测圆海镜分类释术卷六

测圆海镜分类释术卷六

元　李　冶　撰明　顾应祥　释术勾与和测望一甲乙俱在城外西北干隅，甲南行不知步数而立，乙东行三百二十步见之，甲又斜行与相会，计甲直行斜行共一千二百八十步，问城径。释曰：此通勾与通股▯和测望。乙东行，通勾也；甲直斜共行，通股▯和也。术曰：勾自之，得一十○万二千四百；以和除之，得八十，为股▯较；以较减和，半之为股；以勾股求容圆术求之，得城径。又曰：「勾和各自乘相减为实，倍和除之得股；相并为实，倍和除之得▯。」

邉勾以下俱以类推即是乙出东门，南行；丙出南门，东行。各不知步数而立，只云丙行多于乙步。甲从干隅东行三百二十步，望乙丙与城相叅直。计乙丙共行一百○二步，问城径？释曰：此以通勾与明勾□股和测望。甲东行，通勾也；乙出东门，南行为□股；丙出南门，东行为明勾。共计一百○二步，明勾□股和也。术曰：倍共步乘东行筭，得二千○八十八万九千六百，为立方实。共步乘东行加东行筭，得一十三万五千○四十，为从方。东行为从亷。五分为隅算。作带从负隅，以亷减从，开立方法除之，得全径。带从负隅，以亷减从，半翻法开立方。曰：置所得实，以从方约之初商二百。置一于左上为法。置一乘从亷，得六万四千，以减从方，存七万一千○四十为从。置一自之，得四万，以隅算五分因之，得二万为隅法。并从共九万一千○四十为下法，与上法相乘除实，一千八百二十○万八千，余实二百六十八万一千六百。从方内再减六万四千，止余七千○四十为从。三因隅法得六万为方法。三因初商得六百为亷法。次商四十，置一于左次为上法。置一乘从亷，得一万二千八百，以减余从，不及减，反减余从七千○四十余五千七百六十为负从。置一乘亷法，以隅因得一万二千。置一自之，隅因得八百为隅法。并方亷隅共七万二千八百，减去负从，余六万七千○四十为下法，与上法相乘除实尽。法已见四卷，通勾太虚，▯条因以五分为隅，故重出。又为带从负隅以亷添积开立方法。

法见四卷通勾虚▯条下乙出东门，东行；丙出南门，南行。各不知步数而立。甲从干隅东行三百二十步，望乙、丙二人俱与城相参直。计乙、丙共行一百五十一步，问城径？释曰：此以通勾与□勾，明股和立法，测望甲东行通勾，乙东行□勾，丙南行明股也。术曰：通勾自之，得一十万○二千四百，半之，得五万一千二百，又自之，得二十六亿二千一百四十四万，为三乘方实。以三百六十二乘半通勾筭，得一千八百五十三万四千四百，为从方。通勾乘和步，得四万八千三百二十，为从一亷。五之通勾，得一千六百，为从二亷。二分五厘为常法，作带从方亷三乘方法开之，得八十，为小差。小差者，通股▯较也。以减通勾，即城径。带从方亷负隅单位开三乘方，曰：置所得三乘方实，以亷隅约之，商得八十。置一于左上为法，置一乘从一亷，得三百八十六万五千六百。置一自之，以乘从二亷，得一千○二十四万。置一自乘再得五十一万二千，以二分五厘因之，得一十二万八千为隅法。并从方一亷二亷隅法，得三千二百七十六万八千为下法，与上法相乘除实尽。东门外徃南有树，乙出东门徃东，不知步数而立。甲出北门，东行二百步，斜望乙与树，正与城相叅直。既而乙复折而斜行至树下，与甲相望，计乙直行斜行共五十步。释曰：此以底勾与□勾▯和立法测望。甲出北门东行底勾也。乙一直一斜，□勾□▯也。术曰：底勾与和相减，余一百五十为差。差加底勾，复以差乘之，得数半之，得二万六千二百五十。差自之，得二万二千五百。二数相减，余三千七百五十为实。并勾和，半之得一百二十五为法。实如法而得一。南门外往东不知步数有树，乙出南门，南行不知步数而立。甲出北门，东行二百步，见树与乙与城相叅直。乙复斜行至树下，与甲相望。计乙一直一斜，共二百八十八步。问城径。释曰：此以底勾与眀股▯和立法测望。甲出北门东行底勾也；乙出南门南行明股也；斜行明▯也。术曰：勾和相减余半之，得四十四，为半差。以减底勾，余一百五十六，为汛率。泛率自之，又倍之，得四万八千六百七十二。半差乘和步，得一万二千六百七十二。二数相减余三万六千，为实半底勾减和步，得一百八十八。倍泛率，得三百一十二。二数相并得五百，为法。实如法而一，得明勾。

