测圆海镜卷五

测圆海镜卷五

元　李冶　撰

大股一十八问或问：乙出南门，直行一百三十五步而立。甲从干隅南行六百步，望乙与城叅相直，问答同前。法曰：倍二行差内减甲南行步，复以乗甲南行步为实【倍二行差减甲南行步，即是甲南行步内减二之乙南行也】四之甲南行步内减二之乙南行为从方，四为益隅，开平方得半径。草曰：立天元一为半径，以二之加乙南行步得□□为中股，以中股又减于甲南行步得□□为股率，其天元半径即勾率也。置甲南行为大股，以勾率乗之得□合，以股率除之不受除，便以此为大勾【内▯股率分母】再置天元，以二之以股率乘之得□□，减于大勾，余□□为勾圆差于上【内有股率分母】又以二之天元减甲南行得□□为大差，以乘上位得□□□为半段黄方幂【内寄股率分母】然后以天元自之，又以股率乘之，又倍之得□□□为同数，与左相消得下式□□□。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问或问：「乙出南门，东行七十二步而止。甲从干隅南行六百步，望乙与城叅相直，问答同前。」法曰：云数相乘为平实，甲南行为从，二益隅得半径。草曰：别得虚勾乗通股得半段圆径幂，此与虚股乗通勾同。立天元一为半径，内减乙东行得□□为虚勾，以乘甲南行得□□为半段径幂【寄左】再以天元为幂，又倍之得□□为同数，与左相消得□□□。开平方得一百二十步，即城径也。合问。或问：「乙出东门，直行一十六步，甲从干隅南行六百步，望见乙。」问答同前。法曰：以乙东行乘甲南行，幂为实；二之乙东行乘甲行为从，方亷空二步，隅法得半径。草曰：立天元一，以为半城径，以二之，加于乙，东行得□□为勾率。又以天元减甲，南行得□□为股率。乃置乙东行，以股率乗之，得□□合，以勾率除不除，便以此为小股，此小股即半梯之头也【内带勾率分母】又以股率乗之【此股率即半梯之底也】得□□□为半径幂【内带勾率分母】寄左。然后置天元幂，以勾率通之，得□□□为同数，与左相消，得□○□□，开立方得一百二十步，倍之即城径也，合问。或问：「乙出东门，南行三十步而立。甲从干隅南行六百步，望见乙。」问答同前。法曰：二行步相乗为寳，以南行为从，一步常法，得半径。草曰：立天元一为半径，以减于甲，南行得□□为半梯底；以乙南行三十步为半梯头，以乗之得□□为半径幂【寄左】乃以天元幂与左相消，得丨□□。开平方得一百二十步，即半城径也。合问。或问：「乙从艮隅南行一百五十步而立，甲从干隅南行六百步，望见乙。」问答同前。法曰：二行步相乗为实，并二行步为法，得半径。草曰：立天元一为半径，副置之上，以减于乙南行，得□□为半梯头；下以减于甲南行，得□□为半梯底。

