律长短围径之数第二
律长短围径之数第二
司马迁律书
本文 改正
黄钟八寸七分一宫，八寸十分一。
林钟五寸七分四角，五寸十分四。
太簇七寸七分二，商七寸十分二。
南吕四寸七分八征，四寸十分八。
姑洗六寸七分四羽，六寸十分四。
应钟四寸二分三分二，羽四寸二分三分二。
防賔五寸六分三分一五寸六分三分二【强四百八十六】大吕七寸四分三分一七寸五分三分二【强四百□□五】夷则五寸四分三分二商五寸□□三分二【弱二百一十六】夹钟六寸一分三分一六寸七分三分一【强一百九十八】无射四寸四分三分二四寸四分三分二【强六百□□二】仲吕五寸九分三分二征五寸九分三分二【强五百八十一】蔡子曰：「律书此章所记分寸之法与他记不同，以难晓，故多误。葢取黄钟之律九寸，一寸九分，凡八十一分，而又以十约之为寸，故云八寸十分一，本作七分一者误也。今以相生次序列而正之。其应钟以下则有小分，小分以三为法，如厯家太少余分强弱耳，其法未密也。今以二千一百八十七为全分，七百二十九为三分，二千四百五十八为三分二，余分之多者为强，少者为弱，列于逐律之下，其误字悉正之。隋志引此章中黄钟、林钟、太簇、应钟四律寸分，以为与班固、司马彪、郑氏、蔡邕、杜夔、荀勗所论，虽尺有增减，而十二律之寸数并同，则是时律书尚未误也。及司马真《索隠》始以旧本作七分一为误，其误亦未久也。沈括亦曰：「此章七字皆当作十字，误屈中画耳。」大要律书用相生分数，相生之法以黄钟为八十一分，今以十为寸法，故有八寸一分；汉前后志及诸家用审度分数，审度之法以黄钟之长为九十分，亦以十为寸法，故有九十分。法虽不同，其长短则一。故隋志云：「寸数并同也【其黄钟下有宫，太簇下有商，姑洗下有羽，林钟下有角，南吕下有征字。晋志论律书五音相生，而以宫生角，角生啇，商生征，征生羽，羽生宫，求其理用，防见通达者是也。仲吕下有征，夷则下有商，应钟下有羽字，三者未详，亦疑后人误増也。下】云上九商八羽七角六宫五征九者，即是上文声律数，太簇八十为商，姑洗七寸为羽，林钟六寸为角，南吕五寸为征，黄钟九寸为宫，其曰「宫五征九」，误字也】
汉志》曰：「《易》曰：『参天两地而倚数。』天之数，始于一，终于二十五。其义纪之以三，故置一得三，又二十五分之六。凢二十五置终天之数，得八十一。以天地五位之合终于十者乗之，为八百一十分，应厯一统【孟康曰：十九嵗为一章，一统凡八十二章】千五百三十九嵗之章数，黄钟之实也。繇此之义，起十二调之周径【孟康曰：律孔径三分，参天数也；围九分，终天数也】地之数，始于二，终于三十。其义纪之以两，故置一得二。凡三十置终地之数，得六十。以地中六数乗之，为三百六十分，当期之日，林钟之实也【孟康曰：林钟长六寸，围六分，以围乗长，得三百六十分】人者，继天顺地，序气成物，统八卦，调八风，理八政，正八节，谐八音，舞八风，监八方，被八荒，以终天地之功，故八八六十四。其义极天地之变，以天地五位之合终于十者乗之，为六百四十分，以应六十四卦，太簇之实也【孟康曰：太簇长八寸，围八分，为积六百四十分也】
蔡子曰：「汉志以黄钟、林钟、太簇三律之长自相乗又因之以十也。黄钟长九寸，九九八十一，又以十因之为八百一十；林钟长六寸，六六三十六，又以十因之为三百六十；太簇长八寸，八八六十四，又以十因之为六百四十。黄钟应厯一统，林钟当期之日，太簇应六十四卦，皆倚数配合为説而已。独黄钟云：『繇此之义，起十二调之周径。』盖黄钟十其广之分以为长，十一其长之分以为广，故空围九分，积八百一十分，其数与此相合。长九寸，积八百一十分，则其周径可以数起矣，即胡安定所谓径三分四厘六毫、围十分二厘八毫者是也。孟康不察，乃谓凡
译律长短围径的数值 第二
司马迁《律书》
原文 改正
黄钟八寸七分一宫，八寸十分一。
林钟五寸七分四角，五寸十分四。
太簇七寸七分二，商七寸十分二。
南吕四寸七分八征，四寸十分八。
姑洗六寸七分四羽，六寸十分四。
应钟四寸二分三分二，羽四寸二分三分二。
蕤宾五寸六分三分一五寸六分三分二【强四百八十六】大吕七寸四分三分一七寸五分三分二【强四百□□五】夷则五寸四分三分二商五寸□□三分二【弱二百一十六】夹钟六寸一分三分一六寸七分三分一【强一百九十八】无射四寸四分三分二四寸四分三分二【强六百□□二】仲吕五寸九分三分二征五寸九分三分二【强五百八十一】蔡子说：“《律书》这一章所记分的寸法与其他记载不同，因为难以理解，所以多有错误。大概是取黄钟之律九寸，一寸九分，总共八十一分，而又以十约之为寸，所以说八寸十分一，原本作七分一是错误的。现在按相生次序排列并加以纠正。其中应钟以下的律有小分，小分以三为法，如同历法中的太、少、余、分、强、弱一样，其方法并不精密。现在以二千一百八十七为全分，七百二十九为三分，二千四百五十八为三分二，余分多的为强，少的为弱，列在每条律之下，其错字全部予以纠正。《隋书·律历志》引用本章中黄钟、林钟、太簇、应钟四律的寸分，认为与班固、司马彪、郑氏、蔡邕、杜夔、荀勗所论述的，虽然尺有增减，但十二律的寸数都相同，那么当时《律书》尚未有误。等到司马贞《索隐》开始以旧本作七分一为误，其错误也不久。沈括也说：‘这一章的七字都应当作十字，是误将中画弯曲所致。’大抵《律书》使用相生分数，相生的方法以黄钟为八十一分，现在以十为寸法，所以有八寸一分；《汉书》前后志及诸家使用审度分数，审度的方法以黄钟之长为九十分，也以十为寸法，所以有九十分。方法虽然不同，其长短则是一致的。所以《隋志》说：‘寸数都相同【黄钟下有宫，太簇下有商，姑洗下有羽，林钟下有角，南吕下有征字。《晋书·律历志》论述《律书》五音相生，而以宫生角，角生商，商生征，征生羽，羽生宫，探求其理用，防见通达者是也。仲吕下有征，夷则下有商，应钟下有羽字，这三者未详，也怀疑是后人误增的。下】云‘上九商八羽七角六宫五征九’者，即是上文声律数，太簇八十为商，姑洗七寸为羽，林钟六寸为角，南吕五寸为征，黄钟九寸为宫，其曰‘宫五征九’，是错字】
《汉书·律历志》说：“《易经》说：‘参天两地而倚数。’天的数，始于一，终于二十五。其义理以三为纪，所以置一得三，又二十五分之六。总共二十五置终天的数，得八十一。以天地五位之合终于十者乘之，为八百一十分，应历一统【孟康说：十九岁为一章，一统共八十二章】千五百三十九岁之章数，是黄钟的实数。由此义理，起十二调的周径【孟康说：律孔径三分，参天数也；围九分，终天数也】地的数，始于二，终于三十。其义理以两为纪，所以置一得二。总共三十置终地的数，得六十。以地中六数乘之，为三百六十分，当期之日，是林钟的实数【孟康说：林钟长六寸，围六分，以围乘长，得三百六十分】人者，继天顺地，序气成物，统八卦，调八风，理八政，正八节，谐八音，舞八风，监八方，被八荒，以终天地之功，所以八八六十四。其义理极天地之变，以天地五位之合终于十者乘之，为六百四十分，以应六十四卦，是太簇的实数【孟康说：太簇长八寸，围八分，为积六百四十分也】
蔡子说：“《汉书·律历志》以黄钟、林钟、太簇三律之长自相乘又因之以十也。黄钟长九寸，九九八十一，又以十因之为八百一十；林钟长六寸，六六三十六，又以十因之为三百六十；太簇长八寸，八八六十四，又以十因之为六百四十。黄钟应历一统，林钟当期之日，太簇应六十四卦，皆倚数配合为说而已。独黄钟云：‘繇此之义，起十二调之周径。’盖黄钟十其广之分以为长，十一其长之分以为广，故空围九分，积八百一十分，其数与此相合。长九寸，积八百一十分，则其周径可以数起矣，即胡安定所谓径三分四厘六毫、围十分二厘八毫者是也。孟康不察，乃谓凡
后汉郑康成《月令》注曰：「凡律空围九分【孔颖达疏曰：「诸律虽短长有差，其围皆以九分为限】
蔡邕《铜龠铭》曰：「龠，黄钟之宫，长九寸，空围九分，容秬黍一千二百粒，称重十二铢，两之为一合。三分损益，转生十一律【月令章句曰：「古之为钟律者，以耳齐其声。后人不能，则假数以正其度。度正，则音以正矣。钟以斤两尺寸中所容受升斗之数为法，律亦以寸分长短为度。故曰黄钟之管，九寸，径三分，其余皆稍短，虽大小围数无増减。以度量者，可以文载口传，与众共知，然不如耳决之明也】
韦昭《周语》注曰：「黄钟之变也，管长九寸，径三分，围九分，因而九之，九九八十一，故黄钟之数立焉。」
