测圆海镜卷四

测圆海镜卷四

元　李冶　撰底勾一十七问或问：乙出南门，东行，不知步数而立。甲出北门，东行二百步，见之，就乙斜行二百七十二步，与乙相防。问答同前。法曰：二行差数乘甲东行，又四之为平方实，得全径。草曰：识别得二行相减，余即乙出南门东行数也。以甲东行减于就乙斜行，余七十二步，以乘甲东行歩，得一万四千四百步，又四之得五万七千六百步为实，以平方开之，得二百四十步，即城径也。合问。或问：「乙从坤隅南行三百六十步，甲出北门东行二百步见之。」问答同前。法曰：二行步相乘，倍之为实。乙南行为从，一步常法得城径。草曰：立天元一为城径，以减于二之甲，东行步得【□】□为两个小差，以乙南行步乘之，得□□为城径幂【寄左】然后以天元幂丨□与左相消，得丨□□，以平方开之，得二百四十步，即城径也。合问。又法，半之，乙南行，步乘甲东行，为实，半乙南行，为从，一步常法，得半径。草曰：立天元一为半城径，减甲东行得□□，为小差；半乙南行步得一百八十步，以乘小差得□□，为半径幂【寄左】然后以天元幂丨□与左相消，得下式丨□□，以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：「乙从坤隅东行一百九十二歩而止，甲出北门东行二百步，见乙。」问答同前。法曰：两行步相乘为实，甲东行为从，乙为隅，得半径。草曰：立天元一为半径，减于乙东行，得□□，以甲行步乘之，得□□为半径幂【寄左】然后以天元幂丨□与左相消，得丨□□，以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问或问：「乙出南门，直行一百三十五步；甲出北门，东行二百步，见乙。」问答同前。法曰：以乙南行步乘甲东行幂，又四之为实，从空乙行为亷，一步常法，得城径。草曰：立天元一为城径，加乙南行得□□为股率，其甲东行即勾率也，其乙南行□为小股，以勾率乘之得□，合以股率除，今不除，受便以此为小勾【寄股率为母】乃以甲东行步乘之得□，又四之得□为一段城径幂【寄左】然后以天元城径自之，又以股率分母通之，得丨□□为同数，与左相消得下式丨□□□，以立方开之，得二百四十步，即城径也，合问。又法，二行相乘，又以自乘为实，以二行相乘倍之为益方，南行幂为亷，八步益隅，立方开，得小勾七十二。草曰：立天元一为小勾，以南行为小股，以东行二百步为大勾也。置大勾内减天元，得□□为中勾也。以小股乗之，得□□，以天元小勾除之，得□□为中股，即城径也。以自之，得□□□为城径幂也【寄左】又以天元小勾乘通勾二百步，得□，又四之，得□为同数，与左相消，得□□□□，开立方得七十二步，即小勾也。

以乘通勾二百步为实，平方开得一百二十步，倍之即城径也，合问。又法，求半径，以南行步乘东行幂为实，从空东行步为亷，二步常法得半径。草曰：立天元一为半径，以二之，加南行步得□□为股率；以东行□为勾率，以南行为小股也。置小股，以勾率乘之，得□，以股率除之，不受除，只寄股率分母，便以此为小勾也。又以勾率乘之，得下式□为半径幂【寄左】再立天元半径，以自之，又以分母股率乘之，得□□□为同数，与左相消，得□□□□。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：「乙出东门，南行三十步而止；甲出北门，东行二百步，望乙与城防相直，问答同前。」法曰：以甲东行步乗乙南行幂为实，以乙南行幂为从，甲东行内减二之乙南行为益亷，一步隅得半径。草曰：立天元一为半城径，减于甲东行步，得□□为小勾；以天元加于乙南行步，得□□为小股；乃以天元加东行步，得□□为大勾。置大勾，以小股乗之，得丨□□，合以小勾除之，今不受除，便以此为大股【内带小勾分母】又置天元半径，以分母小勾乘之，得□□，减于大股，余□□□，以乙南行步乗之，得□□□为半径幂【内有小勾分母】寄左。然后以天元为幂，又以小勾通之，得□□□为同数，与左相消，得下式□□□□，以立方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问【翻法在记】又法，乙南行，乘甲东行，为平实，二数相减为法，一隅翻开，得半径。草曰：别得二数相并为大勾，内少一虚股；其二数相减为小差▯也。立天元一为半径，副置之上位减于二百步，得□□为勾圆差【即小差勾也】下位加三十步，得□□为小差股。勾股相乘得□□□为一段小差积【寄左】再以小差勾减小差股，余□□为一较也。又以此较减于小差▯，得下式□□为一个▯较。较以天元一乘之，得下式□□为同数，与左相消得□□□。开平方得一百二十步，即半城径也。合问【翻法在记】再立此法者，盖从简也。按此乃以小差勾为平▯上▯较，较半径为平股，故以小差▯上▯较较与半径相乘，等于平▯上▯较较与小差股相乘，为一段小差积也。或问：乙出东门，南行，不知步数，而立。甲出北门，东行二百步，望乙与城防相直，复就乙斜行一百七十步，与乙相防。问答同前。法曰：以二行差乘甲东行为实，甲就乙斜行为方，一步常法，得半径。草曰：识别得二行相减，余三十步，即乙出东门南行步也【更不湏用▯】立天元一，以为半城径，加乙南行得□□，为小股。副置甲东行步上位，减天元得下式□□，为小勾；下位加天元得□□，为大勾也。乃置大勾，以小股乘之，得下式丨□□。

