同文算指通编卷二

同文算指通编卷二

明　李之藻　撰合数差分法第四上总数一也，而分之糅襍不齐者，亦以准测齐之。大抵以总数为第一率，以总数所得为第二率【如以母得子，或以银得年月之类】分布而各为之宗为第三率。若三率不尽者，亦用重准之法测之。问：四商共贩，得子银六千两，而各出母银不同。甲母六十，乙母一百，丙母一百二十，丁母二百。每人该分子银若干？先以四人共母为第一率，以所获共子为第二率，分置四母各一宗为第三率，以第二递乗第三，以一率除。

一　四百八十二　六千三　六十【甲】　　一百【乙】　　一百二十【丙】　二百【丁】四　七百五十　一千二百五十　一千五百　　二千五百问三商置货同舟甲货值三百两乙货值五百两丙货值一百八十两遭风共弃货値四百两各照原值摊认法并三人值为第一率以所弃值为第二率分三人货值为第三率叠以三率法乗除一　九百八十二　四百三三百【甲】五百【乙】一百八十【丙】四一百二十二两又九百，二百四两又九百，七十三两又九百八八十分两之四百四十，八十分两之八十，十分两之四百六十。问：三人共买货四千斤，值银五百两。甲取一千三百斤，乙取一千四百六十斤，丙取一千二百四十斤。各该认价若干？此以总货为第一率，以总价为第二率，以各人所取数分三宗为第三率。

一　四千斤二　五百两三　一千三百【甲】　　一千四百六十【乙】一千二百四十【丙】四　一百六十二两又二【分两之一】　一百八十二两又二【分两之一】一百五十五两问三商共得子银一千两所出母银多寡不一先后亦不一甲母二百两满八个月乙母四百五十两满六个月丙母五百两满十个月此子银一千者每人应分若干其法以各母乗各月【以八乗二百得一千六百以六乗四百五十得二千七百以一十乗五百得五千共九千三百】总彚之为第一率以所获总子为第二率以各母及月分所乗出三宗为第三率一　九千三百二　一千三一千六百【甲】二千七百【乙】五千【丙】四一百七十二两又二百九十两又九五百三十七两又九九十三分两之四十三分两之三十十三分两之五十九。问：三商共贩，得子银一千两。甲母三百两，十个月；乙母七百两；丙母八百两，俱不知月。其子银则甲得分五百两，乙得三百两，丙得二百两。要知丙丁二人出过母银几月？其法：先取甲之知母、知子、知月者为算。以所分五百为第一率，以一十月乗三百两为第二率【共三千】已知甲之五百乃三千中之五百矣。次列乙丙所得子各一宗为第三率，二三相乗而以一率除之，得第四率，即乙丙母银乗月之数。次乃各以其母除之，仍得月数。此于四率外加一率，兼重准测法云。

一　五百【甲之子】

二　三千【甲月与母乗】

三　三百【乙之子以乗三千得九十万以五百除】二百【丙之子以乗三千得六十万以五百除】四　一千八百【此兼乙母　乗乙月之数】一千二百【此兼丙母乗丙月之数】二月又七分月之四【以乙母七百除得乙月】一月又二分月之一【以丙母八百除得丙月】问：四商居积二年，得利一万两。甲原母三千两，至满八月先取出一千两，至满十九个月又加一千二百两。乙原母二千四百两，至满六个月取出八百两，至满十五个月又加一千四百两。丙原母二千两，满七月悉收囘，至满一十七个月别出母一千六百两。丁初不出母，六个月后方出一千八百两，又过四个月取出九百两，至满十六个月又増入一千五百两。此四人者于所▯息一万两内，计母计月各该分若干？其法以四母各乗其月：甲作三段乗【三千两乗八个月得二万四千数，八月之后取去一千，只存二千，至十九月满共十一个月，以十一乗二千得二万二千数，其十九月之后又加一千二百共三千二百，自第二十个月起到底计五月，以五乗三千二百得一万六千，共得六万二千】乙作三段乗【二千四百两乗六个月得一万四千四百两，此后除去八百两只存一千六百两，至满十五月实九个月，以九乗一千六百得一万四千四百两，其十五个月之后又加入一千四百两共本银三千两，到底计九个月，以九乗三千得二万七千，共得五万五千八百数】丙作二段乘【二千两乗七个月得一万四百两，自满十七个月以后出本至二年止共七个月，以七乘一千六百得一万一千二百，共得二万五千二百数】丁作三段乘【自六个月以后出本一千八百两，满四个月以四乘一千八百得七千二百，此后取去九百实在九百，至第十六个月满计六个月，以六乘九百得五千四百，此后又出本一千五百共二千四百，到底计八个月，以八乘二千四百得一万九千二百，共得三万一千八百数】四人共计一十七万四千八百为第一率，以所▯息为第二率，分各母乘月数为四宗作第三率。

