同文算指通编卷四

同文算指通编卷四

明　李之藻　撰叠借互征第七【附盈朒】借虚征实，其术精矣。又有子母杂互，隠奥难知者，则两借虚数以征之。征之于实，尚逺也。或两浮而盈，或两缩而不足，或一盈一不足。俱以借数列上，以较原数，以多寡之差列下，而左右互乘焉。其法有二：凡俱盈、俱不足者，以差数相减，余为法，以乗数相减，余为实。若一盈一不足者，以差数相并为实，而以法除实，则二法相同。旧有盈朒一章，大都类此。而此则于未有盈朒之先，借数推出盈朒，以求隠数，故曰借征。其显有盈不足实数者，但依旧法求之。诸盈不足者，两盈者、两不足者、盈适足者、不足适足者及叠互母子者，各具数条，见例。问：设一虚数，以其半为用，内除三之一，又除四之一，尚余三百，其原总数几何？其法：先另借一通数以分其半，而通各分。先借二十四为数，列左上【其半为十二，其三之一为四，其四之一为三，尚余五】以比三百，则不足二百九十五，列左下。另借九十六为数，列右上【其半为四十八，其三之一为十六，其四之一为十二，尚余二十】以比三百，不足二百八十，列右下。次以左上乘右下，又以右上乘左下，各得数附注其下，以少减多，其余为实，而以左下、右下相减，其余为法，除之。

除得一千四百四十合，原总以减半为七百二十，其三之一乃二百四十，其四之一乃一百八十，加三百合，一半七百二十之数。假如借四千八百为通数，列左上【其半为二千四百，其三之一为八百，其四之一为六百余一千】以比三百，则盈七百，列左下。又借二千四百为通数，列右上【其半为一千二百，其三之一为四百，其四之一为三百余五百】以比三百，盈二百，列右下。亦以二数相减，余为法，而以左上乘右下，以右上乘左下，相减余为实，而以法除之。

以法除实，亦得一千四百四十合，原总数。又假如借二千四百为通数，列左上【即前第二式，右上者尚余五百】盈二百，列左下；再借九十六，列右上【即前第一右上者余二十】不足二百八十，列右下。此系一盈一不足者，相并为法；次以左上乘右下，以右上乘左下，亦相并为实，以法除实，仍得一千四百四十。

问三人共银四十四两，乙多甲一倍外又多四两，丙兼甲乙之数外又多六两，每人实数防何【此大约当以四分分之而算】先借一十为通数列左上【甲一十，乙倍得二十又加四共二十四，丙兼二数又加六得四十】共七十四，以比四十四盈三十列左下；又借六列右上【甲六，乙倍之加四得十六，丙兼二数加六得二十八】共五十，以比四十四盈六列右下；以相减余为法，乃以左上乘右下，以右上乘左下，亦以相减余为实，以法除之得五为所求之甲数，倍之又加四得一十四为乙数，兼之又加六得二十五。

右图以甲之左数一十乘六，及以右数六乘三十者，固除得甲五。若以乙之二十四乘六，及一十六乘三十，亦得乙数。以丙之四十乘六，及二十八乘三十者亦得丙数以共数七十四乘六及五十乘三十者亦得共数问：甲乙各不知数，取乙九与甲，则甲倍于乙；取甲九与乙，则甲乙正等。原数各若干？借一百为等数，乙既得甲九，则甲原一百九列左上，而乙九十一列其次。甲若取乙九，则甲一百十八，而乙八十二，以视甲之半盈二十三【因甲取乙九，当倍乙数故】列左下。另借五十为等数，乙既得甲九，则甲原五十九列右上，而乙四十一列其次。甲又取乙九，则甲得六十八，而乙三十三，以视甲之半不足二列右下。盈不足相并二十五为法，左上乘右下，右上乘左下相并为实，以法除实。系甲乘者除得六十三为甲数，系乙乘者除得四十五为乙数。

问携酒游山，到处沽，増一倍，俱饮六升。至第四处，饮讫无余，原携若干？借五升四合，列左上。倍之【一斗八合】减六【四升八合】又倍之【九升六合】减六【三升六合】三次倍之【七升二合】减六【一升二合】四次倍之【二升四合】以减六不足三升六合，列左次。另借六升二合，列右上。倍之【一斗二升四合】减六【六升四合】又倍减至四次【倍得一斗二升八合，减存六升八合；复倍得一斗三升六合，减存七升六合；又倍得一斗五升二合，减存九升二合】盈九升二合，列右次。盈不足相并为法，以左上乘右下，右上乘左下，并为实。以法除实，得五升六合二勺五抄。

问贷谷不知数，每年加息一倍，一年还谷五斗，至五年本利俱完，其原贷若干？先借四十三石，列左上，倍之【八十六】减所还【余三十六】又倍之【七十二】又减【余二十二】仍倍之【四十四】不足六石，列左下。又借四十四石，列右上，倍之【八十八】减所还【余三十八】又倍之【七十六】又减【余二十六】仍倍之【五十二】盈二石，列右下。并盈不足为法，左上乘石下，右上乘左下，得数并为实，以法除实，得原谷四十三石七斗五升。

