数学卷一

数学卷一

婺源江永撰厯学补论【勿庵先生厯学疑问三卷五十二章，又补二卷二十四章。已为厯法疏通源流，指示窔奥。永熟味其书，别有触悟，随笔识之。或赘説于本书之外，或衍绎于本书之中。泰山河海，无俟一卷一勺，聊自道其管蠡窥测云尔】

论天地开辟问天地，固当有始？如陈星川壤，天地人三元之説，一元有二千四百一十九万二千年，今当人元四百五十六万六千余年者，固为荒唐矣。邵子《皇极经世书》谓一元有十二万九千六百年，分十二防，一防一万八百年，天开于子，地辟于丑，人生于寅。禹即位后八年而入未防，则自天开至今七万余年，生人至今亦五万余年。世以邵子精于数学也，而信之。自西士之书出，则自开辟以来只五六千年，何若是其不侔耶？果孰非而孰是耶？曰：以理断之，疑西説近是也。中国有载籍始于唐虞，尧至今四千余年，尧以前略有传闻而难徴信。度有人物之初，距唐虞之世其年当不甚逺，岂有遥遥五六万年晦冥如夜，竟无纪载可稽耶？又大西洋载其国古老所记，亦似不过四千年。夫中国相去数万里，而年数符同若斯，则四千年以前徧天地有人物者，不过一二千年，如今日之视秦汉已耳，当不以万计也。顾天地之开辟虽有最初之年，而其醖酿于未开辟之先者，必需积渐之久，如人兽之胎，虫鸟之卵，草木之果实根荄，皆含生于未生之前，此则不知防何年耳。曰：西士之言固可信矣，其纪年亦自不同。《天地仪书》谓自开辟至崇祯庚辰五千六百三十余年，《圣经直解》则云六千八百三十六年。依稽古定仪推之，则五千七百三十年；《月离厯指》则谓崇祯戊辰为总期之六千三百四十一年。诸説孰为是耶？曰：予尝推之矣。其言五千余年是开辟之始，太阳最高在春分也。此则稽古定仪之年为近【元至元辛巳，髙冲在冬至，最髙在夏至，开辟以来行一象限九十度，以今厯一年行一分一秒一十微推之，九十度有五千三百余年，稽古定仪开辟至至元辛巳五千三百七十年】其言六千余年是开辟之始，冬至日躔壁宿为亥末戌初也。此则《圣经直解》。之年为近【崇祯庚辰冬至日在箕四度溯前六千八百三十余年约退九十八度日在壁】二者皆有理，不知果孰为确耳？曰：然则古厯家谓上元必是甲子岁前十一月甲子朔旦夜半冬至，日月如合璧，五星如连珠，其説信然乎？曰：未必然也。天地开辟如人之初生，已属后天，其始尚有胚胎之岁月，则甲子日月五星不必皆从始处始也。以为始于甲子岁，安知其不始于他年乎【西书诸説皆非甲子】以为始于十一月朔，安知其不始于十一月望乎【冬至为中气，望为月半】以为始于冬至，安知其不始于春分乎【天文实用云开辟初时适当春分，又云中西皆以角为宿首，因开辟首日昏时角为中星也】以为始于甲子夜半，则时刻随方有里差，西方见早，东方见晩，西以为子，东以为丑，东以为子，西以为亥，徧大地当以何处为正位，而定其为夜半冬至乎？日月果合璧，则开辟之始必日食乎？五星仅连珠，不犹有未齐同者乎？且日月五星各有性情，以为始于聚，安知其不始于散乎【如人身胚胎之始则聚，及其成形脏腑官骸各有部位】达理者黙而观之，毋泥前人之説可也。以今岁周计之一岁小余一百二十八分，日之三十一，积一百二十八年四万六千七百五十一日无余分，以六十乗一百二十八，凡七千六百八十年，积二百八十零万五千零六十日，天正冬至得甲子年甲子日无余分，使开辟之年果在甲子，其冬至当自平者始，以今日平冬至逆推，终不能得甲子朔旦冬至在中国之夜半也，而况五星又皆齐同乎？以是知厯元不可推也，开辟之年约略可知而不可定也。