一　一十七万四千八百问：三商同伙，甲母四百两，乙三百两八钱六分，丙一千两零七钱九分。三商共折银一百两，各认若干？此皆化两为分【甲四万，乙三万八十六，丙十万七十九】并三人总分数为第一率，以所折为第二率，分各母数三宗为第三率。

一　一十七万一百六十五二　一万三　四万【甲】　　　　　三万八十六【乙】　　十万七十九【丙】四　【二千三百五十又　一千七百六十八　五千八百八十一十七万一百六十　又十七万一百六　又十七万一百六】【五之十一万二千，十五之八千二，十五之四万九千二百五十，百八十，六百三十五】问：三商甲出母银二百两，经十二月；乙出母银二百四十两，不知月；丙出金若干，不出银，经十个月，共得子银一百三十八两。甲分六十，乙得四十八，丙得三十。今问乙该几个月，丙之金值几何？此以甲银乘甲月【共二千四百】而知子银六十出自二千四百也。以六十为第一率，以二千四百为第二率，以乙丙各子为第三率，二三相乘，各以一除之，其所得数【乙一千九】兼乙丙之母与月皆在其中矣。乃以乙母除乙之四率，而知乙之月八；以丙月除丙之四率，而知丙之母金值银一百二十两。

一　六十二　二千四百【以上俱甲】

三　四十八【乙】　　　　　　三十【丙】

四　一千九百二十　　　　一千二百八月【以本银除之得此数】一百二十两【以月分除得此数】问：三贾共贩，一年。甲先出母银一千两，乙母后二个月方出，丙母后四个月方出，俱不知其数几何？但所得子银则均分。要知乙、丙各母之数，此以所已知甲母、甲月相乗为第一率，乙、丙准此为算，而各以其月除之【乙十月，丙八月】即各得其母之数。

一　一万二千【甲母乗月】二，一千二百【乙母】一千五百【丙母】右试法合三总数为三万六千作第一率随意立一数为子数作第二率又以总数分为三宗【各万二千】作第三率而各以第一率除之甲乙丙所得皆同。

一　三万六千二　九百　　【随意立此数】

三　一万二千四　三百问三商共得子银一百九十两，其分息则乙比甲仅三之一，丙比甲仅四之一，其母银则甲出八十两十二个月，乙不知几何，但知八个月，丙亦不知几何，但知四个月。要知三人各息若干，丙丁各母若干，此须再用重准测法求之。先以甲母及月相乘【九百六十】为第一率，以其三之一【乙三百二十】四之一【丙二百四十】兼各母与月者为第二率。既得母月兼数，即以乙丙各月除之，知各母数，然后可以察其分息之数矣。另并三人所乗母数月数为第一率，以总子为第二率，分甲乙丙母所乗得为第三率，二三相乗以一除之，各得第四率为所分子银数。

一　九百六十【甲母乗甲月】二三百二十【乙得甲三之一】二百四十【丙得甲四之一】三四十两【乙以八除得此】六十两【丙以四除得此】右已知乙丙之母银，再测如左一一千五百二十【甲九百六十，乙三百二十，丙二百四十，并此数】二一百九十。三、九百六十【甲】三百二十【乙】二百四十【丙】

四　一百二十　　　四十　　　　　三十问：三商共母一千五百二十两，得子一百九十两，照母分之，甲得一百二十两，乙得四十两，则丙所得若干？又甲、乙、丙各母若干？法：就总子银内减去甲乙所得子，剩三十为丙之子。仍以总子为第一率，以共母为第二率，以各分子银三宗为第三率，二三相乗，以一除之，得第四率为各母。

