同文算指通编卷三

同文算指通编卷三

明　李之藻　撰合数差分法第四下问：四人共分金七百八十五两，多寡不同。乙得甲十之七，丙得乙十四之三，丁得丙十二之九。各实数防何？其法先并各衰杂数【甲一十则乙七，乙十四则丙三，丙十二则丁九】并各子以乘各母，从小数并起，除丁九无并，其丙衰系十二，又系三，则以十二并三，依约法三、四一十二，且作四，以乘乙之十四得五十六为乙衰。乙系五十六，又系七，则以五十六并七，依约法七、八五十六，且作八，以乘甲衰之十得八十为甲衰。已得各衰并数【丁九，丙十二，乙五十六，甲八十，共一百五十七数】为第一率，以银总数为第二率，以各衰为第三率。一一百五十七数【并衰】

二　七百八十五两【总银】

三　九【丁衰】　　十二【丙衰】　五十六【乙衰】八十【甲衰】四　四十五两　六十两　　二百八十两　四百两问发兵百人外有领队四人旗牌六人共破一寨得器械七万二千四百件即以充犒旗牌比领队得八分之五兵比旗牌得五分之三各该得若干其法衰作八五三【兵三旗牌五又合三五成八得领队之衰】各以本数乗本衰【领队四乘八得三十二旗牌六乘五得三十兵百乘三得三百】合总数为第一率所获数为第二率各衰所乘三宗为第三率一，三百六十二【并各衰乘数】

二　七万二千四百三三十二【领队】三十【旗牌】三百【兵】

四　六千四百　　　六千　　　　　六万问三人共拾得遗钱三千四十二文，甲欲得二之一，乙得三之一，丙得四之一，各该若干【此问并其分数反浮总数，盖曰甲视乙则二一之视三一，乙视丙则三一之视四一也】其法当先并母，寻其通，四分、三分、二分之一者为主，依法二三乘得六，又乘四，并得二十四，约之得十二，以甲乙丙分之其数皆通【甲二之一则用六，乙三之一则用四，丙四之一则用三】乃并甲乙丙衰【甲六，乙四，丙三】共十三为第一率，以钱数为第二率，分甲乙丙衰作三宗为第三率，乗除得数，乙得甲三之二，丙得甲二之一。

一　十三二　三千四十二文三　六【甲衰】　　　　四【乙衰】　　　　三【丙衰】四　一千四百四　　九百三十六　　七百二问三县共▯粮一千四百七石小县▯二分之一次县▯五分之三大县▯十一分之八各该纳若干【衰法同前】其法亦以各母相乗以求通数以二乘五又乘十一得一百一十【二五乘得十又十乘十一得一百一十也于是小县分得五十五次分得六十六大分得八十】则三县之母数皆通而并之为第一率以粮数为第二率分三县各衰为第三率一　二百一【并各衰】

二　一千四百七石三　五十五【甲衰】　　六十六【乙衰】　　八十【丙衰】四　三百八十五石　四百六十二石　五百六十石问四人共分银三百九十六两甲得二分之一外加十两乙得五分之三内欠二十两丙得三分之一外加八两丁得四分之一内欠六两每人实数防何此将总数内除去加数【实在三百七十八两】加上欠数【共得四百零四两】乃依前法并其母数【二乘五得一十以乘三得三十又以乘四得一百二十】约之得六十为通数而各以其所得子数通之【甲二之一为三十乙五之三为三十六丙二之一为二十丁四之一为一十五】并为第一率以加除所得银数为第二率以甲乙丙丁各衰四宗为第三率依准测法得第四率再照数或加或减其所分即总合前数矣一　一百一两【并各衰】

二　四百四两三三十【甲】三十六【乙】二十【丙】一十五【丁】四一百二十，一百四十四，八十，六十。问：兄弟三人不知嵗数，但云季得伯四之三，仲得伯六之五，仲多季只八嵗，各防何？此带母子差分也。已知两母为伯衰，用并法，先并其母四六相乘得二十四为伯衰之实。乃用母子互乘，以求仲季之衰，以四乘五得二十为仲衰，以六乘三得一十八为季衰。列三率，而仲季相去较八嵗为二率，以仲季二衰之较【一十八减二十余二】为首率【此以所已知之衰较及嵗较求各衰之嵗实，故用较为首率，后皆仿此】

