同文算指通编卷七

同文算指通编卷七

明　李之藻　撰积较和相求开平方诸法第十四。凡平方长濶不等，以长濶相乗为实积，以长濶相减为较，以长濶相并为和。凡以积和求较者，以和自乗，以积四因，相减，开其余，得较。假如直田积八百六十四步，长濶和六十步，求长多濶几步者，用和自乗【得三千六百】又四因直积【得三千四百五十六】以少减多，余一百四十四，平方开之，得差一十二步。右开法见前，不重列。所以和自乗，又四因直积者，葢和自乗有四段直田积，一段差方积，故以四积减和，乃剰下差方一段，以取方面见步【有图在后】比类，如有金八百六十四两，数人分之，只云人数与【得银数共六十其】

【差几何银数爲濶人数爲长得三十六人毎人】【二十四两凡以积较求和者四因实积又以差】【自乗并入开平方除之得和假如直田积八百六十四歩濶不及长一十二歩求长濶和共几歩者以积歩四因以较自乗相并开方得长濶和六十歩右四　因积有　四长四】

【濶纵横列之于外，又较自之一段】【居中故开方得和，其用和自乗者，得此图全数外，兼四积内，兼较自乗，故除积得较。比类：金八百六十四，两只云锭数不及两数十二，求锭与两共若干？两数爲长，锭数爲濶，得锭与两共六十，得三千四百五十六。一百四十四，三千六百，长三十六步】各若夫积与较求濶者，其长之积多于濶。若非加法以带除，其长当于实积内抽减其长之积。故其法有二：其一，以较为纵方，并纵入方，谓之带纵开平方；其一，以较为减积，以方乗减，谓之减积开平方。积与较求长者，其濶之积少于长，若非益积以补濶，则当损其法之长也。求法有二：其一，以较为负纵，乗上商以添积，谓之负纵益积，开平方；其一，以较为减纵，而以负纵减方法，谓之带减纵开平方。积与和求濶者，以和为纵，方一为负隅。和并一长一濶积得一长而少一濶故用一为负隅。或益负隅于积，或减负隅于纵，皆可以求其濶也。其益隅于积者，乗负隅为方法，又乗方法以益积，是为带纵益隅开平方。其减隅于纵者，乗负隅以减纵，命余纵以除实，是为带纵负隅减纵开平方。积与和求长者，原积有长濶相乗而无长自乗，宜损濶以益长，故以和为纵方，而置一算为负隅，稍赢其商以减其纵，用减余者以除积，而积常不足，则翻以积减纵而余为负积，或再商命隅以减纵，而纵反不足，亦翻以纵减商而余积纵三者俱负，乃以负纵约余负积，商命负隅开之，是为带纵负隅减纵翻法开平方。右纵方六术，所以通平方之变，而翻法一术，又所以通纵方之穷也。此外有积与二濶较及长濶较求濶者，则有所谓带纵减积开平方。有以大小二方和积求径者，则有所谓减积带纵负隅并纵开平方。有以方圆二径虚设相同及积求其实径者，则有所谓隅算开平方。至于匿其积实，而虚张长濶和较之数，互求长濶者，则又有所谓带纵隅益积开平方，带纵负隅减纵开平方，减积带纵隅益积开平方，带纵负隅减纵益实开平方，带纵廉开平方，带纵廉负隅开平方，带纵方廉开平方，带纵廉负隅乗纵减实开平方，皆以带纵诸法错综为用，以御开方诸积之变。神明变化，存乎当机，初不可一途而取。今每则畧着数例，以便初学。

带纵开平方法【积较求濶】有勾股积若干，平方开之。第云勾不及股若干，用加法带除其股积余，为开方名带纵开平方法。列实点定开位，亦列所不及为纵数于下。以首位随首点下，须于纵上空一横行，以容商除。初商若干，纪格右，亦以商数并纵数列首点下【有小数者照常退位排之】次第呼乗以除实数，但所商数须与带纵相照。若纵数多，则减商数就之，不尽之数再倍作廉法。然倍方不倍纵，亦并入带纵商之。假如有直田积八百六十四步，濶不及长一十二步，求濶几步。列实定位，以带纵【二一】随首位列之。初商二，纪格右亦列首点下，以并带纵【一】共三乃。

