测圆海镜分类释术卷二

测圆海镜分类释术卷二

元　李　冶　撰明　顾应祥　释术两勾求容圆一【凡七条】圆城不知周径，甲从城外西北隅干地东行三百二十步，乙从城外西南隅坤地东行一百九十二步，见之。问城径。释曰：甲东行，通勾也；乙东行，大差勾也。此以城南北长短二勾，求城径【与通股小差股同法】术曰：二行相乗，倍为实，相并为法，除之。乙出南门，东行七十二步。甲从城外西北干隅，东行三百二十步，见之。问城径。释曰：甲东行，通勾也；乙东行，明勾也。此以城北大勾与城南半勾求城径【与通股□股同法】术曰：二行相乗，得二万三千○四十，为实；以乙行步七十二为从方，作带从开平方法除之，得半径。带从开平方法见一卷。乙出东门，直行一十六步而止。甲从城外干隅东行三百二十步，望乙与城相叅直，问城径。释曰：甲东行，通勾也；乙东行，□勾也。此以城北大勾与城东小余勾求城径术曰：甲行内减二之乙行，余二百八十八，以乘甲行，得九万二千一百六十，为平实；四之甲东行，减二之乙东行，余一千二百四十八，为从方；四为隅法，作负隅减从，开平方法开之，得半径。负隅减从开平方，曰：布实于左，从于右，约初商得一百。置一于左上为法，置一隅因得四百为隅法，以减从方，余八百四十八为下法，与上法相乘，除实八万四千八百，余实七千三百六十。倍隅法得八百为廉法，约次商得二十。置一于左次为上法，置一隅因得八十为隅法，并廉法共八百八十，以减原从，余三百六十为下法，与上次法相乘，除实尽。后凡言负隅减从、开平方法者，俱仿此。乙出南门，折东行七十二步而止。甲出北门，折东行二百步，见之。问城径。释曰：甲从北门东行，底勾也；乙从南门东行，明勾也。此以城北半大勾，城南半短勾，求半城径。术曰：二行相乘，得半径筭，平方开之【与边股□股同法】如乙出南门，东行二十步；甲出北门，东行七百二十步，术同。乙从城外西南坤隅东行一百九十二步而止。甲出北门东行二百步，见之，问城径。释曰：甲从北门东行，底勾也；乙从坤隅东行，大差勾也。此以城北半大勾，城南全短勾，求城径【与边股小差股同法】术曰：二行相乘，得三万八千四百，为实；以甲东行二百为从，作带从开平方法除之，得半径。

带从开平方法见一卷乙出东门，直行一十六步。甲出北门，东行二百步，望乙与城叅直，问城径。释曰：甲行底勾也，乙出东门直行□勾也。此以城北半大勾，城东小余勾，求城径术曰：二行相减，余一百八十四，为底勾□勾较。乙东行自之，得二百五十六，为□勾筭较。自之得三万三千八百五十六，减□勾筭，得三万三千六百，为实。倍甲东行，得四百，为从方。作减从开平方法除之。

得半径减从开平方法曰：布实于左，从于右，约初商一百，置一于左上为法。置一为隅法，以减从方，余三百为下法，与上法相乘，除实三万余，实三千六百；倍隅法得二百，为廉法。约次商得二十，置一于左，次为上法，置一为隅法。并廉法共二百二十，以减原从，余一百八十为下法，与上法相乘，除实尽。或于初商除实三万讫，于从内再减一百余二百为从方，次商二十，于余从内减二十余一百八十为下法，亦通。后凡言减，从开平方法者，俱仿此。乙出东门，直行一十六步。甲出南门，东行七十二步，望乙与城相叅直，问城径。释曰：甲行，明勾也；乙之直行，□勾也。此以城南半勾与城东余勾求城径术曰：二行相减，余五十六，为明勾□勾较，自之得三千一百三十六，为较筭；东门直行自之得二百五十六，为□勾筭。二筭相减，余二千八百八十，为平实；倍明勾得一百四十四，为从，作减从。翻法开平方，开之得半径。减从翻法开平方，曰布实于左，从于右，约初商得一百。置一于左上为法。置一为隅法，以减从方，余四十四为下法，与上法相乘。应除实四千四百，实不满法，就于应除数内反减实二千八百八十余，一千五百二十为负积。倍初商得二百为廉法。约次商得二十。置一于左次为上法，置一为隅法。并廉法共二百二十。从不及。减反减从一百四十四，余七十六，为下法，与上次法相乘，除实尽。或于初商反减实二千八百八十，余一千五百二十，为负积。又以初商一百反减余从四十四，余五十六，为负从，次商二十，并负从共七十六，为下法，亦通。后凡言减从翻法开平方者，俱仿此。

