测圆海镜分类释术卷四

测圆海镜分类释术卷四

元　李　冶　撰明　顾应祥　释术通勾与别▯测望一圆城南门之南有树，甲从城外西北干隅，东行三百二十步，乙出西门，南行望树，及甲与城相叅直，乃斜行二百五十五步至树下，问城径。释曰：此以通勾上高▯立法测望。甲东行通勾也，乙斜行乃天之日上高▯也。乙从西门南行四百八十步为边股，树在南门外一百三十五步为明股。术曰：二行相乘，又以半甲东行乘之，得一千三百○五万六千为立方实。二行相乘得八万一千六百，半甲东行乘甲东行得五万一千二百，相并得一十三万二千八百为益从。甲东行三百二十为减从廉，减从开立方法除之，得半径。带从以廉减从，开立方曰：布实于左，从于右，别置减从廉。约初商得一百。置一于左上为法，置一乘从廉得三万二千。以减从方，余一十○○八百。置一自之得一万，并余从共一十一万○八百为下法，与上法相乘除实一千一百○八万，余一百九十七万六千。倍减廉得六万四千，三因隅法得三万为方法。三因初商得三百为廉法。约次商得二十。置一于左次为上法，置一乘减廉得六千四百，并倍廉共七万○四百，以减原从，余六万二千四百。置一乘廉法得六千，置一自之得四百为隅法，并方廉隅共三万六千四百，带余从共九万八千八百为下法，与上法相乘除实尽，得半径一百二十。后凡言带，从以廉减，从开立方法者，仿此。甲从城外西北干隅东行三百二十步而立，乙出南门直行，不知步数，望见甲与城相叅直，遂斜行四百二十五步，与乙相防，问城径。释曰：此以通勾底▯立法，测望甲东行，通勾也；乙自南门外斜行，就甲为底▯，乃日之地也。术曰：二行相减，余一百○五，为通勾底▯差。以乘通勾，得三万三千六百；又以半通勾乘之，得五百三十七万六千，为立方实。半通勾乘通勾，得五万一千二百，与差乘通勾之数相减，余一万七千六百，为从方。倍东行，得六百四十步，为益廉。作带从减益廉开立方法除之。带从减益廉开立方法见三卷【明勾边股下】圆城南门外有槐树一株，东门外有栁树一株，两树斜相距二百八十九步。甲从城外西北隅向东行三百二十步，望槐栁与城相叅直，问城径。释曰：此以通勾皇极▯立法测望。甲东行通勾也。两树斜相距皇极▯也。原法先求出皇极勾，即栁至城心步。后以勾▯求股，以皇极勾股求容圆，即是术。曰：通勾与皇极▯相乘，得九万二千四百八十。自之得八十五亿五千二百五十五万○四百，为三乘方实。皇极▯自乗得八万三千五百二十一，为皇极▯筭。以通勾乘之，得二千六百七十二万六千七百二十。倍之得五千三百四十五万三千四百四十，为从方。

