测圆海镜卷七

测圆海镜卷七

元　李冶　撰明□前一十八问或问：「出南门，东行七十二步，有树。」出东门，南行三十步，见之。问答同前。法曰：倍南行，以乘倍东行，为平实。并二行，又倍之，为从一虚隅，得城径。草曰：「识别得此问，名为▯外容圆，又为内率，求虚积。其二行步相并为虚▯若以相减，即虚较也。又倍东行为▯较和，倍南行即▯较较。此二数相乘，则两虚积也。若直以二行相乘，则半个虚积也。又倍东行减于城径，余即二虚勾也。倍南行减于城径，则二虚股也。虚积上三事和即城径也。乃立天元一为圆径，便以为三事和也。倍二行步减之，得□□为黄方一。天元乘之，得□□为二虚积【寄左】然后倍东行以乗倍南行，得八千六百四十为同数，与左相消，得丨□□益积。开平方得二百四十步，即城径也。合问。」又法：二行步相乘为实，二行步相并为从，一步虚法，得半径。草曰：立天元一为半径，副置二位，上加东行步，得□□为大差勾，下加□股，得□□为小差股。此二数相乘，得下式丨□□为半段黄方幂【寄左】然后立天元，以自之，又二之，与左相消，得丨□□益积，开平方，得一百二十步，即半城径也。又法二云数相乘倍之，于上加云数差幂，权寄并二云数，又自增乗得数内减上位为平实，并云数而倍之为从，二步益隅得半径。草曰：立天元一为半径，副之上减明勾，得下□□为虚勾；下减□股，得□□为虚股。勾股相乘，得丨□□，又倍之，得□□□，又加二行差幂□，得□□□为▯幂【寄左】然后并云步以自之，得□为同数，与左相消，得□□□。益积，开平方，得一百二十步，即半城径也。又法：云数相乘，又倍之为平实。云数相减为从，一常法得虚勾。草曰：立天元一为虚勾，以南行减东行，余四十二步为虚较也。以虚较加天元，得丨□为虚股。以天元乘之，得下丨□为直积【寄左】然后倍南行乘东行，得□，与左相消，得丨□□。开平方得四十八步，即虚勾也。以勾除积，得九十步，即虚股也。并勾股得□，为虚和也。内加入二行，并□得□，即圆径也。又法，并两行步，以自乘于上，又倍南行，乘倍东行，加上位为平实，一隅法得小和。草曰：立天元一为小和，并二行步加之，得□□为三事和也。倍二行步而并之，得□以减三事和，余□□为黄方。却以三事和乘之，得下丨□□为二虚积也【寄左】乃倍南行以乘倍东行，得□为同数，与左相消，得丨□□。开平方得一百三十八步，即虚和也。加入二行步，得二百四十步，即城径也。合问。或问：丙出南门，直行一百三十五步而立；甲出东门，直行一十六步见之。

