测圆海镜分类释术卷八

测圆海镜分类释术卷八

元　李　冶　撰明　顾应▯　释术诸和立法测望一甲、丙二人俱在城外西北干隅，甲东行，丙南行。乙出南门东行，丁出东门南行。各不知步数，而立四人遥相望，与城相叅直。既而相会，各言步数。甲云：“我与乙共行了三百九十二步。”丙云：“我与丁共行了六百三十步。”问城径。释曰：此通勾、明勾和与通股、□股和立法测望。甲从干东行为通勾，乙从南门外东行为明勾，共行三百九十二步，通勾、明勾和也。丙从干隅南行为通股，丁出东门南行为□股，共行六百三十步，通股、□股和也。术曰：甲乙共步自之，得一十五万三千六百六十四，为通勾明勾和筭；丙丁共步自之，得三十九万六千九百，为通股□股和筭。二筭相乘，得六百○九亿八千九百二十四万一千六百，为三乘方实。丙丁共步互乘通勾明勾和筭，得九千六百八十○万八千三百二十；甲乙共步互乘通股□股和筭，得一亿五千五百五十八万四千八百。二数相并，得二亿五千二百三十九万三千一百二十，为从方。又以二筭相并，得五十五万○五百六十四步，以七分半因之，得四十一万二千九百二十三。二共步相乘，得二十四万六千九百六十。二数相减，余一十六万五千九百六十三，为从一亷。二共步相并，得一千○二十二，以七分半因之，得七百六十六步半，为第二亷。以七分半因七分半，得五分六厘二毫五丝，以减全步，余四分三厘七毫五丝，为隅筭。作带从方亷隅，以二亷减从开三乘方法除之，得全径。带从方亷隅筭，以二亷减从开三乘方，曰：置所得三乘方实，以亷隅约之。初商二百，置一于左上为法。置一自之，得四万，以乘从二亷，得三千○六十六万，以减从方，余二亿二千一百七十三万三千一百二十，为从。置一乘从一亷，得三千三百一十九万二千六百。置一自乘再乘，得八百万，以隅筭因之，得三百五十万，为隅法。并从方从亷隅法，共二亿五千八百四十二万五千七百二十，为下法，与上法相乘除实，五百一十六亿八千五百一十四万四千，余实九十三亿○四百○九万七千六百，为次商之实。四因隅法，得一千四百万，为方法。初商自之，六因，又以隅筭因之，得一十○万五千，为上亷。初商四之，又以隅筭因之，得三百五十，为下亷。约次商得四十，置一于左上为法。倍初商加次商，得四百四。十以乘从二亷得三十三万七千二百六十，又并初次商得二百四十，因之得八千○九十四万二千四百，为减亷以减余，从余一亿四千○七十九万○七百二十为从；倍初商加次商得四百四十，以乘从一亷得七千三百○二万三千七百二十，为益亷；置一乘上亷得四百二十万；置一自之以乘下亷得五十六万；置一自乘再乘得六万四千，又以隅筭因之得二万八千，为隅法。

