数学卷四

数学卷四

婺源江永撰冬至权度【履端于始，序则不愆。厯家详求冬至，且求千岁以上冬至，证之史传，或离或合，其故难言。《元史》有六厯，冬至开载鲁献公戊寅至元庚辰四十九事，纪《大衍》《宣明》《纪元》《统天》《重修》《大明》《授时》时刻之异同。勿庵先生因之作《春秋以来冬至攷》，删去献公一事，各以其厯本法详衍▯术，虽明而未有折衷。永因先生所攷定者，用实法推筭，有不合者，断其厯误史误，名曰《冬至权度》，俟知厯者攷焉】

一论平岁实太阳本天有平行，厯黄道一周为平岁实，与月五星周率、朔策合率同理，别有本轮、均轮、最卑、最高之行，以视行加减平行，二十四气时刻多少，岁岁不同，而古今冬至不能以一率齐之，是为活泛之岁实，犹之月有实防，逐月不同，五星有实合，毎周不同也。授时、大统以前，太阳高卑之理未明，虽知一岁之行有盈缩，不悟盈缩之中为平岁实，但求岁实于活泛之冬至，故一厯必更一周率与岁实，然合今则戾古，合古又违今。统天厯遂立距差、躔差之法，暗藏消长，以求上下两合。授时厯本之有百年长一，消一之说，西厯、本囘厯以春分相距测定岁周，小余五小时三刻三分四十五秒，以万分通之为二四二一八七五，此为平行之岁实小余，而各节气之定气则以均度加减定之，此不易之法也。欲攷往古冬至，当以平岁实为本，▯当年平冬至时刻乃以定冬至较之，知其距最卑之远近，或与今法有不合，则知其时本轮、均轮之有半径差，有相去之远者，则知史传所记非实测，所谓苟求其故，千岁之日至可坐而致者，此为庶几焉。倘以授时之岁实为岁实，而以百年长一、消一为凖，则非法矣。

一论最卑行太阳本轮最卑防为缩未盈初之端岁有推移与月入转五星入厯皆有行度同理平冬至之改为定冬至也视此防之前后逺近以加度而减时减度而加时焉至元辛巳间最卑与平冬至同度自是以前定冬至皆在平冬至前以后定冬至皆在平冬至后最卑有行度故也【郭氏时未悟此理恒以冬至为盈初大统承用数百年误矣】西法近率最卑岁行一分一秒十微以远年冬至攷之此率似微朒大约当加二秒上求古时定冬至以此为凖焉一论轮径差最卑既有行度矣，而太阳之体在均轮，均轮之心在本轮，本轮之心在本天。此两轮半径，古今又有不同，则距地远近，两心有差。西法始定两轮半径并千万分之三十五万八千四百一十六，而今又渐减，则古时必多于此半径。大则加减差亦大，而以均度变时分加减于平冬至者，视今时必稍赢焉。此差率出于恒差之外，厯家亦不能定者也。上攷又当以此消息之【余因刘宋大明五年测景，求彼时两半径并，详后】右三事者，攷冬至之权度也。大统以前，厯家莫能知，而勿庵先生言之未详，永窃为补之。

春秋以来冬至攷勿庵先生云：「春秋以来，冬至多矣，而所攷只此者，以其测騐之可据也。厯议原载四十八事，今攷献公在春秋前，无信史可徴，故删之，而以左传僖公一条为首，实四十七事也【并至元庚辰四十八事】永窃疑四十七事，虽有信史可徴，而厯筭与纪载未必无误。若《左传》所记两冬至，尤未可信，其由于实测后详之。鲁僖公五年丙寅岁，正月辛亥朔旦，冬至。

唐开元大衍厯【辛亥亥正三刻】唐宣明厯【辛亥申正初刻】宋崇宁纪元厯【壬子戌正一刻】宋统天厯【辛亥寅正三刻】金重修大明厯【壬子亥初二刻】元授时厯【辛亥寅初二刻】按传载是年正月辛亥朔，日南至，公既视朔，遂登观台以望而书。古厯家皆谓至朔同日之年也。今详推之，谨按厯象考成，康熈甲子天正冬至气应七日六五六三七四九二六，为七日十五小时四十五分十一秒。上距僖公丙寅二千三百三十八年，中积八十五万三千九百三十六日五小时三十七分三十秒，满纪法去之余一十六日五小时三十七分三十秒，转减气应【加一纪减之】余五十一日十小时七分四十一秒。平冬至乙夘巳正初刻八分。又按至元辛巳前四年丁丑高冲【即最卑】与冬至同度，上距此年一千九百三十一年，约四百年行七度，则此年高冲在冬至前一宫三度四十八分，于今法当加均一度八分，变时一日三小时三十七分，减平冬至，犹是甲寅日夘时。再约计是时小轮并径加大，其加减均或能至一度二三十分之间，变时一日十余小时，以减平冬至，则定冬至亦止癸丑日亥子之间而已，必不能减至辛亥，则是时所推冬至先天两三日矣。又▯此月平朔定朔皆在壬子，而当时误推辛亥，亦先天一日【春秋纬·命厯序壬子朔，隋张賔、张胄▯，唐一行皆从之】实攷之，此年正月壬子朔，二日癸丑冬至耳，至朔何尝同日乎【张賔依命厯序壬子朔冬至，张冑▯谓三日甲寅冬至，既不从传，亦不从命厯序，虽甲寅或稍后天然，而胄▯之识卓矣】春秋时王朝未必颁厯，各国自为推步，闰余乖次，月日参差，日食或不在朔，所以考求日至者，必不能如后世之精宻，差至二三日固无足怪【魏晋以后厯法渐明，刘宋时景初厯冬至犹后天三日，则春秋时无足怪】厯家过信左氏，意谓此年特载日南至，必当时实测【唐一行谓僖公登观台以望而书云物出于表晷天騐，非时史亿度，此一行之蔽也】。传言书云未尝言测景】作厯欲求合于古，则多増斗分以就之。大衍推辛亥亥正三刻，宣明推辛亥申正初刻，皆泥此至之过也【大衍号称善厯，行之数年而即差，由斗分大强之故】纪元与重修大明，仅能得壬子与辛亥差一日，知斗分不可过増，宁失此至不强求合，犹为近之。若统天创为距差、躔差之法，巧合此至，而授时遂暗用之，有百年长一之率，▯此至皆得辛亥日寅时，此无法之法最为乖谬。夫总计距▯乗而益之，越百年则有骤増之时刻，年愈逺则骤増之数愈多【勿庵先生亦尝疑之】授时以至元辛巳为元，上距此年一千九百三十五▯，即以一九三五总乗所长之一九数而益岁余。设减三十五▯为辛丑，当文公七年，距▯一千九百，则岁余二十四刻四十四分矣。前一年庚子，距▯一千九百零一，岁余増一分。此一分乗一千九百零一，凡一十九刻有竒，则当此庚子年骤増一十九刻有竒。天道宁有此数乎？况越二千年而骤増者愈多，其长伊于胡底乎？故消长之法断不可用，而此年正月辛亥朔日南至，当以实法考求，决其为步▯之误，不可过信传文而舍法以求合也。鲁昭公二十年己夘岁，正月己丑朔旦，冬至。

