数学卷六

数学卷六

婺源江永撰金水▯微【勿庵先生五星纪要前数章论金水左旋右旋，犹仍厯书之说，以伏见轮同嵗轮。后因门人刘允恭悟得金水自有岁轮，而伏见轮乃其绕日圆象，因详为之说，发前人所未发。永初见此说颇疑之，即杨学山记卷末一条，亦疑而不敢质。再三思之，绘图试之，果见伏见轮之绕日实由岁轮上星行轨迹所成，而二星本天皆在日天之下。厯家以太阳之天为金水天，以伏见轮当次轮，皆见其末而未及其本也。此说悟于刘，而勿庵先生发明之，使五星高下迟速之原归于一贯，即此一事已大有功于天学。然非多作图象详为之说，观者终难了然，是以特为此卷，以发先生之覆，并可释学山之疑】勿庵先生曰：「问五星之法，至西厯而详明。然其旧说，五星各一重天，大小相函，而皆以地为心。其新说，五星天虽亦大小相函，而以日为心。若是其不同，何也？」曰：「无不同也。西人九重天之说，第一重宗动天，次则恒星天，又次土星，次木星，次火星，次太阳，次金，次水，次太阴。是皆以其行度之迟速，而知其距地有逺近，因以知其天周有大小。理之可信者也。星之天有大小，既皆以距地之逺近而知，则皆以地心为心矣。是故土、木、火三星，距地心甚逺，故其天皆大于太阳之天，而包于外；金、水二星，距地心渐近，故其天皆小于太阳之天，而在其内为太阳天所包。是其本天皆以地为心，无可疑者。惟是五星之行，各有岁轮，岁轮亦圆象。五星各以其本天载岁轮，岁轮心行于本天之周，星之体则行于岁轮之周，以成迟疾留逆。若以岁轮上星行之度聨之，亦成圆象，而以太阳为心。西洋新说谓五星皆以日为心，葢以此耳。然此围日圈象，原是岁轮周行度所成，而岁轮之心又行于本天之周，本天原以地为心，三者相待而成，原非两法，故曰无不同也【上三星在岁轮上右旋，金水在岁轮上左旋，皆挨度平行】○夫围日圏象，既为岁轮周星行之迹，则迟留逆伏之度，两轮皆有之，故以岁轮立算，可以得其迟留逆伏之度，以围日圆轮立算所得不殊。立法者溯本穷源，用法者从简便算。如厯书上，三星用岁轮，金水二星用伏见轮，皆可以求次均立算，虽殊其归一也。或者不察，遂谓五星之天真以日为星，失其指矣。○厯指又尝言，火星天独以日为心，不与四星同余，甞断其非是，作图以推明地谷立法之根，原以地为本天之心，其说甚明。其金水二星，《厯指》之说多淆，亦久疑其非，今得门人刘允恭悟得金水二星之有歳轮，其理的确而不可易，可谓发。前人之未发矣。○问金水二星之求次均也，用伏见轮厯指谓其即岁轮，其说非与？曰：非也。

