测圆海镜分类释术卷十
测圆海镜分类释术卷十
元 李 冶 撰明 顾应祥 释术和较参互带分测望圆城甲乙二人俱在城外西北干隅，甲东行，丙南行，各不知步数，而立相望，与城相叅直。丙复斜行七百八十步，与甲会。以甲东行步除丙南行，得二步四分。释曰：此▯与勾除股数，立法测望，斜行七百八十步，▯也。二步四分，乃以勾除股所得之数。术曰：斜步自之，得六十○万八千四百，为平实；以二步四分自之，得五步七分六厘，加一步，得六步七分六厘，为隅算，平方开之，得三百，为勾；勾▯求股，得七百二十。甲乙二人俱在城外西北干隅，甲南行不知步数而立，乙东行隔城见之。甲复斜行与乙相会，告乙曰：「我直行、斜行共行了一千二百八十步，汝东行步居我南行步十五分之八。」释曰：此通股▯和与通勾股相较，分立法测望。乙东行为通勾，甲南行为通股，斜行为通▯，共行通股▯和也。乙东行既居甲南行十五之八，是股得十五，勾得八。术曰：股▯和自之，得一百六十三万八千四百。又以十六因之，得二千六百二十一万四千四百，为实。以二百五十七因和步，得三十二万八千九百六十，为益从。以一十六为隅算，作减从。负隅开平方法除之，得股▯较八十。加和半之，为▯。减和半之，为股。负隅减从开平方法，见二卷。又曰：勾居股十五分之八，宜以八为勾率，十五为股率，各自乘，并为实，平方开之，得一十七为▯率，并股▯率得三十二为法。置和步一千二百八十为实，置二位一位，以股率乘之，以法除之，得六百为股；一位以▯率乘之，以法除之，得六百八十为▯。此差分之法，简易明白。甲乙二人俱在城外西北干隅，乙直徃南行，不知步数而立。甲往东行，见之。甲复斜行与乙会。甲云：「我直斜共行了一千步，东行得汝，南行十五分之八。」释曰：此通勾▯和与通勾股相较分立法测望。甲东行为勾，斜行与乙会为▯。乙南行为股。术曰：和步自之，得一百万，为和筭分母；自之，得二百二十五，以乘和筭，得二亿二千五百万，为实。分母并分子，以分母乘之，加入分子，得三百五十三，倍之，得七百○六，以乘共步，得七十○万六千，为益。从分母自之，得二百二十五，为隅法。作负隅减从开平方法除之，得三百六十，为勾▯较。以较减和，得勾。负隅减从开平方法见二卷。又曰：勾居股十五之八，就以八为勾率，十五为股率，勾股求▯，得一十七为▯率，并勾▯二率共二十五为法，以和一千为实。副置二位，一位以勾率乘之，以法除之，得勾一位；以▯率乘之，以法除之，得▯。甲乙二人俱在城外西北干隅，甲南行不知步数而立，乙东行亦不知步数，望见之，又斜行与甲相防。
乙云：“我东行不及城周九分之五。”甲云：“我南行多与汝东行二百八十步。”问城径。释曰：此通勾股较与通勾城周相较，分数立法测望。乙东行通勾，甲南行通股，南行多与乙东行为勾股较乙东行不及城周九分之五，则城周得九，通勾得四。术曰：东行步少，城周九分之五，则城径得三。东行得四，四勾股较得一千一百二十为实。城径得东行四分之三，以四为分母，分母自之得一十六于上，分母减子，余一倍之得二，以分母减子乘之，仍得二，以减上倍，余一十四为法。除实得八十为一分之数，二之为城径，四之为勾，加较即股。甲出西门，南行，不知步数而立。乙出北门，东行，见之。乙云：「我东行，居城径六分之五。」甲云：「我南行，多于乙二百八十步。」问城径。释曰：此底勾邉股较与底勾城径相较，分数立法测望。乙出北门东行为底勾；甲出西门南行为邉股。多于乙行步为勾股较乙东行居城径六分之五，为底勾城径相较步数术曰：四之较步，得一千一百二十，为实。分母自之，得三十六，于上半之分母减分子，得二，倍之得四，又以减子，余二，乘之得八，以减上位，余二十八，为法，除实，得四十，为一分之数。五之为东行，六之为城径。甲乙二人俱在城外西北干隅，乙南行不知步数而立，甲东行不知步数，见之问其行步，则甲乙共行了九百二十步，问城径？