数学卷二

数学卷二

婺源江永撰嵗实消长辨【嵗实消长，前人多论之。者勿庵先生，大约主授时，而亦疑其百年消长一分，以乘距算其数骤变，殊觉不伦。又谓今现行之嵗实稍大于授时，其为复长，亦似有据。因为高冲近冬至而嵗余渐消，过冬至而复渐长之说，葢存此以俟后学之深思。永别为之说，谓平嵗实本无消长，而消长之故在高冲之行与小轮之改。两嵗节气相距近高冲者嵗实稍嬴，近最高者稍朒。犹定朔定望定▯之不能均，惟逐节气算其时刻分秒，而消长可勿论也。管见如斯，遂不能强同。爰引先生之言，逐节疏论于下】勿庵先生曰【厯学答问】授时以万分为日，故其嵗实三百六十五万二千四百二十五分。其数自至元辛巳嵗前天正冬至积至次年壬午嵗前天正冬至，共得三百六十五日二十四刻二十五分。若逆推前一年，亦是如此【如自庚辰年十一月冬至逆推至己夘年十一月冬至，亦是三百六十五日二十四刻二十五分】此嵗实之数，大统与授时并同。永按嵗实为厯法大纲领，得其真确之数为难。四分厯以前，无论已、魏、晋以后，渐知一嵗小余不及四分日之一，随时测验，一厯必更一斗分，不久即有差，此何以故？葢步厯者泥履端于始之义，但以嵗前冬至距今年冬至计其小余时刻，并入大余以为嵗实，不知冬至距冬至所得者活泛之嵗实，而非经恒之嵗实也。欲得经恒嵗实，宜于近春分时测之【元至元时当测定气春分】今嵗春分距来嵗春分，苟得真时刻，则得真嵗实，又以前后逺年测凖之春分，计其日时分秒，均之各嵗，则嵗实之恒率确矣。此何也？太阳因有高卑而生盈缩，近数百年间春分则平行【当郭氏作厯时定气春分之日正当平行之处，此以前以后虽有此亦甚微】故所得嵗实为恒率，得其恒乃可以求其定，犹之月必有平朔之防，而后可求定朔也。郭太史改厯，自言创造简仪、高表，凭所测实数考正者七事，一曰冬至，二曰嵗余，其于嵗实考之详矣。其求冬至也，自丙子年立冬后，依毎日测到晷景，逐日取对冬至前后日差同者为凖，得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半，又定戊寅冬至在癸夘日夜半后三十三刻，己夘冬至在戊申日夜半后五十七刻，庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻，辛巳冬至在己未日夜半后六刻【从甲子日始五十五日零六刻，气应五十五万零六百分为厯元】其求嵗余也，自刘宋大明以来，测景验气得冬至时刻真数者有六，用以相距各得其时合用嵗余，考验四年相符不差，仍自宋大明壬寅年距至今八百一十九年，毎嵗各得三百六十五日二十四刻二十五分，减大明厯一十一秒，其二十五分为今厯嵗余合用之数。愚以此二条考之，即郭氏当年所定之嵗实已有微差，稽之于史，又多抵牾，其可以是为消长之凖乎夫一嵗小余二十四刻二十五分积之四嵗正得九十七刻无余无欠丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半则辛巳年冬至宜在己未夜半后五刻半不应有六刻如以辛巳之六刻为确也则丁丑年宜在九刻不应只有八刻半此四年既皆实测所得则己亥半刻矣而云相符不差何也【丁丑年之八刻半虽约取整数未必正是半刻然已有数十分矣其本法上考已往百年而长一刻四年所长甚微不应有半刻以下然则当时冬至嵗实刻下之小余不止二十五分矣】又考刘宋孝武帝大明五年辛丑祖冲之所测十月十日壬戌景长一丈七寸七分半十一月二十五日丁未一丈八寸一分