倍通勾皇极▯相乘之数，得一十八万四千九百六十，为第一从廉。倍皇极▯得五百七十八，为第二益廉。以二为隅筭，作带从廉负隅以廉隅添积开三乘方法，除之得一百三十六，为皇极勾。求城径，以皇极勾▯求皇极股二百五十五。勾股相乘倍为实，以▯除之，即得容圆全径【勾▯求股见一卷】带从廉负隅以廉隅添积开三乘方，曰：置所得三乘方积为实。列从方从一廉从二益廉，约商首一位得一百，置一于左上为法。置一自之以乘益廉，得五百七十八万。置一自乘再乘以隅筭因之得二百万，为隅法。益廉共七百七十八万，与上法相乘得七亿七千八百万，为益实，添入积内，共九十三亿三千○五十五万○四百，为通实。置一乘从一廉得一千八百四十九万六千，为益从，并入从方共七千一百九十四万九千四百四十，为下法，与上法相乘除实，七十一亿九千四百九十四万四千，余实二十一亿三千五百六十○万六千四百，为次商之实。四因隅法得八百万，为方法。初商自之六因又以隅筭因之得一十二万，为上廉。初商四之隅因得八百，为下廉。次商三十，置一于左次为上法。倍初商加次商得二百三十，并初次商为一百三十，相乘得二万九千九百，又加初商自之一万，共三万九千九百以乘从二益廉得二千三百○六万二千二百为益廉之实，置一乘上廉得三百六十万，置一自之得九百以乘下廉得七十二万，置一自乘再乘得二万七千，隅因得五万四千为隅法，并方廉隅共一千二百三十七万四千为益隅之实，与益廉之实相并得三千五百四十三万六千二百为益积之法，与上次法相乘得一十○亿六千三百○八万六千为益积之实，添入余实共三十一亿九千八百六十九万二千四百为通实，倍初商加次商得二百三十，以乘从一廉得四千二百五十四万○八百为益从，并入从方共九千五百九十九万四千二百四十为下法，与上次法相乘除实二十八亿七千九百八十二万七千二百，尚余三亿一千八百八十六万五千二百为三商之实，二因上廉得七百二十万，三因下廉得二百一十六万，四因隅法得二十一万六千，并入方法共一千七百五十七万六千为方法，并初次商自之，又六因得一十○万一千四百，以隅筭因之得二十○万二千八百为上廉，并初次商四之得五百二十，以隅因得一千○四十为下廉，三商得六，置一于左上为法，倍初次商加三商得二百六十六，并初次商加三商得一百三十六，相乘得三万六千一百七十六，又以初次商并自之得一万六千九百加之，共五万三千○七十六，以乘从二益廉得三千○六十七万七千九百二十八为益廉之实，置一乘上廉得一百二十一万六千八百，置一自之以乘下廉得三万七千四百四十，相并得一百二十五万四千二百四十为廉法，置一自乘再乘得二百一十六，以隅因之得四百三十二为隅法，并方法廉法隅法共一千八百八十三万○六百七十二为益隅之实，并益廉之实共四千九百五十○万八千六百，为益积之法。

与上法相乘，得二亿九千七百○五万一千六百，为益积。添入余实，共六亿一千五百九十一万六千八百，为通实。倍初次商，加三商，得二百六十六。以乘从一廉四千九百一十九万九千三百六十，为益从。并从方共一亿○二百六十五万二千八百，为下法。与上法六相乘，除实尽，得一百三十六，为皇极勾。此法以二廉与隅添积，以第一廉益从为法。又为带从负隅以廉隅减从开三乘方法。其法曰：以八十五亿五千二百五十五万○四百为正实，以五千三百四十五万三千四百四十为从方，以一十八万四千九百六十为从一廉，以五百七十八为从二减廉，二为隅算，约初，商得一百，置一于左上为法，置一自之，得一万，以乘从二廉，得五百七十八万，为减廉。置一自乘再乘，又以隅因，得二百万，为隅法。并减廉、隅法，得七百七十八万，为减从。置一乘从一廉，得一千八百四十九万六千，为益从。以益从加入原从，得七千一百九十四万九千四百，四十以减从减之，余六千四百一十六万九千四百。四十为下法，与上法相乘除实六十四亿一千六百九十四万四千，余实二十一亿三千五百六十○万六千四百为次商之实，四因隅法得八百万为方法，初商自之六因又以隅因之得一十二万为上廉，初商四之隅因得八百为下廉，约次商得三十，置一于左上为法，倍初商加次商得二百三十，并初次商得一百三十相因得二万九千九百，又加初商自乘一万，共三万九千九百，以乘从二廉得二千三百○六万二千二百为减廉，置一乘上廉得三百六十万，置一自之以乘下廉得七十二万，置一自乘再乘隅因得五万四千为隅法，并方廉隅共一千二百三十七万四千为减隅，并减廉减隅共三千五百四十三万六千二百为减从，倍初加次商得二百三十，以乘从一廉得四千二百五十四万○八百为益从，以加原从得九千五百九十九万四千二百四十，以减从减之余六千○五十五万八千○四十为下法，与上法相乘除实一十八亿一千六百七十四万一千二百，余实三亿一千八百八十六万五千二百为三商之实，二因上廉得七百二十万，三因下廉得二百一十六万，四因隅法得二十一万六千，并入方法共一千七百五十七万六千为方法，初次商并自之，六因又以隅筭因之，得二十○万二千八百为上廉，初次商并四之隅因，得一千○四十为下廉，约三商得六，置一于左次为上法，倍初次商加三商得二百六十六，并初次三商共一百三十六，相因得三万六千一百七十六。又加初次商相并自之，一万六千九百，共五万三千○七十六，以乘从二廉，得三千○六十七万七千九百二十八，为减廉。置一乘上廉，得一百二十一万六千八百。