上下相乗，得丨□□为半径幂【寄左】乃以天元幂与左相消，得下式□□。上法下实，如法而一，得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：「乙从艮隅东行八十步而立，甲从干隅南行六百步，望见乙。」问答同前。法曰：二行步相乘，又倍之为实。二之乙东行为从，一步常法得全径。草曰：别得乙东行八十步，即小差也。立天元一为城径，减于甲南行步，得□□为大差。以乙东行步乘之，得□□，又倍之，得□□为城径幂【寄左】然后以天元幂与左相消，得丨□□。开平方得二百四十步，即城径也。合问。或问：“南门东不知逺近有树，甲从干隅南行六百步，望树与城防相直，复就树斜行四百八步至树。”问答同前。法曰：南行步幂内减两段，两行相乘数为实，二之南行步为从，一步益隅得城径。草曰：别得南行步内减城径，即小股也。其斜行步即小▯也。又二行相减，即大差为股之勾也。立天元一为圆径，以减南行步，得□□为股圆差也【合为小股】置南行步，以斜行步乘之，得□合，以小股除之，不受除，便以此为大▯【内带小股分母】再置南行步，以小股乗之，得□□为大股【亦带小股分母】以大股减大▯，得□□为小差也。合以大差乘之，縁于内带大差分母，更不湏乘，便以为半段黄方幂【更无分母】又二之，得□□为一段黄方幂【寄左】然后以天元幂为同数，与左相消，得□□□开平方，得二百四十步，即城径也。合问。依前问，假令乙出南门，东行不知步数而立。甲从干南行六百步，望乙与城相直，复就乙斜行四百八步【按此即前问，以明又法】法曰：二行差幂乗甲，南行为实，二之二行差以乗南行步为益方，二之二行差为隅，得半径。草曰：识别得二行相减，即半城径与乙东行共也，得此数更不须用斜立天元为半径，减于二行差一百九十二，得□□，即半梯头也。又以二天元减甲南行步，得□□，为股率。又以一百九十二为勾率，乃置甲南行，以勾率乘之，得□合股率除不除，便以此为大勾【内寄股率分母】再置天元，以股率乘之，得□□，以减于大勾，得□□□，为半梯底也。头底相乘得下□□□□，为半城径幂【内寄股率分母】寄左。然后以股率乘天元幂，得□□□，为同数，与左相消，得□□□，开平方得一百二十步，倍之即城径也，合问。或问：“东门南不知逺近，有树。甲从干隅南行六百步，见树。复向树斜行五百一十步，至树。”问答同前。法曰：二行差步乘甲，南行步为实；二行之差步并甲，南行步为从；二益隅【若欲从简，上下俱折半】草曰：别得二行相减数，即虚积之股也。立天元一为半径，内减二行之差步，得□□为梯头于上。

又以天元减于甲之南行步，得□□为梯底。上下相乗，得□□□为圆径幂【寄左】然后以天元幂与左相消，得□□□。开平方得一百二十步，即城径也。合问。或问：乙出东门，直行，不知步数，而立。甲从干隅南行六百步，望见乙，复就乙斜行五百四十四步，与乙相防。问答同前。法曰：以二行步相减，乘甲，南行步得数，又半之。南行步以乘之为实，以二行差乘南行步于上，又以半之南行步乘南行步，加于上为从。方二之南行步为益亷，一步常法，得半径。草曰：别得二行相减，即半径上勾股较【此股即半径也】又别得是大勾圆差不及平▯数。立天元一，以为半城径，以减南行步，得□□为中股。其斜行步即中▯也。乃立半城径，以斜步乘之，得□合，以中股除。今不受除，便以此为平▯【内带中股分母】又以二行步相减，余五十六步为勾圆差不及平▯数。置此数，以中股乗之，得□□。复以减平▯，余得□□为小差【内带中股分母】乃以二天元减甲南行步，得□□为大差。又半之得□□，以乘小差，得□□□为半径幂【寄左】然后以天元自乗，又以中股通之，得□□□为同数，与左相消，得丨□□□。开立方得一百二十歩，倍之即城径也。合问【翻法在记】或问：甲乙二人俱在干隅，乙东行，不知步数而立；甲南行六百步，望见乙，复就乙斜行六百八十步，与乙相会。问答同前。法曰：以二行差乘二行并，开平方，得数内复减二行差，得全径。草曰：别得二行相减，即勾圆差也。先求大勾，立天元一为大勾。以二行相减，余八十步，以乘二行相并数一千二百八十步，得□为勾幂。开平方得三百二十步，即大勾也。大勾内减去勾圆差，余二百四十步，即城径也。合问。或问：“南门外不知逺近有树，甲从干隅南行六百步，望树与城防相直，复就树斜行二百五十五步至树，问答同前。”法曰：倍二行相减数，内减甲南行得数，复以乘甲南行为实，倍二行相减数为从，二步益隅，得半径。草曰：识别得斜行步，乃是树至城心之数也。立天元一为半径，加斜行步得□□，为树至城北门之步也。乃以减于甲南行得□□，为小股率。其天元半径即小勾率，其斜步即小▯数也。再置甲南行步内减天元得□□，为梯底于上。又置梯底内减二之小股率得□□，即梯头也。复以乘上位得□□□，为半径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得下式□□□，开平方得一百二十歩，倍之即城径也。合问。或问：“东门外不知步数，有槐树一株。甲从干隅南行至柳树下，望见槐树，复斜行至槐树下。甲自云：‘我共行了一千一百四十四步。’乙从艮隅东行，望见槐树与城相直，复斜行至槐树下。

