（卷首）

钦定四库全书　　　　　子部六同文算指》天文算法类二【算书之属】提要【臣】等谨案《同文算指》前编二卷，通编八卷，明李之藻演西人利玛窦所译之书也。前编上下二卷，言笔算定位、加减、乗除之式，及约分、通分之法。通编八卷，以西术论九章：卷一曰「三率凖测」，即古异乗同除；曰「变测」，即古同乗异除；曰「重测」，即古同乗同除。卷二、卷三曰「合类差分」，曰「和较三率」；曰「洪衰互徴」，即古差分，又谓之衰分。卷四曰「叠借互徴」，即古盈朒。卷五曰「杂和较乗」，即古方程。巻六曰「测量三率」，即古勾股；曰「开平方」；曰「竒零开平方」，即古少广。巻七曰「积较和开平方」。卷八曰「▯纵诸变开平方」；曰「开立方」；曰「广诸乗方」；曰「竒零诸乗方」，皆即古少广。按九章乃《周礼》之遗法，其用各殊，为后世言数者所不能易。西法惟开方【即古少广】勾股各有専术，余皆以三率御之。若方田、粟布、差分、商功、均输五章，本可以三率御之。至于盈朒以御隠杂，互见方程以御错糅正负，则三率不可御矣。葢中法、西法固各有所长，莫能相掩。也是书欲以西法易九章，故较量长短，俱有増补。其论三率比例，视中土所▯方田、粟布、差分诸术，实为详悉。至盈朒、方程二术，则皆仍旧法，少广畧而未备，且法与数多出入之处。梅文鼎《方程余论》曰：「防何原本言勾股三角备矣，《同文算指》于盈朒、方程取古人之法以▯之，非利氏之所▯也。」又曰：「诸书之谬误皆沿之而不能察，其必非知之而不用，能言之而不悉，亦可见矣。」诚确论也。然中土算书自元以来散失尤甚，未有能起而搜辑之者。利氏独不惮其烦，积日累月，取诸法而合订是编，亦可以为算家考古之资矣。乾隆四十六年十月恭校上。总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总　校　官　【臣】　陆　费　墀同文算指前编序古者教士三物，而艺居一；六艺而数居一。数于艺犹土于五行，无处不寓。耳目所接，已然之迹，非数算纪；闻见所不及，六合而外，千万世而前而后必然之验，非数莫推。巳然必然，总归自然，乘除损益，神智莫増，矞诡莫掩，颛▯莫可诳也。惟是巧心濬发，则悟出人先；功力研熟，则习亦生巧。其道使人心心归实，虚防之气潜消，亦使人跃跃含灵，通变之才渐啓。小则米盐凌杂，大至画野经天。神禹赖矩测平，成公旦从周髀窥验，谁谓九九小数致逺恐泥？尝试为之，当亦贤于博奕矣。乃自古学既邈，实用莫窥，安定苏湖犹存告饩。其在于今，士占一经，耻握从衡之算；才高七步，不嫺律度之宗。无论河渠厯象显忒其方，寻思吏治民生隂受其▯，吁可慨已。徃游金台，遇西儒利玛窦先生，精言天道，旁及算指。其术不假操觚，第资毛颖，喜其便于日用，退食译之，久而成帙。加减乘除总亦不殊中土，至于竒零分合，特自▯畅，多昔贤未发之防。盈缩句股，开方测圜，旧法最囏，新译弥捷。夫西方逺人，安所窥龙马▯畴之秘，▯首商高之业，而十九符其用。书数共其宗，精之入委防，高之出意表，良亦心同理同，天地自然之数同欤？昔婆罗门有九执厯，写字为算，开元摈为繁琐，遂致失传，视此异同，今亦无从参考。若乃圣明在宥，遐方文献何嫌并蓄兼收，以昭九译同文之盛？矧其禆实学前，民用如斯者，用以鼓吹休明，光阐地应，比夫献琛辑瑞，傥亦前此希有者乎？仆性无他嗜，自揆寡昧，游心此道，庶补防学洒扫应对之阙尔。复感存忘之永隔，幸心期之尚存，荟辑所闻，厘为三种：前编举要，则思已过半；通编稍演其例，以通俚俗，间取九章补缀，而卒不出原书之范围；别编则测圜诸术，存之以俟同志。今庙堂议兴厯学，通算与明经并进，传之其人，傥不与九执同湮至于縁数，寻理载在几何。本本元元，具存实义。诸书如第，谓艺数云尔？则非利公九万里来苦心也。万厯癸丑日，在天驷仁和李之藻振之书于龙▯精舍。

