘数；

未二千一百八十七，为分法；

申六千五百六十一，为毫数；

酉一万九千六百八十三，为寸法；

戌五万九千四十九，为丝数；

亥一十七万七千一百四十七，黄钟之实。

按：黄钟九寸，以三分为损益，故以三历十二辰，得一十七万七千一百四十七为黄钟之实。其十二辰所得之数，在子、寅、辰、午、申、戌六阳辰，为黄钟寸分厘毫丝之数【子为黄钟之律，寅为九寸，辰为八十一分，午为七百二十九厘，申为六千五百六十一毫，戌为五万九千四十九丝】；在亥、酉、未、巳、卯、丑六阴辰，为黄钟寸分厘毫丝之法【亥为黄钟之实，酉之一万九千六百八十三为寸，未之二千一百八十七为分，巳之二百四十三为厘，卯之二十七为毫，丑之三为丝】。其寸分厘毫丝之法，皆用九数，故丝为毫九，毫为厘九，厘为分九，分为寸为黄钟。盖黄钟之实一十七万七千一百四十七之数，以三约之为丝者五万九千四十九，以二十七约之为毫者六千五百六十一，以二百四十三约之为厘者七百二十九，以二千一百八十七约之为分者八十一，以一万九千六百八十三约之为寸者九。由是三分损益以生十一律焉。或曰：径围之分以十为法，而相生之分厘毫丝以九为法，何也？曰：以十为法者，天地之全数也；以九为法者，因三分损益而立也。全数者，即十而取九；相生者，约十而为九。即十而取九者，体之所以立；约十而为九者，用之所以行。体者，所以定中声；用者，所以生十一律也【或问算到十七万有余之数，当何用？朱子曰：以定管之长短而出是声。大抵考究其法是如此】

黄钟生十一律第三

子一分，一为九寸；

丑三分二，一为三寸；

寅九分八，一为一寸；

卯二十七分十六，三为一寸，一为三分；

辰八十一分六十四，九为一寸，一为一分；

巳二百四十三分一百二十八，二十七为一寸，三为一分，一为三厘；

午七百二十九分五百一十二，八十一为一寸，九为一分，一为一厘；

未二千一百八十七分一千二十四，二百四十三为一寸，二十七为一分，三为一厘，一为三毫；

申六千五百六十一分四千九十六，七百二十九为一寸，八十一为一分，九为一厘，一为一毫；

酉一万九千六百八十三分八千一百九十二，二千一百八十七为一寸，二百四十三为一分，二十七为一厘，三为一毫，一为三丝；

戌五万九千四十九分三万二千七百六十八，六千五百六十一为一寸，七百二十九为一分，八十一为一厘，九为一毫，一为一丝；

亥十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六，一万九千六百八十三为一寸，二千一百八十七为一分，二百四十三为一厘，二十七为一毫，三为一丝，一为三忽。

按：黄钟生十一律，子、寅、辰、午、申、戌六阳辰皆下生，丑、卯、巳、未、酉、亥六阴辰皆上生。其上以三历十二辰者，皆黄钟之全数。其下阴数以倍者【即算法倍其实】，三分本律而损其一也。阳数以四者【即算法四其实】，三分本律而增其一也。六阳辰当位自得，六阴辰则居其冲。其林钟、南吕、应钟三吕在阴，无增减也。其大吕、夹钟、仲吕三吕在阳，则用倍数，方与十二月之气相应。盖阴之从阳，自然之理也。

【习轩吴氏曰：子一分者，数起子得一也。丑三分二者，三其法为三分两，其实为二也。寅九分八者，三其法为九分四，其实为八也。以下生者倍其实，以上生者四其实也。以法以子析为三分，每分五万九千四十九，五于三分之中得其二为十一万八千九十八