钟律通考卷一
朱子壶説曰：「壶之所容，止于斗有五升，而注乃以二斗释之。经之所言圆壶之实，▯而注之所言，乃借以方体明之，而筭法所谓虚加之数也。盖圆形繁曲难计，故筭家必借方形虚加厘数以定其法，然后四分去一以为圆形之实。今以筭法求之，凡此定二斗之量者，计其积实当为三百七【或作二字】拾四寸，而以其髙伍寸者分之，则毎髙一寸为广六十四寸八分。此六十四寸者，自为正方，又取其八分者割裂而加于正方之外，则四面各得二厘五毫之数，乃复合此六十四寸八分者，立为一方壶，则其髙五寸，其广八寸五厘，而外方三尺二寸二分，中受二斗，如注之初説矣。然此方形者，筭术所借以为虚加之数耳。若欲得圆壶之实数，则当就此方形规而圆之，去其四角虚加之数四分之一，使六十四寸八分者但为四十八寸六分，三百二十四寸者但为二百四十三寸，则壶腹之髙虽不减于五寸，其广虽不减于八寸五厘，而其外围则仅为二尺四寸一分五厘，其中所受仅为斗有五升，如经之云，无不谐合矣。」
愚按：朱子壶説虚加实积之数，与此黄钟空积之数正同，而蔡季通所借圆田开方之法，冥相符防。以其法而求之，则黄钟之围九分，积八百一十分者，可得而推矣。故録其説如右。
黄钟定法辨证章第二
汉蔡邕铜龠铭曰：「龠，黄钟之宫，长九寸，空围九分，容秬黍一千二百粒，称重十二铢。两之为一合，三分损益，转生十一律。」
宋胡安定律吕议曰：按厯代律吕之制，黄钟之管长九十黍，之广积九寸，度之所由起也。容千二百黍，积八百一十分，量之所由起也。重十有二铢，权衡之所由起也。围中容九方分，而世儒不能贯知权量之法，因谓围九分者，取空围长九分尔。以是围九分之误，遂有径三分之説。若从径三分围九之法则，黄钟之管止容九百黍，积止六百七分半。如此则黄钟之声无从而正，权量之法无从而生，周之嘉量，汉之铜斛，皆不合其数矣。西山蔡氏曰：按十二律围径，自先汉以前传记并无明文。唯班志云黄钟八百一十分，繇此之义起十二律之周径。然其説乃是以律之长自乘而因之以十，盖配合为説耳，未可以为防也。惟审度章一黍之广，度之九十分，黄钟之长一为一分。嘉量章则以千二百黍实其龠，谨权衡章则以千二百黍为十二铢。则是累九十黍以为长，积千二百黍以为广，可见也。夫长九十黍，容千二百黍，则空围当有九方分，乃是围十分三厘八毫，径三分四厘六毫也。毎一分容十三黍又三分黍之一，以九十因之则一千二百也【愚按三分黍之一者，盖一分容十三黍不尽，又以黍三折之，杀其一，累至九十则十三黍至九寸，得一千一伯七十，又以三分黍九十者合之得三十，故千二百黍也】又汉斛铭文云：律嘉量方尺，圆其外，庣旁九厘五毫，羃百六十二寸，深尺，积一千六百二十寸，容十斗。嘉量之法，合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为石。一石积一千六百二十寸，为分者一百六十二万。一斗积一百六十二寸，为分者十六万二千。一升积十六寸二分，为分者一万六千二百。一合积一寸六分二厘，为分者一千六百二十。则黄钟之龠为八百一十分明矣。空围八百一十分，则长累九十黍，广容一千二百黍矣。盖十其广之。分以为长，十一其长之分以为广，自然之数也。自孟康以律之长十之一为围之谬，其后韦昭之徒遂皆有径三分之説，而隋志始着以为定论。然累九十黍，径三黍，止容黍八百有竒，终与一千二百黍之法两不相通，而律竟不成。唐因声制乐，虽近于古，而律亦非是。本朝承袭，皆不能觉。独胡安定以为九分者方分也，以破径三分之法。然所定之律不本于声气之元一，取之秬黍，故其度量权衡皆与古不合。又不知变律之法，但见仲吕反生，不及黄钟之数，乃迁就林钟已下诸律围径，以就黄钟清声，以夷则、南吕为径三分，围九分；无射为径二分八厘，围八分四厘；应钟为径二分六厘五毫，围七分九厘五毫。夫律以空围
译朱子壶说说道：“壶的容量，只有斗有五升，而注疏却用二斗来解释它。经文所说的圆壶的容积，是圆形的，而注疏所说的，却是借用方形来阐明它，这是算法中所谓的虚加之数。大概因为圆形繁复曲折难以计算，所以算法家必定要借用方形，虚加一些厘数来确定其法则，然后再减去四分之一作为圆形的实际容积。现在用算法来推算，凡是确定二斗容量的，计算它的体积应当是三百七十四寸，用它的高度五寸来除，那么每高一寸，宽度就是六十四寸八分。这六十四寸，本身构成一个正方形，又取那八分切割开来加在正方形之外，那么四面各得到二厘五毫的数值，于是再把这六十四寸八分合起来，立成一个方壶，那么它的高五寸，宽八寸五厘，而外方三尺二寸二分，中间容纳二斗，如同注疏最初的说法了。然而这方形，只是算法所借用作为虚加之数的罢了。如果想要得到圆壶的实际容积，那么就应当在这方形上画圆，去掉四角虚加之数的四分之一，使六十四寸八分只成为四十八寸六分，三百二十四寸只成为二百四十三寸，那么壶腹的高虽然不减于五寸，它的宽虽然不减于八寸五厘，而它的外围就只是二尺四寸一分五厘，其中所容纳的就只是斗有五升，如同经文所说的，没有不吻合的了。”
我按：朱子壶说虚加实积的数值，与此黄钟空积的数值正好相同，而蔡季通所借用的圆田开方的方法，暗中完全符合。用他的方法来推算，那么黄钟的外围九分，容积八百一十分，就可以推求出来了。所以把他的说法记录在上面。
黄钟定法辨证章第二
汉代蔡邕铜龠铭文说：“龠，黄钟的宫音，长九寸，空围九分，容纳秬黍一千二百粒，称重十二铢。两个龠为一合，三分损益，辗转生出十一律。”