太二十六日戊申一丈七寸五分强以壬戌戊申景相较余二分二厘半为实以丁未戊申景相较余六分五厘为法以法除实得三十四刻六十分以减距日四千六百刻余四千五百六十五刻四十分折取其日【二千二百八十二刻七十分】加半日刻【午正测景故加半日】得二千三百三十二刻七十分命壬戌算外得十一月三日乙酉夜半后三十二刻七十分【刘宋都建康比元大都里差应后五十七分则大都此日冬至三十二刻一十三分○按刘宋时太阳最高冲在冬至前几半宫则取冬至前后二十余日之景折取中数以求冬至仍有差详见冬至权度条】辰初三刻冬至【大都减半刻竒】大明壬寅【辛丑年之十一月即壬寅嵗之始】下距至元辛巳八百一十九年以授时嵗实积之凡二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分以乙酉辰初三刻距己未丑初一刻凡二十九万九千一百三十三日九十二刻较多三十三刻而云自大明壬寅距今毎嵗合得此数何也【如郭氏百年长一之法以八百一十九总乗所长之数，则壬寅冬至甲申日七十九刻太，较当时所测算者，又先五十余刻，则失之愈逹矣。

○详冬至权度】又云，减大明厯一十一秒。考祖冲之大明厯纪法与周天一嵗小余二十四刻二十八分一十四秒，授时减去三分一十四秒，亦非一十一秒也【邢士登律厯考谓金时赵知微重修大明厯小余二十四分三十六秒，实多授时一十一秒，郭所减者赵厯非祖厯也，其説是】然则授时所定嵗实，犹是近似活泛之数，而不可。以为恒欲定经恒之嵗实则西厯恒年表之恒率是矣。按表一嵗小余五小时三刻三分四十五秒【一日二十四小时一小时四刻一刻十五分一分六十秒】以分通之三百四十八分有竒，以秒通之二万○九百二十五秒【一日八万六千四百秒】考其实则回回厯已如此。回回厯法一嵗三百六十五日嵗有十二宫宫有闰日，一百二十八年闰三十一日，然则一嵗闰一百二十八分日之三十一，正西法之嵗余也【以一百二十八乘二万○九百二十五得二百六十七万八千四百，以八万六千四百除之得三十一是也】回回厯以春分为嵗首，其嵗余由累测春分得之，欧逻巴厯遂用之至今。因之虽分下之四十五秒未必无脁朒，当亦甚微矣。以此平率为凖，随其时之最高冲与最高之行而进退焉。冬至近高冲则两嵗冬至之距必多于平率【今时多一分弱】夏至近最高则两嵗夏至之距必少于平率【今时少一分弱，犹之太阴当朔时入转，两朔相距之日时必多，当望时近月孛，两望相距之日时必少，若朔时近月孛，望时近入转，两朔两望相距反是】又古时太阳本轮均轮半径之差大于今日，则加减均数亦大，而冬至嵗实当更增至元辛巳间，高冲约与冬至同度，则嵗实尤大，其小余刻下之分约有三十分，而授时定为二十五分，宜其自丁丑至辛巳四年之间即有半刻之差，而郭氏未之觉也【一年少五分，四年少二十分，几于半刻之半矣。丁丑年之八刻半本为约畧之数，半刻以下固难测算，真的也○以西法嵗余依授时万分日较之，只有二十四刻二十一分八十七秒半，少授时嵗余三分一十二秒半，当时冬至为盈初，小轮半径差又大，其多于平率必不止三分有竒者也】然授时原有消长之法，是其新意。其法自辛巳元顺推至一百年，则嵗实当消一分【依法推至洪武十四年辛巳，满一百年，其歳实消一分为三百六十五日二十四刻二十四分】若自辛巳元逆推至一百年，则嵗实当长一分【依法推至宋孝宗淳熙八年辛丑，满一百年，嵗实长一分为三百六十五日二十四刻二十六分】毎相距增一百年，则嵗实消长各增一分，以是为上考下求之凖。大统诸法悉遵授时，独不用消长之法，上考下求总定为三百六十五日二十四刻二十五分，此其异也。永按：冬至相距之嵗，实大于平率，最高冲有行度，而小轮均数又有大小，宜其嵗实有消长分数。

