同文算指通编卷六

同文算指通编卷六

明　李之藻　撰测量三率法第十一凡测山岳楼台城郭之髙，川谷之深，土田道里之逺，旧名勾股法，立表或立重表，参望相直，乃以开方求之。今立器以代表，名曰矩度，而以三率代开方之算。勾股者，植立地上为股，其影横地上为勾。今半矩木尺，其制也。矩度之形，平方而取横直二边，各刻为度，互为勾股。立为直影，倒影二算，义同勾股，而法稍捷。制矩度法，以坚木或铜版，其制平方，上画甲乙丙丁四直角方形【务取极方，详具几何原本】用甲乙边立两耳，平对各通一窍，名曰通光，以便窥望，以甲角为矩极，系线任其垂下，以权镇之，次自甲至丙斜界一线，分矩面为两平分，乃并乙至丙及并丙至丁各依原边线，又平行二线俱匀分十二度，其度各自其边界望矩极分之，近极为虚线，外用为实线，或每度更分三分、五分、六或分至十二皆随版体大小为分愈细则法愈密矣用时甲昻乙低以目射两窍与所望之物参相直视其绳之所值何度何分以算推之或不设两窍只立相等两小表亦可凡测望必以所求物与立矩度处为直角形取平【解在防何】有不平者须先准平然后测量。次论直倒二景，直影者绳在乙丙界内，即勾影也，如立表地中影落地面者是；倒影者绳在丁丙界内，即股影也，如立表墙上影射墙面者是。凡有所窥测而望者，前却其步，使其绳适在甲丙，是为勾股平等，知勾即得股，知股即得勾。其不然者，须将倒直互变推求。且如求髙求深，所求在股，即权绳宜在直度而却在倒度，则当变倒为直；若求逺求近，所求在勾，其权绳宜在倒度而却在直度，则当变直为倒。各以通二度之穷，其互变之术，皆以矩全度为准【少者用十二，多者用一百四十四】假如绳在倒影三度，今欲变为直影度者，法以矩度为实，三度为法除之，得四十八为直影度。假如绳在倒影五度三分度之二，欲变直度者，因有三之二，每度以三通之，得一十七为法，亦以三通其矩度得四百三十四为实，以法除之，得二十五度余十七分度之七为直度也。其绳在直度而欲变为倒度者，亦如之【详见徐太史测量法义】

量影测髙已知影长若干，欲测其髙者，如测日影，即以矩度向日，目切于乙，甲耳在前，日光透于耳之两窍，权线与矩度相切，任其垂下，审值何度何分？若在十二度之中正对角线丙际，则影与物必正相等，知影防何长，即得物防何髙矣。若权线在直影边，则影小于物。而直影上所值度分为第一率，以矩度十二为第二率，以物影度为第三率。二三相乘一除之，得第四率，为其物髙。假如欲测己庚之髙，线在直影乙戊得八度正，其庚辛影长三十步，即以矩度十二乘庚辛之三十，得三百六十为实，以乙戊八度为法除之，得四十五，即己庚髙四十五步。若权线在倒影边，则影大于物。以矩度为第一率，以倒影上所值度分为二率，以物影度为三率算之，得物之髙。假如欲测己庚之髙，线在倒影丁戊得七度五分，度之一庚辛影六十步，即以丁戊七度五之一乘庚辛之六十，得二千一百六十为实，以矩度六十分为法除之，得己庚之髙三十六步【因权值有零分五分度之一，故以分母五通七度，通作三十五分，以分子一从之为三十六分，其表】

【度十二亦通作六十分】

从髙测影若已知物髙若干，欲测其影者，以矩度承曰：审值度分。若权线在丙，则影与物等；若权线在直影边，即物大于影。以矩度十二为第一率，直影度分为第二率，物髙度为第三率，算之得数为影度。若权线在倒影边，即物小于影。以倒影度分为第一率，矩度为第二率，物髙度为第三率，算之得数为影度。

以目测髙已知庚辛之逺，欲测己庚之髙，人目在辛，先量自目至足其髙防何，乃以矩度向所测物顶，甲耳在前目切，乙后目与矩耳及髙相参直，细审权线值何度分，假如权线在直影乙戊，以乙戊度为第一率，矩度为第二率，次量庚距辛之逺防何为第三率，二三相乘以一除之得物。

