测圆海镜分类释术卷九
测圆海镜分类释术卷九
元 李 冶 撰明 顾应祥 释术诸较参互立法丙出南门，直行；甲出东门，直行。各不知步数，相望与城相叅直。问其行步，甲云：“我东行少于城径二百二十四步。”丙云：“我南行少于城径一百○五步。”问城径？释曰：此明股城径较与□勾城径较立法测望。甲出东门直行□勾也，丙出南门直行明股也。术曰：二少步相乘，又自之，得五亿五千三百一十九万○四百，为三乘方实。二少步相乘，得二万三千五百二十六之共步，得一千九百七十四，二数相乘，得四千六百四十二万八千四百八十，为从方。以五十六万二千五百二十为从一亷，四十八之共步，得一万五千七百九十二，为从二亷，六十三为隅法，作带从亷隅添积开三乘方法，除之得半城径。带从方一亷添积，以二亷为法，开三乘方。曰：置所得三乘方实，以从方、从亷、隅法约之。初商一百，置一于左上为法。置一乘从一亷，得五千六百二十五万二千，为益亷。置一自乘再乘，以隅算因得六千三百万，为隅法。并从方益亷，得一亿六千五百六十八万○四百八十，以初商因之，得一百六十五亿六千八百○四万八千，为益积。添入原积，共一百七十一亿二千一百二十三万八千四百，为通实。置一自之，以乘从二亷，得一亿五千七百九十二万，为下法。与上法相乘，除实一百五十七亿九千二百万，余一十三亿二千九百二十三万八千四百，为次商之实。二因益亷，得一亿一千二百五十○万四千，为从一亷之方。三因从二亷，得四亿七千三百七十六万，为从二亷之方三之初商以乘元从二亷得四百七十三万七千六百为从二亷之亷四因隅法得二亿五千二百万并从方共二亿九千八百四十二万八千四百八十为方法初商自之六因又隅因之得三百七十八万为上亷初商四之隅因得二万五千二百为下亷次商二十置一于左上为法置一乘原从一亷得一千一百二十五万○四百为从一亷之亷并从一亷之方共一亿二千三百七十五万四千四百为益亷之实置一乘上亷得七千五百六十万置一自之以乘下亷得一千○○八万，置一自乘再乘得八千，隅因得五十○万四千为隅法。并方上下亷隅共三亿八千四百六十一万二千四百八十，又加益亷之实得五亿○八百三十六万六千八百八十，以次商因之得一百○一亿六千七百三十三万七千六百为益实。加入次实得一百一十四亿九千六百五十七万六千为通实。置一乘从二亷之亷得九千四百七十五万二千，置一自之以乘从二亷得六百三十一万六千八百为从二亷之隅。并从二亷之方亷隅共五亿七千四百八十二万八千八百为下法，与上法相乘除实尽。丙出南门，东行；甲出东门，南行。各不知步数，相望俱与城相叅直。丙云：“我东行，不及城径一百六十八步。”甲云：“我南行，不及城径二百一十步。”问城径？释曰：此明勾与城径较，与□股城径较，立法测望。丙出南门，东行为明勾；甲出东门，南行为□股。术曰：二不及相减，余四十二为差，自之得一千七百六十四为差筭；半甲不及，自之得一万一千○二十五；半甲不及减差，余六十三，自之得三千九百六十九；二数相并，内减差筭，得一万三千二百三十为平实；二之内不及得三百三十六为益从，三步半为隅法；作带从负隅开平方法除之，得□股三十。带从负隅，开平方法，见四巻底，勾通▯。甲乙二人俱在城外西北干隅，甲东行，乙南行。丙出东门南行，丁出南门东行。各不知步数，而立四人遥相望，与城相叅直。问其行步，则甲东多于丁东二百四十八步，乙南多于丙南五百七十步。问城径。释曰：此通勾、明勾较与通股、□股较立法测望。甲从干隅东行为通勾，丁从南门东行为明勾，甲多于丁，步通勾、明勾较也。丙出东门南行为□股，乙自干隅南行为通股，乙多于丙，步通股、□股较也。术曰：二较相乘，得一十四万一千三百六十，为实；并二较，半之，得四百○九，为从。以七分半为隅法，作带从负隅开平方法，除之，得全径。
