测圆海镜分类释术卷三

测圆海镜分类释术卷三

元　李　冶　撰明　顾应祥　释术通勾与别股测望一【凡三条】圆城不知周径，乙从城外西南坤隅，南行三百六十步而立；甲从城外西北干隅，东行三百二十步，见之。问城径。释曰：乙从坤南行，大差股也。甲从干东行，通勾也。此以通勾、大差股测望，通勾为城北，大勾、大差股为城西南之虚股。术曰：二行相乘，得一十一万五千二百，为实；倍乙行，得七百二十，为从。作减从开平方法，除之，得全径。减从开平方法，见二卷。又曰：二行相并，得六百八十，为通▯。以通勾▯求容圆法，求之即得。南门外一百三十五步有树，甲从城外西北干隅，东行三百二十步见之，问城径。释曰：此以通勾明股立法，树距南门明股也。甲之东行，通勾也。通勾乃城北大勾，明股乃城南余股。术曰：东行自之，又以树距南门步乘之，得一千三百八十二万四千，为立实倍树距南门步，以乘东行步，得八万六千四百，为从方。二为隅算，作带从负隅开立方法除之，得半径带从负隅开立方曰：布实于左，从尾数至首，常超二位，又以从方约之，定首位得一百。置一于左上为法。置一自之，隅因得二万为隅法，并从方得一十○万六千四百为下法，与上法相乘除实一千○六十四万，余实三百一十八万四千。三因隅法得六万为方法，三因初商得三百，又以隅筭因之得六百为廉法。约次商得二十。置一于左次为上法。置一乘廉法得一万二千，置一自之，隅因得八百为隅法，并方法从方廉隅共一十五万九千二百为下法，与上法相乘除实尽。后凡言带，从负隅开立方法者，俱仿此。乙出东门，南行三十步。甲从干隅东行三百二十步，望乙与城叅直，问城径。释曰：此以通勾□股测望。甲东行，通勾也；乙出东门南行三十步，□股也。术曰：二行相乘，得九千六百，为实；以东行三百二十为从方，二为隅，算作减从负隅，翻法开平方除之，得半径。减从负隅翻法开平方曰初商一百，置一于左上为法，置一隅因得二百为隅法，以减从方，余一百二十为下法，与上法相乘除实一万二千，实不满法，反减实九千六百余二千四百为负积，倍余法得四百为廉法，次商二十，置一于左次为上法，置一隅因得四十为隅法，并廉隅共四百四十，减从不足，反减从方三百二十余一百二十为下法，与上次法相乘除实尽。后凡言带，从负隅翻法，开平方者，俱仿此。