伏见轮之法起于囘厯，而欧逻因之。若果即岁轮，何为别立此名乎？由今以观，葢即岁轮上星行绕日之圆象耳【王寅旭书亦云伏见轮非歳轮】○然则伏见轮既为围日之迹，上三星宜皆有之，何以不用而独用之金水？曰：以其便用也。葢五星行于岁轮，起合伏终合伏，皆从距日而生，故五星之岁轮并与日天同大，而岁轮之心原在本天周，故其围日象又并与本天同大。上三星之本天包太阳外，其大无伦，又其行皆左旋【所以左旋之故详具后论】颇费解说，故只用岁轮也。至于金水本天在太阳天内，伏见轮既与之同大，又其度顺行，故用伏见轮【亦即绕日圆象】若用岁轮，则金水之歳轮反大于本天【以歳轮与日天同大故皆大于本天】故不用岁轮，非无岁轮也。承用者未能深考立法之根，辄谓伏见轮即岁轮，其说似是而非，不可不知也。伏见亦起合伏终合伏，有似岁轮，然岁轮之心行于本天之周，而伏见轮以太阳为心，故遂以太阳之平行为平行，皆相因而误者也。○然则金水既非以太阳之平行为平行，又何以求其平行？曰：歳轮之心行于本天，是为平行，乃实度也。实度者，周度也【以本天分三百六十度而以各星周率平分之则得其每日平行如土星二十九年竒而行本天一周则二十九日而行一度每日平行十九分度之一是为最迟木星十二年周天每日平行约为十二分度之一火星二年周天约为每日平行半度金星二百二十余日周天约每日平行一度半强水星八十八日弱而周天约每日平行四度皆平行实度】若岁轮及伏见轮虽亦各分三百六十度，亦各有其平行，然而非实度也【此非本天上平行之度，又非从地心实测之平行度】乃各星之离度耳。因此离度【下文详之】用三角法从地心测之，则得其迟留伏逆之状，亦为实度矣【此实度不平行与本天之平行实度不同】○本天之度，平行实度也；岁轮及伏见，乃离度也。离度为虚数，故皆以半径之大小为大小。○伏见轮上行度，与岁轮同，所不同者半径也。伏见之半径，皆同本天；岁轮之半径，皆同日天。○问何以谓之离度？曰：于星平行内减去太阳之平行，故曰离度，乃离日之度也。以太阴譬之，其每日平行十三度竒者，太阴平行实度；每日十二度竒者，太阴之离度也【于太阳平行内减太阳平行】是故金星每日行大半度竒，水星每日约行三度，皆于星平行内减太阳之平行。○因金水行速，其离度在太阳之前，乃星离于日之度，故其度右旋顺行，与太阴同法也。○若上三星，则当于太阳平行内减去星行，是为离度。葢以上三星行迟，在太阳之后，乃星不及于日之度，其度左旋而成逆行，与太阴相反，然其为离日之行度一而已矣【王寅旭《五星行度解》谓上三星左旋，葢谓此也，然竟以此为本天，终非了义】○平行者，对实行而言也。

然实行有二：一是本天最高卑之行，亦曰实行；一是黄道上迟留逆伏实测，亦曰视行。是二者皆必以本天之平行为宗。○若金水独以太阳之平行为平行，是废本天之平行矣，又何以求最高卑乎？○围日之轮【即伏见轮】起合伏终合伏，是即古法之合率也。本天之行，即古法之周率也。最高卑，即古法之厯率也。又有正交中交，以定纬度，即如古法之太阴交率也【此一法是西法胜中法之一大端】是数者皆必以本天取之，故不得以围日之轮为本天。○《厯指》言金星正交定于最髙前十六度，水星正交与最高同度，其所指。皆本天之度，非伏见行之度，则伏见轮不得为本天，明矣。○今以七政厯徴之，不惟最高卑之盈缩有定度，即其交南北亦有定度，故金星恒以二百二十余日而南北之交一终，水星则八十八日竒而交终，此皆论本天实度，原不论伏见行，是尤其较著者矣。永按七政皆有本天，本天皆有平行之实。度月与五星皆有次轮，而五星次轮亦曰岁轮，皆因离日逺近而生。离度月之离度起合朔，终合朔；五星离度起合伏，终合伏。土木火三星在日之上，其本天大，其右行之度迟，则于太阳平行度内减其星之行度，是为岁轮上离度。合伏至冲日，半轮星西而日东；冲日至合伏，半轮星东而日西。金水二星在日之下，其本天小，其右行之度速，则于本天平行度内减太阳平行度，为岁轮上离度。合伏至冲日，星东而日西；冲日至合伏，星西而日东。金水本天虽小，而岁轮亦如上。三星与日天等大，星在岁轮上半周，则岁轮负星出日上；至下半周，乃在日天下。其绕日之圆象，实由岁轮上星行轨迹所成，与上三星成绕日大圆者同理。而厯家别名为伏见轮，但于伏见轮上离度筭其距日实行，则与岁轮所得不殊。又即以太阳之平行为二星之平行，皆径捷之权法，而承用者遂以伏见当岁轮，以日天为二星本天，且置本轮均轮于日天上，而二星之本天与岁轮皆隐。得勿庵先生发其蕴，本象始明，终疑金星二百二十四日竒周天，水星八十八日周天，何以能终古附日也？乃多作图以显其象。

