同文算指通编卷五

同文算指通编卷五

明　李之藻　撰杂和较乗法第八诸物互和，未易缕析，必取互乗之数，较余为用，以少除多，得一数以推其他，而纎悉见矣。若条缕多者，别立正负为算，别同异以分加减，总归于去烦就简。故率除首列，同乗减尽一数，而其余则名类相同者减之，相异者加之。其最繁者，亦视首列所主为用，如首以同名减，则其下同减而异并；首以异名减，则其下异减而同并。大要与盈朒相近，而又济盈朒之穷【旧名方程，用前叠借互征，亦同头绪多者用此为便】问：鼎三彞二，共重一百五十五两；又鼎四彞五，共重二百六十五两。鼎彞各重若干？将二项左右对列，各作三段，递互徧乗之，又相对较之，视其余数以少除多，而互得其重。如以彞乗，则反得鼎重；以鼎乘，则反得彞重。且如以右鼎徧乗左行【鼎四得一十二，彞五得一十五，重二百六十五得七百九十五】以左鼎徧乗右行【鼎三得一十二彞二得八重一百五十五得六百二十】各得数相减，两鼎数相等，减尽不用；两彞数减余七，又两重减余一百七十五。以少除多，七为法，一百七十五为实，除得彞重二十五两。以右中彞二乗之，得五十两，以减右总，余一百零五两，亦以右鼎三除，得每鼎重三十五两。鼎三【以乗左行得一十二】彞二【得八】重一百五十五两【得六百二十】鼎四【以乗右行得一十二】彞五【得一十五】重二百六十五两【得七百九十五】右法若以彞徧乗其，以七为法亦同，所得减余之实凡二百四十五，以法除之，先得每鼎三十五两。以右鼎三乗之，得共鼎一百五两，以减右行重数，余一百两为二彞重数。若以左彞四乗之，得共鼎一百四十两，以减左行重数，余一百二十五两为五彞重数。问纱三匹绢四疋共价四两八钱，又纱七疋绢二疋共价六两八钱，纱绢各价若干？亦将二项左右列之，各三段徧乗。如以右纱徧乗左行【纱七得二十一，绢二得六，价六两八钱得二十两四钱】左纱徧乗右行【纱三同上，绢四得二十八，价四两八钱得三十三两六钱】各得数对减，其两纱减尽不用，两绢减余二十二为法，两总减余一十三两二钱为实。以法除实，得绢每疋价六钱。就以右绢四乘，得共价二两四钱，以减右总价，尚余二两四钱为右纱三疋之价，得每疋价八钱。

纱三【与左乗得二十一】绢四【得二十八】共四两八钱【得三十三两六钱】纱七【与右乘得二十一】绢二【得六】共六两八钱【得二十两四钱】右式若以绢徧乘其法同前但减余之实一百七十六以法除之亦得八钱为疋纱之价以右纱三乘得二两四钱以减右总价余二两四钱为四绢之价若以左纱七乘得五两六钱就减左总价余一两二钱为二绢之价问：笔三管，换砚七个，贴砚价四百八十文；别以砚三个，换笔九管，贴笔价一百八十文。笔砚各价，防文依前，左右三行列之，而以砚为正，笔为负，互乘得数，却于正负同名者对减，异名者对加，求之。

砚正七【正二十一】笔负三【负九】价正四百八十文【正一千四百四十】砚正三【正二十一】笔负九【负六十三】价负一百八十文【负一千二百六十】右砚正七乘左【砚正二十一笔负六十三价负一千二百六十】左砚正三亦乘右【砚正同上笔负得九价正一千四百四十】得数两砚正同名减尽，两笔负同名减余五十四为法，两价正负异名加并得二千七百为实，以法除实得五十文为一笔之价，取右行笔负之三乘之得一百五十，加入价正四百八十，共六百三十，即右砚七个总价，以七除得九十文为一砚之价。若取一笔之价，以左行笔负之九乘之得四百五十，则当就内减总一百八十余二百七十，即左行三砚之价。若移置笔负为法徧乘者，得异并之实四千八百六十文，以法除之【五十四】得九十文为砚价。问：七钏九钗共重九两四钱，钏重钗轻，于中互换其一，轻重适等，不知各重若干？此依互换者列位，一系六钏一钗，一系一钏八钗，而中分其总重之数。