问答同前。法曰：以丙行步一百三十五步，再自之，得二百四十六万零三百七十五，于上。又以甲行步一十六乘丙行幂一万八千二百二十五，得二十九万一千六百，以乘上位，得七千一百七十四亿四千五百三十五万，为三乘方实。以二行步相乘，又倍之，得四千三百二十，以乘丙行步再自之数，得一百六亿二千八百八十二万，为益从第一亷空。以甲行乘丙行幂，得二十九万一千六百，又倍之，得五十八万三千二百，于上。四之甲行幂一千零二十四，以乘丙行步，得一十三万八千二百四十，减上位，余四十四万四千九百六十，为第二亷。二行步相乘，得二千一百六十，为虚常法。得丙行步上勾▯差八十一。按法中载数自此始，亦择其数繁者详之，使人易晓也。草曰：识得二数相并，以减于皇极▯，余即虚勾虚股并也。若以二数相减，余为髙▯内减平▯，又为皇极▯内少个小差▯，又为大差▯内减个皇极▯也。立天元一为丙行，大差数置丙行步一百三十五，自乘得□，用天元除之得□□为勾▯并也。上减天元得□□□为二丙勾也。复用丙南行乘之得□□□为二积也。又以天元除之得□□○□为丙勾外容圆径【泛寄】别置丙南行，用二甲勾乘之得□，合用二丙勾除之不受除，便以此为甲股【内寄二丙勾为分母】复用二甲勾三十二乘之得□为二个甲直积也。又置丙南行内减天元得□□为黄方，以自乘得丨□□为丙上勾▯差乘股▯差二段，以天元除之得□□□为两个丙小差也。乃用甲股乗之得下式□□□，复用丙南行除之得□□□，又折半得□□□为一个甲步股▯差也。内亦带前二丙勾分母。复置二个甲直积内已寄此甲股▯差分母，便为甲步股外容圆径【寄左】乃再置先求到泛寄【按即前所寄□□○□之数】用甲股▯差分母乘之得□□○□□为同数，与左相消得下式□□○□□，开三乗方得八十一步，即丙步上勾▯差也。钤经载此法，以勾▯差率幂减丙行差幂，复以丙行乘之为实，以差率幂为法，如法得径。此法只是以勾外求容圆半合，以大差除陪积，而今皆以大差幂为分母也。依法求之，勾▯差八十一，自之得六千五百六十一，以减于丙行幂一万八千二百二十五，余一万一千六百六十四，复以丙行一百三十五乘之得一百五十七万四千六百四十为实，以大差幂六千五百六十一为法，如法得二百四十步，即城径也。又法，二行相乘得数，又自之为三乘方实，并二行步以乗二行相乘数，又倍之为从，二行相并数以自乘于上，又二行相减数自乗减上位为第一亷，第二亷空一，益隅益积，开之得半径【其第一亷只是四段，二行相乗数】草曰：立天元一为半城径，副置之上，加南行步得□□为股，下位加东行步得□□为勾。

勾股相乘得丨□□为直积，一段以天元除之得丨□□为▯，以自之得丨□□□□为▯幂【寄左】乃以勾自之得丨□□，又以股自之得丨□□，二位相并得□□□为同数，与左相消得丨○□□□。益积开三乘方得一百二十步，即半城径也。

又法条段同前草曰：以前求得勾股率，置出南门步为小股，以勾率乘之，得□□，合以股率除不除，寄为母，便以此为半梯头于上。又置南行步，加二天元，得□□为大股，以勾率乘之，得□□□，合以股率除不除，寄为母，便以此为梯底，以乘上位，得□□□□为半径，自乘数内带股率幂为母【寄左】然后置天元以自之，又以股率幂乘之，得下丨□□□为同数，与左相消，得数一如前答。又法，以二行差幂数自乗，又倍之为实，并二行步以乘二行差幂，又四之为益，从四段南行幂内减二段差幂于上，又二段差幂内减四段东行幂，余以减上位【按，并二行幂减二行差幂四因之亦同】为第一亷，四之二行共为第二亷，二步虚法益积开之，得皇极▯二百八十九。草曰：立天元一为皇极▯，以自之为▯幂于上，以二行步相减，余□以自之得□为较幂，以减上得丨□□为二直积，复以天元除之得□○□为一个城径也。副置之上位，加二之东行步得□□□为二勾也，以自增乘得丨□□□□为四段勾幂于上，下位加二之南行得□□□为二股也，以自增乘得丨□□□□为四段股幂也，并入上位得下式□□□□□为四段▯幂【寄左】然后以天元为幂，四之为同数，与左相消得下式□□□□□益积开三乘方得二百八十九步，即皇极▯也。欲见城径者，别立天元半径，副之加东行为勾，加南行为股，勾股各为幂，并之与▯幂相消，开方得城径也。又法，以二行差一百一十九自乘，得一万四千一百六十一，为差幂。以东行步乘之，得二十二万六千五百七十六，为泛率。又自增乗，得五百一十三亿三千六百六十八万三千七百七十六，为五乘方实。倍东行步，得三十二，以二行差一百一十九乘之，得三千八百八，为小泛。以乘泛率，又倍之，得一十七亿二千五百六十○万二千八百一十六，为从方。并两行而倍之，得三百二，以乘泛率，得六千八百四十二万五千九百五十二，于上位。以小泛幂一千四百五十万○○八百六十四加入上位，共得八千二百九十二万六千八百一十六，为第一亷。并两行而倍之，得三百二，以乗小泛，得一百一十五万○○一十六，为寄数。倍二行差，以乘差幂，得三百三十七万零三百一十八，内减寄数，余二百二十二万零三百零二，为第二亷。六段，二行差幂八万四千九百六十六，内减二行并数幂二万二千八百一，余六万二千一百六十五，为第三益亷。六之二行差七百一十四，为第四益亷。二步虚法得□▯三十四步。草曰：立天元一为皇极。▯上股。▯差【即东行步上斜也，亦谓□斜】以元加二行差得□□，即明▯也【此即皇极▯上勾▯差也】以天元乗之，又倍之得□□□，即皇极内黄方幂也【泛寄】置皇极▯上勾▯差，以东行步乘之得□□，以天元除之得□□，为明勾也。