大衍【己丑巳正三刻】宣明【己丑寅正三刻】纪元【庚寅夘正初刻】统天【戊子亥正三刻】重修大明【庚寅辰初初刻】授时【戊子戌初三刻】按此年上距僖公五年一百三十三年，平冬至二十八日十五小时一十一分二十六秒，壬辰日申初初刻十一分，约计加均及小轮径差减时，不过一日八九小时，定冬至不过辛夘日夘辰之间而已，必不能减至己丑。而传载己丑日南至，以此知春秋时步冬至恒先天二三日也。且鲁厯前年失闰，此年日南至在二月，夫周以子月为正，日至必无在二月者。当时梓慎辈徒知望氛祥占祸福，于时月之易明者犹不能正，何能实测冬至与天脗合乎？大衍宣明纪元重修大明斗分有多少，故日名有合有不合。若统天授时，皆以活法求之，又先己丑一日，失之愈逺矣。同一左氏传也，丙寅之冬至则合，己夘之冬至则违，亦可见活法之有时穷矣。由今观之，违者固非，合者亦未尽是，而元史厯议乃以此至为日度失行，不亦诬乎？刘宋文帝元嘉十二年乙亥岁，十一月十五日戊辰，景长。

大衍【戊辰辰正二刻】宣明【戊辰辰初三刻】纪元【戊辰巳初二刻】统天【戊辰午正三刻】重修大明【戊辰巳初三刻】授时【戊辰午初一刻】按《史记》冬至景长，始此是时用景初厯推冬至，率后天三日。何承天上表言之，太史令钱乐之言，是年景初推十一月十八日冬至，其十五日景极长。今推此年平冬至五日九小时四十五分一十一秒，己巳日巳初三刻【今京师时刻，刘宋都建康当减八分四秒，后陈朝仿此】是时髙冲约在平冬至前十四度太，又小轮半径差多于今加均减，不啻半日。定冬至宜在戊辰，与史合。然均度不过三十余分，减时不能越十五小时。戊辰日加时大约在酉半以后，是以明年冬至当越六日，甲戌景长。六厯推此年平冬至，非不得戊辰而加时皆蚤，既在午刻以前，则明年安得甲戌景长乎？元嘉十三年丙子岁十一月二十六日甲戌，景长【景初厯推二十九日冬至】

大衍【癸酉未正一刻】宣明【癸酉未初三刻】纪元【癸酉申初一刻】统天【癸酉酉正二刻】重修大明【癸酉申初三刻】授时【癸酉酉初初刻】今推此年平冬至一十日十五小时三十三分五十六秒，甲戌日申初二刻四分。是时加均减时，不能越十五时，是以定冬至亦在甲戌。史纪此日景长，必是实测，而六厯皆先一日癸酉，其不能与天宻合，此已见其端矣【乂按：后四年庚辰、甲午景长，四年之间小余平积二十日二十三时一十五分。庚辰定冬至未至乙未，则甲午必是夜子初几刻。逆推此年甲戌，必是子正几刻】又按唐一行厯议云：「元嘉十三年十一月甲戌景长，皇极、麟德、开元厯皆得之癸酉，葢日度变常耳。」祖冲之既失甲戌冬至，以为加时太早，増小余以附防之。而十二年戊辰景长得己巳，十七年甲午景长得乙未，十一年己亥景长得庚子，合一失三，其失愈多。愚谓此年景长甲戌可推也，而一行以为日度变常，非是。元嘉十五年戊寅岁十一月十八日甲申，景长【景初厯推二十一日冬至】

大衍【甲申丑正初刻】宣明【甲申丑初二刻】纪元【甲申寅初初刻】统天【甲申夘正一刻】重修大明【甲申寅初二刻】授时【甲申寅正三刻】今推此年平冬至二十一日三小时一十一分二十六秒，乙酉日寅初初刻十一分。定冬至，以丙子岁甲戌子正几刻推之，当在甲申午正前后之间。六厯皆先天。元嘉十六年己夘岁十一月二十九日己丑景长【景初厯推次月二日壬辰冬至】

