测圆海镜卷十一

测圆海镜卷十一

元　李冶　撰

杂糅一十八问或问：「城南有槐树一株，城东有柳树一株。甲出北门东行，丙出西门南行。甲、丙槐柳悉与城叅相直。既而丙就柳行五百四十四步至柳树下，甲就槐行四百二十五步至槐树下。」问答同前。法曰：甲就步自之，于上以二行相减数自之，减上位为实，二之二行相减数，并入二之甲就步为从，一步常法得平▯。草曰：别得丙就步为边▯也。甲就步为底▯也。边▯即皇▯髙▯共也。底▯即皇▯平▯共也。二行相并即大▯皇▯共也。二行相减即皇极勾股较也。倍皇▯以减于大▯，余即虚▯也。倍皇▯内减边▯，余即叀▯也。倍皇▯内减底▯，余即明▯也。皇极▯加一差【按：一差即皇极勾股较】则大差▯也。内减一差，则小差▯也。立天元一为平▯，加一皇极勾股差，得□□，即髙▯也。髙▯自之，得丨□□。内加天元幂，得□□□，为皇▯幂【寄左】然后以天元减底▯，得下式□□，自之得丨□□，为同数与左相消，得丨□□，开平方得一百三十六步，即平▯也。余各依法求之，合问。或问：「出南门，东行，有槐树一株。甲出北门，东行，斜望槐树，与城相直，就槐树行二百七十二步。出东门，南行，有柳树一株。丙出西门，南行，斜望柳树，与城相直，就柳树行五百一十步。」问答同前。法曰：云数相并，而半之，以自乘于上，半丙斜行以为幂，半甲斜行以为幂，并二幂减上位为实，并云数为益，从一步平隅得虚▯。草曰：别得丙斜行为黄广▯也，亦为两个髙▯也。此勾则城径也。甲斜行即黄长▯也，亦为两个平▯也。此股则城径也。二数相并得□，即大▯虚▯共也。二数相减余□，即两个皇极差也。二数相并而半之得□，即皇极和也。立天元一为虚▯，以减于皇极和得□□，即皇极▯也。以自之得丨□□，为皇▯幂【寄左】然后以髙▯自之得□，以平▯自之得□。二自乘数相并得□，与左相消得□□□。开平方得一百二，即虚▯也。合问。或问：「甲从坤隅南行，不知步数，而立；乙从艮隅南行一百五十步，望见甲，复斜行五百一十步，与甲相防。」问答同前。法曰：斜行自之，于上倍南行，减斜，余自之，以减上为实，倍南行，减斜，又四之为从，八步常法，平方得半径。草曰：别得南行，即小差股，斜行即黄广▯也。小差股内减半径，余即半个黄广积，上股▯差也。全径即其勾也。立天元一为半城径，减于乙南行，倍之得□□，即一个黄广，即上股▯差也。以减于斜行步，余□□，即股也。自之得□□□，为股幂也。又倍天元以自之得□□，为大勾幂，加入大股幂得□□□【寄左】然后以斜行幂□与寄左相消，得下式□□□，开平方得一百二十步，即半径也。