钦定四库全书同文算指前编巻上明　李之藻　撰定位第一古法用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握度长短者不失毫厘量多少者不失圭撮权轻重者不失黍累纪于一协于十长于百大于千衍于万算之原也后世乃为珠算而其法较便然率以定位为难差毫厘失千里矣兹以书代珠始于一究于九随其所得而书识之满一十则不书十而书一于左进位乃作○于本位【○一】曰一十由十进百由百进千由千进万皆仿此假如四万三千二百一十，作何排列？自左方写起，平行大数列左，小数列右。若从小数起，积者每满十则进位一，十者书一，二十者书二，余仿此。若大数积多，则于左方渐进加字，如后图万亿兆京是也。若小数积余，则于右方渐退加字，如两下有钱，钱下有分，分下有厘，又有毫、有丝、有忽之类是也。

大衍式几度十丈曰引，五丈曰端，四丈曰疋，十尺曰丈，十寸曰尺，十分曰寸。而计田则横一丈，纵六十丈为亩【即濶一步，长二百四十步】四分其亩为一角，角得方丈者十五；十分其亩为一分，分得方丈者六，得方尺者六百分。以下厘毫析之，而以百亩为顷，五项四十亩为丘。凡量六粟为圭，十圭为撮，十撮为抄，十抄为勺，满十而进之为合，为升，为斗，为石，亦曰斛。凡衡以两为君，两有十钱，钱有十分，自分以下十而析之，曰厘，曰毫，曰丝，曰忽，曰微，曰纎，曰沙，曰尘，曰埃，曰▯，曰漠，至细之倪，惟所立名。而十六两为斤，二百斤为引。今公私通用之，则也。古法之衡则十黍为累，十累为铢，八铢为锱，六铢为分，二十四铢为两，两即四分也。两又四之，自乘一十六，以象四时，是命曰斤。计铢三百八十有四，当朞之月。又以十五斤为称，二称为钧，四钧为石。度则古尺长短不一，丈尺而外，别以七尺为施，八尺为仞，亦为寻，倍寻为常。量则六十四黍为圭，又有四升之豆，四豆之区，四区之釡，十釡之钟，十六斗之庾，十六斛之秉。今皆不用。凡钱千文为缗，五缗为绽。凡钞五贯为锭，锭当钱千里。法三百六十步，步法今用五尺。厯法每度百分，每分百秒。西厯则积六十秒为分，积六十分为度，秒以下俱以六十析之。右式三位而成百，五位而成万，九位而成亿，十七位而成兆，二十五位而成京。自京至垓，自垓至秭，以极于正、于载，皆以万万递加，是谓中数。昔者黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载；三等者，谓上、中、下也。其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京也。上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也。从亿至载，终于大衍。下数浅短，计事不尽；上数宏廓，世不可用。故其▯业，惟以中数举一，中数而天地、鬼神、人物之纪，思议之所不及者，皆尽之矣。况更有上数在乎？由旬、刹那，吾无取焉尔。

加法第二凡数，惟加法最易。加之不已，至于无算，故算首论加。加也，并也，积也，一也。少曰并，多曰积，皆加也。列散数于上，各横置以类相比【如十从十，百从百，及两从两，斗从斗之类】先从小数并之，而以所得数纪本位。下遇十则进一位，遇百则进二位。第一图系进一位式。【倂四七九，得二十下纪○二进位，并五八八，又并前二，得二十三下纪三二进位，并六九七八，又倂前二，得三十二下纪二三进位，并八六，又并前三，得一十七下纪七一进位，并一五，又并前一，得七下纪七】