此设金星合伏时在岁轮之顶以为起算之端，因及岁轮心行一象限也。甲为地心，亦为金星本天与黄道之心。乙丁己戊为黄道，午酉未申为本天，庚辛心壬为岁轮。庚辰寅夘为伏见轮。岁轮心午在本天周，乙为太阳，庚为星合伏时，星在日上，从甲望之，同在一直线。此星在岁轮上，本象也。若设伏见轮绕日，乙为轮心，即太阳，其合伏之防庚，即岁轮之顶，星在岁轮顶，即在伏见轮顶也。若向后五十六日有竒，岁轮心行一象限【此姑以轮心行言之，实因本天右旋故带动岁轮也。又本天上更有本轮，本轮上有均轮，岁轮心在均轮上，其差者微，此姑勿论，后仿此】至酉为辰子丑癸轮，则太阳自乙行至丙【五十五度竒】而星在岁轮上自癸行至亥【三十四度竒，癸即前之合伏防庚】其绕日之伏见轮【戌亥氐亢】心至丙，其周与岁轮交于亥【亥为星所到】房至亥【房为合伏防】犹癸至亥也【同度】

此又五十六日竒，并前为一百十二日竒，岁轮又行一象限，心至未也【凡行象限】二太阳自乙至辰一百十度竒，星自心至子六十九度竒。若自伏见轮上观之，轮心在辰，其周与岁轮交于子，子即星所到也。丑至子犹心至子也【丑与心皆合伏防】黄道上角至辰，即星离日次均度也。

此图有二行，其一己庚辛壬岁，轮心行至戊，则太阳在丙，星在癸，而伏见轮【夘巳寅癸轮】亦交于癸。其一子丑午未岁，轮心行至乙，则太阳在丁，星在申，而伏见轮【申亢酉氐轮】亦交于申。○又五十六日竒，并前为一百六十八日半强，岁轮又行一象限，心至戊【并前三象限】太阳自房心至丙一百六十六度强，星自庚厯辛至癸【庚即第一图合伏庚防】一百○三度太强，伏见轮自辰至癸亦如之【辰亦合伏防】○又五十六日竒，并前二百二十四日半强，岁轮又行一象限，心至乙【并前一周】太阳自房心至丁二百二十一度半弱，星自子丑至申一百三十八度半强，伏见轮自戌氐至申亦如之【子戌皆合伏防】

金星行嵗轮图四此图亦有二行，其一癸寅丑子岁轮心行至丙，则太阳在夘，星在申而伏见轮【酉申戌亥轮】亦交于申。其一亢心氐房岁轮心行至丁，则太阳在午，星在未而伏见轮【尾箕未斗轮】亦交于未。○又五十六日竒，并前为二百八十一日弱，岁轮又行一象限，心至丙【并前一周外又一象限】太阳自辛庚至夘二百七十六度太强，星自子歴癸至申【子即第一图合伏庚防】○又五十六日竒，并前为三百三十七日强，岁轮又行一象限，心至丁【并前一周外又二象限】太阳自辛庚至午三百三十二度强，星自氐厯房亢至未二百○七度太强【氐即第一图合伏庚防】伏见轮自牛厯尾箕至未亦如之【牛亦合伏防】