或依三率置五十为实置三年之倍【一二四】并得七乘。

之加母【一】为法除之亦同问逐兔百只，每三人得四只，该防人先借七十二人，列左上，以四乘三除【九十六】盈四只，列下。另借九十人，列右上，以四乘三除【一百二十】不足二十，列下。盈不足并为法，左上乘右下，右上乘左下，得数并为实，以法除实，得七十五人。

此问依三率三乘四除即得借此见例云问：甲、乙、丙共数六十，乙多甲一倍外加四，丙兼甲乙数外加六，各该防何？先借六为甲，通乙丙数，列左上【甲六，乙十六，丙二十八】共得五十，比正数不足一十，列左下。又借八为甲，通乙丙数，列右上【甲八，乙二十，丙三十四】共六十二，比正数盈二，列右下。相并为法，次以左上乘右下，以右上乘左下，亦相并为实。依法除得七零三之二为甲数，倍之加四得十九零三之一为乙数，兼甲乙加六得三十三为丙数，总合六十数。

问：试以三十数，随手剖为二，以其一加六十，以其一加二十，而加六十者为加二十者之三之二，其剖分之数各防何？此取三十而随意剖之，且借二十为甲数，列左上，列乙一十于次，而各如问加焉。察其数【甲二十加六十得八十，乙一十加二十得三十】甲视乙固不足三之二【乙三十则甲之三分二者该九十，今却八十】以不足一十列左下。又借二十四为甲数，列右上，亦列乙六于其次，各加如问而察其数【甲二十四加六十得八十四，乙六外加二十得二十六】甲又盈乙三之二【乙二十六则甲之三分二者该七十八，今却八十四】以盈六列右下。盈不足积并为法，次以左上乘右下，以右上乘左下并为实，以法除实，得二十二又二之一为甲数，然后求三之一，则七零二之一为乙数也。

问甲乙丙三数，甲加七十三得为乙，丙数者二；乙加七十三得为甲，丙数者三；丙加七十三得为甲，乙数者四。其实数各防何？此因有三之二及四之三，当借竒数为通数以求甲数，而又因乙丙之加牵连难析，则叠用前法以征之。且如借一乃奇数也，以当甲列左上【左图】加七十三【共七十四】当兼乙丙而倍之【既以七十四为兼乙丙且倍之，则乙丙当仅得其半，共得三十七】因以折半三十七为乙丙数，而乙与丙又衰分焉【乙加七十三又得甲丙三之二，因寻乙所衰于丙者】依前法随意衰之为两，如借二为乙衰，另列于左上【右图】则丙系三十五矣，列左次。乃以二加七十三【得七十五】以较甲丙合数未足三之二【甲一丙三十五共三十六，则其三之二乃该一百零八，今乙衰二加七十三只有七十五】尚缩三十三，列左下。又借五当乙【三十七中之五】列右上，则丙系三十二矣，列右次。乃以五加七十三【得七十八】以较甲丙有三之二否，不足二十一【甲一丙三十二共三十三，则其三之二该九十九，今乙衰五加七十三只七十八】列右下。两不足相减余为法，而以左上乘右下，以右上乘左下相减余为实，法除实得一十零四之一为乙实。乃列乙实于左图初借立一之次，既已得乙实即得丙实【乙丙共三十七也，乙得一十零四之一，则丙得二十六零四之三】列于又次。

又另借三为甲衰，列右上，加七十三【共七十六】以其半为乙丙衰【得三十八】而随意分之为两，另作一法，如前焉。如以二为乙衰，列左上，其余三十六乃丙衰，列左次，即以乙衰之二加其七十三【得七十五】与甲丙相较，是三之二否？不足四。

十二【甲三丙三十六共三】【十九，其三分之二，乃一百十七】【也今乙衰加之只七十五】即以不足列左下另借二十三为乙衰，列右上；其半十五为丙衰，列右次。以乙衰二十三加七十三【得九十六】与甲丙相较，是三之二否？又盈四十二【甲三丙十五共十八，其三分之二当是五十四，今乙衰之数与加数却有九十六】以盈列右下，盈与不足相并为法，仍以左上乘右下，以右上乘左下而相并为实，以法除实，得一十二零二分之一为乙实。乃列乙实于前所借甲三之次，因得丙实【乙丙共三十八，乙既得一十二又二分之一，则丙得二十五零二分之一】亦列于又次，俱照前式。

