测圆海镜分类释术卷一
测圆海镜分类释术卷一
元 李 冶 撰明 顾应祥 释术圆城不知周径，四面居中开门，城外四隅各有十字大街。西北隅曰干，东北隅曰艮，西南曰坤，东南曰巽。随地逺近测望，以知城径。
通勾股求容圆一甲乙二人俱在城外西北隅干地，乙东行三百二十步，甲南行六百步，望乙与城相叅直，问城径。
荅曰城径二百四十步释曰：此勾股求容圆径也。东行为通勾，南行为通股，以通勾股求通▯和较▯和较即容圆径也。术曰：勾股相乗，倍之为实；勾股求▯，并勾股为▯和，和为法，除之。勾股求▯，曰：勾自之，得一十○万二千四百，为勾筭；股自之，得三十六万，为股筭。并二筭，得四十六万二千四百，为▯筭。平方开之，得▯六百八十。并勾股，得一千六百，为▯和。和后，凡言勾股求▯者，俱仿此。甲乙二人俱在城西北隅干地，甲直南行，不知步数而立；乙直东行三百二十步，望见乃斜行六百八十步，与甲相防，测城径。释曰：此勾▯求容圆径也。东行为通勾，斜行为通▯。术曰：勾▯求股，勾股相乗，倍为实▯和和除之。勾▯求股曰：勾自乗，得一十○万二千四百，为勾筭；▯自乗，得四十六万二千四百，为▯筭。相减余三十六万为股筭。平方开之，得股。又术，勾▯较乗勾，倍之，得二十三万○四百，为实，倍较为从，作带从开平方法，除之。带从开平方，曰：列实于左，倍较得七百二十，为从，约初商得二百。置一于左上为法，置一为隅法，带从方共九百二十为下法，除实一十八万四千，余实四万六千四百。倍隅法得四百为廉法，约次商得四十，置一于左次为上法，置一为隅法并从方廉法共一千一百六十为下法，与上次法相乗，除实尽后，凡言带从开平方法者，俱仿此。甲乙二人俱在城外西北干隅，甲东行，不知步数而立；乙南行六百步，见之，复斜行六百八十步，与甲防，测城径。释曰：此股▯求容圆也。南行为通股，斜行为通▯。术曰：股▯求勾，以乗股，倍之为实▯和和除之。股▯求勾曰：▯筭减股筭，开其余即勾。后凡言股▯求勾者，俱仿此。又术，股▯相减，余八十，为股▯较；相并得一千二百八十，为股▯和。以较乗和，得一十○万二千四百，即勾筭。平方开之，得勾三百二十。减较，即城径。既有勾股求圆径之法则，勾▯求圆，股▯求圆，可以例见，不必立法。因原夲有此二问，载于后卷，故移附于此。
边勾股求容圆二甲乙二人俱在城西门，甲南行四百八十步，乙穿城东行二百五十六步，见之，测城径。释曰：此勾上容圆也。南行，边股也；东行，边勾也。以边勾、边股求通圆术曰：勾股相乗，倍之，得二十四万五千七百六十，为实。勾股求▯，得五百四十四，并股共一千○二十四，为股▯和，为法，除之。乙出东门，直行，不知步数而止。甲出西门，南行四百八十步，见之，乃斜行五百四十四步，相防问城径。释曰：此边股，边▯，求边勾，以求通容圆也。南行为边股，斜行为边▯。术曰：股▯求勾，以乗股，得一十二万二千八百八十为实，半股▯和得五百一十二为法，除之。甲出西门，南行，不知步数而立。乙穿城，东行二百五十六步，见之，乃斜行五百四十四步，相防问城径。释曰：「此边勾，边▯，求边股，以求通圆径也。」东行为边勾，斜行为边▯。术曰：勾▯求股，以乗勾，半股▯和除之。