一　　二二　八嵗三　二十四　　　二十　　　　一十八四九十六嵗【伯】八十嵗【仲】七十二嵗【季】问：四人分钱，不知数，但云乙得甲六之五，丙得甲四之三，丁得甲二十四之一十七。其丁与丙差四文，每人防何？此同上法，已知三母，即甲衰，用并母法。四乘六得二十四，又自乘得五百七十六，为甲衰之实。乃以乙丙丁之原母除原子，乘以求其子，而得四百八十为乙衰，四百三十二为丙衰，四百零八为丁衰。列三率，以丙丁较四为二率，以丙丁二衰之较二十四为首率【不用约法，览之易晓】一二十四二　四三五百七十六【甲】四百八十【乙】四百三十二【丙】四百零八【丁】四九十六八十七十二六十八。右二法，以借衰互征求之，亦同。问：大小船数相等，共载盐四千三百五十引。大船毎三只载盐五百，小船毎四只载盐三百。该船防只？每船载防引？此用重准测法：以四之三百及三之五百，子母互乘【一得九百，一得二千】并得二千九百为首率；两母相乘得十二为次率；总盐为三率，求得四率，是大小船数，即以为第三率。分置所载率【五百，三百】为次率，与相乘；又分置两母【三，四】为首率，除之，得各盐数。

一　二千九百　　　　三　　　　　　四二，一十二，五百，三百三，四千三百五十，一十八。四一十八【大小各船数】二千一千三百五十。问鼇灯一座，大小灯毬二等。大灯三琖，油四两；小灯四盏，油三两。其小灯多大灯二之一，共用油十八斤七两。大小灯各若干？此用重准测法，因有二之一，立大母二，小母三。通斤为两【共二百九十五两】又通两为铢【每两二十四铢，共七千八十铢】以先求大小每琖油数，取每三、每四为首率，二十四铢为次率，分四两、三两为三率，得第四率为大小每琖油数。

一　三　　　　　　　四二　二十四铢三　四【大】　　　　　　三【小】

四　三十二铢　　　　一十八铢乃以母二乘三十二，得六十四铢，为大总；以母三乘一十八，得五十四，为小总。并得一百一十八，为首率。以总油【七千八十】为次率，分母二，母三，为三率，得第四率，是大小琖各数。而各以油铢数乘之，又以每斤三百八十四铢除之。

一　　一百一十八二　　七千八十铢三　　二【大】　　　　　　　　　　三【小】四一百二十琖【三十二铢乘得三千八百四十铢是十斤】一百八十琖【一十八乘得三千二百四十铢是八斤七两】问：大船三桅六桨，小船一桅八桨。今望见桅五十七，桨二百零四，其大小船各防艘？法：并大小船每艘桅桨凡九，共一十八为第一率；以大小共二艘为第二率。并桅桨全数得二百六十一为第三率，推得大小船共二十九艘，减小船之一，补大船，合问。

一　一十八二　二艘三　二百六十一四，二十九艘【内大船一十五，小船一十四】问有银一万七千六百九十两，买骡三百匹，马七百匹，其每匹价，马多于骡七两七钱，各价防何？此匿价差分法，当先除所差，而后凖测之。以所多七两七钱乗七百匹，得五千三百九十两，以减原银，余一万二千三百两，乃并骡三百，马七百，共一千匹，置首率，以减余银数，置次率，一匹为三率，推得四率为骡价，加七两七钱即马价，再以各匹数乘之，合总。」

一　一千匹二　一万二千三百两三　一匹四十二两三钱【骡价】二十两【马价】又法，以所差七两七钱乘三百匹，得二千三百一十两，加入总银，共得二万两，为次率。如法凖测，得二十两为马每匹之价，减较七两七钱，亦得骡价。

