革象新书卷五 元 赵友钦 撰
革象新书卷五 元 赵友钦 撰
小罅光景 句股测天乾象周髀小罅光景室有小罅，虽不皆圆，而罅景所射，未有不圆。及至日食，则罅景亦如所食分数。罅虽寛窄不同，景郤周径相等，但寛者浓而窄者淡。若以物障其所射之处，迎夺此景于所障物上，则此景较狭而加浓。予始未悟其理，因熟思之。凡大罅有景，必随其罅之方圆长短尖斜而不别，乃因罅大而可容日月之体也。若罅小，则不足容日月之体，是以随日月之形而皆圆，及其缺则皆缺。罅渐窄，则景渐淡；景渐逺，则周径渐广而愈加淡。大罅之景渐逺亦渐广，然不减其浓。此则浓淡之别也。假于两间楼下，各穿圆穽于当中，径皆四尺余。右穽深四尺，左穽深八尺。置卓案于左穽内，案髙四尺。如此则虽深八尺，只如右穽之浅。作两圆板，径广四尺，俱以蜡烛千余枝密插于上，放置穽内而燃之。比其形于日月，更作两圆板，径广五尺，覆于穽口。地上板心各开方窍，所以方其窍者，表其窍小而景必圆也。左窍方广寸许，右窍方广寸半许。所以一寛一窄者，表其寛者浓而窄者淡也。于是观其楼板之下，有二圆景，周径所较甚不多，郤有一浓一淡之殊。详察其理，千烛自有千景，其景皆随小窍▯▯而方。烛在穽心者，方景直射在楼板之中；烛在南边者，方景斜射在楼板之北；烛在北边者，方景斜射在楼板之南。至若东西亦然。其四旁之景斜射而不直者，縁四旁直上之光障碍而不得出，从旁达中之光惟有斜穿出窍而已。穽内既已斜穿，窍外止得偏射偏中之景。千数交错，周遍疉砌，则总成一景而圆。所以有浓淡之殊者，葢两处皆千景疉砌，圆径若无广狭之分，但见其窍寛者所容之光较多，乃千景皆广而疉砌稠厚，所以浓；窍窄者所容之光较少，乃千景皆狭而疉砌稀薄，所以淡。于是向右穽东边减郤五百烛，观其右间楼板之景缺其半于西，乃小景随日月亏食之理也。又灭左穽之烛，但明二三十枝，防密得所，观其楼板之景，虽是周圆布置，各自防防为方，不相黏附，而愈淡矣。又皆灭而但明一烛，则只有一景，而方缘为窍小而光形尤小，窍内可以尽容其光，郤为大景随空罅之象矣。若依旧皆燃左穽之烛，则左景复圆，别将广大之板二片，各悬于楼板之下，较低数尺，以障楼板而迎夺其景，此景较于楼板者，敛狭而加浓，所以迎夺其景者，表其景近则狭而浓，逺则广而淡也。烛光斜射，愈逺则所至愈偏，则距中之数愈多，围旁皆斜射，所以愈偏则周径愈广，景之周径虽广，烛之光熖不增，如是则千景展开而重疉者薄，所以愈广则愈淡，亦如水多则味减也。然其板不可侧髙偏低，否则景不正圆而长。于是去其所悬之板，举其左穽连板之烛，彻去穽内卓案，复燃连板之烛，置于穽防而揜之，窍既逺于烛景，则敛而狭，所以敛狭者，葢是窍与烛相逺则斜射之光敛而稍直，光皆敛直则景不得不狭，景狭则色当浓，烛逺则光必薄，是以难于加浓也。先论景距窍之逺近，此复论烛距窍之逺近，景之逺近在窍外，烛之逺近在窍内，凡景近窍者狭，景逺窍者广，烛逺窍者景亦狭，烛近窍者景亦广，景广则淡，景狭则浓，烛虽近而光衰者景亦淡，烛虽逺而光盛者景亦浓。由是察之，烛也，光也，窍也，景也，四者消长胜负，皆所当论者也。于是彻去所覆两穽之板，别作圆板二片，径广尺余，右片开方窍，方广四寸，左片开尖窍，三曲皆广五寸余，各以索悬于楼板之下，令其可以渐髙渐低，所以渐髙渐低者，表其景之逺广而近狭也。