然必当时测定之嵗实已真确，又知其无可复加，而后知将来之渐消。若授时嵗余刻下之二十五分，尚非确数，其差分已见端于丁丑、辛巳四年之间，则辛巳以后，能必其果消乎？郭太史厯考正者七事，创法者五事，皆不数嵗实消长，葢未能真知所以消长之故，但暗用杨忠辅统天厯为活法，以推往古，意谓下考将来亦如是耳。明大统厯悉遵授时，独不用消长之法，当时厯官元统，非有确见实测，知其不当用消分也。以今观之，犹幸大统不用消分，冬至纵有先天，尚未甚逺，倘遽改二十五分为二十四分，其先天不愈多乎【当至元时刻下小余约有三十分，授时一嵗少五分，百年约先天五刻】嵗实即一年之日数，自一年以至千百年共积若干，是为积日，亦谓之中积【上考下求皆距至元辛巳立算】假如今康熙庚午嵗相距四百零九算，依授时法推得积日一十四万九千三百八十四日零一刻八十九分【因距算四百以上嵗实当消四分，为三百六十五日二十四刻二十一公以乘距算四百零九得如上数】大统不用消长，则积日为一十四万九千三百八十四日一十八刻二十五分，两法相差一十六刻三十六分【以命冬至日辰，授时得癸夘日丑初三刻，大统得癸夘日夘初三刻】永按凡天行盈缩进退必以渐无骤増骤减之理。郭氏百年消长一分，则是百年之内皆无所差。至一百零一年骤増减一分，又越百年皆平差一分。至二百零一年又骤増一分，岂有此数与法乎？即如其法算数百年后，亦当逐节计其消分积而数之，不当总计当消之分而以距算总乘之也。如大统厯康熙庚午冬至癸夘日夘初三刻，查时宪书乃是巳初一刻【大统先天一十四刻】授时大统用消分均之，无当于天行，其故何哉？当年所测嵗实刻下小余，其数不真，故也。嵗实已弱矣，而又消之，安得不先天乎？使当改二十五分为三十分，由辛巳以后渐而消之，或庶几耳。曰：“至元嵗余若果二十四刻三十分，则上考当长乎？消乎？”曰：“上考亦消也。葢至元时高冲与冬至同度，小轮均数又最大，故冬至嵗实为长极之时，而上考下考皆当消，但消于三十分之内，非消于二十五分之内也【今时高冲在冬至后七八度，小轮又渐小，冬至嵗余以万分日计之，约二十四刻二十八九分之间。刘宋大明时高冲在冬至前半宫，以祖冲之纪法除其嵗周，当时嵗实三百六十五日二十四刻二十八分一十四秒，可见至元前后皆消于三十分之内，其消甚迟，约四百余年始消一分。葢小轮均数在初宫有若平差故也。至一宫以外则渐疾矣】若以春分平嵗实相较，则冬至嵗实上下数千年皆在长限之中，而至元时尤为长之极，必俟高冲行至春分，则冬至嵗实始平【如今之春分】又数千年高冲行至夏至最高行至冬至，则冬至嵗实始为消之极耳【如今之夏至】然冬至嵗实消则春分嵗实长，冬至嵗实消之极则夏至嵗实又为长之极矣。

抑今日本轮差小，古时差大，则消长中复有消长。苟知此理，则后之治厯者但随时测高冲之行与小轮之差以算定气，而嵗实消长俱可勿论。犹之太阴，但实算定朔、定望、定▯，不必复计此月与彼月多于朔防几何，少于朔防几何也。又曰【厯学疑问】问嵗实既有一定之数，授时何以有消长之法？曰：此非授时新法，而宋统天之法；然亦非统天亿创之法，而合古今累代之法而为之者也。永按统天厯，宋宁宗时，杨忠辅所造，其嵗实与授时正同，以斗分乘距差为躔差，暗藏加减之法，约百年加减一分零六秒弱，然行之未久，鲍澣之造开禧厯，臧元震造成天厯，皆増嵗实，改各率，纷纷竟无定论云。