勾与较测望二甲乙俱在城外西北干隅，甲南行不知步数而立，乙东行三百二十步见之。甲又斜行与乙相防，计甲直行不及斜行八十步。释曰：此以通勾与股▯较测望。乙东行，通勾也；甲直行，不及斜行，股▯较也。术曰：较除勾筭，得一千二百八十，为股▯和。减较半之，为股。加较半之，为▯。

邉勾以下俱即此类推股与和测望三甲乙二人俱在城外西北干隅，甲南行六百步而立，乙东行不知步数，见之又斜行与甲相防，计乙直斜共行一千步，问城径。释曰：此以通股勾▯和测望。甲南行通股也。乙直东行与斜行共勾▯和也。术曰：股自之，得三十六万。和除之，得三百六十，为勾▯较。减和半之，为勾。加和半之，为▯。

邉股以下推此甲从干隅南行六百步而立，乙出南门直行，丙出东门直行。三人相望，俱与城相叅直。计其行步，则乙与丙共行一百五十一步。释曰：此以通股□勾，明股和立法测望。甲行通股，乙行眀股，丙行□勾也。共之和也。术曰：通股为筭，半而自之，得三百二十四亿，为三乘方实。倍和加通股，以乘半通股筭，得一亿六千二百三十六万，为从方。通股乘和步，得九万○六百，为从一亷。通股加半股，得九百，为从二亷。二分五厘为隅算，作带从方亷负隅，以二亷减从，翻法开三乘方法，除之得三百六十，为股圆差。以减通股，即圆径。带从方亷负隅以二亷减从翻法开三乘方曰置所得三乘方实以从方亷隅约之初商三百置一于左上为法置一自之以乘二亷得八千一百万以减从方余八千一百三十六万置一乘从一亷得二千七百一十八万置一自乘再乘以隅算二分五厘因之得六百七十五万为隅法并从方从一亷隅法共一亿一千五百二十九万为下法与上法相乘除实三百四十五亿八千七百万实不满法反减实三百二十四亿余二十一亿八千七百万为负积四因隅法得二千七百万为方法初商自之六因又以隅因之得一十三万五千为上亷初商四之隅因之得三百为下亷商次位得六十置一于左次为上法倍初商加次商得六百六十以乘从二亷得五十九万四千又并初次商得三百六十因得二亿四千三百八十四万以减余从亦不及减反减从八千一百三十六万余一亿三千二百四十八万为负从置一倍初商加次商得六百六十以乘从一亷得五千九百七十九万六千置一乘上亷得八百一十万置一自之以乘下亷得一百○八万置一自乘再乘隅因之得五万四千为隅法并方法从一亷上下亷隅法共九千六百○三万以减负从余三千六百四十五万与上次法除负积二十一亿八千七百万又为带从方负隅以二亷添积开三乘方。其法曰：初商三百，置一于左上为法，置一自之以乘从二亷，得八千一百万，与上法相乘得二百四十三亿为益实，加入原实，共五百六十七亿为实。置一乘从一亷，得二千七百一十八万为益亷。置一自乘再乘，得二千七百万，以隅算二分五厘因之，得六百七十五万为隅法。并从方、从益亷、隅法，共一亿九千六百二十九万为下法，与上法相乘除实，五百八十八亿八千七百万，实不满法，反除实五百六十七亿，余二十一亿八千七百万为负积。四因隅法，得二千七百万为方法，初商自之，六因又以隅因之，得一十三万五千为上亷。初商四之隅因，得三百为下亷。次商六十，置一于左次为上法。置一倍初商加次商，得六百六十，又并初次商相因，得三百六十，得二十三万七千六百。又加初商自之九万，共三十二万七千六百，以乘从二亷，得二亿九千四百八十四万，与上次法六十相乘，得一百七十六亿九千○四十万，减去负积，存一百五十五亿○三百四十万为实。倍初加次，共六百六十，以乘从一亷，得五千九百七十九万六千为益从亷。置一乘上亷，得八百一十万。置一自之以乘下亷，得一百○八万。置一自乘再乘隅因，得五万四千为隅法。并方法、益亷、上下亷、隅法，共九千六百○三万。并从方共二亿五千八百三十九万为下法，与上法相乘除实尽。右开三乘方内俱带翻法，后如此类者，仿此。南门之东，不知步数，有树。乙出南门，南行，不知步数，而立。甲出西门，南行四百八十步，望乙与树，俱与城相叅直。乙复斜行至树下，与甲相望。计乙直行斜行，共二百八十八步。问城径？释曰：此以邉股及明股▯和立法测望。甲出西门南行邉股也。乙出南门直行明股，斜行至树明▯也。共步明股▯和也。术曰：股和相减，余一百九十二为差。加股，复以差乘之，折半得六万四千五百一十二。差自之，得三万六千八百六十四。二数相减，余二万七千六百四十八为实。并股和，半之得三百八十四为法。实如法而一，得明勾七十二。以明勾股求圎径。东门外往南有树，乙出东门，东行不知步数而立。甲出西门，南行四百八十步，望树与乙俱与城相叅直。既而乙斜行至树下，与甲相望，计乙直斜行共五十步。释曰：此以邉股及□勾▯和立法测望。甲出西门，南行邉股也。乙直行□勾，斜行□▯也。术曰：股和相并，半之，得二百六十五，为汛率。以泛率减邉股，余二百一十五，自之，得四万六千二百二十五。和步乘泛率，得一万三千二百五十，半之，得六千六百二十五。二数相减，余三万九千六百，为平实。以泛率减邉股，六之，得一千二百九十，为从方。作带从开平方法，开之，得□股三十。