大衍【己丑辰初三刻】宣明【己丑辰初一刻】纪元【己丑辰正三刻】统天【己丑午正初刻】重修大明【己丑巳初一刻】授时【己丑巳正二刻】今推此年平冬至二十六日九小时零一十一秒，庚寅日巳初初刻，定冬至当在己丑酉正前六，厯皆先天。元嘉十七年庚辰岁十一月初十日甲午景长【景初厯推十二日冬至】

大衍【甲午未初三刻】宣明【甲午未初初刻】纪元【甲午未正三刻】统天【甲午酉正初刻】重修大明【甲午申初初刻】授时【甲午申正二刻】今推此年平冬至三十一日十四小时四十八分五十六秒，乙未日未正三刻四分，而景长在甲午，必在夜子初几刻减时几有十五小时，则加均约三十六分。以当时髙冲在冬至前十四度有竒推之，而小轮半径之差亦大畧可知矣。又按《隋书·律厯志》刘孝孙等言：「此年厯法十三日冬至，十一日景长，则是乙未日矣。」元嘉十八年辛巳岁十一月二十一日己亥景长【景初厯推二十五日冬至】

大衍【己亥戌初二刻】宣明【己亥酉正四刻】纪元【己亥戌正二刻】统天【己亥夜子初三刻】重修大明【己亥亥初初刻】授时【己亥亥正一刻】今推此年平冬至三十六日二十小时三十七分四十一秒，庚子日戌正二刻八分。厯攷元嘉间定冬至加均减时，不能越十五时。此年若己亥景长，则减时二十有竒。葢史文二十二日譌为二十一日，唐一行厯议与元史沿误差一日也。钱乐之谓寻校前后，以景极长为冬至，并差三日。此年景初推二十五日，冬至景长在二十二日，是差三日；若二十一日，则差四日矣【定冬至宜在庚子日寅夘之间，六厯虽皆推己亥，未足为据】又按《隋书》刘孝孙等云：「此年阴无景可騐，今厯二十二日冬至，更可证是庚子。」元嘉十九年壬午岁十一月初三日乙巳，景长【景初厯推六日冬至】

大衍【乙巳丑初二刻】宣明【乙巳子正四刻】纪元【乙巳丑正一刻】统天【乙己夘初三刻】重修大明【乙己丑正三刻】授时【乙巳寅正初刻】今推此年平冬至四十二日二小时二十六分二十六秒，丙午日丑正一刻十一分定冬至，乙巳午初。孝武帝大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至。

大衍【甲申申正四刻】宣明【甲申申正二刻】纪元【甲申酉初二刻】统元【甲申戌初初刻】重修大明【甲申酉正一刻】授时【甲申戌初初刻】按此年，祖冲之详记测景推筭，冬至乙酉日夜半后三十二刻七十分，今细推之，当时筭冬至稍后天，而六厯推甲申皆先天也，详推如左。

一推此年平冬至按大明辛丑距康熈甲子天正冬至一千二百二十二年中积四十四万六千三百二十五日二十二小时五十二分三十秒，转减甲子气应【加一纪减之】余二十一日十六小时五十二分四十一秒，平冬至乙酉申正三刻七分四十一秒，建康加八分四秒，酉初初刻四十五秒。

一推此年高冲行按元至元辛巳前四年丁丑，高冲与冬至同度。上距此年八百一十五年。若依今法，一年行一分一秒十微，则此年高冲在冬至前十三度五十分五十一秒。如此率未的一年约加二秒，四百年行七度，则此年高冲在冬至前十四度十六分。

一推此年十月十日壬戌景长高弧距纬并经度按史此年祖冲之测景十月十日壬戌景长一丈七寸七分半○以三率法推筭【一率表八尺二率景一丈七寸七分半三率半径全数四率为余切线】求得一三四七以余切检八线表此日午正日高弧三十六度三十五分二十四秒○表所得者太阳上边之景宜减太阳半径一十五分二十九秒得太阳中心距地平三十六度一十九分五十五秒○日轨高视差二分二十三秒内减去青▯气差二十七秒余视差一分五十六秒加于太阳中心距地平得实髙三十六度二十一分五十一秒距天顶五十三度三十八分九秒○建康极出地约三十二度以减距天顶度余二十一度三十八分九秒为本日午正黄赤距纬○设此时两道大距二十三度三十九分二十三秒用三率法【两道大距正▯为一率本日午正黄赤距纬正▯为二率半径全数为三率得四率为余▯】求得余▯九一八九检表二十三度十四分为壬戌午正距冬至实经度减用时【七分二十九秒】为平时午初三刻七分半太阳距冬至实经度一推壬戌午时太阳平行度建康平冬至【见前】距壬戌午初三刻七分半二十三日五小时八分二十五秒，太阳平行二十二度五十二分五十秒，以减全周，壬戌午初三刻七分半太阳平行十一宫七度七分一十秒。一推十一月二十五日丁未，景长高，弧距纬并经度。按史丁未景长一丈八寸一分太○，以三率法推筭【一率表八尺，二率景长一丈八寸一七五，三率半径全数，四率为余切线】求得余切一三五二二，检表此日午正日高弧三十六度二十九分三秒○，减太阳半径一十五分二十六秒，太阳中心距地平三十六度一十三分三十七秒○，日轨高视差二分二十四秒，减去青▯气差二十七秒，余视差一分五十七秒，加于太阳中心距地平，得实高三十六度一十五分三十四秒，距天顶五十三度四十四分二十六秒○，极高三十二度，减距天顶度，余二十一度四十四分二十六秒，为本日午正黄赤距纬○，设两道大距二十三度三十九分二十三秒，用三率法求得余▯九二三一一，检表二十二度三十七分六秒，为本日午正距冬至实经度，加用时二分三十五秒，为平时午正初刻二分三十五秒，太阳距冬至实经度一推丁未午时太阳平行度建康平，冬至距丁未午正初刻二分三十五秒，二十一日十九小时一分五十秒，太阳平行二十一度二十八分四十七秒。