钏六　　钗一　　　　四两七钱钏一，钗八【四千八】四两七钱【二十八两二钱】先以右钏六徧乘左行【钗八得四十八，价四两七钱得二十八两二钱】次以左钏一徧乘右行【钏一，价四两七钱】对减，余四十七者为法，余二十三两五钱者为实，以法除实，得五钱为一钗数，以减右行总重【四两七钱】余四两二钱，即六钏共数，六除之，得每钏重七钱。若移用右行钏一，左行钗八为法，徧乘者得减余之实三十二两九钱，以法除之【四十七】先得七钱为一钏之重。问：钱一万文，以卖二马一牛，则不足半马之价；以卖一马二牛，则余半牛之价。其牛马价各若干？此当以不足半马者损为一马零二分马之一，及一牛；以余半牛者益之为一马及二牛零二分牛之一。依法列之，而以整带零之法乘除之。马一匹，二之一。牛一头，价一万文。马一匹【一匹，二之一】牛二头，二之一【三头，四之三】价一万文【一万五千】先以右马徧乘左行【马一匹，二之一，牛三头，四之三，价一万五千】次以左马徧乘右行【马如上，牛二，价一万文】其两马减尽，两牛减余二头，又四之三为法，两价减余五千文为实，以法除实，得一千八百一十八文，又十一之二为牛价，以减右行总价【一万文】余八千一百八十一文，又十一之九，以马一匹，又二之一除之，得五千四百五十四文，又十一之六为马价。问甲乙二窖积粟，不知各防何？但云取乙三之一与甲，及取甲二之一与乙，则各满二千石。其原窖防何？此零法照前列位互乘，甲得六千，乙得四千，减余二千为实，而以两母相倂得五为法，除之得四百，以乙母之三乘之，得一千二百石为乙窖原粟，余八百石，以甲母二乘得一千六百石为甲粟。其必各以母乘者，盖前所除得只是子数，必归母见整故也。

甲二之一　　　　二千石【六千】

乙三之一　　　　二千石【四千】问治地，不知亩数，每工种麦三畦，种菽四畦，共三百零一工，其菽麦数并工数各若干？此为双头单脚互乘，取三四，左右列之，并得七为法，其下列工数。

麦三畦菽四畦若求菽数者，右三乘总工【九百三】以法除，得一百二十九，为菽畦，以四乘，得工五百一十六，即以右三除，得麦畦数。若求麦数者，左四乘总工【一千二百四】以法除，得一百七十二，为麦畦，以三乘，得工数如前，亦以左四除，得菽畦。问犒夫不知数，但云二人共饭，三人共酒，四人共肉，总用饭酒肉六十五分，计夫若干？列三位维乘【二乗三得六，又三乗四得一十二，又四乘二得八】并得二十六为法，另用乘并之法【二乘三得六，以乗四得二十四】得数以乘总分【六十五】二人得一千五百六十为实，三人，六十五分。

以法除得六十为夫数　　四人问银二百六十四两，买牛羊共一百牵。每牛三头，价二十两；每羊四羫，价一两五钱。内牛羊倂价各若干？以牛羊各价依子母左右列之，互乘得数【牛乘羊四两五钱，羊乘牛八十两】减余七十五两七钱为法。另列总牵总价于下，如求牛数者，先以羊四乗总价【一千五十六】以羊价乘总牵【一百五十】减余【九百零六】为实，以法除得一两二钱为牛衰。以右位牛三乘得三十六头，以二十乘得共价二百四十两，就总内减牛数余为羊数。

牛三　　二十两羊四　　一两五钱若先求羊数者，以牛三乗总价【七百九十二】以牛价乗总牵【二千】减余【一千二百零八】为实，亦以法除之，得一十六为羊衰，以左位羊四乘得六十四羫，以一十五乘得二十四两，就总内减羊，亦得牛数。问：用匠五千名，包砖板隄共四千九百九十五方，定限每日匠九名，包板隄十一方，匠七名，包砖隄四方，砖板堤匠各若干？以母子左右对列互乘得数【九乗四得三十六，七乘十一得七十七】减余四十一为法，另列总匠总隄于下。

九名　十一方七名　四方若求板隄数者，左七乘总方【三万四千九百六十五】四乘总匠【二万】减余【一万四千九百六十五】为实，以法除之，得三百六十五为板衰，以乘右九，得板匠三千二百八十五名，以乘十一，得板隄四千一十五方，于总内除板隄，余皆砖数。或求砖隄数者，右九乗总方【四万四千九百五十五】十一乘总匠【五万五千】减余【一万零四十五】为实，以法除之，得二百四十五为砖衰，以乘左七，得砖匠一千七百一十五方，以乘四，得砖隄九百八十方，于总内除砖隄，余即板数。问：七人醵金，不知总数，亦不知各数。第云：甲乙共二十三两七钱，戊己庚共二十六两一钱，亦不知丙丁共数。此七人各若干？法：先求隔母。且以甲乙二列左，戊己庚三列右。取右衰三，增一为四【与后章求隔母法同】仍以右衰【三】乘之，得数【十二】减半【六】又减去右衰【三】余三为右中率。取左衰【二】乘总位【七人】得数【十四】内减右衰【三】余十一为左中率。而各以共金数列其下。