之髙假如权线在倒影，丁戊即以矩度为第一率，丁戊倒影为第二率，庚辛为第三率，照前算之。若权线不在丙，而有平地可前可却，即任意前却至权线值丙而止，不必推算。既知辛庚，即知己庚。若人目在辛，求己庚之髙，而为山水林木屋舍所隔，或地非平面不欲至庚，或不能至者，则用两直影之较起算。其法依前，以矩窍向物顶，审权线在直影否，如在倒影，即以所值度分依法变作直影。次从所立之辛，依地平取直线，或前或却，任意逺近至癸，仍以矩窍向物顶，审权线在直影否，如在倒影，亦以所值度分变作直影。乃以两直影度分相减之较为首率，以矩度为二率，辛癸大小两矩之较为三率，依法算之，得己壬之髙。又加自目至足乙癸之数，得己庚之髙。假如欲测己庚之髙，如前图，先从辛立望，得直影小乙戊为五度；次却立于癸，得直影大乙戊为十度，丙影之较五度为首率，矩度为次率，次量足距之较，从癸至辛十步为三率，依法算得二十四步，加目至足之乙辛或乙癸，试作一步，即知己庚之髙二十五步。如后图，先于辛得直影小乙戊为十一度，次退立于癸得倒影九度，当如前变法作大乙戊直影十六度，得景较五度，以为首率；矩度为次率，次量距之较，癸辛二十步为三率。依法算得四十八步，加自目至足，或一步，即知己庚之髙四十九步。

地平测逺欲于已测己庚之逺，先除自目至足之髙为甲己。若量极逺，则立楼台或山岳之上，以目下至地平为甲己【测髙法见前】次以矩极甲角切于目，以乙向逺际之庚，如前法稍移就之，俾甲乙庚相参直，细审权线值何度分。

如权线在丙则髙与逺等若权在乙丙直影边，即逺数不及髙数，以矩度十二为首率，直景乙丙为二率，甲己为第三率，算之得己庚逺。若权在丁丙倒影边，即逺过于髙，以倒影丁丙为首，率以矩度十二为次率，甲己为三率算之，此所置一率二率，视前测髙之法互换云。

测深凡从井上测深者，井口或径为己庚，井面为辛壬，欲测己、壬之深，用矩极；甲、角切，目以乙。从己向对面水际之辛，如前法稍移。就之，令目与窍与辛相参，直垂下权。线，假如线在直，影乙戊三度为首。率矩度为次，率次量己，庚井口十。二尺为三率，算得四十八尺为己。

壬之深若权线在倒影三度，则依法变为。直影得四十八度，而以矩度十二为首率，变得直影度为次率，井口乘之，归除数同。以上用矩度者，如无矩度，另有用镜、用表、用尺诸法【具后】

平镜测髙【用盂水亦同】欲知甲乙之髙，置平镜于丙，人立于丁，其丙丁取平，人目在戊，向物顶之甲，稍移就之，令目见甲在镜中心，而甲影从。镜心射目，乃量自丁至丙之度为首率，丁戊为次率，乙丙为三率，算之得甲乙髙。以表测髙【凡立表必三面垂线以取端直】已知乙戊之逺，而欲测甲乙之髙，立表于丙，为丁丙，退立于戊，置乙丙戊为极平线，人目在己，视表末丁至物顶甲相参直，次量目至足数，移置表上为辛，以截取丁辛之数，其辛己线与乙丙戊为平行，若其表仅与身等，或小于身，另立一小表为己戊，而以目切之为己，亦可。乃以丙戊为首率，丁辛为次率，乙戊为三率，算之得甲庚之髙，加目至足之数己戊，即得甲乙之髙。若戊不欲至乙，或不能至，则用两表之较为算。如前图，立于戊，目在己，望丁至甲，移己置辛，得丁辛数。乃或前或却又立一表【或即用前表，或两表等】为癸壬，目在丑，王癸至甲，亦移丑至寅，得癸寅数。此癸寅与丁辛之度相同，而丑寅度必小于己辛度，以相减截己辛于卯，得卯辛较为首率，以表目相减之较癸寅或丁辛为二率，以两目相距之较己丑或戊子为三率，算之得甲庚，加自目至足之数，得甲乙之髙【前图为进步立重表者，后图为退步立重表者】

以表测地平逺欲于甲测甲乙之逺，依地平立丙甲表，此表稍矬于身以便窥望。次却立于戊，目在丁视表末丙与逺际乙相参直。次移丙度于己，截取丁己之度为首率，以丙己或甲戊为次率，丙甲表度为三率算之，得甲乙。

之逺以矩尺测逺欲于甲测地平逺者，先立一表为甲，丁与地平为直角。次以矩尺之内直角置表末丁上，以丁戊尺向所望逺际之乙，稍移就之，使丁戊与乙相参直。次回身从丁丙尺上亦望地平之己，使丁丙与己相参直。乃量己至表下甲为首率，表身丁甲为次率，又为第三率，依法算之，得甲乙逺。