乙自云：‘我东行少不及斜行五十六步。’问答同前。”法曰：甲斜行减于甲南行，以乘甲南行，得数，复以乘二之甲南行为实，半之甲南行，以乘二之甲南行于上，甲斜行减于甲南行，余复以乘甲南行，又倍之，加上位为从方，二之甲南行为益亷，五分隅法【按：五分隅法即半个立方】草曰：识别得五十六步，是小差，不及平▯数【此小差即勾圆差也】又为平▯上勾股差，又为甲斜行不及大股。乃副置甲共行在地，其上位加五十六步而半之，得六百步，即大股也。其下位减五十六步而半之，得五百四十四步，即今▯也。立天元一为圆径，以半之减于甲南行步，得□□为中股。其斜行五百四十四步，即中▯也。乃立半天元，以斜步乘之，得□合，以中股除之。今不受除，便以此为平▯【内寄中股分母】又置勾圆差不及平▯数，以中股乘之，得□□，复以减于平▯□□为小差【内带小股分母】又以天元减甲南行倍之，得□□为两个大差，以乘小差，得□□□为圆径幂【寄左】然后以中股乘天元幂，得下式□□□为同数，与左相消，得□□□□开立方，得二百四十步，即城径也。合问【翻法在记】或问：「出东门，向南行，不知步数，有柳树一株。甲从干隅南行六百步，望见柳树而止。乙出东门直行，不知步数，望柳树与甲相直，却斜行三十四步至柳树下。」问答同前。法曰：乙斜行乘甲南行，数以乗甲南行幂为实，斜行乗甲南行幂，又三之为从，方甲行幂内减两段斜行南行相乘数【按：甲南行内减二之乙斜行，以甲南行乘之】为第一亷，二之南行步为第二益亷，二步常法得半径。草曰：立天元一为半径，以二之，减甲南行，得□□为大差，以自之，得□□□为大差幂，加于南行幂，得□□□，又半之，得□□□为大▯也。内带大差□□分母，别寄。又置乙斜行，以大股六百步乘之，得□，合大▯除不除，便以此为小股也【内带大▯分母】乃以天元减甲南行，得□□，即半梯底也。以乗小股，半梯头，得□□为半径幂于上。此半径幂内有大▯分母，縁别寄大▯分母，元带大差分母，故又用大差分母□□乘上半径幂，得□□□为带分半径幂也。所带之分谓只带大▯分母也【寄左】然后以大▯乘天元幂，得□□□□为同数，与左相消，得□□□□□。开三乘方得一百二十步，即半城径也。合问。按此条寄分，内又带寄分，则以所带之分乘本条，仍以寄分乘次条者，盖寄分为应除本条之数，而寄分内所带之分，又为应除寄分之数，今不除寄分而乘本条，则犹是寄分乘次条之理也。乗除之变，至斯而极矣。又法，置甲南行幂于上，又置甲行幂半之，以乗上位为实，以斜行乗甲行幂倍之于上位，又以甲行再自乗加上位为益方，置甲行幂于上，以斜行乗甲南行倍之，以减上位为第一亷，甲南行步为第二亷，半步常法得股圆差。

