同文算指前编卷下

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明　李之藻　撰竒零约法第六凡数除之不尽者，以法命之曰几分之几除数为母【法】列上竒数为子【实】列下。假如列实四十六，以七为法除之，尚余四，是谓七之四余，仿此。

列位式若竒零有二项，辨其孰多孰寡，以子母二数互参，母数相同，则但据子数。

若子数相等，母数不等者，其母数小，子数反大；母数大，若子母数俱不等，别其多寡者，并列以彼此母子互乘，得数各注其子数下。

有差逺者　　　　　　　有稍差者有相同者四之三与八之六同，则八之六即四之三。假如欲知何以皆为四分之三，但将子母两数立通数乘之。且如【八四】之【六三】有六数可以通乘，六八四十八，六六三十六，母系六八，子系六六，便知【八四】之【六三】即是八之六，此系有见成乘法可用者。其积数已多，而既难折半，又无通数可乘，则须另立纽数归除。其法以小减大，减尽而止，以最后减尽数为用，以除子母二数。其所除得数即是约数。假如四十八之三十二，即三之二。于【八四】内减【二三】余【六一】即以【六一】再减【二三】二次尽，乃以一十六为纽数，以除【八四】得三，是母约数，以除【二三】得二，是子约数。假如六百七十六之四百六十八，即一十三之九。子减母，余二百八。以二百八减子数，用二转，余五十二。以五十二减二百八，恰尽。即以五十二为纽数，以除六百七十六，得一十三，是母约数。以除四百六十八，得九，是子约数【凡以小减大者，即系除法。数相近名减，若大小相逺，减几徧者名除】其以寡减多，终不能尽者，不复可约，只就见数为则：以【七四】减【九五】余【二一】以【二一】减【七四】余【一一】以【一一】减【二一】余一，不尽。以【○二】减【三六】余三，以三减【○二】余二，以二减三余一，不尽。以上不尽无纽。

竒零并母子法第七凡两子母数不等，须先并母较之，以两母相乘得共母数，次以两母互乘两子，各得子数。

又有三四母子不同并较多寡者，亦以各母次第徧乘归并作一共母【为实】乃以各母之数【为法】除之，即以各子乘之，得各子数先并母数二乘三得六又以六乘四得二十四又以二十四乘五得一百二十为共母乃以首母二除得六十以首子一乘仍六十为其子数以次位母三除得四十以子数二乗得八十为其子数以三位母四除得三十以子数三乘得九十为其子数以四位母五除得二十四子一乘仍二十四为其子数若每数相乗，遇有纽数，可用【一数两分是为纽数，即前法】即用纽数除之，以其所得相乘，以省约法。

右用一纽数而前之乘得一百二十者约为六，○十所省多矣。次乃如法，以各母除，以各子乘。六乃以首母二除得三十，子一乘，亦三十。以次母三除得二十，子二乘得四十。以第三母四除，得一十五子三乘，得四十五。以第四母五除，得一十二子一乘，仍一十二。凡两数母子俱殊，但有纽数可用，皆可以此推之。

二三为六故注二于六下四三一十二，故注四于【二一】下。乃即以二十四为共母数，而母除子乘，如前法。以第一母六除此二十四，得四，以其子数五乘，得二十，为二十四之二十。以第二母一十二除此二十四，得二，以其子数七乘，得一十四，为二十四之一十四。

竒零絫析约法第八竒数有析之又析者，如母七子四，是为七之四，又析其四作五以为母，而五中余三，是为五分四之三，子中出子，相联而成，则名七之四又五分四之三也。

又有母二子，一是二之一，又以子一【此三即进位之三】析为六而六中余一【母六子一】又以子一析【此四即进位一所化】为四而四中余三【母四子三】又即以子三为【此六即进位一所化】母，而三中余二，连析四次，总名二之一。又六分一之一，又四分一之三，三之二。右法须取捷归并以便查算，俱以母乘母，子乘子，依位列之。如七之四，又五分四之三者，乃三十五之一十二。