居乙南行四十分之一十六。释曰：此通勾股和与通股城径较分数立法测望。甲东行为通勾，乙南行为通股，共行九百二十为勾股和，城径得南行四十分之十六为通股城径相较分数。术曰：以分子减母，余倍之，得四十八，以乘共行，得四万四千一百六十，为实。分子减母，倍之，以乘母子和，得二千六百八十八；子自之，得二百五十六，相并得二千九百四十四，以为法。实如法而一，得一十五，为一分之数。又曰：列四十与一十六，以约分法约之，城径得南行五分之二，分母减子，余三倍之得六，以乘共行，得五千五百二十为实；分母减子倍之，以乘母子并得四十二；分子自之得四，相并得四十六为法；除实得一百二十为一分之数，五之为通股，二之为城径。约分法曰：副置分母子，以少减多，得八为等。八除分母，得五；除分子，得二。甲乙二人俱在城中心，甲穿城往南，不知步数；乙出东门，不知步数，见之，复斜行与甲会。计其行，乙东行较甲南行得十五分之八；乙斜行减甲南行，余三十四；减乙东行，余一百五十三步。问城径？释曰：此皇极勾▯较股▯较与皇极勾股较分数立法测望。甲南行为皇极股，乙东行为皇极勾，斜行为皇极▯。斜行减南行，余三十四股▯较也。
斜行减东行，余一百五十三勾▯较也。东行得南行十五分之八勾股较分数也。术曰：二余数相乘，得五千二百○二，倍之得一万○四百○四，平方开之得一百○二，复加二余得二百八十九，自之得八万三千五百二十一于上。又以二余数相减，余一百一十九，自之得一万四千一百六十一，以减上位，余六万九千三百六十为实。分母子相乘得一百二十，倍之得二百四十为隅算，作负隅开平方法除之，得一十七为一分之数，八之为勾，十五之为股，各加余步得▯。甲出西门，南行；乙出北门，东行。各不知步数，相见复相向斜行，各三百四十步相会。甲云：“城径居我南行二分之一。”乙云：“我东行居城径六分之五。”问城径？释曰：此通▯与底勾城径较分数，邉股城径较分数。立法测望：甲出西门，南行为邉股；乙出北门，东行为底勾。斜行各三百四十步，共为通▯。城径居南行二分之一，邉股城径较分数也；东行居城径六分之五，底勾城径较分数也。术曰：并斜行自之，得四十六万二千四百，为实。即▯筭东行，居城径六分之五，城径得南行二分之一，是城径为六，东行为五，南行为十二。半城径加南行为十五，自之得二百二十五。半城径加东行为八，自之得六十四。相并得二百八十九，为隅算，作负隅，平方开之，得四十，为一分之数。十二之为邉股，五之为底勾，六之为城径。
负隅开平方法见一卷甲出西门，南行，不知步数，而立。乙出北门，东行，不知步数，见之，又斜行与甲会。二人共计行一千三百六十步。南行得斜行十七分之十二，东行得斜行一十七分之五。问城径？释曰：此邉股、底勾、通▯和与底勾、通▯较分数，邉股、通▯较分数，立法测望。甲出西门南行为邉股；乙出北门东行为底勾，斜行与甲会为通▯。共行一千三百六十，邉股、底勾、通▯和也。东行得斜行十七分之五，底勾、通▯较分数也；南行得斜行十七分之十二，邉股与通▯较分数也。术曰：此用差分法。各列置衰▯十七，股十二，勾五。副并得三十四为法。置共步一千三百六十为实，以十七因之，以法除之，得通▯。以十二因之，以法除之，得邉股。以五因之，以法除之，得底勾。求城径，用底勾、邉股，求容圆法。甲出西门，南行不知步数而立。乙出北门，东行见之。既而乙谓甲云：「我取汝六分之五，得六百步。」甲谓乙云：「我取汝五分之三，亦六百步。」释曰：此底勾边股错揉立法测望。甲出西门南行为边股；乙出北门东行为底勾。术曰：此法用方程术，以乙取甲，分母六乘六百步，得三千六百；甲取乙，分母五乘六百步，得三千；乙取甲六分之五，是五个甲行，六个乙行也；甲取乙五分之三，是五个甲行，三个乙行也。置甲五、乙六、三千六百步于右；甲五、乙三、三千步于左。