蔡子曰：「郑康成《月令注》云：『凡律空围九分。』蔡邕《铜龠铭》亦云：『空围九分』，葢空围中广九分也。东都之乱，乐律散已。邕之时未乱，当亲见之，又晓解律吕，而《月令章句》云径三分，何也？孟康、韦昭之时，汉斛虽在，而律不存矣。康昭等不通律吕，故康云黄钟、林钟、太簇围径各异，昭云黄钟径三分，皆无足怪者。隋氏之失，岂康昭等有以启之与？不知而作，宜圣人所深戒也。」
魏征《隋志》曰：「开皇元年，平陈后，牛▯辛彦之、郑译、何妥等叅攷古律度，合依时代制律。其黄钟之管，俱径三分，长九寸。度自有损益，故声有高下；围径长短与度而差，故容黍不同。今列其数云：」
晋前尺黄钟容黍八百八粒
梁法尺黄钟容八百二十八
梁表尺黄钟三：其一容九百二十五，其一容九百一十，其一容一千一百二十。
汉官尺黄钟容九百三十九
古银错题黄钟龠容一千二百
宋氏尺，即铁尺。黄钟凡二：其一容一千二百，其一容一千四十七。
后魏前尺，黄钟容一千一百一十五。
后周玉尺黄钟容一千二百六十七。
后魏中尺，黄钟容一千五百五十五。
后魏后尺，黄钟容一千八百一十九。
东魏尺黄钟容二千八百六十九。
万寳常《水尺律》母黄钟容黍一千三百二十。
梁表铁尺律黄钟副别者，其长短及口空之围径并同，而容黍或多或少，皆是作者旁庣其腹，使有盈虚。
蔡子曰：「梁表尺三律与宋氏尺二律，容受不同。史谓作者旁庣其腹，使有盈虚，则当时制作之踈亦可见矣。晋前尺律黄钟止容八百八黍者，失在于径三分也。古银错与玉尺、玉斗合。玉斗之容受，与晋前尺径三分四厘六毫者不甚相逺。但玉尺律径不及三分，故其律遂长，而尺长于晋前尺一寸五分八厘。葢自汉魏而下，造律竟不能成，而度之长短、量之容受、权衡之轻重，皆戾于古，大率皆由径三分之説误之也。」
宋朝胡安定律吕议曰：「按厯代律吕之制，黄钟之管长九十黍之广，积九寸，度之所由起也；容千二百黍，积八百一十分，量之所由起也；重十有二铢，权衡之所由起也。既度量权衡皆出于黄钟之龠，则黄钟之龠围径容受，可取四者之法交相酬验，使不失其实也。今验黄钟律管，每长一分内实十三黍又三分黍之一，围中容九方分也。后世儒者执守孤法，多不能贯知权量之法，但制尺求律，便为坚证，因谓围九分者，取空围圆长九分尔。以是围九分之误，遂有径三分之説。若从径三围九之法则黄钟之管止容九百黍，积止六百七分半，如此则黄钟之声无从而正，权量之法无从而生，周之嘉量、汉之铜斛皆不合其数矣。」
蔡子曰：「十二律围径，自先汉以前传记并无明文。惟班志云：『黄钟八百一十分，繇此之义起十二律之周径。』然其説乃是以律之长自乗而因之以十，盖配合为説耳，未可以为据也。惟审度章云：『一黍之广度之九十分，黄钟之长一为一分。』嘉量章则以千二百黍实其龠，谨衡权章则以千二百黍为十二铢，则是累九十黍以为长，积千二百黍以为广，可见也。夫长九十黍，容千二百黍，则空围当有九方分，乃是围十分三厘八毫，径三分四厘六毫也。每一分容三十黍又三分黍之一，以九十因之
译后汉郑康成在《月令》注中说：“凡是律管的空围都是九分。”【孔颖达疏说：“各种律管虽然长短有差别，但它们的围度都以九分为限。”】
蔡邕在《铜龠铭》中说：“龠，是黄钟的宫声，长九寸，空围九分，能容纳秬黍一千二百粒，称重十二铢，两个龠为一合。通过三分损益法，依次生出其余十一律。”【《月令章句》说：“古代制作钟律的人，用耳朵来校正声音。后人做不到这一点，就借助数学来校正度数。度数正确了，音律也就正确了。钟以斤两、尺寸中所容纳的升斗数量为法则，律也以寸分长短为度数。所以说黄钟的律管长九寸，直径三分，其余的律管都稍微短一些，虽然大小围度没有增减。用度量衡来规定，可以文字记载、口头传授，让大众共同知晓，然而不如用耳朵判断来得明确。”】
韦昭在《周语》注中说：“黄钟的变化，律管长九寸，直径三分，围度九分，将九乘以九，九九八十一，所以黄钟的数值就确立于此。”
蔡子说：“郑康成在《月令注》中说：‘凡是律管的空围都是九分。’蔡邕在《铜龠铭》中也说：‘空围九分’，大概是指空围的中间宽度为九分。东都之乱后，乐律散失。蔡邕的时代尚未动乱，他应当亲眼见过，又通晓律吕，而《月令章句》却说直径三分，这是为什么呢？孟康、韦昭的时代，虽然汉代的斛还在，但律管已经不存了。孟康、韦昭等人不通晓律吕，所以孟康说黄钟、林钟、太簇的围度直径各不相同，韦昭说黄钟直径三分，这都不足为怪。隋朝的失误，难道是孟康、韦昭等人开启了先例吗？不知其理却随意制作，这正是圣人深深警戒的。”
魏征在《隋书·律历志》中说：“开皇元年，平定陈朝后，牛弘、辛彦之、郑译、何妥等人参酌古代律度，依照时代制度制定律管。他们的黄钟律管，直径都是三分，长九寸。度数自有增减，所以声音有高有低；围度直径长短与度数相配合而有差异，所以容纳的黍粒数量不同。现在列出它们的数值如下：”
晋前尺黄钟容纳黍粒八百零八粒。
梁法尺黄钟容纳八百二十八粒。
梁表尺黄钟有三种：一种容纳九百二十五粒，一种容纳九百一十粒，一种容纳一千一百二十粒。
汉官尺黄钟容纳九百三十九粒。
古银错题黄钟龠容纳一千二百粒。
宋氏尺，即铁尺。黄钟有两种：一种容纳一千二百粒，一种容纳一千四十七粒。
后魏前尺，黄钟容纳一千一百一十五粒。
后周玉尺黄钟容纳一千二百六十七粒。
后魏中尺，黄钟容纳一千五百五十五粒。
后魏后尺，黄钟容纳一千八百一十九粒。
东魏尺黄钟容纳二千八百六十九粒。
万宝常《水尺律》母黄钟容纳黍粒一千三百二十粒。
梁表铁尺律黄钟的副别者，其长短及口空之围度直径都相同，而容纳的黍粒或多或少，这都是制作者旁侧加厚其腹部，使其有盈有虚。
蔡子说：“梁表尺的三种律管与宋氏尺的两种律管，容纳的黍粒数量不同。史书说制作者旁侧加厚其腹部，使其有盈有虚，那么当时制作的疏漏也就可见一斑了。晋前尺律黄钟只容纳八百零八粒黍，错误在于直径三分。古银错与玉尺、玉斗相合。玉斗的容量，与晋前尺直径三分四厘六毫者相差不远。只是玉尺律的直径不足三分，所以它的律管就长了，而尺比晋前尺长一寸五分八厘。大概自汉魏以来，制作律管终究不能成功，而度数的长短、容量的多少、权衡的轻重，都违背了古制，大率都是由直径三分的说法误导所致。”
宋朝胡安定的《定律吕议》说：“考察历代律吕的制度，黄钟律管长九十黍的宽度，累积九寸，这是度数的起源；容纳一千二百黍，累积八百一十分，这是容量的起源；重十二铢，这是权衡的起源。既然度数、容量、权衡都出自黄钟的龠，那么黄钟龠的围度、直径、容量，可以取这四者的法则互相验证，使其不失去实际。现在验证黄钟律管，每长一分内实十三黍又三分黍之一，围度中间容纳九平方分。后世的儒者固守单一法则，大多不能贯通知晓权衡容量的法则，只是制作尺子来求律，便作为确凿的证据，因此认为围九分者，是取空围圆周长九分罢了。因为围九分的错误，于是有了直径三分的说法。如果按照直径三分、围度九分的法则，那么黄钟律管只容纳九百黍，累积只有六百七分半，这样黄钟的声音就无法校正，权衡容量的法则就无法产生，周朝的嘉量、汉朝的铜斛都不符合这个数值了。”
蔡子说：“十二律的围度直径，自西汉以前的传记中都没有明文记载。只有班固《汉书》说：‘黄钟八百一十分，由此义理生出十二律的周径。’然而这种说法是以律管的长度自乘然后乘以十，大概是配合而成的说法，不能作为依据。只有《审度》章说：‘一黍的宽度是九十分之一，黄钟的长度一黍为一分。’《嘉量》章则以一千二百黍充实其龠，《谨衡权》章则以一千二百黍为十二铢，由此可知，累积九十黍作为长度，累积一千二百黍作为宽度，是显而易见的。既然长九十黍，容纳一千二百黍，那么空围应当有九平方分，也就是围度十分三厘八毫，直径三分四厘六毫。每一分容纳三十黍又三分黍之一，用九十乘以
