测圆海镜分类释术卷五

测圆海镜分类释术卷五

元　李　冶　撰明　顾应祥　释术通股与别▯测望一圆城乙出东门，东行不知步数而立。甲从城外西北干隅，南行六百步见之，复斜行五百四十四步，与乙相防。释曰：此以通股边▯立法测望。甲从干隅南行六百步，通股也。斜行乃天之川边▯也。术曰：二行相减，余五十六为差。差乘南行，得三万三千六百。又以半南行乘之，得一千○○八万，为立方实。半南行以乘南行，得一十八万，与差乘南行相并，得二十一万三千六百，为从方。倍南行，得一千二百，为从廉。作带从廉减从方翻法，开立方法除之，得半径。带从廉减从翻法开立方曰置所得实于左以从方从廉约之初商一百置一于左上为法置一乘从廉得一十二万以减从方余九万三千六百为从置一自之得一万为隅法并从方共一十○万三千六百为下法与上法相乘应除实一千○三十六万实不满法反除实一千○○八万余二十八万为负积倍从廉得二十四万三因隅法得三万为方法三因初商得三百为廉法约次商二十置一于左上为法置一乘从廉得二万四千并入倍廉共二十六万四千以减从方不及反减从方二十一万三千六百余五万四百为负从置一乘廉法得六十置一自之得四百为隅法并方廉隅共三万六千四百以减负从余一万四千为下法与上法相乘除实尽此术改为以从廉添积开立方亦可后凡言带从廉减从方翻法开立方法者俱仿此出城东门外，往南有树。甲从西北干隅，南行六百步，见树。斜行五百一十步，至树下。问城径。释曰：此以通股黄广▯测望南行通股也。斜行乃天之山黄广▯也。术曰：二行相减，余九十，为差。倍差，以乘倍南行，得二十一万六千，为实。差并南行，倍之，得一千三百八十，为从。二为隅算。作减从负隅开平方法，除之，得全径。减从负隅，开平方法，见二卷，通勾□勾条。又曰：倍差乘南行，得一十○万八千，为实；差并南行，共六百九十，为从方，作减从开平方法除之，得全径，不用隅算。减从开平方法，见二卷底，勾□勾条。出城南门外，往东不知步数，有树。甲从城外西北干隅，南行六百步，望树与城相叅直，乃斜行四百○八步至树下，问城径。释曰：此以通股大差▯立法，测望南行通股也。斜行乃天之月大差▯也。术曰：南行自之，得三十六万，为南行筭。两行相乘，得二十四万四千八百。倍之内减南行筭，余一十二万九千六百，为实。倍南行，得一千二百，为从。作减从开平方法除之，得半径。减从开平方法，见二卷【底勾□勾条】又术，两行相乘，得二十四万四千八百，以减南行筭，余一十一万五千二百，为实；二为隅算，作负隅开平方法除之，得全径。负隅开平方法，见一卷【底勾底▯条下】圆城南门外，不知步数，有树。