并方法从方益亷上下亷隅法，共二亿三千二百六十○万二千四百四十，为下法，与上法相乘除实尽。又为带从方亷隅以二亷添积开三乘方法。甲乙俱出东门，甲东行，乙南行。丙丁俱出南门，丙南行，丁东行。各不知步数，而立。四人遥相望，俱与城相叅直。既而乙复斜行，与甲会。丙复斜行，与丁会。问其行步，乙云：「我一直一斜，共六十四步。」丙云：「我一直一斜，共二百八十八步。」问城径。释曰：此明股▯和与□股▯和立法测望。甲出东门东行为□勾；乙南行为□股，斜行会甲为□▯，共行六十四步，股▯和也。丁出南门东行为明勾；丙南行为股，斜行会丁为▯，共行三百八十八歩，股▯和也。术曰：二和相乘，得一万八千四百三十二，为二和相乘筭。□和自之，得四千○九十六，为□和筭。倍之以减二和相乘筭，余一万○二百四十，为实一十四乘□和，得八百九十六。以二十为隅筭，作带从负隅开平方法除之，得一十六，为□勾。勾自乘和除之，得股▯较四。加和半之为▯，减和半之为股。十四即□勾股较二十即□▯较较带从负隅，开平方法，见二卷底，勾通▯条。甲乙二人俱出东门，甲东行，乙南行。丙丁二人俱出南门，丙南行，丁东行。各不知步数，而立。四人遥相望，俱与城相叅直。既而，甲复斜行与乙会，丁复斜行与丙会。询其行步，甲云：“我直斜共五十步。”丁云：“我直斜共二百二十五步。”问城径。释曰：此明勾▯和与□勾▯和立法测望。甲出东门直行为□勾，斜行就乙为□▯，共歩和也。丁出南门东行为明勾，斜行就丙为明▯，共步和也。术曰：以丁共步自之，得五万○六百二十五，为明和筭。又自之，得二十五亿六千二百八十九万○六百二十五，于上。二共步相乘，得一万一千二百五十，半之，得二亿八千四百七十六万五千六百二十五，以减上位，余二十二亿七千八百一十二万五千，为平实。二共步相减，余一百七十五，为二和差，以乘明和筭，倍之，得一千七百七十一万八千七百五十，于上。倍甲共步，得一百，以乘明和筭，又半之，得二百五十三万一千二百五十，并上共二千○二十五万，为从。以二行相减差自之，得三万○六百二十五，于上。又以二共步相乘数半，得五千六百二十五，减上位，余二万五千，为隅法。作负隅减从，开平方法除之，得明股。负隅减从开平方法曰：初商一百，置一于左上为法。置一乘隅法得二百五十万，以减从方，余一千七百七十五万为下法。与上法相乘除实，一十七亿七千五百万余实，五亿○三百一十二万五千为实。余从内再减二百五十万，余一千五百二十五万为从。

次商三十，置一于左上为法。置一乘隅法得七十五万，以减从方，余一千四百五十万。与上法相乘除实，四亿三千五百万余实，六千八百一十二万五千为实。余从内再减七十五万，余一千三百七十五万为从。次商五，置一于左上为法。置一乘隅法得一十二万五千，以减余从，余一千三百六十二万五千为下法。与上法相乘除实尽。负隅减，从开平方法已见二卷。通勾□勾下，因有三位，故重出。明股与勾▯和，求勾▯股自乘和除之，得勾▯较，减和半之为勾，加和半之为▯。甲乙俱出东门，甲东行，乙南行。丙丁俱出南门，丙南行，丁东行。各不知步数，而立。四人遥相望，俱与城相叅直。问其行步，则甲乙共四十六步，丙丁共二百○七步。问城径。释曰：此明勾股和与□勾股和立法测望。甲东行□勾，乙南行□股。丁出南门东行明勾，丙南行明股。甲乙共步□勾股和也，丙丁共步明勾股和也。术曰：二共步相并，得二百五十三，自之，得六万四千○○九；二共步相乘，四之，得三万八千○八十八；二数相减，余二万五千九百二十一，为实；二共步相并，以六步半因之，得一千六百四十四步半。二共步相并，以四步半因之，又四之，得四千五百五十四步。二数相并，得六千一百九十八步半，为从方。以七十○步四分三厘七毫五丝为隅法，作负隅带从开平方法除之，得四步为□股▯较。负隅带从开平方法曰：置实，从方隅约之，商得四，置一于左上为法。置一乘隅，得二百八十一步七分五厘，带从方共六千四百八十○步二分五厘，与上法相乘，除实尽。又曰：副置二和，以约分法约之，得二十三，为平率，以除明和，得九；除□和，得二。二和相减，余一百六十一，以平率除之，得七，为较率。九因得明较六十三，二因得□较一十四。以较加和，半之为股；减和，半之为勾。甲乙俱出东门，甲东行，乙南行。丙丁俱出南门，丙南行，丁东行。各不知步数，而立。四人遥相望，俱与城相叅直。问其行步，甲与丁共八十八步，乙与丙共一百六十五步。问城径。释曰：此明勾□勾和与明股□股和立法测望。甲出东门东行为□勾；丁出南门东行为明勾，共行八十八步，二勾和也。乙出东门南行为□股；丙出南门南行为明股，共行一百六十五步，二股和也。术曰：二和相减，约得一十一，相平为垒率。以除勾和，得八为勾率；除股和，得一十五为股率。勾股相并，得二十三为和率；相减，得七为较率。勾股求▯，得一十七为▯率。以勾减▯，得九为大差率，大差者勾▯较也；以股减▯，得二为小差率，小差者股▯较也。六为黄方率。各以垒率乘：二和共得二百五十三；二较共得七十七；二▯共得一百八十七；二黄方共得六十六；二大差共得九十九；二小差共得二十二；四差共一百二十一。