一推此时小轮半径差以本年高冲冬至前十四度十六分，减壬戌太阳平行距平冬至二十二度五十二分五十秒，余八度三十六分五十秒。查旧日躔加减差表，减十八分四十八秒，化作一千一百二十八秒为一率。以旧表两心差三五八四为二率。又于壬戌经度二十三度一十四分内，减平行二十二度五十二分五十秒，余二十一分十秒，化作一千二百七十秒为三率。求得四率四○三五二为此时两小轮半径并【太阳本天一百万，本轮半径三万零三百六十四，均轮半径一万零八十八，由此可算其均数】

一推乙酉日定冬至前壬戌日午正，太阳平行十一宫七度七分一十秒。至乙酉日子正二十二日半，平行二十二度一十分三十八秒。加入壬戌午正平行度，此时平行十一宫二十九度一十七分四十八秒。加高冲十四度十六分，满周天去之余一十三度三十四分，为引数。以此时两小轮半径并筭之，约加均度三十二分竒。加入前子正平行，在十一宫二十九度五十分未满周天者十分为时，约四小时。定冬至在子正后十六刻有竒。当时以前后景折筭，乙酉日子正后三十一刻，冬至约后天十五刻。按以冬至前后日景折筭取中求冬至时刻，此法惟郭太史时可用，其时高冲与冬至同度，故也。若大明时，高冲在冬至前十四度有竒，则冬至前之日近高冲，太阳之行速，而景之进退也疾；冬至后之日远高冲，太阳之行稍迟，而景之渐短亦必稍缓。虽前后之日景大畧相同，而中间所厯之时刻必不均。当时欲以均数求冬至，宜其后天十五刻也【冬至前二十余日，日行较连时刻宜减；冬至后二十余日，日行较迟时刻宜加。若欲均之，则折半处必在所减之后，故后天】然刘宋之初，厯法甚疎，景初厯后天至三日，犹幸祖氏用景长推筭，违天尚未甚逺。又幸史册纪载之详，去今千有余年，犹可细推其后天之时刻也。郭太史改厯所定歳周小余二四二五者，谓自大明壬寅距今每岁合得此数。按此年下距至元辛巳八百一十九年，以授时岁周积之二十九万九千一百三十三日六十刻七五五分，以辛巳天正冬至己未日子正后六刻逆计之，则当时冬至在乙酉日子正后五十四刻，后天愈加多矣。既不能与当时所测筭者宻合，又为百年长一之法，以求合于逺古之冬至，以八百一十九总乗所长之数而益之，则此年冬至又在甲申日七十九刻太不，又先天三十七刻乎？以此知授时之岁余非定率，而统天之距差躔差，授时之消长皆谬法也。此年冬至所关者钜，故攷论加详。若大衍诸厯先天愈多，则无足论，而授时指为日度失行者，总论之于后云。陈文帝天嘉六年乙酉岁，十一月庚寅，景长。

大衍【庚寅寅初初刻】宣明【庚寅寅初初刻】纪元【庚寅寅初二刻】统天【庚寅夘初四刻】重修大明【庚寅丑初四刻】授时【庚寅寅正初刻】今推此年平冬至二十六日二十一时二十二分四十一秒，庚寅亥初一刻八分，定冬至葢在辰巳间。诸厯推丑寅，皆太蚤，统天近之。临海王光大二年戊子岁，十一月乙巳，景长。

大衍【乙巳戌正二刻】宣明【乙巳戌正三刻】纪元【乙巳戌初初刻】统天【乙巳夜子初二刻】重修大明【乙巳戌初二刻】授时【乙巳戌初二刻】此年平冬至丙午未正三刻九分定冬至葢在乙巳与丙午之间，乙巳之景长于次日，当亦甚微，然以后四岁丁夘景长推之，此年所纪犹可疑，说见后。宣帝太建四年壬辰岁十一月二十九日丁夘，景长，大衍【丙寅戌正初刻】宣明【丙寅戌正一刻】纪元【丙寅酉正二刻】统天【丙寅亥正三刻】重修大明【丙寅酉正三刻】授时【丙寅戌正四刻】今推此年平冬至三日一十四时三分五十六秒，丁夘未正初刻四分。《史记》丁夘景长，则定冬至葢在子正初刻以前。四岁乙巳景长，较之殊可疑。此年平冬至子正后一十四时四分，而景长犹在本日，是加均减时不能越十四时四分也。光大二年之平冬至在丙午日子正后十四时四十五分，乃能越之，而景长在前一日。乙巳不应四岁之间差殊如此。此两岁定冬至皆在子初子正之间，景长最难真确。乙巳与丁夘当时测騐，有一是必有一非。窃疑乙巳之测未确。太建九年丁酉岁，十一月二十三日壬辰，景长。

大衍【癸巳丑初一刻】宣明【癸巳丑初二刻】纪元【壬辰夜子初三刻】统天【癸巳寅正一刻】重修大明【癸巳子正初刻】授时【癸巳丑正初刻】今推此年平冬至二十九日一十九时七分四十一秒，癸巳戌初初刻八分，定冬至葢在本日寅夘之间。统天近之二十三日，壬辰景长，此必史误。太建十年戊戌岁，十一月五日戊戌，景长。