，则一千二百也。又汉斛铭文云：『律嘉量：方尺，圆其外，庣旁九厘五毫，幕六百十二寸，深尺，积一千六百二十寸，容十斗。』嘉量之法：合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为石。一石积一千六百二十寸，为分者一百六十二万；一斗积一百六十二寸，为分者十六万二千；一升积十六寸二分，为分者一万六千二百；一合积一寸六分二厘，为分者一千六百二十。则黄钟之龠为八百一十分明矣。空围八百一十分，则长累九十黍，广容一千二百黍矣。盖十其广之分以为长，十一其长之分以为广，自然之数也。自孟康以律之长十之一为围之谬，其后韦昭之徒遂皆有径三分之説，而《隋志》始着以为定论。然累九十黍，径三黍，止容黍八百有奇，终与一千二百黍之法两不相通，而律竟不成。唐因声制乐，虽近于古，而律亦非是。本朝承袭，皆不能觉。独胡安定以为九分者方分也，以破径三分之法。然所定之律不本于声气之元，一取之秬黍，故其度量权衡皆与不合。又不知变律之法，但见仲吕反生不及黄钟之数，乃迁就林钟已下诸律围径以就黄钟清声。以夷则、南吕为径三分、围九分，无射为径二分八厘、围八八分四厘，应钟为径二分六厘五毫、围七分九厘。」五毫夫律以空围之同，故其长短之异，可以定声之高下，而其所以为广狭长短者，又莫不有自然之数，非人之所能为也。今其律之空围不同如此，则亦不成律矣，遂使十二律之声皆不当位，反不如和岘旧乐之为条理，亦可惜也。房庻以径三分、周围九分，累黍容受不能相通，遂废一黍为一分之法，而増益班志八字以就其説，范蜀公乃从而信之，过矣。《黄钟之实》第三。
译那么（容量）就是一千二百（黍）。又汉代量器的铭文说：“律嘉量：方形一尺，外围圆形，四角空隙九厘五毫，底面积六百十二寸，深一尺，容积一千六百二十寸，容纳十斗。”嘉量的制度是：两个龠合成一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一石。一石的容积为一千六百二十寸，换算成分是一百六十二万；一斗的容积为一百六十二寸，换算成io分是十六万二千；一升的容积为十六寸二分，换算成分是一万六千二百；一合的容积为一寸六分二厘，换算成分是一千六百二十。那么黄钟律管的龠容积为八百一十分就明确了。空围（周长）为八百一十分，那么长度累积九十黍，宽度容纳一千二百黍。这是因为将宽度的分数乘以十作为长度，将长度的分数乘以十一作为宽度，这是自然的数理。自从孟康错误地认为律管长度的十分之一就是周长，之后韦昭等人于是都有直径三分的说法，而《隋书·律历志》开始将其著录为定论。然而累积九十黍，直径三黍，只能容纳八百多黍，终究与一千二百黍的制度不相通，而律管终究无法制成。唐代因声制乐，虽然接近古法，但律管也不正确。本朝承袭前代，都不能察觉。只有胡瑗认为九分是方形的边长，以此驳斥直径三分的说法。然而他所确定的律管不基于声气的本源，一概取用秬黍，所以他的度量衡都与（古制）不合。又不知道变律的方法，只看到仲吕反生（推演）出的数值不及黄钟，于是迁就林钟以下各律的周长和直径以迎合黄钟的清声。把夷则、南吕定为直径三分、周长九分，无射定为直径二分八厘、周长八分八厘四毫，应钟定为直径二分六厘五毫、周长七分九厘五毫。因为律管以空围相同，所以其长短的差异，可以确定声音的高低，而其之所以有宽窄长短，又没有不遵循自然数理的，不是人力所能为的。现在律管的空围不同如此，那么也就不能成为律管了，于是使得十二律的声音都不在正确的位置，反而不如和岘旧乐的有条理，这也是可惜的。房庶因为直径三分、周长九分，累积黍粒的容量不能相通，于是废弃一黍为一分的制度，而增补《汉书·律历志》中的八个字以迎合自己的说法，范镇于是相信他，这是错误的。《黄钟之实》第三。
淮南子》曰：「规始于一，一不生，故分而为阴阳。阴阳合和而万物生，故曰：『一生二，二生三，三生万物。』天地三月而为一时，故祭祀三饭以为礼，丧纪三踊以节兵，重三军以为制。三叅物，三三如九，故黄钟之九寸而宫音调。因而九之，九九八十一，故黄钟之数立焉。黄者，土徳之色；钟者，气之所种也。日冬至，徳气为土，土色黄，故曰黄钟。律之数六，分为雌雄，故曰十二钟，以副十二月。十二各以三成，故置一而十一三之，为积分十七万七千一百四十七，黄钟大数立焉。」《前汉志》曰：「太极元气，函三为一。极，申也；元，始也。行于十二辰，始动于子。参之于丑，得三；又参之于寅，得九；又参之于夘，得二十七；又参之于辰，得八十一；又参之于已，得二百四十三；又参之于午，得七百二十九；又参之于未，得二千一百八十七；又参之于申，得六千五百六十一；又参之于酉，得万九千六百八十三；又参之于戌，得五万九千□□四十九；又参之于亥，得十七万七千一百四十七。此阴阳合徳，气钟于子，化生万物者也。」《律书》曰：「置一而九三之以为法，实如法得长一寸。凡得九寸，命曰黄钟之律。」
蔡子曰：「《淮南子》谓『置一而十一三之，以为黄钟之大数』，即此『置一而九三之，以为寸法』者，其术一也。夫置一而九三之，既为寸法，则七三之为分法，五三之为厘法，三三之为毫法，一三之为丝法，从可知矣。《律书》独举寸法者，盖已生于钟分内，黙具律寸分厘毫丝之法，而又于此律数之下，指其大者以明凡例也。一三之而得三，三三之而得二十七，五三之而得二百四十三，七三之而得二千一百八十七，九三之而得一万九千六百八十三。故一万九千六百八十三以九分之，则为二千一百八十七；二千一百八十七以九分之，则为二百四十三；二百四十三以九分之，则为二十七；二十七以九分之，则为三。三者，丝法也；九其三得二十七，则毫法也；九其二十七得二百四十三，则厘法也；九其二百四十三得二千一百八十七，则分法也；九其二千一百八十七得一万九千六百八十三，则寸法也。一寸九分，一分九厘，一厘九毫，一毫九丝，以之生十一律，以之生五声二变，上下乗除，参同契合，无所不通，葢数之自然也。顾自淮南子、史公之后，即无识其意者。如京房之六十律，虽亦用此十七万七千一百四十七之数，然乃谓不盈寸者十之所得为分，又不盈分者十之所得为小分，以其余为强弱，不知黄钟九寸以三损益，数不出九，苟不盈分者十之，则其竒零无时而能尽，虽泛以强弱该之，而卒无以见强弱之为防何，则其数之精微，固有不可得而纪者矣。至于杜佑、胡瑗、范蜀公等，则又不复知有此数，而以意强为之法。故《通典》则自南吕而下各自为法，固不可以见分厘毫丝之实；胡、范则止用八百一十分，乃是以积实生量之数为律之长，而其因乗之法亦用十数，故其余筭亦皆弃而不録。盖非有意于弃之，实其重分累析至于无数之可纪。」故有所不得而録耳。夫自丝以下，虽非目力之所能分，然既有其数，而或一筭之差，则法于此而遂变，不以约十为九之法分之，则有终不可得而齐者。故淮南、太史公之书，其论此也已详，特房等有不察耳【司马贞《史记索隠》注黄钟八寸十分一云：「律九九八十一，故云八寸十分一。」《汉书》云长九寸者，九分之寸也。此则古人论律以九分为寸之明验也】
三分损益上下相生第四
吕氏春秋》曰：「黄钟生林钟，林钟生太簇，太簇生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生防賔，防賔生太吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕。三分所生，益之一分以上生；三分所生，去其一分以下生。黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、防賔为上，林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。」《淮南子》曰：「黄钟位子，其数八十一，主十一月，下生林钟。林钟之数五十
译《淮南子》说：“圆规起始于一，一不能单独生成，所以分为阴阳。阴阳调和融合而万物产生，所以说：‘一生二，二生三，三生万物。’天地三个月构成一个季节，所以祭祀时用三顿饭作为礼仪，丧礼中用三次跳跃来节制哀痛，以三军作为制度。三参合万物，三乘三等于九，所以黄钟的长度为九寸，宫音的音调就协调了。进而将九再乘九，九九等于八十一，所以黄钟的数值就确立了。黄，是土德的色彩；钟，是气所孕育的地方。冬至时，德气归于土，土的颜色是黄色，所以称为黄钟。律的数值有六个，分为雌雄，所以称为十二钟，以对应十二个月。十二个月各自以三进行累积，所以设置一然后乘以十一的三次方，得到积分十七万七千一百四十七，黄钟的大数就确立了。”《前汉书·律历志》说：“太极元气，包含三而合为一。极，是延伸；元，是开始。运行于十二时辰，开始发动于子时。在丑时参合，得到三；又在寅时参合，得到九；又在卯时参合，得到二十七；又在辰时参合，得到八十一；又在巳时参合，得到二百四十三；又在午时参合，得到七百二十九；又在未时参合，得到二千一百八十七；又在申时参合，得到六千五百六十一；又在酉时参合，得到一万九千六百八十三；又在戌时参合，得到五万九千□□四十九；又在亥时参合，得到十七万七千一百四十七。这是阴阳德气相合，气聚集于子时，化生万物的表现。”《律书》说：“设置一然后乘以九的三次方作为法则，实际符合法则的长度为一寸。总共得到九寸，命名为黄钟的律。”