一　一百九十二　一千五百二十三一百二十【甲之子】四十【乙之子】三十【丙之子】四九百六十【甲之母】三百二十【乙之母】二百四十【丙之母】问三商：总母一千五百二十两，总得子一千七百十两。子母共分，甲分一千八十两，乙分三百六十两，丙分二百七十两。则每人各母若干？其法，并三人子数为第一率，母为第二率，以各人所分得三宗为第三率，依准测法得四率为各母数。就各以四率之数减其第三率之数，余者为各子数。

一　一千七百一十二　一千五百二十三一千八十【甲】三百六十【乙】二百七十【丙】四九百六十，三百二十，二百四十。问：二商共得子银二百两，甲分五十两，乙分一百五十两。其母则乙多甲一倍，又零八两。二人各出母几何？其法置甲五十，乙倍之，该得一百。今分一百五十，则知已赢母八两。故于一百数外多获五十也。依法列三率，知五十之出于八，则知一百五十之出于二十四矣。一五十二　八三，五十【甲】一百五十【乙】

四　八　　　　　二十四问：二商共贸，甲母一百二十两，乙母一百八十两，共一牙侩。每子银一百两，与牙银十两。后得子银一千两，各该分几何？其法于一千内除去牙银一百两，以实在子银九百两为算。乃并甲乙母为第一率，实在子银为第二率，分甲乙母二宗为第三率。

一　三百二　九百三，一百二十【甲母】一百八十【乙母】

四　三百六十　　　　　五百四十问：三商共得子银一千五百二十两，其母银则甲出一千八十两，乙出三百六十两，丙不知所出几何？只言分得子银二百四十两。今欲知丙母几何？甲乙所得子几何？其法：先就总子数内减去丙子一千二百八十，为甲乙共得子数。乃倂甲乙母为第一率，以甲乙共子为第二率，分甲乙二母数为第三率，法得第四率为甲乙子数。一，一千四百四十【并甲乙母】二，一千二百八十【并甲乙子】三，一千八十【甲母】三百六十【乙母】四，九百六十【甲子】三百二十【乙子】已知甲乙子母之数，即可因丙子以求丙母。乃并甲乙子为一率，并甲乙母为二率，丙子为三率。一，一千二百八十【倂甲乙子】二，一千四百四十【并甲乙母】

三　二百四十【丙子】

四　二百七十【丙母】问：三商母银各等，一年内共得子银一千两。但甲母阅七月，乙母阅六月，丙母则满一年，各该分子银若干？其法：积甲乙丙总月为第一率，以总子为第二率，列三人各月数为第三率。

一　二十五月【并甲乙丙】

二　一千两三七【甲】六【乙】十二【丙】四二百八十两二百四十两四百八十两。问：织绢每疋用丝一斤，工价即与丝四两。今有丝四十三斤一十二两，其织丝工、丝各若干？法：当化斤为两，然后归两作斤，并工、丝、绢、丝共二十两。置首率总丝为七百两，置次率列工、丝、绢、丝。置第三率，依法乗除。

一　二十两二　七百两三四两【工价】一十六两【织绢】四一百四十两【归之乃八斤一十二两】五百六十两【归之为三十五斤】问甲乙丙三人以田多寡均应一年差役，甲田三百五十亩，乙田二百八十亩，丙田一百七十亩，各役几时？此并三人田【共八百亩】置首率以一年为三百六十日，置次率列三人田数，置第三率。