二大差共与二小差共相乘，得二千一百七十八为实；四差共为法，除之得一十八，即半虚黄方。倍之加二黄共，得一百○二，即明勾□股共也；减二▯共，得一百五十一，即明股□勾共也。二数相减，余四十九，即明较□较较也，名为旁差。旁差减二▯，共余一百三十八，为太虚和。加虚▯，即城径虚▯与明勾□股共同数。又曰：「虚黄方加二，和共得二百八十九，减旁差，即城径。」甲、丙二人俱从城中心，甲东行出城，直行；丙南行出城，直行。乙、丁二人俱在城外东南巽隅，乙西行，丁北行。各不知步数，而立四人遥相望，俱与城相叅直。问其行，则甲东、丙南共三百九十一步；乙西、丁北共一百三十八步。问城径。释曰：此皇极勾股和与太虚勾股和立法测望。甲从城心东行至川一百三十六，为皇极勾；丙从城心南行至日二百五十五步，为皇极股。共步勾股和也。乙从巽隅西行至月四十八步，即泛之山，为太虚勾；丁从巽隅北行九十步至山，即月之泛，为太虚股。共步勾股和也。术曰：二和相乘，得五万三千九百五十八，为实；相并得五百二十九，为法。实如法而一，得太虚▯一百○二。圆城西门外往南二百五十五步有塔，甲乙二人俱在塔下，甲南行，乙东行。丙丁二人俱在城外东北艮隅，丙东行，丁南行。戊巳二人俱出南门，戊南行，巳东行。庚辛二人俱出东门，庚东行，辛南行。各不知步数，而八人遥相望，俱与城相叅直。问其行步，则乙之东不及甲之南，与丙之东不及丁之南，二不及数共一百六十一步。己之东不及戊之南，庚之东不及辛之南，二不及数共七十七步。问城径。释曰：此上高勾股较下平勾股较和与明勾股较□勾股较和，立法测望。西门外往南有塔，乃西之旦与日之心同。甲乙从塔下分行，甲往东乃旦之日为上高勾；乙复往南，即天之旦为上高股。勾不及股一百○五，为高差。丙丁从城外东北艮隅分行，丙往东乃艮之地为下平勾；丁往南，即山之东为下平股。勾不及股五十六，为平差。二不及共数高差平差和也。戊己从南门分行，己往东乃南之月为明勾；戊往南，即日之南为明股。勾不及股六十三步，为明差。庚辛从东门分行，庚往东乃东之川为□勾；辛往南，即山之东为□股。勾不及股一十四步，为□差。二不及共步，明差□差和也。

