测圆海镜卷八

测圆海镜卷八

元　李冶　撰

明叀后一十六问或问：「出南门，向东有槐树一株；出东门，向南有柳树一株。丙丁俱出南门，丙直行，丁往至槐树下；甲乙俱出东门，甲直行，乙往至柳树下。四人遥相望见，各不知所行步数，只云丙丁共行了二百七步，甲乙共行四十六步。又云甲丙立处相距二百八十九步。」问答同前。法曰：「以二共相减，数又以减距数为实，二为法，得平勾。」草曰：「识别得丙丁共，即明和也；甲乙共，即叀和也。相距步，即极▯也。二共相并，即极▯内少个虚黄也，又为极和内少个虚和也。二共相减，余为平勾髙股差也，又为虚差极差共也，又为通差内减极差也。立天元为平勾，加入二共相减数，得□□为髙▯；又加天元，得□□为极▯【寄左】以相距步二百八十九与左相消，得□□。上法下实，如法得六十四，即平勾也。以二共相减数加平匀，得二百二十五为髙股。复以平勾乘之，得一万四千四百步，开平方得一百二十步，即城半径也。合问。」又法：二共数并，以减相距数，余者半为泛率。以泛率加丙丁共为长，以泛率加甲乙共为阔。长阔相乘为平方实，得半径。草曰：置极▯内，减二共并数，余三十六步，即虚黄也。半之，副置二位上，以加明和，得二百二十五步，为髙股也；下以加叀和，得六十四步，为平勾也。二位相乘，得一万四千四百步，开平方，得一百二十步，即半径也。合问。或问：「依前见，丙丁共二百七步，甲乙共四十六步。又云，二树相去一百二步，问答同前。」法曰：以甲乙共乘树，相去步得数，又以自之为平实，从空并二共数为幂，于上内减甲乙共自之数，丙丁共自之数【按：或云二共数相乘，倍之亦同】为益隅，得叀▯。草曰：识别得两树，相去步，即虚▯也。余数具前，立天元一为叀▯。置明和以天元乘之，合叀和除不除，便以□为明▯也【内带□和分母】乃置虚▯以分母叀和乘之，得□，加入明▯，得□□为极股也【内带叀和分母】。以自之得下式□□□为极股幂【内寄叀和羃为分母】又以天元加虚▯，得□□为极勾，以自之得丨□□，又以叀和幂□乘之，得□□□为勾幂也。勾股相并得□□□为两积一较幂也【内有叀和幂分母【寄左】然后置明▯□于上，以叀和乘天元得□，加上位得□为二▯并。又置虚▯以叀和乘之得□，并入上位得下式□□为极▯，以自之得□□□为同数，与左相消得□□□，开平方得三十四步，即叀▯也。又法，以树相去步，自之，又以甲乙共乘之，为平实，从空倍丙丁共为虚隅，得叀▯。草曰：立天元一为叀▯，依前术求得明▯□，便以为皇极勾▯差也【内带叀和分母】以天元□▯，便为皇极股▯差，以乘之，又倍之，得□□为虚▯幂【内有叀和分母寄左】然后以虚▯自之，又以分母□乘之，得四十七万八千五百八十四为同数，与左相消，得□○□，开平方得三十四步，即叀▯也，合问。