以重矩兼测，无广之深，无深之广。有甲、乙、丙、丁壁立深谷，不知甲乙之广，欲测乙丙之深，则用重矩法。先于甲岸上，依垂下直线立戊、甲、己勾股矩尺，其甲己勾长六尺，人从股尺上视勾末己与谷底。丙相参直，以目截取戊甲股上之庚。庚甲之髙，得五尺；次又于甲上依垂。下直线取壬，壬去甲一丈五尺，于壬。上亦依垂直线更立一辛壬癸勾股。矩尺，壬癸勾亦长六尺，从股尺上视。勾末癸与谷底丙相参直，而以目截。取辛壬股上之辛，辛壬之髙八尺如欲求深者，以前股所得庚甲五尺与。两勾间壬甲十五尺，相乘得七十五尺，为实，以两股所得庚甲、辛壬相减之较辛子三尺为法，除之，即得乙丙深二十五尺。如欲求广者，以勾六尺与两勾间十五尺相乘得九十尺为实，以辛子三尺为法，除之，即得甲乙之广三十尺【测深法与重表测逺同，测逺法与重表测髙同】

移测地平逺及水广凡测江河谿壑之广逺，身不能至，而其傍近有平地与彼相当者，立表于乙际，为甲乙，与地平为直角，次用一小尺或竹木等为丙丁，斜加表上，稍移就所望之戊，使丙丁戊相参直，次以表带尺旋转向平地，以目视丙丁尺端所直得己，次自乙量至己，即得乙戊之数。如不用表即以身代作，甲乙表不用尺，或以笠覆至目，代作丙丁，亦便。

以四表测逺【前测逺诸法不依极髙不得极逺此法能于平地测极逺】逺望一山或城或台为甲欲测其逺择平旷处立表【前云依地平线，必依直线取平，此不必拘】为乙次。

任却后若干步更立一表为丁望两表与甲一直线次从乙丁各横行若干步取平方为四角形，其二角为丙，为己。就丙上更立一表，又从丁己直行若干尺，望丙与甲一直线。此际立表为戊，乃以乙丙减丁戊之较为首率，乙丁为次率，乙丙为三率，算之得乙逺。假如丁戊三十六，乙丙三十，相减余六。乙丁四十，以六为首率，四十为次率，三十为三率，算之得二百四十为甲乙逺。测髙深逺近，不谐布算，而得其度。凡测量，必先得三率，而推第四率。三率者，其一，直影度或倒影度；其二，所立处距所测物之底，若不能至者，则其影较度或两测较度也；其三，表度或距较度也。设如测一髙，其影较八，而距较十步，其影较八【一率】与表十二【二率】之比例若距较十步【三率】与其所求之髙【四率】如不谙算法，则于平面画作甲乙、甲、丙两直线，任和交于甲，从甲向乙用规作八平分为影，较甲丁，次用元度从丁向乙，规取十二平分，为矩。度丁乙次，从甲向丙，规取十平分为。矩较甲戊【此用度与前两率度任等不等】乃从戊至丁画一直线，次从乙亦画一直线，与戊丁平行，而截甲丙线于丙，次取甲戊元规度，从丙向戊画，得若干分，即所求之髙。又法，若景较七度有半，距较八度三。分度之一，即物髙度，十三步三分步。之二，如后图加目，至足髙，即得全髙。

附勾股畧测量之法，専用半矩，则勾股所必借也。故补入勾股，以显测望。原本旧法，勾三，股四，▯五。葢勾自乘，股自乘，并之即▯自乘数。故得勾股可以求▯，得勾▯可以求股，得股▯可以求勾。而引伸其义，可以求勾股中容方、容圆，可以各较求勾、求股、求▯，可以各和求勾、求股、求▯。其变无穷，今撮其要者十五则，着于篇。

句股求▯甲乙股四，乙丙勾三，求▯。以股自乘，得十六；勾自乘，得九。并得二十五为实，开。方得甲丙▯五【开方法见后编】

勾▯求股如前图，乙丙勾三，自乘得九，甲丙▯五，自乘得二十五，相减得较十六，开方得甲乙股四。

股▯求勾如前图，甲乙股四，自乘得十六；甲丙▯五，自乘得二十五。相减得较九，开方得乙丙勾三。

勾股求容方甲乙股三十六，乙丙勾二十七。求容方：以勾股相乘，得甲乙丙丁方形为实，并勾股得甲戊长线六十三为法。除之得庚戊，长方其辛乙，乙癸各。边俱一十五零六十三之二十七。约之为七之三，为勾股内所容方形。

余勾余股求容方求勾求股甲丁余股七百五十，戊丙余勾三十。求丁、乙、戊、己容方边，以丙、戊勾甲、丁。股相乘为辛壬己庚方形得二万二。千五百为实，开方得容方，乙丁，丁己。各边俱一百五十，加余股得股九百，加余勾得勾一百八十【辛壬己庚形与丁乙己戊方形等，説见防何原本六卷，其羃相同，故开方即容方】容方与余勾，求余股；与余股，求余勾。容方丁乙己丁各边俱一百五十，戊丙余勾三十，求甲。丁余股以容方边自乘为实，以余勾为法除之，得甲丁余股七百五十以。容方与余股求余勾法同【辛己方之羃既等丁戊方之羃矣，开方即容方矣。加余股，非全股乎？加余勾，非全勾乎】