乃依所问察之，甲加七十三要，兼乙丙数，又多一倍；乙加七十三要，得甲丙数者三；丙加七十三要，得甲乙数者四。

如右图左上甲衰及所加【共七十四】已兼乙丙之数与其倍数【乙丙共三十七，兼而倍之则七十四也】左次乙衰所加【共八十三又四之一】亦兼甲丙数之三【甲丙共二十七又四之三，以加二倍合乙衰】俱合原问。惟左又次丙衰及所加【共九十九零四之三】以合甲乙【共十一零四之一】如原问。但欲得甲乙数者四，只须四十五，今却九十九零四之三，乃盈五十四零四之三，到此不合矣，仍依互乘之法求之。右上甲衰及所加【共七十六】亦合乙丙兼数与倍数【乙丙共三十八，兼倍之则七十六也】右次乙衰及所加【共八十五半】合甲丙亦具三因【甲丙共二十八半，三因之得八十五半】惟右又次之丙衰及所加【共九十八零半】以合甲乙【共十五又二之一】以四因之当得六十二，今却九十八零二之一，乃盈三十二零二之一也，不合原问，仍依互乘之法求之。于是以左上甲衰乘右下，以右上甲衰乘左下，相减余为实，以左下右下相减余为法除之，得七为甲衰。如欲得乙衰，则以乙之左右上下互乘相减，以法除之，得一十七为乙衰。如欲得丙衰，亦以丙之左右上下互乘减除，得二十三为丙衰。问：设有一数，以与三相乘，外加一十，又以此乘四，外加二十，又乘五，外加三十，又乘六，外加四十，即共得六千七百，此其原设数防何？其法：先借二为主，列左上，以乘三【得六】外加十【共十六】又与四相乘【六十四】加二十【共八十四】又与五相乘【四百二十】加三十【共四百五十】又与六相乘【二千七百】加四十【共二千七百四十】以此所问数【六千七百】不足三千九百六十，列左下。次借三，列右上，以乘三【九】外加十【共十九】又乘四【七十六】外加二十【共九十六】又乘五【四百八十】外加三十【五百一十】又乘六【三千六十】外加四十【共三千一百】以比所问数【六千七百】不足三千六百，列右下。两不足相减，余为法除之，得一十三，系原设。

右法已除得十三者与三相乘【三十九】加一十【四十九】又与四相乘【一百九十六】加二十【共二百一十六】以乘五【一千八十】加三十【共一千一百一十】以乘六【六千六百六十】加四十实得六千七百合问：问二人共分银一百两，不得其均。若均分则每人当五十两，然须甲还所得银三之一，乙又还所得银五之一，方得每人五十两。其不均之分各得若干？先借三十两为甲衰，列左上，亦列乙衰七十于次。乃减甲三之一【减一十存二十】亦减乙五之一【一十四】而以乙减归甲【甲二十加乙十四共三十四】以比五十不足一十六，列左下。另借六十为甲衰，列右上，亦列乙衰四十于其次。乃减甲三之一【减二十存四十】亦减乙五之一【八】而以乙减归甲【甲四十加乙八共四十八】不足二，列右下。两不足相减余为法，以左上乘右下，以右上乘左下相减余为实，以法除实得六十四两零七分两之二为甲衰。就一百两内减甲衰，余三十五两又七分两之五为乙衰。合原分不均。

之数问二人共分银一百两，未得其均，须甲损所得三之一，乙亦捐所得四之一，和合平分，乃各得五十两，其未均之数各若干？先借六十为甲衰，列左上，亦列乙四十于左。次乃减甲三之一【减二十存四十】减乙四之一【减一十存三十】和所减【甲二十乙一十共三十】而均分之【各得十五】以甲所得十五合减存四十之数【甲原存四十加十五得五十五】以比五十盈五，数列左下。另借二十四为甲衰，列右上，亦列乙衰七十六于右。次乃减甲三之一【减八存一十六】减乙四之一【减一十九】和所减【甲八乙一十九共二十七】而均分之【各得十三零二之一】以甲所得一十三半之数合减存一十六数【共二十九半】以比五十不足二十半，列右下。盈不足相并为法，右上乘左下，左上乘右下相并为实，以法除实，得五十二两零十七分两之一十六为甲衰，其余四十七。

两又十七分两之一为乙衰问以一千剖为二，甲多于乙四十九，作何剖之？其法借六百为甲衰，列左上，亦列乙四百于次，相较差二百，以比四十九，则盈一百五十一，列左下。另借五百五十为甲衰，列右上，亦列乙四百五十于次，相较差一百，以比四十九，则盈五十一，列右下。两盈相减，余为法，以左上乘右下，右上乘左下，相减余为实，以法除实，得五百二十四零二分两之一为甲衰余为乙衰问香罏二座，其葢重一百五十斤。以葢加甲罏，则多于乙二倍；以葢加乙罏，则与甲罏正等。此二罏各重若干？其法借三十为甲衰，列左上；葢一百五十，列左次，共一百八十。又列其次，以三之一为乙衰，得六十。以乙加葢【得二百一十】比甲衰三十盈一百八十，列左下。另借九十为甲衰，列右上；葢一百五十，列左次，共二百四十。又列其次，取其三之一为乙衰，得八十。以乙加葢【二百三十】比甲衰九十盈一百四十，列右下。两盈相减余为法，左右上下互乘仍相减余为实。以法除实，得三百斤为甲罏，以加葢得四百五十斤，其三之一得一百五十斤为乙罏。