宋代胡安定律吕议说：查考历代律吕的制度，黄钟的管长九十黍，它的广积九寸，这是度量衡中长度由此起源的依据。容纳一千二百黍，积八百一十分，这是度量衡中容量由此起源的依据。重十二铢，这是度量衡中重量由此起源的依据。围中容纳九方分，而世俗儒生不能贯通理解权量之法，因此说围九分，是取空围长九分罢了。因为围九分的错误，于是有了直径三分的说法。如果按照直径三分围九分的法则，黄钟的管只容纳九百黍，积只六百七分半。这样那么黄钟的声音就无法端正，权量之法就无法产生，周代的嘉量，汉代的铜斛，都不符合它的数值了。西山蔡氏说：查考十二律的围径，从西汉以前传记并没有明文记载。只有《汉书·律历志》说黄钟八百一十分，由此义理生出十二律的周径。然而他的说法是用律的长度自乘然后乘以十，大概是配合来说罢了，不可以作为确证。只有《审度》篇说一黍的宽度，度量九十分，黄钟的长度一为一分。《嘉量》篇则用一千二百黍装满龠，《谨权衡》篇则用一千二百黍作为十二铢。那么累积九十黍作为长度，积一千二百黍作为宽度，是可以看到的。长度九十黍，容纳一千二百黍，那么空围应当有九方分，这就是围十分三厘八毫，直径三分四厘六毫。每一分容纳十三黍又三分黍之一，用九十乘以它就是一千二百【我按：三分黍之一，大概是一分容纳十三黍不尽，又把黍三折，去掉其一，累积到九十那么十三黍到九寸，得到一千一百七十，又把三分黍九十的合起来得到三十，所以是一千二百黍】。又汉代斛铭文说：律嘉量方尺，外面是圆的，旁侧空隙九厘五毫，面积一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容纳十斗。嘉量的法则，合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为石。一石积一千六百二十寸，作为分是一百六十二万。一斗积一百六十二寸，作为分是十六万二千。一升积十六寸二分，作为分是一万六千二百。一合积一寸六分二厘，作为分是一千六百二十。那么黄钟的龠为八百一十分就明白了。空围八百一十分，那么长度累积九十黍，宽度容纳一千二百黍了。大概十倍其宽度作为长度，十一倍其长度作为宽度，这是自然的数值。自从孟康以律的长度十分之一作为围的错误，其后韦昭之类的人于是都有直径三分的说法，而《隋书·律历志》开始著录作为定论。然而累积九十黍，直径三黍，只容纳黍八百多，终究与一千二百黍的法则两不相通，而律竟然不成。唐代因声制乐，虽然接近古法，而律也不是这样。本朝承袭，都不能察觉。只有胡安定认为九分是方分，以此破除直径三分的法则。然而他所确定的律不本于声气的元一，取之于秬黍，所以他的度量权衡都与古法不合。又不知道变律的方法，只看到仲吕反生，不及黄钟的数值，于是迁就林钟以下诸律的围径，以迎合黄钟的清声，以夷则、南吕为直径三分，围九分；无射为直径二分八厘，围八分四厘；应钟为直径二分六厘五毫，围七分九厘五毫。夫律以空围
之同，故其长短之异可以定声之髙下，而其所以为广狭长短者，又莫不有自然之数，非人之所能为也。今其律之空围不同如此，则亦不成律矣。遂使十二律之声皆不当位，反不如和岘旧乐之为条理，亦可惜也。房庶以径三分周围九分，累黍容受不能相通，遂废一黍为一分之法，而増益班志八字以就其説。范蜀公乃从而信之，过矣。
译由于它们的直径相同，所以长度的差异可以确定音高的上下，而决定其宽窄长短的原因，无不遵循自然的数理，不是人力所能改变的。如今律管的内径大小如此不同，那就不能构成正确的律了。这导致十二律的音高都不在应有的位置上，反而不如和岘旧乐的条理清晰，这也是令人惋惜的。房庶认为直径三分、周长九分，用累黍法测量容积无法相通，于是废弃了一黍为一分的法则，并增补《汉书·律历志》中的八个字来迎合自己的说法。范蜀公竟然跟着相信他，这就错了。
愚按：蔡邕胡安定论黄钟长九寸围九分之法，可谓明矣。而安定证辨径三分之误，深得其实。盖径一围三，乃取围之要法，而非所以定黄钟也。黄钟之广围十分二厘八毫，径三分四厘六毫，管长九寸，累九十黍以为长。中有九方分，一分容十三黍。又以十三黍所容，犹有三厘三毫有竒之空，故析黍为三，毎十三黍之中揷一，三十黍为九十瓣，实千二百黍也。若黄钟之管止径三分，则其容者减去六分之四，而管细矣。黄钟之声，乌得而和哉？
刘恕《通鉴外纪》载：黄帝命伶伦自大夏之西取竹于解谿之谷，断两节间，长三寸九分而吹之，以为黄钟之宫。长孙无忌曰：「黄帝命伶伦断竹，长三寸九分而吹之。」
以为黄钟之宫，曰含少。《吕氏春秋》亦载三寸九分之数。愚按，黄钟九寸之数，盖天地声气自然之妙，非人所得而增减者也。而刘恕、长孙无忌不能考其非，遂以《吕氏所载三寸九分之管，不详其故而信之。而今莆田李氏文利，又以瞽师之见，遂着为説，以为黄钟之尊，在于气清上行，不在数多。清者数少，浊者数多，故少者贵，多者贱。宫声极清，黄钟实在正宫，其数少，故为君声。极清且上行，故为三寸九分，而以九寸为防賔之律。呜呼，此岂律之本然哉？彼徒知至尊无与并之为贵，而不知黄钟同心一统之义也。盖天子者，兼总条贯，统理民物者也。使黄钟而可三寸九分也，则埋之既浅，而冬至初阳之气，不应其中，分厘毫丝之数，法何由而分？十一律之数何由而生？而度量权衡之制，又何由而定乎？则法由是废矣。先王制作之妙，夫岂若是踈哉？盖三寸者，三三九寸也。九分者，九方分也。若黄钟之长，诚止三寸九分也，则声必亢急而难吹，而余律之长陵及其主臣民事物颠倒错乱，将欲作乐以宣其和，而不免为乖戾之气，以奸之乐，何由而可谐耶？且黄钟冩其元声，而元气之起，虽为甚防，必全体具足，及其流行，则遍布四逹。《易》曰：「大哉乾元，万物资始，乃统天。」则元非数之短者也。不识其妙，而刚果自用，遂断以为三寸九分之数，其何能议千载之律，而复先王之旧哉？或者乃从而信之，特以为天授之独见，岂不误之益甚哉？