一　八百亩二　三百六十日三　三百五十亩【甲】　二百八十亩【乙】　一百七十亩【丙】四　一百五十七日半　一百二十六日　七十六日半问派粮八百四十石四县照田地多寡纳之甲田三千六百三十五亩乙田二千四百六十六亩丙田三千五百七十七亩丁田四千三百二十二亩各纳若干亦并总亩置首率总粮置次率列四县各田数置第三率一　一万四千亩二　八百四十石三　三千六【百三十五亩甲】　二千四【百六十六亩乙】　三千五【百七十七亩丙】　四千三【百二十二亩丁】四　二百一十　一百四十七　二百一十四　二百五十九八石一斗　石九斗六升　石六斗二斗　石三斗二升问五县输谷二万石，照依人户多少、道里逺近、价值上下而均输之。毎车载二十五石，行一里僦值一钱。甲县二万零五百二十户，谷石价二两；乙县一万二千三百十二户，谷石价一两，逺输二百里；丙县七千一百八十二户，谷石价一两二钱，逺输一百五十里；丁县一万三千三百三十八户，谷石价一两七钱，逺输二百五十里；戊县五千一百三十户，谷石价一两三钱，逺输一百五十里。各该若干，先求各衰【惟甲县自输本县，无僦里，以谷价二两为法，除甲户得一千○二十六衰；乙丙丁戊俱有僦价，各以僦一钱乗所输里数，而以每车二十五石除之，得各运价，以乘各户而求各衰。乙县行道二百里乘除之得八钱，倂谷价一两八钱，以除乙户得六百八十四衰；丙县行一百五十里乗除得六钱，并价共一两八钱，除丙户得三百九十九衰；丁县行二百五十里乗除得一两，并价共二两七钱，除户得四百九十四衰；戊县行一百五十里乘除得六钱，并价共一两九钱，除户得二百七十衰】并五衰【共二千八百七十三】为首率，以总谷为次率，列各衰为三率一二千八百七十三二　二万石三　一千二百六【甲】六百八十四【乙】三百九十九【丙】四百九十四【丁】二百七十【戊】四　【七千一百　四千七百　二千七百　三千四百　一千八百四十二石　六十一石　七十七石　三十八石　七十九石三斗五升　五斗七升　五斗八升　九斗一升　五斗六升九合九勺　三合二勺　四合四勺　四合零勺　八合三勺】僦价无　二十两　一十五两　二十五两　一十五两问有田一万八千八十八亩，三子递分，伯比仲多一倍，仲又比季多一倍，各该若干？此倍増倍减法也。以一、二、四为衰分【季一，仲二，伯四】合总为第一率，田数为第二率，分各衰为三率。

一　七二　一万八千八十八亩三、四【伯】二【仲】一【季】

四　一万三百三十六　五千一百六十八　二千五百八十四问有银九十二两四子挨次递分各几何并各衰【伯四仲三叔二季一共得一十】为首率银数为二率各衰为三率一　一十二　九十二三「一【季】二【叔】三【仲】四【伯】四九两二钱【季】一十八两四钱【叔】二十七两六钱【仲】三十六两八钱【伯】问官银一千一百零七两，令五等户减半出办。甲户一十六，乙户二十五，丙户三十一，丁户四十八，戊户六十二。毎等每户各若干？亦先以各衰乗各等户数，并【甲衰乘得二百五十六，乙衰乘得二百，丙衰乘得一百四十二，丁衰乗得九十六，加戊衰并得七百三】为首率，总银为次率，列各衰为三率，推得各等共数，再以各户除之，得各户数。

一　七百三十八二　一千一百零七两三　二百五十六【十】二百【八】一百四十二【甲】九十六【乙】　六十二【丙】四　三百八十四两　三百两一百八十六两　一百四十四两　九十三两二十四两　一十二两六两　　三两　　一两五钱问：用金八十一两造杯一套，五个，毎杯重若干？此挨次衰分，并各衰【五四三二，一共一十五】为首率，总金为次率，列各衰为三率。

一　一十五二　八十一两三　五　　　四　　　三　　二　　　一四二十七两二十一两【六钱】一十六两【二钱】一十两八钱五两四钱。问派粮一千一百三十四石，令五等户挨次上纳：甲户二十四，乙户三十三，丙户四十二，丁户五十一，戊户六十。各等各户各若干？法亦以各等户数乗各衰，并为首率，粮数为次率，分各衰列三率，推得各等人户所纳，再以户数乗之，得各等共数。