母数五七得三十五子数三四得一十二如前二之一，又六分一之一，又四分一之三，三之二者，乃是一百四十四之六。母数三乘四得一十二，又一十二乘六得七十二，又七十二乘二得一百四十四，为共母数。子数二乘三得六，又一六只六，又一六只六，为共子数。右一百四十四之六，依约法，乃即二十四之一。以六除一百四十四，得二十四，恰尽，故六为纽数，二十四为母约数。以六除六，得一，尽，故一为子约数。假如连析三次者，五之三，又三之二，又四分二之三，并之，乃六十之一十八。母数四乘三得一十二，又一十二乘五得六十，为共母数；子数三乘二得六，又六乗三得一十八，为共子数。右六十之一十八，约之即一十之三。用子数一十八，除母数六十余六。即以六除一十八，恰尽，是六为纽数。以六除六十，得一十，故一十为母约数。以六除一十八，得三，故三为子约数。右絫析乃厯家所常用者，粟米、方田诸家鲜用，然亦可以近譬。假如右式五之三，又三之二，又四分二之三者，今有金一两析之为五【每析二钱】五之三乃六钱也，又析为三之二则四钱矣，又析为四分之三则三钱矣，总是一十分之三。

化法第九凡整数后带竒零，难于归除，须将整数尽依母数化之。其法，以母数乗整数，以乗得数并入子数，却以母数除之。假如有整六数零五分一之三者，列六于左，列五之三于右。每数皆剖为五分，五乗六得三十，并。入子数三，是为五之三十三，列下。假如有整七数，零五分一之四者，列七于左，列五之四于右。每数皆剖为五分，五七三十五，并入子数四是为五之三十九于是乃化零数为整数，其法以母除子。

此为一剖七之五十六以母数除子数用八除尽知是整八数此为一剖九之四十七，以母除子，用。五余二，知是整五数，又零九之二。

竒零加法第十数有竒零，或两零数，或三四零数，以至百千零数，加并为一法，具后。

若母数异，则先并母数。但有纽数者，依纽数求其共母；无纽数者，以互乗求其共母，而各以其原母除之。又以原子乗之，得子数。乃视其子数多寡，总而积之。又以共母除积子，以归本数。又法求其子数径用母子互乘亦得【三三是九二四是八】但积数多者未便，须用母除子乘之法。

<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__前编,卷下》>若既有整数又有零数，则先加积整数次，乃加积零数。其零数同母者，只并子数；其零数异母者，依前法，且并母数，而位少者子母互乗，位多者各以原母除原子乗。

以上系不同母数者若欲试加法之有差，则用竒零减法。

竒零减法第十一凡以竒数减竒数者，审其多寡，而于多中减寡。其母数同者，第就子数相减。若母数异，则先以其母相乗，并为一母，而依母除子，乘求各得子，乃以相减。

以上系不同母者若于整数内减零数者，以零母化原整数，就以作子相减，次合全数总计。假如整数一十内减一十一之六者【此一十一之六未满整一数】就将一数拈出，依竒母化为一十一以作子数。于内减六【一十一之六】余一十一之五，总为九零一十一之五。