黄钟寸分数法之实章第三
按此乃蔡季通以《淮南子》《汉前志》《律书》生钟分定盖三厯十二辰而得寸分厘毫丝之数，法三分损益亦由于此，此黄钟一管之实也。
太极元气凾三为一，故子一为黄钟之律。
参之于丑，得三个一，故丑三为黄钟之丝法。
参之于寅，得三个三，故寅九为黄钟之寸数。
参之于夘，得三个九，故夘二十七，为黄钟之毫法；参之于辰，得三个二十七，故辰八十一，为黄钟之分数。
参之于已，得三个八十一，故已二百四十三，为黄钟之厘法。
参之于午，得三个二百四十七，故午七百二十九，为黄钟之厘数。
参之于未得三，个七百二十九，故未二千一百八十七，为黄之分法。
参之于申，得三个二千一百八十七，故申六千五百六十一，为黄钟之毫数。
参之于酉，得三个六千五百六十七，故酉一万九千六百八十三，为黄钟之寸法。
参之于戌，得三个，一万九千六百八十三，故戌五万九千。
参之于亥，得三个五万九千四十九，故亥一十七万七千一百四十七，为黄钟之实。
西山蔡氏曰：按黄钟九寸，以三分为损益，故以三厯十二辰，得一十七万七千一百四十七为黄钟之实。其十二辰所得之数，在子寅辰午申戌六阳辰，为黄钟寸分厘毫丝之数【子为黄钟之律，寅为九寸，辰为八十一分，午为七百二十九厘，申为六千五百六十一毫，戌为五万九千四十九丝】在亥酉未巳夘丑六隂辰，为黄钟寸分厘毫丝之法【亥为黄钟之实，酉之一万九千六百八十三为寸，未之二千一百八十七为分，已之二百四十三为厘，夘之二十七为毫，丑之三为丝】其寸分厘毫丝之法，皆用九数，故九丝为毫，九毫为厘，九厘为分，九分为寸，为黄钟。盖黄钟之实一十七万七千一百四十七之数
译我按：蔡邕、胡安定论述黄钟长九寸、围九分的法则，可以说很明白了。而胡安定考证辩驳直径三分的错误，深得其实情。因为直径一、周长三，是取周长的主要方法，而不是用来确定黄钟的标准。黄钟的周长十分二厘八毫，直径三分四厘六毫，管长九寸，累积九十颗黍米作为长度。其中包含九个平方分，一分容纳十三颗黍米。又因为十三颗黍米所容纳的空间，还有三厘三毫多的空隙，所以将黍米分为三份，每十三颗黍米中插入一颗，三十颗黍米成为九十瓣，实际是一千二百颗黍米。如果黄钟的管子直径只有三分，那么它的容量就减少了六分之四，管子就太细了。黄钟的声音，怎么能和谐呢？
刘恕《通鉴外纪》记载：黄帝命令伶伦自大夏以西，在解谿山谷取竹，截断两节之间，长三寸九分而吹奏它，作为黄钟的宫声。长孙无忌说：“黄帝命令伶伦截断竹子，长三寸九分而吹奏它。”作为黄钟的宫声，叫做含少。《吕氏春秋》也记载了三寸九分这个数值。我按，黄钟九寸这个数值，大概是天地声气自然的奥妙，不是人力所能增减的。而刘恕、长孙无忌不能考证其错误，于是相信《吕氏春秋》所载三寸九分的管子，不探究其缘故就轻信它。而现在莆田李氏文利，又根据乐师的见解，于是著书立说，认为黄钟的尊贵，在于气清上行，不在于数值多。清者数值少，浊者数值多，所以少的尊贵，多的卑贱。宫声极清，黄钟实在正宫，其数值少，所以是君声。极清且上行，所以是三寸九分，而以九寸作为防宾的律。唉，这难道是律的本然吗？他们只知道至尊无与并列为贵，却不知道黄钟同心一统的意义。因为天子是兼总条理、统理民物的。如果黄钟可以三寸九分，那么埋置既浅，冬至初阳之气，不应在其中，分厘毫丝的数值，法则从何而分？十一律的数值从何而产生？而度量权衡的制度，又从何而确定呢？那么法则因此废弛了。先王制作的奥妙，难道如此疏漏吗？大概三寸，是三三九寸。九分，是九方分。如果黄钟的长度，确实只有三寸九分，那么声音必定亢急而难吹，其余律的长度陵及其主，臣民事物颠倒错乱，想要作乐以宣扬其和谐，却难免成为乖戾之气，以奸邪之乐，怎能和谐呢？况且黄钟书写其元声，而元气的兴起，虽然非常细微，必定全体具足，及其流行，则遍布四方。《易》说：“大哉乾元，万物资始，乃统天。”那么元不是数值短的。不识其奥妙，而刚愎自用，于是断定是三寸九分的数值，怎么能议论千载的律，而恢复先王的旧制呢？或者有人从而相信它，特别认为是天授的独见，岂不是错误更加严重吗？
黄钟寸分数法之实章第三
按：这是蔡季通以《淮南子》《汉前志》《律书》生钟分定，盖三历十二辰而得寸分厘毫丝之数，法三分损益也由于此，此黄钟一管之实也。
太极元气涵三为一，所以子一为黄钟之律。
参之于丑，得三个一，所以丑三为黄钟之丝法。
参之于寅，得三个三，所以寅九为黄钟之寸数。
参之于卯，得三个九，所以卯二十七，为黄钟之毫法；参之于辰，得三个二十七，所以辰八十一，为黄钟之分数。
参之于巳，得三个八十一，所以巳二百四十三，为黄钟之厘法。
参之于午，得三个二百四十七，所以午七百二十九，为黄钟之厘数。
参之于未得三个七百二十九，所以未二千一百八十七，为黄之分法。
参之于申，得三个二千一百八十七，所以申六千五百六十一，为黄钟之毫数。
参之于酉，得三个六千五百六十七，所以酉一万九千六百八十三，为黄钟之寸法。
参之于戌，得三个一万九千六百八十三，所以戌五万九千。
参之于亥，得三个五万九千四十九，所以亥一十七万七千一百四十七，为黄钟之实。
西山蔡氏说：按黄钟九寸，以三分为损益，所以以三历十二辰，得一十七万七千一百四十七为黄钟之实。其十二辰所得之数，在子寅辰午申戌六阳辰，为黄钟寸分厘毫丝之数【子为黄钟之律，寅为九寸，辰为八十一分，午为七百二十九厘，申为六千五百六十一毫，戌为五万九千四十九丝】在亥酉未巳卯丑六阴辰，为黄钟寸分厘毫丝之法【亥为黄钟之实，酉之一万九千六百八十三为寸，未之二千一百八十七为分，巳之二百四十三为厘，卯之二十七为毫，丑之三为丝】其寸分厘毫丝之法，皆用九数，所以九丝为毫，九毫为厘，九厘为分，九分为寸，为黄钟。盖黄钟之实一十七万七千一百四十七之数