【只七下纪七】右式散数四项，列格上，并总得数七十七万七千二百三十，列格下。

第二图　系进二位式【初，并一百零二，下纪二，以一百进二位。】

次并五下纪五再，并一十六，前一得一十七，下纪七一进位。终并连前，共得二十三下，纪三二进位】

右式散数一十二项，并总得数二万三千七百五十二。以上二图，尽加法矣。另有试法，具后。一法，先自上数下，得若干；复自下数上，得若干。然后纪总，一法以减法试加，随意减一行，得若干；再加所减，仍得若干。又有将散数总数错综覈之者，有九减七减二法，先减散数，余若干，次减总数，余若干，以其所余两数对列相较，同则无差异，则有差。

第一图用九减此法不论进位只以见数为准累用九减去○不用先以散数九减之余置于左次以总数九减之余置于右俱得八故知不差又用七减此法与九减者稍异，乃以实数七七减之。从左起连○算者，如首行首七竞减净，次【○一】减七余三，次即作【六三】减七余一，次作【五一】减七余一，次作【四一】七减无余，乃于首行之左格外纪○。又以次行之首【九八】七减余五，次即作【○五】七减余一，次作【七一】七减余三，乃于次行之左格外纪三。其第三行依法减之余得五，第四行依法减之亦余得五，各以纪于其左。次将总数七减如前法，余得六。乃合四项散数所七减而余者，据见数更七减之，三五五余得六，纪于□左，以总数所余之六纪于右，六六相合，固知不差。

第二图用九减【先减散去九不用六个八共四十八余三加次行五得八又加次行得二十四又加末行得四十六九减余一纪左次阅总数共一十九九减亦余一纪右】

又用七减照前七减法先将散数逐减纪左累而减之余一次将总数亦以七减余一相合无差右九减七减法，繁碎难用，然出巧思，具至理，录之备翫。

减法第三减与加反，用稽所余。其法先较数之多寡，多中减寡，亦自右方小数减起，以渐进位。其辨多寡之法，于左方首位辨之，首位相等，乃视次位，次复相等，逐位退求，则多寡分焉。

【此数首位视之相等然退至三位上系一千下系九百九十九】

既审多寡，乃以原数列上，减数列下，依法右起，所余逐纪于下。如就多中减少者，不须别立借法，如后第一图。若少内减多，须立借法以通其变，如后第二图云。

此上下相减俱系以少减多不须更立借法第二图【亦系以少减多但中有上数小下数反大者须立借法】

右借法乃借大数兼小数以便总减者，又法直于借数一十用减，却加入本数，尤为便捷。假如二不能减九，当借作一十二，内减九得三。今却不作一十二，只就所借一十之内先减九，余一，次乃加二，仍得三也。先减后加，比前较易。以上二图减法尽矣，其间有差与否，何以覈之？一法用加法验之，以减数合减余数，得原数【如三加六合原九之类】又法以减余数减其原数，应与所减数合【如原数七减二余五，今却减五合余二为不差】亦有用九减七减二法者，俱以第一行原数为一项，第二行减数，第三行余数，共为一项，而较零之同否，同即不差。

九减　　　　　　　　七减【减数首作六十七，余四；次作四十八，余六又作六十二，余六又作六十三，无。零其余数首作三十九，余四次作四。十三余，一次作一；十二余五，次作五。十三余四次作，四十一余六次作六。十一余五纪右五五相合无差】

乘法第四既知加减，当论因乘。单位曰因，位多曰乘。通谓之乘。凡乘之数，妙于九九。作九九图。

九九相乘图首横一行自上读下右直一行自右读左其相值处即是乘得数指掌可尽也附九九相乘歌一一如一，一二如二，二二如四，一三如三，二三如六，三三如九，一四如四，二四如八，三四一十二，四四一十六，一五如五，二五得一十三五一十五，四五得二十，五五二十五，一六如六，二六一十二，三六一十八，四六二十四，五六得三十六六三十六，一七如七，二七一十四，三七二十一，四七二十八，五七三十五，六七四十二，七七四十九，一八如八，二八一十六，三八二十四，四八三十二，五八得四十，六八四十八，七八五十六，八八六十四，一九如九，二九一十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五，六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一又法，就小乘得大乘，不用九而用十。假如二数并列，因其数大难乘，未知乘得若干，且连注二数而取十数与较看，所不足若干，因连注不足数于本数右，平衡相对，其所不足数必其小于原数者也。小者易乘，乃以不足数上下相乘，注乘得数于下为单数，又以不足数与原数上下互减，注减余数于其下为进位数，即得所求大乘数。