变壹贰注三　相呼二三除六　三上捌变二二二除四，贰上陆变二。完首段，余实二百二十四步。次，倍二。作四为廉法，挨退位下，亦列带纵以。廉四，并纵一其下列五次，商四纪格。右亦注末位点下为隅法，以并隅二下注六，乃相呼除，先呼五，四除二十，进抺二，又呼四六二十四，恰尽得。

濶二十四步比类给银八百六十四两，只云所得银之两，比得分人数多一十二两，求总是几人？每人各得银几两？银多为长，人少为濶，得银两数二十四，人数三十六。假如二十三万○四百为实，带纵七百二十，初商可用四数，因有带纵七，乃减商作二，纪格右亦纪首，点下为。隅以并带，纵七共九，乃变二七作。九是为【二九】与右二疉呼除之。二九一十八　九上叄变五进削贰本位下削九　次以右二乗二除四用借法　二上○变六　进位五变四，本位下削二次，倍二作四。为廉法列次点之进位，○下另列。带纵数于廉下，以待商除；次商四。纪格右亦注次点四下为隅法，而以带纵及廉法并入除之，四七并一十一，廉下变一，进位亦加一，四二并得六，隅下变六，乃以右四呼首一，一四除四，一上削四，又以右四呼次一，一四除四，一上六变二，又以右四乗次六，四六二十四，六上除肆，进位除二，恰尽，因尚余一点于右加一○右平方二百四十，带纵共九百六十。若实数首位寡而带纵数多，不能并累开方者，虽点段在首位，亦退一位列商，及列带纵而减一商。假如列实一万六千一百卄八，带纵七十二点段，该将左首位商起因带纵是七即减一商置次点下　初商九纪格右亦注次点之下并带纵七共一十六乃改七九作六进位置一为方法与商九相呼　一九除九　一上陆变七进抹一六九五十四，六上壹变七，进位七变一；二九一十八，二上贰变四，进位七变五。次倍九得一十八为廉法，叧退一位置带纵，再商六，纪右亦注末点下为隅法，而并廉法带纵，呼除如前，得濶九十六，带纵七十二，共长一百六十八。其实首数多带纵数少，可以开除者，仍照所点段位开起。假如列实三万八千四百，带纵二百，首位三，自为一段，初商一，纪右亦纪一，于首位下并带纵二，得三，乃以贰变三，与右一相呼，一三如三，径除叄次，倍一作二，为廉法，以注初商之次位，以并带纵得四，注纵下，如前，再商二，以纪右亦，以注第二点下，俱与右二相呼，先呼二四如八，径除捌，又呼二二如四，径除肆，外尚剰一点，该于格右加○右开方一百二十纵三百二十若点段开位少而带纵之位反多【如开位三点只该百而带纵乃至千之类】以初商置首点下，而以带纵大数进位列之，必首段系二位者，方有此例。假如列实一十九万八千，带纵一千五百三十，只点作三段，其开数止有三位，初商只是百数，而所带乃逾至千，此其并纵亦须以百随百，以千进一位。初商一，纪右亦注首点之下，并带纵五，得六，另改注其下，先以右一与纵一呼之，一一除壹，次以右一呼并六，一六如。

六六上玖变三　次以右一呼纵三三上捌变五完首段　乃倍初商之一，作二为廉法。注：初商之次。其带纵亦于次位列之【列五百于廉下二五】。并得七，另注七于下，一千进位】再商二，纪右亦注。次点下，以并三，得五。另注：五乃以。