问香罏二座，有一葢，其葢重百两。加甲罏，则其重比乙多二倍；加乙罏，则其重比甲多一倍。此二罏各重若干？其法，借五十为甲衰，列左上；葢数一百，列左次，共一百五十。又列其次，而以其三之一，五十为一衰【因甲加葢多乙二倍故】加葢【得一百五十】比甲衰【五十】盈五十，列左下【既倍甲五十只该一百，今却一百五十故盈五十】另借一百一十为甲衰，列右上；葢数一百，列右次，共二百一十。又列其次，而以其三之一为乙衰【七十】加葢【一百七十】比甲衰【一百一十】不足五十，列右下【倍甲一百一十即该二百二十，今却一百七十故不足五十】盈不足相积为法，左右互乘积为实，以法除实，得八十两为甲罏，其加葢三分之一得六。

问有人买鹌鹑，不知其数，但云以其二之一加三之一，又加四之一，再加二十二，共得一百，此是防何其法？借一通数，可以二、三、四分之者为主，先借十二，列左上，而以二之一【六】三之一【四】四之一【三】并之得十三，再加二十二，共得三十五，以比一百不足六十五，列所不足于左下。另借六十，列右上，而以二一【三十】三一【二十】四一【十五】并之得六十五，加二十二，共得八十七，以比一百不足一十三，列所不足于右下。两不足相减为法，左右互乘相减为实，以法除实，得七十二为所问之数，以其二之一【三十六】三之一【二十四】

四之一【一十八】再加二十二共一百只问：二商各擕毋银，未知其数，但云取乙十二两与甲，则乙有甲六之一；取甲十五两与乙，则甲有乙十之一。其实数若干？法从乙起算，先借二十两为乙衰，列左上，内减十二【余八】以当甲六之一，用六因求甲【六八四十八】内还乙所加【十二】存数三十六，又捐十五与乙【甲剩二十一，其乙原余八，又取甲十二共二十，今又加得三十五】以甲剩数较乙加数，甲是乙十之一否【甲二十一，则乙当二百一十，今乙只三十五】不足一百七十五，列左下。另借一百为乙衰，列右上，内减十二【得八十八】以六因求甲衰【五百二十八】亦还所加【十二】存数五百一十六，内除十五与乙【甲剩五百一，乙原余八十八，又取甲十二共一百，今加十五该一百一十五】以乙较甲，甲是乙十之一否【甲五百一，则乙当五千一十，今乙只一百一十五】不足四千八百九十五，列右下。两不足相减为法，左右上下互乘相减余为实，以法除实，得十七两零五十九之二为乙毋。内捐十二两与甲，则实得五两又五十九之二，以六因求甲，得三十两零五十九之十二，内亦减十二，实得十八两零五十九之十二。再捐十五两与乙，加乙原数十七两又五十九之二，共得三十二两零五十九之二，以十之一约。

问二人所各携银，不知其数，但云：减乙六两与甲，则甲多乙一倍；减甲三两与乙，则与乙正等。各实数几何？从乙多数起算，先借一十五两为乙衰，列左上内，减六存九，以当甲之半，则甲该一十八，内又除所加六，得十二为甲衰正数，内减三与乙，则甲剩者九，以甲所剩九较乙衰十五及所加之三，乃盈九【甲九乙十八也】列所盈于左下，另借二十为乙衰，列右上内，减六存十四，倍之为甲衰，当是二十八，亦减所加六，实得二十二为甲衰正数。若取三与乙，则甲剩十九，以甲之十九较乙之二十及所加之三，又盈四【甲十九乙二十三】列盈数于右下，两盈相减为法，左右上下互乘相减余为实，以法除实，得二十四为乙衰，内减六与甲，余倍之得三十六，甲先借六与乙，则甲之本数只三十矣。就三十之内减其三两，并入乙二十四两为二十七，甲三十减三亦二十七，故其数正等。

问漏壶一座，注水其中，下有三孔。其甲孔流水二时而尽，乙孔流水三时而尽，丙孔流水六时方尽。若三孔俱开，则防时水尽。且借四时为用，列左上，而各据其孔之大小流水之迟速测之【甲二时一壶，则四时当尽二壶；乙三时尽乙壶，则四时当尽一壶零三之一；丙六时尽一壶，则四时当尽三分壶之二】得数并计之，共以四时尽四壶，而所问者一壶也。为盈三，列左下。另借十时为用，列右上，亦以时推其多寡【甲二时一壶，则十时该五壶；乙三时一壶，则十时该三壶零三之一；丙六时一壶，则十时该一壶零三之二】得数并计，共以十时尽十壶，比原问一壶又盈九，列右下。两盈相减，剩六为法，上下左右互乘相减，亦得六为实。以法除实，得一。是二孔俱开，则壶水一时泄尽也问漏壶一具，上有渇乌注水，凡十二时而满；下有窍通天池泄水，凡十八时而水尽。若上注水，下泄水，当几时水可满？且借二十为满候，列上以推注泄之时。已知下泄十八时尽一壶，则二十时当尽一壶零九分壶之一，而其上注二十时必能满至二壶九之一，方与此合。乃且注且泄，只有一壶三之二，不足九分壶之四，列左下。另借三十时为满候，列右上，而各推其时。已知下泄十八时尽一壶，则三十时当尽一壶零三之二，而其上注三十时必须满至二壶三之二，方与此合。而又不然，只满二壶半，亦不足六分壶之一，列右下。两不足相减，余为法。乃以右上乗左下，以左上乗右下，减余为实，以法除之。

