同文算指通编卷八

同文算指通编卷八

明　李之藻　撰带纵诸变开平方第十五开方带纵，其变无穷，更绎其要，有十一种，余可神而明之。若积与二濶较，及长濶较，求濶用带纵减积，开平方。假如三广田，积二千四百六十五步，第云中广不及南广八步，亦不及北广三十六步，又不及正长六十七步。

问广并长各几何列积为实并不及二广【共四十四】以四而一。

得一十一为纵方以不及正长【六十七】为减积，初商一，纪右。【即一十】以并带纵，共二十一列。注首点下为方法，以乗减积，得一千四百七。先以减积所乗，呼商一七，除七尾位伍，变八；进位陆，变五；一四除四；进位肆，变○；一一除一，首位贰，变一；次以所注方法呼商一二除二二上○变八进削一　一一除一　一上五变四余实八四八乃倍方一作二为廉法【即二十】并减积【六十七】又并带纵【一十一】共九十八，为方法。注退位续商八，纪右以并方法得一百六，呼除一八除八，一上削八，六八四十八恰尽。得中广一十八步，各加不及得南广二十六步，北广五十四步，正长八十五步。右凡梯田、斜田、箕田、杖鼓田四不等田，以积求长广者，俱以此法求之。凡大小二方和积求径者，用减积带纵负隅，并纵开平方。假如大小方田二段共积七千五百九十二步，大方面较小方面多二十八步，求大小方面各几何？用较自乗【得七百八十四】以减积，余六千八百零八为实，倍较【二十八】得五十六为带纵叧置二为负隅初商四【即四十】乗负隅【二】得八十并。

纵方共一百三十六为方法注积下以呼所商一四除四　一上陆变二　三四一十二　三上捌变六进位二变一，四六二十四，六上○变六进位六变三，余实一三六八，次倍商得八，并初方【一百三十六】共二百一十六为廉法。注退位续商六，纪右亦乗负隅得一十二为隅法，并入廉法，共二百二十八，与次商呼除尽，得小方面四十六步，加较得大方面七十四步。又假如大小方田三段，共积四千七百八十八步，大方面多中方面十八步，中方面多小方面十二步，求各方面几何？以大方面较小面数【三十】自乗得【九百】以中方面较小面数【十二】自乗得【一百四十四】相并共一千四十四，以减共积，余三千七百四十四为实，并二较倍之得八十四为纵方，以三为负隅，初商二纪右【即二十】以乗负隅【三】得六。

十并纵方共一百四十四为方法列首位以呼所商二四除八　四上肆变六　二四除八　四上防变八进位叄变二　一二除二　一上削二余实八百六十四，倍方法【六十】作一百二十为廉法，以并纵方【八四】得二百四。注退位为方法，次商四，纪右以乗负隅【三】得一十二为隅法，并方法共二百一十六，与次商呼除：二四除八，二上削八；一四除四，一上六变二；四六二十四，恰尽。得小方面二十四步，以较加之，得中方面三十六步，大方面五十四步。凡方田圆田径相似，以其共积求相似之径几何者，用隅算开平方。凡圆者之四，可当方者之三，并方圆之率为七，用七为隅算，用四乗原积，开方。假如方圆田共积二千二百六十八步，只云方面圆径相等，求方面圆径者，四乗原积得九千七十二步为实，叧列七为隅算，初商三纪右【即三十】乗隅【七】共二百一十为方法，与商相呼二三除六，二上玖变三，一三除三，一上○变七，进位三变二，余实二七七二，乃倍三十作六十为廉法，注退位次，商六以乗。隅【七】得四十二为隅法，又以乗廉。六十得三百六十，并共四百○二。仍并入廉法，共四六二，与商相呼。

恰尽得方面圆径俱三十六步又法，四乗原积，得九千○七十二步，并方四圜三，得七为法，除之，得一千二百九十六为实，乃以开平方法求得方面圜径三十六步，更简易。凡匿其原积，只云一长、二濶、三和、四较，更以长乗之，共数若干，其长濶之较若干，以求其长几何者，用益积以补濶，则有带纵隅，益积开平方。假如田不知积，但以长乗一长二濶三和四较，共得四万四千九百二十八步，其长濶之较二十四步，求长者，列实叧置较为益纵，约三和得三长三濶，并一长二濶得四长五濶，又并四较入濶为长得八长一濶，共九段。