仰观楼板之景，左尖右方，俯视烛光之形，左全右半，此则大景随空之象，各自方尖，不随烛光而圆缺也。然穽大而板窍仍小，今喻以为大罅者，葢穽于板窍较逺，逺则虽大犹小。窍于楼板较近，近则虽小犹大，方尖窍内可以尽容烛光之形也。原尖小窍之千景，似乎鱼鳞相依，周遍布置。大罅之景千数，比于沓纸重疉不散张张，无参差。由此观之，大则总是一穽之景，似无千烛之分；小则不覩一穽之全，碎砌千烛之景。是故小景随光之形，大景随空之象，断乎无可疑者。
句股测天句股之术，可以测天然髙深广逺，难于推步筹防。今姑以浅近喻之：塔髙十丈，未知其数。于塔之正东立一木表，于表东席地而卧，以眼西望塔顶，望见塔顶虽髙，只与表末相齐。于是自塔心量至表根为数五丈，又自表根量至测望之眼为数一丈二尺五寸。再立后表于前表正东，从后表正东如前望之，见塔顶亦与后表之末相齐。量得两表相逺三丈，自后表之根东至测望之眼为数二丈。先量得两表皆髙二丈有余，从表首下至与眼平，只髙二丈，亦可以算术求其塔髙。两表相逺三丈，名曰表间；前目距前表一丈二尺五寸，名曰前景；后目距后表二丈，名曰后景。前后两景相多七尺五寸，名曰景差。所以名为景者，葢是将灯置于塔顶，假若两表有景长短，必齐于眼望之处，故以名其数也。先以心度云：移表三丈而景差七尺五寸，即是其表每移一丈，景差二尺五寸。若移前表过西一丈，景必减作一丈；且移过西四丈，景必减尽无余。是犹表直于戴日之下，则无景也。如此则知塔心与前表相远五丈，以后表名为小股，后景名为小句。句者，矩之短处也。股即木匠之曲尺。以塔心距前表之五丈通并表间三丈，则知塔心距后表八丈，更加后景二丈，共计十丈，名为大句。塔顶髙数名为大股。以小勾股作大勾股之则例，既然小句二丈而小股二丈，则知大句十丈，大股必十丈矣。若不用后表后景为小勾股而求塔髙，前表前景亦可用也。以前表二丈为小股，前景一丈二尺五寸为小句。前景一丈二尺五寸通前表距塔心之数五丈，共六丈二尺五寸为大勾，塔髙之数为大股。以小句股为大句股之则例，计小句之数，每一丈为小股一丈六尺。今大句六丈二尺五寸，大股必十丈矣。若或显言塔逺之数五丈，止立一表以测塔髙者，如前名作。小句股郤以大句求大股而为塔髙，此一表之术，乃先知塔逺而止求塔髙；若前两表之术，则皆未知，所以先求塔逺而郤慿塔逺以求塔髙也。既可将逺求髙，亦可将髙求逺。今以画图言之，画一棊枰，纵横各十寸，每眼比一丈，总为百眼。如此则纵横各有十一画。边西第一直画涂红，喻为塔髙十丈；边东第三直画偏低，涂青，喻为后表二丈；当中直画偏低，涂黄，喻为前表二丈。于后表之东横底涂青，喻为后景二丈，景末作一圏，喻为后目；于前表之东横底涂黄，喻为前景一丈二尺五寸，景末作一圏，喻为前目。从前目斜画一线向西而髙至塔顶，名为前大▯；后目亦如前画，为后大▯。此两条▯非实有物，乃眼绳也。谓之▯者，葢矩曲畧似乎弓，两端斜距之数则似弓弰。安▯两表之末必与斜▯相凑，可比两表之末俱与塔顶相齐。