或问：「皇极大小差共一百八十七步，明黄叀黄共六十六步，问答同前。」法曰：后数自乘为实，前后数相减，余为法，得虚黄方。草曰：别得一百八十七，即明叀二▯共也。其六十六，即太虚大小差共也。又二数相并得□，即明叀二和共；若以相减，余□，即明叀四差共也。立天元一为太虚黄方面，加二黄共得□□，即虚▯也。倍虚▯，又加天元得□□，即城径也。又以虚▯加皇极大小差得□□，即极▯也。以极▯乘城径得□□□，为两段皇极勾股积【寄左】再以极▯虚▯相并得□□，即皇极勾股共也。自之得□□□，内减皇极▯幂丨□□，得□□□，为同数，与寄左相消得□□。上法下实，如法得三十六步，即太虚黄方靣也。合问。或问：“东门南有柳一株，南门东有槐一株。甲出东门直行，丙出东门直行。甲、丙槐柳悉与城防相直。既而甲就柳树斜行三十四步至柳树下，丙就槐树斜行一百五十三步至槐树下。问答同前。”法曰：云数相乘，倍之，便为平方实，开方得虚▯一百二步。以此▯加甲行步，即极勾；以此▯加丙行步，即极股。余各依法求之。识别：甲斜行即叀▯也，丙斜行即明▯也。无草或问：「东门南有柳一株，南门东有槐一株。甲出东门直行，丙出南门直行，二人遥相望。槐栁与城边悉相直。既而甲复斜行至柳树下，丙复斜行至槐树下，各不知步数，只云丙共行了二百八十八步。甲斜行与柳至东门步共得六十四步。」问答同前。法曰：二云数相乘于上，以六十四步自之，又二之，减上位为平实。十四之六十四于上，倍丙行减上位为从【按：倍丙行乃数偶合，当云九个半六十四内减丙行为从】二十常法得甲直行步。草曰：别得丙共步，即明股明▯和也。六十四即平勾也。内甲斜行，即叀▯也。柳至东门步，即叀股也。又云：二数相并，即明差与极▯共也。二云数相减，即明差与平勾髙股差共也。又平勾内减叀勾，即虚勾也。立天元一为叀勾，置丙共步，以天元乘之，复以六十四除之，得□□呔为明勾也。又以天元减于六十四，得□□为虚勾也。并虚明二勾□□为半径也，以自之得□□□□，倍之得□□□□为半段圆城径幂【寄左】乃以天元加六十四，得□□为勾圆差于上。又以明勾加丙共步，得□□□为股圆差于下。上下相乘得□□□□为同数，与左相消得□□□。开平方得一十六步，即叀勾也。此叀勾乃甲出东门直行步也，余皆依数求。合问。或问：“东门南有柳树一株，南门东有槐树一株。甲出东门直行，丙出南门直行，二人遥相望，槐柳与城边悉相直。既而甲复斜行至柳树下，丙复斜行至槐树下，各不知步数，只云甲共行五十步，丙斜行与槐至南门步共得二百二十五步。

”问答同前。法曰：以二百二十五步自之为幂。又以此幂自为幂，于上置甲共行，以二百二十五步三度乘之，得数复折半，减上位为平实。置二百二十五步自之数，以二云数相减数乘之，又倍之。于上倍五十步在地，以二百二十五步自之数乘之，复折半，加上位为益。从云数相减自乘于上，以云数相乘，复折半，减上位为常法。得明股。草曰：识别得甲共步，即叀勾叀▯共也。二百二十五，即髙股也。内丙斜行，即明▯。槐至南门步，即明勾也。又二云数相并，即极▯。内减一个叀差也。云数相减，即叀差与髙股平勾差共也。又髙股内减明股，即虚股也。立天元一为明股，即丙出南门直行步也。置五十步，以天元乘之，得□，合髙股除不除，便以此□为叀股也。内带髙股□分母，再置髙股内减天元，得□□为虚股，以分母髙股乘之，得下式□□，加入叀股得□□，即半径也。以自增乘得下□□□，为半径幂也。内带髙股幂为母【寄左】然后置甲共步，以分母髙股乘之，得□，加入叀股得□□，为勾圆差于上【内带髙股分母】又以天元加髙股得□□，为股圆差于下。上下相乘得□□□，又以分母髙股乘之得□□□，复折半得□□□，为同数与左相消得□□□，开平方得一百三十五步，即明股也。合问。或问：「通勾通▯，共一千步；叀勾叀▯，共五十步。」问答同前。法曰：置一千，减二之五十步为泛率，以自乘，复半之于上。又置泛率，复以五十乘之，加上位为平实。二十二之泛率于上【按：二十二乃此题叀和除通和所得通倍叀数加二数之数，易题则数不同矣，当直云通倍叀数加二数乘泛率】以四十二【按：四十二乃此题倍通倍叀数加二数之数，当直云倍通倍叀数加二数】乘五十，得数内减泛率，加上位为益从。二百【按：二百乃此题通倍叀数加二数自乘折半于上，又倍通倍叀数并二数以减上位之数，当同上不必载数】为常法，得叀股。草曰：立天元一为叀股，置一千，以天元乘之，以五十除之，得□为通股也。又以天元加五十步，得□□，即小差也。通股加小差，得□□，即通▯也。以通▯减一千，得□□，即通勾也。以小差减通勾，得□□，即圆径也。以圆径减通股，得□□，即大差也。置大差，以小差乘之，得□□□【寄左】然后置圆径，以自之，得□□□，折半得□□□，与左相消得□□□，开平方得三十步，即叀股也。合问。按此题通勾▯和为叀勾▯和度尽之数，则不用寄分而用除法，以从省便。作者盖举一以例其余也。或问：「通勾通▯共一千步，明勾明▯共二百二十五步，问答同前。」法曰：以后数再自乘，又以前数乘之，为平实；以后数为幂，又以前数乘之，为从；以前数幂为常法，得明股。