蔡邕说：“《淮南子》说‘设置一然后乘以十一的三次方，作为黄钟的大数’，就是这里所说的‘设置一然后乘以九的三次方，作为寸的法则’，它们的算法是一样的。既然设置一然后乘以九的三次方作为寸的法则，那么乘以七的三次方作为分的法则，乘以五的三次方作为厘的法则，乘以三的三次方作为毫的法则，乘以一的三次方作为丝的法则，由此可以推知了。《律书》只列举寸的法则，大概是因为它已经产生于钟的分量之内，暗中具备律寸、分、厘、毫、丝的法则，又在这个律数之下，指出其中最大的数以说明一般法则。一乘以三得到三，三乘以三得到二十七，五乘以三得到二百四十三，七乘以三得到二千一百八十七，九乘以三得到一万九千六百八十三。所以一万九千六百八十三除以九，就是二千一百八十七；二千一百八十七除以九，就是二百四十三；二百四十三除以九，就是二十七；二十七除以九，就是三。三，是丝的法则；九乘以三得到二十七，就是毫的法则；九乘以二十七得到二百四十三，就是厘的法则；九乘以二百四十三得到二千一百八十七，就是分的法则；九乘以二千一百八十七得到一万九千六百八十三，就是寸的法则。一寸等于九分，一分等于九厘，一厘等于九毫，一毫等于九丝，用这些来衍生出十一律，衍生出五声和二变，上下乘除，参合相同契合，没有不通畅的，这大概是数的自然规律。但是自从《淮南子》、司马迁之后，就没有人理解其中的意思了。比如京房的六十律，虽然也使用这个十七万七千一百四十七的数值，但却认为不足一寸的乘以十得到分，不足一分的乘以十得到小分，用余数作为强弱，不知道黄钟九寸以三进行增减，数值不出九，如果不足一分的乘以十，那么那些零头永远无法除尽，虽然泛泛地用强弱来概括，但最终无法看出强弱究竟是怎么回事，那么其数的精微，本来就有无法记载的了。至于杜佑、胡瑗、范镇等人，则不再知道有这个数，而凭主观臆造方法。所以《通典》从南吕以下各自制定法则，本来无法看到分、厘、毫、丝的实际；胡瑗、范镇则只用八百一十分，这是用积累实体产生容量的数值作为律的长度，而其乘除的方法也用十进制，所以其余的计算也都废弃不记录。大概不是有意废弃，实在是因为反复分割累析到了无数无法记载的地步。”所以有所无法记录罢了。自从丝以下，虽然不是肉眼所能分辨，但既然有它的数值，如果计算有一点点差错，法则在这里就随之改变，不按照约十为九的法则来分割，那么最终就无法整齐划一。所以《淮南子》、太史公的书，论述这些已经很详细了，只是京房等人没有察觉罢了【司马贞《史记索隐》注黄钟八寸十分一云：‘律九九八十一，所以说八寸十分一。’《汉书》说长九寸的，是九分之寸。这是古人论律以九分为寸的明显证据】
三分损益上下相生第四
《吕氏春秋》说：“黄钟生出林钟，林钟生出太簇，太簇生出南吕，南吕生出姑洗，姑洗生出应钟，应钟生出蕤宾，蕤宾生出太吕，太吕生出夷则，夷则生出夹钟，夹钟生出无射，无射生出仲吕。三分所生，增加一分以上生；三分所生，减去一分以下生。黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾为上，林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。”《淮南子》说：“黄钟位于子，它的数值是八十一，主管十一月，下生出林钟。林钟的数值五十
四，主六月，上生太簇。太簇之数七十二，主正月，下生南吕。南吕之数四十八，主八月，上生姑洗。姑洗之数六十四，主三月，下生应钟。应钟之数四十二，主十月，上生防賔。防賔之数五十六，主五月，上生大吕。大吕之数七十六，主十二月，下生夷则。夷则之数五十一，主七月，上生夹钟。夹钟之数六十八，主二月，下生无射。无射之数四十五，主九月，上生仲吕。仲吕之数六十，主四月，极不生。」
译四，主管六月，向上生出太簇。太簇的律管长度为七十二，主管正月，向下生出南吕。南吕的律管长度为四十八，主管八月，向上生出姑洗。姑洗的律管长度为六十四，主管三月，向下生出应钟。应钟的律管长度为四十二，主管十月，向上生出防賔。防賔的律管长度为五十六，主管五月，向上生出大吕。大吕的律管长度为七十六，主管十二月，向下生出夷则。夷则的律管长度为五十一，主管七月，向上生出夹钟。夹钟的律管长度为六十八，主管二月，向下生出无射。无射的律管长度为四十五，主管九月，向上生出仲吕。仲吕的律管长度为六十，主管四月，到了极限就不再生出新的律管了。
蔡子曰：「《吕氏》、《淮南》子上下相生，与《司马氏律书》、《汉前志》不同。虽大吕、夹钟、仲吕用倍数则一，然《吕氏》、《淮南》不过以数之多寡为生之上下，律吕阴阳皆错乱而无伦，非其本法也。」
律书生钟分
子一分，丑三分二，寅九分八，夘二十七分十六，辰八十一分六十四，已二百四十三分一百二十八，午七百二十九分五百一十二，未二千一百八十七分一千□□二十四，申六千五百六十一分四千□□九十六，酉一万九千六百八十三分八千一百九十二，戌五万九千□□四十九分三万二千七百六十八，亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六。
蔡子曰：「此即三分损益上下相生之数，其分字以上者，皆黄钟之全数【子律数、寅寸数、辰分数、午厘数、申毫数、戌丝数，其丑、夘、己、未、酉、亥，则三分律寸分厘毫丝之法也】其分字以下者，诸律所取于黄钟长短之数也【假令子一分，则一为九寸，是黄钟之全数；丑三分二，则一为三寸，三三如九，亦是黄钟之九寸，二分取其二，故林钟得六寸；寅九分八，则一为一寸，亦是黄钟之九寸，九分取其八，故太簇得八寸】其上下相生之叙，则《晋志》所谓『在六律为阳，则当位自得而下生于阴；六吕为阴，则得其所冲而上生于阳』者是也【丑为林钟，夘为南吕，已为应钟，未为大吕，酉为夹钟，亥为仲吕】大吕、夹钟、仲吕止得半声，必用倍数，乃与天地之气相应，其寸、分、厘、毫、丝皆积九以为法，详见上章。」
汉前志曰：黄钟三分损一，下生林钟；三分林钟益一，上生太簇；三分太簇损一，下生南吕；三分南吕益一，上生姑洗；三分姑洗损一，下生应钟；三分应钟益一，上生防賔；三分防賔损一，下生大吕；三分大吕益一，上生无射；三分无射损一，下生仲吕。阴阳相生，自黄钟始而左旋，八八为伍。律书曰：术曰：以下生者，倍其实，三其法；上生者，四其实，三其法【假令黄钟九寸，下生则倍其实为一尺八寸，三其法乃为六寸而得林钟；林钟六寸，上生则四其实为二尺四寸，三其法乃为八寸而得太簇。他皆仿此】汉后志曰：术曰：阳以圆为形，其性动；阴以方为节，其性静。动者数三，静者数二。以阳生阴，倍之；以阴生阳，四之：皆三而一。阳生阴曰下生，阴生阳曰上生。上生不得过黄钟之清浊，下生不得及黄钟之数实。皆参天两地，圆葢方覆，六耦承竒之道也。黄钟，律吕之首，而生十一律者也。
和声第五
汉前志曰：「黄钟为宫，则太簇、姑洗、林钟、南吕皆以正声应，无有忽微，不复与他律为役者，同心一统之义也。非黄钟而他律，虽当其月自宫者，则其和应之律有空积忽微，不得其正，此黄钟至尊，亡与并也。」
蔡子曰：「黄钟为十二律之首，他律无大于黄钟，故其正声不为他律役。其半声当为四寸五分，而前乃云无者，以十七万七千一百四十七之数不可分，又三分损益上下相生之所不及，故亦无所用也。至于大吕之变宫、夹钟之羽、仲吕之徴、防賔之变征、夷则之角、无射之啇，自用变律半声，非复黄钟矣。此其所以最尊而为君之象，然亦非人之所能为，乃数之自然，他律虽欲役之而不可得也。此一节最为律吕旋宫用声之纲领，古人言之已详，唯杜佑《通典》再生黄钟之法为得之，而他人皆不及也【佑説见下条】
汉后志京房六十律
黄钟【子】黄钟生林钟【未】
林钟生太簇【寅】太簇生南吕【酉】
南吕生姑洗【辰】姑洗生应钟【亥】
应钟生防賔【午】防賔生大吕【丑】
大吕生夷则【申】夷则生夹钟【夘】
夹钟生无射【戌】无射生仲吕【已】
仲吕生执始【子】执始生去灭【未】
去灭生时息【寅】时息生结躬【酉】
结躬生变虞【辰】变虞生迟内【亥】
迟内生盛变【午】盛变生分否【丑】
分否生解形【申】解形生开时【夘】
开时生闭掩【戌】闭掩生南中【已】