，以三约之为丝者五万九千四十九，以二十七约之为毫者六千五百六十一，以二百四十三约之为厘者七百二十九，以二千一百八十七约之为分者八十一，以一万九千六百八十三约之为寸者九。由是三分损益以生十一律焉。或曰：径围之分以十为法，而相生之分厘毫丝以九为法，何也？曰：以十为法者，天地之全数也；以九为法者，因三分损益而立也。全数者，即十而敢九；相生者，约十而为九。即十而取九者，体之所以立；约十而为九者，用之所以行。体者所以定中声，用者所以生十一律也。愚按：围径之分以十为法，而即十取九者，盖于一尺之内取其九十分以为黄钟，则寸固十分，分固十厘，厘固十毫，毫固十丝也。相生之分厘毫丝以九为法者，盖律管之长九寸，围十分二厘八毫，中容九方分，故以九为用。然上下相生以三为法，若以十为数，则其数中损益乃有余分不可尽筭。唯以九者约而取之，则其寸有九方分，分有九方厘，厘有九方毫，毫有九方丝，所谓约十而为九也。以之损益则三分之数整直易记不差矣。此围径之分与相生之分，虽为法不同，而其实则一也。黄钟之实十七万七千一百四十七者，以九加二十七，以二十七而加八十一，以八十一而加二千一百八十七，又加六千五百六十一，又加一万九千六百八十三，又加五万九千□□四十九，合而数之，则为十七万七千一百四十七之数，而黄钟之实在是矣。或问筭到十七万七千一百四十七之数，当何用？朱子曰：「以定管之长短，而出是声。」大抵考防其法是如此。
译用三去约，得到丝五万九千四十九；用二十七去约，得到毫六千五百六十一；用二百四十三去约，得到厘七百二十九；用二千一百八十七去约，得到分八十一；用一万九千六百八十三去约，得到寸九。由此通过三分损益法产生十一律。有人问：圆周直径的分数以十为法则，而相生律管的分、厘、毫、丝以九为法则，这是为什么呢？回答说：以十为法则，是因为十是天地完整的数目；以九为法则，是因为依据三分损益法确立的。完整的数目，就是从十中取出九；相生的数目，就是约简十成为九。从十中取九，是确立本体所依据的；约简十成为九，是推行功用所依据的。本体是用来确定中声的，功用是用来产生十一律的。我按：圆周直径的分数以十为法则，而从十中取九，大概是在一尺之内取九十分作为黄钟，那么寸本来就是十分，分本来就是十厘，厘本来就是十毫，毫本来就是十丝。相生律管的分、厘、毫、丝以九为法则，大概是因为律管长九寸，周长十分二厘八毫，内部容纳九方分，所以以九为用。然而上下相生以三为法则，如果用十作为基数，那么其中的增减数目就会有剩余的部分无法完全计算。只有用九来约简取用，那么寸就有九方分，分就有九方厘，厘就有九方毫，毫就有九方丝，这就是所说的约简十成为九。用这个来增减，三分的数目就整齐直截、容易记忆且没有差错了。这圆周直径的分数与相生律管的分数，虽然法则不同，但实质上是一样的。黄钟的容积十七万七千一百四十七，是用九加上二十七，用二十七加上八十一，用八十一加上二千一百八十七，又加上六千五百六十一，又加上一万九千六百八十三，又加上五万九千□□四十九，合并计算这些数目，就是十七万七千一百四十七，这样黄钟的容积就确定了。有人问：计算到十七万七千一百四十七这个数目，有什么用呢？朱子说：“用来确定律管的长短，从而发出这个声音。”大抵考察验证它的法度就是这样。
淮南子》曰：规始于一，一不生，故分而为隂阳。隂阳合和而万物生，故曰：一生二，二生三，三生万物。天地三月而为一时，故祭祀三饭以为礼，防纪三踊以为节，兵重三军以为制。三参物，三三如九，故曰：黄钟之九寸而宫音调。因而九之，九九八十一，故黄钟之数立焉。黄者，土徳之色；钟者，气所种也。日冬至，徳气为土，土色黄，故曰黄钟。律之数六分，为雌雄，故曰：十二钟以副十二月。十二各以三成，故置一而十一三之为积分，十七万七千一百四十七。黄钟大数立焉。《前汉志》曰：太极元气，函三为一，极中也，元始也。行于十二辰，始动于子，参之于丑，得三；又参之于寅，得九；又参之于夘得二十七；又参之于辰，得八十一；又参之于已得二百四十三；又参之于午，得七百二十九；又参之于未，得二千一百八十七；又参之于申，得六十五百六十一；又参之于酉，得万九千六百八十三；又参之于戌，得五万九千□□四十九；又参之于亥，得十七万七千一百四十七。此隂阳合徳气钟于子，化生万物者也。《律书》曰：置一而九三之以为法，实如法得长一寸，凡得九寸，命曰黄钟之律。
愚按：此寸以九分为法，而蔡氏皆定三书者也。
西山蔡氏曰：按《淮南子》谓置一而十一三之以为黄钟之大数，即此置一而九三之，既为寸法，则七三之为分法，五三之为厘法，三三之为毫法，一三之为丝法，从可知矣。《律书》独举寸法者，盖已于生钟分内黙具律寸分厘毫丝之法，而又于此律数之下指其大者以明凡例也。一三之而得三，三三之而得二十七，五三之而得二百四十三，七三之而得二千一百八十七，九三之而得一万九千六百八十三。故一万九千六百八十三以九分之，则为二千一百八十七；二千一百八十七以九分之，为二百四十三；二百四十三以九分之，则为二十七；二十七以九分之，则为三。三者丝法也。九其三得二十七，则毫法也；九其二十七得二百四十三，则厘法也；九其二百四十三得二千一百八十七，则分法也；九其二千一百八十七得一万九千六百八十三，则寸法也。一寸九分，一分九厘，一厘九毫，一毫九丝，以之生十一律，以之生五声，二变上下，秉除参同契合，无所不通，盖数之自然也。顾自《淮南》、太史公之后，即无识其意者。