草曰：别得二百二十五步，即髙股也。立天元一为明股，置一千以天元乘之，合以髙股除，不除，便以此□为通股【内带髙股为母】以天元加髙股□□，即大差也。置大差，以髙股分母乘之，得□□，即带分大差也。以此减于通股，余□□，即圆径也。以自增乘，得□□□，寄左【内▯髙股幂分母】然后置一千，以髙股分母通之，得□内减带分大差，得□□，为两个通勾也。内减两个圆径，得□□，为两个小差也。以带分大差乘之，得下式□□□，为同数，与左相消，得□□，开平方得一百三十五步，即明股也。合问。或问：「通股通▯，共一千二百八十步；叀股叀▯，共六十四步。」问答同前。法曰：云数相乘为平实，前数为益，从置前数以后数除之，得二十为泛率。泛率减一，以自乘于上，又倍泛率减一，加上位为常法。倒积开得叀勾。草曰：别得六十四步，即平勾也。立天元一为叀勾，置前数以天元乘之，以后数除之，得□，即通勾也。又置天元加后数，得□□，即小差也。以小差减通勾，余□□，即圆径也。以自之，得□□□【寄左】然后以小差减于前数，得□□，为二通股内减两个圆径，得□□，为二大差也。以小差乘之，得下□□□，与左相消，得□□□。开平方得一十六步，即叀勾也。合问。或问：「通股通▯共一千二百八十步，明股明▯共二百八十八步，问答同前。」法曰：二数相减，以后数乘之内减后数幂，又半之为泛率，以自乘为平实【按：或云前数内减二后数，余以后数乘之，折半自之亦同】置前数加二之后数而半之为次率，以乘泛率于上，以后数乘泛率减上位【按：或云二数相加以乘前折半数亦同】为益从次率自乘之于上，以前数加次率复以后数乘之减上位【按：或云前数折半内减后数，又以半前数乘之亦同】为隅法，得明勾。草曰：别得二数相减，余□为通勾、通股及明勾共也。立天元一为明勾，置前数以天元乘之，合以后数除之，不除，便以此□为通勾也【内寄后数分母】又以二数相减，得数内又减天元，得□□为通和也。乃以分母二百八十八乘之，得下式□□内减通勾，余□□为通股也。又以天元加后数，又以分母【即后数也】通之，得□□为大差也。以此大差减于通股，得下式□□为一个圆径也。半之得□□，以自得之□□□为半径幂【寄左】然后以半圆径减通勾，得□□为底勾。又以天元乘之，又以分母二百八十八乘之，得□□呔为同数，与左相消，得□□□开平方得七十二步，即明勾也。合问。或问：明股、明▯并二百八十八步，叀勾、叀▯并五十步。又云：明股、叀勾并多于虚▯四十九步。