置一自之，以乘下廉，得三万七千四百四十。置一自乘再乘以隅因，得四百三十二，为隅法。并方廉隅，共一千八百八十三万○六百七十。二为减隅，减廉减隅相和得四千九百五十○万八千六百，为减从。倍初次加三，商得二百六十六，以乘从一廉，得四千九百一十九万九千三百六十，为益从。以加原从，得一亿○二百六十五万二千八百。以减从，减之余五千三百一十四万四千二百，为下法。与上法相乘除实尽。此法以第一廉为益从，第二廉与隅为减从，以从为法。

后凡如此类者俱仿此圆城南门外往东有树，甲从城外西北隅东行三百二十步，望树与城叅直，复斜行二百七十二步至树下，问城径。释曰：此以通勾、黄长▯立法测望。南门外往东七十二步有树明勾也。甲东行，通勾也。斜行至树下地之月，黄长▯也。术曰：二行相减，余四十八，为差。倍差，倍东行，相乘得六万一千四百四十，为实。倍差，倍东行步，相并得七百三十六，为益从。二为隅法。作负隅减从翻法，开平方法，除之，得全径。负隅减从，翻法开平方法，见三卷通勾□股条下。前以半径，此以全径推广，即是。丙出南门，东行；乙出东门，南行。各不知步数而立。甲从城外西北干隅东行三百二十步，望乙、丙俱与城相叅直。既而乙欲就丙，乃斜行一百○二步，相防，问城径。释曰：此以通勾太虚▯立法，测望丙出南门东行七十二，为明勾；乙出东门南行三十步，为□股；甲东行，通勾也；乙斜行，太虚▯也。以此勾▯立法。术曰：甲东行，自之，得一十○万二千四百，为东行筭。倍斜行乘之，得二千○八十八万九千六百，为立。方实，倍斜行，乘东行得数，又加倍东行筭得二十七万○○八十，为从方。四之东行得一千二百八十，为益廉。四为隅法。作带从负隅，以廉添积，开立方法除之，得半径。带从负隅以廉添积开立方曰置所得立方实于左以从方益廉隅筭约之初商一百置一于左上为法置一乘益廉得一十二万八千与上法相乘得一千二百八十万为益实添入积内得三千三百六十八万九千六百为通实置一自之又以隅筭因之得四万为隅法并从方共三十一万○○八十为下法与上法相乘除实三千一百○○万八千余实二百六十八万一千六百为次实二因乘过益廉得二十五万六千为益廉三因隅法得一十二万为方法三因初商得三百为廉法次商二十置一于左上为法置一乘原益廉得二万五千六百并入乘过益廉得二十八万一千六百与上法相乘得五百六十三万二千为益实添入次实共八百三十一万三千六百为通实置一乘廉法得六千隅因得二万四千置一自之隅因得一千六百为隅法并方廉隅共一十四万五千六百带从方共四十一万五千六百八十为下法与上法相乘除实尽后凡言带，从负隅以廉，添积开立方法，俱仿此。又为带从廉半翻法，减从负隅开立方法。法曰：初商一百。置一于左上为法。置一乘从廉得一十二万八千，以减从方，余一十四万二千○八十。置一自之，隅因得四万，为隅法，并减余从方，共一十八万二千○八十，为下法，与上法相乘，除实一千八百二十○万八千，余实二百六十八万一千六百，为次商之实。二因从廉得二十五万六千。三因隅法得一十二万，为方法。三因初商得三百，为廉法。约次商得二十。置一于左次为上法。置一乘从廉得二万五千六百，并入前二因从廉得二十八万一千六百。以减从方，不及，反减从方二十七万○○八十余，一万一千五百二十，为负从。置一乘廉法，以隅因得二万四千。置一自之，隅因得一千六百，为隅法，并方廉隅共一十四万五千六百，反减负从，余一十三万四千○八十，为下法，与上法相乘，除实尽。后凡如此类者，俱仿此。又术曰：斜行乘东行，筭半之，得五百二十二万二千四百，为实；斜行乘东行，如东行筭半之，得六万七千五百二十，为从方；东行三百二十，为从廉，如前法求之，得半径。