以九为隅算初商七十乗隅算【九】得六百三十为隅法又以初商【七】乗益纵【二十四】得一千六百八十注原积之下以益原积，八上贰变○进加一，六上玖并一变六，进加一，一上肆并一变六，共四万六千六百○八。却以隅法【六百三十】注退位，与商相呼，六七四十二，六上六变四，进削四，三七二十一，三上六变五，进位四变二，余实二五○八。乃倍隅法【六百三十】得一千二百六十为方法，注退位以商余实得二，纪右又乗隅算【九】得一十八为隅法，另以所商二乗益纵【二十四】得四十八，并入余实，八上八变六，四上○变五，共得二五五六。却以方隅二法并共一千二百七十八，皆与所商【二】呼除恰尽，得长七十二步。又同前，田不知实用，长数乗一，长二濶三，和四较共若干，及其较若干，以求长者，或损长以就之，用带纵负隅，减纵开平方。假如一长、二濶、三和、四较，以长乗之，得四万七千二百一十二，其较二十八步，而不知其积，求其长。列长乗之积为实，较为纵方，仍前法推得【九】为负隅，初商七十纪。

右乗负隅得六百三十为方法内减纵法【二十八】剰六。

百二退位注实下以呼所商六七四十二六上防变五进削肆　二七一十四二上壹变七进位贰变○余实五○七二次倍方法得【一千二百六十】内减纵法【二十八】得一千二百三十二，为廉法，列余实之下，约实续商得四，纪右乗负隅得三十六，为隅法，并廉法共一二六八，改注尾位与续商相呼恰尽，得长七十四步。又有同前不知积知较而以濶乗其一长二濶三和四较得若干求长者用减积带纵隅益积开平方假如设为一长二濶三和四较，以濶数乗之，得二万九千九百五十二，其较二十四，问长几何？置较自乗【五百七十六】以减原积，余二万九千三百七十六为实【以较自乗减其原积故曰减积】较为益纵六为隅算，初商七十，纪右乗隅【六】得四百二十为隅法注实下又以商【七十】乗益纵【二十四】得一千六百八十以益原积尾次七变五进位叄变○　又进玖变一又进贰变三得三一○五六乃以隅法乗商呼之四七二十八，四上一变三进削三，二七一十四，二上○变六，进位三变一余实一六五六乃倍隅法得八百四十为廉法续商【二】以乗隅【六】得一十二为隅法，另以所商【二】乗益纵得四十八以益余实尾位陆变四进位五变○进位六变七共一千七百四，却以方隅二法共八百五十二注尾位以呼续商恰尽得长七十二步亦有匿积只以濶乗一长二濶三和四较共若干及较若干求长而用带纵负隅减纵益实开平方者。

假如田不知积一长二濶三和四较以濶乗得二万九千三百四十八步濶不及长二十八步者列实亦列较为纵方九为负隅【共得九长】初商七纪右【即七十】以乗负隅得六百三十为方法内减纵方【二八】得六百二注实下又以乗纵方得一万六千八百五十六以益实六上捌变四五上肆变○八上叄变二六上玖变六一上。贰变四，乃以所商【七】呼除所注之下法【六百二】二上○变六，进位二变○，六上六变四，进削四，余实四○六四，次倍方法【一千二百六十】减纵方得一千二百三十二为廉法，次商四，纪右以乗负隅【九】得三十六为隅法，以乗纵方得一千零八为益实，并入余积八上四变二，进位六变七，一上四变五，以廉【一千二百三十二】隅【三十六】相并【一千二百六十八】呼商恰尽，得长七十四步。右法以濶求长，积欠一较，故乗较为益，实以补其缺。亦有同前，不知积而以濶乗长，濶和较共数及较，求濶者，用带纵廉开平方。假如直田不云积步，只云一长二濶，三和四较。以濶乗得二万九千九百五十二步，濶不及长二十四步。求濶者，置乗积为实，减较之半【一十二】为纵廉，而以初商乗之。初商四【即四十】纪右为方法，以乗纵廉得四十八，即与商相并共五十二。注实下照式退位，以呼初商【四】五四二。