合以小勾除，不受除，便以此为大股【内▯小勾分母】又倍天元，以小勾乘之，得□□，以减于大股，得□□□。又倍之，得下□□□，为两个股圆差。合以勾圆差乘之，縁为其中已带小勾分母，更不须乘，便以此为黄方幂【更无分母】寄左。然后倍天元，以自之得□□，为同数，与左相消得□□□。上下俱半之【俱半之者，盖从简也】得□□□。以平方开之，得一百二十步，倍之即半径也。合问。或问：乙出南门，直行，不知步数而止；甲出北门，东行二百步，见之，复就乙斜行四百二十五步，与乙相防。问答同前。法曰：倍两行差，以乘二之甲东行，为实；从空四之甲东行于上，倍两行差，加上位为隅，得半径。草曰：识别得二行差二百二十五步，即半径为勾之股也。立天元一以为半径，便是小勾，其二行差便是小股。乃置甲东行步加天元，得□□为大勾，以小股乗之，得下式□□。又以小勾除之，得□□为大股。又倍天元以减之，得□□□为股圆差。又倍之，得□□□为两个股圆差于上。乃以天元减甲东行，得□□为勾圆差，以乘上位，得下式□□○□为城径幂【寄左】然后倍天元一以自之，得□□为同数，与左相消，得□□□。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问【按此系得数各升一位然后开平方】又法，并二数以二数差乗之，开方得底股。复以甲东行二百步乘之为实，并二数而半之以为法，如法得二百四十步，即城径也。合问【此用股上容圆求之，比前法极为简易】或问：「乙从干隅南行，不知步数而止。甲出北门，东行二百步，望见之。复就乙斜行六百八十步，与乙相会。」问答同前。法曰：并二行以二行差乘之内减二行差幂为实，并二行步及二行相减数【按即倍乙斜行】为从，二步常法得半径。草曰：识别得斜行六百八十步，即大▯也。其二行相减，余四百八十步，即乙南行步内减半径也。立天元一为半城径，副置之上位，加二行相减数，得□□为大股也。下位加甲东行步，得□□为大勾也。乃以大股自增乘，得丨□□为大股幂【寄左】乃并大勾大▯得□□于上，又以大勾减大▯得□□为大差，以乘上位得□□□为同数，与左相消得□□□。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。

