（卷首）

钦定四库全书　　　　　子部六测圆海镜》天文算法类二【算书之属】提要【臣】等谨案：测圆海镜十二卷，元李冶撰。冶字镜斋，栾城人。金末登进士，入元官翰林学士，事迹具《元史》本传。其书以勾股容圆为题，自圆心、圆外纵横取之，得大小十五形，皆无竒零，次列识别杂记数百条，以穷其理。次设问一百七十则，以尽其用。探赜索隐，参伍错综，虽习其法者不能骤解。而其草多言立天元一。按立天元一法，见扵宋秦九韶《九章大衍术》中。厥后《授时草》及《四元玉鉴》等书，皆屡见之，而此书言之独详。其法关乎数学者甚大，然自元以来，畴人皆株守立成，习而不察，至遂无知其法者。故唐顺之与頋应祥书称：「立天元一漫不省为何语。」頋应祥演是书为《分类释术》，其自序亦云：「立天元一无下手之术。」则是书虽存，而其传已泯矣。明万厯中，利玛窦与徐光启、李之▯等译为《同文算指》诸书，扵古《九章》皆有辨订，独于立天元一法阙而不言。徐光启扵《勾股义》序中引此书，又谓欲説其义而未遑，是此书已为利玛窦所见，而犹未得其解也。迨我国朝醲化翔洽，梯航鳞萃。欧逻巴人始以借根方法进。

呈圣祖仁皇帝授蒙养斋诸臣习之，梅防成乃悟，即古立天元一法，扵赤水遗珍中详解之，且载西名阿尔热巴拉【案原本作阿尔热巴逹，谨据西洋借根法改正】即华言东来法，知即冶之遗书流入西域，又转而还入中原也。今用以勘騐西法，一一脗合，瑴成所説，信而有徴，特录存之，以为算法之秘钥，且以见中法西法互发益明，无容设畛域之见焉。乾隆四十六年二月，恭校上。总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总　校　官　【臣】　陆　费　墀原序数本难穷，吾欲以力强穷之。彼其数不惟不能得其凡，而吾之力且惫矣。然则数果不可以穷耶？既已名之数矣，则又何为而不可穷也？故谓数为难穷，斯可谓数为不可穷，斯不可？何则？彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之数也。非自然之数，其自然之理也。数一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦末如之何也已。苟能推自然之理，以明自然之数，则虽逺而干端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣。予自幼喜算数，恒病夫考圆之术，例出于牵强，殊乖于自然。如古率、徽率、密率之不同，截弧、截矢、截背之互见，内外诸角，析剖支条，莫不各自名家与世作法。及反覆研究，卒无以当吾心焉。老大以来，得洞渊九容之说，日夕玩绎，而向之病我者，使爆然落去而无遗。余山中多暇，客有从余求其说者，于是乎又为衍之，遂累一百七十问。既成编，客复目之《测圆海镜》，盖取夫天临海镜之义也。昔半山老人集唐百家诗选，自谓废日力于此，良可惜。明道先生以上蔡谢君记诵为玩物丧志。夫文史尚矣，犹之为不足贵，况九九贱技能乎？嗜好酸咸，平生每痛自戒勅，竟莫能已，类有物慿之者，吾亦不知其然而然也。故尝私为之解曰：由技兼于事者言之，夷之礼，夔之乐，亦不免为一技。由技进乎道者言之，石之斤，扁之轮，非圣人之所与乎？览吾之编，察吾苦心，其悯我者当百数，其笑我者当千数。乃若吾之所自得，则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉！李冶序总率名号天之地为通▯　　天之干为通股干之地为通勾天之川为边▯　　天之西为边股西之川为边勾日之地为底▯　　日之北为底股北之地为底勾天之山为黄广▯　天之金为股金之山为勾月之地为黄长▯　月之泉为股泉之地为勾天之日为上髙▯　天之旦为股旦之日为勾日之山为下髙▯　日之朱为股朱之山为勾月之川为上平▯　月之青为股青之川为勾川之地为下平▯　川之夕为股夕之地为勾天之月为大差▯　天之坤为股坤之月为勾山之地为小差▯　山之艮为股艮之地为勾日之川为皇极▯　日之心为股心之川为勾月之山为太虚▯　月之水为股水之山为勾日之月为明▯　　日之南为股南之月为勾山之川为□▯　　山之东为股东之川为勾今问正数通▯六百八十，勾三百二十，股六百。