此又五十六日竒，并前为三百九十三日强。岁轮【癸丑子寅】又行一象限【并前一周外又三象限】心至戊，太阳行一周；又自已至未二十七度半。星自丑子寅至酉二百四十二度半弱【丑即第一图合伏庚防】伏见轮自申辰午至酉亦如之【申亦合伏防】

此图有二行，其一戊壬癸庚次轮心行至丙，则太阳在房，星在酉而伏见轮【酉巳亥未轮】亦交于酉。其一辛斗亢牛岁轮心行至午，则太阳在心，星在辰而伏见轮【夘辰寅氐轮】亦交于辰。○又五十六日竒，并前为四百四十九日少强，岁轮又行一象限，心至丙【并前二周】太阳行一周，又自丁至房八十二度太强，星自戊厯壬癸至酉【戊即第一图合伏庚防】二百七十七度强，伏见轮自申厯巳亥未至酉亦如之【申亦合伏防】又五十六日竒，并前为五百○五日半强，岁轮又行一象限，心至午【并前二周又一象限】太阳行一周，又自丁房至心一百三十八度强，星自己厯辛斗亢至辰三百一十一度半强【己即第一图合伏庚防】伏见轮自午厯寅氐夘至辰亦如之【午亦合伏防】

此图亦有二行，其一子牛壬癸岁轮心行至丙，则太阳在心，星在戌，而伏见轮【申酉戌亥轮】亦交于戌。其一寅辰斗角岁轮心行至女，则太阳在丑，星在午，而伏见轮【夘未巳午轮】亦交于午。○又五十六日竒，并前为五百六十一日，太弱嵗轮又行一象限，心至丙【并前二周有半】太阳行一周，又自丁厯戊庚至心一百九十三度半强，星自壬厯癸子牛至戌三百四十六度强【壬即第一图合伏庚防】伏见轮自亢厯亥申酉至戌亦如之【亢亦合伏防】○又五十六日竒，并前为六百一十七日，太强岁轮又行一象限，心至女【并前二周又三象限】太阳行一周，又自丁戊庚至丑二百四十九度稍强，星自辰左旋一周至午二十一度稍弱【辰即第一图合伏庚防】伏见轮自房右旋一周至午亦如之【房亦合伏防】

此设水星合伏时，在岁轮之顶，因及岁轮心行一象限也。甲为地心，丙申未午为黄道，乙丁己辛为本天，戊亥尾亢为岁轮，戊己子癸为伏见轮。岁轮心乙，在本天周，丙为太阳，戊为星。合伏时，星在日上，从甲视之，同一直线。此星在岁轮上，本象。若设伏见轮绕日，丙为轮心，即太阳，其合伏之防戊，即岁轮之顶。星在岁轮顶，即在伏见轮顶也【本天上更有本轮、均轮，岁轮心在均轮上，其差皆微，此勿论，后仿此】○设合伏后二十二日弱，岁轮行一象限【己角戌酉轮】心至丁，则太阳自丙行至庚二十一度太弱，星自酉至壬【酉即合伏戊防】六十八度少强。自丑牛夘丙伏见轮上观之，则自斗至壬亦六十八度少强也【斗亦合伏防】

此图有二行，其一己子丁己岁轮心行至乙，则太阳在酉，星在房而伏见轮【未戌房申轮】亦交于房。其一午癸丑夘岁轮心行至辛，则太阳在亥，星在心而伏见轮【尾角斗心轮】亦交于心。○又二十二日弱，并前为四十四日弱，岁轮又行一象限，心至乙【并前二象限】太阳自庚至酉四十三度少强，星自丁厯巳至房【丁即第一图合伏戊防】一百三十六度半强，伏见轮自氐厯戌至房亦如之。○又二十二日弱，并前六十六日弱，岁轮又行一象限，心至辛【并前三象限】太阳自庚至亥六十五度强，星自癸厯丑夘至心二百○五度弱【癸即第一图合伏戊防】伏见轮自亢厯角斗至心亦如之【亢亦合伏防】