十进削贰　二四除八　二上玖变一，余实九一五二次倍所乗，纵廉得。【九十六】及方法【八】共一百四，进位得一。千四十为方法，再置纵方一十二为廉以相并，共一千五十二，商实得八。纪右亦注尾位为隅，以乗纵方得九。十六并方廉隅共一千一百四十四，注实下以呼次商，恰尽得濶四十八步。又有同前匿积和较，又以濶乗长，濶和较共数，求濶用带纵廉负隅，开平方者。假如田不知积，只云一长、二濶、三和、四较，以濶乗之，共二万九千三百四十八，其较二十八，以求濶者，置濶乗数为实，推得共八较九濶，用九为负隅，以较八乗得二百二十四为纵廉，以初商乗负隅为方法，初商四【即四十】纪右乗隅得三百六十，并纵廉共五百八十四，注实下呼商五，四除二十，进削贰，四八三十二，八上叄变一。

进位玖变六　四四一十六　四上肆变八进位一变九　进位六变五余积五九八八次倍方法得七百二十为廉法并纵廉九百四十四为实续商六纪右以乗负隅【九】得五十四为隅法，并廉法纵廉共九百九十八。注实下呼商恰尽，得濶四十六步。若同前，不知积步，第置长濶和较，以长乗得若干，及较求濶，用带纵方廉开平方。假如一长，二濶，三和，四较。以长乗之，得四万四千九百二十八步。较二十四步，求其濶若干。列实，以较为纵方，推得八长一濶共九段。倍之得一十八，为纵廉。以乗初商而并计之。又兼纵方，乃以呼商除之。初商四纪右【即四十】为方法，乗纵廉【一十八】得七百二十，并入方法【四十】共七百六十。又并纵方【二十四】共七百八十四，以呼商四七二。

十八　七上肆变六进位肆变一　四八三十二八上玖变七进位六变三四四一十六　四上贰变六进位七变五余实一三五六八乃倍四得八为方法倍纵廉得一千五百二十，并入纵方【二十四】共一千五百四十四，为廉法。以商余实得八，纪右以乗纵廉【一十八】得一百四十四，为隅法。乃并方入廉【一千五百四十四】隅【一百四十四】三法共一千六百九十六。注实下呼商，恰尽得濶四十八步。又同前，不知积及置长濶，和较以长乗得若干，及较求濶，用带纵廉负隅乗纵减实，开平方者。

假如一长二濶三和四较长乗得四万七千二百一十二步濶不及长二十八步求濶几何列实推得八长用八乗较得二百二十四为纵廉推得九段用九为负隅又以较为减纵方初商四【即四十】纪右以乗负隅得三百六十为方法并入纵廉共五百八十四为下法乗减纵得一万六千三百五十二为减实注实下变为三○八六○乃以初商四呼下法照常注退位五四得二十进位三变一　四八三十二，八上八变，六进位○变七进，削一四四一十六，四上六变○进位六变五，余实七千五百，乃倍方法得【七百二十】并纵廉【二百二十四】共九百四十四，为廉法，约商得六，纪右以乗负隅，得五十四，为隅法，即以隅法乗减纵，得一千五百一十二，以减实，余五九八八，以廉隅二法相并，得【九百九十八】与次商相乗，开之恰尽，得濶四十六开立方法第十六凡数自乗，平列一面，为平方。更以原数再乗，则四面皆方，中积充实，为立方矣。凡立方点段，俱隔二超三，而首段寻其原数，以自乗再乗，如适合见数者，即为方法，开讫。如少于见数，则挨身减数，寻原，而以其再乗所得，列首段下除之，以为方法【若再乗之数反浮见数，即非其原】余实三倍其方为廉，叧置而以方法进一十【如系一则作一十，系二则作二十之类】与相乗得数，以较余实，约得几何，分之几何。假如已得二之一者，即以二为次商，亦以乗廉法得数若干，以并前所乗数，共若干，而以次商数总乗之，即得三面之廉。复以次商数自乗再乗为隅法，并入开尽，有不尽者，以法命之。依法分为四段，先开首位之捌，寻原系二，乃以二自乗，再乗得八，恰尽。抹捌右纪二。次开叄陆伍，除点上之伍未用，且作【六三】开之，乃三倍其二为六，另置于方法之上，试加一为【一二】以六乗之得一百二十六，以除原积叄陆，其数反浮，乃只作○纪格右为【○二】次求第三位，更三倍其【○二】为【○六】置于方法【○二】之上，随意加一位，且如只加○为，以与【○六】相乗，得一万二千，以视原积叄陆伍肆贰，约得三之一，乃商三，纪格右为，以乗【○六】得一百八十，并前【一万二千】共得一万二千一百八十，又以三乗之。得三万六千五百四十，又以三自乗，再乗得【二十七】为隅法，并入恰尽。凡隅法皆以尾位挨本位所点之下，尚余尾段三个○，再加一○于格右。