勾股求容圜甲乙股六百，乙丙勾三百二十，求容圜。以勾股相乘，得一十九万二千，为甲乙丙丁方形。倍之，得三十八万四千，为丙丁戊己方形，以为实。别以勾股求▯，得甲丙边。

六百八十并勾股▯得甲辛长线一千六百为法除实得辛壬癸甲长方形，其辛壬边相等之乙子二百四十，即容圜径，半径为圜心【于甲乙线引长之截乙庚与勾等，庚辛与▯等，得甲辛为▯和，和为法除实，即成辛壬癸甲长方形与丙丁戊己方形之羃等，而壬癸边截乙丙勾于子，次作子丑寅乙小角方形，此各边名▯和较，皆容圜径，亦皆切圜线也，详着徐太史勾股义】又法：甲乙股六百，乙丙勾三百二十，并得九百二十，与甲丙▯六百八十相减，亦得乙子二百四十。

勾股较求股求勾甲丙▯四十五，甲乙股，甲丙勾之。较为甲丁九求股求勾以▯自乘。得二千○二十五，为甲戊方形，倍。之得四千○五十，为己丙方形较。自乘得八十一，为甲庚小方形，以减己丙之两▯羃，存三千九百六十九，为实，开方得勾股和六十三，即丑辰大方形四边之一也，以之加较九，得七十二，半之得三十六，为甲乙股，即以减较得二十七，为乙丙勾【丑辰方形内之丑寅方及卯辰方两股羃也，丙壬方、癸子方两勾羃也，以比甲己方形，只中心多一个较羃耳，故减此开方即得勾股和矣，再加较得两股，故折半得股，以减较得勾】勾▯较求勾求▯【附▯较和求勾求▯，▯和较求勾求▯】甲乙股三十六，乙丙勾，甲丙▯之较为甲丁十八，求勾。求▯以股自乘得一千二百九十六。为甲戊方形较，自乘得三百二十四。为庚丁小方形，两方形相减【于甲戊方内去其等庚丁，方之辛癸，方即得甲壬戊之磬折形】存九百七十二为实，倍较乙寅为法，除之，得乙。子长方形，其丙乙之边二十七为勾，以加较得四十五为甲丙▯【乙子方何以等于甲壬戊形之实也？葢加一同较羃之乙丑形，以成子卯癸之磬折形，即与股羃甲戊方形等也。又甲辰方形，▯羃也，内兼勾股二羃。试照庚丁较羃分作庚未、未午、午丁三形，其申未及酉戌较也，庚申及未戌及未辰及午酉及丁丙股也，庚未形、未午形相并勾羃也，庚丁形、丁午形相并股羃。也各加较羃，则甲戊午之磬折形与子卯癸之磬折形等，亦与甲戊股羃等。内各减较羃，则乙子方形即甲壬戌磬折形矣】又法，股自乘得甲己方形，一千二百。九十六为实，以勾▯较甲丁十八【即同乙癸】为法除之，得甲壬之勾▯和七十二。加较得九十，半之得▯四十五，减较。得勾二十七【甲壬何以知为勾▯和？葢▯羃甲丑形内既兼】【勾股羃矣，试以甲丁之度移于子卯，又移于丑辰，于卯寅分为三方形。其丙丁寅辰形，勾羃也。则甲卯、卯辰两形并，即股羃也，亦即甲辛长方形也。子卯也，卯寅也，甲庚也，皆较也。甲子▯也，卯丑勾也。故甲辛形内之甲壬线，为勾▯和】若以股与▯较和求勾求▯者，股自乘为实，次以股减▯较和，余即勾▯较，除实得勾▯和，乃以加减同前。若以股与▯和较求勾求▯者，股自乘为实，以股减▯和较，余即勾▯较，除实加减同前。股▯较，求股，求▯【附▯和较，求股，求▯；▯较较，求股，求▯】乙丙勾二十七，甲乙股，甲丙▯之较为丙丁九，求股，求▯。以勾自乘，得乙己方形七百二十九，较自乘，得丙丑。方形八十一【丙庚同】相减存乙，庚己磬。折形得六百四十八，为实，乃倍丙丁。较为辛乙线以为法，除实得辛壬方。形其乙辛边三十六，即甲乙股数以加较，得甲丙▯四十五【▯羃甲癸方形内兼勾股二羃，试依丙丑较羃线分作甲丑形、丑癸形、丑子形，即丑子为股羃，而余为勾羃之实也。甲丑与丑癸并，固与乙庚己磬折之形等，亦与辛壬长方之形等，而辛乙兼丁丑、丑寅之两较，甲丁及寅癸均为两股合并成乙壬之股】又法，勾自乘，得丙戊方形七百二十九，为实，以丙丁较九为法，除之，得丙己方形，其丙庚边八十一，为股▯和。加较得九十，半之得▯四十五，减。较得股三十六【丙庚线何以为股？▯和也。甲丙▯羃。】内兼有勾股二羃，试依丙丁较截，作丁辛形，丁癸形，癸壬形，即壬癸】【方形为股羃，而余为勾羃，亦即丙己长方形之实也。夫甲癸也，壬辛也，庚己也，均较也；而甲丁之股，丙辛之▯，并之非丙庚乎？故云股▯和】若勾与▯和较求股求▯者，勾自乘为实，次以勾减▯和较，余即股▯较，除实得股▯和，乃以加减同前。又勾与▯较较求股求▯者，勾自乘为实，以勾减▯较较，余即股▯较，除实加减同前。