一　五百四十二　一千一百三十四石三一【戊】二【丁】三【丙】四【乙】五【甲】四二石一斗四石二斗六石三斗八石四斗十一石五斗一百【二十六石】二百【一十四石二斗】二百【六十四石六斗】二百【七十七石二斗】二百五十二石。问：▯粮三百八十五石五斗二升，甲乙二等户四六办纳。甲二十六户，乙四十户，各等若干，每户若干。凡求四六衰者，就身六乗四除【首位四，以六乗得二十四，即以四除得六，后多数仿此】此先以六乗甲户，四乘乙户【六乗二十六得一百五十六数，四乗四十得一百六十数】并为首率，总粮为次率，列各衰【十六下四】为三率，推得每户应纳之数，再以甲乙各户数乗之，得各共数【若先以总衰除总粮得一石二斗二升，乃以甲乙衰各乗，亦同】

一　三百一十六二　三百八十五石五斗二升三　六【上】　　　　　　　　四【下】四七石三斗二升【甲一户】四石八斗八升【乙一户】一百九十石三斗二升，一百九十五石二斗。问徴银一千七百一十六两，以四等人作四六派出，各该若干？法并各衰【丁四，丙六，乙九，甲一十三零二之一】为首率，银数为次率，列各衰为三率，求得各衰数【此四六衰是一倍有半加之，若先以总衰除总银，得五十二两八钱，后以各衰乗之，亦同】

一　三十二又二之一二　一千七百一十六两三四【丁】六【丙】九【乙】一十三又二之一【甲】四二百一十【一两二钱】三百一十【六两八钱】四百七十【五两二钱】七百一十【二两八钱】问徴粮一千二百六十六石，令五等人作四六纳之，各该若干？法并各衰【戊四丁六丙九乙一十三又二之一甲二十又四之一共五十二又八之六】为首率【其甲与乙须用竒零并子母法并之増至多等皆然】总粮数为次率，列各衰为三率，测得各衰数【若先以总衰除总粮得二十四石后以各衰数乗之亦同】一五十二又八之六。

二　一千二百六十六石三四【戊】六【丁】九【丙】一十三【又二之一乙】二十【又四之一甲】四九十六石一百【四十四石】二百【一十六石】三百【二十四石】四百【八十六石】问派粮二百六十一石，令三等户三七出办，甲户二十一，乙户三十二，丙户四十三，各等几何？每户几何？凡求三七衰分者，用三除七乘，递求。若零分多者，就首衰之数，以三因之法消息之。如二位者，只用三七；如三位者，首位三，就以三因得九为首衰；四位者，首位三，以三因得九，又三因得二十七为首衰；如五位者，又以二十七三因得八十一为首衰。凡此皆以省零分也。此问法，以各等乗各衰并之【甲二十一户乗甲衰四十九得一千二十九，乙三十二户乘乙衰二十一得六百七十二，丙四十三戸乗丙衰九得三百八十七，共二千零八十】为首率，以总粮为次率，列各衰为三衰，推得第四率是各户应出之数，再以数乘之得各等共数。

一　二千○八十八二　二百六十一石三，四十九【甲】二十一【乙】九【丙】四六石一斗二升五合，二石六斗二升五合一石一斗二升五合，一石二十八石【六斗二升五合】八十四石四十【八石三斗七升五合】问制钱三万八千二百八十文，四人作三七分之，各若干？法先并各衰【丁二十七，丙六十三，乙一百四十七，甲三百四十三，共五百八十】为首率，以总银为次率，列各衰为三率，推得四率。

一　五百八十二　三万八千二百八十文三二十七【丁】六十三【丙】一百四十七【乙】三百四十三【甲】四一千【七百八十二文】四千【一百五十八文】九千七百二文二万【二千六百三十八文】问派银八百二十八两二钱，令五人三七纳之，每人应若干？先倂各衰【戊八十一，丁一百八十九，丙四百四十一，乙一千零二十九，甲二千四百零一，共四千一百四十一】为首率，以总银为次率，列各衰为三率：一四千一百四十一二　八百二十八两二钱三二千四【百○一甲】一千○【二十九乙】四百【四十一丙】一百【八十九丁】八十一【戊】四四百八【十两二钱】二百○【五两八钱】八十【八两二钱】三十【七两八钱】一十【六两二钱】问官银二千六百三十五两，令四等人二八出之，各若干？凡求二八衰分者，用四乘之，递求次衰比问法，先并各衰【丁二，丙八，乙三十二，甲一百二十八，共一百七十】为首率，总银为次率，列各衰为三率，得各银数【此二八衰分是四倍加之，若先以总衰除总银得一十五两五钱，后以各衰乗之亦同】