假如列实一千七百二十八首位一自乗再乗只得一，以一为方法，纪右抹壹次，倍一为三，作廉法。另置，乃以方法加○为【○一】以乗廉法三，得【○三】约得原积【二十七】内二之一矣。乃改○作二，为次商，纪格右，以乗廉法三，得六，并【○三】共得三十六，而以次商之【二】乗之，得七十二。又以二自乗再乗得八，为隅法，并入是为七百二十八，开尽。假如列实三万二千七百六十八数。首位寻原系三，以三为方法，自乗再乗得【七二】二变五，抹叄次，倍三作九，为廉法，加○于方法之右为【○三】以乗九得二百七十，以视余实【五千七百六十】为二之一，乃商二，纪二于三右，以二乗九得一十八，并前乗共得二百八十八，以二总乗得五百七十六，符三廉之数，又以二自乗再乗得八，为隅法，并入尽。若次商以方法进位乗廉法，而乗得之数适符余实，或于余实相近，不足二之一及三之一以上者，只以一为次商之数。

假如列实九千二百六十一数先开首位玖，寻原用二自乗，再乗得八，即除八于玖，而抹玖变一，以二为方法，纪右次倍二得六为廉法，另置次以二为【○二】与相乗得一百二十，适近本积，只以一为次商数，以乗所置六，仍得六，并前乗共得一百二十六，又以一自乗，再乗为隅，依法并入，是为一千二百六十一，恰尽。

广诸乗方法第十七凡积数若干，以平面开之，适得自乗之数者，为开平方。其立方乃开平再乗积也【四面皆方，中积满布】三乗方，长立方也【如以二自乗起者，得两立方；以三自乗起者，得三立方之类，但以平面一边之数为准】四乗方，平面立方也【如长立方得两方数，则进作四立方；如长立方得三方数，则进作九立方；又如长立方系九方数，则进作八十一立方之类，仿此以至无穷，俱系平面】五乗方，大立方也【如系二自乗起者，有四立方，则进并十六方为大方；如系五自乗起者，有二十五立方，则进并一百二十五方为大方之类】自此推之，六乗方视三乗形，七乗方视四乗形，八乗方视五乗形，余乗仿此可至无穷。旧法繁碎，且仅止于五乗，此立捷法，由平面至诸乗，总一机轴，先以诸乗原委布为一图，乗母为原乗出之，子为开凡开方列位以点分段者平方每二位点作一段再乗方每三位一段三乗方每四位一段仿此推之至九乗方则十位一段矣皆自尾小数起而先以最大数之首段检上图以寻其原即以原数开之假如平方开者检知首段数四十九即知七是原数用七自乗可开若首段数系六十四者即知八是原数用八自乗可开若系六十三者不及六十四尚以七数开之余积另求再乗三乗以上皆同此法假如再乗首段系二十七检知其原系三即以三开之若是六十三以下亦以三开又假如七乗方首段系二五六原数是二以二开之若原数是六五六不及三数之六五六一仍以二开之也上图系乗出之数已得乗出之数开方之时第以此数注首段下以除为开右法已得，首位方法，余实倍方为廉。平方者，一倍；再乗方者，再倍；三乗以上，皆以本乗之数仿此倍之。别立通率，凡平方只一率为【○二】再乗立方有二率为【○三】三乗方有三率为四十，为六百，为四千。自此以上诸乗，仿此渐加，而皆如后图所推。乃以方法之数乗之，以乗出之数较余实，约得几何母之几何，而即以其母为廉法。