大衍【戊戌辰初一刻】宣明【戊戌辰初二刻】纪元【戊戌夘初二刻】统天【戊戌巳正初刻】重修大明【戊戌夘初四刻】授时【戊戌辰正初刻】此与丁酉岁相去一年，平冬至己亥，定冬至戊戌，可考而知，故不细推。隋文帝开皇四年甲辰岁十一月十一日己巳，景长，大衍【己巳酉正二刻】宣明【己巳酉正三刻】纪元【己巳夜子初一刻】统天【己巳戌初初刻】重修大明【己巳酉初初刻】授时【己巳戌正二刻】今推此年平冬至六日一十一时四十八分五十六秒，庚午日午初三刻四分【隋都长安早二刻，后唐朝则仿此】定冬至己巳亥子之间【史云此年在洛川测冬至景，与京师二处进退丝毫不差，张賔厯推己巳冬至，张胄▯厯推庚午冬至】开皇五年乙巳岁，十一月二十二日乙亥，景长。

大衍【乙亥子正一刻】宣明【乙亥子正二刻】纪元【甲戌亥正二刻】统天【乙亥寅初初刻】重修大明【甲戌戌正三刻】授时【乙亥丑正二刻】今推此年平冬至十一日一十七时三十七分四十一秒，乙亥酉初二刻八分，定冬至在本日寅时。推甲戌者，非是。开皇六年丙午岁，十一月三日庚辰，景长。

大衍【庚辰夘正初刻】宣明【庚辰夘正一刻】纪元【庚辰寅正一刻】统天【庚辰辰正三刻】重修大明【庚辰寅正三刻】授时【庚辰辰正一刻】与前年相距一岁，平定冬至皆在庚辰，可攷而知。开皇七年丁未岁，十一月十四日乙酉，景长。

大衍【乙酉午正初刻】宣明【乙酉午正一刻】纪元【乙酉巳正初刻】统天【乙酉未正三刻】重修大明【乙酉巳正二刻】授时【乙酉未正初刻】此年平冬至丙戌夘初一刻，定冬至乙酉申时。开皇十一年辛亥岁，十一月二十八日丙午，景长，大衍【丙午午初二刻】宣明【丙午午初三刻】纪元【丙午巳初二刻】统天【丙午未正初刻】重修大明【丙午巳初四刻】授时【丙午未初二刻】此年平冬至四十三日四时三十分一十一秒，丁未寅正二刻定冬至，丙午申时。开皇十四年，甲寅岁，十一月辛酉朔旦，冬至。

大衍【壬戌夘初初刻】宣明【壬戌夘初二刻】纪元【壬戌寅初初刻】统天【壬戌辰初二刻】重修大明【壬戌寅初二刻】授时【壬戌辰初初刻】今推此年平冬至五十八日二十一时五十六分二十六秒，壬戌亥初三刻十一分，定冬至本日己午间，而《史记》辛酉朔冬至，当时厯误推先天。唐太宗贞观十八年甲辰岁，十一月乙酉，景长。

大衍【甲申巳正一刻】宣明【甲申午初初刻】纪元【甲申辰初二刻】统天【甲申午正初刻】重修大明【甲申辰初三刻】授时【甲申巳正三刻】今推此年平冬至二十一日三十三分五十六秒，乙酉子正二刻四分，长安里差二刻，平冬至已是子正初刻矣。减时不啻十时，定冬至当在甲申日未时，而史谓乙酉景长，误。贞观二十三年己酉岁，十一月辛亥，景长。

大衍【庚戌申初二刻】宣明【庚戌申正一刻】纪元【庚戌午正三刻】统天【庚戌酉初一刻】重修大明【庚戌未初初刻】授时【庚戌申初三刻】今推此年平冬至四十七日五时三十七分四十一秒，辛亥夘初二刻八分，定冬至庚戌日酉戌之间，而史谓辛亥景长，亦误。高宗龙朔二年壬戌十一月四日己未至戊午，景长，大衍【戊午戌正初刻】宣明【戊午戌正二刻】纪元【戊午申正三刻】统天【戊午戌正初刻】重修大明【戊午酉初初刻】授时【戊午戌初三刻】今推此年平冬至己未巳初初刻十一分，长安辰正二刻十一分，此时加均减时，约十小时，定冬至戊午夜子时。是以戊午景长，当时厯推冬至己未，而实测景长在戊午，今推之果不爽也。高宗仪鳯元年丙子岁，十一月壬申，景长。

大衍【壬申夘正初刻】宣明【壬申夘正三刻】纪元【壬申丑正二刻】统天【壬申辰初初刻】重修大明【壬申丑正三刻】授时【壬申卯初一刻】今推此年平冬至八日一十八时三十三分五十六秒，壬申酉正二刻四分，定冬至辰时。高宗永淳元年壬午岁，十一月癸夘，景长。

大衍【癸夘酉初一刻】宣明【癸夘酉正初刻】纪元【癸夘未初二刻】统天【癸夘酉正一刻】重修大明【癸夘未初四刻】授时【癸夘酉初三刻】此年平冬至甲辰夘初一刻十一分，定冬至癸夘酉戌之间。明皇开元十年壬戌岁十一月癸酉，景长。

大衍【癸酉午初四刻】宣明【癸酉午正四刻】纪元【癸酉辰初二刻】统天【癸酉午初初刻】重修大明【癸酉辰初三刻】授时【癸酉午初初刻】此年平冬至癸酉亥初三刻十一分，定冬至巳时。开元十一年癸亥十一月戊寅，景长。

