数学卷八

数学卷八

婺源江永撰算賸【勿庵先生论算极详，观玩之余，有得辄笔之，此为賸义云尔】

正弧三角防通弧三角》以正者为宗，举要第二卷，论正弧。其法散出，有见于求余角法者，有见于第四卷次形法者，又有现于《堑堵测量》、《环中黍尺》二书者。今为荟萃，总计求角、求边凡若干正法、别法，附之胪列分明，学者庶易防焉。甲为正角，乙酉春分角，丙为交角，乙。甲犹赤道，乙丙犹黄道，丙甲犹距纬。正弧随处有之，不止黄赤道，而以黄赤为喻诸法皆以甲乙丙为钤记。

求丙甲边法半径与乙角正▯若乙丙正▯与丙甲正▯【中二率相乘为实，首率为法，除实得四率】半径与乙角正切，若乙甲正▯与丙甲正切。丙角正切与半径若乙甲正切与丙甲正▯若欲用半径为首率，以省除，则为半径与丙角余切，若乙甲正切与丙甲正▯半径与丙角余▯若乙丙正切与丙甲正切。又法，丙角余▯与半径若乙丙余切与丙甲余切。乙甲，余▯与半径若乙丙，余▯与丙甲，余▯。若欲用半径为首率，以省除，则为半径与乙甲正割，若乙丙余▯与丙甲余▯又法，半径与乙甲余▯若乙丙正割与丙甲正割。又法，乙丙余▯与半径若乙甲余▯与丙甲正割。又法，乙丙正割与半径若乙甲正割与丙甲余▯丙角正▯与半径若，乙角余▯与丙甲余▯半径与丙角余割，若乙角余▯与丙甲余▯又法不用四率，但以加减法取初数，即得。丙甲正▯法为乙角度，与乙丙边度相并为总弧，相减为存弧，各取余▯如法相加减【总弧过象限则两余▯相加，不过象限则相减】折半为初数，即为丙甲正▯。

求乙丙边法乙角正▯与半径若丙甲正▯与乙丙正▯。若欲用半径为首率，以省除，则为半径与乙角余割，若丙甲正▯与乙丙正▯乙角余▯与半径若乙甲正切与乙丙正切。若欲用半径为首率，以省除，则为半径与乙角正割，若乙甲正切与乙丙正切。丙角正▯与半径若乙甲正▯与乙丙正▯。若欲用半径为首率，以省除，则为半径与两角余割，若乙甲正▯与乙丙正▯丙角，余▯与半径若，丙甲正切与乙丙正切。若欲用半径为首率，以省除，则为半径与丙角正割，若丙甲正切与乙丙正切。半径与丙甲余▯若乙甲余▯与乙丙余▯又法，乙甲余▯与半径若丙甲正割与乙丙正割。又法，丙甲正割与半径若乙甲余▯与乙丙余▯。又法，半径与乙甲正割若丙甲正割与乙丙正割。又法，乙甲正割与半径若丙甲余▯与乙丙余▯。又法，丙甲余▯与半径若乙甲正割与乙丙正割。乙角正切与半径若，丙角余切与乙丙余▯半径与乙角余切，若丙角余切与乙丙余▯。