右法专为未熟大乘者设也。若小数相乘，不必用此。盖以小数减十，则不足之数反多，而乘出亦多。但多出十数外者，以十外之数寄于进位，就于互除还之，其数未尝不合。

【左七俱得三合，三三如九，所寄进位，一共得四，是为六七四十二】既知乘数，乃列乘位。凡乘亦从右小数乘起，次第进位，徧乘。有以一位乘一位者，有以一位乘二位【十数】三位【百数】及数十位者，有以二位乘一位，或二位、三位，以至数十、百位者，其变无穷，其法一定。若以几位乘几位者，无拘上下，随意互乘。上图位数相近，随意互乘。如第一图者，先以八乘上四次、九次、三次、○○六四，俱徧。各以其乘得数置本位，下次乃以七乘四、乘九、乘三、乘○，而以乘四所得置于七本位下，以乘九所得置于七进一位下，以乘三所得置于七进二位下。其余徧乘仿此。毕乘诸位，仍以加法通并，详具于后。

二位乘【此以三十八乘三百九十四者是为二位乘】先以八徧乘上三位，如前法；次亦以三徧乘上三位，但以尾位所得置于三本位下，而其进位及进乘所得皆以次递进一位，不可紊乱。如三乘四者得【二一】纪二于三下，一进位；如三乘九者得【七二】加前一共【八二】纪八于三之次位，二又进位；如三乘三者得九，加前二得【一一】纪一于又次位，一又进位。两位所乘鱼鳞相比毕，则总并其数。以上二图乘法之大略也，覈其差否，须以除法还原，列乘出总数为实。如以第一行为法除之，必得第二行数【如前一万四千九百七十二为实，以三百九十四为法除之，必得三十八】如以第二行为法除之，必得第一行数【如前实以三十八为法除之，各得三百九十四数】合即不差。又有九除、七除法，列原数所余于左，列乘数所余于右，左右相乘，列乘出数于上，乃以乘积总数依法除之余数列下，上下相比同即不差。中间逐位乘出散数俱不用。【首行余七列左，次行余二列右】

二七乘得一十四以九除余五列上其积出总数亦余五列下依法实除原数首三十九余四次作四十四余二纪左乘数三十八余三纪右二三乘得六纪上次除总数一十四除尽次九十七余六次六十二余六纪下】

六位乗挨身下次以九乘上诸位尾位亦挨本身下余以渐进位排列　次以三乘上诸位挨身进位如前　次以○徧乘上位无乘各挨身照位作○纪之或空其本位亦可　次以六徧乘上位尾位所得就挨六之本身其余以渐而进云七位乘此即前数上下易位为乘故散数不同而总数同○无所乘姑空本位试上图用九除用七除【依法按实，七除首行，余四列左，次行】余四，列右四四，一十六，仍除余二，列。

上总数余二列下】亦有原数乘数并除而一，有零一无零，照无乘例，只作○。

用九除首行原数无余列左次行乗数余五列右以五遇○无乗只作○列上次除总数无余亦只作○列下比同亦有左右上下俱无零数者用九除原数乗数俱无余左右上俱○其总数又无余亦作○比同凡乗法或上行原数首尾俱系实数而次行乘数之尾却系几○或次行乘数首尾俱实数而首行原数之尾却几○者不必多作诸○第从简便将各实数如法相乘讫却照其尾余几○逐加于后即见全数盖凡以○乘数者只是作○缘其无可乘出但存其位而已此原数首尾皆实而乘数尾却多○者○无可乘且置不用只以四乘六挨身下数乘徧而止乃将三○系之于尾但不可遗其○位所差不小若原数及乘数之尾俱各有○若干，即须一一相乘以存其位，嗣以实数所乘出者，挨次进位，不得仅如前图照位加○而已。