此图有三行，其一戊寅庚夘岁轮心行至乙，则太阳在午，星在酉而伏见轮【酉栁女尾轮】亦交于酉。其一辰子己房岁轮心行至氐，则太阳在未，星在戌而伏见轮【斗牛虚戌轮】亦交于戌。其一丙亢壬角岁轮心行至巳，则太阳在申，星在亥而伏见轮【井室亥危轮】亦交于亥。○又二十二日弱，并前为八十八日弱，岁轮又行一象限，心至乙【并前一周】太阳自丁行至午八十六度太弱，星自戊厯寅庚夘至酉【戊即第一图合伏戊防】二百七十三度少强，伏见轮自心厯栁女尾至酉亦如之【心亦合伏防】又二十二日弱，并前为一百一十日弱，岁轮又行一象限，心至氐【并前一周又一象限】太阳自丁行至未一百○八度少强，星自房厯辰子巳至戌【房即第一图合伏戊防】三百四十一度半强，伏见轮自壁厯虚牛斗至戌亦如之【壁亦合伏防】○又二十二日弱，并前为一百三十二日弱，岁轮又行一象限，心至巳【并前一周半】太阳自丁至甲一百二十日强，星自壬左旋一周又五十度弱至亥【壬即第一图合伏戊防】伏见轮自奎右旋一周复至亥亦如之【奎亦合伏防】

锡山杨学山作枚曰【书五星纪要后】西法步五星，土木火有岁轮，金水有伏见轮。虽两轮行度，求角之法皆同，然岁轮上为星离日之虚度，轮心在本天；伏见轮则有自行度，轮心即太阳。细按厯书之说，葢谓上三星本天包太阳天外，星离日，而又与日有定距，是生岁轮，其半径恒与太阳天等。若金水之本天即太阳天，其平行与太阳同，距等亦与太阳等【俱一千一百四十二地半径】而此伏见一轮以日为心，绕日环转而为伏见，使非此轮，则星无所为伏见【以平行同太阳故也】故名伏见轮，其轮之半径皆有定度【金星七千二百竒，水星三千八百竒】是其意原非以伏见轮当岁轮，若果即为岁轮，则半径宜有大小。何则火星因与太阳天近，尚有日躔本天二差，以变次均角，岂金水在太阳天下而反无之？今测不然是伏见轮另为一种行动，为金水之所独，故昔人别立伏见轮之名也。其所云即岁轮者，葢因行法相同而混言之耳。今勿庵之说又异，是谓五星皆同一法，皆有岁轮，上三星因本天大故用岁轮，金水因岁轮大难用，故用绕日圆象【即伏见轮，如上三星围日之圏】如此可明金水自有本天，因得自有高卑，亦自有平行度，因在日天下速于太阳本天，斜倚黄道，因有正交中交之名，诸根底俱有着落。且五星一贯，但依此立算，凡星平行自行之根数，初均次均之度分，南纬北纬之大小，皆与厯书数迥异，騐之于天，未识合否。余尝疑厯指论五星纬说多混淆，金水尤畧，因作《五星纬行解》一卷明之。勿庵之说不敢遽定其是非，存之以待参攷焉。永按：学山先生谓勿庵之说，不敢遽定其是非。今绘图试之，岁轮上星所到，与伏见轮上星所到，一一相符，则勿庵先生之说信矣。然诸图皆设歳轮心于本天，未设本轮均轮。愚初犹疑本轮均轮设于本天，未必能符伏见轮上所算之数也。既而拟法算之【算例见后】虽平行、自行、初均、次均与伏见算大异，而以后均加减岁轮行，则与伏见所算之实行不约而同。于是前疑尽释，而算例亦可立矣。若南纬、北纬之大小，勿庵先生已详言之，谓本天上岁轮心所行之周半在黄道北，半在黄道南，其势斜立，星体行伏见轮周，其势亦斜立，与之相应，故其交角等。夫交角既等，则岁轮上之纬与伏见轮之纬亦必等。岂两轮事事相符，而纬行一事独违异者？况星之纬南纬北，实由岁轮心所到乎【轮心到正交、中交则无纬度】杨先生亦可无疑于此也。永别有余论，具于左。凡星体皆载于岁轮上，岁轮之心在均轮，均轮之心在本轮，本轮之心在本天。其大迟速在本天之行，其小盈缩在本轮、均轮之转，五星皆同。歳轮由星为太阳所摄而生，岁轮随本天旋转，聨其行迹，自成绕日之轮。