问：甲匠做工，三十日完；加乙匠，则十八日完。若独用乙匠，须几日完？先要知甲匠十八日所做之工，乃三十日内五分之三，则知乙匠十八日之工，乃其五分之二也。试借四十日为乙衰，列左上，以十八日完五之二推之，则四十日完九分工之八，不足九之一，列左下。别借六十日为乙衰，列右上，亦以十八日五之二推之，则六十日完全工外，又溢九之三，列右下。两盈不足相并，得九之四为法；次以左上乗右下，右上乘左下，相并得九之一百八十为实。以法除实，得四十五日完工。

右乙匠十八日完五分工之二，所少五之三者，算该二十七日完，以二十七加一十八，是四十五也。问甲乙丙三人共博，甲赢乙金二之一，乙赢丙金三之一，丙又赢甲金四之一，事毕各剰金七百两，三人原携母金若干？法已知三人原共金二千一百两【三个七百】三分之当于甲衰七百内与丙四之一，又得乙二之一，于乙衰当加入丙三之一，又与甲二之一，于丙衰当得甲四之一，又与乙三之一。乃先借一百两为甲衰，列左上内除四之一【二十五】该存七十五，而总有七百两，是所赢于乙者为六百二十五两，而乙衰当为一千二百五十两矣，列左次内输去二之一，则所剰当亦为六百二十五两，又赢丙三之一而为七百两，则亦得丙七十五两，而丙所携母为二百二十五两矣，又列其次内输与乙三之一，尚存一百五十，加入得甲四之一【二十五】共得一百七十五两，以较原问不足五百二十五，列左下。别借二百为甲衰，列右上内除四之一【五十】剰一百五十，而总有七百，以乙二之一足之，则知乙衰二之一该五百五十两，而乙总数为一千一百两矣，列右次内输与甲二之一当剰五百五十两，又以丙三之一足之而为七百两，则亦得丙一百五十两，而丙所携母为四百五十两矣，又列其次内输与乙三之一，尚存三百两，加所得甲四之一【五十】仅得三百五十两，比原问不足三百五十，列右下。两不足相减剰为法，左右上下互乘相减剩为实，以法除实得四百为甲母，推知乙母八百【以甲四百减四之一存三百，加入乙二之一该増四百，是知乙母八百】丙母九百【以乙八百减二之一存四百，加入丙三之一该増三百，是知丙母九百也】。甲母四百赢四百输一百，乙母八百输四百赢三百，丙母九百输三百赢一百，俱剰七百，而三人所携与所赢所输皆得矣】

问：甲、乙、丙三商共贩，得子银四百两，依母银分之。乙比甲多分十二两，丙比乙多分十六两。要知各分若干？先借一两为甲衰，列左上，推得乙该十三两，丙该二十九两，共四十三两。以视四百，不足三百五十七两，以次列左下。别借二两为甲衰，列右上，推得乙该十四两，丙该三十两，共四十六两。以视四百，不足三百五十四两，以次列右下。两不足相减剰为法，左右上下互乘得数，减剰为实，以法除实，得。

一百二十为甲衰以推乙衰一百三十二丙衰一百四十八合问问调兵征倭，内有南北西三处兵马。南兵四万，北兵为南兵及西兵二分之一，西兵为南兵、北兵三分之一。要知北兵与西兵各若干，并南兵共若干？先借三万为北衰，列左上。推得南、西二兵共该六万，而西兵仅该二万，列左次。若为南北三之一，则南北共只六万，而实七万，是盈一万也，列左下。又借二万四千为北衰，列右上。推得南、西二兵共该四万八千，而西兵仅该八千，列右次。若为南北三之一，则南北共只二万四千，而实六万四千，又盈四万也，列右下。以盈相减剰数为法，上下左右互乘得数亦相减剰为实，以法除实，得三万二千为北衰。推知西兵二万四千，总共九万六。

千而北得南西二之一西得南北三之一问黄金百斤，制罏一座，既成，虑匠人盗金，和银销毁，验之，恐伤工本，欲知和银若干，法以器贮水，令满，已知水防斤，乃以金罏百斤入器内，溢水六十五斤，加水令满，别以纯金百斤入之，溢水六十斤，另贮满水，以银百斤入之，溢水九十斤，今借银四十斤为匠所换，数列左上，存金六十斤，列左次，其罏溢水六十五斤，若以纯金只溢六十斤推之，实在罏内之金六十斤，只该出水三十六斤，又以纯银溢水九十斤推之，所和之银四十斤，亦该出水三十六斤，共该溢七十二斤，今视原数【六十五斤】盈七斤，列左下，又借银三十斤为匠所换，数列右上，存金七十斤，列右次，以纯金溢水六十斤推之，则罏金七十斤该出水四十二斤，又以纯银溢水九十斤推之，则和银三十斤该出水二十七斤，共该溢六十九斤，今视原数【六十五斤】又盈四斤，列右下，两盈相减剰为法，左右上下互乘得数减剰为实，以法除实，得一十六斤零三分斤之二为匠人盗和银数，其实在纯金乃八十三斤三分斤之一也，葢比例推之，金百斤溢水六十斤，则八十三斤及三分斤之一该出水五十斤，银百斤溢水九十斤，则一十六斤及三分斤之二该出水一十五斤，合之得六十五斤，合问。