草曰：立天元一为股圆差【即大差】以自之为幂，以加甲南行幂，得丨□□，半之，又以天元除之，得□□□为大▯。其甲南行即大股也。别置乙斜行三十四步，以大股乗之，得□，合大▯除不除，便以为小股【内寄大▯分母】乃以天元加甲南行步，得□□为全梯底也，以乗小股半梯头，得□□，又倍之，得□□为城径幂【内寄大▯为母】寄左置天元大差减甲南行余□□为圆径，以自之得丨□□，又以大▯分母乗之得□□□□□为同数，与左相消得□□□□□。开三乘方得三百六十步，即股圆差也。以股圆差减甲南行余二百四十步，即城径也。合问。或问：甲从干隅南行六百步而止，丙出南门直行，乙出南门东行，各不知步数而立。甲望乙、丙，悉与城防相直。既而乙就丙斜行一百五十三步相防，问答同前法。曰：以甲南行步再自之于上，以斜行步乘甲南行幂，又倍之，减上位为立方实。南行步自之，又四之于上，以斜步乗甲南行，又倍之，减上位为益。从六之甲行步为从亷，四步虚常。法得半径。草曰：立天元一为半径，以二之，减于甲，南行得□□，为大差也。以自之，得□□□，为大差幂也。乃置甲南行幂，内加大差幂，而半之，得□□□，为大▯也【内寄大差分母】又置甲南行幂，内减大差幂，而半之，得□□，为大勾也【亦带大差分母】乃置斜行步在地，以大勾乗之，得□□，合以大▯除，不除，便以此为小勾，内带大▯为母【其大勾内元有大差分母不用】即半梯头也【寄上位】再寄天元半径，以大差乘之，得□□，以减于大勾，得□，为半梯底也。以乘上位，得□□□，为半径幂也【内带大差及大▯为母】寄左，然后置天元幂，以大差通之，又以大▯通之，得□□□□□，为同数，与左相消，得□□□□，开立方得一百二十步，即半城径也。合问。依前问，假令南门外有树，乙出南门，东行不知步数而立【只云乙东行步少于树去城步】甲从干隅向南行六百步，望树与乙悉与城防相直，乙就树斜行一百五十三步至，问答同前。法曰：以斜行步乗甲行幂，为立方实。以甲行幂半之于上，以斜行步乘甲行步，减上位为益从亷。空五分隅，得大勾大▯差。草曰：别得斜步，即小▯。小▯得小和，即勾▯差也。立天元一为股圆差，以自之为幂，副之上以加甲南行幂而半之，得□□□为大▯也【寄大差分母】下以减于甲南行幂而半之，得下式□□□为大勾也【寄大差分母】乃置斜步以大勾乗之，得下□□□，合以大▯除，不除，便以此为小勾【寄大▯分母】又置斜步以甲南行乗之，得□，合以大▯除为小股，不除，而又以同母分通之，得□○为同分小股也【内只寄大▯分母】注【大股乘时无大差分母，故今通之以齐大勾上所有大差分母也】又置斜步以大▯通之，得□□□为通分小▯也。

三位相并，得□□为股圆差【寄左】然后置天元大差以大▯分母通之，得□○□为同数，与左相消，得□○□□，开立方得三百六十步，即股圆差也。以股圆差减于甲南行步，即城径也。合问。或问：“东门外不知步数，有树。甲从干南行六百步而止。乙出北门，东行，斜望树及甲与城防相直。却就树斜行一百三十六步，问答同前。”法曰：二行步相乘于上，又半甲南行乘之为实。二行相乗于上，又半甲南行以乘甲南行，加上位为益，从甲南行为从亷，一步益隅。开立方得半径。草曰：立天元一为半径，便以为小股。其斜行步即小▯也。乃以甲南行为大股，以小▯乘之，复以天元除之，得□□即大▯也。又倍天元减甲南行，余□□为大差，以减大▯，余□□□为大勾也。又倍天元以减勾，得□□□为小差也。却以半大差□□乘之，得□□□为半径幂【寄左】乃以天元幂相消，得下式丨□□□开立方得一百二十步，即半径，合问。或问：「南门外不知步数，有槐树一株；东门外不知步数，有柳树一株。槐、柳二树相去二百八十九步。有人从干南行六百步而止，斜望槐、柳与城防相直。」问答同前。法曰：云数相乘，得又自增乗，为三乗方实，斜步幂乘南行步，又云之为益，从二云数相乘，又倍之【按此下脱内减斜步幂五字】为益亷，二之斜步为第二从亷，二法常法得槐至城心步。草曰：别得槐树至城心步，即人所止至槐树步也，乃立天元一为槐树至城心步【即人至槐处】加于斜步，得□□为边▯也，以天元乗之，得丨□合斜步除不除，便以此为边股【寄斜步分母】又以斜步乗南行步，得□为大股，以边股减之余□□□为半城径【寄斜步分母】以自之得丨□□□□为半径幂【内带斜步为母】寄左。又以天元减斜歩，得□□为□▯，以天元乘之，得□□○合斜步除不除，寄为母，便以此为半梯头，以边股半梯底乗之，得□○□□为同数，与左相消，得□□□□□开三乘方得二百五十五步，即槐树至城心之步也，亦为皇极正股。又自之得数，以减斜幂，余如平方而一，得城心至柳树步，又为皇极正勾也。勾股相乘，倍之为实，如斜步而一，即城径也，合问。或问：「甲从干南行六百步而立，乙出南门直行，丙出东门直行。三人相望，俱与城相直。而乙丙共行了一百五十一步。」问答同前。法曰：甲南行为幂，折半，又以自之为实，倍共步加甲南行，以乘半段，甲行幂为从方，甲行乘共数为从亷，一个半甲南行为第二益亷，二分五厘为三乘方隅。草曰：识别得共步加城径，即皇极和也。又是半径为勾之▯与半径为股之▯相和步也。二之此数内减去大▯，即皇极勾股内黄方面也，亦为太虚▯。