以右甲五互乘左乙三，得一十五；左甲五互乘右乙六，得三十二，正相减，余一十五为法。右甲五互乘左三千，得一万五千；左甲五互乘右三千六，得一万八千，相减余三千为乙行之实。右乙六互乘左三千，得一万八千；左乙三互乘右三千六百，得一万○八百，相减余七千二百为甲行之实。法除乙实，得乙行二百步；法除甲实，得甲行四百八十步。二行步相并，自之得四十六万二千四百于上；二行各自之，甲得二十三万○四百，乙得四万；相并得二十七万○四百，以减上位，余一十九万二千为实。二行相并得六百八十为从，方半步为隅算。作负隅带从开平方法除之，得全径负隅「▯从开平方法见四卷底勾通▯条」。又曰：二行相乘，得九万六千，为实；相并得六百八十，为从。作▯从开平方法除之，得半径。
▯从开平方法见前卷甲从城外西南坤隅往南不知步数而立，乙从城外东北艮隅往东，望见之。既而乙谓甲云：「我取汝所行三分之一，得二百步。」甲谓乙云：「我减汝所行四分之三，得三百步。」问城径。释曰：此大差股，小差勾，错揉立法，测望。甲从坤隅南行，为大差股；乙从艮隅东行，为小差勾。术曰：此用方程术。先以甲取乙分，三乘二百步，得六百步，乃三个乙行，一个甲行也。又以乙减甲分母，四乘三百步，得一千二百，乃四个甲行内减三个乙行也。置甲一乙三，六百步于右；甲四乙三，一千二百步于左。以右甲一互乘左乙三，仍得三；左甲四互乘右乙三，得一十二。一正一负，相并得。一十五为法，以右甲一互乘一千二百，如旧，左甲四互乘六百，得二千四百，相减余一千二百，为乙行之实，右乙三互乘一千二百，得三千六百，左负乙三互乘六百，得一千八百，正负相并得五千四百，为甲行之实，法除乙实，得乙行八十，法除甲实，得甲行三百六十，求城径，以二行相乘，倍之，得五万七千六百，平方开之。甲乙二人俱在城外西北干隅，甲南行不知步数而立，乙东行不知步数，见之问其行步，则甲南行与城径相较，其余步居南行五分之三，乙东行与城径相较，其余步居东行四分之一，又云二余步相减，余二百八十步，问城径。释曰：此股圆差与股较分数，勾圆差与勾较分数，及股圆差勾圆差较立法测望。甲南行为通股城径相较余步为股圆差。股圆差居股五分之三。乙东行为通勾城径相较余步为勾圆差。勾圆差居勾四分之一。二差相减余二百八十步，为股圆差与勾圆差相较也。术曰：倍二余步相减，数得五百六十步为实，勾母乘股子，减股母得七为法，除之得勾圆差八十，三之为城径，四之为勾。甲乙二人俱在城外西北干隅，甲南行，乙东行，各不知步数。相望问其行步，但云：甲南行与城径相较，余步居南行步五分之三；乙东行与城径相较，余步居东行步四分之一。又记得东行分母每分不及南行每分四十步。问城径？释曰：此亦股圆差与股较分数，勾圆差与勾较分数，及二差分母相较数立法测望：甲南行为股，城径不及股步为股圆差，差得股五分之三；乙东行为勾，城径不及勾步为勾圆差，差得勾四分之一。勾分母与股分母相较得四十也。术曰：置少步，倍之，得八十，为实。以股母子相减，得二；勾母子相减，得三。相减余一为法，除之，仍得八十为勾圆差。三之为城径，四之为勾。求股圆差，以勾圆差加少步四十，得一百二十为一分。二之为城径，三之为股圆差，五之为股。甲出南门，直行不知步数而立。乙出东门，直行见之。甲云：“我行不及股圆差二十四分之一十五。”乙云：“我行不及勾圆差五分之四。”又云：“甲直行多于乙直行一百一十九步，二差相较二百八十步。”问城径？释曰：股圆差三百六十，通股与圆径较也。甲出南门直行为明股。明股与股圆差相较不及二十四分之一十五。勾圆差八十，通勾与圆径相较也。乙出东门直行为□勾。□勾与勾圆差相较不及五分之四。甲行多于乙行一百一十九步，明股□勾较也。二差相较二百八十步。勾圆差不及股圆差数也。
测圆海镜分类释术卷十