南中生丙盛【子】丙盛生安度【未】
安
译蔡邕说：“《吕氏春秋》和《淮南子》中关于律吕上下相生的说法，与《史记·律书》和《汉书·律历志》不同。虽然大吕、夹钟、仲吕在使用倍数时是一致的，但《吕氏春秋》和《淮南子》只是根据数字的多少来决定生成的上下顺序，导致律吕阴阳错乱而没有条理，这不符合它们的根本法则。”
《律书》记载生钟的分数：
子位一分，丑位三分二，寅位九分八，卯位二十七分十六，辰位八十一分六十四，巳位二百四十三分一百二十八，午位七百二十九分五百一十二，未位二千一百八十七分一千□□二十四，申位六千五百六十一分四千□□九十六，酉位一万九千六百八十三分八千一百九十二，戌位五万九千□□四十九分三万二千七百六十八，亥位一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六。
蔡邕说：“这就是三分损益上下相生的数值，‘分’字以上的数字，都是黄钟的完整数值【子位的律数、寅位的寸数、辰位的分数、午位的厘数、申位的毫数、戌位的丝数，而丑、卯、巳、未、酉、亥，则是三分律、寸、分、厘、毫、丝的方法】‘分’字以下的数字，是各律从黄钟中取用的长短数值【假设子位一分，那么一就是九寸，这是黄钟的完整数值；丑位三分二，那么一就是三寸，三三得九，也是黄钟的九寸，二分取其二，所以林钟得到六寸；寅位九分八，那么一就是一寸，也是黄钟的九寸，九分取其八，所以太簇得到八寸】上下相生的顺序，就是《晋书·律历志》所说的‘在六律为阳，则当位自得而下生于阴；六吕为阴，则得其所冲而上生于阳’的意思【丑为林钟，卯为南吕，巳为应钟，未为大吕，酉为夹钟，亥为仲吕】大吕、夹钟、仲吕只得到半声，必须使用倍数，才能与天地之气相应，其寸、分、厘、毫、丝都以九作为计算法则，详见上一章。”
《汉书·律历志》说：黄钟三分损一，下生林钟；三分林钟益一，上生太簇；三分太簇损一，下生南吕；三分南吕益一，上生姑洗；三分姑洗损一，下生应钟；三分应钟益一，上生蕤宾；三分蕤宾损一，下生大吕；三分大吕益一，上生无射；三分无射损一，下生仲吕。阴阳相生，从黄钟开始向左旋转，八八为伍。《律书》说：算法是：以下生者，加倍其实数，三分其法数；以上生者，四倍其实数，三分其法数【假设黄钟九寸，下生则加倍其实数为一尺八寸，三分其法数则为六寸而得到林钟；林钟六寸，上生则四倍其实数为二尺四寸，三分其法数则为八寸而得到太簇。其他都仿照此法】《汉书·律历志》说：算法是：阳以圆形为形体，其性质是动；阴以方形为节制，其性质是静。动者数为三，静者数为二。以阳生阴，加倍；以阴生阳，四倍：都除以三。阳生阴叫下生，阴生阳叫上生。上生不能超过黄钟的清浊程度，下生不能达到黄钟的数值实体。这都是参合天三、地二，圆盖方覆，六耦承奇的道理。黄钟，是律吕的首位，而生出其他十一律。
和声第五
《汉书·律历志》说：“黄钟为宫，那么太簇、姑洗、林钟、南吕都以正声相应，没有忽微的误差，不再与其他律为役，这是同心一统的意义。如果不是黄钟而是其他律，虽然在其月份自为宫者，那么其和应的律有空积忽微，不得其正，这是因为黄钟至尊，没有能与之并列的。”
蔡邕说：“黄钟是十二律的首位，其他律没有比黄钟更大的，所以它的正声不为其他律所役使。它的半声应当是四寸五分，而前面却说没有，是因为十七万七千一百四十七这个数字不可分，又是三分损益上下相生所不及的，所以也没有用处。至于大吕的变宫、夹钟的羽、仲吕的徵、蕤宾的变徵、夷则的角、无射的商，自己使用变律的半声，不再是黄钟了。这就是它最尊贵而作为君主象征的原因，然而也不是人力所能为的，而是数值的自然规律，其他律虽然想役使它却做不到。这一节最为律吕旋宫用声的纲领，古人已经说得详细了，只有杜佑《通典》中再生黄钟的方法是正确的，而其他人都不及【杜佑的说法见下条】
《汉书·律历志》京房六十律
黄钟【子】黄钟生林钟【未】
林钟生太簇【寅】太簇生南吕【酉】
南吕生姑洗【辰】姑洗生应钟【亥】
应钟生蕤宾【午】蕤宾生大吕【丑】
大吕生夷则【申】夷则生夹钟【卯】
夹钟生无射【戌】无射生仲吕【巳】
仲吕生执始【子】执始生去灭【未】
去灭生时息【寅】时息生结躬【酉】
结躬生变虞【辰】变虞生迟内【亥】
迟内生盛变【午】盛变生分否【丑】
分否生解形【申】解形生开时【卯】
开时生闭掩【戌】闭掩生南中【巳】
南中生丙盛【子】丙盛生安度【未】
安
未育生离宫【午】离宫生凌阴【丑】
凌，阴生去南【申】去南生族嘉【卯】
族嘉生邻齐【戌】邻齐生内负【已】
内负生分动【子】分动生归嘉【未】
归嘉生随时【寅】随时生未卯【酉】
未卯生形始【辰】形始生迟时【亥】
迟时生制时【午】制时生少出【丑】
少出生分积【申】分积生争南【夘】
争南生期保【戌】期保生物应【已】
物应生质未【子】质未生否与【未】
否与生形晋【寅】形晋生惟汗【酉】
惟汗生依行【辰】依行生包育【亥】
包育生谦待【未】谦待生未知【寅】
未知生白吕【酉】白吕生南授【辰】
南授生分乌【亥】分乌生南事【午】
蔡子曰：「世之论律者，皆以十二律为循环相生，不知三分损益之数往而不返，仲吕再生黄钟，止得八寸七分有竒不成黄钟正声。京房觉其如此，故仲吕再生，别名执始，转生四十八律。其三分损益不尽之筭或弃或増夫仲吕上生不成黄钟，京房之见则是矣；至于转生四十八律，则是不知变律之数止于六者，出于自然，不可复加，虽强加之，而亦无所用也。况律学微妙，其生数立法，正在毫厘秒忽之间，今乃以不尽之筭不容损益，遂或弃之，或増之，则其畸赢赘▯之积，亦不得为此律矣。又依行在辰，上生包育，编于黄钟之次，乃是隔九。其黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗，每律统五律；防賔应钟，毎律统四律；大吕、夹钟、仲吕、夷则、无射，每律统三律。三五不周，多寡不例，其与反生黄钟，相去五十百歩之间耳。意者房之所传，出于焦氏，焦氏卦气之学，亦去四而为六十，故其推律，亦必求合卦气之数。不知数之自然，在律者不可増而于卦者不可减也。何承天、刘焯讥房之病，盖得其一二。然承天与焯皆欲増林钟已下十一律之分，使至仲吕反生黄钟，还得十七万七千一百四十七之数。如此，则是惟黄钟一律成律，他十一律皆不应三分损益之数，其失又甚于房矣。可谓目察秋毫而不见其睫也。」
杜佑通典》曰：陈仲儒云：「调声之体，宫商宜浊，征羽宜清。若依公孙崇，止以十二律而云还相为宫，清浊悉足，非惟未练五调调器之法，至于五声次第，自是不足。何者？黄钟为声气之元，其管最长，故以黄钟为宫，太簇为商，林钟为征，则一相顺。若均之八音，犹须错采众声，配成其美。若以应钟为宫，大吕为商，防賔为征，则征浊而宫清，虽有其韵，不成音曲。若以无射为宫，则十二律中惟得取仲吕为征，其商、角、羽并无其韵。若以仲吕为宫，则十二律内全无所取。何者？仲吕为十二律之穷，变律之首也。依京房书，仲吕为宫，乃以去灭为商，执始为征，然后成韵。而崇乃以仲吕为宫，犹用林钟为商，黄钟为征，何由可谐？」
按仲儒所以攻公孙崇者当矣，其论应钟为宫、大吕为商、防賔为征，商、征皆浊于宫，虽有其韵，不成音曲。又谓仲吕为宫，则十二律内全无所取，尤为的切。然仲儒所主是亰氏六十律，不知依行为宫、包育为征，果成音曲乎？果有其韵乎？盖仲儒知仲吕之反生不可为黄钟，而不知变至于六，则数穷不生，虽或増或弃，成就使然之数，强生余律，亦无所用也。
通典》曰：「十二律相生之法，自黄钟始【黄钟之管九寸】三分损益，下生林钟；林钟上生太簇，太簇下生南吕，南吕上生姑洗，姑洗下生应钟，应钟上生防賔，防賔上生大吕，大吕下生夷则，夷则上生夹钟，夹钟下生无射，无射上生仲吕【仲吕之管长六寸一万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四】此谓十二律长短相生一终于仲吕之法。又制十二钟，以准十二律之正声。又鳬氏为钟，以律计自倍半。以子声比正声，则正声为倍；以正声比子声，则子声为半。但先儒释用倍声有二义：一义云，半十二律正律，为十二子声之钟；二义云，从于仲吕之管寸数，以三分益一，上生黄钟，以所得管之寸数，然后半之，以为子声之钟。其为变正声之法者，以黄钟之管正声九寸，子声则四寸半。又上
译未育生离宫【午】，离宫生凌阴【丑】。
凌阴生去南【申】，去南生族嘉【卯】。