诸和与较参互立法测望二南门外不知步数，有槐一株。甲从城外西北干隅，直往东行，至一栁树下，望见槐树，遂斜行至槐。自云：「我直斜共行了七百四十五步。」乙从城外西南坤隅，南行，望见槐栁与城相参，直亦斜行至槐。自云：「我斜行不及直行一百○五步。」释曰：此通勾底▯和与大差股上高▯较立法测望。南门有槐，乃日之南为明股。甲从干东行至栁，乃干之地为通勾。斜行至槐下，乃日之地为底▯。共行七百四十五步者，通勾底▯和也。乙从坤隅南行至望处乃天之坤为大差股。亦斜行至槐，乃天之日为上高▯。不及直行一百○五步者，大差股上高▯较也。术曰：甲知步内减乙较步半之为通勾，加乙较步半之为底▯。用通勾底▯测城径法求之，得半径又曰：四较步乘通勾筭得四千三百○○八千为立实倍通勾乘通勾得二十○万四千八百；四较乘通勾得一十三万四千四百；相减余七万○四百为从方。四之通勾得一千二百八十为益亷。作带从减廉开立方法除之，得全径带从减从亷，开立方，曰：列置所得立实方亷，初商二百，置一于左上为法。置一乘从亷，得二十五万六千。置一自之，得四万为隅法，并从方共一十一万○四百，以减从亷，余一十四万五千六百为下法。与上法相乘，除实二千九百一十二万，余一千三百八十八万○八千为次实。倍从亷，得五十一万二千。三因隅法，得一十二万为方法。三因初商，得六百为亷法。次商四十，置一于左上为法。置一乘从亷，得五万一千二百，并入倍亷，共五十六万三千二百为益亷。置一乘亷法，得二万四千。置一自之，得一千六百为隅法。并方法从方亷隅，共二十一万六千，以减益亷，余三十四万七千二百，与上法相乘，除实尽。

诸和与较参互立法三圆城西门外直上，南有栁树一株；东门外往东，有槐树一株，俱不知步数。甲从城外西北干隅南行，至栁树下，望见槐树，又斜行至槐树下，直斜共行了一千一百四十四步。乙从城外东北艮隅东行，望槐柳与城相叅，直复斜行至槐树下，与甲防。乙东行不及斜行五十六步，问城径。释曰：此通股边▯和与小差勾下平▯较立法测望。甲从干隅南行至柳下为通股，斜行至槐为边▯，共行一千一百四十四步，通股边▯和也。乙从艮隅东行，乃艮之地为小差勾，斜行至槐，乃地之川为下平▯，不及五十六步，小差勾与下平▯较也。术曰：如乙直行不及斜行五十六，即甲斜行不及直行差也。副置甲共步，其一加五十六而半之，得甲直行六百步，为通股；其一减五十六而半之，得甲斜行五百四十四步，为边▯。以五十六乘甲，南行，又倍南行，得一千二百，乘之，得四千○三十二万，为立方实。又以五十六乘南行，倍之，得六万七千二百。半甲南行乘二之甲南行，得三十六万，相并得四十二万七千二百，为从方。倍南行，得一千二百，为从亷。五分为隅法，作从负隅，以亷减从，翻法开立方法除之，得全径。带从负隅以亷减从翻法开立方曰置所得立方实以从方亷隅约之初商二百置一于左上为法置一乘从亷得二十四万以减从方余一十八万七千二百为从置一自之得四万隅因得二万并从方共二十○万七千二百为下法与上法相乘除实四千一百四十四万实不满法反除实四千○三十二万余一百一十二万为负积余从内再减从亷二十四万亦不及减反减余从一十八万七千二百余五万二千八百为负从三因隅法得六万为方法三因初商得六百为亷法次商四十置一于左上为法置一乘从亷得四万八千反并负从得一十○万○八百俱为负从置一乘亷法隅因得一万二千置一自之隅因得八百为隅法并方亷隅共七万二千八百反减负从余二万八千为下法四千相乘除实尽此法已见四卷，通勾□▯条，因用法不同，故重出。又为带从负隅，以亷添积，开立方亦可。甲出南门，东行；乙出东门，南行。各不知步数，而立相望，与城相参直。既而乙复斜行，与甲防。计乙行步，一直一斜，共一百三十二步。直行不及斜行七十二步。问城径？释曰：此□股虚▯和与□股虚▯较立法测望。甲出南门，东行为明勾七十二；乙出东门，南行为□股三十。斜行与甲防为太虚▯一百二。直行不及斜行七十二，为□股虚▯较，适与明勾同数。直斜相并，则□股虚▯和也。即两个乙南行，一个甲东行，去共二数相并，即两个虚▯相减，即两个乙南行也。术曰：倍不及，得一百四十四；以不及减共步，余六十，乘之，得八千六百四十，为实。