勾股和九百二十较二百八十勾▯和一千较三百六十股▯和一千二百八十较八十▯较和九百六十较四百▯和和一千六百较二百四十边▯五百四十四，勾二百五十六，股四百八十。勾股和七百三十六，较二百二十四。

勾▯和八百较二百八十八股，▯和，一千零二十四，较六十四。▯较和，七百六十八，较三百二十。▯和和，一千二百八十，较一百九十二。底▯四百二十五，勾二百，股三百七十五。勾股和五百七十五，较一百七十五。勾▯和六百二十五，较二百二十五。

股▯和八百较五十▯较和六百较二百五十▯和和一千较一百五十黄广▯五百一十，勾二百四十【即城径也】股四百五十。

勾股和六百九十较二百一十勾▯和七百五十较二百七十股▯和九百六十较六十▯较和七百二十较三百▯和和一千二百较一百八十黄长▯二百七十二，勾一百二十八，股二百四十【即城径也】勾股和三百六十八，较一百一十二。

勾▯和四百较一百四十四股▯和五百一十二较三十二▯较和，三百八十四，较一百六十。

▯和和六百四十较九十六髙▯二百五十五【上下同】勾一百二十【即半径】股二百二十五勾股和三百四十五，较一百零五。勾▯和三百七十五，较一百三十五。

股▯和四百八十较三十▯较和三百六十较一百五十▯和和六百较九十平▯一百三十六【上下同】勾六十四，股一百二十【即半径也】

勾股和一百八十四较五十六勾▯和二百较七十二股▯和二百五十六较十六▯较和一百九十二较八十▯和和三百二十较四十八大差▯四百零八，勾一百九十二，股三百六十。勾股和五百五十二，较一百六十八。

勾▯和六百较二百一十六股▯和七百六十八较四十八▯较和五百七十六，较二百四十。▯和和九百六十，较一百四十四。小差▯一百七十，勾八十，股一百五十。

勾股和二百三十较七十勾▯和二百五十较九十股▯和三百二十较二十▯较和二百四十较一百▯和和四百较六十皇极▯二百八十九，勾一百三十六，股二百五十五。勾股和三百九十一，较一百一十九。勾▯和四百二十五，较一百五十三。

股▯和五百四十四较三十四▯较和四百零八较一百七十▯和和六百八十较一百零二太虚▯一百零二，勾四十八，股九十。

勾股和一百三十八较四十二勾▯和一百五十较五十四股▯和一百九十二较一十二▯较和一百四十四较六十▯和和二百四十较三十六明▯一百五十三，勾七十二，股一百三十五。勾股和二百零七，较六十三。

勾▯和二百二十五较八十一股▯和二百八十八较一十八▯较和二百一十六较九十▯和和三百六十较五十四□▯三十四　勾十六　股三十勾股和四十六较一十四勾▯和五十较一十八股▯和六十四较四▯较和四十八较二十▯和和八十较十二识别杂记天之于日，与日之于心，同心之于川，与川之于地同。日之于心，与日之于山同。故以山之川为小差。川之于心，与川之于月同。故以月之日为大差。明勾□股相得，名为内率，求虚积。明股□勾相得，名为外率，求虚积。虚勾虚股相得，名为虚率，求虚积。凡勾股和，即▯黄和。凡大差，即股黄较。凡小差，即勾黄较。髙股平勾差名角差【又】名逺差，此数即髙平二差共也。又为明和□和较也【又】为通差内去极差【又】为极差虚差共。明□二差共名次差【又】名近差【又】名戾【音列】和，此数【又】为明大差□小差较也。勾圆差之股，股圆差之勾相并名混同和，此数【又】为一径一虚▯共也。明□二差较名傍差，此数又为髙平二差较【又】为极双差内减虚和【又】为极和内减城径也。虚差不及傍差名蓌差，此数又为大差差内去角差【又】为极差内去二之平差【又】为次差内去小差差【又】为明股□勾共内去二之明勾也。虚差傍差共为蓌和【蓌音剉】凡大差股、小差勾相乘为半段径幂，大差勾、小差股相乘亦同上。虚勾乗大股得半段径幂，虚股乘大勾亦同上。边股□股相乘得半径幂，明勾底勾相乘亦同上。黄广股、黄长勾相乗得径幂，髙股平勾相乗得半径幂。明▯明股并与□▯□勾并相乘得半径幂，明▯明勾并与□▯□股并相乘亦同上。髙▯平▯相乘为一段皇极积，明勾□股相乘倍之为一段太虚积，明股□勾相乘亦同。