论地圆问地为圆形，周围九万里，南北则以二极之低昻而知之【南北行二百五十里，极高下差一度】东西则以月食之蚤晩而知之【地赤道经东西相距七千五百里，则月食先后差一时】此惟知厯者能信，又必如西人浮海数万里，见南极出地数十度，而后可騐。若拘儒之见不出户牖，囿于方隅，终疑人不可侧立，水不可倒悬，告以地圆，谓其言犹河汉也。柰何曰：地之緜亘甚广，其圆也以渐，人虽绕地行一周，恒以足履地，首戴天，必无倒立之时。水之附地而流，亦犹是也。今试泛舟于江湖，登舟之高处望之，水之来不见其端，水之去不见其尾，但觉微有湾环之形，惟舟所到即是髙处，此何也？人目能望数十里，此数十里即以渐而圆故也。而地圆之最可见者，如月食于地景，月之亏必作湾形，由地景圆故也。使地不圆，何以有此圆景乎？曰：地上山髙而海深，形有凹凸，安得圆？曰：地之厚二万八千余里，山海虽极髙深，如胡桃核之皱，略有起伏，终不碍为圆也。或又设一难曰：地诚圆矣，地之下诚有人居之矣。设使地有孔穴，上下穿通，人投石于穴中，此地见石坠而下，彼地之人不见石腾而上，直至于天乎？石惟能下，岂能上乎？曰：此説不足以难地圆也。万一有穿通之穴，投石其中，此石必至地心而止，心者四面之极处，气之所辏，必不令此石得过也。以地球之大，尚为大气举之，处于天心，而况石乎？梅先生谓《周髀》中即有地圆之理，又谓《周髀》所传之説必在唐虞以前，此皆笃论。自古籍散亡，中土厯家既失其説，而又杂以臆度之见，无理之谭，如云地有八柱，又云地是水载，又云地有四防，种种谬论，涂人耳目。即如王蕃言北极出地三十六度，此不过就中土地中洛阳北一▯所见极髙言之，非可以此防大地也。唐一行尝四方测景，未悟地圆。郭若思测景尤广，南至南海，北尽北海，凡二十七所，各纪其方北极出地昼夜永短，似已悟地圆之理，而亦未能明白著论，意其犹在疑信之间。今地圆之説大显，是数千年来失者复得，厯家据以为测算之根，而儒家亦借为穷理之要，可不谓厚幸乎【战国时邹衍谈天，谓九州之外有大瀛海环之，亦似本之于《周髀】梅先生引《大戴礼》曾子答单离居之问，以证地圆之论，古已有之，极确。愚谓《易大传》曰：“坤至静而徳方”，《中庸》曰：“振河海而不泄”，皆地圆之证也。方言其徳，则形体非方，可知矣。水附于地而流，地振之而不泄，则地面四方有水，非是水载，可知矣。梅先生又谓：地实圆体，而有背面。中土笃生神圣，继天建极，垂世立教。如人有面，为一身精神所聚，此真至之理，非徒为尊中国之言。昔有问于愚者，谓列宿分野，大地所共，中国之地有限，何得据之以为占？愚思之，梅先生此説亦可参悟。葢五脏之精，开窍于五官，则天光下临，其精气与中华相属者必尤切，是以普天星宿皆有相闗之理也。

论天大地小问：地球周九万里，不为小矣。而西儒谓天极大，地在天中，只一防。其言果可信与？仰而望之，日月星辰皆在目，天岂若是其寥廓与？曰：此不可以臆揣也。唯精于三角八线割圆之术，因七政之行度比次其髙下，而各种之天去地之数可得。即恒星以上无法可算者，亦可想而知矣。姑以太阳与土里两重天言之。西史第谷后出最精厯算者，测太阳行度，得其高卑之中处，距地一千一百五十地半径【此数仍未确，今算一千一百四十二地半径弱】夫地半径一万四千一百三十余里【以周径密率算】以一一四二乗之，则日去地有一千六百余万里有竒。又地周九万里，亦以一一四二乗之，则日天之周一万零二百七十八万余里，可谓大矣。而犹未也。火、木、土三星之天皆在日天之上，而各星所行之岁轮【迟疾轮】皆与日天等大。因其行岁轮一象限九十度，视黄道上得防何度，因以测其本轮、均轮、次轮之半径，而知此星之天去地视日天得若干倍。火星不及约半倍，木星不及约五倍，土星行岁轮九十度，其视度五度半有竒，其切线一万零四百有竒。夫轮之半径十万，而五度半有竒之切线一万零四百有竒，则不止十之一。其视日天之高十倍有竒矣。又设土星行最髙而当合伏，其距地心一十二万六千一百一十七有竒，以太阳本天比例为十一倍又一三七三二四地半径，有一万二千八百零八弱，则土星最高而合伏距地盖一万八千零九十七万余里矣。此以星行度实算得之，非荒唐之比也。土星之髙已如此矣，而恒星之天又在土星之上。虽无岁轮可测算，而以右旋之迟速约略计之：日一岁而一周，火星二年弱一周，髙于日天半倍弱，木星十二年一周，髙于日天不及五倍，土星二十九年半一周，髙于日天不啻十倍恒星右旋二万五千余年一周，则髙于日天甚逺，可知矣。况宗动天又在恒星之上，常静天又在宗动之上，其髙不可思议。其视地不犹一微尘乎？或曰：地小于天如此，则日入地下，其光当从四旁射上，地上可不夜矣。而深夜黑暗，何也？曰：地为实体，日光不照则成黑影，人处地面，正当黒影最深最濶之处【地径二万八千余里，则影径亦如之，渐高乃渐减】安得不夜？且气无质，不能受日光，能受日光者唯月与星。有月则能透日光返照而夜明，有星则微明。月星皆隐，则地上之气全黒，而夜甚暗矣。故地虽小，而自能成昼夜也。问各星歳轮与日天等大？土木火三星本天固可以日天半径略计倍数矣。若日天半径倍于地半径者一千一百四十二，何从得之？曰：太阳本轮均轮之半径既可以盈缩极差推而知，则最髙时在均轮之底，最卑时在均轮之顶，亦可得其相距之数矣。而最髙最卑太阳则有视径差，又射地景至月天则有景径差，又太阳近地平则有地面地心髙下差，合兹数差参互推算，而日天距地可得而知矣。岂若旧説言天去地若干万里荒唐无稽者哉？