求乙甲边法乙角正切与半径若丙甲正切与乙甲正▯若欲用半径为首率，以省除，则为半径与乙角余切，若丙甲正切与乙甲正▯又法：乙角正▯与乙角余▯，若丙甲正切与乙甲正▯。半径与乙角余▯若乙丙正切与乙甲正切。又法，乙角正割与半径若乙丙正切与乙甲正切。半径与丙角正▯若乙丙正▯与乙甲正▯半径与丙角正切，若丙甲正▯与乙甲正切。甲丙余▯与半径若乙丙余▯与乙甲余▯。又法：乙丙正割与半径若丙甲正割与乙甲余▯。又法：半径与丙甲正割若乙丙余▯与乙甲余▯。又法：乙丙余▯与半径若丙甲余▯与乙甲正割。又法：半径与乙丙正割若丙甲余▯与乙甲正割。又法：丙甲正割与半径若乙丙正割与乙甲正割。乙角正▯与半径若，丙角余▯与乙甲余▯半径与乙角余割，若丙角余▯与乙甲余▯求乙角法乙丙正▯与半径若丙甲正▯与乙角正▯若欲用半径为首率，以省除，则为半径与乙丙余割，若丙甲正▯与乙角正▯又法：丙甲正▯与半径若乙丙正▯与乙角正割。又法：半径与丙甲余割若乙丙正▯与乙角正割。又法：乙丙正▯与丙甲正▯若乙角正割与乙角正切。乙甲正▯与半径若丙甲正切与乙角正切。若欲用半径为首率，以省除，则为半径与乙甲余割，若丙甲正切与乙角正切。又法，丙甲正切与半径若乙甲正▯与乙角余切。乙丙正切与半径若乙甲正切与乙角余▯若欲用半径为首率，以省除，则为半径与乙丙余切，若乙甲正切与乙角余▯又法，乙甲正切与半径若，乙丙正切与乙角正割。又法，半径与乙甲余切若，乙丙正切与乙角正割。半径与丙甲余▯若丙角正▯与乙角余▯【永补】乙甲，余▯与半径若丙角，余▯与乙角正▯【永补】半径与乙甲正割，若丙角余▯与乙角正▯【永补】乙丙余▯与半径若丙角余切与乙角正切【永补】半径与乙丙正割，若丙角余切与乙角正切。

求丙角法乙丙正▯与半径若乙甲正▯与丙角正▯若欲用半径为首率，以省除，则为半径与乙丙余割，若乙甲正▯与丙角正▯又法，半径与乙丙正割，若乙角余切与丙角正切。又法，乙甲正▯与半径，若乙丙正▯与丙角余割【永补】丙甲正▯与半径若乙甲正切与丙角正切。若欲用半径为首率，以省除，则为半径与丙甲余割，若乙甲正切与丙角正切。又法，乙甲正切与半径若丙甲正▯与丙角余切【永补】乙丙正切，与半径若；丙甲正切，与丙角余▯。若欲用半径为首率，以省除，则为半径与乙丙余切，若丙甲正切与丙角余▯。又法，丙甲正切与半径若乙丙正切与丙角正割【永补】丙甲余▯与半径若乙角余▯与丙角正▯【永补】半径与丙甲正割，若乙角余▯与丙角正▯半径与乙角正▯若乙甲余▯与丙角余▯【永补】半径与乙角正切，若乙丙余▯与丙角余切【永补】已上求边求角诸法，具足有未备者，永为补之一种，有数法择用一焉可也【永所补者，亦因他法隅反，非臆测也，用之可勿疑】垂弧法，趋防。举要第三卷，论垂弧，但言可求某边某角，不详其求之之法。以有正弧三角法可攷也。然算以防为贵，有可省者，径省之。诸形中各求防法，以趋简易。

形内垂弧第一支【甲乙丙形，有丙鋭角，有角旁相连之乙丙、甲丙二边，求对边及余两角】作垂弧，乙丁丁为正角。○按两边夹一角求对角之边，有环中黍尺专书。备论可不作？垂弧欲以垂弧算之？第四卷有防法，但求丁丙边【半径与丙角余▯若】【乙丙正切与丁丙正切】分甲丁边【丙丁之余为甲丁】即用两分之两边以径得乙甲【丁丙余▯与乙丙余▯若丁甲余▯与乙甲余▯】甚防也，得乙甲，则二角【乙甲】可求矣。若按次求之，先求丁丙，次求乙丁，次求丁乙丙分角，次求乙甲，次求甲角及丁乙甲分角，末以两乙角并之成乙角，较为烦曲。形内垂弧第二支【甲、乙、丙形，有丙鋭角，有角旁相连之乙丙边，及与各相对之乙甲边，求余两角一边】此当先求甲角【乙甲正▯与丙角正▯若乙丙正▯与甲】角正▯】次求丁丙【半径与丙角余▯若乙丙正切与丁丙正切】甲丁【半径与甲角余▯若乙甲正切与甲丁正切】分边并。得甲丙，则乙角可得，不必求垂弧与。