如京房之六十律，虽亦用此十七万七千一百四十七之数，然乃谓不盈寸者十之所得为分，又不盈分者十之所得为小分，以其余为强弱，不知黄钟九寸以三损益数不出九，苟不盈分者十之，则其竒零无时而能尽，虽泛以强弱该之，而卒无以见强弱之为几何，则其数之精防，固有不可得而纪者矣。至于杜佑、胡瑗、范蜀公等，则又不复知有此数，而以意强为之法，故《通典》则自南吕而下各自为法，固不可以见分厘毫丝之实；胡、范则止用八百一十分，乃是以积实生量之数为律之长，而其因乘之法亦用十数，故其余筭亦皆弃而不録，盖非有意于弃之，实其重分累析至于无数之可纪，故有所不得而录耳。夫自丝以下虽非目力之所能分，然既有其数，而或一筭之差，则法于此而遂变。不以约十为九之法分之，则有终不可得而齐者。故《淮南》、太史公之书，其论此也已详，特房庶等有不察耳【司马贞《史记索隠注：「黄钟八寸十分一，云律九九八十一，故云八寸十分一。《汉书》云长九寸者九分之寸也，此则古人论律以九分为寸之明验也】
黄钟生十一律寸分厘毫丝数章第四【此以隔八相生之法，以定诸律之次】
子一分【一为九寸】
太极元气，函三为一，子数一，故一为黄钟之律。其曰一为九寸，则一之数九寸也。具十一律分厘毫丝之数，法由是取之。《律书》曰：「置一而九三之，以为法实，如法得长一寸，凡得九寸，命曰黄钟之律。」孟康曰：「元气始起于子未分之时，天地人混合为一，故子数独一也。」
丑三分二【一为三寸】
子数一，以三因之，得三，为黄钟之丝法。下
译《淮南子》说：规矩始于“一”，但“一”本身不产生分化，所以分为阴和阳。阴阳调和融合，万物由此产生，所以说：“一生二，二生三，三生万物。”天地运行三个月构成一个季节，所以祭祀时吃三顿饭作为礼仪，丧礼中跳跃三次作为节制，军队编制以三军为制度。“三”参合万物，三乘以三等于九，所以说：黄钟长九寸，宫音就调和了。再乘以九，九九八十一，所以黄钟的数理基础就确立了。“黄”是土德的色泽；“钟”是气所蕴藏的地方。冬至这一天，德气归于土，土的颜色是黄色，所以称为黄钟。律的数理分为六分，分为雌雄（阴阳），所以说：十二支钟对应十二个月。十二支钟各自以三为倍数，所以设置一个基数，十一乘以三作为积分，得到十七万七千一百四十七。黄钟的大数就确立了。《前汉书·律历志》说：太极元气，包含三才合为一体，是至极的中正，是元始的本源。元气运行于十二时辰，开始在子时发动，在丑时参合，得到三；又在寅时参合，得到九；又在卯时参合，得到二十七；又在辰时参合，得到八十一；又在巳时参合，得到二百四十三；又在午时参合，得到七百二十九；又在未时参合，得到二千一百八十七；又在申时参合，得到六千五百六十一；又在酉时参合，得到一万九千六百八十三；又在戌时参合，得到五万九千□□四十九；又在亥时参合，得到十七万七千一百四十七。这是阴阳合德，气蕴藏于子时，化生万物的道理。《律书》说：设置一个基数，九次乘以三作为法则，实际符合法则的长度为一寸，总共得到九寸，命名为黄钟之律。
我按：这个“寸”是以九分为法则，而蔡氏都是确定这三种书（指《淮南子》、《史记》、《汉书》）的说法。
西山蔡氏说：根据《淮南子》所说，设置一个基数，十一乘以三作为黄钟的大数，也就是这里所说的设置一个基数，九次乘以三。既然作为寸的法则，那么七次乘以三就是分的法则，五次乘以三就是厘的法则，三次乘以三就是毫的法则，一次乘以三就是丝的法则，由此可以推知了。《律书》只列举寸的法则，大概是因为在生成钟律的分数内，已经默含了律的寸、分、厘、毫、丝的法度，又在这个律数之下指出其大的方面以阐明凡例。一次乘以三得到三，三次乘以三得到二十七，五次乘以三得到二百四十三，七次乘以三得到二千一百八十七，九次乘以三得到一万九千六百八十三。所以一万九千六百八十三除以九，就是二千一百八十七；二千一百八十七除以九，就是二百四十三；二百四十三除以九，就是二十七；二十七除以九，就是三。三是丝的法则。九乘以三得到二十七，就是毫的法则；九乘以二十七得到二百四十三，就是厘的法则；九乘以二百四十三得到二千一百八十七，就是分的法则；九乘以二千一百八十七得到一万九千六百八十三，就是寸的法则。一寸包含九分，一分包含九厘，一厘包含九毫，一毫包含九丝，用这个法则来生成十一支律，用这个法则来生成五声，两个变音上下，秉持、去除、参合、相同、契合，没有不通畅的，这大概是数理的自然规律。然而自从《淮南子》、太史公之后，就没有人理解其中的意思了。比如京房的六十律，虽然也使用这个十七万七千一百四十七的数，但却认为不足一寸的，用十进位得到分，不足分的，用十进位得到小分，用余数作为强弱，不知道黄钟九寸以三为损益，数理不出九的范围，如果不足分的用十进位，那么那些零头永远无法除尽，虽然泛泛地用强弱来概括，但最终无法看出强弱具体是多少，那么其数理的精密，本来就无法记载了。至于杜佑、胡瑗、范镇等人，则不再知道有这个数理，而凭主观臆造法则，所以《通典》从南吕以下各自为法，本来就无法看到分、厘、毫、丝的实际；胡瑗、范镇则只用八百一十分，这是用积实生量的数理作为律的长度，而其因乘的法度也用十进位，所以其余的运算也都舍弃不记录，大概不是有意舍弃，实在是因为重分累析到了无数可记的程度，所以有所无法记录罢了。虽然丝以下不是目力所能分辨的，但既然有其数理，如果有一算之差，法则在这里就会改变。不用约十为九的法则来划分，那么最终就无法整齐。所以《淮南子》、太史公的书，论述这个已经非常详细，只是房庶等人没有察觉罢了【司马贞《史记索隐》注：“黄钟八寸十分之一，说律九九八十一，所以说八寸十分之一。《汉书》说长九寸的是九分之寸，这是古人论律以九分为寸的明显证据】