甲从城外西北干隅，南行六百步，望树与城叅直。斜行二百五十五步，至树下。问城径。释曰：此以通股上高▯立法测望。甲南行为通股，斜行为天之日上高▯也。术曰：二行相减，余三百四十五，为差；倍之，减甲南行，余九十，以乘南行，得五万四千，为实；以倍差六百九十为从方，以二为隅算，作负隅减从，开平方法除之，得半径。负隅减从，开平方法，见二卷【通勾□勾条】圆城南门外不知步数，有槐一株。东门外不知步数，有栁一株。有人从城外西北隅南行六百步，望二树与城东南角相叅直，其槐栁斜相距二百八十九步。问城径？释曰：此以通股、皇极▯立法，测望南行为通股。二树斜相距步，即皇极▯日之川也。术曰：南行步与二树相距步相乘，又自之，得三百○○亿六千七百五十六万，为三乘方实。通股乘皇极▯筭，倍之，得一亿○○二十二万五千二百，为从方。通股皇极▯相乘，倍之，得三十四万六千八百，为从一廉。倍皇极▯，得五百七十八，为从二廉。二为隅算。作带从负隅，以廉隅添积，开三乘方法除之，得二百五十五，为皇极股。求城径，以皇极股▯求皇极勾，得一百三十六。勾股相乘，倍为实，以▯除之，得容圆全径。带从负隅以廉隅添积开三乘方曰置所得三乘方实从方从廉隅算约之。初商二百。置一于左上为法。置一乘从一廉得六千九百三十六万为益从加从方共一亿六千九百五十八万五千二百为下法。置一自之以乘从二廉得二千三百一十二万为益隅。置一自乘再乘以隅筭因之得一千六百万为隅法。并益隅共三千九百一十二万为益积之法以初商因之得七十八亿二千四百万为益实添入原积得三百七十八亿九千一百五十六万为通实以下法上法相乘除实三百三十九亿一千七百○四万。余三十九亿七千四百五十二万为次商之实。二因益从得一亿三千八百七十二万为益从方。三因益隅得六千九百三十六万为益隅之方。三之初商乘从二廉得三十四万六千八百为益隅之廉。四因隅法得六千四百万为方法。初商自之六因又隅因之得四十八万为上廉。初商四之隅因得一千六百为下廉。约次商得五十。置一于左上为法。置一乘从廉得一千七百三十六万为益从廉并益从方共一亿五千六百○六万为益从之实加入从方共二亿五千六百二十八万五千二百为下法。置一乘益隅之廉得一千七百三十四万。置一自之以乘从二廉得一百四十四万五千为益隅之隅。并益隅方廉隅共八千八百一十四万五千为益隅之实。置一乘上廉得二千四百万。置一自之以乘下廉得四百万。置一自乘再乘隅因得二十五万为隅法。并方上下廉隅法共九千二百二十五加益隅之实共一亿八千○三十九万五千为益积之法以次商乘之得九十○亿一千九百七十五万为益实。

添入余积共一百二十九亿九千四百二十七万为通实以下法与上法相乘，除实一百二十八亿一千四百二十六万，余一亿八千○○一万，为二商之实。二因益从廉，得三千四百六十八万，并入益从方，得一亿七千三百四十万，为益从方。二因益隅之廉，得三千四百六十八万，三因益隅之隅，得四百三十三万五千，俱并入。益隅方得一亿○八百三十七万五千，为益隅方，并初次商三之，以乘从二廉，得四十三万三千。五百为益隅之廉，二因上廉得四千八百万，三因下廉得一千二百万，四因隅法得一百万，并入方法共一亿二千五百万为方法。并初次商自之，六因又隅因之得七十五万为上廉。并初次商四之隅因得二千为下廉。约三商得五，置一于左上为法，置一乘从一廉得一百七十三万四千为益从廉，并益从方得一亿七千五百一十三万四千为益从之实。加入从方共二亿七千五百三十五万九千二百为下法。置一乘益隅之廉得二百一十六万七千五百，置一自之以乘从二廉得一万四千四百五十为益隅之隅，并益隅方廉隅共一亿一千○五十五万六千。九百五十为益隅之实，置一乘上廉，得三百七十五万；置一自之以乘下廉，得五万；置一自乘再乘隅，因得二百五十为隅法。并方上下廉隅，共一亿二千八百八十○万○二百五十，加益隅之实，得二亿三千九百三十五万七千二百为益积之法。以三商因之，得一十一亿九千六百七十八万六千为益实，添入余积，得一十三亿七千六百七十九万六千为通实。下法与上法相乘除尽。又为以二廉隅减一廉从方开三乘方。其法曰：初商二百，置一于左上为法。置一乘从一廉得六千九百三十六万为益从方，并从方共一亿六千九百五十八万五千二百为从。置一自之以乘从二廉得二千三百一十二万为益隅之实。置一自乘再乘隅因得一千六百万为隅法。加益隅之实得三千九百一十二万为减实。以减从，余一亿三千○四十六万五千二百为下法，与上法相乘除实二百六十○亿九千三百○四万。余三十九亿七千四百五十二万为次商之实。二因益从之实得一亿三千八百七十二万为益从方。三因益隅之实得九千六百三十六万为益隅之方。三之初商以乘从二廉得三十四万六千八百为益隅之廉。初商自之六因又隅因得四十八万为上廉。初商四之隅因得一千六百为下廉。次商五十，置一于左上为法。置一乘从一廉得一千七百三十四万为益从之廉，并益从方得一亿五千六百○六万为益从之实，加入从方共二亿五千六百二十八万五千二百为从。置一乘益隅之廉得一千七百三十四万。置一自之以乘从二廉得一百四十四万五千为益隅之隅。并益隅方廉隅共八千八百一十四万五千为益隅之实。