问绫七尺，罗九尺，两价适等，其每尺之价，罗少于绫者，其较三十六文，此绫、罗各价若干？是为匿价衰分法。先借七十二文为绫价，列左上，则罗价当三十六文，列左次，各以尺数乘之【绫七尺得五百○四文，罗九尺得三百二十四文】罗视绫不足一百八十文，不相等也，又列其下。别借一百文为绫价，列右上，则罗价当六十四文，列右次，各以尺数乘之【绫七尺得七百文，罗九尺得五百七十六文】罗视绫不足一百二十四文，亦不相等也，又列其下。以两不足相减，余为法，乃以左上乘右下，右上乘左下，得数亦相减，余为绫实，以法除之，得绫每尺价一百六十二文。再以左次乘右下，右次乘左下，各得数相减，余为罗实，以法除得罗每尺价一百二十六文。又各以尺数乘之，绫七尺共一千一百三十四文，罗九尺亦一千一百。

三十四文正等问金九锭银十一锭其重适等互换一锭则金轻十三两金银每锭重若干此因互换一锭而金轻十三两因知金银之轻为六两五钱也乃先借一十三两为金衰列右上则银该六两五钱列右次各以锭乘【金九锭得一百一十七两银一十一锭得七十一两五钱】金视银盈四十五两五钱列下另借二十四两为金衰列左上则银该一十七两五钱列左次各以锭乘【金九锭得二百一十六两银十一锭得一百九十二两五钱】金视银盈二十三两五钱又列其下两盈相减余为法而以左上乘右下，右上乘左下，得数相减，余为金实；左次乘右下，右次乘左下，得数相减，余为银实。俱以法除，得金一锭重三十五两七钱五分，银一锭重二十九两二钱五分。而各以锭乘，金九锭共三百二十一两七钱五分，银十一锭亦三百二十一两七钱五分，正等。问牛羊共一百牵，总价一百六十八两，每牛三头银十二两，羊四羫一两五钱，欲知牛羊各数各价若干。此于大总内又立小总法，先以三归十二，得牛一头价四两；以四归一两五钱，得羊一羫价三钱七分五厘。而化两及钱分皆为厘算之，先借六十为牛衰，列左上，则羊该四十，列左次，而以各价乘之【牛六十头乘四千厘得二十四万，羊四羫乗三百七十五厘得一万五千，并共得二百五十五两】以视共价盈八十七两，列左下。又借三十为牛衰，列右上，则羊该七十，列右次，而以各价乘之【牛得一十二万厘，羊得二万六千二百五十厘，并共得一百四十六两二钱五分】以视共价不足二十一两七钱五分，列右下，并盈不足为法依式互乘乃以左右上数互乘下并为牛实，左右次数互乘下并为羊实，以法除得牛三十六，羊六十四，以各价乘得总。问鸡兎同笼，不言其数，但云九十六头，三百零八足，其鸡兎各防何？法以九十六头为主，先借到鸡四十八只，列右上，兎亦四十八只，列右次，而以各足乘之【鸡二足乘四十八得九十六足，兎四足乘四十八得一百九十二足】并二百八十八足，以较三百○八足，不足二十，列右下。又借作鸡六十只，列左上，则兎该三十六只，列左次，而以各足乘之【鸡二足乘六十得一百二十，兎四足乘三十六得一百四十四】并二百六十四足，以较三百○八足，不足四十四，列左下。两不足相减余二十四为法，又以左上乘右下，右上乘左下，各得数相减，余为鸡实，以法除之，得鸡三十八只。其左次、右次亦如法乘减，余为兎实，以法除，得兎五十八只。各以两足、四足乘之，合三百○八足之数。

又法置九十六头，倍之得一百九十二，以减总足，余一百一十六，足以二归之，得五十八，为兎数。却以四足乘之，得二百三十二，又以减总足，余七十六，以二归之，得三十八，为鸡数。葢以两物皆借作两足起算者，以上原二十二条，补七条，与旧法盈朒畧似，然本无盈朒，而借立一数以求盈朒，乃以盈朒推之者，与前借衰互征之法，俱极超妙。虽至隠至奥之数，用此推求，未有不涣然氷释者。学人熟此二法，于算义思过半矣。其旧法盈朒章，人所恒习，亦附数条于后，相比拟。旧法未知借推之妙，只立盈与不足，或两盈、两不足为母，两母相减为法，以母子互乘之数求其物实，以两子或并或减之数求其人实。大抵一盈一不足者相并为实，两盈、两不足者减余为实，俱如前法耳。又有叠数盈朒【如防人分防许盈几数，防人分防许不足几数之类】列作上、中、下三位，所求人实亦取下层盈不足并减同前，而取两上相乘以为通法，更乘人实，然后乃以上中互乘减余为法除之，又以上中乘出之数互乘下层，仍前并减以为物实，以法除之，与人实同。问：醵金买物，每人出五两，盈六两；每人出三两，不足四两。人数、物价各若干？左列五之六，右列三之四，互乘并之为物实；另并两子【六四】为人实。两母相减，余二为法，除人实得人数五；除物实得物价一十九两。或先得人数，以乘出率五内减盈六，及以乘三外加不足四，皆同。