此图以首行所列之二为平方三为立方四为三乗至十七则十六乗方也余乗仿此首行顺列其第二行数悉承首行上格二数积之如【三三】为六【四六】为【○一】之类，数穷。

则挨加一数如第二行第五格为【○一】

其第三行第五格亦为【○一】是也右格内数以检各乗合用通率，而各视其乗法多寡于本位叠加虚○。凡平方一乗者，用一率为二，以加○为【○二】以与方法相乗。其立方再乗者，用两率为三三，而左小数加一○为【○三】右大数加两○为，而以乗方法。若三乗方者，则用三率为四六四，于末位之四加一○为【○四】进位之六加二○为，首位之四加三○为四千，亦以大数乗方法。右图只具四六两位，而乗法却宜三位，则回用右方之四以足三率。若并位之数相重，如四乗方之连用【○○一一】者，回转减其重数，竟以首位之五用之，末位为五【○○一一】五，照前依位增○，其数则为五十，为一千，为一万，为五万，而以五万乗方法也。至六乗方、八乗方以上皆然。

一乗开平方假如列实六百七十六万五千二百○一，以平方开之，初商得二，为方法，以求廉法，立【○二】为通率，列中位，亦列方法于左位，以相乗得【○四】以较余实【七二】约得六之一，乃立六为廉法，列于右位，以自乗得【六三】为隅法，附列，乃以廉数【六】乗四十，得二百四十，以并自乗之三十六，共二百七十六，尽第二段，余实五二○一，另置通率并廉入方为【六二】置左位以乗【○二】得数五百二十，以较余实，得一。又以一为廉法，置右位，自乗仍得一，为隅法，并入恰尽。若已得廉法而以乗通率反浮余实，或廉法相合而隅法又浮余实者，皆减其廉法以乗之。假如列实二百八十九，初商一除实一百，余实一百八十九。次商以方法乗通率，只系【○二】以较余积，可用九除实一百八十而乗出隅法八十一，则浮原积。又试用八除实一百六十而乗出隅法六十四，亦浮原积。惟再减用七为廉法乗得一十四，以除余积尚余四十九，而以廉法自乗得四十九为余法，并入恰尽。凡诸乗所用廉法有浮原积者，皆照递减求之。

再乗开立方假如列实二十三万八千三百二十八，以立方开之。寻原以六为母，以六自乗，再乗得二一六，除积。六上捌，变二一上叄变二。进抹贰，以六为方法，以求廉法。凡立方皆用二数为通率，为三十为三百，自下而上叠位，而以方法【六】对【○三】以方法自乗得【六三】对□，各列于左。初乗乃以【六三】乗□得一万八百以视余积约得二之一，乃立二为廉。法以对□复以廉法【二】自乗得【四】以对□各列于右又以【二】乗【四】得【八】为隅法，附列于下，乃以廉二乗。

一万八百得二万一千六百再乗以六，对【○三】乗之，得一百八十。又以四乗得七百二十以上，二次。乗出数并之得二万二千三百二。

十加入隅法之八恰尽凡方法之乗，皆在通率位左，以方法数对尾位，其乗数自下而上。凡廉法之乗，皆在通率位右，以廉法数对首位，其乗数自上而下。四乗、五乗以上，皆仿此。右再乗方法，若以还原则，以二十六自乗，再乗。若初商方法只系一数者，通率无乗，须并诸率位除之一而净，即以一为廉法。假如列实一千三百三十一，以再乗立方开之，初商以一为方法，除净首位【一千】次并中位两，通率一除可净，以一为廉法。对通率三百，次以自乗仍得一，对次通率三十，又以再乗亦得一，为隅法，系其下，而以隅法之一并入三千三百，恰尽。右式可例其余，凡以一为方法者，不论几乗方，皆以诸位通率并求。