分角形内垂弧第三支【甲乙丙形有乙丙二角有乙丙边求甲角及余边】边在两角之间，斜弧三角之难求者。也若以垂弧法求之，当求乙丁边【半径】与丙角正▯，若乙丙正▯与乙丁正▯】丁乙丙分角【乙丙余▯与半径若丙角余切与乙角正切】原设乙角内减丁乙丙得丁乙甲分角次求甲角【半径与乙分角正▯若乙丁余▯与甲角余▯】乙甲边【甲角正▯与半径若乙丁正▯与乙甲正▯】甲丙边【甲角正▯与乙丙正▯若原设乙角正▯与甲丙正▯】此不得不求垂弧与分角者也按次形法三角求边以角易为边边易为角此形虽止两角亦可弧角相易以次形求之葢在本形为两角夹一边次形即为两边夹一角在本形为求对边之角在次形即为求对角之边径用环中黍尺加减防法以求之，一求而甲角可得矣此理隐于次形篇中，永于三角求边悟得之形内垂弧第四支【甲、乙、丙形，有丙、甲二角，有乙、甲边，求乙角及余二边】此当先求乙丙边【丙角正▯与甲角正▯若乙甲正▯与乙丙正▯】次求丙丁【半径与丙角余▯若乙丙正切与丙】丁正切】丁甲【半径与甲角余▯若乙甲正切与丁甲正切】分边并得丙甲而乙角可得形内垂弧第五支【系二边相同，求三角，此形易求畧之】形外垂弧第一支【甲、乙、丙形，有丙鋭角，有夹角之两边，求乙甲边及余两角】自乙角作垂弧于形外，补成正角【丁角】本法须求丙乙丁角【乙丙余▯与半径若丙角余切与乙角正切】乙丁边【半径与乙丙正▯若丙角正▯与乙丁正▯】丁丙边【半径与乙丙正▯若乙角正▯与丁丙正▯】乃可求乙甲边【丁丙内减丙甲得甲丁半径与甲丁余▯若乙丁余▯与乙甲余▯】甲角【乙甲正▯与半径若乙丁正▯与甲角正】▯】及甲乙丁虚角【乙甲正▯与半径若甲丁正▯与虚】【乙角正▯○末以甲角减半周得原设甲角，以甲乙丁虚角减丙乙丁角得原设丙乙甲角】若用环中黍尺加减防法，则不用作垂弧，一求可得乙甲边，而甲乙两角皆可求矣。形外垂弧第二支【甲乙丙形有甲钝角有角旁之二边求乙丙边及余二角】本法亦作垂弧于形外，补成正角，先求虚边、虚角，而后可求形内之边角。今按，此亦可用环中黍尺法，角求对。边【钝角用大矢】径得乙丙，因以求二角，则不必作垂弧形外垂弧第三支【甲、乙、丙形，有丙鋭角，有角旁之乙丙边，有对角之乙甲边，求丙甲边及余二角】本法先求虚边，虚角。今按此可求甲。角【乙甲正▯与乙丙正▯若丙角正▯与甲角正▯】乃求丁。丙边【半径与丙角余▯若乙丙正切与丁丙正切】与甲丁。边【半径与甲外角余▯若乙甲正切与甲丁正切】于丁丙内。

减甲丁得丙甲而乙角可求形外垂弧第四支【乙、甲、丙形，有甲钝角，有角旁之甲丙边，及对角之乙丙边，求乙甲边及余二角】本法亦先算虚形，今按此亦可仿第。三支先求乙角，次求乙戊边与甲戊。边于乙戊内减甲戊，得乙甲，因以求。

丙角形外垂弧第五支【乙甲丙形有丙甲二角，一鋭一钝，有丙甲边在两角之中，求一角】本法作垂弧，先算虚边虚角。今按两角夹一边，求对边之角，犹之两边夹。一角求对角之边，径易角为边，易边。为角用加减防法，可得对丙甲边之乙角形外垂弧第六支【乙、甲、丙形，有乙、甲二角，乙鋭，甲钝，有丙、甲边与乙鋭角相对，钝角相连】此当先求乙丙边【有本形弧角比例】次求乙戊虚边【半径与乙角余▯若乙丙正切与乙戊正切】次求甲戊虚边【半径与甲外角余▯若丙甲正切与甲戊正切】于乙戊内减甲戊，得乙甲【因以求丙角】形外垂弧第七支【乙甲丙形有乙鋭角甲钝角有丙乙边与甲钝角相对鋭角相连】此当先求丙甲边余，如六支之法。