葢古厯周天三百六十五度四分度之一，一嵗之日亦如之，故四年而増一日。其后渐觉后天，皆以为斗分太强，因稍损之。永按古厯四年而増一日，其术甚疎。虽古斗分宜多，亦百数十年即当后天一日。何以自周迄汉久而后觉曰：周之厯却失之先天。僖公五年辛亥日南至，昭公二十年己丑日南至，皆先天二三日。厯数百年以有余之嵗，实盈其所先之数乃适得其平【约在周秦间】厥后犹执四分之术渐失之后天，故久而后觉耳。自汉而晋而唐而宋，毎次改厯必有所减，以合当时实测之数，故用前代之厯以顺推后代，必至后天以斗分强也【斗分即嵗余】若用后代之厯，据近测以逆溯往代，亦必后天以斗分弱也。永按：汉已前之冬至，非实测，先后天或至二三日。后汉末刘洪始觉其后天，而改斗分。东晋虞喜始立嵗差法。后秦姜岌始知以月蚀冲检日宿度所在。而刘宋之初，冬至犹后天三日。大明时祖冲之始解于测景，以冬至前后二十余日之景比对取中，而定冬至。然后冬至日躔渐得其实，犹不能尽合也。故唐一行谓：「麟德厯已前实録所记，乃依时厯书之，非▯景所得。」郭太史谓：「自大明厯以来，测景验气得冬至时刻真数者有六。」然则实测之能合天者，亦鲜矣。统天厯见其然，故为之法，以通之于嵗实平行之中，加一古多今少之率，则于前代诸厯不相乖戾，而又不违于今之实测，此其用法之巧也。然统天厯藏其数于法之中，而未尝明言，消长授时则明言之，今遂以为授时之法耳。郭太史自述创法五端，初未及此也。永按：授时厯实暗用统天之法者也。其嵗余二十四刻二十五分与统天同，而上推百年长一之法亦相似。故授时厯议谓自鲁献公戊寅至至元辛巳冬至日名，共四十九事，授时法合者三十九，不合者十；统天不合者惟献公戊寅与授时异，余三十八与授时同。二厯推冬至畧相似也。然而刘宋大明壬寅嵗前冬至乙酉夜半后三十二刻七十分，则当时祖冲之测景推算所得者，纵有未确，亦不甚逺【当时所算约后天十六刻，详见冬至权度】依授时、统天法皆推甲申日戌初初刻，先天甚多，岂可谓大明非而授时、统天是欤？

郭氏谓自大明以来测景验气得冬至时刻真数者有六，用以相距，既以大明壬寅之冬至为得真数之首矣。及用法推算，即失此至，乃谓日度失常，其可乎？以今观之，一由授时所定嵗余本未真；一由长数当渐积，不当总计长分，而以八百一十九距算总乘之也【统天距差、乘差、躔差咸泛积失，亦畧同】然则大统厯何以不用消长？曰：此则元统之失也。当时李德芳固已上疏争之矣。然在洪武时，去授时立法不过百年，所减不过一分，积之不过一刻，故虽不用消长，无甚差殊也。崇祯厯书谓元统得之测验，窃不谓然何也？元统与德芳辨，但言未变旧法，不言测验有差。又其所着《通轨》，虽便初学，殊昧根宗，间有更张，辄违经防【如月食时差、既内分等俱妄改背理】岂能于冬至加时先后一刻之间，而测得真数乎？永按，明初李德芳与元统争嵗实消长，为厯家一段公案，闗系有明二百余年之厯法。邢士登恨元统不用消分，致万厯间节气后天九刻有竒，愚有以断之。据授时嵗实上考，固宜有长分矣。然而授时之嵗余本未确，则所据以为长之端者亦未真。既言毎百年长一分，则当以渐而长。乃总计长分以乘距算，则又无此算法。观其推至大明壬寅，巳违当时之实测，又何论春秋以前乎？德芳所据者，谓鲁献公十五年戊寅，天正甲寅冬至，依授时法推得甲寅日夜子初三刻，依大统法推得己未日午正三刻【己未史误作丁巳】相差四日六时五刻。