置一乘上廉得二千四百万。置一自之以乘下廉得四百万。置一自乘再乘隅因得二十五万为隅法。并方廉隅得九千一百二十五万，加益隅之实得一亿八千○三十九万五千为减实。以减从，余七千五百八十九万○二百为下法，与上法相乘除实三十七亿九千四百五十一万，余一亿八千○○一万为三商之实。二因益从方廉得三千四百六十八万，并入益从方得一亿七千三百四十万，为益从方二因益隅之廉得三千四百六十八万，三因益隅之隅得四百三十三万五千，俱并入益隅之方得一亿○八百三十七万五千，为益隅之方并初次商三之，以乘从二廉得四十三万三千五百，为益隅之廉二因上廉得四千八百万，三因下廉得一千二百万，四因隅法得一百万，并入方法共一亿二千五百万，为方法并初次商自之十二因得七十五万，为上廉并初次商八因得二千，为下廉三商得五置一于左上为法置一乘从一廉得一百七十三万四千，为益从廉，并益从方，得一亿七千五百一十三万四千，为益从之实。加入从方，共二亿七千五百三十五万九千二百，为从。置一乘益隅之廉，得二百一十六万七千五百。置一自之，以乘从二廉，得一万四千四百五十，为益隅之隅。并益隅方廉隅，共一亿一千○五十五万六千九百五十，为益隅之实。置一乘上廉，得三百七十五万。置一自之，以乘下廉，得五万。置一自乘再乘隅，因得二百五十，为隅法。并方廉隅，共一亿二千八百八○万○二百五。十、加益隅之实，得二亿三千九百三十五万七千二百，为减实；以减从余三千六百○○二千，为下法。与上法相乘，除实尽。右二法已见四卷「通勾皇极」▯下，因其头绪太繁，故重出以便学者。丙出南门，南行；乙出南门，东行，各不知步数而立。甲从城外西北干隅南行六百步，望乙丙悉与城相叅直。既而丙欲就乙，乃斜行一百五十三步，相防。问城径，释曰：此以通股明▯立法测望。丙出南门而南，为明股；乙出南门而东，为明勾。丙之斜行就乙，则明▯也。甲南行六百，通股也。术曰：通股自之，得三十六万，为通股筭。又以通股乘之，得二亿一千六百万。明▯乘通股筭，倍之，得一亿一千○一十六万。二数相减，余一亿○五百八十四万，为立方实。倍通股筭，得七十二万。明▯通股相乘，倍之，得一十八万三千六百。二数相减，余五十三万六千四百，为从方。通股六之，得三千六百，为从廉。六为隅筭。作带从廉负隅，以隅减从，开立方法除之，得半径。带从廉负隅以隅减从开立方曰置所得立实以从方廉约之初商一百置一于左上为法置一乘从廉得三十六万置一自之又以隅因之得六万为隅法以减从方余四十七万六千四百并从廉共八十三万六千四百为下法与上法相乘除实八千三百六十四万余实二千二百二十万倍从廉得七十二万三因隅法得一十八万为方法三因初商得三百以隅因之得一千八百为廉法次商二十置一于左上为法置一乘从廉得七万二千加入倍廉得七十九万二千置一自之又隅因得二千四百为隅法置一乘廉法得三万六千并方法廉隅共二十一万八千四百以减原从方余三十一万八千并入从廉共一百一十一万为下法与上法相乘除实尽又为带从方廉负隅以隅添积开立方法。