带从负隅开平方法见前甲乙二人俱在城外西北干隅，甲东行，乙南行。丙从城外西南坤隅东行，丁从城外东北艮隅南行。各不知步数，四人遥相望，俱与城相叅直。问其行步，则曰：甲东行多于丙东行一百二十八步，丁南行不及乙南行四百五十步。问城径。释曰：此通勾大差勾较与通股小差股较立法测望。甲从干隅东行为通勾，丙从坤隅东行为大差勾。甲多一百二十八步，即为通勾大差勾较与黄长勾同。乙从干隅南行为通股，丁从艮隅南行为小差股。丁不及乙四百五十步，为通股小差股较与黄广股同。术曰：二较相乘，即城径筭。南门迤东有槐一株，东门迤南有栁一株。甲乙二人俱在城外西南坤隅，甲直往南，不知步数而立；乙往东，径过南门至槐下立。丙丁二人俱在城外东北艮隅，丙直往东，不知步数而立；丁往南，径过东门至栁下立。四人遥相望，俱与城相叅。直问其行步，则甲多于乙一百六十八步，丙少于丁七十步。问城径。释曰：此大差勾股较与小差勾股较立法测望。甲从坤往南之天为大差股，乙往东至槐下为大差勾。甲多一百六十八步，大差勾股较也。丙从艮隅往东之地为小差勾，丁往南至栁下为小差股。丙不及丁七十步，小差勾股较也。术曰：二较相乘，得一万一千七百六十，为实；相减，半之，得四十九，为法；实如法而一，得全径。甲从坤隅东行，过南门，不知步数而立。乙从艮隅南行，过东门，不知步数，见甲而止。甲乃斜行一百○二步与乙会。乙曰：「我南行不及汝东行四十二步，问城径？」释曰：此大差勾，小差股较，与太虚▯立法测望。甲从坤隅东行，乃坤之月，为大差勾。乙从艮南行，乃艮之山，为小差股。不及四十二步，为大差勾与小差股较也。斜行一百○二步，太虚▯也。术曰：以较减▯，余六十，以乘▯较，并半之，得四千三百二十为实；以较四十二为从，作带从开平方法除之，得虚勾四十八。又曰：大差勾减小差股，即太虚较也。▯自乘，倍之与较自乘相减，余为实，平方开之，得勾股和，加较半之为股，减较半之为勾。圆城南门外，正南有塔一座。南门之东，有槐树一株。东门外，正东有望竿一根。东门之南，有栁树一株。甲乙二人俱在城中心，甲南行出城，直至塔下立；乙东行出城，至望竿下立。丙丁二人俱在城外西南坤隅，丙南行不知步数而立；丁东行至槐树下立。戊己二人俱在城外东北艮隅，戊东行不知步数而立；己南行过东门南栁树下立。六人遥相望，俱与城相叅直。既而，甲斜行至东门外望竿下，与乙相会；丙斜行经过塔，直至南门东槐树下，与丁相会；戊斜行向西南至东门之南栁树下，与己相会。问其行步，则曰：以丁东行减丙南行，又与丙斜行相较，余步比甲斜行少四十九步；以戊从艮隅东行减己从艮隅南行至栁，余步与戊斜行至栁步数相并，内减槐栁斜相距步，余一百三十八步。其乙东行比甲南行至塔却少一百一十九步。问城径？释曰：此大差▯较较与皇极▯较小差▯较和与太虚▯较并皇极勾股较立法测望。甲从城中心出南门至石塔下，乃日之心为皇极股。乙从城中心出东门至望竿下，乃心之川为皇极勾。甲斜行与乙会，乃日之川为皇极▯。丙从坤隅南行不知步数而立，乃天之坤为大差股。丁从东行至槐树下，乃坤之月为大差勾。丙斜行与丁会，乃天之月为大差▯。丁东行减丙南行为大差勾股较，又与丙斜行相较为大差▯。较较不及甲斜行四十九步，是大差▯较较与皇极▯较也。戊从艮隅东行，乃艮之地为小差勾。己从艮隅南行至栁树下，乃山之艮为小差股。戊斜行至栁下与己会，乃山之地为小差▯。戊东行减己南行为小差勾股较，又与戊斜行相并为小差▯较和。槐栁斜相距步，即太虚▯以减小差▯较和，余一。百三十八步，是小差▯较和与太虚▯较也。乙东行不及甲南行一百一十九步，为皇极勾股较也。术曰：并二较自之，得三万四千九百六十九。皇极较自之，得一万四千一百六十一。相减，余二万○八百○八，为实。二为隅算。平方开之，得太虚▯一百○二。加小差▯较和与虚▯相较之数，即城径。负隅开平方法，见一卷《底勾底▯》条。南门外不知步数有槐，东门外不知步数有桞。甲乙俱在干隅，甲东行遇一小塔而立，乙南行遇一大石塔而立。二人遥相望，槐栁俱与城相叅直。计其行步，则乙南行不及二塔斜相距步数，少于小塔与栁相距五十六步。甲东行不及二塔斜相距步数，多于大塔与槐相距一百○五步。问城径？释曰：此通股▯较与下平▯较通勾▯较与上高▯较测望二塔相距通▯也。丙南行通股不及二塔相距为股▯较小塔距栁下平▯也。甲东行通勾也不及二塔相距勾▯较也，槐距大塔上高▯也。术曰：以股▯较不及平▯，自之为实；二较相减为法，除之，得平勾六十四。若以勾▯较多高▯自之为实，二较相减为法，除之，得高股二百二十五。
测圆海镜分类释术卷九
钦定四库全书