合问。或问：「乙从艮隅东行，不知逺近而止；甲从坤隅东行一百九十二步，望见乙，复斜行二百七十二步，与乙相防。」问答同前。法曰：倍东行，减斜行，得数自为幂，以减于斜行幂，为平实。倍东行，减斜行，又四之，为从。八益隅。翻法开平方，得半径。草曰：别得甲东行，即大差勾也；斜行则黄长▯也。大差勾内减半径余，即半个黄长积上勾▯差也。全径即其股也。立天元一为半径，减于东行，倍之得□□，即一个黄长积上勾▯差也。以减于斜行步，得□□，即黄长勾也。以自之得□□□，为勾幂于上。倍天元以自之得□□，加上位得下式□□□，为▯幂【寄左】然后以斜行幂□为同数，与左相消，得□□□平开，得一百二十步，即半城径也。合问。或问：「甲从坤东行一百九十二步，丙从艮南行一百五十步，望见之，问答同前。」法曰：二行相乘，倍之为平实，如法得圆径。草曰：别得甲行，即大差勾；丙行，即小差股。此二数相乘，恰与大小差相乘正同。如法相乘讫，倍之得□为圆径幂【寄左】然然立天元为圆径，以自之与左相消，得丨□□。开平方得二百四十步，即城径也。合问。又法，以二行相减数减于二行相并数，余者半之于上，复以二行相减数加于上，即城径。草曰：别得甲东行减于径为虚勾也，丙南行减于径为虚股也。二行共为一径一虚▯共也，二行相减即虚和也。以相并数相减数又相减，即两个虚▯也。如法求得虚和□，虚▯□相并得□，即城径也。合问。按：又法未合，盖以二行相减为虚较，而草中误以为虚和也。其义甚浅，非难知者，是殆偶尔之遗忘，然亦可以决其为当日未定之稿矣。或问：「出西门，南行二百二十五步，有塔；出北门，东行六十四步，望塔，正当城径之半。」问答同前。法曰：二行相乘为平实，一步常法得半径。草曰：别得二百二十五步为髙股，此乃半径为勾之股也。其六十四步为平勾，此乃半径为股之勾也。二数相并，即太极▯也。二数相减，即中差内去皇极差也。又别得二行相乘，恰是半径幂一段，此与半梯头相乘，其意正同。今且以▯上容圆取之，立天元一为半径，副之上加南行，得□□为股也。下加东行步，得□□为勾也。勾股相乘，得丨□□为大直积，以天元半径除之，得□□□为勾股和【寄左】然后并勾股得□□，与左相消，得丨○□，开平方得一百二十步，即半径也。合问。或问：「丙从干隅南行，丁从艮隅亦南行，甲从干隅东行，乙从坤隅亦东行，各不知步数。四人悉与城相直，只云丙行内减丁行，余四百五十步；甲行内减乙行，余一百二十八步。」问答同前。

法曰：二行相乘为实，一步常法得城径。草曰：别得丙行，即大股；丁行，即小差之股也。甲行，即大勾；乙行，即大差之勾也。其□，即黄广股；其□，即黄长之勾也。立天元一为城径，先置黄广股□为股方差，以□为勾方差，以乘之，得□为城径幂【寄左】然后以天元幂与左相消，得下式丨□□。开平方得二百四步，合问。或问：「出南门，东行，有槐树一株；出东门，南行，有柳树一株。」丙、丁二人同立于坤隅；甲、乙二人同立于艮隅。丁直东行至槐而止；乙直南行至柳而止。丙直南行，甲直东行。四人遥相望见，只云：「丙行多于丁行一百六十八步，乙行多于甲行七十步。」问答同前。法曰：云数相乘为实，二数相减，又半之为法，得城径。草曰：别得□，即大差勾股较也。其□，即小差上勾股较也。二数相并，为大差▯内减小差▯也。二数相较，又半之，皇极▯与城径差也。二数相并而半之，即皇极差也。立天元一为圆径，二云相减数，又半之，加天元，得□□为极▯也。并二数而半之，得□为极差也。副置极▯上位，加极差，得□□为▯较和也。下位内减极差，得□□为▯较较也。上下相乘，得丨□□为二直积【寄左】然后以天元一乘极▯，得下式丨□为同数，与左相消，得□□上法下实而一，得二百四十步，即城径也。合问。或问：甲从坤东行，丙从艮南行，适相见，斜行一百二步。甲丙相防，丙云：“我南行不及汝四十二步。”问答同前法。曰：二数相并，以斜行乘于上；二数相并而半之，以乘相并数，减上位为平实，不及步为从，一步常法，得虚勾。草曰：别得一百二步，即虚▯四十二步，即虚较也。又斜行得虚股为乙，东行此便为大差勾也。斜行步得虚勾为丙，东行此便是小差股也。立天元一为虚勾，加斜行步得□□为小差股也。以不及步加于小差股得下式□□为大差勾也。勾股相乘得丨□□为半段黄方幂【寄左】然后再置虚勾加不及步得□□为虚股，又加入天元得□□为虚和，又加入虚▯得□□为圆径。以自之得□□□，又半之得□□□，与寄左相消得丨□□。平方开得四十八步，即虚勾也。合问。或问：「甲从城心东行，丙从城心南行，庚从巽隅西行，壬从巽隅北行。四人遥相望见，各不知步数，只云甲丙共行了三百九十一，庚壬共行了一百三十八。」问答同前。法曰：云数相乘为实，相并为法，得虚▯。草曰：别得甲丙共为皇极和也，又为极▯、极黄共；庚壬共为太虚和也，又为虚▯、虚黄共。立天元一为皇极黄方靣【亦为虚▯也】减于甲丙共得□□，即极▯也。又以天元减于庚壬共得□□，即太虚黄方靣也。