其法曰：初商一百，置一于左上为法，置一自之，以隅因得六万，与上法相乘得六百万，为益实，添入积内，共一亿一千一百八十四万为实。置一乘从廉得三十六万，并从方共八十九万六千四百为下法，与上法相乘除实八千九百六十四万，余实二千二百二十万。三因隅法得一十八万为方法，三因初商以隅因得一千八百为廉法。次商二十，置一于左次为上法，置一乘廉法得三万六千，置一自之，隅因得二千四百为隅法，并方廉隅共二十一万八千四百，与上法相乘得四百三十六万八千为益实，添入余积共二千六百五十六万八千为实。倍初商加次商得二百二十，以乘从廉得七十九万二千，并从方共一百三十二万八千四百为下法，与上法相乘除实尽。后凡言带，从廉负隅，以隅减从，开立方法，俱仿此。或减从，或添积，随意。又术，通股自之，得三十六万，为通股筭。又以斜行乘之，得五千五百○八万，为立方实。通股明▯相乘，得九万一千八百，与半通股筭相减，余八万八千二百，为从方。五分为隅法。作带从负隅开立方法，除之，得三百六十，为股圆差，以减通股，得城径。带从方负隅开立方曰：置实于左，从于右，约初商得三百。置一于左上为法。置一自之，得九万，以隅算五分因，得四万五千，为隅法。并从方，共一十三万三千二百，为下法，与上法相乘，除实三千九百九十六万，余实一千五百一十二万。三因隅法，得一十三万五千。并从方，共二十二万三千二百，为方法。三因初商，得九百，隅因得四百五十，为廉法。次商六十。置一于左上为法，置一乘廉法，得二万七千。置一自之，隅因得一千八百，为隅法。并方廉隅，共二十五万二千，为下法，与上法相乘，除实尽。后凡言带，从方负隅，开立方法者，俱仿此。丙出南门，东行；乙出东门，南行。各不知步数而立。甲从城外西北干隅南行六百步，望乙丙与城相叅直。既而乙欲就内，乃斜行一百○二步，相防。问城径，释曰：「此以通股、太虚▯立法测望。甲南行，通股也；丙斜行一百○二步就乙，太虚▯也。」术曰：南行自之，得三十六万，为通股筭。以斜步乘之，得三千六百七十二万。倍之，得七千三百四十四万，为立方实。倍南行，乘斜行，得一十二万二千四百。倍南行筭，得七十二万。二数相并，得八十四万。二千四百为从方，四之南行得二千四百为益廉，四步为隅算。作带从负隅，以从廉减从方，开立。

方法除之得半径带从负隅以廉减，从方开立方法，见四卷通勾□▯条下。又为带从负隅以廉添积开立方法。

法见四卷通勾太虚▯条下又术：通股筭乘太虚▯，倍之，得七千三百四十四万，为立实。通股虚▯相乘，得六万一千二百。加通股筭，得四十二万一千二百，为从方。以通股六百为益廉，五分为隅算。作带从负隅，以廉减从，开立方法除之，得全径。