不用隅算　添积减从随意又曰：四之斜行以乘东行筭，得四千一百七十七万九千二百，为正实。倍斜行乘东行，加二之东行筭，得二十七万○○八十，为从方。倍东行，得六百四十，为从廉。如前法开之，得全径二百四十。添积减从俱同乙出城东门，上南，不知步数而立。甲从城外西北干隅东行三百二十步，望乙与城相叅直，复斜行一百七十步，与乙相防，问城径。释曰：此以通勾小差▯立法测望。甲东行，通勾也；斜行，小差▯也。术曰：二行相减，余一百五十，为差；自之，得二万二千五百；以乘东行，得七百二十万，为实。倍差，以乘东行，得九万六千，为从方。倍差，得三百，为隅算。作负隅，减从，开平方法除之，得半径。负隅减从，开平方法，见二卷【通勾□勾条】又术，倍东行筭得二十三万四千八百，倍二行相乘数得一十○万八千八百，相减余九万六千为实，倍东行得六百四十为从，作减从开平方法除之，得全径二百四十。减从开平方法曰：列实于左，从于右。约初商得二百，置一于左上为法。置一为隅法，以减从方，余四百四十为下法，与上法相乘，除实八万八千，余八千为次商之实。余从内再减二百，余二百四十为从。次商四十，置一于左上为法。置一为隅法，以减从方，余二百为下法，与上法相乘，除实尽。法见二卷底勾□勾条下，因从有重位，故重出。圆城南门外直南不知步数，有槐树一株。南门外东行不知步数，有栁树一株。槐栁斜相距一百五十三步。甲从城外西北隅东行三百二十步，望槐栁与城相叅直，问城径。释曰：此以通勾明▯立法，测望二树斜相距，明▯也。甲东行，通勾也。术曰：通勾自之，得一十○万二千四百，为通勾筭。二行相乘，得四万八千九百六十。又以二数相乘，得五十○亿一千三百五十○万四千，为三乘方实。明▯乘通勾筭三之，得四千七百○○万一千六百，为从方。倍二行相乘数，以减通勾筭，余四千四百八十，为第一廉。倍通勾，得六百四十，为第二益廉。二步为隅法。作带从负隅，以二廉减从方，开三乘方法除之，得半径。带上廉负隅以下廉减从开三乘方法曰置所得三乘方实以防隅从方约之初商一百置一于左上为法置一自之以乘从二廉得六百四十万为减廉以减从方余四千○六十○万一千六百为从方置一乘第一廉得四十四万八千为益廉置一自乘再乘得一百万又以隅因之得二百万为隅法并从方益廉隅法共四千三百○四万九千六百为下法与上法相乘除实四十三亿○四百九十六万余实七亿○八百五十四万四千为次商之实四因隅法得八百万为方法初商自之六因又以隅法因之得一十二万为上廉初商四之隅因得八百为下廉约次商得二十置一于左上为法倍初商加次商得二百二十以乘从二廉得一十四万○八百并初次商得一百二十因之得一千六百八十九万六千为减廉以减余从余二千三百七十○万五千六百为从方倍初商加次商得二百二十以乘第一廉得九十八万五千六百为益廉置一乘上廉得二百四十万置一自之以乘下廉得三十二万置一自乘再乘又以隅因之得一万六千为隅法并方法从方廉益上下廉隅法共三千五百四十二万七千二百为下法与上法相乘除实尽丙出东门，南行；乙出东门，直行。