一　一百七十二　二千六百三十五两三　二【丁】　　　八【丙】　　　三十二【乙】　一百二十八【甲】四　三十一两【丁】一百二十四两【丙】四百九十六两【乙】一千【九百八十四两　甲】问▯粮二千六百五十五石九斗令五等户二八办纳甲户三十乙户四十丙户五十丁户六十戊户七十各等每户该若干法置五等衰以各户数乗之并【甲三十户乗衰五百一十二得一万五千三百六十乙四十户乗衰一百二十八得五千一百二十丙五十户乗衰三十二得一千六百丁六十户乗衰八得四百八十戊七十户乗衰二得一百四十并共二万二千七百】为首率总粮为次率列各衰为三率推得四率是各等每户纳数再以各等户数乗之得各等共粮数【若先以并衰除总粮得一斗一升七合为最下衰然后以各衰乘之亦同】

一　二万二千七百二　二千五百六十五石三　五百一十二【甲】一百二十八【乙】三十二【丙】八【丁】　　二【戊】四　【五十九石九斗一十四石九　三石七斗　九斗三　二斗三○四合　　　斗七升六合　四升四合　升六合　升四合】

以上四六三七二八俱増衰法问官绢四百七十丈零一尺八寸四分，令三等人户办纳，以一十分之六递减。其上等计二十五户，中等三十户，下等四十八户，每等每户若干？法先置各衰，以各等户乘并之【上等户数乗一百衰得二千五百，中等户数乘六十衰得一千八百，下等户数乗三十六衰得一千七百二十八，共六千零二十八】为首率，以总绢为次率，列各衰为三率，推得第四率为各等一户所出数，再以各户数乗之，得各等数。

一　六千零二十八二　四百七十丈一尺八寸四分三，一百，六十，三十六，四，七丈八尺【上等户】四丈六尺八寸【中等户】二丈八尺八分【下等户】一百九十五丈，一百四十丈四寸【一百三十四丈七尺八寸四分】问官粮一百六十八石四斗八升八合，令四等户办纳，递减十分之七。甲户二十二，乙户三十六，丙户四十二，丁户四十八。每等每户各几何？立各衰，以各户数乘并【甲户数乘一千衰，得二万二千；乙户数乘七百衰，得二万五千二百；丙户数乗四百九十衰，得二万五百八十；丁户数乘三百四十三，得一万六千四百六十四。通共八万四千二百四十四】为首率，总粮为次率，列各衰为三率，推得第四率各等一户所出数，再以户数乘之，得各等数。

一　八万四千二百四十四二，一百六十八石四斗八升四合。三，一千，七百，四百九十，三百四十三四，二石【甲】一石四斗【乙】九斗八升【丙】六斗八升六合【丁】四十四石，五十【石零，四十一石，三十二石九四斗，一斗六升，斗二升八合】右并衰系减衰法，凡十之五、十之九之类，仿此。问谷二百四十石，作五等分之。甲乙二人数与丙丁戊三人数等，各几何？此递差偏多偏寡法。先并各衰为二宗，较之用余数増入各衰。并甲乙二衰【甲五乙四】得九。又并丙丁戊三衰【丙三丁二戊一】得六。以减九，余三。却于五等衰各増三数【甲得八乙得七丙得六丁得五戊得四，共三十】并之为首率，总米为次率。推得第四率，递差八石。其甲乙二人所分得数与丙丁戊三人正相当【此是以八递加】

一　三十二　二百四十石三、四【戊】五【丁】六【丙】七【乙】八【甲】四、三十二石，四十石，四十八石，五十六石，六十四石。右増衰，凡増衰偏多偏寡者，仿此。如三人分，要甲数与乙丙数同者；七人分，要甲乙丙数与戊己庚辛数同之类。问四商共得子银三百四十两，其母以四递加【如乙五则丙九，丙七则丁十一，丁九则甲十三，是也，系衰分递加】但知甲原母二百八十六两，余递减各该若干，须知十三之于九，与二百八十六之于某数相同，按衰母递测之，由甲母以推丁母，由丁推丙，由丙推乙，法以甲衰十三为第一率，甲母二百八十六为第二率，以丁衰九为第三率，依准测法得丁母数，余仿此。