一　一千匹二　二万两三　一匹四　二十两【马价】　　　　　十二两三钱【骡价】问以银二万九千二百八十两买上田三百亩中田一百五十亩下田四百五十亩其上价比中价每亩多四两七钱中价比下价每亩多一十三两五钱各防何此亦匿价差分法当除两差之积而后算之以一十三两五钱乘三百得四千○五十两以一十八两二钱乘一百五十得二千七百三十两并得六千七百八十两以减原银余二万二千五百两即以置次率却并三等田数得九百亩置首率一亩为第三率推得每亩二十五两为第四率是下田价加一十三两五钱为中田价再加四两七钱为上田价再以各数乘之合总一　九百二　二万二千五百两三　一亩四　二十五两【下】又法，增差积算之，以四两七钱乘三百，得一千四百一十两；又以两差一十八两二钱乘四百五十，得八千一百九十两。并得九千六百两，加入原总银，得三万八千八百八十两，为次率。与三率一亩相乘，首率九百除之，得上田每亩价四十三两二钱。减十三两五钱，即中田价；再减四两七钱，即下田价。问官银一万七百七十八两六钱五厘，籴米、麦、豆三色，均平其每一石价：米二两三钱五分，麦一两九钱五分，豆一两四钱五分。各价防何各石防何并三价共五两七钱五分，为法；置第一率总银为第二率，列三色每石价为第三率，推得第四率，是各价数。其各石数，以法径除总银，即得。

一　五两七钱五分二一万○七百七十八两六钱○五厘。三二两三钱五分，一两九钱五分，一两四钱五分。四，四千四百○五两，三千六百五十五两，二千七百一十八两。一钱六分九厘【米】三钱五分三厘【麦】两○八分三厘【豆】三色共一千八百七十四石五斗四升。

和较三率法第五凡数分合，不离三率；而互和难测，则立较以测之。立中率以较之，凡两数、三数、多数，悉与中率相较，而互置较位为第三率，以较积为第一率，诸如前。问：上酒每斗价二钱，中酒每斗价一钱二分。今杂并二酒，每斗立价一钱五分。则此斗酒内有上酒若干，中酒若干？其法先定三等之程，列所立价【一钱五分】次连列上、中二价与较，而列上差数于中左，列中差数于上左，互对。次并两差，列左下，而以并差为第一率，以一斗为第二率，以各差为第三率。【一十五】上，中二价上【二十】中【十二】相较差，中【三】上【五】差积【八】

一　八二　一斗三　三【上】　　　　　　　　五【中】

四　八分斗之三　　　　　八分斗之五问：甲金一两准银一十五两，乙金一两准银一十二两。今欲镕为一处，使母金一两准银一十四两，则甲乙金各该防两？亦列法如左，较之并差。为首率一两，为次率，各差为三率。【一十四】价甲【十五】乙【十二】

较　　【二　　　　一】　差积【三】

一　三二　一两三　二【甲】　　　　　　　一【乙】

四　三分两之二　　　　三分两之一问：玉率方寸重七两，石率方寸重六两。今有璞方三寸，重一百七十六两，内玉石各若干？法以见方三寸自乘再乘，得立方二十七寸。以通玉石【玉该一百八十九两，石该一百六十二两】各列右，立总重数互较，得数列左，并差为首率，开方寸为二率，分差为三率。【一百七十六】玉【一百八十九】石【一百六十二】【一十四一十三】差积【二十七】

一　二十七【差】

二　二十七【寸】三，一十四【玉】一十三【石】四一十四【乘重九十八两】一十三【乗重七十八两】问银裹金方四寸共重九百零四两，每银方寸重十二两，金方寸重十六两，各若干？以四寸自乘，再乘得开方六十四寸，以通金银【银一千二十四两，金七百六十八两】以总重互较，三率如前。【九百四】银【一千二十四】金【七百六十八】【一百三一百二十六十】差积【二百五十六】

一　二百五十六二　六十四【寸】三，一百三十六【银】一百二十【金】四三十四【乘得五百四十四两】三十【乘得三百六十两】问椒一斤价四钱，丁香一斤价三钱，桂皮一斤价六钱，阿魏一斤价一两，缩砂一斤价八钱。今以银七钱买上五色共一斤，则每色该得若干？列法如左：立七钱为主，余物以次列之，较其所差，而依次互列，须易其位。大抵有对者对互【椒砂互，丁魏互】无对者另求一对【桂无对，借砂作对而互，又列桂较之一于砂较三之旁】而增系之。凡相对互位者，务取一大于立价，一小于立价。如砂数大对椒数之小，亦以差倂为第一率，一斤为第二率，并各物较为三率。【七钱】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】【一三一四三乙】差积【十三】