黄钟生成十一支律的寸、分、厘、毫、丝数理章第四【这是用隔八相生的方法，来确定各律的次序】
子一分【一代表九寸】
太极元气，包含三才合为一体，子数的基数是一，所以一就是黄钟之律。说一代表九寸，那么一的数理就是九寸。具备十一支律的分、厘、毫、丝数理，法则由此取用。《律书》说：“设置一个基数，九次乘以三，作为法则的实际，符合法则的长度为一寸，总共得到九寸，命名为黄钟之律。”孟康说：“元气开始于子时未分之时，天地人混合为一体，所以子数唯独是一。”
丑三分二【一代表三寸】
子数的基数是一，用三乘以它，得到三，作为黄钟的丝法。下
生者，倍其实，得二，故二九一十八也。以三分之，则为六者，三一为三寸，二则为六寸也。而林钟之数具于此矣。
译生律的数值，加倍于其实际长度，得到二，所以二九相乘得一十八。将其分为三份，得到六，这是因为三份中的一份为三寸，两份则为六寸。这样，林钟的数值就包含在这里了。
寅九分八【一为一寸】
丑上数三，以三因之，得九，为黄钟之寸数。上生者四，其实故四其二，得八，八九七十二也。以三分之，则为二十四，得三者八一，为一寸，则八寸也。太簇之数，具于此矣。
夘二十七分十六【三为一寸，一为三分】
寅上数九，以三因之，得二十七，为黄钟之毫法。下生者，倍其实，故二其下数八，而得十六。十六而以三分之，则为五者三，而余一。三为一寸，则三五十五，而得五寸一为三分，共五寸三分也。而南吕之数具于此矣。
辰八十一分六十四【九为一寸，一为一分】
夘上数二十七，以三因之，得八十一，为黄钟之分数。上生者四，其实故四其下数十六，而得六十四。以九分之，则为九者七，九为一寸，故七寸余一筭，一为一分，共七寸一分，而姑洗之数具于此矣。
已二百四十三分一百二十八【二十七为一寸，三为一分，一为三厘】辰上数八十一，以三因之，得二百四十三，为黄钟之厘法。下生者倍其实，故其下二数六十四，而得一百二十八。以二十七分之，则为二十七者四，以二十七为一寸，则得寸者四，而成一百单八，余二十。以三分之，则为三者六，故三为一分，而成六分。又余二分，以一分之，则为一者二，故一为三厘，而成六厘矣。共四寸六分六厘，而应钟之数具于此矣。
午七百二十九分五百一十二【八十一为一寸九为一分一为一厘】已上数二百四十三，以三因之，得七百二十九，为黄钟之厘数。上生者四，其实故其下四数一百二十八，而得五百一十二。以五百一十二而以八十一分之，则为八十一者六。以八十一为一寸，则得寸者六，而成四百八十六，余二十六。以九分之，则为九者二，故九为一分，而成二分，又余八。以一算之，则为八者一，而成八厘矣。共六寸二分八厘，而防賔之数具于此矣。
未二千一百八十七分一千二十四【二百四十三为一寸，二十七为一分，三为一厘，一为三毫】
午上数七百二十九，以三因之，得二千一百八十七，为黄钟之分。法下生者，倍其实，故二其午下数五百一十二，而得一千二十四。大吕未律在丑，以隂居阳，又倍其实，得二千四十八。以二百四十三分之，则为二百四十三者八，故以二百四十三为一寸，则得寸者八，而成一千九百四十四，余一百四。以二十七分之，则为二十七者三，故二十七为一分，则得分者三，而成八十一，又余二十三。以三分之，则为三者七，而成二十一，故三为一厘，则得厘者七，又余二。以一算之，则一为一毫，而得二毫矣。共八寸三分七厘二毫，而大吕之数具于此矣【新书作六毫，恐误】
申六千五百六十一分四千九十六【七百二十九为一寸，八十一为一分，九为一厘，一为一毫】
未上数二千一百八十七，以三因之，得六千五百六十一，为黄钟之毫数。上生者四，其实故四其未，下数一千二十四，而得四千九十六。以七百二十九分之，则为七百二十九者五，故以七百二十九为一寸，则得寸者五，而成三千六百四十五，余四百五十一。以八十一分之，则为八十一者五，故以八十一为一分，则得分者五，而成四百单五，余四十六。以九分之，则为九者五，九为一厘，则得厘者五，而成四十五，余一则为毫者一，而无余矣。共五寸五分五厘一毫，而夷则之数具于此矣。
酉、一万九千六百八十三分、八千一百九十二【二千一百八十七为一寸，二百四十三为一分，二十七为一厘，三为一毫，一为三丝】
申上数六千五百六十一，以三因之，得一万九千六百八十三，为黄钟之寸法。下生者，倍其实，故二其申下数四千九十六，得八千一百九十二。夹钟酉律在夘，以隂居阳，倍其实为一万六千三百八十四，以二千一百八十七分之，则为二千一百八十七者七，故以二千一百八十七为一寸，则得寸者七，而成一万五千二百六十余一千一百六十四。以二百四十三分之，则为二百四十三者四，故以二百四十三为一分，则得分者四
译寅位九分八【一为一寸】
丑位上的数是三，用三去乘它，得到九，这是黄钟的寸数。上生者取其四，所以将其实数加倍，得到八，八九七十二。用三去分它，得到二十四，得三者八一，为一寸，就是八寸。太簇的数值，就在这里面了。
夘位二十七分十六【三为一寸，一为三分】
寅位上的数是九，用三去乘它，得到二十七，这是黄钟的毫法。下生者，加倍其实数，所以将下数八加倍，得到十六。十六用三去分它，得到五余一。三为一寸，那么三五十五，得到五寸，余一为三分，共五寸三分。南吕的数值，就在这里面了。
辰位八十一分六十四【九为一寸，一为一分】
夘位上的数是二十七，用三去乘它，得到八十一，这是黄钟的分数。上生者取其四，所以将下数十六加倍，得到六十四。用九去分它，得到七余一，九为一寸，所以七寸余一算，一为一分，共七寸一分，姑洗的数值，就在这里面了。
巳位二百四十三分一百二十八【二十七为一寸，三为一分，一为三厘】