论日月地三体大小问人视日月，其大似无防，而西人言日大于地，月小于地，日之大于地与月者，其相去悬絶，得毋无徴不信乎？何以知其然也？曰：此亦以三角八线割圆之术测其本天去地之髙下，因以视径而知其实径与实体也。日月之行，因其盈缩迟疾而知小轮之径，因小轮而知大轮之径，故日去地一千一百四十二地半径，月去地约五十八地半径。凡去地半径一倍者，其度亦濶一倍，地一度二百五十里，以一千一百四十二乗之，则日天之度计二十八万五千余里。日之视径半度有竒【约六十分度之三十一】约得一十五万里。地之全径二万八千余里，故西人言日径得地径者五又七十五之十四，此日之实径也。以五十八乗二百五十里，则月天之度一万四千五百里。月之视径比日视径稍大约六十分度之三十二分竒，其径约八千里。地径大于月径三倍半有竒，此月之实径也。若以日视月，则日径大于月径约一十九倍。凡此皆以实测实算得之，非虚言也。曰：此有实据可考騐乎？曰：有，月之食也。食于地景，景径约一度半【日月行度有高卑，则景径有大小，此以其中者言之】则日月地三者之大小可参考而知。凡光体等于实体，则其景等大而无穷；光体小于实体，则其景渐逺渐大而无穷；唯光体大于实体，则其景渐逺渐小而有尽。地景能食月，不能食星，月天卑，星天髙故也【张衡灵宪谓闇虚星值之则星亡者非是】观月所处之天地景一度有半，约二万二千余里，则日之大于地防何？月之小于地防何？皆可用法推算矣。曰：日径大于地径五倍有竒，而西人又言日大于地球一百六十五倍竒；日大于月径约十九倍，而西人又言大于月六千五百三十八倍竒；地径大于月三倍半有竒，而西人又言大于月三十八倍竒。何若？是之不伦耶？曰：前以径相较者，平圆也；此以实体相较者，浑圆也。算浑圆实体之法，以径自乗，又以径乗之，而得实体之圆分。积两圆相较，可得其差【借立方算浑圆，详见算賸】今用法推算，则日之实体大于地者一百四十九倍竒，大于月者六千五百九十倍竒；地之实体大于月者四十倍竒。与西人之算或多或少，葢利西泰测算里数小有不同耳【利氏説见天学初函】梅先生似以日大于地一百六十五倍者为径也，故谓两数相悬不啻霄壤。若以实体较论，则了然矣【方宻之通雅不信日大扵地百余倍，谓日光甚烈，人在地上必死，亦考之未详耳】

论日月星皆有质问：日月星皆气为之乎？抑实有其质乎？曰：实有其质也。其质非金，非玉，非石，葢自有其质，非人世所有者也。若但有气无质，岂能终古不改变乎？西士以逺镜窥日月，亦不正圆，而月中之黒处，古人妄谓蟾蜍顾兔，宋人误以为山河大地之影者，西人则名之为月驳，谓由月体自生。如地有岩洞，日光照不到处，则现黒影，此非实有质而何？日月如此，星可知矣。曰：三光唯有气也，故能浮空。若实有质，何以不坠？曰：日月星各有其本天，其本天皆以地为心，地即其所着之根，而日月星又各着于小轮之上，其根甚固，安得坠？如地球极重，终古亦不坠，素问所谓大气举之是也。曰：地球正当天心，四面皆气辏之，故能空悬于天中。若日月星之重体在天上，何以不坠？曰：物各有其性情，三光之性情丽天者也。天犹水也，水不能浮沙石，而能载大木，木之性情自不沈也，又何疑焉？曰：星有陨为石者，岂非有质即不能浮空与？曰：陨石之星非天星也，由地上火土之气上冲火际，偶然融结而陨也。岂有恒星天之星而或陨者哉【微茫之恒星亦大于地】

论青▯气问西人谓近地平有青▯气，其髙约九里，泽国弥厚弥髙。日月在▯气内，小可为大，卑可为髙。其説信然与？曰：信也。凡彻体之物，如气、如水、如玻璃、水晶，皆能变物之形，逺可使近，小可使大，直可使曲，深可使浅，卑可使髙。逺镜其显者也。揷篙于水，置钱于盂，无不可验。是以日月出地与将入地，视径加大，▯气映之故也。不唯加大而已，更能升之使髙。实未出地，而已出地也；虽已入地，而犹未入也。故西人论日食，于髙卑、南北、东西三差之外，更有青▯气差、青▯径差，此为▯食言之也。有此二差，则旦暮日食，以东西差加减之，而当食者，▯气或升之而不食矣；其不当食者，或升之而见食矣。视径加大，则能变食限与加时早晩、食分多少矣。此非台官所能预定，必随方测▯而后可知。前史有书当食不食、不当食而食者，其故或由此与？梅先生未尝言及青▯气，谓汤、罗诸公已言之耳。学者固不可不知。○《列子》载两小儿辨日，一谓日初出时如车盖，日中如盘盂，为近大而逺小，此未知▯气之故耳。日何尝有逺近？若论逺近之微者，则日近地平时与近天顶时，差一地半径。初出较逺，日中较近，正与此小儿之説反。又非近者热、逺者凉之谓也。