勾股和求股求勾甲丙▯四十五，甲乙乙丙勾股和六十三，求勾，求股。以▯自乗，倍之得四千○五十。勾股和作甲丁线，自乘得甲己方形三千九百六十九，相减得八十一，开方得勾股较甲卯九。加和得七十二，半之得甲乙股三十六，减较得乙丙勾二十七【勾股和自乘为甲己方形，此形内函甲辛及癸己之两股羃，乙寅及庚壬之两勾羃，而中间重借一癸辛小方形，正其较羃。若以▯自乘，只得一勾一股羃，倍之当得两勾两股羃，今以减甲】【己方，形少一较羃之癸辛形，故以癸辛开方得较也】勾▯和求勾求▯【附▯和和求勾求▯▯较较求勾求▯】甲乙股三十六，乙丙甲丙勾▯和七十二，求勾，求▯。以股自乘，得一千二百九十六。又以勾▯和作乙己线，自乘得五千一百八十四，为乙戊方形。次用股羃减之【就乙戊大方内减去庚壬长方】余三千八百八十八【即丁辛及丙己两长方形】半之得。一千九百四十四为实，以勾▯和。乙己为法除之，得乙丙勾二十七。以减和得甲丙▯四十五【何以知庚壬长？】方为股羃也，试于乙戊方之乙己线，以勾度截之，取子寅二防，作子】

【癸线寅丑线又照取丙庚二防作丙壬庚辛二线则一形内四隅有勾羃四中央有较羃一而四正又有庚未辰壬未寅癸辰为勾较相乗之羃亦四也夫一勾一较相并为▯则卯己之方形为▯幂而▯幂之内存一午己之勾幂而此外子午辛之磬折形即为所减之股羃兹以庚未形代子午形则庚壬固所减之股羃矣此丁辛丙己两形所以为减余形也半之即丙已形次以乙己线除之】又法，股自乗，得一千二百九十六。以勾▯和七十二为法，除之，得十。八为勾▯较，加勾▯和，得九十半。之得四十五，为▯减较，得二十七。为勾【此与前勾▯较，求勾，求▯，又法同理】若以股与▯和和求勾，求▯者，既得股自乗之数，乃以股减▯和和，余即勾▯和，除之得勾▯较，加减如前，因多一股，故用一减。又股与▯较较，求勾求▯者，股自乘为实，以股并▯较较，即得勾▯和，除实加减同前。股▯和，求股，求▯【附▯和，和求股，求▯，▯较，和求股，求▯】乙丙勾二十七，甲乙乙丙股▯和八十一，求股，求▯。以勾自乗，得七百二十九，股▯和自乘为乙丁方形，得六千五百六十一，乃以勾羃相减，去戊己长方形。存乙戊方及丁己方得五千八百三十二半之得二千九百一十六为实，以和为法除之，得甲乙股三十六，以减和得甲丙▯四十五【大方形内之戊乙句羃也，余论同前】又法，勾自乘，得七百二十九，以股▯和八十一为法，除。

之得九为股▯较加股▯和得九十半之得四十五为▯减较得三十六为股【此与勾▯较求勾求▯又法同理】若以勾与▯和和求股求▯者，勾自乘为实，以勾减▯和和，仍得股▯和除之余，如前亦因多一勾，故用一减。若以勾与▯较和求股求▯者，勾自乗为实，勾和相并即股▯和除之。