▯从开平方法见一卷股与较测望四甲乙二人俱在城外西北干隅，甲南行六百步而立，乙东行不知步数，见之又斜行与甲相防，计乙行直步不及斜三百六十步，问城径。释曰：此以通股勾▯较测望。甲南行，通股也；乙东行，不及斜行勾▯较也。术曰：股自乘，较除之，得勾；▯利减较半之为勾，加较半之为▯。

邉股以下推此▯与和测望五甲乙二人俱在城外西北干隅，乙向南行，不知步数而立；甲向东行，亦不知步数，望见之，遂斜行六百八十步与乙防。计甲之东与乙之南共九百二十步，问城径。释曰：此以通▯与勾股和测望，甲斜行与乙防▯也。甲之东为勾，乙之南为股，共步和也。术曰：倍▯筭，与和筭相减，余为实，平方开之，得勾股较；减和半之为勾，加和半之为股。

邉▯以下推此甲从北门向东直行，庚从西门穿城东行，丙从西门向南直行，壬从北门穿城南行。四人遥相望，悉与城相叅直。只云甲丙相望处斜量六百八十步，庚壬穿城共行了六百三十一步。问城径？释曰：此通▯与邉勾底股和立法测望。甲丙相望，通▯也。庚从西门穿城东行，邉勾也。壬从北门穿城南行，底股也。共步和也。术曰：共步自之，得三十九万八千一百六十一，为和筭。共步减相望处步，余自之，得二千四百○一，为差筭。差筭减和筭，余三十九万五千七百六十，为平实。倍斜步加差四十九，共一千四百○九，为从。作带从开平方法除之，得全径。

带从开平方法见一卷甲乙二人共立于城外东北艮隅，乙南行过城门而立，甲东行望乙与城相叅直而止。丙丁二人共立于城外西南坤隅，丁向东过城门而立，丙向南行望丁及甲乙悉与城相叅直。丙复斜行六百八十步与甲相防，计乙之南与丁之东共三百四十二步，问城径？释曰：此通▯与大差勾、小差股和立法测望。乙从艮隅而南过城门而立，山之艮，小差股也。以甲东行为勾，丁从坤隅东行过城门而立，坤之月，大差勾也。以丙南行为股，丙斜行与甲相会，通▯也。乙丁直行共步，大差勾与小差股和也。术曰：斜步共步相乘，倍之，得四十六万五千一百二十，为实；斜步共步相减，余三百三十八，为差；倍斜行，加差，共一千六百九十八，为从；作带从开平法除之，得全径。