递呼　先呼一二如二　一上三变一　再呼二七一十四　七上五变一，进除一，又呼二五得一十，恰尽外，尚余一点，右加○。右开方一百二十，纵一千六百五十。带纵并商数有共一十者，进位照式呼除【第一图亦有此】假如列实七万二千，带纵四百八十点在首位。初商一，纪右亦注点下，并纵四得五，注于下。以呼一五除五四，上防变二。再呼一八除八，八上贰变四，进位二变一。乃倍初商之一作二，为廉法，注次位其下另列带纵以二并四得六注于下次商二纪右亦注次点之下以相呼除　二六除一十二　六上四变，二进，削一，商二，并纵八，得一。十进位注：一、本位注○，以相呼除。一、二除二恰尽，外余一点加○于。

右右开方一百二十纵六百若实数、纵数、商除数俱多杂糅易淆者，务须先将带并之数逐一归并停当，各注其本位之下，乃以呼除。大抵只据最下一字为准则，不淆乱。假如列实一十六万六千四百六十四，带纵一千○八十八。先点定该开三位讫，其带纵低二行列之，以便填商。置初商于第二位，点下以带纵之千进一位列之【初商是百，故带纵之千进位与前法同】初商一，并入为一千一百八十八。以初商一纪右相，呼首位呼一一如一，以削壹次。

位呼一一如一　一上陆变五三位呼一八如八　八上陆变八　进位五变四　四位呼一八如八　八上肆变六进位八变七毕，一段【以上甚简】倍初商之。

一作二为廉法注次位下另列带纵数【并得一千二百八十八】次商三纪。右亦注次点下，并入以商【三】并。纵【八】得一十一，注一于八下，又注一于进位廉二之下，以商纵【一】并廉【二】得三，另注三于廉【二】之下，并毕。其并注数多，认定最下字为主，以与右相呼，首位呼一三如三一，上四变一，次位呼三三如九三，上七变八，进削一，第三位呼一三如三，一上六变三，第四位呼三八二十四，八上陆变二，进位三变一，毕。二段以上除过一十五万八千三百四十余，实八千一百二十四未尽，又倍前商之一三作二六为廉法，空末位之点以待隅。法而以六注【二】下【右第二位】以二注。

【一】下【右第三位】另列带纵数以相并乃以廉六并纵八共一十四系四于八下一进位又以一并廉二共得三，系于其下，乃商六，纪右亦注末位，下又以并纵八，共一十四，注四于末位，下一进位四，下改作五，并讫，以最下字与右相呼，一六除六，一上八变二，三六一十八，三上一变三，进除二，五六三十，进除三，四六二十四，除恰尽。右开方一百三十六，纵一千二百二十四。

减积开平方法【积较求濶】勾股积若干，勾不及股，亦有减积法。减积者，于实内减股之积，以就其方也。列实定位，另列不足数为减积，以商乗减积，以所乗出之数列原积下，对减视余实若干，以所商依法除之。有未尽者，倍方为廉，约得再商，别置为隅，亦乗减积以减余实，乃倂廉隅除之。假如直田八百六十四步，濶不及长一十二步，求濶几何？列实点位如前，另列不及一十二为减积，以初商乗之。初商可用三，因有乗数，故约用二。纪右亦注首位下，以乗减积得二十四，随位列之，相对减原积二上捌变。

六　四上陆变二余实六百二十四乃以方法呼除　二二除四二上六变二余实二百二十四次倍二作四为廉法注退位再商得四纪右亦纪末位为隅法以乗减积得四十八亦相对减余实四上二变八进位二变一　八上肆变六进位八变七乃以方廉呼除　四四除十六　四上七变一进削一又以方隅呼除四四除一十六恰尽得濶二十四步假如直积一千七百五十濶，不及长一十五，问濶几何？列实定位，叧列不及为减积。初商三，纪右亦注首点之。下为方法，以乗减积，得【五四】随方。