乘得一十六也右图上下尾位皆○，须留其位，故数尾四四未敢竟下，挨身必○○徧乘【共得七○为尾】上有○○○，亦进三位，乃下四四一十六。若但就身下数乘毕，补○如下图，然则尾少三○，其失非小。若以一数为首，而尾带多○，其数虽多，总只是一，以此相乘，无复可乘，但照首行原数，挨身进位，录之，乃视尾有几○，照加于后，即成全数。

除法第五凡数以少剖多，曰除，亦名归除。归者，各分所入；除者，分分除减，其义一也。法列原数于上层，列除数于次层【旧以原数为实，除数为法】从左大数除起，上下挨身列位。然必以小数系大数下，若上层原数小，下层除数大者，须退一位系之。详具左。

列位图凡除法，原数列上，除数列下，于原数尾右界格，如半规。然而于格外注所得数，其归除率以下字除上字，要见几除而尽，如九除而尽者，格外注九字，八除而尽者，格外注八字，余仿此。所除不尽之数，就原数变之，抹原数而书其上。凡欲知除出之数得几位者，视除数之末位去原数之尾位得若干字，即是归除所得位数。一位除【假如七万六千○四十八数以八除之】格右为除得数，第一除得九，第二除得五，未毕。

先看八除【六七】得几，转以乘法除之。八九七十二，是九也。注九于格右，尚余四，变六作四【冩四于六上】削去首七，亦削去次行除数之八。挨身另下八，以八除【○四】依乘法，五八四十，格右再纪五，其上层【○四】俱削，亦削八。

同前第一除得九，第二除得五，第三除得○，第四除得六，是为每得九千五百○六，恰尽。

第一次除得九，削去【六七】及八，以六变四；第二次除得五，削去【○四】及八尽。另挨身下八八，虽不除四，而当存其位，乃于格右纪○而存四，削八；另挨身下八，以八除【八四】得六八四十八，恰尽，纪六于格右，削去【八四】及下八毕。若除数至二位、三位者，除讫一位，挨身布退一位，如鱼鳞然。其格右所注数，每次所除，不论几位，总之只得一数。但其除数首位必须兼顾次位，如以首位除之，已得某数，即取除余变数为实，以所得某数呼次位乗之，看是恰尽或有余否，方可纪于格右。若有不足，则将首位所除量减数，以为次位之地【如九乗不足，则减而用八；如八乗不足，则减而用七、用六之类】务取通融恰当。其三位除、四位除者，亦如之。三位除【此有一百八十三万二千四百八十七之数，而以四百六十九除之，先以首四除一十八尽，乘得四四一十六，用四而余二。然次位是六，以六乘二十三不足矣，不得不减数从三，只用三以除一十八，除得三四一十二，尚余六。四上八变六进位削一，而格右纪三为用数，并削首位之四。嗣以三因次位之六，三六一十八，六上三变五进位，四上六变四，乃削三削六下，又削次位六。嗣以三因九，三九二十七，九上二变五进位，六上五变二，乃削二削五，亦削九，是以三除之余四十二万五千四百八十七数，故当用三余再除，如后图】右图下层次位，以三因六，三六一十八，其六上三变五者，三小八大，照减法借进位一数于一十之内，除八余得二，再加三是变五也。若除法未熟，不妨小注于下，假上层【三六】下层用三因六，三六一十八，即于三下且注八，于六下且注一，三除八如前借法，六除一乃还借，除二为六，变四余仿此。

【另退一位，挨下四六九，先以四除四十二，看得几个四？凡数极于九，用九乘。】四九三十六，尚余六四。上二变六，进位四削尽，亦削下首位之四。格右纪九。嗣以次位六，因九六九五十四，余一十一六上五，变一进位六，变一亦削。下位六嗣，以次位九，因九九九八十一，尚余。三十三，九上四变，三进位一变，三系借除，进位一削尽，亦削九，其不尽三。千三百八十七，数再除，如后图】