以太虚黄方靣乘极▯得丨□□【寄左】然后以天元幂与左相消得□□。上法下实如法得一百二步，即皇极黄方靣也。合问【按此亦系相消后得一边之二数者】或问：甲从干隅东行，不知步数而止。丙向南行，亦不知步数，望见甲，就甲斜行七百八十步，与甲相防。甲云：“我行地虽少于汝，以我东行步为法，除汝南行步，则汝止得二步四分。”问答同前。法曰：斜步自之，为平；实除步自之，又加一步，为隅，得甲东行。草曰：此问所求城径与诸问并同，其勾股则与前后诸率不同。今特为此草者，欲使后学有以考较诸率当否也。立天元一为甲东行【即大勾】以乗二步四分，得□为长，以自之，得□□为股幂，又并入天元幂，得□□为▯幂【寄左】乃以斜行自之，得□为同数，与左相消，得□□□。开平方得三百，即甲东行也。以二步四分乘之，得七百二十步，即丙南行也。倍丙东行，以甲东行乘之，得四十三万二千为实，以三事和一千八百为法除之，得二百四十步，即城径也。合问。或问：「小差黄方靣少于大差黄方靣八十四步，太虚黄方靣少于皇极黄方靣六十六步。」问答同前。法半八十四为中差，以中差减六十六为二小差，半之为小差。又中、小差相并为大差，乃以小差乘大差为平实，半步常法，得虚黄。草曰：别得八十四，为两个虚积中差；其六十六，为虚积大小差并半八十四，得□为虚中差也。以中差减六十六，余二十四；半之得□，即虚小差也。以小差反减六十六，余□，即虚大差也。又别得小差黄方为两叀股，大差黄方为两明勾也。立天元一为虚黄方，置三位上加小差，得□□为虚勾也；中加大差，得下□□为虚股也；下加大小差并，得□□为虚▯也。三位并之，得□□，即城径也。倍虚勾减城径，得□□，为大差黄方靣也；又倍虚股减城径，得□□，为小差黄方靣也。半小差黄方靣得□□，以乘大差黄方得□□□，为一个虚直积【寄左】乃以虚勾虚股相乘得丨□□，为同数，与左相消得□□□，平方开得三十六步，即虚黄方靣也。其余依法求之，合问。据此问，既别得大小差正数，自可以求得黄方靣也。诸如此数，实不湏草，今特为细草者，庶使后学知其来歴。或问：大差▯较，较减皇极▯余四十九步；小差▯较和，减太虚▯余一百三十八步。又皇极差一百一十九步，问答同前。法曰：并前二数为幂，内减极差幂为平实，从空二益隅得虚▯。草曰：别得大差▯较较与小差▯较和皆同为圆径也。又二数相并得□为明▯叀▯共，又为极和内少两个虚▯也。其一百三十八即虚和也，□则旁差也。立天元一为虚▯，加入一百三十八得□□为圆径也。