问答同前法。曰：前二数相并，内减二之多步，即圆径。又只以前二数相乘，便是半径幂。草曰：「识别得前二数相减而半之，即极差也。其多步名傍差，又圆径不及极▯数。」或问：平差、髙差共一百六十一步，明股叀勾并多于虚▯四十九步。问答同前。法曰：二数相减，又半之，以自乘为实，后数为法，得平勾。草曰：立天元一为平勾，以加前数，得□□为髙股也。又以天元加髙股，得□□为极▯，内减后数，得□□，又半之，得□□为半径，以自之，得丨□□【寄左】然后以天元乘髙股，得丨□为同数，与左相消，得□□，上法下实，得六十四步，即平勾也。合问。或问：平勾髙股差一百六十一步，明差叀差并七十七步。又云：极▯多于城径四十九步，问答同前。法曰：并上二位而半之，为平率。其四十九，即旁率也。副置平率，上加旁率，下减旁率，以相乘为实，倍旁差为法，得勾圆差【按：求实数有误，当云并上二位而半之内减后数于上，又置上前数内减后数以乘上位为实，方合】草曰：「识别得平勾髙股差，名为角差。副置角差，上加七十七而半之，得□，即极差也。下减七十七而半之，得□，即虚差也。角差加极差，得□，即通差也。又极▯多于城径步，名为旁差。副置角差，上加旁差，得□，为两个髙段上勾股较。下减傍差，得□，为两个平段上勾股较也。又副置极差，上加傍差，得□，为股圆差上勾股较。下减旁差□，为勾圆差上勾股较也。立天元一为勾圆差，依法求得通差，加入天元，得□□，即大差也。以天元乘之，得丨□，为半段圆径幂【寄左】乃置大差□□内，减股圆差上勾股较□，余有□□，为股圆差之勾于上。再置天元内，加勾圆差上勾股较□，得□□，为勾圆差之股，以乘上位，得丨□□，为同数与左相消，得□□，上法下实，得八十歩，即勾圆差也。」又依前问见角差一百六十一步，见明差叀差并七十七步。又见太虚▯较较六十步，问答同前。法曰：前二数相减而半之，得数加入半之太虚▯，较较为泛率，以自乘为平实。置一百六十一内减二之泛率为从，一常法得平勾。草曰：别得□，即二叀股也。立天元一为平勾，先以前二数相减而半之，得□为虚差。以虚差加叀股，得□，即明勾也。以明勾加天元，得丨□为平▯。以自之，得丨□□内减天元幂，得□□为半径幂【寄左】然后以天元加一百六十一为髙股，以天元乘之，得丨□为同数，与左相消，得丨□□。开平方得六十四步，即平勾也。又法曰：前数内加半之太虚▯较，较以自乘【按此语内有误，当云倍角差加半太虚较，以半太虚较乘之】为实，前数内减太虚▯较，较为从，一常法开平方得平勾，此更不用明差叀差并也。

草曰：依前求平勾，前髙股内加叀股得□□为髙▯也，以自之得丨□□于上位，内减髙股幂丨□□，余得□□为半径幂【寄左】然后以天元乘髙股得丨□为同数，与左相消得下丨□□，开平方得六十四步，即平勾也，合问。或问：髙差、平差并一百六十一步，明差、叀差并七十七步，问答同前。法曰：以前数自乘于上，二数相并而半之，以自乘减上位，得数复自增乘为平实。前数自之于上，又以四之前数乘之，寄位。以前数自之于上，并二数而半之，以自乘减上位，得数又以四之前数乘之【按：此下落又倍之三字】减于寄位，为从前数自之，又四之于上，又以四之前数为幂，加上位权寄。以前数为幂于上，并二数而半之，以自乘减上位，得数复八之，加上位，又以四之前数为幂，加入上位，并以减于权寄，为常法【按：或云二和并而自之，又半之以减髙平共差幂，又四之为常法，亦同】得平勾。草曰：识别得二位，相并而半之，得□，即极差也。立天元一为平勾，加一百六十一得□□，为髙股。髙股内又加天元得□□，为极▯。以自之得□□□，于上内减极差幂一万四千一百六十一，余□□□，为两段极积。合以极▯除，不除寄为母，便以此为城径。以自增乘得□□□□□，为圆径幂【内有极▯幂分母寄左】然后以天元乘髙股，又四之得□□，又以分母极▯幂□□□通之，得□□□□呔，为同数，与左相消得□□□，开平方得六十四步，即平勾也。合问。或问：见明和二百七步，叀和四十六步，问答同前。法曰：二和上下相减，数同则止，名为泛率。又以二和直相减，余为泛实【此则角差也】乃以泛率除泛实，所得为差率也。以差率加减泛率，若半讫，与勾股相应者，其泛率便为和率，其泛实便为较率，乘和率也。若不相应，则直取差率以消息之，定为相管和率【其勾股数少得见▯黄而相为率者，勾三股四，则其和七，而其较一也。勾五股十二，则其和一十七，而其较七也。勾八股十五，则其和二十三，而其较亦得七。七勾七股二十四，则其和三十一，而其较一十七也。勾九股二十，则其和二十九，而其较一十一也。此消息之大畧也，余皆仿此】乃以和率约二和，其明和所得为明垒率，其叀和所得为叀垒率也。又副置和率，上加差率而半之，则为股率也。下位减差率而半之，则为勾率也。既见勾股及差三率，各以垒率乘之，即各得勾股及差之真数也。按此用约分以勾股率数求之，甚为省便。然必两数度尽而得数最小者，方可用。若两数不能度尽，或虽度尽而得数尚大者，转属繁难，故又设后法。又法二云：数相并以自乘，于上二之云数相乘，又四之以相并，以四分半乘之，又四之以并入上位，为从方，以七十步零四分三厘七毫五丝为常法，得叀小差四步。