法之位列之以减原积四上防变三　五上伍变○　乃以方法除之　三三除九　四上三变四进削壹余实四百次倍三作六为廉法注退位再商五纪右亦注末位为隅法以乗减积得七十五对注以减余实五上○变五，七上○变二，进位四变三，尚余三百二十五，皆与次商相呼，五六进除，三五五二十五，恰尽，得广三十五。假如直积一十六万七千四十，濶不及长一百三十二，求濶几何？列实定位，另置不及为减积。初商三，纪格右亦注首点下，以乗减积得三百九十六。随首点列位对减，六上○变四，因有借故进位，仍七。三上陆变二，余实一十二万七千四百四十。乃以方法开之，三三除九。三上二变三，进削壹，余实三七四四○。次倍三作六为廉法，注退位商实得四，纪右亦注次段点下为隅法，亦乗减积得五。

百二十八退前积一位列之对减八上肆变六二上四变一五上七变二仍余三二一六却以廉隅呼除四六二十四六上二变八进削三四四一十六　四上一变五进位八变六尚余六五六○乃倍三四作六八为廉法挨尾点一位列之再商得八纪右亦注尾下为隅法又乗减积得一千五十六挨尾位列之对减六上○变四　五上六变○一上六变五仍余五五○四乃以廉隅呼除六八四十八　六上五变七进削五　八八六十四　八上○变六进削七又八八六十四，恰尽得濶三百四十八。负纵益积，开平方法【积较求长】有勾股积若干，勾不及股为较，以积及较求股，而勾少于股，则益积以补勾，名负纵。益积开平方，列实定位，另置所不及数为负纵，以商乗负纵，虚增其积，而后以方法开除不尽者，倍方为廉。又以再商乗负纵，増积而另置一算为负隅，以再商乗负隅为隅法，置于廉次，以商呼廉隅除尽。假如直积八百六十四，濶不及长一十二，求长几何？列实定位，叧列不及十二为负纵，而初商则约所増负纵之乗，命之如首位捌，开法宜用二因有负纵之乗，乃商三，纪右亦注首位下为方法，而以乗负纵得三十六，注三于首位，注六于次位，以并原积六上陆变二，三上捌变二，进位置一，益积得数一千二百二十四，乃以方法呼除三三除九　三上二变三余积三，二四又倍三作六，为廉。法另商六纪右以乗负纵得七十。

二退位列之添积二上肆变六七上二变九，共积三九六，而另置。一算为负隅，以次商【六】乗之，仍得。六为隅，法乃并廉隅，呼除六六三。十六，六上九变，三进削三，又呼六六，三十六，恰尽，得长三十六。

假如直积二十三万四百，长濶较七百二十，求长几何？列实亦列较为负纵，初商九，纪右亦注首点下为方法，以乗负纵，得六四八，以益积八上○变八四上叄变七，六上贰变八，共八七八肆○○，以方法除之，九九八十一，九上七变六，进削八，余实六八肆○○，乃倍九作【八一】为廉法注八于次隅之进位又注一于进位次商六亦乗负纵得四三二以益余积二上肆变六　三上八变一　四上六变一　进位置一共得一一一六○○又以次商六乗负隅一仍得六注本段点下为隅法乃以廉隅呼除一六除六　一上一变五进削一　六八四十八　八上一变三进削五，六六三十六，恰尽得长九百六十，带减纵开平方【积较求长】凡以较及积求股者，股长于勾，亦有损股之长以就其方者，名减纵。开平方，列实定位，列较为减纵，以减初商，而以所减之余即乗初商以开之。其次商，又即以初商并入为廉法而商之，置隅如常。假如直积八百六十四，濶不及长一十二，求长若干？列实叧置，不及一十二为负纵，初商三十【因有二点故知三十】置右，另以负纵减之余一十八，挨注首位，点下为方法，以呼所商，三八二十四，八上陆变二，进位捌变六，一三除三。一上六变三，余积三百二十肆乃。于右三加○以并方法一十八，共四十八，为廉法。注退位，再商六，纪右亦注隅，而并入廉法，共五十四，而六八并改四。进位，四改五，以呼次商，五，六，三十。五上进位削三，四六二十四，恰尽得。长三十六，其次商若不以隅相并，亦同前法。六次商六并前【八一】为四十八退位注之以呼四六二十四，四上二变八，进位。