法与前同或减从或添积随意东门外往南不知步数有石柱一个。乙出东门直行不知步数而立。甲从城外西北干隅南行六百步，望石柱与乙与城相叅直。乙乃斜行三十四步至石柱下，问城径。释曰：此以通股□▯立法，测望：甲，南行通股也；乙，斜行□▯也。术曰：通股□▯相乘，得二万○四百。又以通股筭三十六万乘之，得七十三亿四千四百万，为三乘方实。□▯乘通股筭三之，得三千六百七十二万，为从方。通股筭内减去两个通股□▯相乘之数，余三十一万九千二百，为从一廉。倍通股，得一千二百，为第二廉。二为隅算。作带从方廉负隅，以二廉减从，开三乘方法除之，得半径。带从方廉负隅以二廉减从开三乘方曰置所得三乘方实以从方廉隅算约之。初商一百。置一于左上为法。置一自之以乘二廉得一千二百万为减廉，以减从方，余二千四百七十二万为从方。置一乘从一廉得三千一百九十二万为益廉。置一自乘再乘，又以隅法因之得二百万为隅法。并从方益廉隅法得五千八百六十四万为下法，与上法相乘除实五十八亿六千四百万。余实一十四亿八千万。四因隅法得八百万为方法。初商自之六因，又以隅法因之得一十二万为上廉。初商四之，又以隅因之得八百为下廉。约次商得二十。置一于左次为上法，倍初商加次商得二百二十，以乘二廉得二十六万四千，又并初次商得一百二十，因之得三千一百六十八万为减廉，以减余从，不及减，反减余从二千四百七十二万。余六百九十六万为负从。倍初商加次商为二百二十，以乘从一廉得七千○二十二万四千为益廉，置一乘上廉，得二百四十万。置一自之，以乘下廉，得三十二万。置一自乘，再乘，又以隅因之，得一万六千为隅法。并方法、益廉、上下廉、隅法，共八千○九十六万。减去负从六百九十六万，余七千四百万为下法。与上法相乘除，实尽。此术已见四卷《通勾明▯条下，因后有翻减，从不同，故重出。又为带从方负隅，以二廉添积，开三乘方。如前约初商一百，置一于左上为法，置一自之以乘从二廉，得一千二百万，与上法相乘得一十二亿为益积，添入原积共八十五亿四千四百万为实，置一乘从一廉得三千一百九十二万为益廉，置一自乘再乘，又以隅算因之得二百万为隅法，并从方益廉隅法共七千○六十四万为下法，与上法相乘除实七十○亿六千四百万，余实一十四亿八千万，倍益廉得六千三百八十四万，四因隅法得八百万为方法，初商自之六因，又隅因得一十二万为上廉，初商四之又隅因得八百为下廉，约次商得二十，置一于左次为上法，倍初商加次商为二百二十，并初次商得一百二十，相因得二万六千四百，又加初商自之一万，共三万六千四百，以乘从二廉得四千三百六十八万，与上法相乘得八亿七千三百六十万为益实，添入余积共二十三亿五千三百六十万为实，置一乘从一廉得六百三十八万四千，并倍益廉共七千○二十二万四千，置一乘上廉得二百四十万，置一自之以乘下廉得三十二万，置一自乘，再乘以乘隅算，得一万六千，为隅法。并方法，从方益廉上下廉隅法，共一亿一千七百六十八万，为下法。与上法相乘，除实尽。又术曰：半通股筭以乘通股筭，得六百四十八亿，为三乘方实。通股自乘再乘，得二亿一千六百万；□▯乘通股筭，得一千二百二十四万，倍得二千四百四十八万。二数相并，得二亿四千○四十八万，为从方。□▯乘通股，倍之为四万○八百，以减通股筭，余三十一万九千二百，为从一廉。以通股六百为从二廉。半步为隅算。作带从廉负隅减从，以二廉益从，开三乘方法除之，得三百六十，为股圆差，以减通股，即圆径。带一廉负隅减从，以二廉益从，开三乘方。曰：置所得三乘方实，以从方廉隅约之。初商三百。置一于左上为法。置一乘从一廉，得九千五百七十六万，为益隅之廉。置一自乘再乘，以隅算半步因得一千三百五十万，为隅法算，并益隅之廉共一亿○九百二十六万，以减从方，余一亿三千一百二十二万为从。置一自之得九万，以乘从二廉，得五千四百万，为益从。并入余从共一亿八千五百二十二万，为下法，与上法三百相乘，除实五百五十五亿六千六百万。余实九十二亿三千四百万。倍益隅之廉，得一亿九千一百五十二万。四因隅法得五千四百万，为方法。初商自之六因，又以隅算因之，得二十七万，为上廉。初商四之，又以隅算因之，得六百，为下廉。约。次商得六十，置一于左次为上法，置一乘从一廉得一千九百一十五万二千，并入倍益隅之廉得二亿一千○六十七万二千为益廉，置一乘上廉得一千六百二十万，置一自之以乘下廉得二百一十六万，置一自乘再乘又以隅因之得一十○万八千，并方法廉隅共七千二百四十六万八千，加益廉得二亿八千三百一十四万，以减原从不及翻减从方二亿四千○四十八万余四千二百六十六万为负从，倍初商加次商得六百六十，并次商得三百六十，相因得二十三万七千六百，又加初商自之九万，共三十二万七千二百，以乘二廉得一亿九千六百五十六万，减去负从四千二百六十六万余一亿五千三百九十万为下法，与上次法六十相乘除余实尽，若不翻减乘出二廉并从方，以从一廉隅法减。