带从开平方法见前甲出东门，东行；乙出南门，南行。各不知步数，相望与城相叅直。甲复斜行二百八十九步，与乙相防。乙直行，长；甲直行，短。共计一百五十一步。问城径？释曰：此以皇极▯□勾明股和立法测望。甲东行为□勾，乙南行为明股。甲之斜行，皇极▯也。术曰：斜行自之，得八万三千五百二十一，为▯筭；共步自之，得二万二千八百○一，为和筭。和筭减▯筭，余六万○七百二十，为实。倍共步，减斜行，余一十三步，为从。作带从开平方法除之，得全径。带从开平方法，见前。甲乙二人同出东门，甲东行，乙南行。丙丁二人同出南门，丙南行，丁东行。各不知步数，而立。四人遥相望，悉与城相叅直。问其步数，则曰：甲丙共行了一百五十一步，乙丁立处相距一百○二步。问城径。释曰：此太虚▯与□勾明股和立法测望。甲出东门直行为□勾；而乙南行为股。丙出南门南行为明股；而丁东行为勾。甲丙共步□勾明股和也。乙丁相距太虚▯也。术曰：共步相距，步相减，余四十九，为差。自之，得二千四百○一，为差筭。共步自之，得二万二千八百○一，为和筭。差筭减和筭，余二万○四百，为实。倍距步，减差，余一百五十五，为从。作以从减法，开平方法除之，得全径。

以从减法开平方法见前又为以从添积开平方其法曰：初商二百，置一于左上为法，置一乘从，得三万一千为益积，添入原积，共五万一千四百为实，置一为隅法，与上法相乘除实，四万余，实一万一千四百，倍隅法得四百为亷法，次商四十，置一于左上为法，置一乘从方。得六千二百为益实，添入余积，共一万七千六百为实，置一并亷法，共四百四十为下法，与上法相乘，除实尽。后凡言以从添积开平方法俱仿此。岀南门向东有槐树，出东门向南有栁树。丙丁俱出南门，丙直往南，丁往东至槐树下立。甲乙俱出东门，甲直往东，乙往南至桞树下立。四人遥相望见，各不知歩数，只云丙丁共行了二百○七步，甲乙共行了四十六步。其甲丙立处相距二百八十九步，问城径？释曰：此以皇极▯与明勾股和□勾股和立法测望。槐在南门之东，为南之月明勾也。丁直行往南，为日之南明股也。共行二百○七，明勾股和也。栁在东门之南，为山之东□股也。甲直行往东，为东之川□勾也。共行四十六步□勾股和也。甲丙立处相距，为日川皇极▯也。术曰：二和相减，余以减相距，余半之，得六十四为平勾；以加二和相减为平股；相乘为实，平方开之，即半径。又曰：二和相并，以减相距，余半之，得一十八，为泛率。加明和为长，加□和为广。长广相乘，得半径筭。南门之东有槐，东门之南有栁。丙出南门，直行；丁出南门，东至槐下。甲出东门，直行；乙出东门，南至栁下。相望俱与城相叅直。计丙南、丁东共行二百○七步，甲东、乙南共行四十六步。其二树相距一百○二步，问城径？释曰：此与前问同。前以逺相距言，此以近相距言。近相距太虚▯也。以太虚▯与明叀二和立法测望术曰：叀和乘虚▯，又自之，得二千二百○一万四千八百六十四为平实。并二和自之，得六万四千○○九为二和筭。□和自之，得二千一百一十六为□和筭。明和自之，得四万二千八百四十九为明和筭。并明和筭、叀和筭以减二和筭，余一万九千○四十四为益隅，作负隅，开平方法除之，得叀▯。倍▯筭与和筭相减，开其余，得叀勾股较。加和半之为股，减和半之为勾。负隅开平方，曰：置所得平实以益隅，约之初商三十。置一于左上为法，置一乘益隅得五十七万一千三百二十为下法，与上法相乘除实一千七百一十三万九千六百，余实四百八十七万五千二百六十四。倍下法得一百一十四万二千六百四十为亷法，约次商得四。置一于左上为法，置一乘益隅得七万六千一百七十六，并入亷法共一百二十一万八千八百一十六。