其轮各与本天等大。若主太阳言之，似星本绕日，因星在绕日轮上旋转而成与太阳本天等大之岁轮【西士谓五星皆以日为心】若主本天言之，则绕日轮生于岁轮。勿庵先生始谓上三星之绕日为虚迹，非实象；后又谓金水伏见轮亦如围日之圆象，实为歳轮周行度所成。然则本天与岁轮犹表也，绕日圏伏见轮犹景也。置本轮均轮于金水岁轮上，与伏见轮上所算之黄道度不殊。然则上三星亦可置本轮均轮于绕日圏上立算。此天能之巧妙，若上三星用岁轮，金水用伏见轮，则步算之权宜也。各星本轮均轮止一耳，何以随人两置之而皆可？由其本同故也。其所以然者，不出三角之理，后有图明之。厯家于金水，何以不用岁轮立算？伏见显而歳轮隐也。然则厯家既便于伏见立算矣，必不用歳轮之隐而曲。勿庵先生之说，亦可置勿论乎？曰：不然。畴人之所便用者，法也；儒家所讲求者，理也。有勿庵之说，而后知二星亦有本天，有岁轮，与上三星一贯。因其本天在日天下，故其左旋者渐迟，右旋者渐速。下至太阴，上至恒星，高下迟速各以其等。而西人始言天有重数之说，得此益明。故愚以为甚有功也。否则，但以二星之行与日等，其本天与日天混而为一，乌覩所谓九重者乎？梅先生恐人谓岁轮实有坚硬之物，则有人持珠竿行于浮屠梯磴之喻，门人刘着亦有风中放▯鸢之喻，皆谓员周为虚设，二喻皆妙。永又思之，使其只有一本天，一岁轮，则谓因相距之半径随天旋绕而成员象可也。而本天之上有本轮，本轮之上有均轮，均轮之上乃有岁轮，至太阴则小轮尤多，诸轮又各有其左旋右转，随动自动，起防行度之异。又火星之次轮时时不等，水星之均轮一周三周，一若实有诸轮相聨相贯相推相荡，又且多其变态者，则在天虽无轮之形质，而有轮之神理，虽谓之实有焉可也。学山谓火星因与太阳天近，故有日躔本天二差以变次均角，愚始亦疑其然，后细攷之，此说未确。使火星之次轮半径由近日天而致差，则木星天距火星未甚逺，岂得无些小之差？土星天虽去日天甚逺，而本轮比诸星独大，亦岂得无微细之差？厯家积▯之久，虽有小差，必能立法以追其变，使土木次轮亦如火星之例，岂不依火星距日日差之法为活动之算，以穷其变？今攷之不然，则次轮半径有二差，惟火星则然，金水虽最近日，次轮半径有定，尤可互证。伏见轮虽曰以太阳为心，其实亦非真以太阳之形体为心也，乃是太阳本轮之心为之心耳。故算次均角不因太阳之盈缩髙卑而改变，惟算合伏与退合两日，以太阳实行定其实合伏、实退合之时刻。以此例之，土木二星绕日圏，其真心亦是太阳本轮心，非太阳之形体也，惟火星不然耳。