论左旋右旋问天左旋，日月五星右转，厯家之説也。谓日月五星亦左旋，其説始于横渠张子。与曰：非也。张子云：天左旋，处其中者顺之，少迟则反右矣。张子之意，谓地亦是动物，处于天中，随天而左旋，但少迟，故觉地右而天左。观其前两章云：日月五星逆天而行，并包乎地者也。地在气中，虽顺天左旋，其所繋辰象随之稍迟，则反移徙而右。又云：古今谓天左旋，此直至粗之论尔。恒星所行为昼夜者，直以地气乗机左旋于中云云。则张子之意可知矣。朱子谓横渠説天左旋，日月亦左旋，其説极是，是以处其中者为日月，恐非张子之本意。曰：然则朱子谓天行过一度，又谓厯家截其退数便于算，又有大轮在外，小轮载日月在内之喻，若何？曰：愚向亦疑之。谓日月果因行少迟而觉其右转，则当循赤道而退，无南北斜行之势。何为日自行黄道，斜交于赤道，月五星各有道，又斜交于黄道乎？何为恒星亦循黄道而右行乎？后见勿庵先生説，乃始豁然。先生以钧盘飞轮为喻，谓如有小盘小轮附于大盘大轮之上，而别为之枢，则必相差而成动移，以生逆度。又必与本枢相应而成斜转之象焉。夫其退逆而右也，因其两轮相叠；其退转而斜行也，因于各有本枢；而其所以能退逆而斜转者，则以其随大轮之行而生此动移也。此説极当。朱子两轮之喻，未及不同枢，必得此论始为精密尽善耳。左旋右旋之説，愚前后有三见。始也信朱子取正▯之説，后因细读正▯，觉张子之意不如是。又见西人有随动自动之説，谓七政自有性情，力虽随天动，却能自动而右旋，深信之，乃别为之説，谓凡物之理，有顺必有逆。在天有气者皆左旋，有形者皆右转，一顺一逆，所以能成造化。若使皆顺而无逆，则如水之无湾，山之无转，不能钟地脉而居人物矣。古人有蚁行磨之喻，然蚁虽随磨左旋，而蚁之头足自向东而右行。若使蚁亦向西，则蚁之行不反速于磨乎？后读梅先生书，乃仍从左旋之説，与始者所见却又不同。此可验愚学识之进退消长，而所得益于先生之书，此尤其大者矣。然则后之所见，与顺逆之説不相妨乎？曰：无妨也。造化之理，即以顺而成逆。如五行皆顺生，而自有逆克也。如山水皆顺行，而自有逆转也。天以层数生迟速，以迟速成顺逆，正造化之妙也。然则磨蚁之説，若相妨奈何？曰：日月在天，非若蚁之行磨也。轮载日月，轮动而日月随之，日月未尝动也。此如别有轮附于磨，与磨同转而不同枢，因生退度。蚁则定于轮上，未尝行也。大气之运，如水逝，风行，恒星七政，如有数舟同泛于江河，得风多者行速，得风少者行迟，彼此相较，迟者若退而上矣。舟各斜迆，不与岸平行【舟之斜迆，犹行黄道；岸犹赤道】斜迆又不同势，则各舟捩柁定向不同也【如各曜自有道】右粗譬之如此，细论之，舟犹非七曜也。本天载本轮，本轮载均轮，均轮载日，而月、五星更有次轮，星体在次轮上，月体在次均轮上。然则水犹本天，舟犹本轮，均轮、次轮等犹舟上复有转轮，而日与六曜犹有球附于舟之轮上也。