三乗方假如列实一千四百七十七万六千三百三十六，以三乗方开之。寻原以六为母，自乗再乗得一二九六，除积。六上防变一，九上防变捌，二上肆变一，一上削壹次。以六为初商，方法以求廉法，凡三乗皆叠用通率，三位为。四十为六百，为四千，先列通率于中位。乃列方法于左，尾位自乗【六三】再乗二一。六自下而上对列，初乗以二百一十六乗四千，得数八十六万四千，较原积约二之一，以二为廉法，列右首位自乗【四】再乗八，三乗【六一】聨列，乃以【二】乗八十六万四千，得数一百七十二万八千，再乗以【六三】乗□，得数二万一千六百，又以右【四】乗之，得数八万六千四百，三乗以【六】乗【○四】得数二百四十，以右八乗之，得数一千九百二十，乃合三乗数积之，并入隅法【六一】共得一百八十一万六千三百三十六，恰尽。右三乗方法，若以还原则，以六十二之数自乗，再乗，三乗。一法，以开平方法所得数，更以平方开之。

四乗方假如列实九亿一千六百一十三万二千八百三十二，数以四乗方开之，寻原六为初商，除积七亿七千七百六十万，余实一亿三千八百五十三万二千八百三十二，以求廉法。凡四乗方通率，叠用四位为五十，为一千，为一万，为五万。中列自下而上，而以方法【六】对尾位【○五】列之。又自乗再乗，三乗四乗，亦自下而上对列于左。初乗首位，左乗得六千四百八十万。以较余实，约得二之一，以二为廉法。对首位五万列之，亦自乗、再乗、三乗。自上而下对列，又四乗，得【二三】为隅法。系于其下，而以首位二数乗左，乗所得之数，计得一亿二千九百六十万。次乗次位左乗得二百一十六万而以右【四】乗之，得八百六十四万。三乗第三位左乗得三万六千而以右【八】乗之，得二十八万八千。四乗尾位，左乗得三百，而以右【六一】乗。之得四千八百以上，四乗之积并入。右廉四乗所得隅法三十二，恰尽。右四乗方，若以还原则，以六十二数自乗，再乗以至四乗。

五乗方假如列实五百六十八亿○○二十三万五千五百八十。

四数以五乗方开之寻原六为初商除积四百六十六亿五千六百万余积一百一亿四千四百二十三万五千五百八十四数以求廉法凡五乗方皆叠用通率五位为六十为一千五百为二万为一十五万为六十万中列自下而上而以方法六对尾位【○六】列之，又自乗、再乗、三乗。

四乗自下而上皆列于左位初乗首位左乗得四十六亿六千五百六十万以较余实约得二之一以二为廉法对首位六十万列之亦自乗再乗三乗四乗自上而下，对列于右。又【五】乗。得【四六】为隅法，系下而以首位【二】数乗左，乗所得之数共得九十。

三亿三千一百二十万次乗次位左乗得数一亿九千四百四十万，而以右【四】乗之，得。

七亿七千七百六十万三乗三位左乗得四百三十二万而以右【八】乗之，得三千四百。

五十六万四乗四位左乗得五万四千而以右【六一】乗之，得八十六万四千。

五乗五位左乗得三百六十以右【二三】乗之得一万一千五百二。

十并上五乗积又并右廉所乗隅法六十四恰尽右五乗方，若以还原则，以六十二之数自乗，再乗，以至五乗。

六乗方假如列实三万五千二百一十六亿一千四百六十万六千二百○八，以六乗方开之，寻原六为初商，除实二万七千九百九十三亿六千万，余实七千二百二十二。

亿五千四百六十万六千二百○八数以求廉法凡六乗方通率叠用六位为七十为二千一百为三万五千为三十五万为二百一十万为七百万中列而以方法【六】对尾位【○七】列之，又自乗再乗三乗四乗五乗自下而上皆列其左初乗首位左位得数三千二百六十五亿九千二百万以较余积约得二之一以二为廉法对首位七百万列之亦自乗再乗三乗四乗五乗对列于右又以六乗得一二八为隅法系下而以首位【二】数乗左乗所得之数共得六千五百三十一亿八千四百万次乗次位左乗得一百六十三亿二千九百六十万以右【四】乗之得六百五十三亿一千八百四十万三乗三位左乗得四亿五千三百六十万以右【八】乗之得三十六亿二千八百八十万四乗四位左乗得七百五十六万以右【六一】乗之，得一。