当用至元辛巳为元及消长之法，方合天道。夫鲁献公之年，史有舛错，本难凭信。汉志谓献公十五年甲寅冬至，此自刘歆三统厯逆推当年冬至是甲寅耳，岂有实测纪之信史哉？而德芳以此驳元统，其无卓识可知矣。然元统之不用消长也，初无实据，但云上考下推不用消长以合天道。又云天道无端，惟数可以推其机。天道至妙，因数可以明其理。理因数显，数从理出，故理数可相倚而不可相违。夫既未尝实测，而凭虚以言天道、言理数，宜其不能服德芳也。今日厯学大明，由后观之前，此二百余年犹幸元统不用消分，冬至加时先天尚未甚逺。葢授时嵗余一嵗约少五分，自至元辛巳至洪武甲子一百零三年，固已先天五刻矣。使大统减一分，又越百年，二百年而更减之，先天不愈多乎？邢士登谓万厯间大统厯后天九刻，此非有所测验，但据用消分与不用消分积算如此，岂知明厯皆失之先天乎？观前所举康熙庚午年时宪书癸夘日巳初一刻冬至，依大统算夘初三刻，先天一十四刻；若依授时算丑初三刻，则先天三十刻。自辛酉溯戊辰五十余年，约减二三刻，则戊辰以前大统厯率先。天十一二刻，若用授时法，先天遂至二十七八刻矣。

此岂可厚非大统乎？然则消长必不可废乎？曰：上古则不可知矣。若春秋之日，南至固可考据，而唐宋诸家之实测有据者，史册亦具存也。今以消长之法求之，其数皆合；若以大统法求之，则皆后天，而于春秋且差三日矣，安可废乎？

永按春秋时厯法最疎置闰或疏或密日食或不在朔则步冬至违天可知僖公五年丙寅正月辛亥朔日南至以今法推此年平冬至乙夘日巳时定冬至在甲寅即令此时小轮均数大能使定气移前一日半亦不过癸丑日之夜刻辛亥实先天二三日且定朔壬子亦非辛亥也昭公二十年己夘二月己丑日南至以今法推此年平冬至壬辰定冬至辛夘当时推己丑亦先天二日且己丑为此年正月朔安得为二月也授时推僖五年冬至以嵗余长十九分乘距算一千九百三十五加于中积得辛亥日寅初二刻是以总长分数乘距算而非积渐而长亦因▯有辛亥日南至之文强为此算以求合不知辛亥非实测也【唐一行谓僖公登观台以望而书云物出于表晷天验非时史亿度愚谓传言书云未尝言测景】其推昭二十年冬至以十八乘距算一千八百零二则不得己丑而得戊子日戌初三刻其先天愈甚矣此二事一合一否皆不足为据且既能上合一千九百余年之冬至矣何以刘宋元嘉丙子十一月甲戌景长而推癸酉大明辛丑十一月乙酉冬至【即壬寅天正冬至】而推甲申此二事皆八百余年反先天一日岂非总分乘距算之法非法故失之乎然则统天授时之法，同乎？曰：亦不同也。统天厯逐年迭差，而授时消长之分，以百年为限，则授时之法，又不如统天矣。永按统天以距差乘躔差，其失亦与授时等【由其根数未确】夫必百年而消长一分，未尝不是，乃以乘距算其数骤变，殊觉不伦。郑世子黄钟厯法所以有所酌改也【假如康熙辛酉年距元四百，算故消四分，而其先一年庚申距算三百九十九，只消三分。是庚申年嵗余二十四刻二十二分，而辛酉年嵗余二十四刻二十一分也。以此所消之一分乘距算得四百分，则辛酉嵗前冬至忽早四刻，而次年又只平运。以实数计之，庚申年反只三百六十五日二十刻二十二分，辛酉年则又是三百六十五日二十四刻二十一分，其法舛矣】永按授时之谬法，勿庵先生亦既觉之矣。抑不惟如此而已，年愈逺则失愈甚。如推至春秋时，一千九百年，则嵗余二十四刻四十四分。若一千九百零一年，嵗余増一分。此一分乘距算一千九百零一前一嵗，忽増一十九刻有竒。则嵗实有三百六十五日四十三刻有竒，岂不甚可笑乎？况又有逺于此者乎？问嵗实消长之法，既通于古，亦宜合于今。乃今实测之家，又以为消极而长，其说安在？岂亦有所以然之故与？曰：授时虽承统天之法，而用消长，但以推之旧厯而合耳，初未尝深言其故也。惟厯书则为之説曰：嵗实渐消者，由日轮之毂渐近地心也。余尝窃疑其説，今具论之。夫西法以日天与地不同心，疏盈缩加减之理，其所谓加减，皆加减于天周三百六十度之中，非有所増损于其外也。