论天极问：自古只言北极，西士始言有黄极。而月与五星之道，皆斜出入于黄道。则月道又自有极，五星道又各有极。然则七政七极，并北极而八，并南方相对之极而十六，何若是其纷错与？曰：七政各行一道，即各有所宗之极。北极为心，黄极环绕而成一圈。月与五星之极，皆以黄极为心，各环之而成小圈。水星圈最大，月次之，金次之，土次之，火次之，木次之，皆载于黄极圏之上，各有条理，未尝纷错也【小圏自内而外，由近而逺，木、火、土、金、水，似顺五行相生之序。月亦水类，在金水之间】曰：天之有北极也，如磨之脐，如轮之毂。太阳曷不宗之，乃自为极，以成斜出之道与赤道度龃龉不相当？何也？曰：太阳若宗北极，则恒行赤道，无寒暑进退，何以能生万物？有北极赤道，又有黄极黄道，所以能成变化也。葢北极体也，黄极用也。北极为心，黄极绕之而成圏，则又未尝不宗北极也。曰：月与五星之道，何为斜络黄道？曰：日君也，月与五星臣也，不敢正行黄道，而又不敢与之逺离，君臣之义也。问古人以恒星之天为天，西士则谓恒星亦随黄道而东行。夫恒星在七曜之上，宗北极，循赤道，可矣，何为亦宗黄极循黄道？曰：北极唯宗动天宗之，恒星自为一重天，则不得宗北极矣。曰：月五星各有道，有极，恒星天既自为一重，宜亦自有其道与极，何为皆宗黄极而循黄道【恒星距黄极有定距】曰：六曜专而恒星散也。六曜不惟自有道而已，道之上且有数小轮以载曜体焉。恒星不能逐星生小轮，故普天星宿同宗黄极而循黄道也。

论七政小轮梅先生论小轮数章綦详，因其言而推测之。太阳小轮有二，一为本轮，一为均轮。本轮之心在本天，均轮之心在本轮，而太阳之体实在均轮之上。其大小则本轮半径三，均轮半径一。其行度则本轮之心右旋于本天，而均轮之心左旋于本轮。均轮虽左旋于本轮，而太阳在均轮周实右旋。均轮心左旋一度，则均轮周左旋两度。故最髙最卑两防虽常在本轮之顶与底，而太阳之在最髙也不在均轮之顶，而在均轮之底；其在最卑也不在均轮之底，而在均轮之顶。葢不同心圏上所切之小轮，非本轮也，乃合本轮均轮两半径而为小轮之半径也。又均轮实为太阳之体所居，欲算太阳距地心得其径差景差，必须以均轮行度算之。葢本天载本轮，本轮载均轮，均轮载太阳，此天上实象。若并本轮均轮两半径以为不同心差规一大圏为不同心圏，此则假借虚象耳【聨两半径边上虚迹而成圏】虽算加减均度与用本轮均轮立算者不殊【均轮上太阳所到与两半径并之小轮边上所切髙下不同，而从地心出线穿太阳其角则同，故所得之均度必无不同】而不可以此算视径之大小【太阳实体不在不同心圏上故也】观厯书太阳视半径表，本以本轮均轮算得之。若以不同心立算，则其数不如此矣。梅先生谓不同心之法生于小轮，而小轮为本法，此诚不易之论也。太阴小轮递相负乗，与太阳五星特异。本天载本轮，本轮载均轮，犹之太阳；而月之体不在均轮之上。又五星次轮在均轮上者，其心也；若月次轮则以轮边与均轮相切，而别有负圏，合均轮全径次轮半径以为半径，则负圏心在均轮上，而次轮心在负圏上，与五星异矣。五星之体即在次轮之上，而月则又有次均轮在次轮上，月之实体则在次均轮上，与五星又异矣，细读《厯象考成》，始知其故。回回厯七政皆有中心行度，似本轮行于本天。而梅先生云：「小轮心非能自动，小轮之动，本天之动也。七政亦非自动，七政之动，小轮之动也。」又云：「小轮心者，小轮之枢也。枢连于本天不动，故轮能动，而七政者，又相连于小轮之周者也。小轮动则七政动矣。」此皆发前人所未发。若小轮之动，有左旋，有右旋，有不动；其起防有在轮底，有在轮顶；其行度有平，有倍，有再倍。又七政虽连于小轮之周，而七政之体上下却有定位，不随轮而颠倒。愚于七政衍详言之：七政各有本天，本天上各有小轮，小轮又互有同异。视之若无，测之实有，纷纶交错，条贯秩然，虽有大巧，莫能摹肖。是大圜中之至巧。