右三　三　　　二十六两一钱左三　一十一　二十三两七钱乃以左二徧乘右【中三得六下二十六两一钱得五十二两二钱】以右三徧乘左【中十一得三十三下二十三两七钱得七十一两一钱】各得数相减，中余二十七为法，下余一十八两九钱为实，以法除实，得七钱为隔母之数，别取甲乙共数【二十三两七钱】并入隔母七【得二十四两七钱】减半得一十二两二钱为甲金数，内减差数七，得十一两五钱为乙金数，其余以七递减各得【丙十两八钱，丁十两一钱，戊九两四钱，己八两七钱，庚八两】问竹筩一茎九节，下大上细。下三节共盛粟三升九合，上四节共盛粟三升，中二节不知数。要见每节盛粟若干，亦先求隔母数，为逐节相较之率。取上三列左，下四列右。以右四加一为五，与右四相乘得数【二十】减半【一十】又减右四得六，为右中率。别以左三乘总位【九】得数【二十七】内减右中率六得二十一，为左中率。各以所共盛之数从之。

右四　　六　　　三升左三　　二十一　三升九合乃以左三徧乘右【中六得一十八下三得九分】以右四徧乘左【中二十一得八十四下三升九合得一十五分六厘】得数相减，中余六十六为法，下余六十六为隔母率。别以左三共粟为实【三升九合】以法【六十六】乘之【得二百五十七分四厘】以三除之【因系三节故也】得八十五分八厘，是第八节数。加母率【六分六厘】得九十二分四厘，是第九节数。若减母数【六分六厘】得七十九分二厘，是第七节数。其余递减母率【第六节得七十二分六厘，第五节得六十六分，第四节得五十九分四厘，第三节得五十二分八厘，第二节得四十六分二厘，第一节得三十九分六厘】而仍以法除之【第一节六合，第二节七合，第三节八合，第四节九合，第五节一升，第六节一升一合，第七节一升二合，第八节一升三合，第九节一升四合】其以中余【六十六】为法，下余为实，以法除实者，得一合为隔母率。以三除左总【三升九合】得一升三合为第八节数。以一合加减之，亦得第七节、第九节数，以次推之，同前。问：四雀六燕七鹪共集于衡，重八钱九分；又三雀五燕九鹪共重八钱一分；又五雀七燕八鹪共重一两六分。三禽各重若干？法置左右中三行三色及总重作四段列之。先以右行五雀徧乘中行【雀一十五，燕二十五，鹪四十五，共重四两零五】

再置前图减余而以右燕四徧乘左行，左燕二亦乗右行，余四燕。余廿一鹪【四十二】共余八钱七分【一两七钱四分】余二燕。余三鹪【十二】共余二钱一分【八钱四分】乘讫，对减鹪余三十为法，共重余九钱为实，以法除实，得三分为一鹪之衡，就以乘左余鹪三，得九分，以减左重，余一钱二分，为二燕之衡，即知每燕重六分也【既得一鹪之衡，以乗右余鹪二十一，及减右重，亦得每燕六分】乃于前左行原价八钱九分之内，减去原鹪七【二钱一分】原燕六【三钱六分】各重数，其余三钱二分，以雀四除之，得雀重八分【或于前右行、中行原数内减乘皆同】问牛一头，马一匹，驴三匹，皆载物七百斤，上坡皆不能上，牛借马一匹，马借驴一匹，驴借牛一匹，方上，其三等力各若干？列左、中、右三行，以三畜及总物为四段。

正牛一　借马一　　○　　　　七百斤○正马二【二】借驴一【一】七百斤。借牛一，○负一【二】正驴三【六】七百斤【一千四百斤】先右行正牛一徧乘左行得数，又以左行借牛一徧乘右行得数【乘借马一一如一乘物仍七百斤】对减尽。因左行中○无减，乃仿右马乘出之数为立负马一以俟，另乘。次以中行正马二徧乘左行中下得数【负一得二，原驴得六，下物一千四百斤】复以左行负一为法徧乘中行中下得数【正马得二，借驴得一，下物仍七百斤】以对减。正负马同名减尽，正借驴异名相并得七为法，下物同名相减余七百斤为实，以法除实得驴力一百斤。取中行物实【七百】内减一驴之力，余六百即二马之力，以二除得每马三百斤。又于右行物实【七百】亦减一马之力，余四百即一牛力。右法或更置其位，先求一马之力，借驴一正马二【左六】○七百【二千一百左减余一千四百】○借马一【六】正牛一【六】七百【四千二百左减余三千五百】正驴三○负六【六】借牛一【一】七百【七百】先以右行借驴一徧乘左行中下得数，亦即以左行正驴三徧乘右行中下得数【正马得六下物二千一百】因左马空○，乃如右马乘得之数，亦置负六相减，三畜俱减尽，下物余一千四百。次以中行借马一徧乘左行中下得数，而以左行负六徧乘中行中下【借马六正牛六下物四千二百】牛数正借异名以相并，得数七为法，下物中左同名相减得三千五百，又以右下余物减之，得二千一百为实，以法除实，得三百斤为一马之力。然后取右行物实减二马力，余一百，见一驴之力。又取左行物实减三驴之力，余四百，见一牛之力。问：硃二斤，黄三斤，价钱二千四十文。又黄五斤，碌六斤，价六百四十文。硃三斤，碌七斤，价二千九百八十文。三色各价若干？依式左右中列之。硃二，黄三【九】○，价二千四十文【六千一百二十】○，黄五【四十五】碌六，价六百四十文。硃三○负九【四十五】碌七【一十四】价二千九百八十文【五十九百六十】先以右行硃二徧乘左行得数【碌得一十四价得五千九百六十】次以左行硃三徧乘右行得数【黄得九价得六千一百二十文】于左行○位照右立负九而与右行相对，三色俱减尽其价，余一百六十文。又以中行黄五另列右徧乘左行【碌七十价得八百】以左行负九另列左徧乘右行【碌得五十四价得五千七百六十】