右法若依借衰者，且借立一数，与五相乘，内减六，得若干；又与三相乘，外加四，得若干。如相同，即所求之数；若不同者，则依盈朒推之。假如借四人，列左上，以乘五，减盈六，得一十四；亦以乘三，加不足之四，得一十六。两数相较，不足二，列左下。又借七人，列右上，以乘五，减盈六，得二十九；亦以乘三，加不足之四，得二十。相较盈四，列右下。以并左下共六为法，左右上下互乘并得三十为实，以法除实，得五人。以乘出率五，内减盈六，得一十九。两若以乘三，加不足亦同。【此并子数为法，并乘数为实，以求人数与前两母减余为法，而除人、实物实，及以乘。出为物实而以母较除之者，法稍异耳】问：众人分谷，每人五石，盈三十石；每人六石，不足四十石。其人谷各若干？以五之三十列左，六之四十列右，互乘并之为谷实，并两子【三十四十】为人实，两母【五六】相减，余一为法，除人实得人数七十，除谷实得三百八十石。或先得人数，即以乘分率，五外加盈三十；及以人数乘分率，六内减不足四十，亦同【前条系出率故减盈增不足，此条系入率故增盈减不足】

右法若用借衰者试借三十人列左上以乘五【一百五十】加三十【共一百八十石】亦以三十乘六【一百八十】减四十【一百四十】以前数较盈四十列左下另借一百人列右上以乘五【五百】加三十【五百三十】即以一百乘六【六百】减四十【五百六十】亦以前数较不足三十列右下盈不足相并为法左右上下互乘并之为实以法除实得七十为人数乃以人数乘五【得三百五十】外加盈三十为三百八十石又以人数乘六【四百二十】内减不足四十亦三百八十石问以绢一匹作帐，先折成六幅，比旧帐长六寸；后折成七幅，比旧帐短四寸。新绢旧帐幅各长若干？此先以幅数乘盈不足数求之：置六幅列左上，以乘盈六寸，得三尺六寸，列左下；置七幅列右上，以乘不足四寸，得二尺八寸，列右下。左右上下互乘，并之为绢实；另并盈不足【三尺六寸二尺八寸】为旧帐幅实，而以七幅六幅相减，余一为法，除之，得绢长四。

丈二尺旧帐幅长六尺四寸问直田一段，欲截一半另佃。第云：截长六步，不足七步；截长八步，盈九步。所截步及原濶步各若干？列六之七及八之九，互乘并之为截积之实，并子数为原濶之实，而以两母相较，余二为法，除之得原濶之步八，得截积之步五十五。

问：每人出银三两五钱，盈六两；每人出银三两三钱，盈二两八钱。人数、物价各若干？此以两出率左右列，及以两盈各置出率之下，互乘得数相减，余为物实；以两盈相减，余为人实；又以出率相减，余二为法，除物实得价五十两。除人实得一十六人问：每人出银五两，不足四两；每人出五两四钱，不足二两。人数、物价各若干？列两出率及两不足互乘得数，亦相减，余为物实；以两不足相减，余为人实；又以两出率相减，余四为法，除人实得五人，除物实得价二十九两。

问：井不知深，将绳折作三股，入井汲水，余绳四尺；次将绳折作四股入井，绳余一尺。井深、绳长各若干？置三股、四股为母，各以所盈数乘之【以三乗四尺，得一十二尺；以四乘一尺，得四尺】左右列位互乘，得数相减，余为绳实；以前所乗出两盈数相减，余为井深之实。乃以二母相减，余一为法，除绳实，得绳长三丈六尺；除井实，得井深八尺。

问：每人出银二两五钱，盈六两；每人出二两三钱，适足。人数、物价各若干？置出率，各以盈、适足系之。除适足无乘，只以左盈乘右出率为物实，以盈数为人实。仍以两出率相减，余二为法。除物实，得物价六十九两；除人实，得三十人。或不乘盈数，径求人数，而以所得之人数乘适足之出率者，亦得物价同前。

问：每人出银七两，不足一十四两；每人出九两，适足。人数、物价各若干？仍前列位，以右九乘左不足为物实，以不足为人实，两出率减余二为法，除人实得七人，除物实得价六十三两。或不以乘法求物实，径求人数，而以人数乘适足之出率，亦得物价，同前。

问：以米换布，换九匹，适足；换七匹，多米四斗。其米数、布价各若干？置出率及盈，适足以盈数为实，以两出率减余为法，除之，得每匹值米二斗。乃以适足之九匹乘之，得总米一十八石。