之亦是东门外不知步数有树，甲从城外西北干隅，南行六百步立定，乙出北门，东行斜望树，及甲与城相叅直，遂斜行一百三十六步至树下，问城径。释曰：此以通股下平▯立法，测望甲南行，通股也；乙之斜行，下平▯也。术曰：通股平▯相乘，得八万一千六百。又以半通股乘之，得二千四百四十八万，为立方实。半通股乘通股，得一十八万，并通股平▯相乘之数，得二十六万一千六百，为从方。六百为从廉。作以从廉减从，开立方法除之，得半径。带从以廉减，从开立方法见四卷，通勾上高▯条下。

边股与别▯测望二乙从城外西北干隅东行，不知步数，而立。甲出西门，南行四百八十步，望乙与城相叅直，复斜行六百八十步，与乙相防，问城径。释曰：此以边股通▯立法，测望甲出西门南行边股也，斜行通▯也。术曰：二行相减，余二百为差；相并得一千一百六十为和。以差乘和，减去差筭四万余，一十九万二千为实；和差相并得一千三百六十为从方，二为隅法。作带从负隅开平方法，除之得半径。带从负隅，开平方法，见四卷底，勾通▯条。乙出南门，东行，不知步数而立。甲出西门，南行四百八十步，望乙与城相叅直，又斜行四百○八步，与乙相防。问城径。释曰：此以边股大差▯立法测望，甲出西门南行边股也。又斜行就乙，乃天之月大差▯也。术曰：二行相减，余七十二，为差，以乘甲南行，得三万四千五百六十，为实；以斜行四百○八步为益，从方作减，从开平方法除之，得半径。减从开平方法曰：初商一百，置一于左上为法，置一减从方余三百○八为下法，与上法相乘。除实三万○八百，余实三千七百六十。从方内再减一百，商次位得二十。置一于左次为上法，置一减余从，余一百八十八为下法。与上法相乘，除实尽。此法已见二卷，底勾□勾下，因从有重位，故重出。乙出南门，直行，不知步数，而立。甲出西门，南行四百八十步，望乙与城相叅直，复斜行二百五十五步，与乙防。问城径。释曰：此以边股上高▯立法测望。甲出西门南行边股也；斜行就乙，乃天之日上高▯也。术曰：倍斜行，减南行，余三十，以乘南行，得半径筭。又曰：斜行减南行，余自之，得五万○六百二十五，为上高股筭。斜行自之，为▯筭。二筭相减，开其余，亦半径。南门外往南不知步数有树，乙出南门，东行不知步数而立。甲出西门，南行四百八十步，望乙与树正与城相叅直。乙乃斜行一百五十三步至树下，问城径。释曰：此以边股明▯立法测望。甲出西门南行，边股也；乙斜行至树下，明▯也。术曰：边股内减二明▯，余一百七十四，以乘边股，得八万三千五百二十；明▯自之，得二万三千四百○九；二数相乘，得一十九亿五千五百一十一万九千六百八十，为三乘方实；边股乘明▯筭，倍之，得二千二百四十七万二千六百四十，为从方；边股减明▯余，自之，得一十○万六千九百二十九，为从一廉；边股减明▯余，倍之，得六百五十四，为从二廉；作带从益廉，以二廉减从，开三乘方法除之，得明勾七十二，以勾▯求股，得一百三十五，以明勾股求容圆术求之，得城径。带从益廉，以二廉减从开三乘方，曰：以所得三乘方实，以从方廉约之。