黄五【四十五】碌六【五十四】　　价六百四十【五千七百六十】○负九【四十五】碌余一十四【七十】价余一百六十【八百】以相减，黄与○同数，减尽。碌系正负异名，并得一百二十四为法。两价同名相减，余四千九百六十为实。以法除实，得四十文为碌一斤之价。乃于前图中行原价内减碌六斤价【二百四十】余四百文，悉黄价。以黄五除之，得每斤价八十文。又于右行原价减黄三斤价【二百四十】余一千八百文，悉硃价。以二除之，得每斤九百文。问：鴈二，雉三，换谷五斗七升；鴈五，兎四，换谷一石；雉二，兎二，换谷五斗三升。每色每个价谷若干？先以右行鴈二徧乘左行得数【鴈一十，兎八，谷二石】亦以左行鴈五徧乘右行【鴈一十，雉十五，谷二石八斗五升】以相减，鴈尽系○，照立负十五兎，无减仍八谷，余八斗五升。鴈二，雉三【左一十五】○谷五斗七升【左二石八斗五升】○雉三【左四十五】兎二【左三十】谷五斗三升【左七石九斗五升】鴈五○负十五【中四十五】兎四【右八中二十四】谷一石【右二减余八斗五升中乘二石五斗五升】另以中行雉三徧乘左行中下【雉负四十五兎二十四谷二石五斗五升】左行雉负徧乗中行中下【雉四十五兎三十谷七石九斗五升】以相对雉减尽兎系正负异并得五十四为法价谷同名相减余五石四斗为实以法除实得一斗为一兎价就于中行谷内减二兎价余三斗三升悉雉价以中雉三除之得每雉一斗一升即于右行谷内减三雉价余二斗四升悉鴈价以右鴈二除之得每鴈一斗二升问卖二牛五羊买十三豕余价银五两，卖一牛一豕买三羊适足，卖六羊八豕买五牛不足三两，各价若干？此以卖为正，买为负，余为正，不足为负，而正为主则同减异并，负为主则同并异减，如前求之。列左右中三行，以右行牛二徧乗中行得数【牛正二，羊负六，豕正二】其中行牛一亦徧乗右行【牛二同正减尽，羊正五与中行负六异名并得负十一，豕负十三与中行豕正二系异名并得正十五，价正五，中空无减】又右行牛二徧乗左行【牛十，羊十二，豕十六，价六】其左行牛五亦徧乗右行【牛十正负异名减尽，羊正二十五与左正十二同名并得正三十七，豕负六十五异减豕正余得负四十九，价正二十五异减左负余负一十九】依法或减或并讫。

牛正二【中二　左一十】羊正五【中五　　左二十五】豕负十三【中十三　左六十五】正五两【中五　　左二十五】牛正一【右二】羊负三【右六】豕正一【右二】　○足牛负五【右一十】羊正六【右十二】豕正八【右一十六】负三两【右六】乃别列减并之数，仍分正负互乘之，如后图：羊负十一为法，以乘左行中下【羊正得四百零七，豕负得五百三十九，价负得二十两九钱】亦以羊正三十七而乘右行中下【羊负同数异名减尽，豕正得五百五十五，与左豕负异名减余一十六，价正一十八两五钱，与左异减余二两四钱】以减余豕正一十六为法，价正二百四十为实，以法除实，得豕价一两五钱，就以右行豕正十五乘【二十二两五钱】加正价【五两】共二十七两五钱，俱羊价，以十一除之，得每羊二两五钱，复以前图右行豕负十三乘豕价得数【一两五钱】加入正价【五两】共二十四两五钱，为牛羊总价，内减右行五羊之价【一十二两五钱】余一十二两，悉牛价，以牛二除之，得每牛六两。羊负一十一，豕正一十五【五百五十五】价正五【一十八两五钱】羊正三十七【四百七】豕负四十九【五百三十九】价负一十九【二十两九钱】问买柰二，梨四，共钱四十文，梨二，桃七，亦共钱四十文，桃四，榴七，共钱三十文，梨八，柰一，共钱二十四文，各价防文？列甲乙丙丁四行，每行五段，先以甲丁柰为法，彼此互乘，以甲柰二徧乘丁【梨空，桃空，榴一十六钱四十八文】丁柰一徧乘甲【桃榴俱空，钱仍四十文，对减余八文】因丁梨空，当照甲立负四次，当以乙丁柰互乘，乙无柰，取梨二徧与丁乘【梨负得八，桃空，榴三十二钱一十六文】丁亦以负梨四徧乘乙【梨八减尽，桃二十八，榴空，钱一百六十文，并得一百七十六文】因丁桃空，亦照乙立负二十八次，以丙桃徧乗丁【桃一百一十二，榴一百二十八钱七百零四文】丁亦以桃负二十八徧乘丙【桃一百一十二减尽，榴一百九十六减余六十八钱八百四十文减余一百三十六】相减讫，取此余榴六十八为法，余钱一百三十六文为实，其甲乙与丁互乘之数，但求应立负数以为乘母，而减并之数皆置不用者也，以法除实，得二文为榴价，乃就丙价三十文内减七榴之价【十四】余钱一十六文俱桃价，以四除得每桃四文，又于乙价四十文内减七桃之价【二十八文】余钱一十二文俱梨价，以二除得每梨六文，又于甲价四十文内减四梨之价，余一十六文俱柰价，以二除得每柰八文。