底勾与别股测望二城西门南四百八十步，有树；出北门，东行二百步，见之。问城径。释曰：此底勾边股立法测望。西门南四百八十步，边股也。出北门东行二百步，底勾也。底勾居城北，勾之半；边股居城西，股之半。术曰：二行相乘，得九万六千，为实；相并得六百八十，为从；二为隅筭。作负隅减从，开平方法除之，得半径。负隅减从，开平方法，见二卷【通勾□勾条】圆城出北门，北行一十五步，折而东行二百○八步，有树；出西门，西行八步，折而南行四百九十五步，见之。问城径。释曰：此以底勾过步带短股，边股过步带短勾，立法测望。出北门北行为短股，折而东为长勾，过于底勾。出西门西行为短勾，折而南为长股，过于边股。术曰：西行为短勾，东行为长勾，北行为短股，南行为长股。短勾并长勾，以长股乘之，得一十○万六千九百二十；短股并长股，以短勾乘之，得四千○八十。相减余一十○万二千八百四十，为勾股维乘差。又自之得一百○五亿七千六百○六万五千六百，为三乘方实。长股内减二短勾，余与长勾相减，余二百七十一，为股减勾差。长勾内减二短股，余与长股相减，余三百一十七，为勾减股差。股减勾差与勾减股差复相减，余四十六，以乘勾股维乘差，得四百七十三万○六百四十，为从方。股减勾差与勾减股相乘，得八万五千九百○七。长短勾并与长短股并相乘，又倍之，得二十二万○三百二十。倍勾股维乘差，得二十○万五千八百六十。三数相并，得五十一万一千九百○七，为从一廉。长短勾并得二百一十六，又四之得八百六十四。倍股减勾差得五百四十二。二数相并得一千四百。六为从二廉。作带从方廉开三乘方法除之，得半径。带从方廉开三乘方曰：置所得三乘方积为实，以从方廉约之，初商得一百。置一于左上为法，置一乘从一廉，得五千一百一十九万○七百。置一自之以乘从二廉，得一千四百○六万。置一自乘再乘，得一百万为隅法。并从方廉。隅共七千○九十八万一千三百四十，为下法，与上法相乘，除实七十○亿九千八百一十三万四千，余积三十四亿七千七百九十三万一千六百，为次商之实。倍从一廉得一亿○二百三十八万一千四百三，因从二廉得四千二百一十八万，四因隅法得四百万。初商自之，六因得六万。初商三之以乘下廉得四十二万一千八百，相并加入从一廉得九十九万三千七百○七为上廉。初商四之带从二廉得一千八百○六为下廉。次商二十，置一为法。置一乘上廉得一千九百八十七万四千一百四十，置一自之以乘下廉得七十二万二千四百，并方廉隅共一亿七千三百八十九万六千五百八十为下法，与上法相乘除实尽。或作初商一百，置一为法，置一乘从一廉，置一自之以乘从二廉，置一自乘再乘为隅法，并从方廉隅共七千○九十八万一千三百四。十为下法，与上法相乘，除实七十○亿九千八百一十三万四千，余实三十四亿七千七百九十三万一千六百，为次实。四因隅法，得四百万，为方法。初商自之，六因得六万，为上廉。初商四之，得四百，为下廉。次商二十，置一于左，次为上法。倍初商加次商，得二百二十，以乘从一廉，得一亿一千二百六十一万九千五百四十。初商三之，并初次商因之，得三万六千。次商自之，得四百，共三万六千四百，以乘从二廉，得五千一百一十七万八千四百。以两从廉并入从方，共一亿六千八百五十二万八千五百八十，为从。置一乘上廉，得一百二十万。置一自之，以乘下廉得一十六万，置一自乘，再乘得八千，为隅法。并方廉隅共五百三十六万八千，带从共一亿七千三百八十九万六千五百八十，为下法。与上法相乘除，实尽。此法分别从方从廉，明白故重録附之。出西门，南行二百二十五步，有塔。出北门，东行六十四步，望塔正居城之半，问城径。释曰：此以不及底勾与不及边股测望，南行二百二十五步与高股同，即半径为勾之股；东行六十四步与平勾同，即半径为股之勾也。当以平勾高股立法为是，但其望塔当城之半，故附底勾边股条下。术曰：二行相乘，即半径筭。乙从城外西南坤隅，南行三百六十步。甲出北门，东行二百步，见之。问城径。释曰：此以底勾大差股立法测望。乙从坤隅南行，大差股也。甲东行，底勾也。底勾为城北东半勾，大差股为城西南虚股。术曰：二行相乘，得七万二千，倍之，得一十四万四千，为实。以南行三百六十为从方，作带从开平方法除之，得全径。

