测圆海镜卷二
测圆海镜卷二
元 李冶 撰正率一十四问假令有圆城一所，不知周径，四面开门，门外纵横各有十字大道。其西北十字道头，定为干地；其东北十字道头，定为艮地；其东南十字道头，定为防地；其西南十字道头，定为坤地。所有测望杂法，一一设问如后。或问：「甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步，望见乙，问径几里？」
答曰城径二百四十步法曰：此为勾股容圆也。以勾股相乗，倍之为实，并勾股幂以求▯，复加入勾股共以为法。草曰：置甲南行六百步，在地；以乙东行三百二十步，乘之，得一十九万二千步，倍之，得三十八万四千步，为实。以乙东行步自之，得一十万零二千四百步，为勾幂。以甲南行步自之，得三十六万步，为股幂。二幂相并，得四十六万二千四百步，为▯方实。以平方开之，得六百八十步，则▯也。以▯加勾股共，共得一千六百步，以为法。如法而一，得二百四十步，则城径也。合问。或问：甲乙二人俱在西门，乙东行二百五十六步，甲南行四百八十步，望见乙。问答同前。法曰：此为勾上容圆也。以勾股相乘，倍之为实，并勾股幂以求▯，加入股以为法。草曰：置甲南行四百八十步，在地；以乙东行二百五十六步乘之，得一十二万二千八百八十步，倍之得二十四万五千七百六十步，为实。以乙东行步自之，得六万五千五百三十六步，为勾幂；以甲南行步自之，得二十三万零四百步，为股幂。勾股幂相并，得二十九万五千九百三十六步，为▯方实。以平方开之，得五百四十四步，为▯也。以加入南行步，共得一千零二十四步，以为法而一，得二百四十步，则城径合问。或问：「甲乙二人俱在北门，乙东行二百步而止，甲南行三百七十五步，望见乙。」问答同前。法曰：此为股上容圆也。以勾股相乘，倍之为实；以勾股幂求▯，加入勾以为法。草曰：置甲南行三百七十五步，以乙东行二百步乘之，得七万五千步，倍之得一十五万步，为实。以乙东行自之，得四万步，为勾幂。以甲南行自之，得一十四万零六百二十五步，为股幂。勾股幂相并，得一十八万零六百二十五步，为▯方实。如平方而一，得四百二十五步，则▯也。加入乙东行二百步，共得六百二十五步，以为法。以法除之，得二百四十步，则城径也。合问。或问：甲乙二人俱在圆城中心而立，乙穿城向东行一百三十六步而止，甲穿城南行二百五十五步，望见乙。问答同前。法曰：此为勾股上容圆也。以勾股相乘，倍之为实，并勾股幂，如法求▯以为法。草曰：以二行步相乘，得三万四千六百八十步，倍之，得六万九千三百六十步，为实。置乙东行自之，得一万八千四百九十六步，为勾幂。又以甲南行自之，得六万五千零二十五步，为股幂。二幂相并，得八万三千五百二十一步，为▯方实。以平方开之，得二百八十九步，即▯也。便以为法，如法除实，得二百四十步，即圆城之径也。合问。或问：「甲乙二人同立于干地，乙东行一百八十步遇塔而止，甲南行三百六十步，回望其塔，正居城径之半。
」问答同前。法曰：此为▯上容圆也。以勾股相乘，倍之为实；以勾股和为法。草曰：以二行步相乘，得六万四千八百步，倍之，得一十二万九千六百步，为实；并二行步，得五百四十步，以为法，除实，得二百四十步，即城径也。合问。或问：甲乙二人俱在坤地，乙东行一百九十二步而止，甲南行三百六十步，望乙与城防相直，问答同前法。曰：此为勾外容圆也。以勾股相乘，倍之为实，以▯较和为法。草曰：以二行步相乘，得六万九千一百二十步，倍之，得一十三万八千二百四十步，为实。置乙东行自之，得三万六千八百六十四步，为勾幂。又置甲南行自之，得一十二万九千六百步，为股幂。二幂相并，得一十六万六千四百六十四步，为▯方实。以平方开之，得四百零八，即▯也。又置甲南行步内减乙东行步，余一百六十八步，即较也。以较加▯，共得五百七十六步，以为法。实如法而一，得二百四十步，为城径也。合问。按此题用勾股求得▯，即可加减得▯较，较为城径。今必以勾股相乘，倍积为实，求得▯加减得▯较和为法，而后始得▯较较为城径者，盖欲因此并明勾股相乘之倍积为▯较较，▯较和相乘之积，非故为纡廻也。或问：甲乙二人同立于艮地，甲南行一百五十步而止，乙东行八十步，望乙与城防相直，问答同前。法曰：此为股外容圆也。以勾股相乘，倍之为实；以▯较较，为法。草曰：二行步相乘得一万二千，倍之得二万四千步为实。以甲南行自之，得二万二千五百步为股幂。又以乙东行步自之，得六千四百步为勾幂。勾股幂相并得二万八千九百步为▯方实，以平方开之，得一百七十步，即▯也。以二行步相减，余七十步为勾股较也。以此较又减▯，余一百步，即▯较较也，便以为法。实如法而一，得二百四十步，即城径也。合问。按此题系▯较和为城径，其用法实以较取和之意，与上题同。或问：甲乙二人同立于防地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城防相直，问答同前。法曰：此为▯外容圆也。勾股相乘，倍之为实；以▯和较为法。草曰：以二行步相乘，得四千三百二十步，倍之，得八千六百四十步，为实。以甲北行自之，得八千一百步，为股幂。又以乙西行自之，得二千三百零四步，为勾幂。并二幂，得一万零四百零四步，为▯方实。以平方开之，得一百零二步，为▯也。又并二行步，得一百三十八步，为和。以▯减和，余三十六步，得黄方，以为法。实如法而一，得二百四十步，即城径也。合问。按此题，▯和和即城径，其以勾股相乘，倍积为实，黄方为法者，亦以明▯和和黄方相乘之积与勾股相乘之倍积为相等也。
