测圆海镜分类释术卷七

测圆海镜分类释术卷七

元　李　冶　撰明　顾应祥　释术通勾股和与别勾股▯测望一丙从城西门穿城东行二百五十六步而立，丁从城北门穿城南行三百七十五步而立。甲乙二人俱在城外西北干隅，甲向东，乙向南，各不知步数而立。四人遥相望，俱与城相叅直。只云甲东乙南共步九百二十，问城径。释曰：此以通勾股和与邉勾底股立法测望。甲东行为勾，乙南行为股，共步为通勾股和。丙穿城东行邉勾，丁穿城南行底股也。术曰：丙东行，自之得六万五千五百三十六，为邉勾筭；丁南行，自之得一十四万○六百二十五，为底股筭。相并得二十○万六千一百六十一，为二筭和。倍邉勾底股和，与通勾股和相减，余三百四十二，又减于邉勾底股和，余二百八十九，自之得八万三千五百二十一。以减二筭和，余一十二万二千六百四十，为平实。以邉勾底股和六百三十一为从，半步为隅，算作负隅，减从，开平方法除之，得全径。负隅减从，开平方法，见二卷。通勾□勾条。丙出东门，不知步数而立。丁出南门，不知步数而立。甲乙二人俱在城外西北干隅，甲东行，乙南行，各立定。四人遥相望，俱与城相叅直。既而，丁从立处向东北斜行四百二十五步，与甲防。丙从立处向西南斜行五百四十四步，与乙防。问甲乙行步，则曰：共行九百二十。问城径。释曰：此通勾股和与邉▯底▯立法测望。甲东行为通勾，乙南行为通股，共行九百二十，通勾股和也。丙从丁处斜行就甲底▯也，丁从立处斜行就乙邉▯也。术曰：二▯相减，余自之，得一万四千一百六十一，为实；二▯相并，减共行步，余四十九，为法。实如法而一，得二百八十九，减法为全径。丙出南门，东行稍逺。丁出东门，南行稍近。甲乙二人俱在城外西北干隅，甲东行，乙南行，各不知步数，而立相望，俱与城相叅直。既而丙从立处向东北斜行二百七十二步，与甲会。丁从立处向东南斜行五百一十步，与乙会。问甲乙行步则曰：共行九百二十步，不知城径防何？释曰：此通勾股和与黄广▯、黄长▯立法测望。甲东行为勾，乙南行为股，共行九百二十步，为通勾股和也。丙之就甲，黄长▯也；丁之就乙，黄广▯也。术曰：并二▯以减通勾股和，余一百三十八为差。以并二▯乘差，得一十○万七千九百一十六为实。又以差加通勾股和，得一千○五十八为法。实如法而一得一百○二，为太虚▯，加差为全径。丙出南门，东行稍逺；丁出东门，南行稍近。甲、乙二人俱在城外西北干隅，甲东行，乙南行，各不知步数，而立相望，俱与城相叅直。既而丙从立处向西南斜行四百○八步，与乙会；丁从立处向东北斜行一百七十步，与甲会。问甲乙行步则曰：共行九百二十，不知城径防何？释曰：此通勾股和与大差▯、小差▯立法测望。甲东行为通勾，乙南行为通股，共歩和也。丙就乙，大差▯也。丁斜就甲，小差▯也。术曰：二▯相并，共五百七十八，为二▯和；以减通和，余三百四十二，为中率。以乘通和，倍之，得六十二万九千二百八十，为实。三之通和，得二千七百六十；加中率，得三千一百○二，为从。二为隅算，作负隅，减从，开平方除之，得全径。