为下法与上法相乘除实尽此法已见一卷底勾▯条下，因隅算多，故重出。

又曰隅算除平实即得叀▯筭又曰：明和乘虚▯，又自之，得四亿四千五百八十○万○○九百九十六，为平实。如前法，为负隅平方，开之，得明▯。若以益隅除平实，径得明▯筭。又术，虚▯自之，得一万○四百○四，为虚▯筭。以叀和乘之，得四十七万八千五百八十四，为平实。倍明和，得四百一十四，为益隅。开之，得叀▯。若以益隅除平实，径得叀▯筭。虚▯自之以明和乘之得二百一十五万三千六百二十八为平实，倍叀和为益隅，开之得明▯。若以益隅除平实，径得明▯筭。三位负隅开平方，曰：置平实四亿四千五百八十○万○九百九十六于左，以益隅一万九千○四十四约之。初商一百，置一于左上为法，置一于右下，乘益隅得一百九十○万四千四百为下法，与上法相乘除实一亿九千○四十四万，余实二亿五千五百三十六万○九百九十六。倍下法得三百八十○万八千八百为亷法。次商五十，置一于左上为法，置一乘益隅得九十五万二千二百为隅法，并亷法共四百七十六万一千为下法，与上次相乘除实二亿三千八百○五万，余实一千七百三十一万○九百九十六。倍隅法得一百九十○万四千四百，并入亷法共五百七十一万三千二百为亷法。约三商得三，置一于左为法，置一右下，乘益隅得五万七千一百三十二为隅法，并入亷法共五百七十七万○三百三十二为下法，与上法相乘除实尽。

▯与较测望六甲、丙二人俱在城外西北隅起程，丙南行，甲东行，各不知步数。隔城相望，既而甲斜行六百八十步，与丙相防。问其东行步数，则曰：“我少于丙南行二百八十步。”问城径。释曰：此通▯与通勾股较立法测望。甲东行为勾，丙南行为股。甲少于丙步数勾股较也。斜行▯也。术曰：▯自乘，倍之，得九十二万四千八百。较自乘，得七万八千四百。相减余八十四万六千四百，为实平方开之，得勾股和九百二十。加较半之为股；减较半之为勾。又曰：▯较相减，得四百，为▯较较；相并，得九百六十，为▯较和。▯较较、▯较和相乘，得三十八万四千，为实；倍较，得五百六十，为从；二为隅筭。作以从减法负隅开平方法除之，得通股；作带从负隅开平方法除之，得通勾。带从负隅，开平方法，见四卷底，勾通▯条。带从负隅以从减隅，开平方法，见四卷《大差勾黄长▯》条下。

又为以从添积负隅开平方以六百乘从，益实，倍六百，得一千二百，为法。即是邉▯，以下类推。乙出东门，南行，不知步数而立。甲出西门，直徃南行，回望乙与城相叅。直又斜行五百一十步，与乙相防。问乙行步，则曰少于城径二百一十步。不知城径防何？释曰：此黄广▯与叀股黄广勾较立法测望。乙出东门，南行为叀股。城径即黄广勾，少于城径即叀股，黄广勾较也。斜行黄广▯也。术曰：较自之得四万四千一百，为较筭，以为实；斜歩四之，减二较，余一千六百二十，为从；五为隅算，作负隅，减从，开平方法除之，得叀股三十，加较为黄广，勾即城径。负隅减从，开平方法，见二卷。通勾叀勾条。乙出南门，东行，不知步数，而立。甲出北门，直徃东行，望乙与城相叅直，又斜行二百七十二歩，与乙相防。问乙东行步，则曰少于城径一百六十八步，不知城径防何。释曰：此黄长▯与明勾黄长股较立法测望。乙出南门东行为明勾，城径即黄长股，少于城径即明勾黄长股较也。斜行，黄长▯也。术曰：较自之得二万八千二百二十四为实，四斜行减二较，余七百五十二为从，方五为隅，算作负隅，减从，开平方法除之，得明勾七十二，加较为黄长，股即城径。

负隅减从开平方法见二卷

测圆海镜分类释术卷六

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