右诸杂名目通▯上勾股和，即一城径一通▯也。其较即勾圆差之勾，股圆差之股相较也。勾▯和，即二勾一大差，其较则大差也。股▯和，即二股一小差，其较则小差也。▯较和为一径，三差共，其较则大勾小差共也。三事和即边▯，三事和上带大勾也【又】为底▯，三事和上带大股也，其较则城径也。边▯上勾股和为通股，平▯共其较，则大差股内去平▯也。勾▯和即通股底勾共其较，则明股明▯共也。股▯和即通股通▯和内少个边勾也，其较则平勾也。▯较和为大差，上股▯和其较则大勾也。三事和即通▯上股▯和【又】为黄广，三事和上带勾圆差也，其较则大差勾也【又】为平▯上▯较和【又】为太虚▯上股▯和也。底▯上勾股和为通勾髙▯共其较则髙▯内去小差勾也「勾▯和为通▯上▯较较与髙股共其较则髙股也」股▯和为半个通▯上三事和其较则□▯上勾▯和也「▯较和为大差上勾▯和也其较则小差上勾▯和也」三事和即通▯上勾▯和【又】为黄长三事和上带股圆差其较则小差股也【又】为髙▯上▯较较【又】为太虚▯上勾▯和黄广▯上勾股和为大股虚股共【又】为通勾通股共内少个小差上勾股和其较则两个髙差也　勾▯和为二髙▯一圆径共其较则二明股也　股▯和为通▯上▯较和其较则二□股也　▯较和即两个大差股也其较即两个小差股也　三事和两大股也其较则两虚股也黄长▯上勾股和为大勾虚勾共【又】为通和内少个大差上勾股和也其较则两个平差也　勾▯和为通▯上▯较较其较则两个明勾也　股▯和为二圆径二□勾其较则二□勾也　▯较和为两个大差勾也其较则两个小差勾也　三事和为两大勾其较则两虚勾也髙▯上勾股和为髙▯虚股共【又】为一径及髙勾髙股差也其较则底▯内减大勾也【又】为边股内减底股也　勾▯共则底股其较则明股也　股▯共即边股其差则□股也　▯较共则大差股其较则小差股也　三事和即大股其较则虚股也【又】为小差上勾▯较【又】为明▯上▯较较平▯上勾股共，即平▯虚勾共也。其较则大股内减边▯也。勾▯共，即底勾其差，则明勾也。股▯共，即边勾其较，则□勾也。▯较共，即大差勾其较，则小差勾也。三事和，即大勾其较，则虚勾也【又】为大差上股▯较【又】为□▯上▯较和。大差上勾股和，即大股内去虚勾，其差则大差▯内去圆径也。▯勾共，即大股，其差则大差股内去二之明勾也。股▯和为大股上加个大中差也【按大中差乃明股▯和与半径之较】其较则虚勾也。▯较和为两个边▯上勾▯较，其较即城径也。