一　一十三二　一斤三一【椒】三【丁香】一【桂皮】四【阿魏】四【砂】四十三【分斤之一】十三之三，十三之一，十三之四，十三之四又列法，但取一大一小杂互更位【椒砂互，椒魏又互，丁砂互，桂砂又互，丁魏互，桂魏又互】凡六互，得差积二十八【椒丁桂俱四，魏砂俱八】若俱大数，俱小数者则不可互耳【椒丁桂俱小，魏砂俱大】其与立数等者亦可互，但作○以倒其所互，乃以二十八为第一率，分各差积为第三率【七钱】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】【一一三三三三三一四四】差积【二十八】

一　二十八　　　　　　　　　【一　一】

二　一斤三四【椒】四【丁】四【桂】八【魏】八【砂】四，二十八【分斤之四】二十八【之四】二十八【之四】二十八【之八】二十八【之八】又法随意易位，亦以大数互小数，比前稍异，亦得差积十三。【七钱】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】【三一一三四一】差积【十三】

一　十三二　一斤三三【椒】一【丁】一【桂】三【魏】五【砂】四十三【分斤之三】十三之一十三之一十三之三十三之五？问：鹅氄段大绿者，每丈四两；天青，每丈六两；大红，每丈十两。今以银四百八十两买氄八十丈，则各色各该防丈？其法先以总价和总丈之数而匀之【每丈得六两】立六为中数，依前互法列之。【四，六，一十四，十，互六，十又互六，两四，四，二】差积。

一　一十二　八十丈三、四【绿】四【青】二【红】四三十二丈三十二丈一十六丈。问有酒四等：甲酒毎瓶二钱一分，乙酒每瓶二钱七分，丙酒三钱，丁酒四钱。今有酒共三百瓶，每瓶立价三钱三分，则每酒若干瓶？依法列之。但此以三十三为主数【即三钱三分】而其余惟四十【即四钱】为大，其二十一【即二钱一分】二十七【即二钱七分】三十【即三钱】皆小数。则此三小数皆与四十之大数相互云，共积四十二为第一率。【二钱，二钱，三钱，四三钱三分，一分，七分】【七七七十二六】差积【四十二】

一　四十二　　　　　　　　　　　【三】

二　三百瓶三七七七二十一四五十瓶五十五十一百五十问银四百两买药四百斤，内丁香每斤该六钱，胡椒每斤该七钱，桂九钱，苏合一两一钱，辰砂一两二钱，阿魏一两六钱，每色各该防斤，方合总数。其法亦先折中价，如四百斤需四百两，则每一两得一斤，其中价乃依互法参之。【一十】丁【六】椒【七】桂【九】合【十一】砂【十二】魏【十六】此以丁、魏互，又丁、合互，椒、砂互，又椒、魏互】【六，二，二，四，三，四，桂砂互一，六，一，三，差积三十二】

一　三十二二　四百斤三七【丁】八【椒】二【桂】四【合】四【砂】七【魏】四【八十七斤又二之一】一百二十五，五十，五十，八十【七斤又二之一】又法。【一十】丁【六】椒【七】桂【九】合【十一】砂【十二】魏【十六】此以丁互合，又互砂，又互魏以】【一一一四，四，四椒互合，亦互砂。二二二三，三，三互魏以桂互合。六六六一，一，一亦互砂互魏。以上三位徧互下】一五十一【三位差积五十一】二四百斤。

三　九　　九　　九　　八　　八　　八四【七十斤又五十一分斤之三十】同上，同上【六十二斤又五十一之三十八】同上，同上【右五十一分斤之三十，以求两者化一斤为一千六百分，以子数三十乘之，以母数五十一除之，得九两四钱一分又五十一之九也】