股▯较勾▯较求勾求股求▯甲乙股甲丙▯较二，乙丙勾甲丙▯较九，求勾，求股，求▯。以二较相乘得十八，倍之得三十六为实，平方开之得六为▯。和较加勾▯较九得甲乙股十五，加股▯较二得乙丙勾八。以勾▯较加勾，或股▯较加股，得十七为甲丙▯【此最要者，在求▯与勾股和之较法，以二九互乘，是乘两次也，故倍之。戊癸及子丑长方】形是也，倍之而开方，得六，即▯和较矣。然所以三十六开方为▯和。较者何也？葢一▯之羃，常兼有勾股两羃。今试于甲乙股线引之，加甲辰之▯，亦于丙乙勾线引之，加乙午之▯于甲丙▯引之，加丙艮。之股艮申之勾，此三线者，各以自乘为三大羃。则▯兼勾股之羃，比诸股▯与勾相并之羃共欠四十九数，而此四十九为合减之数，就于多羃中心减之所余三十六，即开方之▯和较？何者？试取三大羃。而各以元设之勾股▯分之为诸小羃，相当相抵，其甲酉羃内多勾。股矩之形，凡二。其丙戌或乙亥，羃内多▯，羃一，以此两多之形，又相当抵所差者，有四十九数，而原设股▯较二，勾▯较九，相减余七，自乗之数亦相符焉。至于中心减之，而余三十六。葢又有説。试以股▯较二自乘得四，为己庚方形；以勾▯较九自乘得八十一，为辛壬方。形并得八十五，而以四十九减之。减去干兑形，其余形之干离，离壬。及己庚形合三十六，即前二九互乘戊癸子丑之数也。用此开方得。六以作寅卯方形，令于甲酉方减此寅卯，而丙戊方亦减辛壬，而乙。亥方亦减己庚，则其▯兼勾股之羃，不等于股▯勾▯之二羃乎？葢甲酉四隅四▯羃也，乙亥四隅四股羃也，丙戊四隅四勾羃也，所谓▯羃兼勾股羃者，既相当抵，而甲寅、辛坎两形，并亦与寅防方形相当中心除，出干兑之四十九，而干离、离壬及己庚，又与寅卯相当，故。以寅卯开方求之，而▯和较得焉。夫丙巽即寅卯边也，在甲丙巽申。两▯之间者也，丙距申为勾股和，则丙截巽为▯和较，明矣，已得▯。和较即以元设两较相加而勾股▯皆可得矣。加九者，巽距艮也，艮申为勾，而艮丙为股也。加二者，丙距坤也。坤甲为股，而巽坤为勾也】【以巽艮益艮申，以丙坤益坤申，皆▯也】

勾▯和股▯和求勾求股求▯甲丙乙丙勾▯和七十二，甲乙甲丙股▯和八十一，求勾，求股，求▯。以两和相乘，得五千八百三十二，为乙己。

长方形倍之得一万一千六百六十四为丁戊大方形以为实平方开之得己庚形其边一百○八为▯和和求乙丙勾者以股▯和减之得勾二十七，求甲乙股者，以勾▯和减之，得股三十六。欲求▯者，以勾股和减之，得▯四十五【己庚形与丁戊形等，其开方边为▯和和者，葢丁戊全形内有▯羃二，股▯矩形及勾▯矩形各二，与己庚方形内诸形比各等。其丁戊形内余一▯羃，己庚形内亦余一句羃，一股羃又相等，故己庚形之各边皆▯和和】论曰：勾股▯三合成形，错综立义。勾股相减，其差曰较；勾股相并，其名曰和。股▯之差曰股▯较，勾▯之差曰勾▯较。并勾股与▯较，其差曰▯和。较勾股之差与▯相减，其差曰▯较。较股▯相并曰股▯和，勾▯相并曰勾▯和。勾股之差并▯，曰▯较和。勾股▯并曰▯和。和勾股各自乘并之，为▯实，故开之得▯。勾▯各自乘减余，为股实，故开之得股。股▯各自乘减余，为勾实，故开之得勾。勾股和自乘，倍▯实相减，开其余即勾股较也。勾股较自乘，以减倍▯实，开其余即勾股和也。并勾▯以除股实，得勾▯较。若以勾▯较除股实，即得勾▯和矣。并股▯以除勾实，得股▯较。若以股▯较除勾实，即得股▯和矣。勾股和自乗，减▯实，除以▯较较，得▯较和矣。除以▯较和，非即▯较较乎？勾股较自乘，减▯实，除以▯和和，则得▯和较矣。除以▯和较，非即▯和和乎？勾乘股为实，并勾股为法，除得容方径。勾乘股倍之，勾股求▯，并之除得容圜径。容圜之径，即▯和较也。又错综论之：勾为主，以加股▯较，即▯较较；以减股▯较，即▯和较；若加▯较和，又即股▯和也。股为主，以加勾▯较，即▯较和；以减勾▯较，即▯和较；若加▯较较，又即勾▯和也。勾股较为主，以加股▯较，即勾▯较；若减股▯和，亦即勾▯和也。勾股和为主，以加股▯较，复得勾▯和；若减股▯和，亦得勾▯较也。至若诸较诸和法相因配，连缀减半，恒得所求。若取勾股较以加勾股和，半之得股；以减勾股和，半之得勾。若取股▯较以加股▯和，半之得▯；以减股▯和，半之得股。取勾▯较者，以加勾▯和，半之得▯；以减勾▯和，半之得勾。取▯和较者，以加▯和和，半之得和；以减▯和和，半之得▯。取▯较较者，以加▯较和，半之得▯；以减▯较和，半之得较。加减乘除，圜变不滞，神而明之存乎其人，逺近髙深，方圜弧矢，准此而推，亦在乎熟之而已。