族嘉生邻齐【戌】，邻齐生内负【巳】。
内负生分动【子】，分动生归嘉【未】。
归嘉生随时【寅】，随时生未卯【酉】。
未卯生形始【辰】，形始生迟时【亥】。
迟时生制时【午】，制时生少出【丑】。
少出生分积【申】，分积生争南【卯】。
争南生期保【戌】，期保生物应【巳】。
物应生质未【子】，质未生否与【未】。
否与生形晋【寅】，形晋生惟汗【酉】。
惟汗生依行【辰】，依行生包育【亥】。
包育生谦待【未】，谦待生未知【寅】。
未知生白吕【酉】，白吕生南授【辰】。
南授生分乌【亥】，分乌生南事【午】。
蔡子曰：“世上讨论音律的人，都认为十二律是循环相生的，不知道三分损益的数理是往而不返的。仲吕再生黄钟，只得到八寸七分零几，不能成为黄钟的正声。京房觉察到这一点，所以仲吕再生时，改名为执始，转而生成四十八律。那些三分损益计算不尽的余数，有的舍弃，有的增加。至于仲吕上生不能成为黄钟，京房的见解是正确的；至于转而生成四十八律，则是不知道变律的数目止于六，这是出于自然，不能再增加，即使强行增加，也没有用处。况且律学微妙，其生成数理和立法，正在毫厘秒忽之间，现在因为不尽的余数不容损益，就有的舍弃，有的增加，那么那些畸零盈余的积累，也不能成为这律了。又依行在辰位，上生包育，编排在黄钟的次序，这是隔了九位。黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗，每律统辖五律；蕤宾、应钟，每律统辖四律；大吕、夹钟、仲吕、夷则、无射，每律统辖三律。三和五不能周全，多少不均衡，这与反生黄钟，相差不过五十百步之间罢了。大概京房所传的，出自焦氏，焦氏卦气的学问，也是去掉四位而为六十，所以推演音律，也必定要符合卦气的数目。不知道数理的自然，在音律方面不可增加，而在卦气方面不可减少。何承天、刘焯讥讽京房的弊病，大概得到了一二。然而承天和焯都想增加林钟以下十一律的分寸，使得仲吕反生黄钟，还能得到十七万七千一百四十七的数目。这样，就只是黄钟一律成律，其他十一律都不符合三分损益的数理，他们的过失又比京房严重了。可以说是目察秋毫而不见其睫了。”
《通典》说：陈仲儒说：“调声的体制，宫商宜浊，徵羽宜清。如果依照公孙崇，只用十二律而说还相为宫，清浊都足够，不仅没有熟习五调调器的方法，至于五声的次第，自然是不够的。为什么呢？黄钟是声气的本源，它的管子最长，所以以黄钟为宫，太簇为商，林钟为徵，则一相顺。如果均分八音，还需要错杂众声，配成其美。如果以应钟为宫，大吕为商，蕤宾为徵，则徵浊而宫清，虽然有其韵，不成音曲。如果以无射为宫，则十二律中只能取仲吕为徵，其商、角、羽都没有其韵。如果以仲吕为宫，则十二律内全无所取。为什么呢？仲吕是十二律的穷尽，变律的首位。依照京房的书，仲吕为宫，才以去灭为商，执始为徵，然后成韵。而公孙崇却以仲吕为宫，还用林钟为商，黄钟为徵，怎么能够和谐呢？”
按：仲儒之所以攻击公孙崇是恰当的，他论述应钟为宫、大吕为商、蕤宾为徵，商、徵都浊于宫，虽然有其韵，不成音曲。又说仲吕为宫，则十二律内全无所取，尤为确切。然而仲儒所主张的是京氏六十律，不知道依行为宫、包育为徵，果真能成音曲吗？果真有韵吗？大概仲儒知道仲吕的反生不能成为黄钟，而不知道变至于六，则数穷不生，即使有的增加有的舍弃，成就使然的数目，强行生成余律，也没有用处。
《通典》说：“十二律相生的方法，从黄钟开始【黄钟的管子九寸】，三分损益，下生林钟；林钟上生太簇，太簇下生南吕，南吕上生姑洗，姑洗下生应钟，应钟上生蕤宾，蕤宾上生大吕，大吕下生夷则，夷则上生夹钟，夹钟下生无射，无射上生仲吕【仲吕的管子长六寸一万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四】，这叫做十二律长短相生一终于仲吕的方法。又制作十二钟，以准十二律的正声。又凫氏制作钟，以律计算自倍半。以子声比正声，则正声为倍；以正声比子声，则子声为半。但先儒解释使用倍声有二义：一义说，半十二律正律，为十二子声之钟；二义说，从仲吕的管子寸数，以三分益一，上生黄钟，以所得管子的寸数，然后半之，以为子声之钟。其为变正声的方法者，以黄钟的管子正声九寸，子声则四寸半。又上
下相生之法者，以仲吕之管长六寸一万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四，上生黄钟，三分益一，得八寸五万九千□□四十九分寸之五万一千八百九十六，半之，得四寸五万九千□□四十九分寸之二万五千九百四十八，以为黄钟。又上下相生，以至仲吕，皆以相生所得之律寸数半之，以为子声之律。」
译所谓向下相生的方法，是用仲吕的律管，长度为六寸一万九千六百八十三分寸中的万二千九百七十四，向上生出黄钟，采用三分益一的方法，得到八寸五万九千□□四十九分寸中的五万一千八百九十六，将其减半，得到四寸五万九千□□四十九分寸中的二万五千九百四十八，以此作为黄钟的律管长度。又通过上下相生，直到仲吕，都将相生所得的律管长度减半，作为子声的律管长度。
蔡子曰：「此説黄钟九寸生十一律，有十二子声，所谓正律、正半律也。又自仲吕上生黄钟，黄钟八寸五万九千□□四十九分寸之五万一千八百九十六，又生十一律，亦有十二子声，即所谓变律、变半律也。正变及半凡四十八声，上下相生，最得汉志所谓黄钟不复为他律役之意，与律书五声大小次第之法。但变律止于应钟，虽设而无所用，则其实三十六声而已。其间阳律不用变声，而黄钟又不用正半声；阴吕不用正半声，而应钟又不用变半声，其实又二十八声而已。其详见于前篇之八章。」
五声小大之次第六
国语》曰：「大不逾宫，细不过羽。」夫宫，音之主也，第以及羽。《律书》曰：「律数：九九八十一以为宫，三分去一，五十四。」
以为征，三分益一，七十二以为商；三分去一，四十八以为羽；三分益一，六十四以为角。通典曰：「古之神瞽攷律均声，必先立黄钟之均【五声十二律起于黄钟之气数】黄钟之管以九寸为法【度其中气明其阳数之极】故用九自乗为管丝之数【九九八十一数】其増减之法又以三为度，以上生者皆三分益一，下生者皆三分去一。宫生征【三分宫数八十一，则分各二十七，下生者去一，去二十七，余有五十四以为徴，故征数五十四也】征生商【三分征数五十四，则分各十八，土生者益一，加十八于五十四，得七十二以为为商，故商数七十二也】商生羽【三分商数七十二，则分各二十四，下生者去其一，去二十四，得四十八以为羽，故羽数四十八也】羽生角【三分羽数四十八，则分各十六，上生者益一，加十六于四十八，则得六十四以为角，故角数六十四也】此五声小大之次也。是黄钟为均用五声之法，以下十一辰，辰各有五声，其为宫商之法亦如之。辰各有五声，合为六十声，是十二律之正声也。」蔡子曰：「宫声之数八十一，商声之数七十二，角声之数六十四，征声之数五十四，羽声之数四十八，是黄钟一均之数，而十一律于此取法焉。《通典》所谓『以下十一辰，辰各五声，其为宫为商之法亦如之』者是也。夫以十二律之宫长短不同，而其臣民事物尊卑莫不有序而不相陵犯，良以是耳。沈括不知此理，乃以为五十四在黄钟为征，在夹钟为角，在仲吕为商者，其亦误矣。俗乐之有清声，盖亦畧知此意，但不知仲吕反生黄钟，黄钟又自林钟再生太簇，皆为变律，己非黄钟太簇之正声耳。胡安定知其如此，故于四清声皆小其围径，则黄钟太簇二声虽合，而大吕夹钟二声又非本律之半，且自夷则至应钟四律皆以」次小其围径以就之，遂使十二律、五声皆有不得其正者，则亦不成乐矣。若李照、蜀公止用十二律，则又全然不知此理者也。盖乐之和者，在于三分损益；乐之辨者，在于上下相生。若李照、蜀公之法，其合于三分损益者则和矣，自夷则以下，则其臣民事物岂能尊卑有辨而不相陵犯乎？晋荀朂之笛、梁武帝之通，亦不知此而有作者也。
变宫变征第七
春秋左氏传》晏子曰：「先王之济五味、和五声也，以平其心、成其政也。声亦如味，一气、二体、三类、四物、五声、六律、七音、八风、九歌，以相成也。」汉前志曰：「书曰：『予欲闻六律、五声、八音、七始咏，以出纳五言，汝聴。』」《淮南子》曰：「宫生征，征生商，商生羽，羽生角，角生应钟，比于正音，故为和；应钟生防賔，不比于正音，故为缪。」《通典》注曰：「按应钟为变宫，防賔为变征。自殷以前但有五音，自周以来加文、武二声，谓之七声。五声为正，二声为变，变者和也。言七始，便欲起调。」