问金铸编钟，一口计重三百两，俱九六成色。今见有九九成色及九三成色二等金，约该每用若干？此以九六为中价，依法互之。【九六】甲金【九九】乙金【九一】

【五　　　　　三】差积【八】

一　八二　三百两三　五【甲】　　　　　　　　三【乙】四一百七十七两五钱一百一十二两五钱，问米麦五百石共价四百零五两七钱，米每石价八钱六分，麦每石价七钱二分五▯，其各石数价数若干？先以米麦每石之价乘五百石【米得四百三十两，麦得三百六十二两五钱】即以总价立为中率，先得石数，次得价数。【四百三，四百五十两】麦【三百六十二两五钱】【两七钱，四十三，二十四两两二钱，三钱】差积【六十七两五钱】

一　六十七两五钱二　五百石三　四十三两二钱【米】　　　二十四两三钱【麦】四　三百二十石【乘石价得二百七十五两二钱】一百八十石【乗石价得一百三十两五钱】问银二十八两二钱买铜锡铁共重三百斤其价铜一斤银一钱五分锡一斤银九分铁一斤银四分此三物各该若干此贵贱衰分三色者以总物归总银立九分四▯为中价总疋除总银立五钱八分一▯二毫五丝为中价。

一　一十六万二　一百六十疋三　三千六百二十五【绫罗同】　四千三百七十五【纱绢同】四　三十六疋又四之一　　四十三疋又四之三【以各疋价乘之合总】又法【先以四约总疋得罗纱各四十疋以减总疋余八十疋为绫绢共数又于总价内减罗价二十八两纱价二十两余四十五两为绫绢共价乃以叠借互征之法推之前铜锡铁三色亦然】

借衰互征法第六数有隠伏，非衰分可得者，则别借虚数以类征之。或合率增减，或母子射覆，如藏阄然。借彼征此，借虚征实。大抵即三率之法，而触类长之。问：三人共买宅一区，用价二千七百两，其捐价则乙视甲加倍，丙视甲乙又加倍，各若干？此倍增法也。随意立一数为甲衰，但用小数，而以乙、丙衰递加之【如甲衰一则乙衰二，丙衰六也；如甲衰六则乙衰十二，丙衰三十六也，余仿此】并各衰为第一率【甲衰一者，一、二、六共九也；甲衰六者，六及十二及三十六共五十四也，余仿此】随取一衰为第二率【且用甲】以总价为第三率，依互测法得甲数，倍之得乙数，二倍之得丙数。

一　五十四二，六【此只借甲，衰用乙，用丙，皆同】

三　二千七百四　三百【甲】　　六百【乙】　　　一千八百【丙　乙丙皆从甲倍出】问贮绢不知防何但云其三之一其四之一其五之一并得四千七百疋其实数防何曰此寻一通数可以兼三之一及四之一及五之一者而测之如用六十以通各分【三之一是二十也四之一是十五也五之一是十二也】并之【共四十七】为第一率即以六十为第二率【四十七出于六十】绢总数为第三率一　四十七二　六十三　四千七百四　六千疋问廐马不知防匹，但云加一倍，又加二之一，又加三之一，又加四之一，又加，一共得一百十二匹，今算实防匹，可用前法否？曰：此有最后所加一数，即不同前法，当先减一数，只以一百十一算之，次立通数可兼各衰者，如用十二为通数，加一倍【二十四】又加二之一【六】及三之一【四】四之一【三】共得三十七为第一率，即以十二为第二率，就前一百十二数内减一为第三率【一百十一】凖而测之，知三十七出于十二，则知一百十一出于何数矣，再加一合问。

一　三十七二　一十二三　一百一十一四　三十六　再加一乃三十七匹问牧羊，不知数，但云加一倍，又加二之一，又加四之一，外加一，得一百，其原数若干？此亦除去加一数，只用九十九为第三率，而另借一数为通数。如用一十二为次率，以加一倍【二十四】加二之一【六】四之一【三】并得三十三为首率，依法推之，知一十二出于十三，则知九十九所出也。再加一，合问。