又置天元，以南行乘之得□□，合用明▯除不除寄为母，便以此为□股于上【寄明▯母】乃再置明勾，以明▯乘之得□□□，亦为带分明勾，加入上位得□□□，即是一个虚▯也。以自增乘得下式□□□□□，为一段虚▯幂也，内带明▯幂分母【寄左】然后置明▯，以自之得丨□□，为明▯幂，以乘泛寄得□□□□，为同数与左相消得下式□□□□□□□，开五乗方得三十四步，为东行步上斜步也【即□▯】其东行十六步，即□勾也。勾▯各自为幂，以相减，余九百步，开方得三十步，即□股也。既各得此数，乃以股外容圆半法求圆径，得二百四十步，即城径也。合问。按此草又法求□▯，至开带纵五乘方法，愈繁数愈赜，而天元一之用愈见其妙。苐所得带纵五乘方亷隅积数虽具，而未习其法者不能信其数之必然。今姑取已得之□▯数，按亷隅数推其积数，以明其数之无可疑焉。置五乘方数二，以□▯三十四乘之，得六十八，与四乘方数七百一十四相加，得七百八十二。又以□▯乘之，得二万六千五百八十八，与三乘方数六万二千一百六十五相加，得八万八千七百五十三。又以□▯乘之，得三百零一万七千六百零二，与立方数二百二十二万零三百零二相加，得五百二十三万七千九百零四。又以□▯乘之，得一亿七千八百零八万八千七百三十六，内减所少平方数八千二百九十二万六千八百一十六，余九千五百一十六万一千九百二十。又以□▯乘之，得三十二亿三千五百五十万零五千二百八十，内减所少元数十七亿二千五百六十万零二千八百一十六，余十五亿零九百九十万零二千四百六十四。又以□▯乗之，得五百一十三亿三千六百六十八万三千七百七十六，为积数，与草中积数合【此即无次商带纵五乘方法】或问：“出东门一十六步有树，出南门东行七十二步见之。”问答同前。法曰：二行步相减，得数以自之于上，又以出东门步自之，减上位为平方实。二之出南门东行步为益从，一步常法，翻开得半径。草曰：别得人到树，即平▯也；半圆径，即平股也。其东行七十二步，则平勾平▯差也。乃立天元一为半径，加一十六，减七十二，得□□为勾也。以自之，得丨□□为勾幂。又加入天元股幂，得□□□为▯幂【寄左】再立天元一为半径，加出东门步，得□□即▯也。以自之，得丨□□为同数，与左相消，得□□□。翻法开之，得一百二十步，即半城径也。合问。或问：“出南门一百三十五步有树，出东门南行三十步见之。”问答同前。法曰：树去城步，内减南行步，余以为幂，于上。又以树去城步为幂，内减上位为平实，倍树去城步为从，一虚隅，翻法得半城径。