垂弧又法第一支【乙、甲、丙形，有乙丙边在两角之间，而两角并钝，求余二边及甲角】法引丙甲至己，引乙甲至戊，各满半。周作戊己边与乙丙等，而己与戊并。乙丙之外，角成甲戊己次形，依法作。垂弧于次形之内【如己丁】分为两形，本。法求乙甲边，以己丁戊分形求到丁戊【半径与戊角余▯若己戊正切与丁戊正切】以己丁甲形求到甲丁【先于己丁戊形求得己角，以减原有之巳角余为丁己甲分角，又求得己丁垂弧，乃求甲丁法为半径与己分角正切若己丁正▯与甲丁正切】合之成甲戊，以减半周得乙甲，求丙甲边，以己丁甲分形求到己甲【丁己甲角余▯与半径若己丁正切与己甲正切】以减半周得丙甲，乃以己丁甲分形求到甲交角【己甲正▯与半径若己丁正▯与甲角正▯】按此殊多曲折，径易角为边，易边为角【或用本形之乙丙两钝角易为边，以乙丙边为角取矢，或用次形之己戊两鋭角易为边取己戊矢，皆可】用加减防法求之即可得甲角【因以求二边】垂弧又法第二支【乙甲丙形有丙甲二角有乙甲边与丙角相对而两角俱钝求乙角及余边】如法引甲、乙、丙、乙，俱满半周，防于己。成丙，甲己次形。作己丁，垂弧于次形。内分次形为两本法，求乙角，惟求分。形，两己角合之为次。形己角与乙对。角等又求分形甲丁、丁丙，并之为甲丙，以求到次形己丙，减半周为乙丙。今按此形，当先求乙丙边【丙角正▯与乙甲正▯若甲角正▯与乙丙正▯】减半周余为己丙虚边。次求甲丁【乙甲减半周得甲己半径与甲外角余▯若甲己正切与甲丁正切】丁丙【半径与丙外角余▯若己丙正切与丁丙正切】并得甲丙，因以求乙角【有弧角比例】稍为直防，若欲先知乙角，如本法可矣【乙甲余弧与半径若甲外角余切与甲己丁分角正切，又半径与甲己正▯若甲外角正▯与丁己正▯又丁己余▯与半径若丙外角余▯与丁己丙角正▯合两分形己角为次形己角，即为本形乙角】垂弧又法第三支【乙甲丙形有乙丙，乙甲两边有乙角，在两边之中】本法用甲乙戊次形算之，今按此亦可用加减防法，径得丙甲。

垂弧又法第四支【乙、甲、丙形，有丙角，有甲丙边与角连，有乙甲边与角对】法用甲己戊次形【甲己为甲乙减半周之余，甲戊为甲丙，减半周之余，戊角为丙之外角】作垂弧于内，求乙。丙边及余两角，按此形，当先求乙角。【乙甲正▯与丙角正▯若甲丙正▯与乙角正▯】因知己虚。角【己为乙之外角】次求丁己【半径与己角余▯若甲己正切与丁己正切】戊丁【半径与戊角正切若甲戊正▯与戊丁正切】并得己戊，即丙乙，因以求甲角。若欲先知甲角，即于丁戊甲分形求之【半径与戊角正切若甲戊余▯与甲角余切】因以求乙丙边【丙角正▯与乙甲正▯若甲角正▯与乙丙正▯】垂弧又法第五支【乙甲丙形有三边内有乙甲丙甲二边相同而皆为过弧求三角】本法用次形作垂弧求之，今按此亦。可用加减防法，用甲角角旁两弧同。度则加减有变例，检环中黍尺五卷。

补遗用垂弧又法第六支【乙甲丙形有丙甲二钝角有甲丙边在两角间】本法引乙、丙、乙、甲满半周，防于戊成。甲戊丙次形，作垂弧于次形外，以求。之今按此亦可易角为边，易边为角。依加减防法求之，径得乙角【因以求二边】垂弧又法第七支【乙、甲、丙形，有乙、甲二钝角，有甲丙边与角对】法引设边成丙戊甲次形【戊为乙对角与乙角等】作垂弧于次形外，此或先求乙丙【乙角正▯与甲丙正▯若甲角正▯与乙丙正▯】减半周得。丙戊，或先求丙戊【戊角正▯与丙甲正▯若甲外角正▯与丙戊正▯】减半周得乙丙，次求丁甲【甲外角余▯与半径若，甲丙正切与甲丁正切】丁戊【戊外角正割与半径。若丙戊正切与丁戊正切】以丁戊减丁甲，余为戊甲，以戊甲减半周，余为乙甲，因以求丙角【若欲先知丙角，先求甲丁对边，即可求得丙角】垂弧又法第八支【乙甲丙形有丙钝角有角旁之两边丙乙丙甲】本法用甲戊丙次形，作甲丁垂弧引。丙戊防于丁，可求乙甲边及甲乙二。角今按此亦可用加减防法径求乙。