负隅减从开平方法见二卷通勾股和与诸和较立法测望二。甲、丙二人俱在城外西北干隅，甲东行，丙南行，共九百二十步。乙从城外东北艮隅南行，丁从城外西南坤隅东行。四人遥相望而立，俱与城相叅直。既而甲还至艮隅，复南行，一横一直，共行二百三十步，与乙会。丙还至坤隅，复东行，一横一直，共行五百五十二步，与丁防问城径。释曰：此通勾股和与大差勾股和、小差勾股和立法测望。甲东行为勾，丙南行为股，共行九百二十步，通勾股和也。甲还至艮为小差勾，复南行与乙会为小差股，共行二百三十步，小差勾股和也。丙还至坤为大差股，东行与丁会为大差勾，共行五百五十二，大差勾股和也。术曰：二差勾股和相并，得七百八十二，为大小差和。和以减通勾股和，得一百三十八，即太虚勾股和。又以大小差和和乘之，得一十○万七千九百一十六，为平实。以通勾股和加太虚勾股和，得一千○五十八，为法。实如法而一，得一百○二，为虚▯。加虚和，即城径。又曰：「并二差和，减通和，得一百三十八，为虚勾股和。二差和相减，余三百二十二，乘之得四万四千四」。百三十六，如前术，得一千○五十八，为法，除之，得四十二，为虚勾股较。以加和，半之为股；减和，半之为勾。甲、丙二人俱在城外西北干隅，甲东行，丙南行，共九百二十步。乙从城外东北艮隅南行，丁从城外西南坤隅东行，各不知步数，而立与甲、丙共四人遥相望，俱与城相叅直。既而乙复向东北斜行与甲防，丁复向西南斜行与丙会。问其行步，乙曰：「我南行不及斜行二十步。」丁曰：「我东行不及斜行二百一十六步。」问城径？释曰：此通勾股和与大差勾▯较小差股▯较立法测望。甲东行为通勾，丙南行为通股，共行九百二十步，通勾股和也。乙从艮隅南行为小差股，斜行就甲为小差▯，不及二十步，小差股▯较也。丁从坤隅东行为大差勾，斜行就丙为大差▯，不及二百一十六步，大差勾▯较也。术曰：以小差股▯较减通和，余九百步，复以二十步乘之，得一万八千于上。又以大差勾▯较减九百余六百八十四，半之得三百四十二，乘上位得六百一十五万六千为立实。三因小差股▯较得六十，以减通和，余八百六十于上。以半之大差勾▯较一百○八减三百四十二，余二百三十四，乘上位得二十○万一千二百四十为从方。以大差勾▯较减通和，余七百○四。三之小差股▯较减通和，余八百六十。相并得一千五百六十四于上。又以大差勾▯较并三百四十二，得五百五十八，倍之得一千一百一十六，减去小差股▯较二十余一千○九十六，以减上位，余四百六十八为益亷。四为常法，作负隅带亷减从，开立方法除之，得一百五十为小差股加较为▯。▯较各自乘相减，开其余为勾。负隅带益亷减从，开立方曰：初商一百。置一于左上为法。置一乘益亷得四万六千八百。置一自之得一万，以隅法因之得四万为隅法。并益亷共八万六千八百，以减从方，余一十一万四千四百四十为下法，与上法相乘除实一千一百四十四万四千，实不满法，反除实六百一十五万六千。余五百二十八万八千为负积。倍益亷得九万三千六百。三因隅法得一十二万为方法。三因初商得三百为亷法。次商五十。置一于左上为法。置一乘从亷得二万三千四百，并入倍亷共一十一万七千为益亷。置一乘亷法得一万五千，隅因得六万。置一自之得二千五百，隅因得一万为隅法，并方亷隅共一十九万，加益亷共三十○万七千，以减从方，不及减，反减从方二十○万一千二百四十，余一十○万五千七百六十为负从，与上法相乘除负积尽。此法虽已见前，因有翻法，故重出。