各不知步数而立。甲从城外西北干隅东行三百二十步，回望乙、丙与城相叅直。既而乙欲就丙，乃斜行三十四步相防。问城径，释曰：「此以通勾□▯立法测望。甲东行，通勾也；乙斜行三十四步就丙，□▯也。」术曰：通勾自之，得一十○万二千四百，为通勾筭。又以通勾増乘，得三千二百七十六万八千。倍□▯乘通勾筭，得六百九十六万三千二百。二数相减，余二千五百八十○万四千八百，为立方实。□▯乘通勾，得一万○八百八十，以减二之通勾筭，得一十九万三千九百二十，为从方。通勾加五，得四百八十，为益廉。五分为隅法。作带从负隅，以廉添积，开立方法除之，得全径。带从负隅以廉添积开立方曰置所得立方实及从方益廉，约初商得二百。置一于左上为法，置一乘益廉得九万六千，与上法相乘得一千。九百二十万为益实，添入积内，得四千五百○○万四千八百为实。置一自之，得四万。以隅算五分因之，得二万为隅法。并从方共二十一万三千九百二十为下法，与上法相乘除实四千二百七十八万四千余，实二百二十二万○八百，倍益廉得一十九万二千○三，因隅法得六万为方法。三因初商得六百，以隅因得三百为廉法，约商次位得四十。置一于左上为法。置一乘原益廉得一万九千二百，并入倍廉得二十一万一千二百，与上法四十相乘得八百四十四万八千，为益实加入余实得一千○六十六万八千八百，为实置一乘廉法得一万二千，置一自之隅因得八百，为隅法。并方法从方廉隅共二十六万六千七百二十，为下法。与上法相乘除实尽此法已见前，通勾太虚▯条下，因隅▯不同，故又重出。又为带从，以廉减从，负隅开立方法。其法曰：初商二百，置一于左上为法，置一乘从廉得九万六千，以减从方，余九万七千九百二十为从，置一自之，隅因得二万为隅法，并从方共一十一万七千九百二十为下法，与上法相乘除实二千三百五十八万四千，余实二百二十二万○八百，从方内再减从廉九万六千，余一千九百二十为从方，三因隅法得六万为方法，三因初商隅因得三百为廉法，次商四十，置一于左上为法，置一乘从廉得一万九千二百，以减余从，不及减，于从廉内反减余从一千九百二十余，一万七千二百八十为负从，置一乘廉法得一万二千，置一自之，隅因得八百为隅法，并方廉隅共七万二千八百，反减负从，余五万五千五百二十为下法，与上法相乘除实尽。又术斜步乘东行筭得三百四十八万一千六百，为立方实。斜步乘东行，以减半东行筭，得四万○三百二十，为从方。半步为隅法。作负隅带从开立方法除之，得勾圆差八十步，以减通勾，即半径。

负隅带从开立方法见三卷【通勾明股条】东门外不知步数有树。甲从城外西北干隅东行三百二十步见之。复斜行一百三十六步至树下。问城径。释曰：此以通勾下平▯立法测望。甲东行通勾也。斜行至树下乃川之地下平▯也。术曰：二行相减，余一百八十四，为差。倍差，减东行，以其余乘东行，得一万五千三百六十，为实。倍差，得三百六十八，为从方。二为隅法，作减从、负隅翻法，开平方法除之，得半径。减从负隅翻法开平方，见三卷【通勾□股条下】