削三　六八四十八　八上肆变六进位八变三，又置隅法于尾位六六。

三十六恰尽只就本段积比类以金换绢八百六十四匹不知金一两换绢几匹但云原金总两多于绢数十二今求原金几何如长绢匹如濶得金三十六两其所换匹数即直积也假如直积三千四百五十六，濶不及长二十四，求长几何？列实定位，另置较二十四为负纵，初商七十【因有二点，故知七十】纪右以负纵减之余四十六，挨注首位为方法【四多于三，照例退位】与商相呼：四七二十八，四上肆变，六进削叄六七四。十二，六上伍变，三进位，六变二，余。实二百三十陆，乃于右七加○，以并四。十六，共一百一十六，为廉法。列于下续。商得二，改右○为二，亦注尾位为隅法。并入廉法，呼除一二为二。一上削二。

又一二为二　一上三变一　二八一十六恰尽得长七十二又有两方共积若干，第云以小方之一面乗大方之一面，共若干，问大小方面各几何？者倍乗积以减共积，以所余积为实，开方得较。再置二方乗数为实，以较为减纵，开平方除之，得大方面，以较减之，得小方面。假如大小方田二段共积六千五百二十九步，以小方、大方各一边相乗，得三千一百二十步，求大小方面几何者，倍二方乗积【得六千二百四十步】以减共积，余二百八十九为实，以开平方法除之，得较一十七步，再置二方乗数三千一百二十步为实，以较为负纵，初商六十纪右，以负纵减之余四十三注下为方法，以呼所商四六二十四，四上壹变七进削叄三六一十八，三上贰变四。进位七，变五，余实五百四十，乃于六右加○以并方法共得一百零。三为廉法，列下续商，五纪右亦注。尾位为隅法，并入廉法，共一百零。

八以相呼　一五除五五八四十恰尽得大方面六十五步，以较一十七减之得小方面四十八步带纵益隅开平方法【积和求濶】凡积和求濶者，用其和为带纵，则已兼长濶，而积有长无濶，故虚置一积为负隅，而以负隅益积，即以带纵开之，得濶数，名带纵益隅开平方。列实定位，另置带纵数，以初商纪右，用自乗以益原积，是为负隅，而以所商呼纵方除之不尽者，倍商为廉注退位，又再商纪右，亦注廉次为隅法。廉隅并数，以乗所商益积，乃用商呼纵方，若不尽须再商者，则以后廉并前廉余，如前法除尽，得濶数。假如直积八百六十四，长濶和六十，求濶几何？置积为实。以和为带，纵初商二纪，右亦注首。位下自乗得四，以益积，共一千二。百六十四，乃以初商乗带纵二六。

一十二　二上削二进削一余实六十四倍，方为廉，得四注。次位，次。商四纪，右亦注尾位为隅法，以乗。廉法得一十六，并入余实四上陆。变二进加二，亦以乗隅法，尾位肆。变○进位，二变四，共二百四十而以次商呼，带纵恰尽，得濶二十四。

二积共一千四百四十步以带纵六十除之得濶二十四步假如直积二万一千六百四十八，长濶和二百九十六，求濶几何？列实定位置，和为带纵。初商一列右，为方法，亦注首位下。自乗仍得一，以益积。首位贰变三，乃以方法与带纵相呼除实。首位三变一，次位壹变二，进削一退位陆变○，余实二千○四十八。倍方为廉，得二，注退位。次商三纪右，为方法，亦注廉次为隅法。共【三二】以乗方法，得六十九，益入本段余积。三上○变九，二上二变八，共得八九四八。乃以方法呼带纵除之，二三除六。