四之不及，得二百八十八，为法，除之，得乙直行三十，为□股；以减共步，余为虚▯。求城径，倍虚▯筭减和筭，余为实，平方开之，即太虚较。四十二加和，半之为股，减和半之为勾，以虚勾股求容圆，即得。又为带从负隅以亷添积开立方法。甲出南门，东行，不知步数而立。乙出东门，南行，相望与城相叅直。乙复斜行，与甲防。二人共行了二百○四步，甲东行不及共步一百三十二步。释曰：此明勾□股、太虚▯和，又与明勾相较，立法测望。甲出南门东行七十二步，为明勾；乙出东门南行三十步，为□股，斜行一百○二步，与甲会为太虚▯。共步，明勾□股太虚▯和也。甲行不及共步，和与明勾相较之数也。术曰：以不及减共步，余七十二，为明勾，即甲东行步；半共步，减明勾，余三十，为□股，即乙南行步。半共步得一百○二，为太虚▯，即乙斜行步。乙南行减甲东行，余四十二，即太虚较。较自之与▯自之相减，余为实。平方开之，即勾股和。加较半之为股，减较半之为勾，以虚勾股求容圆，得城径。圆城南门之东有槐一株，东门之南有柳一株。甲出南门，直行往南；乙出东门，直行往东。各不知步数，而立相望。槐柳俱与城相叅直。甲复向东北斜行至槐树下，乙复向西南斜行至柳树下。问其行步，则甲直斜共行二百八十八步，乙直斜共行五十步。甲直行，乙直行，相并多于槐柳相距四十九步。问城径。释曰：此明股▯和□勾▯和，又明股□勾和与太虚▯较。立法测望：槐在南门之东七十二步，为明勾。甲出南门直行，为明股。斜行至槐柳下，为明▯。共行二百八十八步，明股▯和也。柳在东门之南三十步，为□股。乙出东门直行，为□勾。斜行至柳树下，为□▯。共行五十步，为□勾▯和也。槐柳斜相距一百○二步，为太虚▯。甲直行与乙直行相并，得一百五十一步，为明股□勾和，多于虚▯四十九步，是明股□勾和与太虚▯较也。术曰：二和相并，减二之多于太虚，▯步即城径。又曰：二和相乘，即半径筭。圆城中心往南有大石塔一座，城外东北艮隅往东有小石塔一座，东门外正东有柳树一株，东门外往南有大槐树一株，其大槐树正与城中大石塔相对，不差尺寸，南门往东有榆树一株。甲从石塔下起程，出南门直行往南，不知步数而立；乙从东门起程，直行至柳树下，折而北至小石塔下，又往东不知步数而立。望柳、槐、榆与甲立处俱与城相叅直问其步数，则曰：甲从南门至立处，乙从东门至柳树下，相并多于榆槐斜相距四十九步；石塔穿城至甲立处，多于石塔与槐相距；栁树北往小石塔步数多，小石塔下复往东步数二，较相并一百六十一步。