大衍【戊寅酉初三刻】宣明【戊寅酉正三刻】纪元【戊寅未初三刻】统天【戊寅初初三刻】重修大明【戊寅未初二刻】授时【戊寅酉初初刻】此年平冬至己夘，定冬至戊寅，与前间一岁可攷而知。开元十二年甲子岁十一月癸未冬至。

大衍【癸未夜子初二刻】宣明【甲申子正三刻】纪元【癸未戌初一刻】统天【癸未夜子初三刻】重修大明【癸未戌初二刻】授时【癸未亥正三刻】按此年僧一行阳城测景，癸未最长。今推此年平冬至二十九日时三十三分五十六秒，甲申巳初二刻四分。阳城约早一刻十分，为巳初初刻九分。此年距元至元丁丑五百五十二年，高冲约行九度四十分。以今加减表攷之，加均二十分二十秒，变时八时一十五分，以减平时，余五十四分，为甲申子正三刻九分。当时小轮半径大于今，再减一时有竒，则定冬至在癸未夜子刻。而大衍厯推算癸未九十八刻太强，此当年之实测，今固可追步也。按《大衍厯以三千零四十为通法，一百一十一万零三百四十三为策实，一万五千九百四十三为防余。以通法五减策余，余七百四十三为小余。以万分通之，小余二千四百四十四又七九弱。视《授时》之二四二五者，多一十九太强。当时小余虽大，必不及此数，是以自此年以前，大衍推往古则先天，推后来则后天【小余之太强，由欲强合僖五年辛亥日南至故也】宋真宗景德四年丁未岁，十一月戊辰日，南至。

大衍【戊辰寅初三刻】宣明【戊辰夘正一刻】纪元【丁夘酉初三刻】统天【丁夘戌初一刻】重修大明【丁夘酉正初刻】授时【丁夘戌初一刻】今推此年平冬至三日二十二时三十分一秒，丁夘亥正二刻。宋都河南蚤八分，其时高冲在冬至前约四度四十二分，又有小轮半径差通减时约四时三刻有竒。定冬至葢在丁夘酉初二刻，纪元近之。《史记》戊辰日南至，斗分太多，误推后天也。仁宗皇祐二年庚寅岁十一月三十日癸丑，景长，大衍【癸丑申初二刻】宣明【癸丑酉正三刻】纪元【癸丑夘初一刻】统天【癸丑夘初初刻】重修大明【癸丑夘初一刻】授时【癸丑夘初三刻】今推此年平冬至四十九日八时二十六分一十六秒，癸丑辰正一刻十一分，定冬至寅时。神宗元丰六年癸亥岁，十一月丙午，景长。

大衍【丙午酉初二刻】宣明【丙午戌正二刻】纪元【丙午夘正一刻】统天【丙午夘正一刻】重修大明【丙午夘正一刻】授时【丙午夘正一刻】今推此年平冬至四十二日八时一十五分一秒，丙午辰正一刻，定冬至寅夘之间。元丰七年甲子岁，十一月辛亥，景长。

大衍【辛亥夜子初一刻】宣明【壬子丑正一刻】纪元【辛亥午正初刻】统天【辛亥午正一刻】重修大明【辛亥午正初刻】授时【辛亥午正一刻】此与前间一岁定冬至在辛亥巳时。哲宗元祐三年戊辰岁十一月壬申，景长。

大衍【壬申亥正三刻】宣明【癸酉丑初二刻】纪元【壬申午初二刻】统天【壬申午初二刻】重修大明【壬申午初二刻】授时【壬申午初二刻】此年平冬至壬申未初一刻四分，定冬至巳时。元祐四年己巳岁，十一月丁丑，景长。

大衍【戊寅寅正二刻】宣明【戊寅辰初三刻】纪元【丁丑酉初一刻】统天【丁丑酉初一刻】重修大明【丁丑酉初一刻】授时【丁丑酉初一刻】此与前间一岁，定冬至丁丑申时。元祐五年庚午岁，十一月壬午冬至。

大衍【癸未巳正二刻】宣明【癸未未初二刻】纪元【壬午夜子初初刻】统天【壬午夜子初一刻】重修大明【壬午夜子初一刻】授时【壬午夜子初初刻】此与前间一岁定冬至壬午亥时。元祐七年壬申岁，十一月癸巳冬至。

大衍【癸巳亥正一刻】宣明【甲午丑初一刻】纪元【癸己巳正三刻】统天【癸己巳正三刻】重修大明【癸己巳正三刻】授时【癸己巳正三刻】此年平冬至癸巳午正二刻四分，定冬至巳初。哲宗元符元年戊寅岁，十一月甲子冬至。

大衍【乙丑巳初二刻】宣明【乙丑午正二刻】纪元【甲子亥正初刻】统天【甲子亥初三刻】重修大明【甲子亥正初刻】授时【甲子亥初三刻】此年平冬至甲子二十三时二十六分一十六秒，夜子初一刻十分，定冬至戌时。按授时百年长一之率，年逺则所加分渐赢，其所定岁余刻下二十五分，又失之太弱，是以推远年之冬至恒先天，推近年之冬至恒后天。徽宗崇宁三年甲申岁，十一月丙申冬至。

大衍【丙申戌正二刻】宣明【丙申夜子初三刻】纪元【丙申巳初初刻】统天【丙申辰正三刻】重修大明【丙申巳初初刻】授时【丙申辰正二刻】此年平冬至丙申巳正一刻四分，定冬至夘辰之间。光宗绍熈二年辛亥岁，十一月壬申冬至。