二上八变二　三九二十七　三上九变二进削二　三六一十八退位四变六进削二余实六十八又倍方法之三为六作廉法注退位倂入前廉【二】共二百六十【所以倂入前廉者，盖一方外必具两廉故】为方法。再商二纪，右亦注尾位为隅法，并入方法共，以乗所商【二】得五百二十四。以并余积，尾位八变二，进位六变九，进位加五。乃以所商【二】与带纵呼除，恰尽，得濶一百三十二歩。假如直积三千四百五十六步，长濶和一百二十步，求濶几何？列实，以和为带纵，初商四，纪右为方法，亦注首点下，自乗得一十六，益积四，上肆变○，进位叄变五，乃以方法呼带纵一四除四，首位五变一，二四除八，退位。

○变二进削一尚剰二百五十六次倍方四得八为廉注次位续商得八为方法纪右亦注尾位为隅并入廉法得【八八】而与方法【八】相乗共七百。四以益余实，尾位陆变○，进位伍变六，进位二变九，乃以所商【八】呼带，纵恰尽，得濶四十八步。带纵负隅，减纵开平方【积和求濶】积濶求和，若难以益隅开之者，即用减隅法，而减负隅于纵，名带纵，负隅减纵，开平方，列实定位，列和为带纵，置一为负隅，初商纪右，乗负隅以减带纵，列减余于实下，而乗所商以开之，不尽者，倍方为廉，以廉减纵，次再商纪右，亦减余纵，而以其减余乗商除尽，得濶数。假如直积八百六十四，长濶和六十，求濶，列实定位，另列和为纵，方初商二，纪右，亦纪首点下，以乗负隅一，仍得二为方法，以减纵数陆，剰四，随首位注之，以呼初商。二四为八，二上削捌，余实二十四倍。方法之二：作四为廉法。注：初商之次。位亦乗负隅得四，以减纵剰二十。注退位次商四纪，右亦注末位为隅，以减余纵之二十余，一十六。附注：乃与右四相呼，先呼一四，除四。一上陆变二，再呼四六二十四，恰尽，得濶二十四。亦有初商除实讫，即以初商再减剰纵，以所余为纵方，而即以再商再减为下法者【前法倍初商为廉，以减原纵，此即以初商减剰纵，不立廉数，然已将原纵再减，以应两廉之数，与倍商同】

初，商除实八百讫，即将初商之二十。再减余纵【四十】剰二十，退位列之。次商四以减余纵【二十】尚剰一十六，呼除如前右得广二十四，以除实积，得纵三十。

六若欲还原以广纵相乗长濶和变作通长六十濶二十四共负四百八十假如列实三万三千六百，长濶和四百，列实亦列和。为减，纵初商一乗，负隅仍得一，以减。纵【四】余三百，随首位列注以呼所商。一三除叄讫，次倍初商一作二为。廉法以减，纵四，仍余二。注：退位再商。二，亦以减纵变二○为一八，而以次商呼之　一二除二一上叄变一又呼二八，一十六，恰尽。格右加○。

以结末位得濶一百二十右法同前，但减纵有借法进位，故録。

为式假如列实六万九千三百六十，长濶和七百八十二，列。如前，初商一，以乗负隅，仍得一，减纵。【七】余六相呼，一六除陆，一八除。

八玖变一　一二除二叄变一讫次倍一，作二，为廉法，以减纵，仍剰五。附列而纵数多于原数，无可商除，则纪○于右，并初次商得一十另倍一。十作二十为廉法，挨注退位，以二减。纵七是为，挨尾段列之续，商二以相呼，二五除一十，进削一，二八一十六除尽，得濶一百二【初商除讫，即以先减纵数，亦然】假如列实九万六千，长濶和六百四十。初，商二以乗负，隅一仍得二，纪右亦。