以甲知丁　　　　以丁知丙　　　以丙知乙一十三【甲衰】十一【丁衰】九【丙衰】二二百八十六【甲母】一百九十八【丁母】一百二十六【丙母】三九【丁衰】七【丙衰】五【乙衰】四一百九十八【丁之母】一百二十六【丙之母】七十【乙母】右法已知各母，再欲知其应分子银，以四递加之数，则并甲乙丙丁母为第一率，总子为第二率，分四母为第三率。

一　六百八十【倂母】

二　三百四十【总子】

三　二百八十六【甲】七十【乙】　一百二十六【丙】一百九十八【丁】四　一百四十三　　三十五　　六十三　　九十九问三商共银七百六十两分之则甲得十分乙得七分丙得二分各若干其法并甲乙丙衰为第一率以银数为第三率一，一十九【甲一十，乙七，丙二，共此数】

二　七百六十三，一十【甲】七【乙】二【丙】四四百二百八十八十问应徴粮七十三石二斗，派令三等人户照分摊出。上等二十五户，每户作五分办；中等四十户，每户三分办；下等六十户，每户一分办。各户若干，各等共若干？法以各分各户相乗倂之【以五乗二十五得一百二十五，以三乗四十得一百二十，下等六十无乗，共三百零五】为一率，以总粮为二率，以各衰【五、三、一】为三率，推得三等户所应出分数，再以各户数乗之，得各等共数。

一　三百零五二　七十三石二斗三　五　　　　　　　三　　　　　　一四一石二斗七斗二升二斗四升三十石【上】二十八石八斗【中】一十四石四斗【下】问硃砂每斤三两六钱，石青每斤二两四钱。今有银一千二百两，议买硃青二色，硃数比青増一倍，各斤数与价若干？法：因硃砂加倍，即倍其价【三两六钱】为七两二钱，倂青价【二两四钱】共九两六钱为一率，以总银为二率，以各价为三率，推得斤数为四率。再各以价乘之。

一　九两六钱二　一千二百两三　三两六钱　　　　　　　二两四钱四　二百五十斤价九百两　　一百二十五斤价三百两问绫毎尺价银九分二厘罗毎尺八分五厘绢每尺三分六厘今有银一百二十一两一钱七分五厘买绫一停罗二停绢三停各实数与价若干法用二乘罗价【一钱七分】三乘绢价【一钱八厘】并绫价共三钱七分为一率总银为二率各价为三率得四率为各实数各以原价乘之一　三钱七分二，一百二十一两一钱七分五厘。三九分二厘，八分五厘，三分六厘四，三十二丈七【尺五寸绫】六十五丈五尺【罗】九十八丈二【尺五寸绢】三十两一钱三分，五十五两六钱【七分五厘】三十五两【三钱七分】问芝蔴每三斗换米五斗，每米五斗抵豆七斗。今有芝蔴四百五十石，换米豆共九百一十石，各用芝蔴若干，所换米豆各若干？法用重准，先并米五豆七共一十二，为首率；以芝蔴总数为二率，分列米五豆七为三率，求得芝蔴合换米各数，以为重准之第三率；以米共数为二率，芝蔴总数为首率，求得米各数。