两股求容圆二【凡七条】乙出南门，直行一百三十五步而立。甲从城外西北干隅，南行六百步，望乙与城相叅直，问城径。释曰：甲从干隅南行，通股也；乙出南门直行，明股也。此以城西大股与城南余股求城径【与通勾□勾同】术曰：甲行内减二，乙行余三百三十，以乘甲行，得一十九万八千，为实；三甲行内减二乙行，余一千五百三十，为从方。作带从开平方法除之，得半径【法见一卷】乙出东门，南行三十步。甲从干隅南行六百步，见之。问城径。释曰：甲南行，为通股。乙出东门，南行三十步，为□股。此以西大股与东短股求城径【通勾，明勾同法】术曰：二行相乘，得一万八千，为实；以乙南三十为从，作带从开平方法除之，得半径【法见一卷】乙居城外东北艮隅，南行一百五十步。甲从城外西北南行六百步，望乙与城叅直。问城径。释曰：甲南行，通股也；乙从艮隅南行，小差股也。此以城西长股与城东短股求城径【与通勾大差勾同法】术曰：二行相乘，倍之，得一十八万，为实；相并得七百五十，为法，除之，得全径。甲出西门，南行四百八十步而止。乙出东门，南行三十步，望乙与城叅直，问城径。释曰：甲出西门，南行四百八十步，边股也。乙出东门，南行三十步，□股也。此以城西半股与城东短股求圆径。俗云半▯梯【与底勾明勾同法】术曰：二行相乘，得半径筭，平方开之。甲出西门，南行四百八十步而立。乙从城外东北艮隅，南行一百五十步，见之。问城径。释曰：甲南行，边股也；乙从艮隅南行，小差股也。此以城西南半股与城东北半股求圆径【与底勾大差勾同法】术曰：二行相乘，得七万二千，为实；以甲南行四百八十为从方，作带从开平方法除之，得半径。

带从开平方法见一卷甲出西门，南行四百八十步。乙出南门，直行一百三十五步。相望与城叅直，问城径。释曰：甲，南行边股也；乙，出南门直行明股也。此以城西大半股与城南余股求圆径【底勾□勾同法】术曰：二行相减，余自之，得一十一万九千○二十五，为差筭；乙行自之，得一万八千二百二十五，为明股筭；以减差筭，余一十○万○八百，为实。倍甲行，得九百六十，为益从，作减从，开平方法除之，得半径【法见前】乙出东门，南行三十步而立。甲出南门，直行一百三十五步，望乙与城叅直，问城径。释曰：乙出东门，南行□股也。甲直行，明股也。此以城中余股与城东小股求圆径【明勾□勾同法】术曰：二行相减，余自之，得一万一千○二十五，为差筭。甲直行自之，得一万八千二百二十五，为明股筭。减差筭，余七千二百，为正实。倍乙行，得六十，为从方。作以从减法，开平方法除之，得半径。以从减法开平方，曰：布实于左，从于右，约初商得一百。置一于左上为法，置一于右下为隅法。以从减隅，余四十为下法，与上法相乘，除实四千，余三千二百为实。倍隅法得二百为廉法，约次商得二十。置一于左次为上法，置一为隅法，并廉法共二百二十，减去从方，余一百六十为下法，与上次法相乘，除实尽。后凡言减法开平方者，俱仿此。

又为添积带从开平方法初商一百，置一于左上为法，置一于右下为隅法。对上法相乘得一万为益实，添入积内，共一万七千二百为实。置一带从得一百六十为下法，与上法相乘除实，一万六千，余一千二百为实。倍隅法得二百为廉法，约次商得二十，置一于左次为上法，置一为隅法，并廉法共二百二十，与上次法相乘，得四千四百，为益实，添入余积，共五千六百，为实，置一并廉法，从方共二百八十，为下法，与上次法相乘，除实尽。又术：明股筭，减差筭，余七千二百，为实；六之□股，得一百八十，为从方。作减从翻法，开平方法，开之，得半径。减从翻法，开平方法，见前条。

两▯求容圆三城南有槐一株，城东有栁一株。甲出北门，东行；丙出西门，南行。甲丙槐栁，悉与城相叅直。既而甲斜行四百二十五步至槐下，丙斜行五百四十四步至栁下。问城径？释曰：甲斜行向西南至槐树下，底▯也。丙斜行向东北至栁树下，边▯也。此以边▯、底▯互测圆径。术曰：二斜行相减，余自之，得一万四千一百六十一为差筭。甲斜行自之，得一十八万○六百二十五为底▯筭。二筭相减，余一十六万六千四百六十四为平实。倍边▯得一千○八十八为从方，作带从开平方法开之，得一百三十六为平▯。

带从开平方法见一卷出城南门之东，有槐甲。出北门，东行，斜望槐树，与城叅直，乃斜行二百七十二步，至槐下休止。东门之南，有栁丙。出西门，南行，斜望栁树，亦与城相叅直，乃斜行五百一十步，至栁下休止。问城径。释曰：槐在南门东七十二步，明勾也。甲出北门，东行二百步，望见槐与城相叅直，此底勾也。斜行至槐下，黄长▯也。栁在东门之南三十步，□股也。丙出西门，南行四百八十步，望栁与城叅直，边股也。斜行至栁树下，黄广▯也。此以黄长、黄广二▯立法测望术曰：半甲斜行自之，得一万八千四百九十八，为黄广▯半筭。半丙斜行自之，得六万五千○二十五，为黄长▯半筭。并二行折半自之，得一十五万二千八百八十一，以二筭减之余六万九千三百六十为实，并二行共七百八十二为从。作减从开平方法。

开之得一百○二为太虚▯减从开平方法，见二卷【底勾□勾条】东门之南有栁，南门之东有槐，俱不知步。甲出东门直行，乙出南门直行，立定，二人相望视。槐栁与城相叅直。既而甲斜行三十四步至栁下，乙斜行一百五十三步至槐下，问城径。释曰：此明▯□▯立法测望，甲斜行至栁为□▯，乙斜行至槐为明▯。术曰：二▯相乘，倍得一万○四百○四，平方开之，得太虚▯。加□▯，即皇极勾。加明▯，即皇极股。以皇极勾股求之，得城径。

皇极勾股求容圆见一卷

测圆海镜分类释术卷二

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