一　三十三二　一十二三　九十九四三十六【倍之为七十二，加二之一得九十，加四之一得九十九，外加一得一百】问价银五千两买骏马一匹，园宅一区。园价比马多三倍，宅比园多四倍，各价几何？此与首问法同，随意立一数通各衰。假如立马衰三十，园宅以次增衰【园多三倍得一百二十，宅又多园四倍该六百】并为第一率【七百五十】于各衰随取一数为第二率【且用马衰】总银为第三率【五千两】如凖测法得第四率【如用马则得马价，余依倍推之】

一　七百五十两二，三十【马】一百二十【园】六百【宅】

三　五千两四，二百【马】八百【园】四千【宅】问入园摘▯摘过三分之二，又五分之一，尚剰三十六▯此园原有防▯法先求一通数内除三之二及五之一而剰三十六数者，假如借立三百，内减三之二除二百，亦于三百内减五之一除六十，通减二数只余四十为第一率，以三百为第二率，知四十出于三百，则知三十六出于何数矣一　四十　【右所云三之二又五之一者倂之未满原数故可以右法推之若云三之一又五之三则】二　三百　【浮于原数知为虚设不必算矣】

三　三十六四　二百七十【原▯数】问：二分之一、三分之一、四分之一、五分之一、六分之一，共并得五百二十二数，其原数防何？先立一通数，可剖为二分之一以至四五六分皆可者，如借六十为主，依法分之【其二之一为三十，其三之一为二十，其四之一为十五，其五之一为十二，其六之一为一十】并各率【共八十七】为第一率，以六十为第二率，知八十七出于六十，则五百二十二出于何数可推也，以五百二十二为第三率。

一　八十七二　六十三五百二十二【其二之一乃一百八十，其三之一乃一百二十，其四之一乃九十，其五之】四三百六十【一乃七十二，其六之一乃六十，其五百二十二数】问仓中有粟防石？不言其数，但言外加二之一，又三之一，又四之一，又加一百石，便成三百石。此其原粟防何？其法先减一百石在外，只就二百起算，乃随借一数可以通二之一及三之一及四之一者，如借二十四为通数，外加二之一【一十二】又加三之一【八】四之一【六】并之【五十】为第一率，所借二十四为第二率，知五十出于二十四，则二百出于何数可推也？以二百为第三率，而得第四率，外加所减【一百】合问。

一　五十二　二十四三　二百四九十六石【外加二之一为四十八，加三之一为三十二，加四之一为二十四，又加一百共三百】问水碓五副，大小不等，共舂麦五十石。甲碓每一时舂七斗，乙碓每一时舂五斗，丙四斗，丁三斗，戊一斗。五碓齐舂，须防时可完？完时每碓各舂得防何？其法随意立一时数，假如借四个时毕之，以计各碓所舂【甲二十八，乙二十，丙一十六，丁十二，戊四，共得八十】并为第一率，四时为第二率。知八石毕于四时，则五十石可推也。以五十石为第三率。

一　八石二　四时三　五十石四二十五时【以各碓乗甲，以七乗，得一十七石五斗；乙五乗，得一十二石五斗；丙四乗，得一十石；丁三乗，得七石五斗；戊一乗，得二石五斗。共五十石】问贷赀商贩，三次俱获倍息，每次归还三百两，三次母子适尽，原贷若干？先借一为母赀，以加三次倍息【初一次二，其三得四】并得八为首率，减母赀之一只，并三次倍息【一二四】并得七为次率，知七出于八，则知三百原母所出矣，以三百为第三率。

一　八二　七三　三百两四　二百六十二两五钱问商贩四次俱获倍息，每次费银九十六两，四次子母俱尽，原母若干？亦借一为母，加四次倍息【一二四八】并得一十六为首率，减母赀之一只，并四次倍息【一二四八】并得一十五为次率，知十五原于十六，则知九十六原于何数也？以九十六为三率。

一　一十六二　一十五三　九十六两四　九十两问：有商挟赀赴集，初次所获比母银多三之二，以并入母银，再往获五之四，三次往又获四之三，实计所获并母银共四百两，所原挟赀若干？其法先借一数以递乗各母，而例推之。假如借一十为通数，以乘各母【乗三得三十，以三十乘五得一百五十，以一百五十乘四得六百】并之为第一率，以所借一十为第二率，知六百出于一十，而四百之所从出可知也。以四百为第三率【按此条法误置子数不用，只以母数逓乗，与题问不合】