甲对边以求二角垂弧又法第九支【乙甲丙形有甲钝角有乙丙边与角对丙甲边与角连】法用丙戊甲次形，自丙角作垂弧与甲戊引长边，防于丁，此当先求乙角。【本形有甲丙对边比例】即戊角【对角等】次求丁甲。与丁戊【与第七支求法同】于丁甲内减丁戊。为甲戊，即得乙甲【法同七支】因以求丙角。

次形斜弧三角求边，必弧角互易，用次形求之。图与算例皆详明矣。然易角为边，有用本角度，有用外角度，恐易混淆。今为厘定，开例如左，庶用之无误。凡三角俱鋭者，在圆周之两角，用本角度，其交角用外角度【凡三边必有一边就圆周，凡三角必有两角在圆周，余一角为交角】

凡三角俱钝者皆用外角度凡两钝一鋭，钝在圆周，鋭在交角者，亦犹三角俱钝，皆用外角度。凡两钝一鋭，鋭在圆周者，用本角度；其两钝一在圆周者，用外角度；一在交角者，用本角度。凡两鋭一钝，鋭在圆周者，用本角度；钝在交角者，用外角度。凡两鋭一钝，鋭在圆周者，用本角度；在交角者，用外角度。钝在圆周者，亦用外角度。

方圆幂积比例补勿庵先生有《方圆幂积》一卷，凡方圆周径面体比例详矣。愚思之，尚有方分圆分比例一法。从来算家只言幂积，不言圆分。而范蜀公论律云：“古者以竹为律，竹形本圆，今以方分置算，此律非是。”算法圆分谓之径围，方分谓之方斜。今圆分而以方法算之，此算数非是。圆分始见于此。圆体用圆分置算，亦有至理。平圆有平圆分，立圆有立圆分。得其方分圆分之比例，则有大小不等之浑圆。欲得倍数之差，但借立方算之。其得数甚真，亦甚防，故为补此一法。

先论圆方算家命平方如棋局之罫者谓之幂合计之谓之积。夫有平幂亦当有平员之分，合众小员之分亦可谓平员之积，由是而为立员，亦可谓立员分、立员积矣。夫所谓员分者，非若句股容员虚其四隅也，非若方体圆体中容得几个圆球，球间尚有空隙也。大小相容，全无隙罅，但有圆之数而无圆之形，是所谓员分、员积也【如以分作九，复碎丸成粉，入大圆中，谓此大员能容几个粉丸】

平方平员方径一十　　幂积一百员径一十，幂积七十八又五三九八一六。

员积一百方员有相应之理，方员同径，员者刓其四角，故幂积七十八有竒。若员中复容员，必与同径之方等积。大员与小员，犹之大方与小方也。此为浑员立方比例之根。

立方立员立方径一十　　立方面幂六百立员径一十，立员面幂三百一十四又一五九二。

六五立员面员分六百立员即浑员，浑圆面幂与员径上平幂若四与一，故四倍平员面幂【七八五三九八一六】而得三一四一五九二六五，立方有六面，则有六百与浑员面幂若六与三一四一五九二六五，而浑员面上之员分则又与立方面幂等。

立方径一十　　立方积一千立员径一十，立员积五百二十三又五九八七七五。

立员员分积一千立方、立员同径，又刓去立方之八角，则其积之比例若六与三一四一五九二六五。故立方积一，立员积五二三五九八七七五，犹之立方面幂六，而立员面幂三一四一五九二六五也。积与幂既同比例矣，则立员员分积亦必与立方积等，犹之立员面员分与立方面幂等也。然则平幂、面幂、体积，方与方、员与员，其数皆等。借立方可算立员，而大小员、球之差数睹矣。