梅先生云：「岁轮大小，又因于太阳髙卑。伏见轮既以日为心，则太阳行最髙时，伏见轮从之亦高，而星去地逺；太阳行最卑，则伏见轮从之卑，而去地近。永思之，金水近日，使伏见半径果因太阳高卑而有改变，则太阳行至三宫、九宫平视两行差不啻两度，伏见轮半径亦当大两度。厯家有不觉者乎？知其所谓心者，为太阳本轮心，非太阳形体，则此疑冰释矣。」○梅先生又谓：「太阳有高卑，则黄道半径有大小，星亦能变纬度。论视纬当兼用两种髙卑立算。永谓算视纬必用星距地心线定其逺近，此线即黄道上星距太阳本轮心之界线也。算次均角，即此线所界之度。求次均不因太阳高卑而变，则此线亦不因太阳高卑而改。疑其无纬差。」五星纪要详于金，畧于水。永考水星与金星不同者有二事，其一则均轮也。他星均轮最高时起最近防，右旋而倍引数，独水星均轮最高时起最逺防，右旋三倍引数【引数一度，均轮三度】其一则交角也。金星交角三度二十九分，惟一耳。水星交角则时时不同，伏见轮心在大距与黄道交角五度四十分，伏见轮心在正交，当黄道北则减，南则加；伏见轮心在中交，当黄道北则加，南则减。其加减各有与大距交角相较之数，以距交实行逐度算其交角加减交角而得实交角。此二事葢相因，其理极精微。又按《厯书》水星前后纬表，南北之向与金星相反，初不知其何故。及考之《厯象考成》，求金、水正交行，置最高平行，金星则减十六度，水星则加减六宫，得正交平行。乃知水星正交与最卑同度，而旧法谓与最高同度，是以正交为中，中交为正，故南北与金星相反。当易其正中之名，乃与诸曜一例。

金水算例从伏见轮立算，二星皆以太阳之平行为平行，轮上绕日之行为伏见平行，求初均于本星平行内减最高行为引数。金星用直角形，水星用三角形【厯数考成之法】求得均角，以加减本星之平行为初实行【初宫至五宫为减，六宫至十一宫为加】又反用加减号，以加减伏见平行为伏见实行【加星行则减伏见行，减星行则加伏见行】求次均，先求伏见轮心距地心线【求得初均角，即用割线比例求之】以此线与伏见轮半径为两邉，以伏见实行为所夹之外角【过半周者与全周相减用其余】用切线分外角法求半较角，以减半外角，余为次均角，以加减初实行【伏见轮初宫至五宫为加，六宫至十一宫为减】为黄道上实行。右法，厯家所用者也。若用岁轮算法，如后【永所推】从岁轮立算，二星皆以行度【即本星平行与太阳同】离度【即伏见平行】并之为岁轮之平行。置本轮均轮于各本天【与伏见法置于太阳本天者异】于岁轮平行内减最高行为引数，亦用直角【金星】三角【水星】形法求均角，以加减本星之行度为初实行。又反用加减，以加减本星之离度为定离度。于定离度内求次均，亦先求得岁轮心距地心线为一邉【此邉小】以岁轮半径为一邉【此边大】定离度为所夹之外角【过半周者伏见轮之半径小，次均为对小邉之角，故以半较角减半外角为对邉之小角；岁轮半径大，次均为对大邉之角，故以半较角加半外角为对邉之大角】以次均加减岁轮平行【初宫至五宫为减，六宫至十一宫为加】为黄道上实行，与伏见轮所算实行同。

算理金水本天与太阳本天高下不同，其本轮、均轮，一置于伏见轮心，一置于岁轮心，各依本法算之，所得之初均、次均数，亦迥不同，而求黄道实行，两者若合符节，此必有所以然之理，作图明之。