问：每八人共出银七两，盈四两五钱；每九人共出六两，不足三两。人数、物价各若干？此叠数盈朒也。布位三层，先立通数以乘人率，法取左上、右上相乘为之【七十二】乃以上中二位左右互乘得数【左六十三，右四十八】相减以其余数【一十五】为后除人、实物、实之法，而各以乘得之数与下位左右互乘【左二百一十六，右一百八十九】并之【四百零五】为物实，以法除得价二十七两。仍并盈不足数为人实之率【七十五】而以前求通法【七十二】乘之得数【五百四十】为人实，亦以法除得三十六人。此法与前数条大畧相同，但物实则以上中乘出之数乘其下位盈朒之数，而人实则増二上相乘通数，以与再乘其所除人、实物、实之法，则前条直以出率减余为之，此以上中互乘得数相减余数为之，此其小异耳。

上　　中　　　　下问：每六人共出银九两，盈三两；每四人共出银七两，盈六两。人数、物价各若干？法：以左上、右上乘得数为通法【二十四】次以上中互乗【左得三十六，右得四十二】相减余【六】为除人实物实之法【六】又以互乘所得之数与下两盈数互乘【左得二百一十六，右得一百二十六】相减余为物实【九十两】以法除得价一十五两。以两盈相减余【三】为人实之率，而以通法【二十四】乘之得人实【七十二】以法除得一十二人。其叠数两不足，仿此。

上　　中　　　　下问：每三人共出银五两，多一十两；每五人共出银九两，适足。人数、物价各若干？法：以左上右上相乘，得数为通法【一十五】次以左上乘右中【二十七】右上乘左中【二十五】相减余【二】为除人、实物、实之法。次以右中得数乘左下盈【得二百七十两】为物实；以法除得价一百三十五两。就以左下盈【一十】为人实率，而以通法【一十五】乘之为人实【一百五十】以法除得七十五人。

上　　中　　　　下　　其叠数不足适足仿此问：银未知数，以买物，用三分之二，盈三两；用五分之三，不足一两。银数、物价各若干？法：取子母互乘，以通盈朒之数。如子数二，互乘母五，得一十，以通朒一两，得一十两，列左；子数三，互乘母三，得九，以通盈三两，得二十七两，列右。乃以左中乘右下【二百七十】右下乘左下【九十】并之【三百六十】而以两子相乘【六】为法，除之【得六十】为银实。而以左上右上减余【一】为法，除之，仍得总银六十两。次并盈朒二数【三十七】为物实，而以法除，得价三十七两。

上　　　　　中　　下问：银未知数，取六分之四买物，盈二两；取四分之三买物，盈三两五钱。银数、物价各若干？以子数四互乘母四，得一十六，以通盈三两五钱，得五十六两，列左；以子数三互乘母六，得一十八，以通盈二，得三十六，列右。乃以左中乘右下【五百七十六】以右中乘左下【一千零八】减余【四百三十二】亦以两子相乘【一十二】为法，除之【得三十六】为银实。以左中右中减余【二】为法，除之，得总银一十八两。别以两盈相减，余【二十】为物价之实，仍以法除，得物价一十两。

上　　　中　下问：▯纳官银，不言其数，但知有甲乙二等户。乙户所办，当甲户十之八。先令甲等八户、乙等五户纳之，不足五两；后令甲等六户、乙等八户纳之，不足三两。其▯银数及各户则例若干？法：以甲乙二衰乘户数，各并之列位【甲衰一十，以乗八得八十；乙衰八，以乘五得四十，并得一百二十户，列左；又以甲衰十乗六得六十，以乙衰八乗八得六十四，并得一百二十四户，列右】以两不足数系之，互乘相减，余为银实【二百六十两】乃以上相减余为法【四】得官▯银六十五两。别以两不足数相减余【二两】为则例之实，以法除之，得五钱；而以各衰乘之，甲衰一十乘得五两，为甲等一户办数；乙衰八乘得四两，为乙等一户办数。

问：钱未知，数以买物，取二分之一，盈四文；取七分之三，适足。钱数物价各若干？先取母子互乘，一乘七得七，列右；三乘二得六，列左。而以六互乘盈四得二十四，列右下，即以为物价之实。两母减余为法【一】除得物价二十四文。又以适足之母【七】乘盈数【二十四】得数为钱实【一百六十八】而以原子一三相乘得数为法【三】除之，得钱五十六文。

问粜麦不知数，但云取三分之一，粜银八两适足；若取八分之三，粜银十两不足二石。总麦石数若干？每银一两粜麦若干？法取两子母互乘得数，各通粜银【以母三互子三得九，通八两得七十二；以母八互子一得八，通十一两得八十】另以所通得数七十二列左，八十列右。乃以适足银【八】乘不足之麦【二】得数【一十六石】列右下，如不足适足例。而取适足所通出之银率【七十二】以乘不足所乘出之麦率【一十六】得数【一千一百五十二】又以两子相乘【三】为法除之，以为麦实。左中右中相减余八为法，除得总麦四十八石。另以不足乘出【一十六】为银实，亦以法除【八】得麦二石价银实一两。

同文算指通编卷四<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编。>钦定四库全书