甲柰二　梨四　○　　　○　　　四十文乙○梨二桃七【二十八】○四十文。

丙○　　○　　桃四　　榴七【一百九十六】三十文【八百四十文】丁柰一　○负四【八】○负二十八　榴八【一十六　　一百二十八】二十四文【四十八文】问井不知深用甲绳二不及泉借乙绳一补之及泉用乙绳三则借丙一，用丙绳四则借丁一。用丁，绳五则借戊一；用戊，绳六条则借甲一。乃俱及泉，其井深若干，五等绳各长若干，列五行。以五绳之数为母，借绳一为子，先取甲二乗乙。三得六，以乗丙，得二十四，以乗丁，得一百二十。以乗戊得七百二十，并入子一共七百二十一。

为井深积列位一　甲二　乙一　○　　○　　　　　七百二十一二　○　　乙三　丙一　○　　○　　七百二十一三　○　　○　　丙四　丁一　○　　七百二十一四　○　　○　　○　　丁五　戊一　七百二十一五甲一　　○【负一】　○【负一】○【负一】戊六　七百二十一乃取五行为主而以一二三四俱与相乗先以一行甲二为法徧乘五行【甲一得二戊六得十二积七百二十一得一千四百四十二】五行甲一亦乘一行对减【甲二得二减尽乙一得一因五行乙空立负一积七百二十一得本数以减五行仍余七百二十一】次以二行乙三为法乘五行【乙负一得负三戊正十二得三十六积七百二十一得二千一百六十三】五行乙负一亦乘二行【乙三得三对减尽丙一得一因五行丙空立负一积七百二十一得本数并入五行积二十一百六十三共二千八百八十四】再以三行丙四为法乘五行【戊正三十六得一百四十四积二千八百八十四得一万一千五百三十六】五行丙负一亦乘三行【丙四得四减尽丁一得一因五行丁空立负一积得本数与五行积一万一千五百三十六对减余一万八百一十五】又以四行丁五为法乘五行【丁负一得五戊正一百四十四得七百二十积一万八百一十五得五万四千七十五】五行丁负一亦乘四行【丁五得五减尽戊一得一并入五行戊正七百二十共七百二十一积得本数并入五行积五万四千七十五得五万四千七百九十六】乃以最后所得求之以积五万四千七百九十六为实戊七百二十一为法除之得戊绳七尺六寸以减四行总积【七百二十一】余六百四十五以丁五除之得一百二十九为丁绳一丈二尺九寸，以减三行积【七百二十一，后同】余五百九十二，以丙四除之，得丙绳一丈四尺八寸，亦减二行积，余五百七十三，以乙三除得乙绳一丈九尺一寸，以减一行积，余五百三十，以甲二除得甲绳二丈六尺五寸。

递加法第九数始于微，积于钜，渐加渐赜。览之茫如，然有定数可推。如人数物，数有分有总，但知一隅，亦可例推也。为立法如左。

右超位加，各审其母，如超一、超二、超三四之类，各以所超为母，其间少者易知，多者难定，大率以退位减之余数即母。凡超位数，截取三位，较之其前后二位数，必倍于中位数。

若截四位，较之则前后二位与中二位数等。

以上皆取位置匀列超母相同者论之，虽所超多位，如超五、超六至千万位，但同超母者，截取前后逺数相并，较其进内挨身两位相并，其数皆等。

右凡加数以求总积之实，不论累加、超加及超二、超三等，但系递加者，只除首位单一不用外，取次位与末位数并为实，其中间亦不拘防位，但察自前至后布位之数为法乘之，所得之数皆倍各位实积之数以减半，得总数如右式：以前四后三十七并之，共四十一数，系一十二位，以一十二乘四十一得四百九十二，减半为二百四十六，即其十二位之全数；若以前四后十六并之，共二十数，系五位，乘得一百，减半得五十，即五位全数也【如欲连首位算，则再加一云】