借立方算立员立方径自乘，又以径乘之，得积。○立员亦径自乘，又以径乘之，得立员员分积。

求大小员差几倍数大小员各算得积，以积相较，得差数若干倍。

假如今有大员径三十六，小员径六，径之差六，倍实体差若干倍？答曰：「大员比小员差二百一十六倍。」法以大员径自乘再乘得积四万六千六百五十六，小员径自乘再乘得积二百一十六，其差亦二百一十六倍【小员径自乘即大员径，故差数与积数等，二百一十六自乘亦即四万六千六百五十六】又法，以两径差倍数自乘，又以倍数乘之，所得亦同。今有大员径一十五万，小员径八千，径之差十九倍弱，实体差若干倍？答曰：「大员比小员差六千五百九十倍竒。」法以十五万自乘，再乘大数三三七五，以八千自乘，再乘小数五一二，大数为实，小数为法，除实得六千五百九十余，实三三七四○八，几尽故差六千五百九十倍竒【大小数相差甚逺，借十九倍数自乘，再乘得六千有竒，故知首位是六千，不用十九倍数算者不正得十九倍也】此日月实体约畧差数也。利西泰云：日大于月六千五百三十八倍竒，亦相近。今有大员径十五万，小员径二万八千二百七十四，径之差五倍有竒，实体差若干倍？答曰：「大员比小员差一百四十九倍竒。」法以小员自乘，再乘得二二六○二七七五，为小数。大员大数如前，以大数为实，小数为法，除实得一百四十九，几尽，故差一百四十九倍有竒。此日与地实体约畧差数也。利西泰云：日大于地球一百六十五倍竒。盖利算日径不啻十五万里。今有大员径二万八千二百七十四，小员径八千，径之差三倍半有竒，实体差若干倍？答曰：「大员比小员差四十四倍竒。」法以大员积二二六○二七七五为实，小员积五一二为法，除之得四十四，除实二二五二八不尽，故差四十四倍竒。此地与月实体约畧差数也，利西泰云，地大于月三十八倍竒，盖利算月径不啻八千里。右法算浑圆大小相较之差径防如此，是亦少广之一法，不可缺也。西人言日大于地五倍有竒，又云一百六十五倍有竒，两数甚相悬。今为补此一法，则日大于地实体与圆径迥殊，不足诧异矣。

授时弧矢割员论勿庵先生员容方直简法，附授时厯弧矢割员图，又附求黄赤内外度及黄赤道差法。论之云：割员之算，始于魏刘徽，至刘宋祖冲之父子，尤精其术。唐宋以算学设科，古书犹未尽亡，邢台盖有所本。又云：郭法用员容方直起算，冬至；西法用三角起算，春分。郭用三乘方以先得矢，西用八线故先得▯又西专用角，而郭只用弧；西兼用割切，而郭只用▯种种各别，而不害其同。有所以同者在耳。且夫数者，所以合理也；厯者，所以顺天也。法有可采，何论中西？理所当明，何分新旧？在善学者，知其所以异，又知其所以同，去中西之见，以平心观理，则弧三角之详明，郭图之简括，皆足以资探索而启深思。务集众长以观其防，通母拘名相，而取其精粹。」永按员者，径一围三，古人之恒言，算家之麤率。精于算者，觉其未密，因有割员之术。刘祖二家，各有其率，盖欲细求周径之数，以究平员之理，未甞剖之为度，析之为分，一一纪其纵横之线，以为测天之用也。而算家相承，仍用粗疎之率，立弧矢之法。或欲以曲承直，则用三乘方法求矢；或欲以直求曲，则因矢以求半背▯差。夫弧背为曲线，矢▯为直线，亘古无相通之率。不相通而强求之，其所求得之数，必非真数也。甞读唐荆川先生弧矢论，攷其求背▯差之法，所得者犹是径一围三六边之周耳【古法求背▯差，以矢自乘为实，以径为法除实，得半背▯差，倍之得全背▯差。假令半径五，自乘二十五，径十除之，得二五，倍之得五，加于径则半周十五。又如径十而矢一者，通▯六余，通▯八余，矢二。以矢一自乘，以径除之，得小数一，倍之得二为背▯差。又以余矢二自乘，以径除之，得小数四，倍之得八为背▯差。合两通▯十四，加两差一，半周亦得十五，皆径一围三之半周】又攷邢氏律厯考，衍三乘方求矢法，迂曲烦难，究其所得，仍是围三径一耳。此繇八线表未传，不得不如此立算，其得数之非真，虽前人亦未甞觉也。郭太史之求黄赤内外度也，先用带从三乘方求各度矢，则得矢不真矣。其既得黄赤内外半弧▯也，又以矢度求半背▯差，加入半弧▯，得内外半弧背，则弧度亦非真。其求黄赤差法，以黄道矢求半背▯差，减黄道度，得黄道半弧▯，则得▯不真矣。其既得赤道半弧▯也，又求半背▯差，以加半弧▯，得赤道，则赤道度亦非真。夫表端者景正，源洁者流清。径一围三，其本先失，而欲数之不谬也，得乎？八线之法至矣，剖析大员，细至分秒，无非真数，以此测天，丝毫莫能遁。勿庵先生与郭法相提而论，谓种种各别，不害其同有。所以同者，在愚谓郭图之▯矢，犹八线之▯矢也。其句股，皆八线所有之句股也。究之，郭法、西法，终莫能同有。所以不同者，在耳。先生谓当去中西之见，平心以观理。夫理有真，亦有似。使其似是而未真，则与真者相提而论，虽欲比而同之，不可得矣。先生于郭法各添注，求黄道矢与▯，则注云：「本法如此，原法如此【见前】求内外半弧背及赤道，则注云：「原法如此【见前】今省夫，存其本法，而不论其法之是与非，岂不欲苛求古人与？原法所有而今省，岂微觉其法之未善与？愚岂敢苛论古人哉？亦谓理数精微，不能两是，宁割爱于古人耳。