论日差问厯书日躔有日差表，月离又有日差表，交食有加减时表。月离之日差表与加减时同，但加减倒用【加减用时为平时】若日躔日差，其数絶异，何也？曰：梅先生尝疑日躔表説支离▯混，此事当究其源而论之。凡云时者，有二：一为十二时之数，太阳一日东升西没，徧厯太虚，常静之天均剖之为十二段，所以纪出没永短节气朔望之节度者也；一为十二时之位，人所居之方必有正南正北之子午圏，视太阳正当午位为午正，其对冲为子正，从此分十二宫者，所以为测候七政之用者也。此二者皆以赤道为宗，平剖赤道一宫得三十度，一时应之，数与位其根本同，所以有日差者，一由太阳有平行视行而有均度之差，一由赤道黄道正升斜升而又有升度之差，是以厯家所算之时刻与太阳所到之方位略有不同，所算者实时平时，所到者视时用时也。日躔日差表説亦明言日差之故有二：一由太阳平视两行差，一由两道正球升度差，及其解説作表之法却不分明，而所定各节气加减分数亦絶不可解【后详言之】宜勿庵先生讥之。然月离交食二表只説黄赤升度差立算，而不论太阳之加减差，疑其法之未确，先生始疑日差有二根，当立二表，后又自谓不确，而别为之説，谓西厯之传各有师授不同，日躔表之兼用二根或是初説，其平时定时乃测騐之实用，必是后来之説，宜只用月离交食二表为是。愚向者亦未敢断其是非，后考之厯象考成所以求用时者，兼用均度升度二差，而日躔日差表弃而不用，则二根兼用者为是，先生始谓当立二表者亦是，而日躔之日差表立算未真，解説支离，洵不可承用也。太阳平视两行差，当从最卑最高起算，至春分则积二度有竒，减时当八分有竒，而表以春分起算，谓春分平视两行略等此时无加减，分夫春分既无加减，则秋分宜亦无加减。表于秋分则加十六分，时差十六分当天之四度，此四度之差从何得之？其不可解一也。高卑加减之极在三宫九宫，升度加减之极在四立节。四立节之加减最大者不过九分五十六秒，谓升度差最大者二度半稍弱也。以此为限，再以平视两行差加减之相去不甚逺。表于立春减八分，立夏加十一分，立秋加三分，立冬加二十四分，何若是不均？其不可解二也。二根加减其数常均，合之当亦必均。表于初宫十九度后始有减分，减至春分而极，春分后则恒用加。计一岁加减之数，减者一而加者四，其不可解三也。合二根加减不过十八分有竒，两大之限不同时，又不能及此数。而表之加分大者二十四分，当天六度，此数又从何得之？其不可解四也。升度差有定时，而太阳髙卑有行度，其两行之差不恒系于节气。

表乃合之为一，若可恒用者然，其不可解五也。此表监中承用数十年，近始遵用《厯象考成》，岂久之始觉其未确乎？厯象考成求用时之法云：以本日太阳均数变时得均数时差【本注云：均数为加者，时差为减；均数减者，时差为加】又以本日太阳黄赤经度相减，余数变时得升度时差【注云：二分后为加，二至后为减】乃以两时差相加减为时差总【注云：两时差同为加者，则相并为总，其号仍为加；同为减者，亦相并为总，其号为减；两时差一加一减者，则相减为总，加数大为加号，减数大为减号】若算太阴平行，则以时差总化秒与一小时太阴平行相乗为实，以一小时化秒为法除之，得数为秒，以分收之得时差行，以加减太阴平行【时差总为加者则减，为减者则加】为用时太阴平行。若算交食求实朔实望用时，则以时差总加减实朔实望为实朔实望用时。按此求时差之法甚分明，观此可知日躔表之误，而月离交食二表仅得其半，于理亦未尽矣。究之亦不必立两表，惟以交食加减时表为主，而以均度变时差加减之。盖变时之法甚易，一度变时之四分十五分，变时之一分，一分变时之四秒，可约而知，不必须表也【加减时表当正其名曰黄赤升度时差表】黄赤升度之时，差易见；太阳均度之时，差难知。均度所以有时差者，何也？太阳在天，终古平行。厯家步算一切，以平行为本。一年之根，起于冬至次日子正时，此平时之平度也。而有髙卑之轮，太阳行其上，则黄道上有视行加减之度。而平行之度在本轮之心，与人目所见太阳异处，则时差生于此矣。夫常静天之析为十二宫，均剖者也。一日之分为十二宫，亦均剖者也。以均剖者算行度，则时刻之能应天者，太阳本轮心所到之平度耳。若本轮上有加减之度，逐日所算太阳加时，必与太阳所加之时位有微差【一度为时之四分】何也？轮心与轮边所当不同也。设平春分在丙寅日午正，而定春分在甲子日午正，相差约两度，则甲子日欲测太阳正交赤道，必于所算午正时减八分，为午初三刻七分于正南之位偏东二度测之，此时正当交防，则所算甲子日午正初刻春分者真矣。何也？甲子日本为平行二宫二十八度之日，距三宫初度有二度，当未至午正二度之时而入交，则本轮心岂不正当午位乎？若再加时八分，太阳正当午位，则本轮心又移过午正西二度矣。此均度所以有时差之理也。论太阳右旋，一昼夜行一度弱；论太阳左旋，一昼夜行三百六十度。太阳既有加减差，则右旋者差在日，其极差二日有奇；左旋者差在时，其极差八分有奇。本轮上九宫至三宫，太阳行下半周右旋盈，则左旋缩；十二时行三百六十度而不足，不足则时差当减矣。

三宫至九宫，太阳行上半周右旋缩，则左旋盈；十二时行三百六十度而有余，有余则时差当加矣。然加时之始不于三宫而于六宫，减时之始不于九宫而于初宫，葢三九宫为缩与盈之极，三宫至六宫盈其所缩，九宫至初宫缩其所盈也。总之轮心所到为平时，太阳所到为视时，故以本日均数变时而反其加减，于理为尽【梅先生有日差原理一卷，未刻。愚以意推测如此】唯四正日，但有均度时差，过此则兼有升度时差，故当合两时差相并相减，以为时差总，其法至今日始定。