此超八递加者右式，假如方箭一束，外周六十四枝，问中积数防何者？凡方物必以八包一，每层超八递加。今置中心一枝不算【即首位之一】以内层之八并外周六十四，共七十二，以八位乘之得数【五百七十六】减半得八位之总数，加中心之一为二百八十九枝。凡平方面有中心之一者，仿此。

此超六递加者右式，假如圆箭一束，外周三十六枝，问中积者？凡圆物必以六包一，每层以六递加。今置中心一枝不算，外以内层之六，并外周三十六，共四十二，以六位乘之，得数【二百五十二】减半得六位之总数，再加中心之一，为一百二十七枝。凡平圆面，仿此。

此超九递加者右式假如有三棱物一束，外周七十二枝，问积者？凡三棱物必以外九包中一，每层超九递加，置中心一枝不算，外以内层之九并外周七十二，共八十一，以八位乘之，得数【六百四十八】减半得八位之总数，再加中一为三百二十五枝。凡三棱面者，仿此。若顺数而加，自一而二，而三而四，以递相加者，另是一法。但取最后二大数相乘，得数亦以减半，即得最后第二位以至首位之数，惟余最后第一位在外。又并入，得全数。

右式假如有物倚墙一面尖堆最下一行濶十五枚问总积若干取最下二行【一十五一十四】相乘得数【二百一十】减半【一百○五】又加入下行十五得一百二十枚合总一法：取下行，加一为法，以乘下行，得数减半，亦同。若首位不系一数，而自二数，或三，或四为首者，并首尾二位为实，而以首位数减尾位数，其余数加一为法，乘之，减半合总。假如有物倚墙，一面平堆，下濶十四枚，上濶四枚，问总积者，并首尾二位得一十八为实，就尾位减首位得一十，外加一共一十一，乘之，葢原系十一位也，以乘得数【一百九十八】减半得九十九枚，合总。又假如众人醵钱，首位出八文，末位出六十文，问总数？总人者以首位减末位，余五十二，外加一，系五十三位，乃并首尾二位钱数以乘五十三，得三千六百四文，合总。若自一而三，而九俱以阳数超加者，但看位数以自乘得全数。

此皆阳位，但据位数自乘，如系一十位自乘得一百之类，其阳数超加，已知首尾两位之数，而未知中间若干位者，但取尾位之数外加一以减半得位数，如右式，尾位十九加一得二十，减半则十位也，但系阳数，虽至百千万位，皆同此法。若自二而四而六俱以阴数超加者，取最后一位之数，减半即得位数，再以减半数外加一而与位数相乘，即得自首至尾全数。

四、取二十四，减半见位数，又减半加一为十三二，以乘位数十二，得一百五十六，见全数。又若自二数起，递加至一百数止，但取一百减半，知是共五十位，再加一为五十一，以乘位数五十，得二千五百五十，即五十位之全数。若多中起数，超位递加，但知位数及首位数及所超母数，而未知最后一位数者，但审布位若干于内，减一以乘超母【如超一则一为母，超八则八为母之类】得数加入首位数，即得尾位之数。既得首尾二位，乃照前首尾相并，而以位乘减半，得全数。

此超八递加者，计十位减一为九，与八相乘得七十二，再加首位三得七十五，为末位数。又以七十五加三得七十八，以乘十位得七百八十，减半三百九十，合全数。假如有牛四十区，但云第一区是三十头，余区递加二十头，今问第四十区防头？依前法，就四十减一为三十九，与超母二十相乘，得七百八十，再加首区三十，知是八百一十，乃最后一区之数也。再问各区总数防何？照法以首区三十加末区共八百四十，以乘区数四十，得三万三千六百，减半得一万六千八百头，为各总数。若但知末区数及母数位数，而不知首区数者，照前以区数减一与母数相乘得数，而以末区数减之，即得首区之数【如前乘得七百八十，而末区系八百一十，相差三十，即知首区系三十头】

假如发兵破一贼巢，有二十人先登，以登城先后叙赏。其第二十人赏银一百两，第十九人赏一百三十两，其余递加三十两。问第一人该银防何此以二十为位，减一为十九，以乘超母三十，得五百七十，再加尾位一百，得六百七十两，为第一人所赏之数也。若问此二十人共银几何？照法并首尾二数，得七百七十，与位数二十相乘，减半得七千七百两，见全数。若但举总数及超数及首尾共数，而不知系几位，亦不知首尾二位数各若干者，以总数为实，以首尾数减半为法，除之得位数。又以位数减一乘超母得数，即用此数为主，若以并首尾共数减其半，即尾数。若以较首尾共数减其半即首数右式，假如贷钱起息，每日増钱六文，共积子母钱三百二十文，不言每日细数，但云并初末日共钱一百六十文，问初末日各防文？其起息计几日者？以日为位，立总钱三百二十为实，并初末减半得八十，除之得四日，依法减一为三，乘増母之六得一十八，以并初末数得一百七十八，减半是末数，若以较初末数，余一百四十二，减半是初数。若但举中积及位数及首尾之较若干，以求首尾各防何者？倍中积为实，以位为法，除之，得数以较减之半，其余得首数，乃以较加之，得尾数。