三事和即大股与股圆差共【又】为大▯大较共【又】为二边股，其较则太虚上▯较和也。小差上勾股和，即大勾内去虚股也。其较则圆径内去小差▯也。勾▯和为大勾上减个小中差也【按小中差乃□勾▯和与半径之较】其较则虚股也。股▯共即大勾。其较则小差勾内去两个□股也。▯较和为圆径。其较则为两个底▯上股▯较【又】为两个□▯上勾▯和也。三事和即大勾与勾圆差共也。又为大▯大较较【按即通▯又上▯较较】为二底勾。其较则太虚上▯较较也。皇极勾股和即髙▯平▯共，其较则明股内去□勾也。勾▯共即底▯，其较则明▯也。股▯共则边▯，其较则□▯也。▯较和为髙▯，明▯共【又】为大股内减大差勾【又】为大差▯，其较则小差▯也。三事和即通▯，其较则太虚▯也【又】为明勾□股共【又】为髙▯内减明▯【又】为平▯内减□▯【又】为大差勾上减虚股【又】为小差股上减虚勾也。太虚勾股和即圆径，内减虚▯【又】为虚▯，虚黄方共【又】为皇极▯，内去明股□勾共，其差则大差勾内减个小差股也。勾▯共即小差股也，其较则虚股内减个小黄方也。股▯共即大差勾，其较则虚勾内减个小黄方也。▯较和为大差▯，上▯和较【又】黄长▯，上勾▯较【又】为两个明勾，其较小差▯上黄方面也。三事和即大黄方，其较则为两个明▯上股▯较【又】为□▯上两个勾▯较【又】为明▯上小差与□▯上大差共也。明▯勾股和，即大差股内减明▯，其较则明▯内减虚股也。勾▯并，即髙股，其较则髙股内少二之明勾也。股▯和，即边股内减大差勾【又】为边勾边▯差，其较则半个虚黄方也。▯较和，即大差上勾▯较，其较则虚股也。三事和，即股圆差，其较则太虚上勾▯较【又】为虚股内减虚黄方也。□▯上勾股和即小差内减□▯，其较则虚勾内减□▯也。勾▯和即底勾内减小差股【又】为底股底▯差，其较则半个虚黄方也。股▯和即平勾，其较则平勾内少二个□股也。▯较和即虚勾，其较则小差上股▯较也。三事和即勾圆差，其较则太虚上股▯较【又】为虚勾内减虚黄方也。前黄广勾股下，其勾股较【又】为大差，股上少个小差，股【又】为中差【按中差系通勾股较】内少个小差较【又】为黄广，股内少一径，勾▯共【又】为两个底股【又】为大股与小差股共，股▯和【又】为大▯中差共【又】为两个边股，股▯差【又】为小差上黄方面。前黄长勾股下，其勾股较【又】为大差勾上少个小差勾也【又】为圆径内少个黄长勾，勾▯共【又】为两个底勾【又】为大勾与小差勾共，勾▯较【又】为大差上黄方靣，股▯共【又】为两个边勾。