草曰：别得人距树，即髙▯也；半圆径，即髙勾也。其南行三十步，即髙▯上小差也。乃立天元一为半径，加树去城步为▯，内减小差□，得□□即股也。以自之，得丨□□为股幂，内加入天元幂，得□□□为▯幂【寄左】再置▯□□自之，得丨□□为同数，与左相消，得丨□□。翻开得一百二十步，即半城径也。合问。或问：乙出东门，不知逺近而立。甲出南门，东行七十二步，望见乙，就乙斜行一百三十六步，与乙相会。问答同前。法曰：以斜行步自之于上，以二行相减，余自为幂，减上位为平实，从空一步，常法得半径。草曰：别得七十二步，即大差也。斜行即▯，半径即股也。立天元一为半径，以自之为股幂。又以二行差六十四，以自之得□为勾幂。并二幂得丨□□为▯幂【寄左】然后以斜行步自之得□为同数，与左相消得丨□□。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：甲出南门，不知逺近而立。乙出东门，南行三十步，望见甲，却就甲斜行二百五十五步，与甲相防。问答同前。法曰：二行差自之为幂，以减于斜行幂，为平实；一虚隅，得半径。草曰：别得南行步，即股▯差也。斜步，即▯也。半径，即勾也。乃立天元一为半城径，以自之为幂，以二行相减，余二百二十五，以自之得□为股幂。二幂相并得丨□□为▯幂【寄左】然后以斜行自之得□为同数，与左相消得下丨□□，开平方得一百二十步，即半径也。合问。或问：甲出南门，东行，不知步数而立。乙出东门，南行三十步，望见甲，斜行一百二步，相防。问答同前。法曰：二行相乘，四之于上，又加入斜行幂为平实，得虚和一百三十八。草曰：别得斜步内减南行为甲，东行步也。此问以▯外容圆入之，以二行相减数乘乙南行三十步，得□。又四之得□，为二直积也。又加入斜步幂□，共得□，即和幂也。平方而一，得一百三十八步，即虚和也。又加斜步，得二百四十步，即城径也。合问。或问：乙出东门，南行，不知步数而立。甲出南门，东行七十二步，望见乙，斜行一百二步，与乙相防。问答同前法。曰：倍相减步，以乘倍东行得数，复以减于斜步幂，余为实，平方而一，得较也。又以二行相减数，乘倍东行为平实，以较为从方，得勾勾较共为长。又以斜步并入勾股共，即城径。草曰：别得二行相减，余□为乙南行步也。以此数又减于甲东行，余四十二步，即较也。乃以二行相减数□乘倍东行，得□为平实，以较为从，平方开，得四十八，即勾也。勾内加较，得九十步，即股也。勾股共得一百三十八，又加入斜步，共得二百四十步，即城径也。