带从开平方法见一卷乙出南门，直行一百三十五步，甲出北门，东行二百步，见之，问城径。释曰：此底勾明股立法测望。乙出南门直行，明股也。甲出北门东行，底勾也。底勾为城北半勾，明股为城南余股。术曰：东行自之，以南行乘之，得五百四十万，又四之，得二千一百六十万，为立方实。以南门余股一百三十五为从廉，作带从廉开立方法除之，得全径。带从廉开立方曰：置所得立积为实。以从廉约之初商二百。置一于左上为法。置一乘从廉，得二万七千；置一自之，得四万为隅法。并从廉，共六万七千为下法，与上法相乘除实，一千三百四十万，余实八百二十万。倍从廉得五万四千，三因隅法得一十二万，相并得一十七万四千为方法。三因初商带从廉得七百三十五为廉法，约次商得四十。置一于左次为上法，置一乘廉法得二万九千四百，置一自之，得一千六百，为隅法。并方廉隅共二十万五千，为下法，与上法相乘除，实尽。后凡言带，从廉开立方法者，俱仿此。乙出南门，南行一百三十五步而立。甲出北门，北行一十五步，折而东行二百○八步，见之。问城径。释曰：此底勾，带短股与明股立法测望。乙出南门南行，明股也。甲出北门北行，北门外短股也。折而东行，类底勾而过之。术曰：以东行乗南行，得二万八千○八十，自之，得七亿八千八百四十八万六千四百，为三乘方实。东行自之，得四万三千二百六十四，以乘南行，得五百八十四万○六百四十，倍之，得一千一百六十八万一千二百八十，为从方。北行自之于上。并南北二行，以减东行，余自之，减上位，余数减上，寄位。并南北二行，以东行乘之，倍之，以减寄位，余五万六千九百八十八，为从一廉。四之东行，得八百三十二，于上。并南北二行，减东行，余五十八，四之得二百三十二，以减上位，余六百，为从二廉。四为虚隅，作带从二廉减从翻法，开三乘方开之，得半径。带一廉以从二廉益从，减从为法，翻法开三乘方曰：列所得三乘方实、从一廉、从二廉、隅法，约之初商一百。置一于左上为法。置一乘从一廉，得五百六十九万八千八百，为益隅之廉。置一自之，以乘从二廉，得六百万，为益从之廉，并入从方，共一千七百六十八万一千二百八十，为通法。置一自乘再乘，以隅因之，得四百万，为隅法，并益隅之廉，共九百六十九万八千八百，为减实，以减通法，余七百九十八万二千四百八十，为下法，与上法相乘，除实七亿九千八百二十四万八千，实不满法，翻减实七亿八千八百四十八万六千四百，余九百七十六万一千六百，为负积，二因乘出，从一廉得一千一百三十九万七千六百为益隅之廉，三因乘出，从二廉得一千八百万，为益从之廉。又三之初商乘从二廉，得一十八万，为益从次廉。四因隅法，得一千六百万，为方法。初商自之，六因，又以隅因，得二十四万，为上廉。初商四之隅因，得一千六百，为下廉。次商二十，置一于左上为法。置一乘从一廉，得一百一十三万九千七百六十，并益隅之廉，共一千二百五十三万七千三百六十，共为益隅。置一乘益从次廉，得三百六十万。置一自之，以乘从二廉，得二十四万，并二数加入益从之廉，共二千一百八十四万，为益从。并入从方，共三千三百五十二万一千二百八十，为通法。置一乘上廉，得四百八十万。置一自之，以乘下廉，得六十四万。置一自乘再乘隅因，得三万六千，为隅法。并方法上下廉隅法，得二千一百四十七万二千。并益隅，共三千四百○○万九千三百六十，为减实。以减通法，不及减，反减通法，三千三百五十二万一千二百八十余四十八万八千○八十，为负法。与上法相乘除，负积尽。后凡言带一廉，以二廉益从，减从翻法，开三乘方法者，俱仿此。甲乙二人同出北门，行至东北隅艮地，分路。乙往南行一百五十步而立，甲又东行，连前共二百步，望乙与城相叅直，问城径。释曰：此底勾小差股立法测望。甲前后共东行，底勾也；乙往南行，小差股也。术曰：二行相乘，又以乙南行乘之，得四百五十万，为实。二行相减，以乘乙南行，得七千五百。二行相乘，得三万。二数相并，得三万七千五百，为法。实如法而一，得半径。又曰：二行相乘，得三万，为实；倍底勾，减小差股，余二百五十，为法。乙出东门，南行三十步而立。甲出北门，东行二百步，望乙与城相叅直，问城径。释曰：此底勾□股立法测望。乙出东门南行□股也。甲出北门东行底勾也。术曰：二行相乘，得六千，为平实；相减，得一百七十，为从方。作减从翻法，开平方法，除之，得半径。