又法求大差法曰：二行差自乘为实，置二之二行差于上，乃以甲东行步减二行差，又半之，以减于上为益方【按：三因斜行步，二因东行步相减，折半亦同】半步常法。草曰：立天元一为大差，减于二行差，得□□为半城径，以自之，得丨□□为半径幂【寄左】乃以半城径减于甲东行，得下式丨□为小差。又以天元乘之，得丨□，又以半之，得□□为同数，与左相消，得下式□□□。以平方开之，得三百六十步，即大差也。合问。或问：乙出东门，不知步数而立。甲出北门，东行二百步，望乙与城叅相直，复就乙斜行一百三十六步，与乙相防。问答同前。法曰：甲东行步，内减二之二行差【按：倍斜行步内减东行步亦同】余以乘甲东行为实，一步常法得半径。草曰：别得二行相减，余六十四步，即半径为股之勾。立天元一为半城径，就以为股率。其二行差，即勾率也。乃置甲东行步，加天元，得□□为大勾，以天元股率乘之，得丨□。合以勾率除之，不受，便以此为大股【内▯勾率分母】乃倍天元，以勾率乘之，得□，以减大股，得丨□为一个大差于上【内▯勾率分母】乃以天元减甲东行，得□□为小差，以乘上位□□□为半段黄方幂【内寄勾率为母】寄左，然后以天元自之，又以勾率乘之，又倍之，得□□为同数，与左相消，得下式丨□□。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：「乙出东门，直行一十六步而止；甲出北门，东行二百步，望见乙与城叅相直，问答同前。」法曰：二行步相减，余以自乘，内减乙东行幂，为实；二之甲东行为益，从一步，隅法得半径。草曰：立天元一，以为半城径，加乙行步，并以减于甲行步，得□□为平勾率。其天元半径即平股率也。乃置乙东行一十六步为小勾，以股率乘之，得□合，以勾率除之，今不受除，便以此为小股【内带勾率分母】又置乙东行加二天元，得□□为大勾，以股率乘之，得□□合，以勾率除之，今不受除，便以此为大股【内寄勾率为母】以此小股大股相乘，得□□□为半径幂【内寄勾率幂为母】寄左，然后以勾率幂乘天元幂，得丨□□□为相同数，相消得□□□□，开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问【按此系得数各降二位然后开平方】或问：甲乙二人同出北门，向东行，至东北十字道口分路。乙折南行，一百五十步而立。甲又向东行，甲前后通行了二百步，廻望乙，恰与城相直。问答同前法曰：以二行步相乘于上，又以南行步乗之为实。二行步相乘于上，又以乙南行减于甲东行，得数复以乙南行乘之，加上位共为法，得半径。草曰：立天元一为半城径，副之上位加甲行步，得□□为大勾也。

下位减于甲行步，余□□为小勾也。其乙折南行，即小股也。置大勾以小股乘之，得□□内寄小勾□□为母，便以为大股也。再置天元以母乘之，得□□减于大股，余丨□□为半个矮梯底于上【内寄小勾为母】再置乙折行步内减天元，得□□为半个矮梯头，以乘上位，得□□□□为半径幂【寄左】乃以小勾分母乘天元幂，得下式□□□为同数，与左相消，得□□上法下实，如法而一，得一百二十步，即城之半径也。合问。又法。法曰：二行步相乘为实，倍甲东行，内减乙南行为法。草曰：立天元一为半圆径，副之上位加甲，东行得□□为大勾；下位减甲，东行得□□为小勾。此小勾便是勾圆差也。其乙南行，即小股也。置大勾，以小股乘之，得下式□□内寄小勾□□为母，便以为大股也。再置天元，以二之，又以分母乘之，得□□为全径，以减于大股，余得□□□为股圆差也。合以勾圆差乘之，縁内已有小勾分母，故不湏再乘，便以此为两段之半径幂也，更无分母【寄左】再置天元，以自之，又二之，得□□为同数，与左相消，得□□上法下实一百二十步，即半城径也。合问。或问：见底勾二百步，明▯一百五十三步，问答同前法。曰：半底勾乘明▯为平实，并二云数而半之为从，五分常法得明勾。草曰：立天元一为明勾，加明▯得□□为髙股也。又以天元减底勾而半之，得下式□□为平勾也。勾股相乘得□□□为半径幂【寄左】然后以天元乘底勾得下式□为同数，与左相消得□□□。开平方得七十二步，即明▯也。以明▯乗底勾为平方实，如法开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：「见底勾二百步，□▯三十四步，问答同前。」法曰：底勾□▯相减，余倍之内减去底勾【按：倍□▯减底勾亦同】复以底勾乗之于上，又以□▯幂乘上位为三乗方实，倍底勾以□▯幂乗之为从，二云数相减余，以自之为第一亷，二云数相减余，又倍之为第二益亷，一步隅法得□股。草曰：立天元一为□股，加□▯得□□为平勾，以平勾减底勾，余□□为平▯，以倍之得□□为黄长▯也。此▯内却减底勾，余得下式□□为明勾也。复以底勾乘之得□□于上，又□▯自乘得一千一百五十六为分母，以乗上位得□□为带分半径幂【寄左】然后置黄长▯，以天元乗之得□□，合以□▯除之不除，寄为母，便以此为全径也。以半之得□□为半径【内带□▯分母】以自之得丨□□□为同数，与左相消得丨□□□□，开三乗方得三十步，即□股也。余各依数求之，合问。又法，底勾内减二□▯，复以底勾乘之，复以□▯幂乘之，为三乗方实，余亷从并与前同。