右五和五较大▯为大勾与股圆差共【又】为大股与勾圆差共边▯，乃边股平勾共【又】为大股内减平▯上勾股较；底▯乃底勾髙股共【又】为大勾内加一个髙差；黄广▯为大股内减虚股【又】为边股□股共，黄长▯乃大勾内减虚勾【又】为底勾明勾共。

髙▯乃大差▯内减明▯【又】为明▯虚▯共　平▯乃小差▯内减□▯【又】为□▯虚▯共　大差▯乃大股内减大差勾【又】为髙▯明▯共【又】大▯内去黄长▯　小差▯为大勾内减小差股【又】为平▯□▯共【又】为大▯内去黄广▯　极▯乃髙股平勾共【又】为平▯明▯共【又】为髙▯□▯共【又】为大差▯内减髙平二▯较【又】为小差▯内加髙平二▯较　虚▯乃皇极黄方靣【又】为明勾□股共【又】为髙▯内减明▯【又】为平▯内减□▯　明▯乃髙▯内减虚▯　□▯乃平▯内减虚▯黄广▯、黄长▯相并为大▯、虚▯共也。以此数减于大和，余即虚和。若以二▯相减，余即虚▯、平▯共也【按虚▯、平▯共，此题数偶合，当云二极差】黄广▯【又】为大差▯、虚▯共黄长▯【又】为小差▯、虚▯共以黄长▯减于大勾，余即虚勾以黄广▯减于大股，余即虚股边▯底▯相并为大▯，皇极▯共也。于此并数内减大和，余为皇极▯，内减圆径也。若以二▯相减，余即皇极差也。此数同者最多，故【又】为皇极▯内少个小差▯【又】为髙▯平▯较【又】为明股内少□勾【又】为大差▯内少皇极▯【又】为次差虚差共也。边▯【又】为皇极股▯共【又】为黄广▯□▯共底▯【又】为皇极勾▯共【又】为黄长▯明▯共也。以边▯减大股余为半径内减平勾【又】为平▯内减小差勾也。底▯内减大勾余为髙股内减半径【又】为大差股内减髙▯也。黄广▯内减边股，即□股。黄长▯内减底勾，即明勾也。髙▯、髙股共即边股平▯、平勾共即底勾髙▯、髙勾共即底股平▯、平股共即边勾上髙▯减于通股，余即边股内减□股也。下平▯减于通勾，余即边勾内减明勾也。髙▯平▯相并，即大▯内少个皇极▯也。若以相并数减于大和，余为皇极▯圆径共也。髙▯平▯相减，余即皇极差也【又】为皇极▯上减小差▯也。若以相减数却加于相并数，即黄广▯也。髙▯内减明股得半径，平▯内减□勾亦同上。皇极勾上加明▯为皇极▯，皇极股上加□▯亦同上。皇极▯，得极勾即底▯，得极股即边▯，内去极勾即明▯，去极股即□▯，减于通▯即极和，得虚▯亦同上，内去虚▯即明▯，□▯共去虚黄即明和，□和共也，去城径即傍差。内加极差，即大差▯；去极差，即小差▯；加角差，即两个髙股；减角差，即二平勾。太虚▯，加入极▯为极和。极▯内去之即明□二▯共。再去之则明大差□小差并也。加于大差▯即黄广▯。加于小差▯即黄长▯。内去明勾则□勾。加明勾为圆径内少虚黄□股共。加入明股为明和□股共。减于明股即明较内去□股。加入明▯为极股。减于明▯为明大差□小差内少个□▯。加于明和即两个虚▯一个髙差共也。减于明和即髙差也。内去□勾即明勾□较共【又】为□股平差共。加于□勾即□和明勾共。加于□股为二虚▯内少明勾【又】为圆径内少虚黄明勾共。内减□股即明勾。内加□▯即极勾。减于□▯为明勾内少个□小差。加入□和即两个虚▯内少个平差也。内减□和即平差也。加入明□二和共即极和内少个虚黄也。若减于明□二和共即明股□勾共也。减于髙▯即明▯。减于平▯即□▯。加于角差即二明勾一极差也。减于角差即一极差二□股较也。得傍差即明股□勾共。内减傍差即太虚三事和内去了极双差也【按双】【差系勾▯差股▯差】内加虚差，即二明勾内减虚差，即二□股内加虚黄方，即虚和内减虚黄方，即太虚大小差并也右诸▯大差▯，小差▯，共即两个极▯也。以两个极差为之较。大差差，小差差，共即两个极差也。以两个傍差为之较。大差上，大差小，差上，大差共即两个明▯也。以两个明差为之较。大差上，小差小，差上，小差共即两个□▯也。以两个□差为之较。大差黄【按即二明勾】小差黄【按即二□股】数共即两个极黄【按即二虚▯】也。以两个虚差为之较。大差勾，小差勾，共即两个极勾也。以两个平差为之较。大差股，小差股，共即两个极股也。以两个髙差为之较。二和共为二极和，以二角差为之较。大差上▯较，较即圆径，小差上▯较和，亦同上大差上小差，即虚勾，小差上大差，即虚股也。大差▯与明勾共，即边股，小差▯与□股共，即底勾也。大差▯内减中差，即黄长勾【按勾应作股】小差▯内加中差，即黄广股也【按股应作勾】大股内减小差股，即黄广股，大勾内减大差勾，即黄长勾也。虚▯得虚股，即大差勾，虚▯得虚勾，即小差。