减从翻法开平方法见二卷又曰：乙南行自之，得九百，为□股筭，以乘东行，得一十八万，为立实；□股筭为从方，东行内减二之乙南行，余一百四十，为益廉，作带从减益廉翻法，开立方法除之，得半径。带从减益廉翻法开立方曰置所得积一十八万以从方廉约之，初商一百，置一于左上为法；置一乘从廉，得一万四千；置一自之，得一万为。隅法带从方共一万九百，以减益廉，余三千一百为下法，与上法相乘除实二十一万，实不满法，反减实一十八万，余一十三万为负积。倍益廉得二万八千，三因隅法得三万为方法。三因初商得三百为廉法，约次商得二十。置一于左次为上法，置一乘益廉得二千八百，并入倍益廉得三万○八百。置一乘廉法得六千，置一自之得四百为隅法，并方从方廉隅共三万七千三百，反减益廉三万○八百余六千五百为下法，与上法相乘除实尽。后凡言带，从减廉翻，法开立方法者，仿此。

大差勾与别股测望三甲乙二人俱在城西门南行至西南坤隅分路，乙往东行一百九十二步而立，甲复南行，计前后共四百八十步，望乙与城相叅直，问城径。释曰：此大差勾与边股立法测望。乙自坤隅东行，大差勾也。甲自西门往南共行，边股也。术曰：二行相乘，得九万二千一百六十。又以乙东行乘之，得一千七百六十九万四千七百二十，为实。二行相减，余二百八十八，亦以东行乘之，得五万。五千二百九十六，加二行相乘之数，共一十四万七千四百五十六，为法。实如法而一，得半径。又曰：二行相乘为实，倍甲南行，减乙东行，余为法。甲从城外西南坤隅东行一百九十二步，乙从东北艮隅南行一百五十步，望甲与城相叅直，问城径。释曰：此大差勾与小差股立法测望。甲东行，大差勾也；乙南行，小差股也【与小差勾大差股同】

术曰二行相乘倍之即全径筭小差勾与别股立法测望四乙从城外东北艮隅，东行八十步。甲从城外西北干隅，南行六百步，见之。问城径。释曰：此小差勾与通股立法测望，乙从艮隅东行，小差勾也；甲从干隅南行，通股也【与通勾大差股同法】术曰：二行相乘，倍之，得九万六千，为实；二之东行，得一百六十，为从。作带从开平方法除之，得半径。带从开平方法，见一卷。乙从城外东北艮隅往东行八十步，甲出西门，南行四百八十步，见之，问城径。释曰：此小差勾与边股立法测望。乙东行小差勾也，甲南行边股也。术曰：二行相乘，倍之，得七万六千八百，为实。以乙东行为从，作带从开平方法除之，得全径。

带从开平方法见一卷乙从艮隅东行八十步而立，甲从城外西南坤隅南行三百六十步，见之，问城径。释曰：此以小差勾、大差股立法测望。乙东行，小差勾也；甲南行，大差股也。

术曰二行相乘倍之即圆径筭明勾与别股测望五乙出南门，东行七十二步而立。甲从城外西北干隅，南行六百步，望乙与城相叅直，问城径。释曰：此明勾通股立法测望。乙出南门东行，明勾也。甲从干隅南行，为通股。术曰：二行相乘，得四万三千二百，为实；以甲南行六百为从方，二为隅法，作负隅减从，开平方法除之，得半径。