又为带从负隅添积开立方法甲丙二人俱在城外西北干隅，甲东行，丙南行，共九百二十步。乙出东门，东行；丁出南门，南行。各不知步数，而立。四人遥相望，俱与城相叅直。既而乙从立处斜行与甲会，丁从立处斜行与丙防。以二斜行相和，共三百九十一步；相较得一百一十九步。问城径？释曰：此通勾股和与上高下平▯和、上高下平▯较立法测望。甲东行通勾，丙南行通股，共步和也。乙斜就甲下平▯，丁斜就丙上高▯，共步和也。相较较也。术曰：二▯和自之，得一十五万二千八百八十一，为和筭；二▯较自之，得一万四千一百六十一，为较筭。较筭减▯筭，余半之，得六万九千三百六十，为实；以二▯和减通和，余五百二十九，为从。作减从开平方法除之，得二百四十为全径。减从开平方法，见二卷底，勾□勾条。又曰：和较相并，半为高▯；相减，半之为平▯。甲、丙二人俱在城外西北干隅，甲东行，丙南行，共九百二十步。乙、丁二人俱在城外东南巽隅，乙北行，丁西行，各不知步数。而立四人遥相望，俱与城相叅直。既而乙复斜行至丁立处，相防问其行步，则曰：乙直行比丁直行较多，其多步与斜行步相并，共一百四十四步；相减余六十步。问城径？释曰：此通勾股和与太虚▯较和▯较较立法测望。甲东行为通勾，丙南行为通股，共步通勾股和也。乙从巽隅北行，乃防之山与月之泛同太虚股也。丁从巽隅西行，乃防之月即泛之山，太虚勾也。乙斜行就丁，乃山之月，太虚▯也。乙直行多于丁直行数太虚勾股较也。以多步并斜行，一百四十四▯较和也。多歩减斜行，六十▯较较也。术曰：▯较，较减▯较和，余半之，得四十二，为太虚勾股较。以减▯较和，得▯自之，得一万○四百○四。倍之，减较自乘一千七百六十四，余一万九千○四十四，为实。平方开之，得一百三十八，为太虚勾股和。加较半之，为股；减较半之，为勾。

通勾▯和与诸和较测望三甲、丙二人俱在城外西北干隅，甲直往东，丙直往南。乙、丁二人俱在城之南门，乙向东行，丁向南行，俱不知步数。而立四人遥相望，俱与城相叅直。既而，甲向西南斜至丙立处，乙亦斜行至丁立处。问其行步，则甲直斜共行一千步，乙直斜共行二百二十五步。问城径。释曰：此以通勾▯和，明勾▯和，立法测望。甲在干往东为通勾，斜行就丙为通▯，直斜共步勾▯和也。乙在南门东行为明勾，斜行就丁为明▯，直斜共步勾▯和也。术曰：乙共步自乘，再乘得一千一百三十九万○六百二十五，为平实；乙共歩自之，得五万○六百二十五，为从；甲共步一千，为隅算。作负隅，以从减法，开平方法除之，得明股一百三十五。负隅以从减法开平方，曰：置实，以从隅约之。初商一百，置一于左上为法，置一乘隅算得一十万，减去从方，余四万九千三百七十五为下法，与上法相乘除实四百九十三万七千五百，余实六百四十五万三千一百二十五为次实。下法再加十万，共一十四万九千三百七十五为方法。次商三十，置一于左次为上法，置一乘隅算得三万，并入方法共一十七万九千三百七十五为下法，与上法相乘除实五百三十八万一千二百五十余，实一百○七万一千八百七十五为次实。下法内再加三万，共二十○万九千三百七十五为方法。次商五，置一于左次为上法，置一乘隅算得五千，并入方法共二十一万四千三百七十五为下法，相乘除实尽。得明股一百三十五。明股自之以勾▯和除之得勾▯较八十一，加和半之为股，减和半之为勾。负隅以从，减法开平方，已见四卷《大差勾黄长▯》下，因此法有三位，故重出而小变之。

又为以从添积开平方其法曰：初商一百，置一于左上为法。置一乘从得五百○六万二千五百为益积，添积共一千六百四十五万三千一百二十五为实。置一乘隅得一十万，与上法相乘除实一千万，余实六百四十五万三千一百二十五。倍隅法得二十万为方法，约次商三十。置一于左次为上法。置一乘从得一百五十一万八千七百五十为益实，添余积共七百九十七万一千八百七十五为实。置一乘隅得三万，并方法共二十三万为下法，与上法相乘除实六百九十万。余实一百○七万一千八百七十五。下法内再加三万共二十六万为方法。次商五。置一于左上为法，置一乘从方得二十五万三千一百二十五为益积。添入余积共一百三十二万五千为实。置一乘隅得五千，并方法共二十六万五千为下法，与上法相乘除实尽。