如最高则视行见小而有所减，最卑则视行见大而有所加，加度则减时矣。及其加减既周，则其总数适合平行，畧无余欠也。若果日轮之毂渐近地心，不过其加减之数渐平耳。加之数渐平，则减之数亦渐平，其为迟速相补而归于平行一也。岂有日轮心逺地心之时，则加之数多而减之数少；日轮心近地心时，则减之数少而加之数多乎？必不然矣。永按冬至相距之日，时古今有多少，不过泛嵗实与平嵗实相差，其相差又有舒疾之渐耳。若今冬至有平有定，本不必言消长，必欲言其消长，则其故有二：一由高冲离冬至有逺近，一由日小轮古今有大小也。高冲自秋分行至冬至，此三宫定冬至皆在平冬至前；自冬至行至春分，此三宫定冬至皆在平冬至后。总此六宫上下，约万年【以今时最高冲行约之】皆在长限，以其冬至泛嵗实皆多于平嵗实故也。惟高冲正当秋分、春分，此两嵗嵗实皆平【即西法三百六十五日五小时四十八分四十五秒是也】离此则渐有差。前三宫由平而渐増多，是为长中之长；至高冲与冬至同度，则定冬至与平冬至同日同时，是为长之极，当郭太史作厯正其时也。后三宫由极多而渐减以至于平，是为长中之消。今时高冲在冬至后八度，其消尚未多也。若高冲过春分而行至夏至，此三宫定冬至亦在平冬至后；自夏至行至秋分，此三宫定冬至又在平冬至前。总此六宫亦约万年，皆在消限，以其冬至泛嵗实皆少于平嵗实故也。前三宫由平而渐减，是为消中之消；至高冲与夏至同度，则定冬至亦与平冬至同日同时，是为消之极；后三宫由极少而渐増以至于平，是为消中之长。此通高冲行一周天，而总论其消长也。然而太阳两小轮半径三千五百八十四，古多而今少，多则小轮稍大，日躔加减均亦稍大；少则小轮稍小，加减均亦稍小。高冲之行一年一分一秒十微【西士后测】此一分一秒十微，若在均数稍大之中，则度分变为时分之秒数，以加减于平时者必稍多；若在均数稍小之中，则度分变为时分之秒数，以加减于平时者必稍少【如崇祯戊辰所立之加减差表，初宫之初度，十一宫之末度，毎一十分均数二十二秒，高冲一年行一分一秒，十微约均数二秒有竒。此二秒有竒变为时，约五十七秒，以加于平嵗余五小时三分四十五秒，得五小时四分四十二秒。如小轮稍大，则初度一十分之均不止二十二秒，而一嵗高冲之行不止得均二秒有竒，其变时亦不止五十七秒矣。如小轮稍小，则初度十分不及二十二秒，高冲之行得均数不及二秒，则变时亦不及五十七秒矣。此畧举初度之均以为例，其他可类推】古今小轮之大小虽不可尽知，以刘宋元嘉大明间屡年之实测算当时之不同心差葢四千有竒【详冬至权度】则均数必稍强。