负隅减从开平方法见二卷乙出南门，东行七十二步而立。甲出西门，南行四百八十步，望乙与城相叅直，问城径。释曰：此明勾边股立法测望。乙东行，明勾也；甲南行，边股也。术曰：乙东行自之，得五千一百八十四，为明勾筭；以南行乘之，得二百四十八万八千三百二十，为立方实。明勾筭为从，南行内减二东行，余三百三十六，为益廉。作带从减廉开立方法除之，得半径。带从减廉开立方曰：置所得立方实，以从方从廉约之。初商一百，置一于左上为法。置一乘益廉，得三万三千六百。置一自之，得一万，为隅法。带从方共一万五千一百八十四，以减益廉，余一万八千四百一十六，为下法，与上法相乘。除实一百八十四万一千六百余实六十四万六千七百二十为次商之实，倍益廉得六万七千二百，三因隅法得三万为方法，三因初商得三百为廉法，约次商得二十，置一于左上为法，置一乘益廉得六千七百二十，加入前倍廉共七万三千九百二十，置一乘廉法得六千，置一自之得四百为隅法，并方法从方廉隅共四万一千五百八十四，以减益廉余三万二千三百三十六为下法，与上法相乘除实尽。后凡言带，从减廉开立方法者，俱仿此。又曰：明勾边股相乘得三万四千五百六十为实，明勾边股相减余四百○八为从方。一虚法作减从开平方除之，尤捷。甲出南门，东行七十二步而立。乙出东门，南行三十步，望乙与城相叅直，问城径。释曰：此明勾□股立法测望。甲出南门东行，明勾也；乙出东门南行，□股也。术曰：二行相乘得二千一百六十为实，相并得一百○二为从，作以从减法开平方除之，得半径。以从减法翻法开平方，曰：置实于左，从于右，约初商得一百，置一于左上为法，置一为隅法。以从减隅，隅不及减，从内翻减隅一百，余二为负从。以负从为下法，与上法相乘得二百，反増入实内，共二千三百六十四为次商之实。倍隅法得二百为廉法，约次商得二十，置一于左次为上法，置一为隅法，并廉隅共二百二十。以从减之余一百一十八为下法，与上法相乘，除实尽。后凡如此类者，俱仿此。通变随宜。又术：二行相并，得一百○二，为太虚▯；相减，余四十二，即太虚勾股较。倍▯筭减较筭，余一万九千○四十四，平方开之，得一百三十八，为太虚勾股和。加较半之为股，减较半之为勾。以太虚勾股求圆径。又曰：二行相乘，倍为实；相减余为从。作带从开平方法除之，得虚勾。二行相并，即虚▯。以勾▯求股，以得圆径。