授时平立定三差辩勿庵先生云：「授时厯于日躔盈缩、月离迟疾，并云以算术垜积【一作叠】招差立算。而今所传九章诸书无此术也？岂古有而今逸耶？」载攷厯草，并以盈缩日数离为六段，并以段目除其段之积度得数，乃相减为一差，一差又相减为二差，则其数齐同，乃縁此以生定差及平差、立差。定差者，盈缩初日最大之差也。于是以平差、立差减之，则为每日之定差矣。若其布立成法，则直以立差六因之，以为每日平立合差之差。此两法者，若不相▯，而其术巧防，从未有能言其故者。余因李世德孝亷之疑，而试为思之，其中原委亦自厯然。爰命孙防成衍为垜积之图，得书一卷。又云：平立定差之法，古无其术，乃郭太史所创，为以求七政盈缩之度，所以造立成之根本也。据云：依立招差；又云：依垜叠立招差。则似古算术中原有其法，而今采用之，然不可攷矣。愚因李问为之衍算，颇觉其用法之巧焉。永按郭太史时，八线表未传中土，以三差法求七政盈缩，固巧矣。愚窃谓其数之不真，凡圆体参差，截为数段，前后相较，其畸零之数无时而尽。今以段目除积度，相较至再而即齐同，无是理也。凡相差之尾数，前后疎密必不均，用时有収有弃，未有能截然齐一者。今恒六因立差以为每日平立合差之差，则其差有常，尾数不变【如太阳盈初缩未限平立合差之尾数恒为八四○六二，其较以六；缩初盈末限平立合差之尾数恒为二四六八○，其较以二。则盈缩加分，盈缩积度之尾数皆有定率。太阳如此，其他可知】平圆中亦必无此差率也。以至圆之体，而欲以平方、立方之差求之，圆凿方枘，岂能相入哉？或曰：郭氏于七政各分段目测之，其数盖得之积候，未可谓其无凭也。曰：凡以仪器测天，虽极精密，亦及度分而止，必不能得其秒微。各段相较至二差而齐同，皆秒微之数，则其积度畸零之小数，必有迁就于其间者矣。观太隂迟疾立成，其损益积度至于五度四二九三有竒，较西法加减均数为赢，而又不知有二三均加减，则其日逐测到之度，岂尽与天密合哉？平圆中自然之差数，八线表尽之矣。使平立定三差之法果符天运，则八线亦可不立。既有八线之精算，为一切测圆之凖绳，则此外更无岐途别径，亦无取乎三差之巧矣。于古人之法，深究其根，存而勿用可也。

数学卷八

钦定四库全书