开平方法第十二凡平方开者，依除法列位，先审当以几位除尽，列实自末位下防记之，每隔位一防，每一防即定开下一位，乃从左位起，用自乘开除。凡防在左首位下者，以一字取数自乘【如系九数，则用三除，三三见九，除尽之类】若防在左次位下者，以二字共取一数自乘各除之【如系一六，则用四除，四四一十六，除尽之类】是为初商，以纪格右，亦注首防之下。两相呼除，不尽者作余数，再商【如系二十者，用五则廿五矣，是不可也，须用四自乘得十六，外剩四作余数，以再商除之】倍初商为亷法，注初防初商之次位若干，以除上位，视其可得防转，以定次商若干，注次防之下为隅法，亦纪于格右。先与亷呼除若干，再与隅呼除若干，有不尽者，再倍亷法商除如前。若剩数仅及开数一倍以下，以法命之【开者，一面数也，加倍又加一数，乃得二面，是于小平方外添一勾股为大平方，若不及加倍増一，总是不满方面，即以加倍増一为母，余数为子，命曰几分之防】

列式列实二千一百一十七万八千四百○四，凡八位。従末位防起，每隔一位用一防，共四防。知用四字开尽。

此首，位无防，而防在次位者，以二一相连，且作二十一数，只一字开之。初，商用四除，注防下亦纪格。右四四乘之，除一十六，尚剩五。四上一变，五完首段。

既用四自乘除剩五矣，第二段所防従五至七，凡三位，且只作五百八十四而商，以从简便，先立亷法，须倍前商数，前系四则，此倍作八，注八于次位之下，如以八而除五十一者然也，乃商五十一有防个，八该得六，纪六于格右四字之次，亦注次防下为隅法，如八十六者然，乃与次商相呼，先呼六八除四十八，剩三数，八上一变，三尚剩三十七，又以六六相呼，要见六于三十七内恰好否，若可除则用六，如总数不足则宁减一数以就之，如前除法相似，所谓商也，此呼六六三十六，尚剩一，六上七变一完，次段除实二千一百一十六万，余实一万八千次于所剩之一除起，因此第三防管。到四字止，则自一到四，作一百八十。四除之，其格右四六，乃四十六倍作。九十二列，次下为亷法列式，且让四下。之防不填，以待所商之隅法，而列二。于八下列九，于一下凡亷法商法冩。式皆仿此，九不可除，一作○于格右。四六之次，以存虚位，余皆抺之，另商。

第四防所用仍剩一万八千四百四竟以一数开毕前所用四六○是四百六十，仍再倍为。亷法当作九百二十数，让空四下所防。一位不填，以待隅法，而列九于八下列，二于四下列，○于○下，乃先以九除一八，看得若干，乃二九一十八也，当用二为再商，右纪二，亦注于所防四下为隅法，如九百二十二者然，乃以相呼，首以二乘九除十八，次以二乘二减四，次○不必除，次又以二乘二除四，恰尽，凡开方每面四千六百零二，若欲还原，用自又有开方不尽者具式于后假如列实四亿五千六百七十八万九千○，首防左第一位下，只以本一十二数，凡九位。一位开之，首位系四，当用从小数间防至大二盖二之自乘四也系二数共五，防该以五于四下，右纪二为初商相。位开尽，呼二二除四，完初段除实。

四亿余实五千六百七十八万九千一十二俟再商次除五六且作五十六以从简便倍初商二作四为亷法让防下一位系四于五下所商以四除五得防转四除五只一转右纪一亦注一于防下先呼一四如四五除四剩一四上五变一次呼一一如一六除一剰五也一上六变五完二段除实四亿四千一百万余实一千五百七十八万有竒另商次除一五七八之一段，且作一千五百七十八而商，因前商二一，是为二十一，今倍作四十二为亷法，空有防之八以待隅法，而系二于七下，系四于五下，要商四除一十五，凡几转，计得三转，即用三数为再商，纪格右亦系三于有防八字之下，先呼三四一十二，于十五内除十二，则抺五改三，进抺一，又呼三二是六，于七内除六，尚剰一，则抺七改一，又呼三三是九，于八内除九，依借法抺八改九，进位一变○完三段，余实三百九万九千有竒，次除三○九九○之一段，因前用二一三，是为二百一十三，今又倍其数作四二六，为亷法，空有防之○而于九下系六，于进位九下系二。于○下系四先，以四商上三○看。四除三十，凡防转该七转，则用七。纪七于格右亦系于有防○下以相呼，先呼四七二十八，于三十内。除二十八，尚剩二数。四上○变二。进抺三次，呼二七一十四，于廿九。内除十四、二上九、变五进位、二变。一、次呼六七，四十二六，上九变七进。位五变，一次呼七七四十九，依借法。七上○变，一进位，七变二，完四段，余。实一十一万二千一百一十二，另开。次除一一二一一二，总作一段。前已用二一三七，是为二千一百三十七。今倍之，当作四二七四，为亷法。空有防之二，而于进位一下系四，于又进之一下系七，于进二下系二，于进一下系四。先以四商上一十一，看除该二，转则用二纪格。右亦系二，于末位防下，而先呼二四为八，以除一十一，余数三，乃抺一改三，进抺一。