□勾与别股立法测望四乙出东门，直行一十六步。甲从城外西北干隅，南行六百步，见之。问城径。释曰：此以□勾通股立法，测望乙出东门直行□勾也。甲从干隅南行，通股也。术曰：甲南行，自之，又以乙东行一十六乘之，得五百七十六万，为立方实；倍东行以乘南行，得一万九千二百，为从方；二为隅，作带从负隅开立方法，除之，得半径。带从负隅，开立方法见前，通勾明股。乙出东门，直行一十六步，甲出西门，南行四百八十步，见之，问城径。释曰：此□勾边股立法测望。乙出东门直行□勾也。甲出西门南行边股也。术曰：二行相乘，得七千六百八十。又以南行乘之，得三百六十八万六千四百。又四之，得一千四百七十四万五千六百，为立方实。以东行一十六步为从廉，作带从廉开立方法除之，得全径。带从廉开，立方法见前。底勾明，股条。圆城不知周径，南门外一百三十五步有树，出东门直行一十六步见之，问城径。释曰：此□勾明股立法测望，出东门外一十六步为□勾，城东之余勾也。树在城南一百三十五步为明股，城南之余股也。以余勾、余股测城径术曰：余勾余股相乘，为勾乘股筭，自之，得四百六十六万五千六百，为三乘方实；勾乘股筭倍之，得四千三百二十，又以余勾余股并乘之，得六十五万二千三百二十，为从方；余勾余股相并，自之，得二万二千八百○一；余勾余股相减，自之，得一万四千一百六十二，数相减，余八千六百四十，为益廉；作带从廉添积，开三乘方法，除之，得半径。带从益廉添积开三乘方，曰：置所得三乘方积，以从方廉约之。初商一百，置一于左上为法。置一乘从益廉，得八十六万四千，并从方共一百五十一万六千三百二十，为益积之法。与上法相乘，得一亿五千一百六十三万二千，为益实。添入原积，共一亿五千六百二十九万七千六百，为通实。置一自乘再乘，得一百万，为隅法。与上法相乘。除实一亿余五千六百二十九万七千六百为次实，二因益廉得一百七十二万八千，四因隅法得四百万为方法，初商自之，六因得六万为上廉，初商四之得四百为下廉，约次商得二十，置一于左次为上法，置一乘益廉得一十七万二千八百，并前倍廉共一百九十○万○八百，并从方共二百五十五万三千一百二十为益积之法，与上法相乘得五千一百○六万二千四百为益实，添入次实共一亿○七百三十六万为通实，置一乘上廉得一百二十万，置一自之以乘下廉得一十六万，置一自乘再乘得八千为隅法，并方廉隅共五百三十六万八千为下法，与上法相乘除实尽。又为带从方廉减隅翻法开三乘方。其法曰：初商一百，置一于左上为法，置一自乘再乘得一百万为隅法，置一乘从廉得八十六万四千，并从方共一百五十一万六千三百二十，以减隅法，不及，反减隅法一百，余五十一万六千三百二十为负隅，与上法相乘得五千一百六十三万二千，加原实共五千六百二十九万七千六百为次商之实，四因隅法得四百万为方法，初商自之六因得六万为上廉，初商四之得四百为下廉，次商二十，置一于左，次为上法。置一乘上廉，得一百二十万。置一自之，以乘下廉，得一十六万。置一自乘再乘，得八千，为隅法。并方法、廉、隅，共五百三十六万八千，为通隅。倍初商加次商，得二百二十，以乘从廉，得一百九十○万○八百，并从方，共二百五十五万三千一百二十，以减通隅，余二百八十一万四千八百八十，为下法。与上法相乘，除实尽。

后凡言如此类立法者仿此又术曰：以树去南门步，自之，得一万八千二百二十五，为余股筭。副置二位一，以余股乘之，得二百四十六万○三百七十五，为余股立筭。一以余勾乘之，得二十九万一千六百，为勾乘股立筭。相乘得七千一百七十四亿四千五百三十五万，为三乘方实。余勾余股相乘，得二千一百六十，为勾股相乘筭。倍之，以乘余股立筭，得一百○六亿二千八百八十二万，为从方。余勾自之，得二百五十六，为余勾筭。四之，以乘余股，得一十三万八千二百四十。倍勾乘股立筭，得五十八万三千二百。二数相减，余四十四万四千九百六十，为从二减廉。以勾股相乘筭为隅筭。作从廉减从方，负隅开三乘方法除之，得八十一，为明勾▯较。以除明股筭，得二百二十五，为明勾▯和。加较半之为▯，减较半之为勾。勾股相乘倍为实。以较除之，得通▯和较。通▯和较即城径也。从防减从方负隅开三乘方曰约初商八十置一于左上为法，置一自之以乘从廉得二十八亿四千七百七十四万四千以减从方余七十七亿八千一百○七万六千，置一自乘再乘得五十一万二千以隅筭因之得一十一亿○五百九十二万为隅法，并从方共八十八亿八千六百九十九万六千为下法与上法相乘除实七千一百○九亿五千九百六十八万，余实六十四亿八千五百六十七万为次实，四因隅法得四十四亿二千三百六十八万为方法，初商自之六因又以隅因得八千二百九十四万四千为上廉，初商四之隅因得六十九万一千二百为下廉，约次商得一，置一于左次为上法，倍初商加次商得一百六十一又并初次商为八十一乘之得一万三千○四十一以乘从廉得五十八亿○二百七十二万三千三百六十以减余从余一十九亿七千八百三十五万二千六百四十为从方，置一乘上廉，置一自之以乘下廉俱如旧，置一自乘再乘仍得一为隅法并方法从方廉隅共六十四亿八千五百六十七万为下法与上法相乘除实尽

测圆海镜分类释术卷三

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