【复列四六九，而四不能除三，姑存其位，作○于格右，其下层四六九。】皆削去，又列四六九，以四除三十三，看除得几转，四八三十二，余。一矣，然六乘一十八则不足，故减而用七除，得四七二十八，四上三。变五进位，削三嗣以六，因七六七四十二六上八，变六进位，五变一。亦削下位六，嗣以九因七七九六十三，九上七变四进位，削六缘。尚有进位之数，仍作○以纪其位，而削九存一，百○四为不尽之数。不复可分，以法命之曰：四百六十九之一百○四也。以四百六十九。为母，数以一百○四为子，数法别详】右尾第二位变六作○，缘进位尚有一数，须作○以存其位，此法切记。若上层除余之数反多于下层除数者，或上数与下数相等者，定是除法有差【只就除过本位上下相较】亦不必另创第，将差者抹去，而另注所除数于上层之上，另注除数于下层之下，又另注除得之数于格右，以从简便。【先以二除一十六，当用五，却误用四，是宜多反。】少者且如二，因四得八，六变八，削一与六，亦削。下首位二嗣以四因八，四八三十二，八上二变。○进位八变，五下削八，嗣以四因九，四九三十。六九上三变，七进位○变六，系借除进位五变。四下位削，九谛视之，则余数反多于分数，其数。可知悉抹之，而另注原数于上，另注除数于下。而用五以除之，二五除首位，一十五八得四十。进位六，变二五九四十五九，上三变八，进位二。变七，又进位二，变一，再列二八九，用六除二六。一十二，二上七，变五进位，削一六八，四十八八。上八变，○进位五变，一六九五十四九上一变。七进位，○变四进位，削一。再列二八九，用一】右误除乃宜多反少者亦【除二上四变二八上七变九进位二变一九上】有宜少反多者，具后【四变五进位九变八，又列二八九用六除二六】一十二、二上八变、六进位削、一八上五变、七进。位六变一，六九五十四，九上九变五，进位七变。二外余一百二十五，数以法命之】

六有竒【此不当用六，却误以六除二，六一十二，二上六。】变四进削一次，位六八四十八，却不足，抹削另。起，另列二八九于下，一六于上，而以五分之二。五除一十五，八得四十，进位六，变二，余如前式。不差，再列不当用七，而误用七二七一十四。二上七变，三进削一，七八五十六，即不足削三。另列一七于上，又列用六二六一十二二上七。变五进，削一六八四十八八上八变。○进位五。变一，六九五十四，九上一，变七，进位○变四，进。削一不差，次用一次，用六俱不差】右式第二次误用七除者，首位二七一十四可除，次位七八五十六，却只得三十八，既已误矣。傥不知还原，如何？其法只以下位见除二字与所用七字相乘，而加上见乘之三，即是还原。二七一十四，加三得一十七也。举此一端，以例其余。凡三位、四位误分改正，俱用此法。该进位者，照前法进位；乘后加之，式具后。【先用一除之，二上四变，二三上○变，七进位，二变一。次该用七，却】误用六二六，一十二，二上七，变五进，削一三六，一十八，三上四，变六。进位五变，三谛视之余数，反多于除数，误也。欲还原者，先以下层三乗所用六，三六一十八，加上余数六，得二十四，知本位还四，而以二寄于进位，次以进位，下面二乗六，二六一十二，加上余数三，再加原。寄二，共得一十七，知本位还七，进位再还一，合正数】

既已还其正数另以七除之二七一十四二上七变三进削一三七二十一二上四变三进位三变一另列二三用六除之二六一十二三上三变一进削一三六一十八削尽若原数既已除尽，或未尽有零，而欲试其误否，亦用九除、七除、二法。用九除者，只据见积，将下层除数除余，列左以格。右用数除余，列右以左右互乘，九除余数列上。又以原总数除余，列下。如有未尽零数者，于左右乘后并入总除列上，与原数除余者相比。

除毕　六无零　七　　　　　　　　　　　用数一七六余五列右除数二三共五列左乘得五五二十五九除余七列上原数四四八以九除亦余七列下无差【用数余四列，右除数余二列，左相乘】得八，加上零数一三，共得一十二，以九除之余，三列上总数，九除亦余三。