法已见前卷甲、丙二人俱在城外西北干隅，甲东行，丙南行。乙、丁二人俱出东门，乙东行，丁南行。各不知步数，而立。四人遥相望，俱与城相叅直。既而，甲复斜行与丙会，乙复斜行与丁会。问其行步，甲直斜共一千步，乙直斜共五十步。问城径。释曰：此通勾▯和与□勾▯和立法测望。甲东行为通勾，斜行就丙为通▯，共步和也。乙出东门而东□勾也；斜行就丁，□▯也。和为共步。术曰：通勾▯和内减二之□勾▯和，余九百为泛率。泛率自之，得八十一万，半之，得四十○万五千。□勾▯和乘泛率，得四万五千，二数相并，得四十五万为平实。二十二乘泛率，得一万九千八百。四十二乘□和，得二千一百，减泛率，得一千二百。二数相并，得二万一千为益从。四之□勾▯和，得二百为隅法。作负隅减从，开平方法除之，得□股三十。负隅减从，开平方法见二卷通勾□勾条。甲、丙二人俱在城外西北干隅，甲东行，丙南行，各不知步数，而立遥望，与城相叅直。既而甲复向西南斜行，与丙相会，问其行步：甲一直一斜，共一千步。甲斜直相较，与甲之斜、丙之直相较，共四百四十步。问城径？释曰：此通勾▯和与勾▯较、股▯较和立法测望。甲东行为通勾，丙南行为通股，甲斜行为通▯。一直一斜，勾▯和也；直斜相较为勾▯较；甲斜、丙直相较为股▯较。两相较共四百四十步，二较和也。术曰：以二较和减勾▯和，余五百六十，半之，自乘得七万八千四百，为平实；以和一千为从方，二分五厘为常法，作减从开平方法开之，得八十为小差勾。

负隅减从开平方法见二卷又曰：以二较和减勾▯和，余五百六十，自之，得三十一万三千六百，为平实；四之勾▯和，得四千，为从方；作减从开平方，除之，得八十，不用负隅。

通股▯和与诸和较测望四甲、丙二人俱在城外西北干隅，甲东行，丙南行。乙、丁二人俱出南门，乙东行，丁南行。各不知步数，而立四人遥相望，俱与城相叅直。既而甲复斜行与丙会，乙复斜行与丁会。问其行步，则甲之斜与丙之直共一千二百八十步，乙之斜与丁之直共二百八十八步。问城径？释曰：此通股▯和与明股▯和立法测望。甲东行为通勾，丙南行通股也。甲斜行与丙防通▯也。甲之斜，丙之直，共步通股▯和也。乙出南门东行为明勾，丁南行明股也。乙斜行与丁会明▯也。乙之斜，丁之直，共步明股▯和也。术曰：二和相减，余九百九十二。以明和乘之，得二十八万五千六百九十六。减明和筭，余二十○万二千七百五十二。半之，得一十○万一千三百七十六，为泛率。以五万七千六百乘泛率，得五十八亿三千九百二十五万七千六百，为平实。通和加二之明和，又半之，得九百二十八，为次率。次率乘泛率，得九千四百○七万六千九百二十八。明和乘泛率，得二千九百一十九万六千二百八十八。二数相减，余六千四百八十八万○六百四十，为从方。次率自之，得二千二百○八。以明和乘之，得六十三万五千九百○四。二数相减，余二十二万五千二百八十，为隅法。作带从平方开之，得明勾七十二。勾自乘，和除之，得股▯较。以加和半之，为▯；减和半之，为股。带从隅开平方，曰：置实，从隅约之初商七十，置一于左上为法。置一乘负隅，得一千五百七十六万九千六百为隅法，并从方共八千○六十五万○二百四十为下法。与上法相乘，除实五十六亿四千五百五十一万六千八百余，一亿九千三百七十四万○八百为次实。二因隅法，得三千一百五十三万九千二百为亷法。次商二，置一于左上为法。置一乘隅法，得四十五万○五百六十为隅法，并从方亷法共九千六百八十七万○四百为下法，与上法相乘。此条平实原系一百○二亿七千七百○九万三千三百七十六数，多故减之。甲、丙二人俱在城外西北干隅，甲东行，丙南行。乙、丁二人俱出城东门，乙东行，丁南行。各不知步数，而立四人遥相望，俱与城相叅直。既而丙复斜行，与甲相防；丁亦斜行，与乙相防。问其行步，则曰：丙一直一斜，共一千二百八十步；丁一直一斜，共行六十四步。问城径？释曰：此通股▯和与□股▯和立法测望。甲东行为通勾，丙南行通股也。丙又斜行与甲会通▯也。一直一斜，共步通股▯和也。乙出东门为□勾，丁南行□股也。丁又斜行与乙会□▯也。一直一斜，共步□股▯和也。术曰：二共步相乘，得八万一千九百二十，为平实。以通股▯和一千二百八十为从。以□和除通和，得二十，为泛率。减一自之，得三百六十一。倍泛率减一，得三十九。相并共得四百，为隅算。作以从减泛负隅，开平方法除之，得□勾一十六步。勾自乘，得二百五十六。以□勾股和除之，得□股▯较四。加和半之，为▯。减和半之，为股。负隅以从，减法开平方，见四卷，大差勾，黄长▯条。