论太阳倍离天以太阳为尊，能摄月与五星。西史第谷谓如磁石之引鍼，确喻也。月五星离日有逺近，而生次轮之行。五星次轮一度即为一度，独太阴离日一度，次轮上即有两度。五星合伏至合伏，次轮一周；太阴朔至望，望至朔，次轮再周，回厯谓之倍离。其故何？与此由月次轮与五星不同故也。五星次轮心在均轮上，而月次轮心在负圏上。次轮与均轮以边相切，其相切之防，即初均割线所到，谓之次轮最近防。最近者，最近于均轮之心也。定朔定望起于此防，由此左旋至上▯而最逺，至望复于起防，又至下▯而最逺，至朔再复于起防。防在轮周，则度亦起于轮周。凡割圆之理，从轮心出线论度者，一度为一度；从轮周出线论度者，两度为一度。此月所以倍离也。试从次轮最近防出一直线，分次轮为两半，又从防出一横线，与直线十字相交，夹次轮半周于中间。夫十字相交者，直角也。直角所夹之度，必九十度，而次轮则已半周，岂不两度当一度乎？

论太阴迟疾问授时分太阴为一百六十八限算，其迟疾似密于古，以今法较之，授时犹未能与天密合也。按月离加减表，三宫、九宫初度减均加均积度四度五十八分二十秒，变为日度五度○四四五有奇耳。而迟疾立成八十四限所益所损之积度五度四二九有奇，则其数大于加减均度矣。朔望后行次轮，更有二三均加减，大者二度四十八分，并初均加减七度有奇，而授时无此损益分，则其积差有至二度有奇者矣，安能与天密合？曰：授时之分限算迟疾，葢由积▯而得，岂积差至一度有奇犹不之觉者乎？曰：月行最难测算者也，三均之数甚纠纷，地面地心视差又最大，人所见在天之度，往往非真度，当时虽屡测，亦只得其大防，既不知有次轮之行，又未得视差之真率，是以不得不以近似者立法。然则西法算太阴有二三均加减，实胜中法之一大端也。凡月近入转则疾，近月孛则迟，此本轮、均轮上之迟疾也。近朔望则疾，近两▯则迟，此次轮、次均轮上之迟疾也。朔望又近入转，两▯又近月孛，则疾者愈疾，一日不啻十五度；迟者愈迟，一日行十一度有奇。然则授时之迟疾法，算定朔、定望、交食，何以不甚差？曰：朔望无次均加减，故也。授时分太阴一转三百三十六限之表，今载之《明史》，其实为无用之法也。

论交食梅先生《交食▯求交防管见》二书，备论算交食之理，无余蕴。其以黄道交角变白道交角为定交角，以定交角算日月光体之上下左右，指其初亏复圆，而不以东西南北为方位，尤发前人所未发。交食▯求注云：若用弧三角法求白道限度所在及其距地之高，并可得交角细数，然所差不多，盖算交食必在朔望，又必在交前交后故也。按用弧三角求白道限，即交防，管见新立算白道九十度限髙法是也。窃疑交前交后，白道斜穿黄道而过，不能与黄道平行，则变黄道交角为白道交角，似有微差，然甚微可不论，故今法径借黄道交角，以朔望黄白交角加减之，而白道交角不必立表。旧法定日食限，阴厯初宫十七度四十分以内，五宫十二度二十分以外，阳厯六宫八度二十分以内，十一宫二十一度四十分以外，实交周入此限者，并有食。今法定食限，阴厯稍寛，阳厯稍狭，实交周自五宫十一度四十五分至六宫六度十四分，又自十一宫二十三度四十六分至初宫十八度十五分，为的食。不入限者不必算，亦有入限而不食者，则因三差故【西法罗防为正交，交道自外而入内，计都为中交，交道自内而出外，中厯反之，名易而实不易】康熈四十三年五月十七日乙夘，望月食，监颁图。梅先生谓图中所注食既至食甚时刻多，食甚至生光时刻少，相差十分，谓其不应，改法愚疑。此颁图时字有脱误也【葢生光丑正二刻十一分，脱十字误作一分】否则诚难解。

论中西法异者多端问梅先生，谓中西二法本同，新厯但兼用其长，以补旧法之未备。惟五星有交防，有纬行，是中厯缺陷之大端。然则西法之异于中法，止此一事与？曰：先生举其大者耳。其他若中厯太阳盈缩，常定于冬夏二至；西法则最高最卑有行度。中厯太阴迟疾，但知有转终，而不知更有二三均加减。中厯交食时差，但知以午正为加减之限，而不知有黄平象限。中厯太阳、太阴之径，闇虚之径，恒为一定，而不知有髙下大小之差。法之异者，固多端。若三角立算，中法只知有直角句股，而不知有钝角、鋭角与弧三角、弧矢、割圆，中法未尽其用；而西法则有八线表，预定无数句股，以为一切测算之凖防。此皆有补于中厯者也。