以图视之，眼绳两条合尖于塔顶，渐低则渐开，至地平而开广三丈七尺五寸，表末只开广三丈。如此则是敛窄七尺五寸，计髙一表之数二丈。以心度云，眼绳于地平开广三丈七尺五寸，若将敛窄尽絶，则至塔顶而髙五表之数。每表髙二丈，则知塔髙十丈矣。十丈为股，用之求大句者，则亦以小句股为则例而求之。后表小股二丈，而小句亦二丈，如此则大股十丈可知，大句必十丈矣。大句即是塔逺，后目之数。前表小股二丈，而小句一丈二尺五寸，乃是每股一丈句至六尺二寸五分。今大股十丈可知，大句必六丈二尺五寸矣。此大句即是塔逺前目之数。先已知大股而止求大句者，不须两表之小句股，但用一表之小句股为则例而求之，乃先知塔髙而止求塔逺也。大句大股已得其数，亦可求大▯，乃眼绳之斜长，即人目距塔顶之斜逺也。欲求其数，不可不明其乘除开方。所谓乘者，七其八得五十六，名曰七乘。八或八其七得五十六，名曰八乘七。若十二与三十相乘，则得三百六十。所谓自乘者，三其三为九，或十其十为百，或百其百为万，或十九自乘十九，则为三百六十一。凡自乘之数，名曰幂。幂是覆物之巾，方而有眼。数自乘之数必方，故名为幂。所谓除者，七除其五十六，各得八，乃置五十六如七而一则为八也。或八除其五十六，各得七，乃置五十六如八而一则为七也。或十二除其三百六十而得三十，谓之如十二而一。或三十除其三百六十而得十二，谓之如三十而一。或三除其九而得三，或十除其百而得十，或百除其万而得百，皆曰除也。所谓开方者，九而开方而得三，或百而开方得十，或万而开方得百，或三百六十一而开方，纵横皆得十九，是谓开方也。凡已乘之数除则复元，已除之数乘则复元。今求眼绳斜长之数，当用句股求▯之术。其术曰：句自乘，名句幂；股自乘，名股幂；两幂相并为▯幂，开为平方，即得其▯。凡以丈尺求者，宜改为寸数以算之。今以后表所测大句十丈，准为大句一千寸，其一千寸共乗得一百万寸，名曰句幂。大股数同，名为股幂，相并得二百万寸，名为▯幂，开为平方，得后大▯乃一千四百一十四寸有竒，是后表之眼绳长一十四丈一尺四寸有余也。以前表求前▯者，仿之。后▯之幂二百万寸而开方，譬似方砖二百万片砌于方台之上，东西南北纵横数之，皆广一千四百一十四片，尚有方砖六百四片。若欲用尽无余，则碎之而砌作大方，余数此术以塔心喻戴日之下，以塔顶喻日之髙，以灯影喻日景，喻月景亦然。众星无景，则人以目就地望而准之，测得三辰之髙，则可知日月不附着于天，而悬虚运转。若五纬较逺于经星，则是五纬亦悬虚而不附着。
设或五纬与经星之髙逺相齐，则是五纬如磨蚁而右。旋矣，塔之为物，髙数不多，两表相距三丈，亦可以测。若夫三辰之髙，必须两表相距数百里，否则不觉其景差。里之为数，长三百步，每步之长，伸手一度也。浙尺约六，淮尺约五。世间路里迢遥，难取径直。既然地上量之不直，岂能推其三辰髙逺？是以古人测表景，千里一寸之差，犹未亲切。姑以其术言之。然古者制表未精，今别定表之制度，并述元有算法。就地中各去南北数百里，仍不偏于东西，俱立一表，约髙四丈。于表首之下数寸许，作一方窍。所以低数寸者，恐其表首景淡也。所以方其窍者，葢小窍有景不随空罅之象，必随日月之形，可以测日月之周径也。其窍外广而内狭，当中薄如连邉，两旁如侧置漏底之盌，形圆而窍方。所以然者，葢日光斜射之际，恐其窍枵相妨也。窍空之大小，当于地上试景而定之。