底勾股求容圆三甲乙二人俱在北门，乙东行二百步而止，甲穿城南行三百七十五步见之，问城径。释曰：「此股上容圆也。东行为底勾，南行为底股，以底勾股求通圆。」术曰：勾股相乘，倍之为实；勾股求▯，以勾▯和为法除之。乙出南门，直行，不知步数，而立。甲出北门，东行二百步，见之，复斜行四百二十五步，就乙，问城径。释曰：此底勾、底▯求底股，以求通圆径也。东行为底勾，斜行为底▯。术曰：▯筭减勾筭，余平方开之，得股，与勾相乗，得七万五千，为实；勾▯和为法，除之，得半径。又术，倍勾▯较，以乗勾筭，得一千八百万，为实；四勾，加倍较，得一千二百五十，为隅法，作负隅开平方法，除之，得半径。负隅开平方法曰：布实于左，以隅法约初商，一百，置一于左上为法。置一乘隅法，得一十二万。五千为隅法，与上法相乘，除实一千二百五十万，余实五百五十万，倍隅法得二十五万，为廉法，约次商得二十。置一于左，次为上法。置一乘隅算，得二万五千，并廉法共二十七万五千，为下法，与上法相乘，除实尽。后如此类者，仿此。
问底股▯求通圆径术曰：▯筭减股筭，开其余，得勾。如前法求之。
皇极勾股求容圆四甲乙二人俱在城中心立，乙穿城东行一百三十六步，甲穿城南行二百五十五步，望见，问城径。释曰：此勾股上容圆以半圆勾股求全圆径也。东行，皇极勾也；南行，皇极股也。术曰：勾股相乘，倍之为实；勾股求▯为法。实如法而一，得全径。皇极勾▯求圆，股▯求圆，止以勾▯求股，股▯求勾，依上推之，不必立法。大差勾股以下，仿此。
通勾股折中▯上求圆五甲乙二人俱在城西北隅干地，乙东行一百八十步，斜视城中有塔；甲南行三百六十步，与乙斜对视，塔正居城径之半，问城径？释曰：此▯上容圆也。东行为勾，南行为股。此以勾股求半容圆径即勾股容方术术曰：勾股相乘为实，相并为法，实如法而一，得半径。
大差勾股求容圆六甲乙二人俱在城外西南隅坤地，乙东行一百九十二步，甲南行三百六十步，望乙与城叅直，问城径？释曰：此勾外容圆也。东行大差勾也，南行大差股也。术曰：勾股相乘，倍之，得一十三万八千二百四十，为实；勾股相减，余一百六十八，为勾股较。勾股求▯，得四百○八，并较共五百七十六，为▯较和，以为法除之，得全径。
小差勾股求容圆七甲乙二人俱在城外东北隅艮地，甲南行一百五十步而止，乙东行八十步，望乙与城叅直，问城径。释曰：此股外容圆也。东行小差勾也，南行小差股也。术曰：勾股相乘，倍之，得二万四千，为实相减余七十，为较勾股求▯，得一百七十，减较余一百，为▯较较以为法，除之，得全径太虚勾股求容圆八甲乙二人俱在城外东南隅巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城叅直，问城径。释曰：此▯外容圆也。西行，即太虚勾；北行，即太虚股。以太虚勾股反而内向求圆故曰▯外容圆术曰：勾股相乘，倍之，得八千六百四十，为实；相并得一百三十八，为勾股和。勾股求▯，得一百○二，以减和，余三十六，为▯和较，以为法除之，得全径。
明勾股求容圎九甲乙二人俱在南门，乙东行七十二步而止，甲南行一百三十五步，望乙与城叅直，问城径。释曰：此勾外容半圆也。东行为明勾，南行为明股。术曰：勾股相乗，倍之，得一万九千四百四十，为平实勾股求▯，得一百五十三，减勾，余八十一，为勾▯较以为法除之。
□勾股求容圆十甲乙二人俱在东门，甲南行三十步而止，乙东行一十六步，望甲与城相叅直，问城径。释曰：此股外容半圆也。南行为□，股东行为□。勾术曰：勾股相乘，倍之为实勾股求▯，以股▯较为法除之。或问：「黄广勾股，黄长勾股，无求圆之法，何也？」曰：「黄广之勾，黄长之股，即圆径也，故不立法。」曰：「上下高勾股，上下平勾股，何以不立法？」曰：「上高去城逺，下高与上平俱不当城半，下平亦不附城，故不立法。」
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