次呼二二为四依借法二上二变八进位三变二又呼二七一十四依借法七上一变七进位八变六再呼二四为八依借法四上一变三进位七变六又呼二二为四依借法二上二变八进位三变二完第五段除实四亿五千六百七十六万二千三百八十四余二万六千六百二十八为不尽数右开方二万一千三百七十二，以自乘得四亿五千六百七十六万二千三百八十四，并入余数二万六千六百二十八，得原数。

开平竒零法第十三凡开方法，有可尽者，如十六用四除尽，如二十五用五除尽，是也。亦有必不可尽者，假如列实二十者，用四除去十六，尚余四，此所余之四，将何术以开之？其法依除法立子母数，倍用数为亷法，外加一为隅法，并为母，而以余数为子。乃以原所用开之数，依母数化之，而并子数俱以为子。乃以母自乘，子亦自乘，以取开方，而以小数除其大数，视其所得之数若干，即开尽数。若原数内更有未尽者，再法开之。倍用数，得八加一为母共九而以余数四为子次以用数乘母共三十六并子四共四十以八十一而除一千六百得一十九零八十一之六十一为开方之数尚有未尽另法具后右法于二十数内开过一十九零八十一之六十一，比前但开除一十六者所得多矣。然尚余八十一之二十未尽，另立一法开焉。用盈不足对稽如前，用四自乘，盈四也；又如用五自乘，乃得二十五，是又不足五也。以不足五对前四又九，五内除四余一，依前。之四，而以少除多。法化一为九，内又除。【以五为实，以四又九之四为法，除之】四余五，是九之五也乃以前四零九之四者而，五八并得十三倍之为八零九之八，并入今，除一九是一整，余九之五，共得九零九之四，数尚剰九之四【其倍之为亷法也，并入今余又用盈不足相并】次取九零九之四，以除前所余未尽八十一之二十，依化法整，九与母九相乘，得八十一，并入子四，共八十五。

是为九之八　　　　　　　　　　　两母乘得六十五又倒位　　　　　　　　　　　千八百八十对相母乘母　　　　　　　　　　　五两子乘得子乘子　　　　　　　　　　　　　一百八十又以母子乘　　　　　　　　　　两母数以九乘出之数与原　　　　　　　　　　六千八百八十五存九之四十　　　　　　　　　　得六万一千九百对列而以两　　　　　　　　　　六十五为共母其母相乘为母　　　　　　　　　　子数以六千八百次以子母互　　　　　　　　　　八十五乘四十得乘各为子而　　　　　　　　　　二十七万五千四并之【原存盈数也，今】百以九乘，一百八【乘出数不足也亦相并】十得一千六百二。

九百六十五，之二万九千一百六十，约。之即十七分之八也，为开方▯零数。

若欲知其已于二十数内除过防许即将四零十七分之八自乘之依法先以四各化为十七加八俱为子数而仍以十七为母母子各自乘以见开方【母自乘得二百八十九子自乘得五千七百七十六】而以母数除子数即见依除法已开净一十九零二百八十九之二百八十五，较前十九零八十一之六十一逺矣，尚余二百八十九。

之四未尽欲尽之再依前法开除又法，以四开二十，因用四开之不尽，乃用四零二之一。<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编,卷六><子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编,卷六>数加一倍，如四零三十六之一十七，倍作八零三十六之三十四，依法化之【八化三十六得二百八十八，并入三十四得三百二十二】为三十六之三百二十二。若用约法则为八零十八之十七，亦依法化之【八化十八得一百四十四，并入十七共得一百六十一】为一十八之一百六十一，此倍出亷数也。以之倒位而对前，所余数母子俱自乘。

仍对前所化亷数求之次以所约之母子与原亷母子相对而依法以乘母者并母，次以两子各乗总母，得数对减，余为实，乃取所并。

此为开方不足之数，比前则所剩微矣。欲开尽，依法再推。《同文算指通编》卷六<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编。>钦定四库全书