以上是只减零数者假如整数一十内减四，零五之三者，一十减四余六。又动一数，以零母化之作子于内减去三【五分之三】尚余五之二，是为五零五之二。

以上是既减整又减零者又有原数以整带零，减数亦以整带零者，先以整数相减，次将各零母依法并合为一次，乃子母互乘为子，各系本子位下相减。

于整九内借一数以化母为三百六十三，并入一十一，则三百六十三之一十一为三百六十三之三百七十四。

以上是零整杂减者，若原数减数不止二位，相并有三四零数以上者，照前逐并母数互乘减之。

若欲试减法之当否则用加法补前章以减法试加法假如不同母，加积者试之。两母相除，得母数。将所互乘之数互减之，其减余者除以本母，得子数。

竒零乘法第十二凡两零相乘者，皆以母乘母，子乘子。

凡零数与整数相乘者，置整数与零子数并列其上，立一数为母，与零母并列，照前母乘母，子乘子。

凡整数带零数与整数相乘或与零数相乘者，先以整数与所带零数之母相乘，得若干，并入零子列子位【化法】乃以整数照前法列于子位，其上立一为母，而母子相对乘之。

右系整兼零与零数相乘者若两数俱以整数兼零数者，照前先化整数。

或问：“乘法乘少为多，今或乘多为少，何也？”曰：“立法如此，乃是借虚驭实，与除法相防为用，非整乘也。”若欲试乘法之有差，则用竒零除法。

竒零除法第十三凡竒零数，又以竒零数归除者，列原数于右，列除数于左，却将除数倒列子母【原数母上子下，除数子上母下】两平对乘，其乘出数即归得数。

假如以竒零除竒零者右法，假如一年十二个月，今曰二之一，则六个月也；六之一，则二个月也。以二剖六，各得三个月。假如以零数除整数者，以整数作子，上立一为母。

假如以整带零而除整数者，原数只借一为母不动，若除数则以所带零母化其整数并子数。

假如以整数除零数者假如以整带零而除零数者，原零数不动，其除数之整。

假如以整兼零而除，整兼零者，俱以本零母化其整数。

若欲试零除之差，否则用零乗法，以乗出之数为主，以对除数相乗，仍合原数，则不差。

重零除尽法第十四归除不尽曰竒零，然有原数之内本来先带竒零者【如原数系二十零四分之一之类】是大竒零数内又有小竒零也。若欲除之使尽，当先归之，使一列小竒零于右，列大竒零于左，两母相乘为总母，又以小竒母乗大竒子，并入小子为共子数，即是除尽之数。若数繁者，约之。假如四人剖一十五零三之二，其不尽者整三数零三之二也。三之二为小竒，列右；四之三为大竒，列左。如法乘之，即得四母除尽之数。

若小竒零之内，复有小竒零，剖而又剖，零而又零，至三至四者，先以大者二位相并，得母数及子数，次乃递互并完。假如七除不尽而余四，数是为七之四矣。而又以此四中之一剖为五停，内得二，又以此二中之一剖为四停，内得三，又剖此三中之一为三停，内得二，此乃大竒数内又带三小竒数，愈析愈繁，最易淆乱者，法具后。

以上用七除尽者，每分得八十四之五十五。假如以一十二人剖二十整数零四之一者，每人得整一，尚有整八零四之一不尽。以一十二之八列左，以四右系捷法，若依前章竒零加除二法者，从小竒数除起，以一十二除之，借一为母，倒列对乘，先得小竒乘数，次以大竒数与对乘，又依加法互乘，求总子数，约之得除尽数。

通问第十五前算法一十四章，总归加减乘除四术，临时制用，存乎其人。今设一十四问，由浅入深，由易入难。精之躔度厯术，麤之米盐凌杂，皆可类见。问：减二十三余四十七，原是几数？又问：减一十一之四余八零三之二，原是几数？答曰：此用加法，以二十三加四十八，原是七十数也。以一十一之四加八零三之二，原是九零三十三之一也。问：八十七内减几何？该余二十六？又问：一十三之八内减几何？该余七之二？答曰：即用减法，就八十七内且减二十六，余六十一，得余数；就一十三之八内且除七之二，余九十一之三十，得余数。问：加三十八得八十三，原是若干？又问：加四零九之八得二十零二之一，原是若干？曰：亦用减法，于八十三内减三十八，尚余四十五，其原数也；于二十零二之一内减四零九之八，尚余一十五零一十八之一十一，其原数也。问：一百与三百四十九差几何？又问：六零二之一与二十零四之三差几何？曰：此即减法。于三百四十九内减一百，是为二百四十九。于二十零四之三内减六零二之一，是为一十四零四之一。问何数除之以九而各得三十四？又问何数除之以四零三之一而各得三之二？曰：此用乘法，九乘三十四得三百零六，其实数也；三之二乘四零三之一得整二零九之八，其实数也。问：有三十于此，其五之三是何数？又问：有四零七之五于此，其二之一是何数？曰：亦用乘法，以五之三乘三十，得一十八，是其五之三也【依法以子数三乗三十得九十，以母数五除之得一十八，合问】以二之一乘四零七之五，得二零一十四之五，是其二之一也【依法化四并五为七之三十三，以与二之一对乘得一十四之三十三，约之为二零一十四之五，合问】问：除四十八各得一十，其除数若干？又问：除七之三各得三之二，其除数若干？曰：此于除法求之，只以一十除四十八，该得四零五之四，是其除数【以四零五之四为除数者，依法化整及倒位对乘之，子数五乘四十八得二百四十，母数二十四除之得一十，合问】只以三之二而除七之三，该得一十四之九，是其除数【以一十四之九为除数者，以九对七，以三对一十四，乘得六十三之四十二，约之三之二也】问：一十七与何数相乘而得一百？又问：三零二之一与何数相乘而得四之一？曰：此用除法，以一十七而除一百，当各得五零一十七之一十五，以得数乘除数，还原一百矣。以整三零二之一而除四之一，当各得一十四之一，以得数乘除数，还原四之一矣【一十四之一乘三零二之一得二十八之七，约之四之一也】问两数相乘得四十八是何数？又问两零数相乘得二之一，又或得六零四之三者，各是何数？