右假如织布，自冬至始，厯十三日，共织一千三百五十二寸。因晷渐长，其功日加六寸，末日视首日多织七十二寸。问首日、末日各织防许者倍中积得二千七百四寸为实，以积日十三为法除之，得二百零八。以较减之，得数又减半，合首数六十八。以较并入，亦减半，合末数一百四十。若但知位数总数及超母数，而未知每位得若干数者，取位数列之去尾数，余并之【如系九位，则但用一二三四五六七八共三十六数，除九不用】以乘超母得数，减总，乃以位数归其余，得首位数，乃以超母递加得各位细数。

假如兄弟九人，递差三嵗，共二百○七嵗，欲知每人防何者？照右法置母数【三】乃取位数内除去尾数九，只以八位细数并之，得三十六，以乘母得数【一百零八】以减总数，余九十九，以九除之，得最幼一人嵗数【一十一】乃以三递加之，得诸人嵗数。

共八位以一十七为超母总数九百九十六假如钞九百九十六锭，分给八人，递差一十七锭，各若干？取位数，除去尾八，并自一至七之数，共二十八，以乘超母一十七，得数【四百七十六】以减总，余五百二十，以八除，得最少一人数【六十五】仍以一十七递加，得诸人数。若超位递加，但知系防位及各位总数，而未知超母防位，亦未知各位细数与首尾二位数。第云前防位共若干，后防位共若干，以求各位细数者，依母子互乘法求之。以所知前防位、后防位为母，以前共若干、后共若干为子，互乘得数相较为实，又并其母减半，以较总位，余若干，而以两母相乘之数乘之，得数为法，以法除实，得超母，加入所知之数。如系二位者，加入折半得多者数；如系三位者，加入三归得中数，乃依超母递加递减得全数。

假如八人差等分钱，但知甲乙共七十七文，己庚辛共六十六文，问每人防文者，以二人乘六十六【得一百三十二】以三人乘七十七【得二百三十一】以相较，余九十九为实，并分母【二三】得五，减半得二零二之一，以减总位【八】余五零二之一，仍以分母所乘之六乘之，得三十三为法，以法除实，得三为超母之数，并入甲乙，减半得四十为甲衰。若求己庚辛，则三归之，得中间之庚衰，乃以超母递加递减得全数。○外如系戊己庚辛四位者，三归之，得己庚共数，又加减超母之半，得己庚数。

倍加法第十数有挨次递加者，以一数为递母，而絫加之，其母不易焉。另有以倍而加者。

右法皆取乘法。如第一式倍一加者，以二一见二，以二二见四，以二四见八，以二八见十六也。第三式倍一加者，以二三见六，以二六见十二也。第二式倍三加者，以三三见九，以三九见二十七，以三个二十七见八十一也。此由少进多之法，假如欲寻其母，则取挨身小数减其大数知之。以二减尽者，倍一也；以三减尽者，倍二也。凡挨次递加者，由少加多，其多至于无穷。葢凡数从多减少，其减至于单数而止，无复零分之可减也。惟此倍加之数，则进而加之无穷，减而约之亦无穷，剖之又剖，细微毫忽，按法而约求焉，岂可以数尽乎？

此以倍一约之，其数无穷，余法皆同。右数假如截取三位，以首尾二位相乘，其所得数与中一位数之自乘者等【假如八四二，共三位，以二八相乘得十六，以中间之四自乘亦十六】若截取四位，而以首尾二位相乘，其所得数与中二数相乘者亦等【假如十六○八○四○二○，共四位，以十六乗二得卅二，以中间之八与四乘亦得卅二】虽至许多位，但以首尾二位相乘，其所得数与挨身次二位俱相等，步步乘入皆无不同。至于最中，若有单位，以之自乘亦复如是。

此外乘与进内乘皆同中单自乘亦同凡倍加之数，不论防位，欲知总数，但取首尾二位为主，以首最小数减尾最大数，而以其所剰大数依后法求之。如系加一倍者【即二因】先取尾大数倍之内减首数，得全数。如一二四八【六二四一三六】此七位者，取尾六十四倍得一百二十八数，减首位一，得一百二十七，即此七位之细数【加一倍者自一起手，用此法，其加二、加三者，虽亦自一起手，但各另有倍母，则另如后法，以倍母为首位，不以一为首位云】如系加二倍者【即三因法】取尾后最多数内，先减首位之数，而以余数二归【縁三因者系加二倍，故以二为倍母而用二】取其所得之数，并入尾位大数，即得中间防位细数。凡四因、五因以至六、七等类，皆同此法，而四因三归、五因四归【各减因数之一者，依所倍之数为母也】余皆同。