草曰：识别得二数相减，余一百六十六，为平勾虚▯共，又为平▯□股共。于此余数内，又去半径，即□和也。□和□▯相并，即勾圆差也；相减，则□黄方也。又倍□▯加□黄，亦得勾圆差也。底勾内减□股余，即小差▯也。立天元一为□股，减于云数相减数，得□□为平▯。以平▯减底勾，得□□即平勾。以平勾减于云数相减数，得□□即虚▯。以天元又减虚▯，得□□即明勾也。乃置平▯，以天元乘之，得□□合□▯除不除，寄为母，便以此为平股也【即半径】平股自之，得丨□□□○为半径幂【内带□▯幂分母】寄左。然后置底勾，以明勾乗之，得□□。又以□▯幂一千一百五十六通之，得下式□□为同数，与左相消，得丨□□□□亷从一一如上。或问：见底勾二百步，平▯一百三十六步，问答同前。法曰：倍平▯，内减底勾，复以底勾乗之，开平方，得半径。草曰：立天元为半径，先倍平▯，内减底勾，余□为明勾，复以底勾乗之，得□为半径幂【寄左】然后以天元幂为同数，与左相消，得丨□□，开平方得一百二十步，又倍之即城径也，合问。或问：底勾二百步，髙▯二百五十五步，问答同前。法曰：底勾幂乗髙▯为立实，底勾幂为从，髙▯为亷，一为隅，得半径。草曰：识别得髙▯，即皇极股也。立天元一为半径，副之上位加髙▯，得□□，即底股也。下位减于髙▯，得□□，即明股也。置明股，以底勾乗之，得□□，合以底股除，不除寄为母，便以此为明勾。又以底勾乗之，得□□，为半径幂【内带底股分母】寄左。然后以天元幂乗底股，得丨□□，与左相消，得丨□□□，开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问底勾二百步□勾□▯和五十步，问答同前法。曰：以二云数相减，余加底勾，复以减余乗之，半之于上，以减余自之，减上位为实，并云数半之为法，得□股。草曰：别得二数相减，余为小差股。立天元一为□股，减于小差股，得□□，即半径也。又以天元减半径，得□□，为虚股于上。又以半径加底勾，得□□，为通勾于下。上下相乗，得□□□，折半得丨□□，为半径幂【寄左】然后以半径自之，得下式丨□□，为同数，与左相消，得□□。上法下实，得三十步，即□股也。合问。或问：「见底勾二百步，明股明▯和二百八十八步，问答同前。」法曰：二数相减，又半之，得数又减于底勾，余为泛率。以泛率自之，又倍之于上位。又二数相减而半之，以乗和步，所得减于上倍为实。倍泛率于上位，又半底勾减和步，加上位为法，得明勾。草曰：别得和步得明勾为大差也。大差得底勾为二中差。

立天元一为明勾，加和步得□□为股圆差也【即大差】内又加底勾得□，折半得□□，即通勾通股差也【此即中差】置大差减中差得下□□，即小差也。大小差相乘得□□□，为半段圆径幂【寄左】乃置底勾内减小差得□□，为半径，以自之得□□□，倍之得下式□□□，为同数，与左相消得□□。上法下实得七十二步，即明勾也。合问。按此条法，草与三卷末，以小差边股共为二中差者，同误，依问另设于后。法曰：以底勾乘明股▯和幂为实，倍底勾以明股和乗之，加入明股▯和幂为从，倍明股▯和内减底勾为亷，一为隅，开带纵立方得明勾。草曰：别得明▯，得明勾为髙股。髙勾即半径也。底勾为平勾，▯和明勾为平勾，▯较平股即半径也。立天元一为明勾，自之得丨□，应以明股▯和除之，不除便以为明股▯较【内寄明股▯和分母】明股▯和自之得□为股▯和，以加股▯较得丨□□为倍明▯，以分母乗倍天元得□为倍明勾，与倍明▯相加得丨□□为倍髙股。置底勾减天元得□□为倍平勾，与倍髙股相乘得□□□□为城径幂【内寄明股▯和分母】寄左，又倍天元与倍底勾相乘得□，以寄分母乘之得□为相同数，与左相消得丨□□□，开立方得明勾，合问。

测圆海镜卷四

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