大衍【癸酉寅初初刻】宣明【癸酉夘正二刻】纪元【壬申未初三刻】统天【壬申午初一刻】重修大明【壬申未初三刻】授时【壬申午初一刻】此年平冬至壬申午正初刻，都临安迟一刻，午正一刻定冬至在己末。宁宗庆元三年丁巳岁，十一月癸夘日，南至。

大衍【甲辰未正初刻】宣明【甲辰酉初三刻】纪元【甲辰子正三刻】统天【癸夘亥正一刻】重修大明【甲辰子正三刻】授时【癸夘亥正一刻】此年平冬至癸夘亥正三刻八分，临安迟一刻，夜子初初刻八分，定冬至亥初三刻。宁宗嘉泰三年癸亥岁，十一月甲戌日，南至。

大衍【丙子丑正一刻】宣明【丙子夘初初刻】纪元【乙亥午初三刻】统天【乙亥巳初初刻】重修大明【乙亥午初三刻】授时【乙亥巳初一刻】今推此年平冬至乙亥巳初三刻，临安巳正初刻定冬至，约减五刻有竒，在辰正二刻，当时推甲戌厯误也。宁宗嘉定五年壬申岁，十一月壬戌日，南至。

大衍【癸亥夘正初刻】宣明【癸亥巳初四刻】纪元【壬戌申正二刻】统天【壬戌未初二刻】重修大明【壬戌申正初刻】授时【壬戌未初二刻】此年平冬至壬戌未正初刻四分，临安迟一刻，未正一刻四分定冬至，午正一刻。理宗绍定三年庚寅岁，十一月丙申日，南至。

大衍【丁酉申初二刻】宣明【丁酉戌初二刻】纪元【丁酉丑初三刻】统天【丙申亥正一刻】重修大明【丁酉丑初三刻】授时【丙申亥正一刻】此年平冬至丙申亥正二刻十一分，临安亥正三刻十一分，定冬至亥正初刻。理宗淳祐十年庚戌岁，十一月辛巳日，南至。

大衍【壬午未初初刻】宣明【壬午酉初初刻】纪元【辛巳亥正三刻】统天【辛巳酉正二刻】重修大明【辛巳亥正一刻】授时【辛巳酉正三刻】此年平冬至辛巳酉正三刻十一分，临安戌初初刻十一分，定冬至酉正二刻。元世祖至元十七年庚辰岁十一月己未夜半后六刻冬至。

大衍【己未亥初初刻】宣明【庚申丑初一刻】纪元【己未夘初初刻】统天【己未丑初初刻】重修大明【己未夘正初刻】授时【己未丑初一刻】今推此年平冬至五十五日一时一十八分四十六秒，己未丑初一刻四分，高冲在冬至后四分有竒，约减均十二秒，加时约五分，定冬至丑初一刻九分，与当时郭太史测▯气应五十五日○六百分者，宻合。梅先生云：「以上自鲁僖公以来冬至日名共四十七，并至元辛巳有刻为四十八。事授时法合者三十八，不合者昭公己夘、刘宋元嘉丙子、大明辛丑、陈太建壬辰、丁酉、隋开皇甲寅、唐贞观甲辰、己酉、宋景德丁未、嘉泰癸亥，共十。统天厯同。」今按四十七事，日名或有不合，其间有厯误，有史误。今以实法攷之，合者不约而符，不合者亦灼然可见。非厯误推，即史误纪，虽去之千百年，犹旦暮也。此如以有法之度度短长，有凖之权权轻重，故物莫能遁。若大衍诸厯岁余，或强或弱，如权度未定，既不可以称量而统天之距，差躔差授时之百年长一，又于执秤执尺之时，参以智巧之私，实为无理之法。其不合者固不合，其幸合者亦不知其实未尝合也。近年冬至时刻可定，去之远者不能细定刻分，以小轮半径古多今少，难得确率耳。若其大致，固可上下参攷而知，当不违天甚逺。孟子曰：“苟求其故，千岁之日至可坐而致。”恒岁实最卑，行小轮差皆其故也。后之治厯者，精求诸此而已。若诸家立法虽不可不知，要之皆已陈之刍狗，不可再用者也。元史云：自春秋献公以来，凡二千一百六十余年，用六厯推筭冬至，凡四十九事。大衍合者三十二，不合者十七；宣明合者二十六，不合者二十三；纪元合者三十五，不合者十四；统天合者三十八，不合者十；一大明合者三十四，不合者十五；授时合者三十九，不合者十事。按献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至，授时得甲寅，统天得乙夘。后天一日至僖公五年正月辛亥朔旦冬至，授时统天皆得辛亥，与天合。下至昭公二十年己夘岁正月己丑朔旦冬至，授时统天皆得戊子，并先一日。若曲变其法以从之，则献公、僖公皆不合矣。以此知春秋所书昭公冬至乃日度失行之騐，一也【永按：献公之年史有参差，所推甲寅朔旦冬至，乃刘歆三统厯以四分之法逆推，非有实测纪之，信史不足为据。若左氏传二至，则当时之厯误，乃欲曲法以求合，合者一而违者一，不悟其幸合者之非真，而以其不合者诿之于日度失行，此大惑也】大衍攷古冬至，谓刘宋元嘉十三年丙子岁十一月甲戌日南至，大衍与皇极、麟德三厯皆得癸酉，各先一日，乃日度失行，非三厯之差。今以授时攷之，亦得癸酉，二也【永按：今以法推正得甲戌，日度何尝失行】大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至，诸厯皆得甲申，殆亦日度之差，三也【永按：此年冬至祖冲之攷之特详，正赖当年实测可騐高冲之所在与两心差之细数，虽推筭时刻未甚亲，亦可得其所以未亲之由，今以法宻筭其为乙酉甚确，郭氏不悟统天之活法不足凭，献僖逺年之幸合未可据，乃以祖氏当年实测指为日度失行，不亦惑乎】陈太建四年壬辰岁十一月丁夘景长，大衍、授时皆得丙寅，是先一日；太建九年丁酉岁十一月壬辰景长，大衍、授时皆得癸巳，是后一日，一失之先，一失之后。若合于壬辰，则差于丁酉；合于丁酉，则差于壬辰。亦日度失行之騐五也【永按壬辰岁不误，丁酉岁则史误也】开皇十一年辛亥岁十一月丙午景长，大衍、统天、授时皆得丙午，与天合。至开皇十四年甲寅岁十一月辛酉冬至，而大衍、统天、授时皆得壬戌。若合于辛亥，则失于甲寅；合于甲寅，则失于辛亥。其开皇十四年甲寅岁冬至，亦日度失行六也【永按甲寅岁乃厯误】唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉景长，诸厯皆得甲申；贞观二十三年己酉岁十一月辛亥景长，诸厯皆得庚戌。大衍厯议以永淳、开元冬至推之，知前二冬至乃史官依时厯以书，必非候景所得，所以不合。今以授时攷之，亦然八也【永按此二至若非厯误，即史误】自前宋以来，测景騐气者凡十七事。其景德丁未岁戊辰日南至，统天、授时皆得丁卯，是先一日；嘉泰癸亥甲戌日南至，统天、授时皆得乙亥，是后一日。一失之先，一失之后。若曲变其数以从景德，则其余十六事多后天；从嘉泰，则其余十六事多先天。亦日度失行之騐十也【永按此二至皆厯误，非日度失行】前十事皆授时所不合，以此理推之，非不合矣。葢类其同，则知其中；辨其异，则知其变。今于冬至畧其日度失行及史官依时厯书之者凡十事，则授时三十九事皆中【永按日为七政之主，万化之宗，必无失行之理。其两心差之有改变，亦必有恒率，非失行也。郭氏于十事中以八事为日度失行，其说原于僧一行，亦近诬矣。其三十九事自以为中，未必果皆中也。中其日矣，未必中其时刻。除至元庚辰岁宻合天外，推近岁之冬至时刻恒后天，推逺岁之冬至时刻恒先天。其故甚微，非以权度细推，其谁觉之】以前代诸厯校之，授时为宻，庶几千岁之日至可坐而致云【永按授时固宻，而有未宻者存，郭氏不能知也。不谓人误，而曰天误，此非常之差谬，载之史册，徒为后人作笑资耳】