又为以从添积开平方法通▯和和与诸和较测望五甲乙同在城外西北干隅，甲南行较逺，乙东行较近。隔城斜望，与城相叅直。甲复向东北斜行，与乙相会。二人共行了一千六百步，甲南行不及斜行八十歩。问城径。释曰：此通▯和和与股▯较立法测望。乙东行为通勾，甲南行为通股，斜行与乙相会为通▯。二人共行一千六百步，通▯和和也。甲南行不及斜行八十步，股▯较也。术曰：四之股▯较以减▯和，和余自之，得一百六十三万八千四百；股▯较自之，得六千四百，义十八因之，得一十一万五千二百；相减余一百五十二万三千二百，为平实。○四之▯和，和得六千四百，减十六较，加十八较，得六千五百六十，为从；四为隅法，作负隅减从，开平方法除之，得勾股较二百八十，加股▯较，即勾▯较三百六十；股▯较乘勾▯。较倍为实，平方开之，得▯和较二百四十。负隅减从，开平方法，见二卷。通勾□勾条。甲乙同在干隅，甲南行，乙东行，隔城相望，与城叅直。甲向东北斜行，与乙相会。二人共行了一千六百步，乙东行不及甲斜行三百六十步，问城径。释曰：此通▯和和与勾▯较立法测望。乙东行为通勾，甲南行为通股，斜行为通▯，共行一千六百步，通▯和和也。乙东行不及甲斜行，勾▯较也。术曰：倍较以较乘之，得二十五万九千二百，又九之，得二百三十三万二千八百，寄于左。倍较以加和，得二千三百二十。倍较以减倍和，得二千四百八十。二数相减，余一百六十，为泛率，自之，得二万五千六百，以减左位，余二百三十○万七千二百，为平实。十八因较，得六千四百八十，减四泛率，得七千一百二十，为从方。四为隅筭，作带从负隅开平方法，除之，得二百八十，为勾股较。以减勾▯较，余八十，为股▯较。勾▯较乘股▯较，倍之，为实，平方开之，得▯和较。带从负隅，开平方法，见四卷底，勾通▯条。甲乙二人俱在干隅，甲南行，乙东行，遥相望，与城相叅直。甲复向东北斜行，与乙相会。二人共行了一千六百步，乙东行不及甲南行二百八十步。问城径？释曰：此通▯和，和与勾股较立法测望。乙东行为通勾，甲南行为通股，斜行与乙会为通▯。共行一千六百步，通▯和和也。乙东行不及甲南行二百八十步，勾股较也。术曰：并和较，自之，得三百五十三万四千四百；和较相减，自之，得一百七十四万二千四百。二数相并，共五百二十七万六千八百，为平实。四之和，步得六千四百，为从；二为隅法。作带从负隅开平方法，除之，得六百八十，为通▯。减较得勾。带从负隅，开平方法，见四卷底，勾通▯条。甲乙二人俱在干隅，甲南行，乙东行，遥相望，与城相叅直。甲复向东北斜行，与乙会。二人共行一千六百步，甲南行不及斜行，与乙东行不及。甲斜行共四百四十步，问城径？释曰：此通▯和，和与勾▯较股▯较并立法测望。二人共步通▯和，和也。甲南行，不及斜行为股▯较乙东行，不及斜行为勾▯较共四百四十步，勾▯较与股▯较并也。术曰：「并和及二差，并以三归之，即通▯。」甲乙二人俱在干隅，甲南行逺，乙东行近，遥相望与城相叅直。既而甲复向东北斜行与乙会，二人共行一千六百步。甲南行不及斜行，乙东行不及甲南行，乙东行不及甲斜行。三事共七百二十步。问城径？释曰：此通▯和，和与勾股较，勾▯较，股▯较并立法测望。甲南行通股，斜行通▯，乙东行通勾。共一千六百步，通▯和和也。乙东行不及甲南行为勾股较，不及甲斜行为勾▯较，甲南行不及斜行为股▯较。三较相并共七百二十。术曰：三较和半之自乘，又三之，得三十八万八千八百。减▯和，和余三十八万七千二百，为平实。倍▯和，和半三较和，五之。二数相倂，得五千，为从。二为隅。算作负隅，减从，开平方法除之，得股▯较八十。负隅，减从，开平方，见二卷通勾□勾条。