问城径。释曰：此明股□勾和与太虚▯较下髙勾股较与下平勾股较和立法测望。南门外往东有榆，乃南之月为明勾甲。出南门复南行，为明股东门外往南有槐，乃山之东为□股乙。从东至柳，乃东之川为□勾。榆与槐斜相距，乃月之山为太虚▯。甲南门至立处，乙东门至栁下共步，为明股□勾和。多于槐榆相距四十九步，乃明股□勾和与太虚▯较也。城中有大石塔，至南门外甲立处，乃日之朱为下髙股。塔距槐，乃朱之山为下髙勾。甲穿城南行步，多于塔去槐步，乃下髙勾股较也。城东柳树北至小石塔，乃川之夕为平股。石塔复东行至立处，乃夕之地为下平勾。南行多于东行步，下平勾股较也。二较相并一百六十一步，髙差平差和也。术曰：二数相减，半之，又自之，得三千一百三十六，为实；以四十九为法，除之，得平勾六十四。又曰：二数相减，余自之，得一万二千五百四十四，为实。如四十九而一，得平股▯和二百五十六。勾自之和除之得平股▯较一十六，加和半之为▯，减和半之为股。城心上南有大石塔，城南门往东有榆一株，东门往南有大槐一株，与城中石塔东西相对，东门直东有栁一株，城外东北艮隅往东有小石塔，与城东栁树南北相对。甲从城中塔下起程，穿城出城直往南，不知步数而立。乙从东门起程，直行至柳树下，折而北往小石塔下，又往东，亦不知步数。望甲与柳、槐、榆俱与城相参。直甲复斜行向东北，直至柳树下，问其行步，则曰：甲从大石塔穿城南行立处，多于大石塔与槐相去步数；乙从栁树北行至小石塔，多于从石塔东行步数，二较相并共一百六十一步。甲从南起程至立处，多于南门距榆树步数；东门南至槐多于东至栁步数，二较相并共七十七步。斜行至栁下多于城径四十九步，问城径？释曰：此髙较、平较、和与明较□较和并，皇极▯与城径较立法测望。甲从城中石塔下穿城往南而立，乃日之朱下髙股也。大石塔与城外槐树相距，乃朱之山下髙勾也。多步乃下髙勾股较也。乙从城东门栁树下折而往北至小石塔下，乃川之夕下平股也。复往东，乃夕之地下平勾也。多步乃下平勾股较也。二较相并，共一百六十一步，乃平差髙差和也，又名角差。甲自南门往南立处，乃日之南明股也。南门往东至榆树，乃南之月明勾也。多步明勾股较也。东门往南至槐，乃山之东□股也。直东门至栁，乃东之川□勾也。多步□勾股较也。二较相并，七十七步，明差□差和也。甲从直南立处斜行至栁树下，乃日之川皇极▯也。多城径四十九步，为皇极▯与城径较，即皇极▯黄广勾较也。术曰：二和相并，半之，得一百十九，为平率。