附测景余论【勿庵先生揆日▯星纪要，论测景法甚详，尚有三事当论，永为补之】一曰：表端之景，虚淡分厘，难得真数。当仿郭太史用景符之法，取表端横梁中景为的。郭氏用四丈长表颇不易制，四方行测损其制度，一丈亦可矣。而表端为太阳上边之景，虽以太阳半径减之可得中景，而犹患其虚淡难真。宜仿郭法，长丈者只作九尺，端为两岐【代二龙】以持横梁，合之长一丈。以薄铜叶为景符，钻小窍以达日光，顺其斜倚之势，游移前却于虚景之中，取横梁之景于圭面，则所得者为中景，而分数亦真。一曰：太阳离天顶稍逺，则地面与地心有南北差。太阳恒降而下，当检气差表，求太阳视纬高弧，加于本纬。一曰极高多度之方，冬至太阳近地平，有青▯气差，能升太阳，使高景为之稍短，此▯气差难筭，宜以夏至之景参校【夏至近天顶，无▯气而降下之南北差亦甚微】求黄赤北纬，以知南纬【黄赤间纬度分古多今少】以本方冬至气差加于南纬，以冬至景长推算高弧，可得▯气差○后二事景差之最微者，试以元史证之元史·授时厯议》云：「今京师长表【四丈】冬至之景七丈九尺八寸有竒，夏至之景一丈一尺七寸有竒【寸下之分不著者，每岁二至加时不等故也】按京师观象台北极出地三十九度五十五分，今所测定者也。今时黄赤距纬二十三度半稍弱，元时距纬则不止二十三度半。姑以二十三度半计之，加于极高以减象限，其余二十六度三十五分为冬至高弧。检二十六度三十五分之余切线一九九八四一，以四乗之【表四丈故】已有七丈九尺九寸有竒之景。再加距纬之大与太阳南北差，则景当更长，而当时所测定者七丈九尺八寸有竒。以余切求高弧为二十六度三十七分，减太阳下二分以减赤道高五十度五分。若只二十三度三十分者，岂非▯气升卑为高乎？再以夏至攷之，景长一丈一尺七寸有竒，以四归之二九三有竒，则七十三度四十分之余切。以赤道高弧五十度○五分减之，北纬有二十三度三十五分，岂非近天顶无▯气差，而太阳降下之数又微，故见其本纬之景乎？○再以北纬二十三度三十五分减赤道高为高弧二十六度三十分，又约减太阳降下二分，则冬至高弧宜二十六度二十八分，而景长之高弧二十六度三十七分，是▯气升太阳九分也。郭太史时八线之筭法未备，太阳南北差近地▯气差机窍未启，但能纪其表景尺寸，不能详其冬至二至所得黄赤距度有微差。今则一一可攷而知。

数学卷四

钦定四库全书