曰：熟于除法则随变用之。其除四十八者，随意立一数，如以六数除，则各得其八，乗之则六八四十八也。如以一十除，则各得其四零五之四，乘之乃五之二百四十，还原四十八也【母五乘整四并子得二十四，以一十乘得二百四十数，以母五归整是四十八】其除二之一者，亦随立一数，如以三之二为除，则各得四之三，以四之三乘三之二得一十二之六，约之则二之一矣。其六零四之三者，亦随立一数，如用三零二之一为除，则各得一零一十四之一十三，乘之则六零二十八之二十一，约之六零四之三也。如用二零四之三为除，则各得四十四之一百零八，乘之则一百七十六之一千一百八十八，约之亦六零四之三也。问：两数除之得二十八，又问两零数除之得六之五，其数几何？曰：此用乘法，亦随意立一数乗之。如二十八数以六数乘之，得一百六十八，即以六除之，仍归二十八矣。如六之五者，以二之一乘之，得一十二之五，即以二之一为除，仍归六之五矣。问何数以七为乘，而所乘出之数归之以八，而得三？又问何数以五之二为乘，而所乘出之数除以四之三，而得四之一？曰：此兼乘除二法翻用之，先以除数乗除得之数，而以所云乘数除之，其所除得数即所求数也。假如三与八相乘，得二十四，乃以七除之，各得三零七之三，其所求矣。假如四之三与四之一相乘，得一十六之三，乃以五之二除之，各得三十二之一十五，其所求矣。问六在五十四之内，约是几分之几？又问五之三在一十之九内，约是几分之几？曰：此用约分零除法，以小除大，其所除得数即是也。以六除五十四，各得九，则六于五十四乃九之一也【假如以五十四除六者，依零除法，各立一数为母，倒位对乘，乃五十四分之六，即以六数而除五十四，于此可明零除倒位之义】以一十之九而除五之三者，倒位互乘得四十五之三十，约之，则五之三于一十之九乃三之二也。问六数是何数中九之一？又问五之三是何数中三之二？曰：同前，仍用零除之法，但以九之一除六数，依法倒位乘，得五十四，是六乃五十四中九分之一也。但以五之三除此三之二，依法倒位乘，得一十之九，是五之三乃一十分之九中三之二也。问化法，假如一化为八，今七数共化几分？又问，以一化四，见有四分之三，设以一化一十二，此四之三者得一十二中之几？又问，以一化七，见有七之三，设以一化八，则此七之三者是八中之几？曰：此用乘法，以前后数相乘得之。问化八者，以七乗八得五十六，是所求其化数矣。问以化四较化一十二者，以前子四中之三与后母一十二倒位相乘得数【三十六】以前母除归本数【四个九】即后母之子数也【一十二之九】问以化七较化八者，亦然，以前子七中之三与后母八倒位相乘得数【二十四】以前母除归本数【三七二十一得整三数余三不尽是零七之三】即后母之子数也【后母八此前母七中之三即后母八中之三零七之一也】譬如大斛七斗抵小斛八斗，今大斛三斗以小斛斗量之，得三斗零七分斗之三。

又如中国计日以百刻，西洋以九十六刻，今问西洋之三十一刻当中国之三十几刻？即以西洋九十六为母，三十一为子，却以中国之母倒下作子与之对乘得三千一百，是为九十六之三千一百，即以九十六而除之得三十二刻零九十六之二十八，再寻纽数四约之，乃是二十四分刻之七也。

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