或问：甲乙二人俱在南门，乙东行七十二步而止，甲南行一百三十五步，望乙与城防相直，问答同前法。曰：此为勾外容圆半也。以勾股相乘，倍之为实，以大差为法。草曰：以二行步相乘，得九千七百二十步，倍之，得一万九千四百四十步，为实。又以乙东行自之，得五千一百八十四步，为勾幂。又以南行自之，得一万八千二百二十五步，为股幂。二幂相并，得二万三千四百零九步，为▯方实。以平方开之，得一百五十三步，即▯也。以乙东行七十二步为勾，以减▯，余八十一步，即勾▯差也。便以为法，实如法而一，得二百四十步，即城径也。合问。或问：甲乙二人俱在东门。甲南行三十步而止，乙东行一十六步，回望甲与城防相直，问答同前。法曰：此为股外容圆半也。以勾股相乘，倍之为实，以小差为法。草曰：以二行步相乘，得四百八十步，倍之，得九百六十步，为实。又以乙东行自之，得二百五十六步，为勾幂。又以甲南行自之，得九百步，为股幂。二幂相并，得一千一百五十六步，为▯方实。以平方开之，得三十四步，即▯也。以甲南行三十步为股，以减▯余四步以为法。以法除实，得二百四十步，即城径也。合问。或问：「甲出西门，南行四百八十步而止；乙出东门，南行三十步，望见甲。」问答同前。法曰：此为半矮梯也。以二行步相乘为实，如平方而一，得半径。草曰：以二行步相乘，得一万四千四百步，为实；以平方开之，得一百二十步，倍之，即城径也。合问。又问：甲乙二人，乙出南门，折而东行七十二步而止；甲出北门，折而东行二百，望见乙。问答同前。法曰：以二行步相乘，得数四之为实，如平方而一，得城径。草曰：二行步相乘，得一万四千四百步，又四之，得五万七千六百步，为实；以平方开之，得二百四十步，即城径也。合问。又假令乙出南门折东行二十步，甲出北门折东行七百二十步，如此之类亦同上法【以上三问是以半矮梯求之】按右三题通为一问。或问：甲乙二人，乙在艮地，东行八十步而立；甲在坤地，南行三百六十步，望见乙。问答同前。法曰：此为两差求黄方也。以二行步相乘，倍之为实，以平方开，得城径。草曰：二行步相乘，得二万八千八百步，倍之，得五万七千六百步，为实，以平方开之，得二百四十步，即城径也，合问。别得：甲南行，即股圆差也；乙东行，即勾圆差也。或问：「甲出东门四十八步而立，乙出南门四十八步，见之，问答同前。」法曰：此当以方五斜七求之。每出门二步，管径十步。草曰：置出门步在地，以五之，得二百四十步，即城径也。据此法，合置出门步在地，以十之二而一，以二数相折，故五因便是合问。
按方五斜七，古率非密率也。设问以尽此题之变，故率之踈密勿论。或问：“出西门，南行四百八十步，有树。”出北门，东行二百步，见之。问答同前。法曰：以二行步相乗为实，二行步相并为从，二步常法，得半径。草曰：立天元一为半径，置南行步在地内，减天元半径，得□□为股圆差【按：斜画者少之记也，□□是为四百八十步少一元也，下仿此】又置乙东行步在地内，减天元，得下式□□为勾圆差。以勾圆差乘股圆差，得丨□□【按：丨□□为一平方少六百八十元多九万六千步】为半段黄方幂，即城幂之半也【寄左】又置天元幂，以倍之，得□□，亦为半段黄方幂，与左相消，得丨□□如带纵法之得半径，合问【按：相消者，取上两相等之数，同加减相等之数，使一为步数，一为方元数，仍相等也。如寄数内减一平方加六百八十元，则得九万六千步；又数内亦减一平方加六百八十元，则得一平方六百八十元，是为一平方六百八十元与九万六千步等，故其式为丨□□。旧稿方元数皆作斜画以别之，然遇方元数有多少异号者，殊混人目，今不用】又法识别得二行并即大▯也。立天元一为半径。置甲南行步加天元一得□□为大股。又置乙东行步加天元得□□为大勾也。勾股相乘得丨□□为一个大直积。以天元除之得下式□□□为三事和【寄左黄方除倍积得三事和今以半黄方除直积亦为三事和也】然后并二行步又并入勾股共得□□为同数。与左相消得□□□。以带纵平方开之得一百二十步。倍之得全径也。合问。按是书皆先法后草。草者以立天元一推衍而得其方元积数者也。法者又取推衍中之支节条目融防而归于简约者也。草者法之本。法者草之用。法使人易于推步而草则存其义以俟知者。二者相须不可偏废。顾应祥仅演其开方乘除之数而去其细草。盖亦不得其理矣。按元时未有笔算，故加减乘除之式不能详载，观者遂以为无下手处。今借根方法既明，视此则涣如氷释矣。
测圆海镜卷二
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