蔡子曰：「宫与商、商与角、征与羽，相去皆一律；角与征、羽与宫，相去独二律。一律则近而和，二律则逺而不相及，故宫、羽之间有变宫，角、征之间有变征。此亦出于自然，左氏所谓七音、《汉前志》所谓七始是也。然五声者，正声，故以起调毕曲，为诸声之纲。至二变声，则宫不成宫、征不成征，不比于正音，但可
译蔡邕说：“这种说法认为黄钟九寸生出十一律，有十二个子声，这就是所谓的正律、正半律。又从仲吕向上生出黄钟，黄钟的长度为八寸五万九千……四十九分寸之五万一千八百九十六，又生出十一律，也有十二个子声，这就是所谓的变律、变半律。正律、变律以及它们的半律共有四十八个声，上下相生，最符合《汉书·律历志》所说的黄钟不成为其他律的役使之意，也符合《律书》中五声大小次第的方法。只是变律只到应钟为止，虽然设立了却没有什么用处，实际上只有三十六个声。其中阳律不使用变声，而黄钟又不使用正半声；阴吕不使用正半声，而应钟又不使用变半声，实际上又只有二十八个声。详细情况见前篇第八章。”
五声大小的次第第六
《国语》说：“大的不超过宫，细的不超过羽。”宫是音的主音，其次一直到羽。《律书》说：“律数：九九八十一作为宫，三分去掉一，五十四作为徵，三分增加一，七十二作为商；三分去掉一，四十八作为羽；三分增加一，六十四作为角。”《通典》说：“古代的神瞽考察律吕均定声调，必定先确立黄钟的均【五声十二律起源于黄钟的气数】黄钟的管以九寸为法度【度量其中气明确其阳数的极致】所以用九自乘作为管丝的数量【九九八十一数】其增减的方法又以三为度，向上生的都三分增加一，向下生的都三分去掉一。宫生徵【三分宫数八十一，则每份二十七，向下生的去掉一，去掉二十七，剩余五十四作为徵，所以徵数是五十四】徵生商【三分徵数五十四，则每份十八，向上生的增加一，在五十四上加十八，得到七十二作为商，所以商数是七十二】商生羽【三分商数七十二，则每份二十四，向下生的去掉一，去掉二十四，得到四十八作为羽，所以羽数是四十八】羽生角【三分羽数四十八，则每份十六，向上生的增加一，在四十八上加十六，得到六十四作为角，所以角数是六十四】这是五声大小的次第。这是黄钟作为均使用五声的方法，以下十一辰，每个辰各有五声，它们作为宫商的方法也是如此。每个辰各有五声，合起来为六十声，这是十二律的正声。”蔡邕说：“宫声的数是八十一，商声的数是七十二，角声的数是六十四，徵声的数是五十四，羽声的数是四十八，这是黄钟一均的数，而十一律在这里取法。《通典》所说的‘以下十一辰，每个辰各五声，它们作为宫商的方法也是如此’就是这个意思。因为十二律的宫长短不同，而臣民事物尊卑没有不有序而不相侵犯的，实在是因为这个道理。沈括不知道这个道理，竟认为五十四在黄钟为徵，在夹钟为角，在仲吕为商，这也错了。俗乐中有清声，大概也略知这个意思，但不知道仲吕反生黄钟，黄钟又从林钟再生太簇，都是变律，已经不是黄钟太簇的正声了。胡瑗知道这样，所以在四清声都缩小其围径，那么黄钟太簇二声虽然相合，但大吕夹钟二声又不是本律的半，而且从夷则到应钟四律都依次缩小其围径来凑合，于是使十二律、五声都有不得其正的，也就不成音乐了。如果李照、吕公只使用十二律，那就完全不知道这个道理了。大概音乐的和谐，在于三分损益；音乐的辨别，在于上下相生。如果李照、吕公的方法，符合三分损益的则和谐了，从夷则以下，那么臣民事物怎么能尊卑有辨而不相侵犯呢？晋荀勖的笛、梁武帝的通，也是不知道这个道理而有创作的人。”
变宫变徵第七
《春秋左氏传》晏子说：“先王调和五味、和谐五声，用来平定人心、成就政事。声也像味一样，一气、二体、三类、四物、五声、六律、七音、八风、九歌，互相成就。”《汉书·律历志》说：“《尚书》说：‘我想听到六律、五声、八音、七始咏，用来出纳五言，你听。’”《淮南子》说：“宫生徵，徵生商，商生羽，羽生角，角生应钟，相比正音，所以为和；应钟生蕤宾，不比正音，所以为缪。”《通典》注说：“按应钟为变宫，蕤宾为变徵。从殷以前只有五音，从周以来加上文、武二声，称为七声。五声为正，二声为变，变是和谐的意思。说七始，便是要起调。”
蔡邕说：“宫与商、商与角、徵与羽，相隔都是一律；角与徵、羽与宫，相隔唯独二律。一律则近而和，二律则远而不相及，所以宫、羽之间有变宫，角、徵之间有变徵。这也出于自然，左氏所说的七音、《汉书·律历志》所说的七始就是这个意思。然而五声是正声，所以用来起调毕曲，作为诸声的纲领。至于二变声，则宫不成宫、徵不成徵，不比正音，但可
六十调第八
周礼》曰：「春官大司乐：凡乐，圜钟为宫，黄钟为角，太簇为征，姑洗为羽，雷鼔、雷鼗，孤竹之管，云和之琴瑟，《云门》之舞，冬日至于地上之圜丘奏之。若乐六变，则天神皆降，可得而礼矣。凡乐，函钟为宫，太簇为角，姑洗为征，南吕为羽，灵鼔、灵鼗，孙竹之管，空桑之琴瑟，《咸池》之舞，夏日至于泽中之方丘奏之。若乐八变，则地示皆出，可得而礼矣。凡乐，黄钟为宫，大吕为角，太簇为征，应钟为羽，路鼓、路鼗，阴竹之管，龙门之琴瑟，《九徳》之歌、《九磬》之舞，于宗庙之中奏之。若乐九变，则人▯可得而礼矣。」
蔡子曰：「祭祀之乐不用商声，只有宫、角、征、羽四声，无变宫、变徴，盖古人变宫、变征不为调也。《左氏传》曰：『中声以降，五降之后，不容弹矣。』夫五降之后，更有变宫、变征，而曰不容弹者，以二变之不可为调也【或问：「《周礼·大司乐》説宫、角、征、羽与七声不合，如何？」朱子曰：「此是降神之乐，如黄钟为宫、大吕为角、太簇为征、应钟为羽，自是四乐各举其一者而言之。以大吕为角，则南吕为宫；太簇为征，则林钟为宫；应钟为羽，则太簇为宫。以七声推之合如此，注家之说非也】
礼记·礼运》曰：「五声、六律、十二管，还相为宫也。」郑氏注曰：「五声，宫、商、角、征、羽也。其管阳曰律，阴曰吕。布十二辰，始于黄钟，管长九寸，下生者三分去一，上生者三分益一，终于仲吕，更相为宫，凡六十也。」孔氏防曰：「黄钟为第一宫，下生林钟为征，上生太簇为商，下生南吕为羽，上生姑洗为角；林钟为第二宫，上生太簇为征，下生南吕为商，上生姑洗为羽，下生应钟为角；太簇为第三宫，下生南吕为征，上生姑洗为商，下生应钟为羽，上生防賔为角；南吕为第四宫，上生姑沈为征，下生应钟为商，上生防賔为羽，上生大吕为角；姑洗为第五宫，下生应钟为征，上生防賔为商，上生大吕为羽，下生夷则为角；应钟为第六宫，上生防賔为征，上生大吕为商，下生夷则为羽，上生夹钟为角；防賔为第七宫，上生大吕为征，下生夷则为商，上生夹钟为羽，下生无射为角；大吕为第八宫，下生夷则为征，上生夹钟为商，下生无射为羽，上生仲吕为角；夷则为第九宫，上生夹钟为征，下生无射为商，上生仲吕为羽，上生黄钟为角；夹钟为第十宫，下生无射为征，上生仲吕为商，上生黄钟为羽，下生林钟为角；无射为第十一宫，上生仲吕为征，上生黄钟为商，下生林钟为羽，上生太簇为角；仲吕为第十二宫，上生黄钟为征，下生林钟为商，上生太簇为羽，下生南吕为角。是十二宫各有五声，凢六十声。」《淮南子》曰：「一律而五音，十二律而为六十音。因而六之，六六三十六，故三百六十音，以当一嵗之日。故律厯之数，天之道也。」
蔡子曰：「五声者，所以起调毕曲，为诸声之纲领。礼运所谓还相为宫，所以始于黄钟，终于南吕也。后世以变宫、变征参而八十四调，其亦不攷矣。」
▯气第九
后汉志▯气之法，为室三重，户闭涂衅必周密，布缇缦室中。以木为按，每律各一，内庳外高，从其方位，加律其上，以葭莩灰抑其内端，按厯而▯之。气至者灰去。其为气所动者，其灰散；人及风所动者，其灰聚。隋志：后齐神武霸府田曹叅军信都芳，深有巧思，能以管▯气，仰观云色。尝与人对语，即指天曰：「孟春之气至矣。」人往验管，而飞灰已应。毎月所▯，言皆无爽。又为轮扇二十四，埋地中，以测二十四气。每一气感，则一扇自动，他扇自住，与管灰相应若符契焉。开皇九年平陈后，高祖遣毛爽及蔡子元、于普明等以▯节气。依古于三重密室之内，以木为按十有二具。毎取律吕之管，随十二辰位置于按上，而以土埋之，上平于地，中实葭莩之灰，以轻缇素覆律口。毎其月气至，与律冥符，则灰飞冲素，散出于外。而气应有早晚，灰飞有多少。或初
译六十调第八