股也　明段▯较和即大差上勾▯较　明段▯较较即小差上勾▯较也　□段▯较和即大差上股▯较　□段▯较较即小差上股▯较也大差勾内减虚▯余即虚股　小差股内减虚▯余即虚勾也　以大差和减大股即虚勾　以小差和减大勾即虚股也　以大差差减圆径即明勾此差若多于圆径则内减圆径余即虚勾也【按此条因题数偶合而误若勾股差甚大甚小者皆不能合】　以小差差减圆径即小差▯也　大差▯上加一径即大股上加虚勾也　小差▯上加一径即大勾上加虚股也大差股内减髙▯余即髙股内减半径　平▯内减小差勾余即半径内减平勾也　大差内减虚差即二明差　小差内减虚差即二□差也大▯内减大差，股小差勾共，即圆径。三事和内减二之大差，股小差勾共，即三个圆径也。大差勾小差股相并，名混同，即一圆径一虚▯也。若以相减，即虚差也。大差和小差和二数相并，即大▯虚▯共也。二数相减，即中差虚差共也【又】半之，并数即为极▯虚▯共也【又】为髙▯平▯共【又】为皇极勾股共也大差差小差差，二数相并，即两个皇极差【又】为大差▯内减小差▯也。二数相减而半之，即是皇极▯上减圆径也【即傍差】

右大小差大差、差小差、差虚差，共为一个通差。髙平极三差，共亦同上。明□虚三差，共为一个极差也。诸黄方面，亦仿此。边黄内减底黄，即虚差。黄广黄内减黄长黄，即二虚差。髙黄内减平黄，即虚差。盖髙黄即虚股，平黄即虚勾也。大差黄内减小差黄，即二虚差。盖大差黄即二明勾，小差黄即二□股也。明黄内减□黄，余即虚差。□▯上三差合成一个虚黄方。髙差内减平差为傍差，边差内减底差亦同上。明差内减□差亦同上，大差差内减小差差为二旁差。黄广差内减黄长差亦同上。极双差即明□二▯共，内加虚双差即明□二和共，内减虚双差即明双差□双差共也。内加旁差即极▯内少个虚▯旁差差，内减旁差即虚和也。内加虚差即极▯内少二□股，内减虚差则极▯内少二明勾也。极差内加旁差为大差，差内减旁差为小差。差也，内加虚差即角差；内减虚差即次差也。倍极差为大差，差小差，差共则倍旁差为之较。倍极▯为大差▯，小差▯，共倍极差为之较。以极差为明差，平差共则以蓌差为之较。以极差为髙差，□差共则以蓌和为之较。副置蓌和，上加蓌差而半之，即旁差也。减蓌差而半之，则虚差也。极差内减二之平差，得蓌差。角差内加旁差为二髙差，内减旁差即二平差也。内加明□，二差并而半之得极差；内减明□。二差而半之，则虚差也。内加极差，则通差。内减极差，则虚差也。以虚差减于明和，为明□二股共；以虚差加于□和，为明□二勾共也。又副置二和共，上加次差而半之，即明□二股共；减次差而半之，即明□二勾共也。明□二股共，以髙差为之较；明□二勾共，以平差为之较。以髙差减明和，即虚▯。以平差加□和，亦同上。以髙差减髙股，即半径。以平差加平勾，亦同上。以髙差减大差差，即明差。以平差减小差差，即□差也，以髙差减大差，即髙▯；以平差加小差，即平▯也。二之平差内去虚差，余即小差差；去二虚差，即两个□差。髙股即半径上股方差，平勾即半径上勾方差，故髙勾平股共为全径也。黄广股即全径上股方差，黄长勾即全径上勾方差，故黄广勾黄长股共数为两个全径也。边▯内减底▯，即皇极差。边股内减底股，即髙差【又】为底▯内减大勾。边勾内减底勾，即平差【又】为大股内减边▯也。大勾减底▯余，即半径为勾之中差也。大股内减边▯余，即半径为股之中差也。边股底勾相并，即大▯。若以相减，即通中差也。二髙股一虚差合成一个股圆差，二平勾一虚差合成一个勾圆差【按此二条误当云二明股一虚股合成一个股圆差，二□勾一虚勾合成一个勾圆差也】明双差亦为明□二大差，其较则明差也。□双差亦为明□二小差，其较则□差也。明双差内减明差，即虚黄。□双差上加□差，亦同上。以明双差加明和，即两明▯。以□双差加□和，则两□▯也。以明双差减明和而半之，即明黄【又】为虚大差。以□双差减于□和而半之，即□黄【又】为虚小差也。以虚大差减明和，即为明▯。以虚小差减□和，即□▯也。明双差□双差相较，则次差也。明双差□双差相并，加于明□二和共，则为两个极双差。若以减于明□二和共，则为两个虚双差也。明双差上加虚双差，即明□二股共。□双差上加虚双，即明□二勾共也。