至元授时厯冬至盈初加分多于今日之加分，则当时小轮半径不止三千五百八十四。自此以后至今日，小轮渐小，均数亦渐小，高冲行度所得之均数以减度加时者亦稍弱焉。此又因轮毂渐近地心而微有消分也。又考日躔永表，彼固原未有消长之说。日躔厯指，言平嵗用授时消分，定嵗则用最高差及查恒年表之用，则又只用平率。是其说未有所决也。永按厯书非出一手，故有不相应处。其嵗实平率出回厯，回厯得之实测春分，此厯书最紧要处，惜未明白剖析。其日躔表说辨论从前言消长者之非，则固有定说矣，但小余微有不同耳【厯书平嵗实小余五小时三刻三分四十五秒，以万分通之，是二四二一八七五也。今厯象考成亦用之，而日躔表说二四二一八八六四较多，一一四】又《厯书》言日轮渐近地心，数千年后将合为一点。若前之渐消，由于两心之渐近，则今日之消极而长，两心亦将由近极而逺，数千年后又安能合为一点乎？彼葢见授时消分有据，而姑为此说，非能极论夫消长之故者也。永按七政皆有小轮，独日之小轮有改变，窃意久亦必复，岂有与地心合为一点之理？自至元辛巳以后，正是长极而消，非消极而长也。曰：“今实测之冬至后于授时之中积分，明是长而以为消，何也？”曰：“前已言之矣，授时嵗余刻下之分当有三十分，而郭氏定为二十五分也。”授时之嵗实，岂非出于实测？然因其自述丁丑、辛巳四年冬至，得其自相乖违之处，因以知至元时为长极而消之大界，与日躔加减表十一宫末度以前均数渐减之理，固相符也。然则将何以求其故？曰：授时以前之渐消，既徴之经史，而信矣。而今现行厯之嵗实，又稍大于授时，其为复长，亦似有据。窃考西厯最高卑，今定于二至后七度。依永年厯，毎年行一分有竒。则授时立法之时，最高卑正与二至同度；而前此则在至前，过此则在至后。岂非高冲渐近冬至，而嵗余渐消？及其过冬至而东，又复渐长乎？余观七政厯，于康熙庚申年移改最高半度弱，而其年嵗实骤増一刻半强，此亦一征也。存此以竢后之知厯者【己未年最高在夏至后六度三十九分，庚申年最高在夏至后七度七分，除本行外，计新移二十七分。己未年冬至庚戌日亥正一刻四分，庚申年冬至丙辰日寅正二刻二分，实计三百六十五日二十四刻十三分。前后各年俱三百六十五日二十三刻四分或五分，以较庚申年嵗实骤増一刻九分】永按嵗实消长之故，一由最高冲之有行度。先生因最高改移，嵗实骤増，而悟及此，犹云存之以俟知者，亦欲后人由此致思也。然其所言消长，若与实算相反，何也？日躔加减表，初宫与十一宫同均，而加减异号。

至元辛巳以前，高冲行未及冬至，则用初宫之均度分秒加度而减时；辛巳以后，高冲行已过冬至，则用十一宫之均度分秒减度而加时。前减时则定冬至在平冬至前后，加时则定冬至在平冬至后。初宫之初度与十一宫之末度，其均最大，则一嵗高冲之行所得均数最多，变为时以加减于平时者亦最多，故此处嵗实极大，皆最长之时也。初宫若离初度稍逺，则均渐少，而变时以减平时者亦稍少，嵗实亦稍减矣。十一宫若离末度稍逺，则均渐少，而变时以加平时者亦稍少，嵗实亦稍减矣。故高冲行渐近冬至，其均由少而多，嵗实正渐増以至于极也。而此谓嵗余渐消，高冲已过冬至，其均由多而少，嵗实则由极多以渐减也。而此谓复渐长，岂非与实算相反乎？葢先生论消长不主平嵗实为根耳。王寅旭曰：嵗实消长，其说不一。谓由日轮之毂渐近地心，其数▯消者非也。日轮渐近，则两心差及所生均数亦异。以论定嵗诚有损益，若平嵗嵗实尚未及均数，则消长之源与两心差何与乎？识者欲以黄赤极相距逺近求嵗差朓朒，与星嵗相较为节气消长终始循环之法。夫距度既殊，则分至诸限亦宜随易，用求差数，其理始全。然必有平嵗之嵗差，而后有朓朒之嵗差；有一定之嵗实，而后有消长之嵗实。以有定者纪其常，以无定者通其变，始可以永久而无▯。永按，古今言嵗实消长者，皆从冬至嵗实言之，非论平率嵗实也。因两心差及所生均数异，而定气微有损益，是亦消长之一根，不可谓其无。与若黄赤极相距逺近求差数，此说恐未然。