乃立天元一为大差，以自之，副置二位，上位减于甲行幂，以天元除之，又折半得□□□为大勾也。下位加甲南行，以天元除之，又折半得□□□为大▯也。其甲南行即大股也，并勾大股得下式□□□即大和也。再以天元减甲南行得□□即圆径也，加共步得□□即皇极和，又是半径为勾之▯及半径为股之▯共数也。又倍之得□□即全径为勾之▯及全径为股之▯共数也，内减大▯得□□□即小和内黄方面也。乃置大和□□□以小黄方面乘之得□□□□□，合以小和除之，不除，便以此为大黄方也【内寄小和为母】寄左，然后以天元减甲南行得□□为大黄方，以小和乗之得丨□□为同数，与左相消得□□□□□，开三乗方得三百六十步，即股圆差也。以股圆差减于甲南行，余二百四十步，即城径也。合问。或问：丙出南门，东行；乙出东门，南行。各不知步数而立。甲从干隅南行六百步，斜望乙、丙，悉与城叅相直。乙就丙斜行一百二步，相防，问答同前。法曰：以斜步乘甲，南行幂，又倍之为实。倍甲行幂于上，又以斜步乘二之甲南行，加于上为从。方四之甲南行为益亷，四步常法，开立方得半径。草曰：别得斜步为小▯也，以斜步减圆径余为小和也。乃立天元为半径，以二之减于甲南行，得□□为大差也。以自之，得□□□为大差幂也。置甲南行幂□内，加大差幂而半之，得□□□为大▯也【内带大差为分母】又置甲南行幂内，减大差幂而半之，得□□○为大勾也【带大差分母】又以大差乘股六百步，得□□并入大勾，得□□□为大和也【带大差分母】乃先以小▯乘大和，得下式□□□寄左。又以倍天元减斜步，得□□为小和，以乘大▯，得□□□□为同数，与左相消，得□□□□开立方，得一百二十步，即半径也。合问。依前问，假令乙出东门，南行；丙出南门，东行，各不知步数而立【只云丙行步多于乙行步】甲从干隅南行六百步，望乙丙与城叅相直。乙复斜行就丙，行了一百二步，与丙相防。问答同前。法曰：以斜步乘甲行幂，又倍之为立方实。甲行幂内加斜行、南行相乗数为从方。甲南行为益亷，半步为隅，得全径。草曰：别得相就步，即小▯也。小▯得小和，为直径也。立天元一为城径，以减于甲南行步，得□□为大差，以自之，得丨□□为太差幂也。置甲南行步，以自之为幂，副之上，以加大差幂，而半之，得□□□为大▯也【内寄大差分母】下以减大差幂，而半之，得□□○为大勾也【内寄大差分母】乃置相就步在地，以大勾乗之，得□□合大▯除不除，寄为母，便以此为小勾也。寄大▯母，又置斜步【即相就步也】以甲南行乘之，得□合，以大▯除之不除，寄为母，便以此为小股。

而又以元分母大差乗之，得□□为同分小股也。只寄大▯为母【其大勾内元有大差分母，其大股内却无分母，故今乘过复以大差通之齐分母也】又置斜行步，以大▯通之，得□□□为小▯也。上三位相并，得□□为城径也【内寄大▯分母】寄左，然后置天元，以大▯通之，得□□□为同数，与左相消，得□□□□开立方，得二百四十步，即城径也。合问。

测圆海镜卷五

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