以明□二股共为明▯□黄共则髙差虚黄共为之较【按明▯又□黄较】为明大小差虚大小差共则明□二股共内去两个虚双差为之较也【按明大小差虚大小差之较】以明□二勾共为□▯明黄共则以平差虚黄较为之较【又】为□大小差虚大小差共则明□二勾共内减两个虚大小差为之较也【按虚大小差□大小差之较】明□二和共内减旁差，即二虚▯。虚▯内加旁差，明股□勾共也。明和内去平差，即明股□勾共□和上加髙差，亦同上也明和内去髙差，即虚▯□和上加平差，亦同上明▯内去髙差，即虚勾□▯上加平差，即虚股也明股内去□股，即髙差去□勾，则极差也明勾内去□股，即虚差去□勾，则平差也明□二股并内减虚▯，即明差；明□二勾并减于虚▯，即□差。明□二和共【又】为明□二▯共与明□二黄共数也。其较则明双差□双差共数也。其明□二和共数内减旁差，即二虚▯也。若内减虚双差，即明□二▯共也。极▯得极差为大差，▯大差▯内减明和则髙，▯内减虚大差也。内减极差则为小差，▯小差▯内减□和则是平，▯内减虚小差也。又大差▯内减明和与髙股共余则为虚勾不及明勾数，小差▯内减□和与平勾共余则为□股不及虚股数也。

右诸差边勾边股差【又】为皇极差与髙差共也【又】为边▯内去大勾也。边勾边▯共【又】为大勾边股共。边勾边▯较【又】为大差▯内减半径也。边股边▯较【又】为□股▯和。底勾底股差【又】为皇极差，平差共【又】为大股内去底▯【又】为髙股内去底小差。底勾底▯共为大▯内少个底股大勾差。底勾底▯较【又】为明▯上勾弦和。底股底▯共与边勾边▯共同。底股底▯较【又】为底勾内少小差股也。边股内减髙▯，余则髙股内减大差▯，余则明勾，内减底▯，即底股内减大勾也【又】为髙▯内减底勾也底勾内减平▯，余即平勾。内减小差▯，余即□股。以底勾减于边▯，余即大股。内减边勾也【又】为边股内减平▯也边▯内减底股，与底▯内减边勾同，为皇极▯内减半径也。皇极勾内减明勾，余即平勾也。若减□勾，即半径也。倍之则为底勾，明勾共。皇极股内减□股，余即髙股也。若减明股，余即半径也。倍之则为边股，□股共也。明股得虚股，即髙股明勾得虚勾，即半径□股得虚股，即半径□勾得虚勾，即平勾也髙▯内减髙股，即□股平▯内减平勾，即明勾也明▯内减明差，即虚股□▯内加□差，即虚勾也髙股即虚明二股共平勾即虚□二勾共也明▯明勾并数，与髙股同□▯□股并数，与平勾同也明股□勾相倂减于极▯，即虚和【又】为极黄，虚黄共数也。明□二▯并内减□双差，即明□二股并内减明双差，即明□二勾并内加虚▯，即极▯内减虚▯，即明大差□小差并也以明和为明▯，明黄共则明双差为之较。以□和为□▯，□黄共则□双差为之较也。明和【又】为髙差虚▯共【又】为极差与明□二勾共数。□和【又】为平差少于虚▯数【又】为极差少于明□二股数。