甲为地心丙为太阳乙为金星辰午丁弧为本天戊丙巳弧为黄道子辛丑弧为岁轮壬乙癸弧为伏见轮丁为嵗轮心丙为伏见轮心此设太阳自戊行至丙而嵗轮心自辰行至丁则星体必在乙乙防为岁轮与伏见轮相交之处也。岁轮子乙弧与黄道戊丙弧同度，亦即与伏见轮壬庚弧同度，皆星本行之度与太阳行度等者也。岁轮乙辛弧与黄道丙己弧同度，亦即与伏见轮庚乙弧同度，皆为星离合伏之度，厯家所谓伏见行者也【岁轮左旋自辛至乙为离度，伏见右旋自庚至乙为离度】夫辛乙与庚乙同度，黄道上为丙夘巳之度，而人从甲望乙，见黄道上星在夘，则夘丙为星距太阳之视度，其角为夘甲丙角，亦即庚甲乙角。若从伏见立算，当算庚甲乙角，得丙夘加戊丙得戊夘为黄道上实行度。若从岁轮立算，则轮上辛乙从黄道上视之为巳夘，其角为己甲夘，亦即辛甲乙，当算辛甲乙角，得夘己，以夘巳减戊巳，亦得戊夘为黄道上实行度。○然则两轮立算始异终同，由辛乙与庚乙同度，黄道上为丙己，中间有星距地心线【乙甲】截丙巳于夘，分为两甲角【一夘甲丙，一夘甲己】算两甲角一加一减，则必无不合也。○两甲角成斜方形，邉有四线：丙甲为伏见轮心距地心线，乙丙为伏见轮半径，丁甲为岁轮心距地心线，乙丁为岁轮半径。两轮心所到各不同，则斜方形亦不一，皆此四线之伸缩，其极也，四线合为一线中线，如两线之长【合伏与退合时】○此图未加本轮均轮，则乙丙等，丁甲乙丁等，丙甲对边皆平行，本非天上实象，姑以此明立算之本。设本轮均轮之四线图如左。

此图乙丙乙丁如前丙甲与乙丁丁甲与乙丙各微不等对边亦各不平行由丙丁二轮心有本轮均轮各有髙卑则丙甲丁甲二距地心线有改变乙防为心所在亦有移动而黄道上丙夘、丙巳两视度亦有损益也。而算两甲角以求实行度，必无不合。○凖前图论之，丙甲、丁甲二距线若常如两轮半径，则丙角与丁角同大【邉线平行同对乙甲线故也】丙甲乙角与丁乙甲角同大【同对半径小邉】丙乙甲角与丁甲乙角同大【同对半径大邉】如后图，丙甲、丁甲二距线既变，则两形中无相等之角，即丙丁二甲亦变矣。角变而丙己之弧度不变，是以其终必合也。○丙丁二角何以变也？依前图言之，丙角之外角度为伏见轮上庚乙丁角之外角度为岁轮上辛乙庚。乙与辛乙本同度也，因两轮上各有初均加减，则度不同，而庚丙乙与乙丁辛两外角变矣。外角变，故内角必变也。○丙己之弧度何以不变也？凡初均数加星行者即减伏见，加伏见者即减星行，二者迭为损益，而总数不改，是以斜方形中但移其乙甲距线，而黄道上丙己之度为戊丙之余，原与庚乙、乙辛等者未尝变，是以次均算得夘巳减戊己，犹之算得丙夘加戊丙也。○由是观之，任丙甲、丁甲二邉时时改变，乙甲线时时移动，而得黄道上戊夘之实度，必无不同。○乙甲丙角所对者乙丙小邉，故以半较角减半外角爲甲角；乙甲丁角所对者乙丁大边，故以半较角加半外角爲甲角，自然之理也。○两轮算黄道实度旣同矣，乙甲爲星距地心线，亦同乎？曰此不待言也。乙甲者，丙角、丁角同用之对边也，以角算度旣合矣，边焉得不合？

右图就金星轮图之水星仿此

数学卷六<子部,天文算法类,推步之属,数学>

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