合问。或问：「乙出南门，东行；甲出东门，南行。两相望见。既而乙云：『我东行，不及城径一百六十八步。』甲云：『我南行，不及城径二百一十。』问答同前。」法曰：半甲不及步，以自之为幂；半甲不及步内减云数差，以自之为幂。二幂相并，内却减差幂为平实。二之乙不及为益，从三步半虚法，得甲南行。草曰：别得乙不及为虚勾，半径共又为径内减明勾也。甲不及为虚股，半径共又为径内减□股也。又二云数相并为虚和，圆径共也。云数相减即虚较也。乃立天元一为甲南行，以减于甲不及步，又半之得□□为虚股也。虚股内减虚较得□□为虚勾，勾自之得□□□为勾幂也。又股自之得下式□□□为股幂也。二幂相并得□□□为▯幂【寄左】然后以天元加虚较得□□为乙东行，又加入天元甲南行得□□为虚▯，以自之得□□□为同数，与左相消得□□□，开平方得三十步，即甲南行也。内加少步即城径也，合问。或问：「丙出南门直行，甲出东门直行，两相望见。」既而丙云：「我行少于城径一百五步。」甲云：「我行少于城径二百二十四步。」问答同前。法曰：二少歩相乘讫，又自乗为实，六之共步乘云数相乘数为益，从十八之云数相乘数于上，又三之共步自乘，加上位内复减丙少步幂，甲少步幂为从亷，四十八之共步为益，二亷六十三步常法，翻法开三乗方得一百二十步，即半径。草曰：别得云数共减于倍城径，为甲丙共数。又云数相减，即皇极差，亦为甲行不及丙行数。立天元一为半城径，以三之，副置二位。上位减丙少步，得□□为皇极股也。下位减甲少步，得□□为皇极勾也。勾股相乘，得□□□，以天元除之，得□□□为▯也。▯自之，得□□□□□为▯幂【寄左】然后以股自之，得下□□□为股幂，于上。又以勾自之，得□□□为勾幂，并以加入上位，得□□□为同数，与左相消，得□□□□□。翻法开三乘方，得一百二十步，即半城径也。合问。或问：甲出东门，直行；丙出南门，直行。各不知步数，而立。乙望见甲，就甲斜行了二百八十九步，与甲相防。其二直行，共一百五十一步。问答同前。法曰：斜幂内减共步幂，为平实；倍共步内减斜步，为从。一常法得径。草曰：别得共数城径，并即皇极和也。立天元一为圆径，加共步得□□为皇极和，以自之得丨□□于上，以斜行幂□减上位，余丨□□为二直积【寄左】然后以天元乘斜步得□□，与左相消得丨□□，开平方得二百四十步，即城径也。合问。或问：甲出东门，直行；乙出东门，南行；丙出南门，直行；丁出南门，东行。各不知步数，而立。

四人遥相望，悉与城叅相直。只云：甲丙共行了一百五十一步；乙丁立处相距一百二步。又云：丙直行步多于甲直行步。问答同前。法曰：共步距步相减，得数自之，于上以共步为幂，内减上为平实，二之距步内减共步，距步差为从，一步虚法，得城径。草曰：别得共步得城径，即皇极和也。相距步，即虚▯也。皇极和内减虚▯，即皇极▯也。又共步距步差□，即皇极▯内减城径也【此名旁差】乃立天元一为城径，加共步得□□，为皇极和也。以自之得丨□□于上，以共步距步差□加天元得□□，为皇极▯也。以自之得下式丨□□，减上位余得□□，为二直积【寄左】然后以天元径乘皇极▯得丨□，为同数，与左相消得丨□□，开平方得二百四十步，即城径也。合问。或问：甲出南门，东行，不知步数而立。乙出东门，南行，望见甲，复就甲斜行，与甲相防。乙通计行了一百三十二步。其乙南行步，不及斜行七十二步。其甲东行，多于乙南行。问答同前。法曰：倍不及步，在地。以不及步减通步，以乗之为实。以四之不及步为法，得乙。南行三十步。草曰：别得乙南行，即□股也；以减通步，即虚▯也；以减不及步，即虚较也。其不及步，即甲东行也。立天元一为乙南行，置不及步以天元乘之，又四之，得□为二直积【寄左】然后倍不及步，以为▯较，和于上□，以不及步减通步，得□为▯较较，以乗上位，得□为同数，与左相消，得□□上法下实，得三十步为乙南行也。余各以数求之。又法，别得通行步为两个乙，南行一个甲，东行共也。其不及步，即东行步也。云步相并，即两个虚▯相减，即两个乙，南行也。或问：甲出南门，东行，不知步数而立。乙出东门，南行，望见甲，复斜行与甲相防。二人共行了二百四步。又云：甲行不及乙一百三十二【按：甲不及乙六十步，非一百三十二步，当云甲行不及共步方合】问答同前。法曰：别得二行共，即两个虚▯也。其不及步，即乙南行与一虚▯共也。置不及步内减一▯，余三十步，即乙南行也。以乙南行反以减虚▯，余七十二步，即甲东行也。以乙南行减甲东行，余即虚较也。此问无草按右二问语，若浅近然，以发明加减乘除相通之。义最为深切，集中仿此者可类推之。或问：「乙出东门，南行；甲出西门，南行。甲望见乙，斜行五百一十步，相防。乙云：『我南行，少于城径二百一十步。』」问答同前。法曰：少步幂为平实，四斜步内减二少步为益从，五步常法得乙，南行。草曰：别得少步为径，内减叀股，立天元一为乙，南行以二之，减于倍斜行步，得□□为梯底也。以二之，天元乘之，得□□为径幂【寄左】再置天元，加少步，得下式□□为城径，以自之，得丨□□，与左相消，得□□□，开平方得三十步，即乙南行也。