初商七十，置一于左上为法。置一自之，以乘二廉，得三百二十○万四千六百，为减从之廉，以减从方，余一千九百二十六万八千○四十为从。置一乘一廉，得七百四十八万五千○三十，为益从之廉。置一自乘再乘，得三十四万三千，为隅法。并从方、益廉、隅法，共二千七百○九万六千○七十，为下法，与上法相乘除实。一十八亿九千六百七十二万四千九百余，实五千八百三十九万四千七百八十，为次商之实。四因隅法，得一百三十七万二千，为方法。初商自之，六因得二万九千四百，为上廉。初商四之得二百八十为下廉，次商得二，置一于左上为法，倍初商加次商得一百四十二，以乘二廉得九万二千八百六十八，又并初次商得七十二，因之得六百六十八万六千四百九十六为减从，以减余从尚余一千二百五十八万一千五百四十四为从方，倍初商加次商得一百四十二，以乘从一廉得一千五百一十八万三千九百一十八为益从廉，置一乘上廉得五万八千八百，置一自之以乘下廉得一千一百二十，置一自乘再乘得八为隅法，并方法从方益。廉上下，廉隅法，共二千九百一十九万七千三百九十，为下法，与上法相乘，除实尽。此法已见四卷，底勾□▯条，因此有重位，故重出。又为带从方廉，以二廉添积，开三乘方法。法以类推。东门之南，不知步数，有树。乙出东门，东行，不知步数，而立。甲出西门，南行四百八十步，望树与乙与城相叅直。乙复斜行三十四步至树下，问城径。释曰：此以边股□▯立法测望。甲出西门南行边股也；乙斜行至树□▯也。术曰：半□▯乘边股，得八千一百六十，为实。□▯边股和，半之得二百五十七，为带从方。半步为隅法，以带从负隅，开平方法，求得□股三十。以□股乘边股，即半径筭。带从负隅，开平方法，见四卷底，勾通▯条。乙出东门，南行，不知步数，而立。甲出西门，南行四百八十步，望乙与城相叅直，复斜行五百一十步，防乙，问城径。释曰：此以边股黄广▯立法测望。甲出西门南行边股也；斜行乃天之山黄广▯也。术曰：斜行减南行，余三十为差。差乘南行，即半径筭。东门外不知步数有树。乙从城外西北干隅东行不知步数而立。甲出西门南行四百八十步，见乙与树与城相叅直。既而乙斜行一百三十六步至树下，问城径。释曰：此以边股下平▯立法测望。甲出西门南行，边股也。乙斜行至树下，为川之地下平▯也。术曰：边股自之，得二十三万○四百为筭；以平▯乘之，得三千一百三十三万四千四百为立方实；以边股筭为从方，平▯为从廉，作带从方廉开立方法除之，得半径。带从方廉开立方法，见四卷底勾下，高▯条下。

小差股与别▯测望三甲从城外西南坤隅复往南行，不知步数而立。乙从城外东北艮隅南行一百五十步，望见之，乃斜行五百一十步就乙相防，问城径。释曰：此以小差股、黄广▯立法测望。乙从艮隅南行，小差股也；斜行与甲防，黄广▯也。术曰：斜行自之，得二十六万○一百，为黄广▯筭。倍南行以减斜行，余二百一十，自之得四万四千一百○二。数相减，余二十一万六千，为实。倍南行以减斜行，余四之得八百四十，为从。八为隅筭，作带从负隅开平方法除之，得半径。带从负隅，开平方法见四卷底，勾通▯条下。

□股与别▯测望四甲出南门，南行，不知逺近而立。乙出东门，南行三十步，见之，却斜行二百五十五步，与甲同立。问城径，释曰：「此以□股下高▯立法测望。乙南行，□股也；斜行至甲处，乃日之山下高▯也。」术曰：斜行自之，得六万五千○二十五，为高▯筭。斜行减南行，余二百二十五，自之得五万○六百二十五，即高股筭。二筭相减，余一万四千四百，即高勾筭。即半径筭。甲出南门，东行，不知步数而立。乙出东门，南行三十步，见之，遂斜行一百○二步，与甲防问城径。释曰：此以□股太虚▯立法，测望乙出东门南行□股也；斜行就甲太虚▯也。术曰：二行相减，余七十二，为差，以乘南行；又四之，得八千六百四十。斜行自之，得一万○四百○四，为虚▯筭。二数相并，得一万九千○四十四，为平实。平方开之，得一百三十八，为太虚勾股和，加斜步，即城径。又曰：「倍虚筭，减平实。平实即和筭也。」余一千七百六十四平方，开之得较四十二，减和半之为勾，加和半之为股，以虚勾股求容圆，亦通。

测圆海镜分类释术卷五<子部,天文算法类,算书之属,测圆海镜分类释术》>钦定四库全书