《周礼》说：“春官大司乐：凡是音乐，以圜钟为宫，黄钟为角，太簇为徵，姑洗为羽，使用雷鼓、雷鼗，孤竹制成的管乐器，云和制成的琴瑟，跳《云门》舞，在冬至日于地上的圆丘演奏。如果音乐演奏六变，那么天神都会降临，可以举行礼仪了。凡是音乐，以函钟为宫，太簇为角，姑洗为徵，南吕为羽，使用灵鼓、灵鼗，孙竹制成的管乐器，空桑制成的琴瑟，跳《咸池》舞，在夏至日于沼泽中的方丘演奏。如果音乐演奏八变，那么地神都会出现，可以举行礼仪了。凡是音乐，以黄钟为宫，大吕为角，太簇为徵，应钟为羽，使用路鼓、路鼗，阴竹制成的管乐器，龙门制成的琴瑟，唱《九德》之歌，跳《九磬》之舞，在宗庙之中演奏。如果音乐演奏九变，那么人鬼都可以举行礼仪了。”
蔡邕说：“祭祀的音乐不使用商声，只有宫、角、徵、羽四声，没有变宫、变徵，大概古人认为变宫、变徵不能构成调式。《左传》说：‘中声以下，五降之后，就不能弹奏了。’五降之后，还有变宫、变徵，却说不能弹奏，是因为这两种变声不能构成调式【有人问：‘《周礼·大司乐》所说的宫、角、徵、羽与七声不合，怎么解释？’朱熹说：‘这是降神的音乐，如黄钟为宫、大吕为角、太簇为徵、应钟为羽，自然是四种乐各举其一而言。以大吕为角，则南吕为宫；太簇为徵，则林钟为宫；应钟为羽，则太簇为宫。用七声推演，应当如此，注家的说法是不对的】
《礼记·礼运》说：“五声、六律、十二管，轮流作为宫音。”郑玄注说：“五声，就是宫、商、角、徵、羽。管乐中阳声叫律，阴声叫吕。分布十二时辰，始于黄钟，管长九寸，下生者三分去一，上生者三分益一，终于仲吕，互相作为宫音，总共六十个。”孔颖达说：“黄钟为第一宫，下生林钟为徵，上生太簇为商，下生南吕为羽，上生姑洗为角；林钟为第二宫，上生太簇为徵，下生南吕为商，上生姑洗为羽，下生应钟为角；太簇为第三宫，下生南吕为徵，上生姑洗为商，下生应钟为羽，上生蕤宾为角；南吕为第四宫，上生姑洗为徵，下生应钟为商，上生蕤宾为羽，上生大吕为角；姑洗为第五宫，下生应钟为徵，上生蕤宾为商，上生大吕为羽，下生夷则为角；应钟为第六宫，上生蕤宾为徵，上生大吕为商，下生夷则为羽，上生夹钟为角；蕤宾为第七宫，上生大吕为徵，下生夷则为商，上生夹钟为羽，下生无射为角；大吕为第八宫，下生夷则为徵，上生夹钟为商，下生无射为羽，上生仲吕为角；夷则为第九宫，上生夹钟为徵，下生无射为商，上生仲吕为羽，上生黄钟为角；夹钟为第十宫，下生无射为徵，上生仲吕为商，上生黄钟为羽，下生林钟为角；无射为第十一宫，上生仲吕为徵，上生黄钟为商，下生林钟为羽，上生太簇为角；仲吕为第十二宫，上生黄钟为徵，下生林钟为商，上生太簇为羽，下生南吕为角。这是十二宫各有五声，总共六十声。”《淮南子》说：“一律有五种音，十二律就有六十音。再乘以六，六六三十六，所以有三百六十音，以对应一年的天数。所以律历的数目，是天道。”
蔡邕说：“五声，是用来起调终曲，作为各种声音的纲领。《礼运》所说的轮流作为宫音，所以始于黄钟，终于南吕。后世将变宫、变徵参合而成八十四调，这也是没有考证的。”
〇候气第九
《后汉书·律历志》候气的方法，建造三重房间，门户关闭，涂抹缝隙必须严密，在室内铺设红色缯幔。用木头制作案台，每个律管各一个，内低外高，按照方位，把律管放在上面，用葭莩灰压住律管内部的一端，按照历法来观察它。节气到了，灰就会飞散。被节气之气所动的，灰会散开；被人或风所动的，灰会聚集。《隋书》记载：后齐神武霸府田曹参军信都芳，很有巧思，能够用律管候气，仰观云色。曾经与人对话，就指着天说：“孟春之气到了。”人们去查验律管，飞灰已经应验。每月所候，所说的都没有差错。又制作二十四扇轮扇，埋在地下，用来测候二十四节气。每一个节气感应，就有一扇自动，其他扇静止，与律管飞灰相应如同符契。开皇九年平定陈朝后，高祖派遣毛爽及蔡子元、于普明等人来候节气。依照古法，在三重密室之内，用木头制作十二具案台。每次取律吕的管，随十二时辰的位置放在案台上，并用土埋住，上面与地面平齐，中间装满葭莩灰，用轻薄的白色缯布覆盖律管口。每当该月节气到来，与律管冥冥相合，灰就飞起冲破白布，散出外面。而节气应有早晚，灰飞有多少。有的初
入月其气即应，或至中下旬间气始应者；或灰飞出三五夜而尽，或终月才飞少许者。高祖异之，以问牛▯。牛▯对曰：「灰飞半出，为和气吹；灰全出，为猛气吹；灰不能出，为衰气吹。和气应者，其政平；猛气应者，其臣纵；衰气应者，其君暴。」高祖駮之曰：「臣纵君暴，其政不平，非日别而月异也。今十二月于一嵗之内，应用不同，安得暴君纵臣若斯之甚也？」▯不能对。令爽等草定其法。爽因稽诸故实，以着于篇，名曰《律谱》。其畧云：汉兴，张苍定律，乃推五胜之法，以为水徳。寔因战国官失其守，后秦灭学，其道浸微，苍补缀之，未▯详究。及孝武创制，乃置恊律之官，用李延年以为都尉，颇解新声变曲，未达音律之源。至于元帝，自晓音律，郎官京房亦达其妙。于后刘歆典领，奏着其始末，理渐研精。班氏《汉志》，尽歆所出也；司马彪《志》，并房所出也。至于后汉，尺度稍长，魏代杜防亦制律吕，以之▯气，灰悉不飞。晋光禄大夫荀勗得古铜管，校防所制，长古四分，方知不调，事由其误，乃依《周礼》更造古尺，用之定管，声韵始调。左晋之后，渐又讹谬。至梁武帝时，犹有汲冢玉律。宋苍梧时，鑚为横吹，然其长短厚薄，大体具存。臣先人栖诚，学筭祖暅，问律于何承天，沈研三纪，颇达其妙。后为大常丞，典司乐职，乃取玉管及宋太史，并以闻奏。诏付大匠，依样制管。自斯以后，律又飞灰。侯景之乱，臣兄喜于大乐得之。后陈宣帝诣荆州为质，俄遇梁元帝败，喜没于周。适欲上闻，陈武帝立，遂以十二管衍为六十律，私▯气序，并有征应。至太建，乃与均钟器合。蔡子曰：「律者，阳气之动，阳声之始，必声和气应，然后可以见天地之心。今不此之先，而乃区区于黍之纵横、古钱之大小，其亦难矣。然非精于厯数，则气节亦未易正也。」
译进入某月，节气之气就应当感应；有的要到月中下旬，节气之气才开始感应；有的飞灰飞出三五夜就飞尽了，有的整个月才飞出一小部分。高祖对此感到诧异，拿来询问牛〇。牛〇回答说：“飞灰飞出一半，是平和之气吹动；飞灰全部飞出，是猛烈之气吹动；飞灰不能飞出，是衰微之气吹动。平和之气应验的，政治就平稳；猛烈之气应验的，臣下就放纵；衰微之气应验的，君主就残暴。”高祖驳斥他说：“臣下放纵、君主残暴，政治就不平稳，并不是每天不同、每月各异。如今十二个月在一年之内，应用的情况各不相同，怎么能出现如此严重的暴君和放纵的臣下呢？”牛〇不能回答。高祖命令令爽等人起草制定这套方法。令爽于是考证古代事实，将其著录成篇，命名为《律谱》。其大略说：汉朝兴起，张苍制定音律，于是推演五胜之法，认为汉朝是水德。这实在是因为战国时期官职失守，后来秦朝毁灭学术，其道逐渐衰微，张苍加以修补，未能〇详细探究。等到汉武帝创立制度，于是设置协律的官职，任用李延年担任都尉，他颇能理解新声变曲，却未通达音律的根源。到了汉元帝，自己通晓音律，郎官京房也通达其中的奥妙。此后刘歆主管此事，上奏著录其始末，道理逐渐研究精深。班固的《汉书·律历志》，全出自刘歆；司马彪的《续汉书·律历志》，全出自京房。到了东汉，尺度稍长，魏代杜预也制定律吕，用来〇测节气，飞灰全都不飞。晋朝光禄大夫荀勗得到古代铜管，校验杜预所制的律管，发现比古管长四分，才知道音律不调，事情是由于他的错误，于是依照《周礼》重新制作古尺，用它来定管，声韵才开始协调。西晋之后，逐渐又出现讹误。到了梁武帝时，还有汲冢出土的玉律。宋苍梧王时，将其钻孔制成横吹乐器，但其长短厚薄，大体尚存。我的先人蔡栖诚，师从祖暅学习算学，向何承天请教音律，潜心研究三十年，颇能通达其中的奥妙。后来担任大常丞，掌管乐职，于是取出玉管及宋太史所制律管，一并上奏。诏令交给大匠，依照样式制作律管。从此以后，律管又能飞灰。侯景之乱时，我的兄长蔡喜在大乐署得到它。后来陈宣帝到荆州做人质，不久遭遇梁元帝兵败，蔡喜没入北周。刚想上奏，陈武帝即位，于是将十二律管推衍为六十律，私下〇测节气次序，都有征验。到了太建年间，才与均钟器相合。蔡子说：“律，是阳气的发动，阳声的开始，必须声音和谐、节气感应，然后才能看见天地之心。如今不先求于此，却只在黍米的纵横、古钱币的大小上斤斤计较，这也太难了。然而如果不精通历法算术，那么节气也难以校正。”