加少步，即城径也，合问。或问：「乙出南门，东行；甲出北门，东行。甲望见乙，斜行二百七十二步，与乙相防。乙云：『我东行，不及城径一百六十八步。』问答同前。」法曰：以不及步幂之为实，四斜内减二之不及步为虚从，五常法平实，开得乙，东行七十二。草曰：别得不及步为城径，减明勾也。立天元一为乙东行，以倍之减于二之斜行步，得下□□为梯底也。倍天元乘之，得□□为径幂【寄左】再置天元，加不及步，得□□为城径，以自之，得丨□□为同数，与左相消，得□□□。开平方得七十二步，即乙东行也。加入少步，即城径也。合问。或问：「乙出南门，东行；丁出东门，南行。」却有甲、丙二人共在西北隅，甲向东行，丙向南行。四人遥相望见，俱与城叅相直。既而相防，甲云：「我多乙二百四十八步。」丙云：「我多于丁五百七十步。」问答同前。法曰：二多步相乗为平实，并二多步而半之为从，七分半常法得城径。草曰：别得甲多步为大勾，内减明勾也。丙多步为大股，内少叀股也。又乙东行得一虚勾为半径，丁南行得一虚股为半径。又二多数相并得□为大和，内少虚▯也。又二多数相减，余□为两个角差。又甲多步内减半径，即勾方差也。丙多步内减半径，即股方差也。立天元一为城径，以半之减于甲多步，得□□为勾方差。又以半径减于丙多步，得□□为股方差。二差相乘，得□□□为径幂【寄左】然后以天元幂与左相消，得下式□□□。开平方得二百四十步，即城径也。合问。或问：甲、丙二人俱在西北隅，甲向东行，丙向南行。又乙出南门东行，丁出东门南行，各不知步数，而立。四人遥相望见，悉与城叅相直。既而相防，甲云：“我与乙共行了三百九十二步。”丙云：“我与丁共行六百三十步。”问答同前。法曰：甲乙共自之为幂，丙丁共自之为幂，二幂又相乘为三乘方实。甲乙共自之为幂，以丙丁共乘之于上，又以丙丁共自之为幂，以甲乙共乘之，加上位为益。从甲乙共自之为幂，丙丁共自之为幂，并以七分半乘之于上，又以甲乙共乘丙丁共得数减上位为第一益亷。并二共数，以七分半乘之为第二亷。以七分半自之，得五分六厘二毫五丝于上位，以一步内减上位，余四分三厘七毫五丝为虚隅，得城径。草曰：别得甲为大勾，乙为明勾，丙为大股，丁为叀股也。甲乙共内减半径，即是黄长▯也。丙丁共内减半径，即黄广▯也。黄长▯、黄广▯二数相减，余为两个皇极差也。乃立天元为城径，半之，副置二位，上以减于甲乙共数，得□□，即黄长▯也。以自之，得□□□，为黄长▯幂也。内减天元一幂，余得下式□□□，为勾方差幂也。

下位以减于丙丁共，得下式□□，即黄广▯也。以自之，得□□□，为黄广▯幂也。内减天元一幂，余得□□□，为殷方差幂也。再以勾方差幂、股方差幂相乘，得□□□□□，为径幂【寄左】然后以天元为幂，又以幂自之，与左相消，得下式□□□□□，开三乘方，得二百四十步，即城径也。合问。

测圆海镜卷七

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