一　一十二　　　　　　　　　四百五十石二　四百五十石　　　　　　　五　　　　　　七三　五　　　　七　　　一百　【八十七石五斗】二百　【六十二石五斗】四　一百八十七【石五斗以换米】二百六十二【石五斗以换豆】二百九十【七石五斗】六百一十【二石五斗】问银一千零八两买丝三停绵二停线一停共三百六十两其价线一两抵绵一两六钱抵丝二两欲知三色并价各若干者并各衰【丝三绵二线一共六】置第一数以总银为第二率分各衰列第三率推得第四率是各色数乃照前价取丝【一百八十两】以二十除之得九十衰取绵【一百二十两】以一十六除之得七十五衰并线六十衰共二百二十五为法除总银得线价以一十六除线价得绵价以二十除线价得丝价一　六二　三百六十两三「三【丝】二【绵】一【线】四一百八十两一百二十两六十两二两二钱四分【丝价】二两八钱【绵价】四两四钱八分【线价】问：氷片毎两价二两七钱五分，沉香每两价银三钱五分，竒南每两价银八钱。有人以沉香一十七斤三两，又有人以竒南一十三斤十二两，各欲换氷片若干？法：置氷片价为首率，化沉香竒南斤数为两，置次率，各价为三率。

一　二两七钱五分二　二百七十五两　　　　二百二十两三　三钱五分　　　　　　八钱四　三十五两【沉香所换】　　六十四两【竒南所换】问养军二万五千二百名月粮米麦豆兼支米每四名支三石麦每九名支五石豆每七名支八石各几何即以七九四各列第一率以军总数为二率以八五三列三率一　七　　　　　　九　　　　　四二　二万五千二百名三、八【豆】五【麦】三【米】四二万八千八百石一万四千石一万八千八百石。问刻漏一壶贮水，令漏开三孔，其一孔最大，漏水二时而尽；一孔次之，三时而尽；一孔最细，六时而尽。假如三孔俱泄，则几刻水尽？其法先以三孔与时刻相较，以各时为第一率，以一壶为二率，以最小时为第三率。要见大孔二时漏尽一壶，则六时漏尽三壶，其余仿此而推。一二时【大】三时【次】六时【小】二一壶。

三　六时四　三壶　　　　　二壶　　　　　一壶又法，总而计之，凡六时漏尽，六壶知三孔俱开，则其水一时漏尽，只以分数算之。

一　二时　　　　　三时　　　　　六时二　一壶三　一时四　二分水之一　　三之一　　六之一【积之共一壶即是一时尽一壶也】右三数偶满一时其法易算若并有竒零者另法求之假如累台一座甲六年完工乙九年完工丙十八年方完今三人同累须几时可完此先知每人每年所为之工得若干而总算之六年者每年得六分之一其九年者每年得九分之一其十八年者毎年得十八分之一依并法毎年共得三分之一约计三年通完三年之内甲成二分之一乙成三分之一丙成六分之一共足十分之数问：漏壶一座，上有渇乌注水，下有天池。▯水今塞其下窍，注水于壶，四时而水满。开其下窍，泄水壶外，六时而泄尽。若使上注下泄相并，则此壶须几时可满？法以四时为一率，以一壶为二率，以一时为三率，测之而得一时之所注【四分壶之一】又以六时为一率，一壶为二率，一时为三率，亦得一时之注【六分壶之一】乃以四之一减六之一，得十二之一。于是又以十二之一为第一率，以一时为第二率，以一壶为第三率，得四率【以十二时注满】凡用准测法者三。

一　四时　　　　六时　　　　十二分壶之一二　一壶　　　　一壶　　　　一时三　一时　　　　一时　　　　一壶四「四分壶之一」，六分壶之一，十二时。问塞下窍，四时水满，通下窍，六时水尽。今上注下泄，则四个时满几分？曰：六时尽者，四时泄三分之二，以除全壶，余三分之一为水满数。又问，如此则几时可满一壶？曰：依前法，当以十二时满。又问，假如塞下窍注上窍，三时而满；塞上窍开下窍，八时而尽。若上注下泄，须几时可满？曰：以三时满者，一时之率三之一；以八时尽者，一时之率八之一。就三之一减八之一，余二十四之五为一时之率，则全壶得四时零五分时之四也。又问，一壶既以三时而满，假如四时又五分时之三可满几壶？曰：满一壶又十五分壶之八。又问，八时尽一壶，若四时又五分时之四该几何？曰：此五分壶之三，即于前数一时满一壶者除之便得。问，八时尽一壶，三时得几何？曰：三时泄得八分之三，以除前壶，余八分之五，是三时满八分之五。又问，三时满八分之五，则全壶几时满？曰：四时零五分时之四。

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