又加入□得□□为极▯，以自之得丨□□，又倍之得□□□，内却减极差幂□得下式□□□为和幂【寄左】乃倍天元加并数得□□为极和，以自增乘得□□□为同数，与左相消得□□□，开平方得一百二步，即虚▯也。加入一百三十八得二百四十步为圆径，合问【前二数相并加虚▯便是极▯】或问：「小差不及平▯五十六步，髙▯不及大差一百五步，问答同前。」法曰：以前数自之为实，二数相减为法，得平勾。草曰：别得云数相并得□为平勾，不及髙股也。此数得极差，则通差也。此数内减虚差则极差也。云数相减余□，即城径不及极▯也。以前数减于半径余即平勾，以后数加于半径即髙股也。倍前数加小差则为股圆差之勾也，此与前数加平▯同。倍后数减于大差则为勾圆差之股也，此与后数减于髙▯同。立天元一为平勾，加相并数得□□即髙股也。又加天元得□□即极▯也，内减二云数差得□□为城径也。半之得□□，以自之得丨□□为半径幂【寄左】然后以天元乘髙股得丨□为同数，与左相消得□□，上法下实得六十四步，即平勾也。合问。又法：云数相得为实，相减为法，得半径。草曰：立天元为半径副之上，内减五十六，得□□为平勾；下加一百五，得□□为髙股。上下相乘，得丨□□为半径幂【寄左】以天元幂与左相消，得下式□□。上法下实，得一百二十步，即半径也。合问。或问：「通勾通▯共一千步，大差小差共得四百四十步，问答同前。」法曰：以二差共减于一千又半之，以自乘为平实。以二差共减于一千又半之，加入二之前数为纵【前数谓一千也按此语有误，应加入二之后数，后数谓大小差共也】二步二分五厘益隅，得勾圆差。草曰：立天元一为小差数，加入后数得□□，却以减于前数得□□，折半得□□，为一个圆径也。以自之得下式□□□【寄左】然后以天元减后数得□□，为大差，以天元乘之，又倍之得□□，与左相消得□□□，开平方得八十步，即勾圆差也。或问：「皇极三事和，六百八十步太虚▯和较三十六？」问答同前。法曰：二数相得为实，半之后数为益，从五分常法，平开得城径。草曰：别得皇极三事和，即大▯也。立天元一为城径，减三个后数□，而半之，得□□为太虚大小差并也。却加入两个后数□，得下□□为虚和也。又以虚和减天元，得下□□为虚▯也。置通▯【即皇极三事和也】内加天元，得下式□□，即通和也。乃置通和以虚▯乘之，得下式□□□【寄左】再置虚和以通▯乘之，得下□□为同数，与左相消，得□□□。开平方，得二百四十步，即城径也。合问。或问：「出南门行一百三十五步，有树；出北门行一十五步，折而东行二百八步，望见。

」问答同前。法曰：以东行步乘南行步，得数，又自乘为实。以东行步自乘，乘南行步，又倍之为从。东行步自乘于上，并南北二行步以减于东行步，余数自之为幂，以减上，再寄位。又并南北二行步以东行步乘而倍之，内减再寄为第一益亷。四之东行步于上，又并南北二行步减于东行步，又四之减上位为第二益亷。四步虚隅，开三乘方得半径。草曰：立天元一为半径【即髙勾也】置南行步加天元，得□□为髙▯也；置大勾□，以髙▯乘之，得□□，复以髙勾除之，得下式□□为大▯也。令之自乘，得□□□【寄左】又置二之天元加南北行并，得□□为大股，复用大勾二百八减之，得□□为较也；以自乘得□□□为较幂，以减寄左，得□□□□□为二直积【寄左】再置大股□□，以大勾□乘之，得□□为直积，又倍之得□□为同数，与左相消，得□□□□□，翻法开三乘方，得一百二十步，即城径之半也。合问。或问：出北门一十五步，折而东行二百八步，有树；出西门八步，折而南行四百九十五步，见之。问答同前法。曰：先置南行步内减一东二西，并步，余二百七十一，为前泛率；次并一南二北，内减东行步，余三百一十七，为中泛率；次并东西步，以南行步乘之，于上位；又以西行乘南北并，得数减上位，余一十万二千八百四十，为后泛率。乃以后泛率自乘，得一百五亿七千六百六万五千六百，为三乘方实。以前中二泛相减，余四十六，以乘后法数，为从；前中二泛相乘，得八万五千九百七，加入二之后泛数，共得二十九万一千五百八十七，于上位；又并东西行，以乘南北并，得二十二万三百二十，加上位，通得五十一万一千九百七，为第一亷二之前泛数；加入四之东西，并得一千四百五十二，于上位；又以前中二泛相减，于四十六减上位，余一千四百六，为第二亷一步常法得半径【按此法乃取于又法草中，其求第二亷云二之前泛数句误，当云二之四数并；若二之前泛数加入四之东西并，便得第二亷一千四百零六，更不待再减。然原文之意不如是也】草曰：立天元一为半城径，加入东行西行并得□□，为大勾也。又置天元，加入南行北行并得□□，为大股也。置西行八步，以大股乘之，得下式□□，合以大勾除之，不除寄为母，便以此为股尖也。置南行四百九十五步，减天元得□□，用分母大勾乘之，乘讫得下式□□□，内减了股尖，余□□□为小股也【内带大勾分母】置小股，合以大勾乘了，复以大股除之，为小勾。今为小股内已有大勾为母，更不湏乘，只以小股□□□，便为小勾也【内带大股为母】小勾小股相乘得数，为一个小勾股相乘直积，内带大勾股相乘直积为分母也。