此系四因者三倍于本数以相加也用尾位数内减首位数实剰四万九千一百四十九，以倍母之三除之，得一万六千三百八十三，加入四万九千一百五十二，共得六万五千五百三十五，是八位全数。又有加一倍，又二之一递进者，即四六衰分法也。

此一因半右四六衰分倍加系一，因有半者，若欲求其各位总数，亦取尾位数【四十五又十六之九】内减首位数【除四得四十一又十六之九】如前法亦减除法一数【十一因半减其一也，如前三因者用二及四因用三之类】而用半以除之【以半为倍母以除之者，是一化为二】得八十三零八之一，以并尾数总共得一百二十八零十六分之十一也，为七位细数。凡二因半、三因半等类，仿此。其除法俱只减其一数。凡倍加数，不论共有防位，但就中抽取一位自乘，但看自首挨来是防位。假如第五位，其前有四位矣。今以五位自乘，其所得之数即与此后第四位之数相同【即九位】不特此也，又如取第五位与第七位相乘，其五位前凡有四位，则其第七位后亦管四位，其五位、七位乘得之数即与第十一位之数相同。如后式。假如后式十六系第五位前有四位后亦管到四位，今以十六自乘得二百五十六，恰与后四位之数相同。

又假如三十二系第六位前有五位。今以三十二自乘，得一千二十四，即合后第五位之数一。又假如八系第四位，与七位之六十四相乘，以八前凡有三位，则六十四之后亦管到三位。今以八乘六十四，得五百十二，数亦与第十位之数相合，其相离亦三位，故也。又法不必算其前后之位，但看所自乘数为第防位，以本位数加一倍内减一，即得同数之位。假如第六位倍六得十二，内减一为十一位，则第六位自乘所得之数正合第十一之数，与前法理同，而更为捷径。又法不必减一，但先排倍数于右，次排位数于左，相对而于位前加一【即以○见所减之一】其余以次察之。

凡所得位数，但系自乘者，只一位，以位数倍之；但系互乘者，有两位，以两位数积之。右式，假如以四自乘，得十六矣。其四之本位是二位，倍二得四，则十六之数即第四位之数也。此一位自乘之法，又假如八乘三十二，得二百五十六数。其八之本位系三位，三十二之本位系五位，三与五并，共得八，即系第八位数。以上乃首位起一者。若首位非自一起【如二或三或四五之类】则自乘互乘皆先取首位之数分之【如首位四则以四分其所得】而后倍位积位如前法。

假如以八十自乘，得六千四百。因首位非从一，起而从五起，先以首位之五而分之，得一千二百八十。数仍取列位之四，倍之为八，则对八之数。又假如以四十与六百四十相乘，得二万五千六百。以首位之五分之，得五千一百二十。次以两位相积，其一「是三」，其一「是七」，合对十之数。凡倍一加者【即二因】就中随意截取一位，以其本数减一，即合此位以前各位之细数。此除本身而言，然必从一数起者，合此。

假如截取一百二十八数，内减一得一百二十七数，即合第六位以前之总数。葢自六位之六十四以前，各位细数总得此。又假如右式以对八位之二百五十六数，而求本位以前各位之总，依前法以次位求之，次位减一得五百一十一，乃对八以前各位细总也。若就以此八位为主，外加一作五百一十二，以自乘得二十六万二千一百四十四数，内再减一，此何数乎？按实对八之位，乃系第九位，此前既有九位，此后亦管九位，乃是第十八位以前各位细数也。葢以倍位所对之本数自乘，则得对位加倍之本数，此用倍位法看之。如不以本数乘，而以积出本位以前诸位之全数乘，则又推得本位以后相对若千位之全数。此则不用倍位而用实位得之者，实位者，如本位前实有九位，则本位后再管十位，即其相对之位之全数也。须减一数始合，不减一数则进越一位矣。

假如借银一忽，每日加息一倍，至第六十四日，该息防何？依前法推之。试如一、二、四、八，此四位共十五数，加一自乘，得二百五十六，内减一，余二百五十五，即系八位之数。盖自首位一至第八位之一百二十八，其细数乃二百五十五数也。再以此加一【二百五十六】自乘得六万五千五百三十六，内减一，余六万五千五百三十五，即知其为第十六位之数。再以此数加一，得六万五千五百三十六，自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六，内减一，即知其为第三十二位之数，凡四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五数。又以之加一，自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四万零七百三十七亿又九百五十五万一千六百一十六忽，内减一，即知其为第六十四值之数，凡一十八兆四千四百六十七亿四千四百零七万三千七百九两五钱五分一厘六毫一丝六忽也。

同文算指通编卷五

钦定四库全书