列下相比无差】用七除者，实积细除，同前乘法。其除数列左，用数列右，相乘除。余列上有零者，亦并入乘数列上。总数余列下。

【用数一百七十六，以七除，余一，列右。除数二十三，以七除，余二，列左左右。相乘一二，如二，列上。又将原数四千。○四十八，以七除，余二，列下正同】

【用数一百九十三，以七除，余四，列右。除数二百三十六，以七除余五，列左相乘得二十。以七除余六，若无竒零则纪。六于上是，己今有零数一百三十，再七除余四，并六得一。十以七除余三，列三于上，又将原数四万五千六百七十。

八亦以七除余三列下正合】

又法将除数用数相乘以合原数，如竒零不尽者，乘后并入。假如前式原数四万五千六百七十八者，以除数之二百三十六乘，用数之一百十三，共四万五千五百四十八，并入零数之一百三十，合原数。若归除至半，欲订其误，照前以除数之减余列左，以用数减余列右，相乘，又取本位以上除賸位【只至已抹本位而止，其未除到者不用】亦减之，以并所乘列上，以抹过原数减余列下，相比，其九法减见数，七法减实积数，俱同前【此是用二除过一徧者，截至左第四位止试之。用数二列，右除数二八九八，无余，左列○，以○乘二，无乘。却有零九一三，除九余四。上列四原数，除过四位以九除。

亦余四相合】

【用数二列二于右除数二千八百九十八，以七除，无余，列○于左，以二乘○，无乘却有。零数九百一十三，以七除，余三，列上其原数，已除四位六。千七百○九，以七除，亦余三，相合】凡除数随上原数逦迤右退至于除数尾位撞遇原数尾位而止，此外虽有未除零数，总系余分，但可以法命之为几分之几，以其除数多，零数少故也【多者为母，少者为子】

若除数尾带　　　　　　　　　　　此以三千八多○而原数　　　　　　　　　　　百万而除一首尾系数中　　　　　　　　　　　百三十九亿叚系○者但　　　　　　　　　　　四千六百万看尾隔几位　　　　　　　　　　　零七千八百用数该几位　　　　　　　　　　　九十三数其絫只须撞尾而　　　　　　　　　　　甚多而谛视止就截去余　　　　　　　　　　　尾位相值只○且尽实数　　　　　　　　　　　该以三位除除讫嗣以余　　　　　　　　　　　尽乃姑截去○加之以法　　　　　　　　　　　余○只以三命之式具下　　　　　　　　　　　八而除一三九四六每各得三百六十七其数已穷其余皆竒零不尽之数乃于三八之尾照位填○为母以零数为子命之云若除数首位数中位○次，又有数次，又有○者，不可便以中○为止，务须尽其实数而止。惟尾后之○，如前法。

用四除之　三四一十二三上三变一　进削一　次○○皆无可除者故置不论径除第四位之八　四八三十二　八上六变四进位四变一　更列三○○八用六除之　三六一十八　三上九变一进削一置○○不分　六八四十八　八上○变二　进位四变九　又进一变○尚余一○九二为不尽零数乃以除数余○缀除数之尾为母以原数○七六九三附零数一○九二之尾为子是为三亿八十万之一亿九百二十万七千六百九十三云凡除数首位只一，其余俱○者，不必另寻用数，即以原数为用，至撞除数尾位而止，此外皆系竒零不尽之数。

以除数尾寻至原数尾该得五位除尽亦只自原数首尾起照取五位为用数其余皆系小数不能除矣故作零数首列一除四得四　又列一除七得七　一除八得八一除○还○　一除九得九若原数余○，虽多而实数归除已尽，则其数外之○无复可除，虽不撞到尾位，亦只据未抹○位逐加用数之后，如左图。假如有数一亿八千六百三十万，而以三百四十五除之，每各得五十四万。

首用五除，三五一十五，三上八变。五，三进削一，五四得二十，进位三○，变一，五五二十五，五上三变八○，进位六变三，又列用四除，三四一○，十二，三上三变一，进削一，四四○，一十六，四上八变二，进削一，五。四得二十，五上削○，进削二，毕既已除完，其余不复可除，照○位加于格外，用数之右。右加减乘除四法，共一卷《算学纲》。领习熟，自精变化之妙，详载别卷。