副置平率，一加四十九，一减四十九，相乘得一万一千七百六十，为实。四十九为法。实如法而一，得城径。城心往南有大石塔一座，东门外往南有大槐一株，与塔相对。南门外往东有榆树一株，东门外正东有栁树一株。城外东北艮隅往东有小石塔一座。甲从城中石塔下穿城直往南，不知步数而立。乙从东门直行至栁树下，转往北至石塔，复往东，亦不知步数而立。丙从城外东南巽隅往西至榆树下立。三人遥相望，与槐树俱与城相叅直。既而丙又斜行至槐树下，复南行回还巽隅讫。问其行步则曰：甲从大石塔穿城往南立处，多于槐距塔步数。乙从东门外栁树下北至小石塔，多于复东行歩数二，较相并共一百六十一步。甲自南门起至立处，多于南门距榆步数。东门外往南至槐，多于往东至栁步数二，较相并共七十七步。丙从巽隅西至榆步数，与从栁南还步又少于斜行六十步。问城径？释曰：此髙差、平差、和明差□差和与太虚▯较较立法测望。甲从城中石塔穿城往南而立，为下高股。石塔距槐为下高勾，勾股相较为下高较，亦曰高差。乙从东门外栁树下北至小石塔为下平股，又东行至立处为下平勾，勾股相减为下平较，亦曰平差。共一百六十一步，高差平差和也。南门至甲立处为明股，南门东至榆树为明勾，勾股相减为明较，即明差。东门南至槐为□股，东至栁为□勾，勾股相减为□较，即□差。共七十七步，明差□差和也。丙从巽隅西至榆，乃巽之月与泛之山同为太虚勾，斜行至槐树下为太虚▯，复南行还巽地与月之泛同为太虚股。西行不及南行为太虚勾股较，较步不及斜行六十为太虚▯较较也。术曰：二和相减，余八十四，加太虚▯较，较半之，得七十二，为泛率；自之，得五千一百八十四，为实。角差内减二泛率，余一十七，为从，作带从开平方法除之，得六十四，为平勾。角差即高差平差并也。甲、丙二人俱在城中心，丙望南门直行出城，不知步数而立。甲望东门出城，亦不知步数，望见之。丙复斜行与甲相会，问其行步，则曰：甲、丙直斜共行了六百八十步。又曰：甲东直行少于丙南直行一百一十九步。问城径。释曰：此皇极▯和和与勾股较立法测望。甲从城中心东行为皇极勾，丙从中心南行为皇极股，斜行与甲会为皇极▯，共行六百八十步为皇极▯和和也。甲东行不及丙南一百一十九步为皇极勾较也。术曰：二数相减余五百六十一为差，差自之得三十一万四千七百二十一为差筭；较自之得一万四千一百六十一为较▯。二筭相减余三十○万○五百六十为平实四其差，二其较相并得二千四百八十二为从方。二为隅筭。作负隅开减从开平方法除之，得一百三十六为皇极勾。

负隅减从开平方，曰：置所得平实，以从方隅筭约之初商一百。置一于左上为法。置一乘隅筭，得二百，以从减方，余二千二百八十二为下法，与上法相乘除实二十三万八千二百。余实七万二千三百六十。从方内再减二百，余二千○八十二。次商三十，置一于左上为法。置一隅因得六十，以减从方，余二千○二十二为下法，与上法相乘除实六万○六百六十。余实一万一千七百为实。余从内再减六十，余一千九百六十二。次商六，置一于左上为法。置一隅因得一十二，以减余从，余一千九百五十为下法，与上法相乘除实尽。此法已见二卷，通勾□勾条，因有三位，故重出。圆城南门往东有槐，东门往南有栁。甲乙二人俱在城中心，甲出南门直行，乙出东门，各不知步数而立。丙丁二人俱在城外东南巽隅，丙西行至槐下，丁北行至栁下。四人遥相望，俱与城叅直。既而甲复斜行与乙会，丙复斜行与丁会。问其行步，则甲一直一斜与乙直行共六百八十步，丙西丁北二直行较丙斜行多三十六步。问城径？释曰：此皇极▯和，和与太虚▯和较。立法测望，乙从城中心东行为皇极勾，甲从城中心南行为皇极股，斜行与乙会为皇极▯，共步为皇极▯和，和也。丙从巽隅西至槐树下，即太虚勾；丁从巽隅北至栁树下，即太虚股。丙斜行与丁会为太虚▯，丙西丁北相并，即太虚勾股和，多于斜行为太虚▯和较也。术曰：和较相乘，得二万四千四百八十，为实；半较得一十八，为从；半步为隅筭。作以从添积，负隅开平方法除之，得全径。以从添积负隅开平方，曰：置所得平实以从约之初商二百，置一于左上为法。置一乘益从，得三千六百为益实，添入积内，共二万八千○八十为实。置一以隅因之，得一百为下法，与上法相乘，除实一万余八千○八十为实，倍下法得二百为亷法。次商四十，置一于左上为法。置一乘益从，得七百二十为益实，添入余积，得八千八百为实。置一以隅因得二十，并亷法共二百二十，与上法相乘，除实尽。

又为负隅以从减法开平方法法见四卷大差勾黄长▯条下

测圆海镜分类释术卷八

钦定四库全书