亿二千○九十六万五乗五位左乗得七万五千六百以右【二三】乗之，得二。

百四十一万九千二百六乗六位左乗得四百二十以右【四六】乗之，得二十六。

万八千八百并上六乗之积又并隅法一百二十八恰尽右六乗方，若以还原则，以六十二之数自乗，再乗，以至六乗。

七乗方假如列实四兆五千九百四十九万七千二百九十八亿六千三百五十七万二千一百六十一，数以七乗方开之。首位四，其原一，以一为方法，余实三兆五千九百四十九万七千二百九十八亿。共求一廉法，因方法一数无乗，当并下位以较余实，而惟首次两数同位为大。

数其余小数不足为多寡且从省只并首次两位开之【若不相并者，以首率八千万较余实，试用四为廉法乗之似可除，然次率八乗即浮原数矣。试减用。三亦浮，原数见后注】此二数并得一。

亿○八百万以较余实约可用三数然缘次乗之六以乗中列之第二位其数反浮【初以三乗中首位固可除至次乗六以乗】次位得一亿六千八百万，并初乗共四亿有奇，反浮。

余实】当减用二为廉法自乗再乗至七乗依式列右凡乗数多于原数者减法仿此初乗以廉二乗八千万得一亿六千万再乗以廉再乗数【四】乗二千八百万得一亿一千二百万三乗以廉三乗数【八】乗五百六十万得四千四百八十万四乗以廉，四乗数【六一】乗七。

十万得一千一百二十万五乗以廉，五乗数【二三】乗五。

万六千得一百七十九万二千六乗以廉，六乗数【四六】乗二。

千八百得一十七万九千二百七乗以廉七乗数　乗八十得一万○三百六十八右并前七乗之积共得三亿二千九百九十八万一千四百四十，并入隅法二百五十六以除，余积尚剰二千九百五十一万五千六百二亿六千三百五十七万二千一百六十一数，再商自首至尾，共以一段开之。乃并廉法入方法共一十二，为三商之数。以对尾位【○八】列于左，以自乗、再乗、三乗、四乗、五乗、六乗，悉自下而上对列。

一　　　　　　　　　　初乗首位左乗得二千八百六十六万五千四百四十六亿四千万以较余积只可一乃以一为廉法乗无可乗故自乗至七乗皆只一照式列右其对中末位之下仍系一为隅法再乗次位左乗得八十三万六千○七十五亿五千二百万三乗三位左乗得一万三千九百三十四亿五千九百二十万四乗四位左乗得一百四十五亿一千五百二十万五乗五位左乗得九千六百七十六万八千六乗六位左乗得四十万三千二百七乗尾位左乗得九百六十并七乗之积増入隅法之一恰尽右七乗开方，若欲还原则，以一百二十一数自乗，再乗以至七乗。以上开方则例，共七乗，衍至十乗、百乗，亦复如是。妙在寻原，变在通率，熟玩自得，难以备述。若夫寻原之法，固与还原不同。还原者，依本乗之数以还实积耳。寻原者，用前列乗图以寻下手方法。凡寻原，惟平方最易，以每段只二位也。次则立方亦易，以每段只三位也。三乗则四位为一段，寻原难矣。自是而上，位置愈多，寻原愈难矣。然而即平方可求立方之原，兼平方立方可以求多乗之原。若三乗方者，以平方法开之，得数又以平方法开之，得数即原矣。若五乗方者，先以平方开之，得数乃以立方开之，或先以立方开之，得数乃以平方开之，即原矣。若六乗方者，作四乗方开二次，即得其原。若七乗方者，作开平方三次，即得其原。若八乗方者，作立方二次，即得其原。若九乗方者，先以平方开一次，又以四乗方开之，或先以四乗方开一次，又以平方开之，即得其原。若十乗方者，作四乗开方三次，亦得其原。错综变化，总由自然进退开阖，具有定法。孰谓开方诸乗迂逺难冀者乎？神而明之，从积正负带减加翻，巧由心造，妙以熟生智者，于斯盖不啻思过半也。奇零诸乗开方法第十八。凡开方诸法，不惟全数可开，即奇零之数亦各有法。大都皆以寻原为第一义。有母数子数俱有原数可用者，如平方九之四，则以三之二为原，以三自乗得九，以二自乗得四也。如再乗立方【七二】之八，亦以三之二为原，以三自乗得九，再乗得【七二】以二自乗得四，再乗得八也。又如三乗方【一八】之【六】以三之二为原，谓三再乗得【七二】三乗得【一八】谓二再乗得八，三乗得【六一】也。如五乗方者之【四六】以三之二为原，谓三数以五乗则得，二数以五乗则得【四六】也。有二数并列于母不同，而亦有原数可用者，如四之二与九之八并列，依对乘法，两母乗得三十六，两子乗得一十六，是为【六三】之【六一】其平方之原为九之四，以四九三十六与夫四四一十六，用四为钮数者也有以全数带奇数而亦有原可寻者，如有全数二又【七二】之【○一】依化法乃为【七二】之【四六】寻其立方之原为三之四，以三再乗为【七二】四再乗为【四六】归其整数即一零三之一也。