半之三事和内加半黄方即勾股共　若减之则▯也　半圆径内加半虚黄即虚和　减半虚黄即虚▯也【又】以半虚黄加明和即髙股以半虚黄加□和即平勾也　加明股则明▯　加□股则□▯也　减明勾则明黄　减□股则□黄也　以虚黄加明黄则为虚股　以加□黄则虚勾也右诸率▯见髙▯□▯共为极▯，其差即虚▯极差共也。髙股□股共为髙▯，其差即虚股髙差共也。髙勾□勾共为平▯，其差即半径内减□勾也。髙和□和共为极和，其差即极和内少二□和也。髙差□差共为极差，其差即虚差旁差共也。髙黄□黄共为虚▯，其差即□黄不及虚股数也【髙黄即虚股】髙大差□大差共即明▯，其差即半虚黄不及明股数也。此髙大差即明股，此□大差即半虚黄也。髙小差【即□股】□小差共即□▯，其差即□小差。不及□股数也明平二▯共亦为极▯，其较即虚▯不及极差数也明平二股共亦为髙▯，其较即明股内减半径也明平二勾共亦为平▯，其较即平差内去虚勾也明平二和共亦为极和，其较即极和内少二之平和也明平二差共亦为极差，其较即虚差不及旁差数也明平二黄共亦为虚▯，其较则虚勾【按虚勾即平黄】不及明黄数也明平二大差共亦为明▯，其较即明勾不及明大差数【平大差即明勾】明平二小差共亦为□▯，其较则□勾不及半虚黄数也此明小差即半虚黄，此平小差即□勾右四位相套边▯，自减其股为平勾，自减其勾为明股。明▯并，减于通▯，余平▯；减于通股，余平差。内减通勾，余边差；内减底▯，余极差；内减底股，为半径旁差，共【又】为极▯内少半径。内减底勾，即大股内去边勾也；内减黄广▯，余□▯；内减黄广股，即小差股内去平差；内减黄广勾，即大差股内去平差；内减黄长▯【又】得黄长▯【按此条误】内减黄长股，与内减黄广勾同；内减黄长勾，即大股内去极勾虚勾共；内减皇极▯，余髙▯。底▯，自减其股为□勾□▯并，自减其勾为髙股，减于通▯余髙▯，减于通股余底差，内减通勾余髙差，减于边▯余极差，减于边股即底差，内去半径，内减边勾即髙差，平勾共减于黄广▯余为明大差□小差并【按此条亦系数偶合】减于黄广股即底差，内去小差股，内减黄广勾即一个明▯，一个黄长股▯较，内减去黄长▯余明▯，内减黄长股与内减黄广勾同，内减黄长勾余为髙股明勾共，内减极▯为平▯，减于边股【又】为底股，内去大勾髙差平差共【又】为平勾髙股差。以半径减髙股即髙差，半径内减平勾即平差。明勾内减□勾与平差同，明股内减□股与髙差同。股圆差内减极股即髙差也，勾圆差减于极勾即平差。正股内去边▯即平差也，底▯内去正勾即髙差也，大差勾内去极勾，即平差也。极股内去小差股，即髙差也。极差内去□差，即髙差也。内去明差，即平差也。

旁差即城径极▯较也【又】为明差□差较【又】为髙差平差较　极差得之为大差差也去之则为小差差也又髙差平差下，明和内去虚▯，即髙差。虚▯内去□和，即平差。大差▯内加虚差，即黄广股；小差股内减虚差，即黄长勾。通差内去髙差，即底差；内去平差，即边差也。虚大差得二虚勾，即勾圆差之股；虚小差得二虚股，即股圆差之勾也。明股▯较与勾共即虚股也，□勾▯较与股共即虚勾也。半虚黄□勾得之，即□▯也。减于此数，即虚黄内去□▯也。□股得之，虚勾也。去之，即□黄方也。□▯得之，即平勾内去□黄也。去之，则□勾也。明勾内得之，即虚股也。去之，则明黄方也明股得之即明▯也，去之则明▯内去个虚黄方也。明▯得之即髙股内去明黄也，去之则明股也。右拾遗按，识别杂记约五百条，皆随时録其所得，未经审定者，故难易浅深不拘先后，要皆精思妙义，足以开示数理之蕴奥者。徐光启亟▯新法，而于勾股义中独推是书，其必有所见矣。