辰位上的数是八十一，用三去乘它，得到二百四十三，这是黄钟的厘法。下生者加倍其实数，所以将下数六十四加倍，得到一百二十八。用二十七去分它，得到四，以二十七为一寸，那么得到四寸，成为一百零八，余二十。用三去分它，得到六，所以三为一分，成为六分。又余二，用一分去分它，得到二，所以一为三厘，成为六厘。共四寸六分六厘，应钟的数值，就在这里面了。
午位七百二十九分五百一十二【八十一为一寸，九为一分，一为一厘】
巳位上的数是二百四十三，用三去乘它，得到七百二十九，这是黄钟的厘数。上生者取其四，所以将下数一百二十八加倍，得到五百一十二。用五百一十二除以八十一，得到六。以八十一为一寸，那么得到六寸，成为四百八十六，余二十六。用九去分它，得到二，所以九为一分，成为二分，又余八。用一算去分它，得到一，成为八厘。共六寸二分八厘，蕤宾的数值，就在这里面了。
未位二千一百八十七分一千二十四【二百四十三为一寸，二十七为一分，三为一厘，一为三毫】
午位上的数是七百二十九，用三去乘它，得到二千一百八十七，这是黄钟的分法。下生者，加倍其实数，所以将午位下数五百一十二加倍，得到一千二十四。大吕未律在丑位，以阴居阳，又加倍其实数，得到二千四十八。用二百四十三去分它，得到八，所以以二百四十三为一寸，那么得到八寸，成为一千九百四十四，余一百四。用二十七去分它，得到三，所以二十七为一分，那么得到三分，成为八十一，又余二十三。用三去分它，得到七，成为二十一，所以三为一厘，那么得到七厘，又余二。用一算去分它，那么一为一毫，得到二毫。共八寸三分七厘二毫，大吕的数值，就在这里面了【新书作六毫，恐怕有误】
申位六千五百六十一分四千九十六【七百二十九为一寸，八十一为一分，九为一厘，一为一毫】
未位上的数是二千一百八十七，用三去乘它，得到六千五百六十一，这是黄钟的毫数。上生者取其四，所以将未位下数一千二十四加倍，得到四千九十六。用七百二十九去分它，得到五，所以以七百二十九为一寸，那么得到五寸，成为三千六百四十五，余四百五十一。用八十一去分它，得到五，所以以八十一为一分，那么得到五分，成为四百零五，余四十六。用九去分它，得到五，九为一厘，那么得到五厘，成为四十五，余一则为毫者一，没有余数了。共五寸五分五厘一毫，夷则的数值，就在这里面了。
酉位一万九千六百八十三分八千一百九十二【二千一百八十七为一寸，二百四十三为一分，二十七为一厘，三为一毫，一为三丝】
申位上的数是六千五百六十一，用三去乘它，得到一万九千六百八十三，这是黄钟的寸法。下生者，加倍其实数，所以将申位下数四千九十六加倍，得到八千一百九十二。夹钟酉律在夘位，以阴居阳，加倍其实数为一万六千三百八十四，用二千一百八十七去分它，得到七，所以以二千一百八十七为一寸，那么得到七寸，成为一万五千二百六十，余一千一百六十四。用二百四十三去分它，得到四，所以以二百四十三为一分，那么得到四分
，而成九百七十二矣。余七十一，以三分之，则为九者七，故以为一毫，则得毫者七，而成六十三矣。余九，以三分之，则为三者三，故以一为三丝，则得丝者三，而成九矣。共七寸四分三厘七毫三丝，而夹钟之数具于此矣。
译从而得到九百七十二。剩余七十一，将其除以三，商为九的有七个，因此将一毫作为单位，得到七个毫，从而得到六十三。剩余九，将其除以三，商为三的有三个，因此将一作为三丝，得到三个丝，从而得到九。总共是七寸四分三厘七毫三丝，夹钟的数值就全在这里了。
戌五万九千四十九分三万二千七百六十八【六千五百六十一为一寸，七百二十九为一分，八十一为一厘，九为一毫，一为一丝】
酉上数一万九千七百八十三，以三因之，得五万九千四十九，为黄钟之丝数。上生者四，其实故四其酉。下数八千一百九十二，得三万二千七百六十八，以六千五百六十一分之，则为六千五百六十一者四，故以六千五百六十一为一寸，则得寸者四，而成二万六千二百四十四，余六千五百二十四。以七百二十九分之，则得七百二十九者八，故以七百二十九为一分，则得分者八，而成五千八百三十二矣，余六百九十二。以八十一分之，则得八十一者八，而成六百四十八，余四十四。以九分之，则得九者四，故以九为一毫，则得毫者四而三十六矣，余八以八筭之，无以一为一丝，则八丝也。共四寸八分八厘四毫八丝，而无射之数具于此矣。
亥十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六【一万九千六百八十三为一寸，二千一百八十七为一分，二百四十三为一厘，二十七为一毫，三为一丝，一为三忽】
戌上数五万九千四十九，以三因之，得十七万七千一百四十七，为黄钟之实。下生者，倍其实，故二其戌下数三万二千七百六十八，得六万五千五百三十，仲吕。亥律在已，以隂居阳，倍其实，得十三万一千零七十二。以一万九千六百八十三分之，则为一万九千六百八十三者六，故以一万九千六百八十三为一寸，则得寸者六，而成十一万八千零九十六，余一万二千九百七十四。以二千一百八十七分之，则为二千一百八十七者五，故以二千一百八十七为一分，则得分者五，而成一万九百三十五，余二千三十九。以二百四十三分之，则为二百四十三者八，故以二百四十三为一厘，则得厘者八，而成一千九百四十四矣，余九十六。以二十七分之，则为二十七者三，故以二十七为一毫，则得毫者三，而成八十一矣，余十五。以三分之，则为三者四，故以三为一丝，则得丝者四，而成十二矣，余二。以一分之，则得二，故以一为三忽，则得忽者六，而成二矣。共六寸五分八厘三毫四丝六忽，而仲吕之数具于此矣。