一　六百二　一十两三　四百四　六两又三分两之二【此系初贩原赀三乗得二十两又五乗得一百两又四乗得四百两】问携酒郊游三入肆中俱饮酒一斗九升每饮添酒辄倍余酒至三次酒尽原携若于法借一为原酒加三次倍率【一二四】并得八为首率减原酒之一只三次倍率七为次率以所饮一斗九升为三率知七出于八则知一斗九升所自出矣一　八二　七三　一斗九升四一斗六升八之五【即六合二勺五抄】又法，并三次倍率七，以乗所饮【一斗九升】得一石三斗三升，减半三次，得原携数，同前。问载米赈济，不言其数，每次散米一千五百石，亦每次籴增俱倍，余米之数五赈恰尽，无余，原米若干？法立一为原数，加五次倍率【一二四八十六】并得三十二为首率，减原数一只，并五倍率三十一为次率，知三十一之原于三十二，即知一千五百之原。

一　三十二二三十一【二三相乘得四万六千五百石，以减半五次亦同四率】三一千五百石。四一千四百五十三石三十二之四【即一斗二升五合】问立一虚数以乘四得数，又以乘三得数，又以乘六得数，外加一十，共八百。前所立虚数防何？其法先除所加一十，只以七百九十起算，亦借一通数。假如借一十为主，以递乘得数【乗四得四十，又乗三得一百二十，又乗六得七百二十】并之为第一率【七百二十】以所借为第二率【一十】知七百二十之出于一十，而七百九十之所从出可知也。以七百九十为第三率，而得第四率，乃以一十加之【按此条内并之二字衍，末六字应删】一七百二十二　一十三　七百九十四一十又三十六之三十五【以乘四得四十三又九之八，再以乗三得一百三十】一又三之二，又乗六，得七百九十，加一十，合？问】问老人，不知其年，但云加二之一，又减四之一，得九十九嵗，实年防何？其法借一虚数外加二之一，又减四之一而例之。假如借八十为算，依法加减【加二之一得一百二十，又减四之一得九十】得数为第一率，八十为第二率，知九十之出于八十，而九十九之所从出可凖也。以九十九为第三率，一九十。

二　八十三　九十九四　八十八问逺望一塔上露出二丈四尺，其下有树遮之，云尚有三分之一，又五分之二，共该髙防何？亦借立一数，以其三之一及五之二类凖之。如借立三十为主，酌减余分【三之一乃一十五，之二乃一十二】以其所剩数【该剩八，即所露】为第一率，以三十为第二率，知八之出于三十而二十四尺可测也。以二十四为第三率一　八尺二　三十尺三　二十四尺四　九十尺　【此塔髙之数内减三之一乃三丈减五之二乃三丈六尺此外露二丈四尺】问旗竿一根其三之一是白色五之一是黒色九之二是青色外尚余十二尺红色竿长防何亦借一数以通各数而观其所剰以类征之假如借四十五数以减各分【减三之一得十五减五之一得九减九之二得一十】其余【四十五内减前各数剩十一】为第一率以所借为第二率【四十五】知十一之出于四十五而十二之所从出可推也一　一十一二　四十五三　一十二尺四四十九尺又十一分尺之一【其白色三之一乃十六尺又十一之四，黒色五之一乃九】尺又十一之九，青色九之二，乃十尺又十一之十也】问：白布三十疋，青布四十疋，共价六百六十两。青布毎疋比白布价多一倍，各价防何？法借一虚数为白价，倍之为青价，而以前疋数乘之。假如借立四两，倍得八。各乘青白【四乘白得一百二十八，乗青得三百二十】并之【四百四十】为第一率。以所借四为第二率，知四百四十之出于四，而六百六十之所出可知也。以六百六十为第三率。

一　四百四十二　四两三　六百六十四六两【此系白价倍之，得青价十二两，各乗疋数，白得一百八十两，青得四百八十两】

同文算指通编卷三

钦定四库全书