凡有原可寻则可开，无原可寻则不可开，必命分之母与得分之子各有原则可开，若一有原一无原则不可开。寻原之术，数之多者约之以至于寡，如【五四】之【○二】必约之为九之四，其开平方之原即三之二也。如【一八】之【四二】必约之为【七二】之八，其立方之原亦三之二也。他如九之六者，九有原，六无原，不可开矣。又如【○二】之【一二】者，命分数与得分数俱无原，不可开矣。然则终不可开乎？又非也。数穷则变，变则通，虽无原有数之最相近者可借之以为原，吾以本数析之，又析而相近之原可得也。析之之法，多取进位平方，或析一为十为百立方，或析一为百为千，数弥多。者，求弥密，其原亦弥近也。弥近之数，或稍多干所求，或稍约于所求，然而皆可以为原者也。假如以五数为开平方，是为无原而任借【○一】为之原，以自乗得一百，以五乗得虽【○一】不为之原，乃其原之最近者，有两数，其一为以【二二】为原【二十二自乗得四百八十四】此近而朒者；其一为以【三二】为原【二十三自乗得五百二十九】此近而盈者。何也？试以所借【○一】为命分之母，以【二二】为得分之子，以【○一】之【二二】自乗【此整二零之二】得之内除四百为四整数，而【四八】为之【四八】夫四零之【四八】以视二零【○一】之二，犹五百与【二二】之比例也。试以所借【○一】为母，以【三二】为子，以【○一】之【三二】自乗【此系整二零二之三】得之内除五百为五整数，而【九二】为之【九二】夫五零之【九二】以视二零【三二】犹五百与【三二】之比例也。故【○一】可以为五借也。假如以九数为开立方，亦为无原而任借【○一】为之原【以自乗再乗故】以九乗得虽九千，不以一十为原，而其近原者亦有两数，一为以【○二】为原【自乗再乗】此近而朒者；一为九二六一，以【一二】为原【自乗再乗】此近而盈者。则何也？试以【○一】为母【○一】之【○二】系整二数，以自乗再乗，即得【○一】之八。试以【○一】为母【○一】之【一二】系整二数零【○一】之一，以自乗再乗，即得九零之也【母一十自乗得一百再乗得一千子整二化二十并入一仍二十一自乗得四百四十一再乗得九千二百六十一以九千归元得整九余为一千之二六一】故【○一】可以为九借也。假如列实【○四】以四乗方开之，为无原，任借一数为【○一】以自乗至四乗，得一十万，以【○一】乗之，得四百万，用前法推衍其原之近者，有两数，其一为【○二】其一为【一二】何也？以【○一】为【○二】之母，此【○一】之【○二】系整二数，以二自乗，再乗，三乗，四乗，为【○一】之【二三】以视【○四】其近而朒者，以【○一】为【一二】之母，此【○一】之【一二】系整二数，零【○一】之一，以二零【○一】之一自乗，再乗【化整数并子法如前，母四乗得一十万，子自乗再乗得九千二百六十一】三乗，四乗，得整四十数零一十万之八万四千二百○一【二十一，以三乗得一十九万四千四百八十一，以四乗得四百○八万四千二百○一，内以四百万还元，得整四十数，其零为八四二○一】以视四十，其近而盈者，故【○一】可以为【○四】借也，以上三论，姑借【○一】见例，若进至百千万数，其数弥多，其析愈精，则原愈近矣。

同文算指通编卷八