直立其表，而后试，稍有偏斜则不可准。若试而光淡者，窍差小也；景不圆者，窍差大也。须得酌中为佳。若表末细而不可开大窍者，以木接之，以薄板接之尤妙。葢为作侧盌之状也。自表根量至空窍下际，其寸数名曰表髙。两表制度须同，不可差异少许。同日测表景于正午之时，自表根量地至于空窍下际之景，其寸数名曰表景。以南北表景之数相减，余名景差。两表相距路里变作寸数，名曰表间。各乗南北表景，各如景差而一，即得二表各与戴日之地相距寸数，名曰平逺。南北各以表景加之，所得各以表髙乘之，各如表景而一，即得日轮顶与戴日地相距寸数，名曰日髙。乘表间如景差而一，却加表髙，亦得日髙也。若求日轮底之髙者，量表髙则至空窍上际，量表景亦至空窍上际之景，算法竝不殊。若将日轮顶底之两髙数相减，则知日圆之径。以南北表景各加平逺所得，自乗名句幂；日髙自乗名股幂；两幂相并名▯幂，开为平。方名曰日逺，乃南北表窍之景，距日斜逺也。然南北各有两数，葢日轮顶底各距表窍上下之景际，其相逺寸数，可于南北各作两次求之。凡测早晚者，仿此太隂亦然。若谓表髙难直者，当并树两表，构横木以为髙架。横木之中钉一方环，如前表窍之制，须当穏实不揺曵，却悬一壮绳以代木表，系于悬虚之中，坠石去地寸许，令其急而不缓，则直可准矣。若测众星者，量表则至于窍心，望亦须在窍心也。此句股之法，以横测逺，以树测髙，乃测髙逺也。若测广逺者，则以绳引于地而为句股，句与股皆横测之。若测深逺者，髙立表木，横构二平木于表前，以横测逺，以树测▯，此句股则又有横树之分矣。夫测三辰之髙逺者，必须逺量两表之间，然难于地平直步，要当节节测望地平之逺数，却通并以为表间，是又不可不知也。
乾象周髀日之圆径一度，以算术求其周围，计三度一十四分一十六秒。月之周径比似之。赤道周天三百六十五度二十五分七十五秒，以算术求其中径，计一百一十六度二十六分五十一秒。径当周中，似乎圆扇，夹脊平分两旁，即是南北二极相距之直数，折半计五十八度一十三分二十五秒有奇，乃是六合各距天中之均数。天体圆如弹丸，东西南北相距皆然，凡相距平分之数皆圆中之径也。古人谓圆径一尺，周围三尺；方广一尺，边旁四尺。圆象天而天数三方象地而地数四，数分隂阳，自然有理。后世考究则不然，方广一尺而边旁四尺，无可言者。若言圆径一尺而周围三尺，则三尺尚有余；围三尺而中径一尺，则一尺为不足。葢围三尺径一尺，是六角之田也。或谓圆径一尺，周围三尺一寸四分【案此刘徽所推】或谓圆径七尺，周围二十二尺【案此祖冲之所推约率】或谓圆径一百一十三，周围三百五十五【案此祖冲之所推密率】径一尺而周三尺一寸四分，犹自径多围少；径七尺而周二十二尺，却是径少周多；径一百一十三而周围三百五十五，最为精密。今求日周天径，是此法也。既论其异同，亦当言其考究之术。画为百眼棊盘，一眼广一寸，横十寸，名句在于东西相距方图之内，画为圆图，是去其方之四角也。圆径十寸，与外方之股数相同。圆径名髀，圆之髀比方之股，其数同而字义不异，但有方圆之别。就圆图之内，又画小方图，其小方四角不指外方之四角，而斜抵东西南北之四正。葢其外大方四角在于乾坤艮巽，其内小四角在于坎离震兊。