乃以半城径【即天元也】除之，为一个▯较和也丨□□□□。此法本取勾外容圆，合以▯较和除二积，为勾外所容之圆。今用天元半径除一个积，则却得一个▯较和也，内依旧带大积分母也【寄左】然后再置小股□□□，合用大积乘之，縁内已带大勾分母，今只用大股□□乘之，得□□□□为大积所乘小股于上。再置小勾，合用大积乘之，縁内已带大股分母，合只用大勾□□乘之，得□□□□为大积所乘之小勾也。以此小勾减上小股，得□□□即带分小较也。又二因小较得下式□□□为带分二较也。又以大勾股直积丨□□乘二之天元半径，得□□□为一个带分▯较较也【▯较较乘▯较和为二直积，既以圆径除二百积为▯较和，则是圆径为▯较较也。今又为半天元圆径除一积为▯较和，故倍天元半径作一个▯较较也】遂将此▯较较加入前二较得□□□□，亦为一个▯较和也，与寄左相消得下式丨□□□□，开三乘方得一百二十步，即城半径也。合问又法，此问系是《洞渊测圆门》第一十三。前答亦依《洞渊细草》，用勾外容圆术以入于▯较和。然其数烦碎，宛转费力。今别草一法，其亷从与前不殊，而中间段络迳捷明白。方之前术极为省易，学者当自知也。立天元一为半径，副之上并加东西行，得□□为通勾率；下并加南北行，得□□为通股率。乃置西行八步，以通股乘之，得下□□，合通勾除不除，寄为母，便以此为南小股也。又置南行四百九十五步，内减天元，得□□，用通勾乘之，得□□□，内减了南小股，下式卜□□为股圆差也。内带通勾分母。又置北行一十五步，以通勾乘之，得□□，合通股除不除，寄为母，便以此为北小勾也。又置东行二百八步，内减天元，得□□，用通股乘之，得□□□，内减了北小勾，余□□□为勾圆差也【内带通股分母】乃以二差相乘，得下式丨□【□□】□【□□】为半段圆径幂也。内带通积为母【寄左】然后以通勾通股相乘，得丨□□，以天元幂乘之，得丨□□□，又倍之得下式□□□□为同数，与左相消，得亷从一与前同，合问。按，洞渊疑为古之精于算者。序中谓“老大以来得洞渊九容之说”，而于此问又明其为洞渊测圆门第十三题。前答亦依其细草，大抵是书之作，皆师其意而演之者也。今洞渊之为人与书虽不可考，而即此一草观之，其取径遥深而惟变所适，亦可见文豹之一班矣。至谓其数烦碎宛转费力，特为初学难易而言，读者宜善防也。

测圆海镜卷十一

钦定四库全书