注首位以减六　余四以相呼　二四除八，四上玖，变一又呼二，四除。

八　四上陆变八　进削一讫乃倍二作四，为廉法，以减纵六，剰二。亦随退位注之，次商四纪。右亦注。退位为隅以减纵【只剰二】乃以四变○以商相呼　二四除八恰尽　因有余位　右加○得濶二百四十右法已见，因纵有重位，故録备例。若以积与虚长濶共若干，而欲求其濶者，及欲求其长者，皆以共若干为带纵方，而求濶，则以濶为负隅，以长乗积为实；求长，则以长为负隅，以濶乗积为实。列例如左。假如直积八百六十四步，三长，五濶，共二百二十八步，求濶几何？以三乗积步，得二千五百九十二，为实【三长原有三积故以三乗】五为负隅【已用三长，尚少五濶，故用为负隅暗。添五段濶方之积】以共步为带，纵列实定位。初，商二纪右以乗负隅【五】得【○一】以一减纵首　贰变一　余纵一百二十八挨注首位与商相呼，一二除，二二。二除四退位，伍变一。二八一十六，退位玖变三，进削一，余实三十二。再以所商【二】乗负隅，得【○一】以【一】减余纵，剰二十八【即前倍方为廉之法】续商【四】以乗负隅，得【○二】再减余纵二十，剰八。以呼所商四八三十二，恰尽，得濶二十四步。

假如直积八百六十四步，三长五濶，共二百二十八步，求长几何？以五乗积步，得四千三百二。十为实【五濶原有五积故五乗之】以三为负隅【于原纵减去二长故】以共步为带。纵初商三，以乗。负隅三得九，减纵注其退位，九上贰。变三，进位贰变一，余纵一三八挨。注首位以呼初商，一三除三，一上。

肆变一　三三除九退位叄变四进削一，三八二十四，八上贰变八，进位四变一，余积一百八十，复以初商三乗负隅【三】得九，以减纵九，上三变四，进削一，剰四十八，次商六，又乗负隅【三】得十八，亦以减纵，剰三十，与商相呼，恰尽，得长三十六步。又有以积与虚长濶和较共若干，求濶者及求长者，约和得长濶几何，并濶与较得长几何，而视其所求为长为濶，如前法以别实积及负隅，而皆以共数为带纵。假如直积八百六十四步，一长二濶三和四较，共三百一。十二步求濶几何？约三和自具三。长三濶，以并一长二濶，共四长五。濶又以四较益濶为四长共得八。长而余一濶应八乗积步得数六。千九百一十二为实，以余一为负。隅以共步为带，纵初商二以乗负。隅【一】仍得二【因点为二段，此为二十】以置纵。

次位减之二上壹变九　进位叄变二，余纵二百九十二列，原积之下以呼所商二，二除四二上陆，变二；二九一十八，次位玖变一；进位二变。一，二二除四，二上壹变七，进位一变○，余实一○七贰，复以初商二又乗负隅，以减纵，二上九变七，剰纵二七贰，续商四又乗隅减纵，四上贰变八，进位七变六，是为二六八，以乗所商【四】除尽，得濶二十四步。又有以虚长虚濶约其子母共若干与积若干，求长濶若干者，法以长母乗濶子为濶率，以濶母乗长子为长率，又两母相乗以乗共数为带纵，而约带纵为几长几濶，以一乗原积为实，以一为负隅，如前法为减纵，开平方除之。假如直积二千三百五十二步，只云长取八之五，濶取三之二，并得六十三步。求濶者，两母【三八】互乗，得二十四，以乗相并【六十三】共一千五百一十二，为带纵。而以长母【八】乗濶子【二】得一十六，为濶率。以濶母【三】乗长子【五】得一十五，为长率。则知此带纵数内具有长十五，濶十六也。以长十五乗直积，得三万五千二百八十，为实。以濶一十六为负隅，初商四纪右【有二点即作四十】以乗负隅，得六百四十，以减纵四上壹变七六上伍变八，进削壹，余纵八百七十二，以注实下与商呼除四八三十二，八上伍变三进。