小方四角斜▯一十寸，尚是圆中之髀，为数不殊于外方之股。以外方而比内方，包容之积相半，外方积一百寸，内方积五十寸。何以知其然？葢将外方均作四隅而视之。一半归于内，一半出于外。由是察之，圆中之直髀即内方之斜▯。内方既用为▯，圆中难以名股。句股与▯名不可紊，故称为髀以别之。内方之▯十寸，自乗得一百寸，名▯幂。凡▯幂必兼得句股两幂之数。今图方而纵横相同，当以▯幂均为句股两幂各得五十寸而开方，即知句股皆七寸有余。考究圆围本起于此。考究之术，将薄纸剪圆而临于棊枰之上，不须于纸上画为方眼，但景映以为准则，然后于此薄纸之上模下之小方，以算术展为圆象，充满所定之圆围。自四角之方添为八角曲，圆为第一次。若第二次则求其为曲十六，若第三次则求其为曲三十二，若第四次则求其为曲六十四。凡多一次，其曲必倍。若至十二次，则求其为曲一万六千三百八十四。其初之小方渐加渐展渐满渐实，角数愈多，而其为方者不复方而变为圆矣。故自一二次求之以至一十二次，可谓极其精密。若节节求之，虽至千万次，其数终不穷。须当逐节作为大小句、大小股、大小句幂、大小股幂、小▯、小▯幂、大▯、大▯幂。但大▯与大▯幂不于节次作之，毕竟止用本数而已。今先以第一次言之，内方之▯十寸，名大▯。自乗淂一百寸，名大▯幂。内方之句幂五十寸，名第一次大句幂。以第一次大句幂减其大▯幂，余五十寸，名第一次大股幂。开方得七寸七厘一毫有竒，名第一次大股。以第一次大股减其大▯，余二寸九分二厘八毫有奇，名第一较。以此较折半得一寸四分六厘四毫有竒，名第一次小句。此小句之数乃是内方之四邉与圎围最相逺防也。以第一次小句自乗得二寸一分四厘四毫有竒，名第一次小句幂。以第一次大句幂折半得二十五寸，又折半得一十二寸五分，名第一次小股幂。以第一次小股幂并第一次小句幂得一十四寸六分四厘四毫有奇，名第一次小▯幂。以第一次小▯幂开方，得三寸八分二厘六毫有竒，名第一次小▯，即是八曲之一。八乗其第一次小▯，得三十寸六分一厘有奇，是即八曲之周围也。此以小数求之，不若改为大数。所以然者，盖求至十二次数之降者渐小，愈小则不便于数名。当将大▯改为一千寸，大▯幂改为一百万寸，第一次大句幂改为五十万寸，大股亦如之，然后依法而求。若求至第二次者，以第一次小▯幂就名第二次大句幂，以第一次大股幂减其大▯幂，余为第二次大股幂，开方为第二次大股，以减其大▯，余为第二较，折半名二次小句。此小句之数，即是八曲之边与圎围最相逺防也。以第二次小句自乗，名第二次小句幂。以第二次大句幂两折，名第二次小股幂。以第二次小股幂并第二次小句幂，名第二次小▯幂。以第二次小▯幂开方，为第二次小▯，即是十六曲之一。以十六乗其第二小▯，即是十六曲之周围也。以第二次仿第一次，若至十二次，亦递次相仿而已。置第十二次之小▯，以第十二次之曲数一万六千三百八十四乗之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇即是千寸径之周围也。置此周围之数，降呼作三尺一寸四分一厘五毫九丝二忽有奇以一百一十三乗之，果得三百五十五尺。故言其法精密，要之方为数之始，圆为数之终。圆始于方，方终于圆。周髀之术，无出于此矣。