西山蔡氏曰：按此即三分损益，上下相生之数。其分字以上者，皆黄钟之全数；其分字以下者，皆诸律所取于黄钟长短之数也。其上下相生之序，则晋志所谓：「在六律为阳，则当位自得而下生于隂；六吕为隂，则得其所冲而上生于阳者是也。」大吕、夹钟、仲吕止得半声，必用倍数，乃与天地之气相应。其寸分厘毫丝，皆积九以为法。又曰：黄钟生十一律，子、寅、辰、午、申、戌六阳辰，皆下生；丑、夘、巳、未、酉、亥六隂辰，皆上生。其上以三厯十二辰者，皆黄钟之全数；其下隂数以倍者【即筭法倍其实】三分本律而损其一也。阳数以四者【即筭法四其实】三分本律而增其一也。六阳辰当位自得，六隂辰则居其冲。其林钟、南吕、应钟三吕在隂，无所増损；其大吕、夹钟、仲吕三吕在阳，则用倍数，方与十二月之气相应。盖隂之从阳，自然之理也。朱子曰：自黄钟至仲吕皆属阳，自防賔至应钟皆属隂，此是一个大隂阳。黄钟为阳，大吕为隂，太簇为阳，夹钟为隂，一隂间一阳，此是一个小隂阳。
愚按：六阳辰当位自得，如子律居子，寅律居寅，辰律居辰，午律居午，申戌律居申戌，是也。六隂辰则居其冲，如丑律居未，夘律居酉，巳律居亥，是也。蔡氏谓大吕、夹钟、仲吕居阳者三，吕本在未、酉、亥之地，而在十二月、二月、四月之辰，故曰在阳。余三吕本在隂月，用倍数，惟大吕居阳月，故必变以从阳，而倍其数也，与三吕不同。
钟律通考卷一
钦定四库全书
钟律通考卷二
明 倪复 撰
黄钟本原定法章
六变律，寸分厘毫丝相生章第五。
蔡氏曰：「按十二律自为宫，以生五声二变。其黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟六律，则取黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟六律
译戌：五万九千四十九，分：三万二千七百六十八【六千五百六十一为一寸，七百二十九为一分，八十一为一厘，九为一毫，一为一丝】
酉的上数为19783，乘以3，得到5949，作为黄钟的丝数。上生者有四，所以将酉的数乘以4。下数为8192，得到32768，用6561去除，则6561有4个，所以以6561为一寸，则得到4寸，共26244，余6524。用729去除，则729有8个，所以以729为一分，则得到8分，共5832，余692。用81去除，则81有8个，共648，余44。用9去除，则9有4个，所以以9为一毫，则得到4毫，共36，余8。用8计算，无法整除，以1为一丝，则是8丝。总共四寸八分八厘四毫八丝，无射的数值就在这里了。
亥：十七万七千一百四十七，分：六万五千五百三十六【一万九千六百八十三为一寸，二千一百八十七为一分，二百四十三为一厘，二十七为一毫，三为一丝，一为三忽】
戌的上数为5949，乘以3，得到177147，作为黄钟的实数。下生者，加倍其实数，所以将戌的下数32768乘以2，得到65536，为仲吕。亥律在巳位，以阴居阳，加倍其实数，得到131072。用19683去除，则19683有6个，所以以19683为一寸，则得到6寸，共118096，余12974。用2187去除，则2187有5个，所以以2187为一分，则得到5分，共10935，余239。用243去除，则243有8个，所以以243为一厘，则得到8厘，共1944，余96。用27去除，则27有3个，所以以27为一毫，则得到3毫，共81，余15。用3去除，则3有4个，所以以3为一丝，则得到4丝，共12，余2。用1去除，则得到2，所以以1为三忽，则得到6忽，共2。总共六寸五分八厘三毫四丝六忽，仲吕的数值就在这里了。
西山蔡氏说：按照这就是三分损益，上下相生的数值。其中“分”字以上的，都是黄钟的全数；“分”字以下的，都是各律从黄钟长短中取用的数值。其上下相生的顺序，就是《晋志》所说的：“在六律为阳，则当位自得而下生于阴；六吕为阴，则得其所冲而上生于阳。”大吕、夹钟、仲吕只得到半声，必须使用倍数，才能与天地之气相应。其寸、分、厘、毫、丝，都是积累九作为法度。又说：黄钟生出十一律，子、寅、辰、午、申、戌六个阳辰，都向下生；丑、卯、巳、未、酉、亥六个阴辰，都向上生。其上以三历十二辰的，都是黄钟的全数；其下阴数以倍数的【即算法加倍其实数】，是将本律三分而损去其一。阳数以四的【即算法四倍其实数】，是将本律三分而增加其一。六个阳辰当位自得，六个阴辰则居其冲位。其中林钟、南吕、应钟三吕在阴，无所增减；大吕、夹钟、仲吕三吕在阳，则使用倍数，才与十二月之气相应。大概阴顺从阳，是自然的道理。朱熹说：从黄钟到仲吕都属于阳，从蕤宾到应钟都属于阴，这是一个大阴阳。黄钟为阳，大吕为阴，太簇为阳，夹钟为阴，一阴间一阳，这是一个小阴阳。
我按：六个阳辰当位自得，比如子律居子位，寅律居寅位，辰律居辰位，午律居午位，申戌律居申戌位，就是这样。六个阴辰则居其冲位，比如丑律居未位，卯律居酉位，巳律居亥位，就是这样。蔡氏说大吕、夹钟、仲吕居阳位的有三个，吕本在未、酉、亥之地，而在十二月、二月、四月的辰位，所以说在阳。其余三吕本在阴月，使用倍数，只有大吕居阳月，所以必须变化以顺从阳，而加倍其数，与三吕不同。
钟律通考卷一
钦定四库全书
钟律通考卷二
明 倪复 撰
黄钟本原定法章
六变律，寸分厘毫丝相生章第五。
蔡氏说：“按照十二律各自为宫，以生出五声二变。其中黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟六律，则取黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟六律