削三四七二十八七上贰变四进削三二四除八　尾位变○余实四百再以初商所乗隅算【六百四十】减余，纵四，上七，变三，六。

上八变二余纵二百三十二续商二纪右以乗负隅得三十二亦以减纵尾位除贰进位三变○剰纵二百与续商二相呼恰尽得濶四十二以除直积得长五十六带纵负隅，减纵翻法，开平方法【积和求长】凡积与勾股和求股者，原积但有长乗濶数，而负长自乗之数，法须损濶益长求之。先立一为负隅，以和为纵方，而以负隅减纵方。初商令稍浮，常法以乗负隅减纵。次呼余纵开积，而原积不及，翻以原积减商除之积，而以余负积为实。复以初商乗隅，以减余纵。如余纵不及，即以余纵翻减，以为负纵。而隅、积、纵三者俱负，乃以负纵约余负积，以得次商。命负隅以除负积为带纵，负隅减纵翻法开平方。假如直积八百六十四，长濶和六十，求长几何？列实以和为纵，方一为负隅。初商三【有二段，即系三十，正得长濶之平，损濶益长】纪右以乗负隅【一】仍得三，以减纵，剰三十与商相呼，三三得九【即九百】而原积不及，乃翻列九百于原积之上，而以原积减之，尾位○变六，进位○变三，首位削九，得余负积三十六为实。再以初商【三】命负隅【一】以减余纵【三十】减尽，乃约余实得次商六。纪右以乗负隅【一】仍得六。注尾位呼除负实，六六三十六，恰尽，得长三十六。

假如直积三千四百五十六，长濶和一百二十，求长几何？列实定位，列和为纵方，立一为负隅。初商七【有二段，即七十】乗负隅【一】仍得七，纪右以减纵方，余纵【五，即五十】以呼初商，合除三千五百，而原积不足，乃翻以原积除之，列三五于原积之上，反以原积除之，尾位○变四，进位○变四进位削五，又进位削三剰负积四十四为实，仍以初商七十乗负隅，减余纵【五十】而余纵不足，乃以余纵【五十】反减初商【七十】余二十为廉法，挨注次位，而纵又为负，次商二，纪右亦注二。于尾位为隅法，共二十二，皆与所商之二呼除，恰尽，得长七十二。亦有虚立长濶和较求长者，假如直积八百六十四步，一长二濶三和四较，共三百一十二步，求长若干，依前法演。

得八长一濶以一濶为实八长为负隅共步为纵方列实初商三纪右【即三十】以乗隅【八】得二百四十以减纵一变七进削三余纵七十二以呼所商【三】除积合除二千一百六十而积反不足乃翻以积除之列二一六○于上「肆上○变六」进位六变九进位一变二进位二变一尚余负积一二九六复以初商【三】乗负隅【八】合减纵二百四十而余纵【七十二】不足，翻以余纵减。

之剰负纵一百六十八是余纵积算俱负次约负积商六纪右以乗负隅八又并负纵共二百一十六挨注尾位以呼所商二六一十二，二上削二进削一，一六除六，一上九变三，六六三十六恰尽，得长三十六。假如直积三千四百五十六步，一长二濶三和四较，共六百二十四步，求长几何？仍前八长一濶，以一为实，八为负隅，共步为纵方。初商七，纪右以乗负隅【八】得五百六十，以减纵方，剰六十四。注首位合除四千四百八○列原积上以视原积不足翻以原积减之尾位○变四　四上八变二六上四变○　进位四变一　余负一千二十四为实，再以初商【七十】乗负隅【八】得五百六十者，减余纵而纵又不足，则翻以纵减之余纵四百九十六，而隅法、纵法、积法俱负，续商二，纪右以乗隅【八】得一十六，并入负纵，共五百一十二，挨尾注之，与所商二相呼恰尽，得长七十二步。

同文算指通编卷七

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