其言有平嵗之嵗差，而后有朓朒之嵗差；有一定之嵗实，而后有消长之嵗实。此数言极中肻綮。一定之嵗实，从春分测定之平嵗实是也。苟知此，则但言平冬至定冬至，不必言消长，亦可矣。按寅旭此论，是欲据黄赤之渐近，以为嵗实渐消之根。葢见西赤黄赤之纬，古大今小，今又觉稍嬴，故断以为消极复长之故。然黄赤逺近，其差在纬；嵗实消长，其差在经，似非一根。又西测距纬复嬴者，彼固自疑其前测最小数之未真，则亦难为确据。愚则以中厯嵗实起冬至，而消极之时，高冲与冬至同度；高冲离至，而嵗实亦增。以经度求经差，似较亲切。愚与寅旭生同时而不相闻，及其卒也，乃稍稍见其书。今安得起斯人于九原，而相与极论以质所疑乎？永按先生经纬之辨最确，而谓高冲与冬至同度为消极之时，永已论之于前。又曰【考最高行及嵗余】按日行盈缩细考之，则春分距夏至，夏至距秋分，虽皆缩厯，而其缩亦不同；秋分距冬至，冬至距春分，虽皆盈厯，而其盈亦不同。又且年年不同，细求之则节节不同，又细求之，其日日不同矣。

其故何也？葢最高一点不在夏至，而在其后数度，又且年年移动，此太阳盈缩之根，而嵗实所以有消长也。永按：以太阳盈缩之根推嵗实，所以有消长，此先生之定见定说也。按庚申年夏至至冬至一百八十三日十三刻六分，辛未年夏至至冬至一百八十三日十四刻九分。十二年中共长一刻○三分【中积只十一年】壬戌年冬至至次年夏至一百八十二日九刻九分，庚午年冬至至次年夏至一百八十二日八刻十分。九年中共消十四分【中积共只八年】又合计癸亥夏至至前半周一百八十二日九刻九分，冬至前半周一百八十三日十三刻十分，相较一日○四刻一分。辛未夏至前半周一百八十二日八刻十分，冬至前半周一百八十三日十四刻九分，相较一日○五刻十四分。八年中较数増一刻十三分。永按此，以半年之气前后相较，验最高之东移。若以两嵗冬至、春分、夏至、秋分及各节气两嵗相距，皆各有其嵗实，而冬至为最大，夏至为最小，春秋分为近平。义越数十年，而诸嵗实亦微有不同矣。前代只知冬至嵗实，不知逐节气皆有嵗实也。然二分之相距则无甚差，何也？葢最髙移而东，则夏至后多占最高之度，而减度加时之数益多，故益长；高冲移而东，则冬至后多占最卑之度，而加度减时之数益多，故益消。其近二至处，皆为加减差最大之处，故消长之较已极也。乃若二分与中距，虽亦嵗移，而中距皆为平度，不系加减。其最高前后视行小之度，固全在春分后半周；最高冲前后视行大之度，亦全在春分后半周，毫无移动，故无甚消长也。永按二分无甚差，故欲得平嵗实，须于近二分时测之。若高冲行至春分，则二分之距又最大，而二至反平矣。按授时消分为不易之法，今复有长者，何也？西法最高卑之点，在两至后数度，嵗嵗东移，故虽冬至亦有加减，不得以恒为定也。此是西法中一大节目，其法自回回厯即有之。然了凡先生颇采用回回法，而不知此，熊防石先生亲与西儒论厯，而亦不言及，何也？永按，最高卑之有行度，诚西法中一大节目。袁氏新书不知有最高卑，又何以能较论前代诸厯之先后天乎？又曰【厯学疑问】袁了凡新书，通回回之立成于大统，可谓苦心。然竟削去高卑之算，又直用大统之嵗余，而弃授时之消长。将逆推数百年已不效，况数千万年之久乎？永按：袁书逆推数百年已不效，诚然。若弃授时之消长，则无足论。授时本非不刋之法也。今时厯象考成推步，只有求天正冬至与求定冬至之法，而不言消长。纷纷之论，可定矣。

数学卷二

钦定四库全书