底勾与别▯测望二乙从城外西北干隅南行，不知步数，而立。甲出北门，东行二百步，见之，复斜行六百八十步，与乙防。释曰：此以底勾通▯测望。甲出北门东行二百步，底勾也。斜行六百八十步，通▯也。术曰：二行相减，余四百八十，曰差；相并得八百八十，曰和。差和相乘，得四十二万二千四百，减去差筭，余一十九万二千，为实；差和相并，得一千三百六十，为从；二为隅▯。作带从负隅开平方除之，得半径。带从负隅开平方法曰：置实于左，从于右，约初商得一百；置一于左上为法。置一乘隅算得二百为隅法，并从方共一千五百六十为下法，与上法相乘除实一十五万六千，余实三万六千。倍隅法得四百为廉法，约次商二十；置一于左上为法，置一乘隅算得四十为隅法。并从方廉隅共一千八百为下法，与上法相乘除实尽。后凡言带从负隅开平方法者，俱仿此。又术，以差筭二十三万○四百为实，以东行步减差，余二百八十为从方，作带从开平方法除之，得三百六十为通勾▯较，以较减▯，即通勾，以通勾▯求容圆法求之，得城径。此法以半勾全▯求股，以求▯和较。

勾▯求容圆见一卷南门外不知步数有塔一座，东门外往南不知步数有树。甲出北门，东行二百步，望树与塔俱与城相叅直。及量，树斜距塔二百五十五步。释曰：此以底勾下高▯立法，测望出北门东行二百底勾也。塔距树即日之山下高▯也。术曰：底勾筭与下高▯相乘，得一千○二十万，为立方实；以底勾筭四万为从方，高▯为从廉，作带从方廉开立方法除之，得半径。带从方廉开立方，曰：置实于左，以从方、从廉约之初商一百；置一于左上为法；置一乘从廉。得二万五千五百，置一自之，得一万为隅法，并从方从廉隅共七万五千五百为下法，与上法相乘除，实七百五十五万，余实二百六十五万，二因从廉得五万一千，三因隅法得三万。相并得八万一千，为方法。三因初商得三百，带从廉得五百五十五，为廉法。次商二十，置一于左上为法。置一乘廉法得一万一千一百，置一自之得四百，为隅法。并方法、从方、廉、隅共一十三万二千五百，为下法，与上法相乘除实尽。后凡言带从方廉开立方法者，俱仿此。南门外不知步数有树，乙从南门东行，亦不知步数而立。甲出北门东行二百步，望树与乙与城相叅。乙复斜行一百五十三步至树下，与甲相望，问城径。释曰：此以底勾、明▯立法测望。甲出北门东行，底勾也；乙斜行至树下，明▯也。术曰：半底勾乘明▯，得一万五千三百，为实；二行相并，半之，得一百七十六步半，为从方，半为隅算。作带从负隅开平方法除之，得七十二，为明勾。带从负隅，开平方法，见前底勾通股条。求城径，以明勾乘底勾，平方开之，得半径。又曰：勾▯求股，以明勾股求容圆法，求之得全径。东门外往南有树，乙出东门直行，不知步数而立。甲出北门东行二百步，望乙与树俱与城相叅直，乙遂斜行三十四步至树下。释曰：此以底勾□▯立法，测望甲出北门东行底勾也；乙斜行至树下，□▯也。术曰：底勾减二□▯，余一百三十二，以底勾乘之，得二万六千四百；又以□▯筭一千一百五十六乘之，得三千○五十一万八千四百，为三乘方实。倍底勾以□▯筭乘之，得四十六万二千四百，为从方。底勾减□▯，余自之，得二万七千五百五十六。为从一廉底勾减□▯，余倍之得三百三十二，为从二廉。作带从方上廉以下廉减从，开三乘方法除之，得□股三十。求城径，以□勾股求容圆法求之。带从方廉以下廉减从，开三乘方，曰约初商得三十。置一于左上为法。置一自之，得九百，以乘从二廉，得二十九万八千八百，为减廉，以减从方，余一十六万三千六百，为从方。置一乘第一廉，得八十二万六千六百八十，为益廉。置一自乘再乘，得二万七千，为隅法。并从方、益廉、隅法，共一百○一万七千二百八十，为下法，与上法相乘除实尽，得三十为□股。