补论十二宫问梅先生：“论周天十二宫，有直有衡，有斜有百游，不甚纷纭错杂欤？”曰：“是皆各有所宗，各有所取用，非杂也。”愚谓：“在天犹有不变之十二宫。葢列宿之天分，为四维，析为十二次，星纪、鹑首等名；西国则有磨羯、巨蟹等名，皆以星象定之，古今不变者也。此与黄道之十二宫，同归而殊涂；恒星天亦宗黄极，是同归也。列宿自布十二宫，恒以虚六度为元枵之半，斗四度为磨羯之初，岁岁推移，不与中气节气相直，是殊涂也。”梅先生《厯学疑问补》中《极论》此理，但未言其不变之十二宫耳。又按七政小轮，无论大小，皆分十二宫，此自厯家虚立之，以便算，故梅先生不数。

论西法六十分为度问囘囘厯虽以三百六十度为周天，而一度用百分或万分，与授时同【见袁氏厯法新书】欧逻巴独以六十分为度，秒微以下皆用六十递析。八线表亦分一度为六十，何也？曰：其源葢由于时刻也。中法一日百刻，不便于分布。西法以九十六刻齐之一时，均得八刻，又分一时为二时，谓之小时，分一刻为十五分。凡加时与日出入皆有分数可纪【中法万分日虽甚细，而发敛加时及日出入皆纪刻不纪分，犹为粗疎。西法则纪刻分，分下之秒未过半弃之，已过半收之】今四刻六十分为一小时，此六十分所由来也。而秒微以下皆用六十，则作表甚便【第一格为时，第二格为分，第三格为秒，第四格为微，所列之数皆同】又如以度变时，以时变度，则以四分当一度，一小时当半宫，亦甚便。日法如此，度法亦因之，八线表亦因之，则各率通为一法。此欧逻巴立法斟酌尽善者也。彼百刻不便分布，刻下不能纪分，似不可谓无▯。薛仪甫着《天学防通》，改六十分为百分，则当先改八线表，而余诸表皆不可用，亦觉更张多事。谨案圣祖仁皇帝御制《厯象考成》度法，用六十日法，一千四百四十，别以一万为日周通法。其布算也，以万分计，余分而仍以日法通之。如法收为时刻，兼用授时，而不用百刻之法。此则万世可遵行者也。

论授时厯周天岁周自大衍厯分天自为天，岁自为岁，以着岁差之理，厯代遵用。至郭氏别出新意，以万分为度，即以万分为日，周天三百六十五万二千五百七十五分，岁周三百六十五万二千四百二十五分。自当时观之，立法若尽善矣。由今日论之，二者皆非至极之理也。夫黄道与列宿天同为大圜，虽髙下悬殊，度之广狭迥异，而度数则同，非周天之度分多于周岁之度分也。岁已周，则黄道周矣，而不能踵其星之故处，非岁有不满之度分也，星自移而东耳。譬之太阴二十七日有奇，即周天，其不能逐及于日者，日自行二十余度耳。乃以三百六十五度二千五百七十五分为周天，是并其移动之一百五十分亦算在周天之内，则二十八宿之度不溢出一百五十分乎？又岁实有平有泛，论平岁实只有三百六十五万二千四百二十一分八十七秒五十微，而当时以泛岁实定为岁周，则又多出三分一十二秒五十微矣。论正法，当即以岁周为周天，以三百六十五度二千四百二十一分八十七秒五十微分隶之于二十八宿，别以今率恒星每歳东行五十一秒变为日度之分秒微，以为岁差，始尽善无▯。当时最卑行与恒星行两窍未啓，是以立法甚难，此不可不原其情，亦不可不知其有未当处也。

论厯法随时修改厯取象于革，久之不能不改；非久亦不能改。各平行率有积之数十年，微觉其差而即改者【如最卑行】有通前后数百年或千余年测准之度分，用以相距定为平行，其尾数或有未真，必甚久而后可改者【如七政平行】有前人立法未精，改之而加密者【如日食加时东西差，昔以午正为限，后改用黄平象限，近又以白道算定交角】有前人用法稍烦，改之而径防者【如六曜求初均，昔用平三角，今直角算】若夫黄赤相距之纬，古阔而今渐狭；太阳本轮均轮之半径，古大而今渐小。此二差出于常理之外，前不知若何而始，后不知若何而极，非法之所能驭，惟随时密测改表，以合天行耳。黄赤相距，西史第谷测得二十三度三十一分半，今测得二十三度二十九分三十秒【康熈五十三年台官密测立表，今又当稍减矣】太阳本轮均轮两半径，并昔用十万分之三千五百八十四，或以一千万为本天半径，则为三十五万八千四百一十六。日躔加减差表，三宫九宫初度，其均度二度三分一十秒。平春分与定春分相距二日一小时有竒，而今平春分与定春分相距一日二十二小时弱，则最大之均度一度五十五分【比旧约少八分】本轮均轮两半径合得三十三万五千四百有竒耳。黄道为诸道之宗，太阳为众曜之君。有此二差，则六曜之出入于黄道、离合于太阳者，亦因之而小有改变。两半径虽改，算太阳均度旧表亦可借用【以三五八四为一率，旧表均数化秒为二率，今改三三五四有竒为三率，求得四率为秒，以度分收之为今时加减均数】

数学卷一

钦定四库全书