通▯和和与别▯测望六甲、丙二人俱在城外西北干隅，甲东行，丙南行。乙、丁二人俱在城中心，乙穿城往东门外，丁穿城往南门外直行。各不知步数，而立。四人遥相望，俱与城相叅直。既而，丙向东北斜行与甲会。甲东行，与丙一南一斜，共一千六百步。丁亦从南门外立处斜行二百八十九步与乙会。问城径？释曰：此通▯和和与皇极▯立法测望。甲东行通勾，丙南行通股，斜行通▯，共步▯和和也。乙从城心出东门为皇极勾，丁从城心出南门为皇极股，丁斜行会乙则皇极▯也。术曰：以皇极▯乘通▯，和和平方，开之，即通▯。甲、丙二人俱在城外西北干隅，甲东行，丙南行。乙出东门南行，丁出南门东行。各不知步数，而立四人遥相望，与城相叅直。既而甲复斜行与丙会，乙复斜行与丁会。问其行步，则曰：甲一东一斜与丙之南，共一千六百步；乙斜行一百○二步。问城径。释曰：此通▯和和与太虚▯立法测望。甲东行为通勾，斜行为通▯。丙南行为通股，共步一千六百，通▯和和也。乙斜行与丁会即月之山，太虚▯也。术曰：半乙斜行，以乘甲丙共步，得八万一千六百，为实；以共步一千六百为从，四为隅算，作负隅减从翻法，开平方法除之，得三百四十，为半通▯，倍之以减▯和，和余九百二十，为勾股和，再减通▯，即▯和较。负隅减从翻法开平方，曰：置所得平实，以从约之初商三百，置一于左上为法，置一隅，因得一千二百为隅法，以减从方，余四百为下法，与上法相乘，得一十二万，除实不足，反减实八万一千六百余，三万八千四百为负积；倍隅法得二千四百为亷法；次商四十，置一于左上为法；置一隅，因得一百六十为隅法，并亷法共二千五百六十，减从不足，反减从一千六百余，九百六十为下法，与上法相乘除实尽，得半通▯三百四十。后凡言负隅，减从开平方法，俱仿此。

测圆海镜分类释术卷七

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