后凡如此类者俱仿此乙出南门，东行，不知步数而立。甲出北门，东行二百步，见之，乃斜行二百七十二步，与乙相防。释曰：此以底勾黄长▯立法，测望东行底勾也；斜行黄长▯也。术曰：二行相减，余七十二，为差。以乘甲东行，得半径筭，四之，即全径筭。各以平方开之。乙出东门，南行，不知步数而立。甲出北门，东行二百步，见之，斜行一百七十步，与乙防。释曰：此以底勾小差▯立法测望。乙出东门行三十步，乃东之山。甲出北门东行底勾也。斜行与乙防，乃山之地小差▯也。术曰：以二行差三十乘甲东行，得六千，为平实；以斜行一百七十为从方。作减从翻法，开平方法除之，得半径。减从翻法，开平方法，见二卷及三卷底勾□股条。乙出东门，东行不知步数而立。甲出北门，东行二百步，望乙与城相叅直，乃斜行一百三十六步，与乙防。释曰：此以底勾下平▯立法测望，甲东行底勾也，斜行与乙防下平▯也。术曰：倍二行差，以减东行步，余七十二，以乘东行，得半径筭；倍平▯减底勾，以底勾乘之，亦同。

大差勾与别▯测望三乙从城外东北艮隅东行，不知步数，而立。甲从城外西南坤隅东行一百九十二步，望乙与城角相叅直，复斜行二百七十二步，与乙防。释曰：此以大差勾，黄长▯立法测望。甲从坤隅东行，为坤之月，大差勾也。斜行与乙防，乃月之地，黄长▯也。术曰：倍大差勾减黄长▯，余一百一十二，为倍勾减▯差，自之得一万二千五百四十四；黄长▯自之得七万三千九百八十四；相减余六万一千四百四十，为平实；以倍勾减▯差四之，得四百四十八，为从；八为益隅，作负隅减法，开平方法除之，得半径。负隅以从减法开平方，曰：置实于左，以从约之初商一百。置一于左上为法。置一乘隅法得八百，以减去从方四百四十八，余三百五十二为下法，与上法相乘除实三万五千二百。余实二万六千二百四十。倍隅法得一千六百为廉法，次商二十。置一于左上为法。置一乘隅法得一百六十，并入廉法共一千七百六十，减去从方四百四十八，余一千三百一十二为下法，与上法相乘除实尽。后凡言负隅以从减法开平方法者，仿此。又为以从添积负隅开平方法，详见八卷《皇极▯和》和与太虚勾股较条下。

明勾与别▯测望四乙出东门，不知步数而立。甲出南门，东行七十二步，见之。又斜行一百三十六步，就乙。释曰：此以明勾平▯测望。甲出南门东行七十二步，明勾也。斜行就乙，乃月之川下平▯也。术曰：斜行自之，得一万八千四百九十六，为平▯筭。二行相减，余六十四，自之得四千○九十六，为差筭。即平勾筭，以减▯筭，余为平股筭。开之得股，平股即圆半径也。乙出东门，南行，不知步数而立。甲出南门，往东七十二步，见，乃斜行一百○二步，与乙防问城径。释曰：此以明勾太虚▯立法测望。甲出南门东行，明勾也；斜行就乙，太虚▯也。术曰：二行相减，余三十为差。斜行自之为斜筭。倍差乘东行，又倍之为八千六百四十，以减斜筭，余一千七百六十四，平方开之，得四十二为较。倍差乘东行，得四千三百二十为实。较为从方，平方开之，得四十八为虚勾。加较为股，并▯为▯和，和即城径。

测圆海镜分类释术卷四

钦定四库全书