按此法，未求实数，其求从隅，皆用本题数，不可通用。今依细草意，另演一法于后，亦惟二和数可以度尽者用之；若不能度尽者，仍用寄分为便。法曰：二和数相减，自之为平方实。叀和除明和得数，自而倍之内减四之除得数，再加二单数，以乘二和相并之数为从。除得数自而四之于上，又以除得数自乘内减四之除得数，外加一单数自之，以减上位为常法，得叀小差。草曰：以二和相约，命得叀率一，明率四步半。其两数大小差率并同，又别得明小差叀大差，俱为半虚黄也。立天元为叀小差，以四歩半乘之，得□元为□大差也。又为明小差，又为半虚黄。置此□大差，又以四步半乘之，得□为明大差也。其四差相并，得□减于二和，并得□□，即两段太虚大小差并也。内加三段虚黄方□，得□□，合成一个太虚三事和，即圆城径也。以自增乘得□□□，为径幂【寄左】乃置叀和加半虚黄，得□□，为平勾。又置明和内加半虚黄，得□□，为髙股。勾相乘得下式□□□，又四之得□□□，为同数，与左相消得下式□□□。开平方得四步，即叀小差也。合问。或问：「明叀二勾共八十八步，明叀二股共一百六十五步，问答同前。」法曰：先识别得二大差，共二小差，共及四差共。乃以二大差、二小差相乘为实，以四差共为法。如法得半之，虚黄方。草曰：先置前后云数，以约法约之，得一十一，即垒率也。复各置前后数，如垒率而一，前得八，即勾率也；后得一十五，即股率也。再以勾股率求得较率七，和率二十三，▯率一十七，黄方率六，大差率九，小差率二，即见诸率。各以垒率乘之，其二和共得□二，较共得□二，▯共得□二，黄共得□二，大差共□二，小差共□四，差共□。已上皆为明叀所得之共数也。乃立天元一为半虚黄，便为明小差，又为叀大差也。以减于大差，共得□□，即明大差也。又以减于小差，共得□□，即叀小差也。以二数相增乘得丨□□【寄左】以天元幂与寄左相消，得□□。上法下实得一十八步，即半之虚黄方也。以倍之得□，又加于二黄，共六十六，共得一百二，即明勾叀股共也。又为极黄方，又为虚▯也。又以三十六减于一百八十七，余一百五十一，即明股叀勾共也。此数内减虚▯，余□为明叀二差较也。此名傍差。以旁差减二▯共一百八十七，余得□，即太虚和也。却加入虚▯一百二，并得□为太虚三事和，即圆城径也。合问。又或以虚黄方加于上，和共二百五十三，得□为极▯也。以旁差减极▯，余二百四十步，亦同。

又或前后副置勾股较和▯黄六率在地前以小差率二因之则勾得□股得□较得□和得□▯得□黄得□即叀段各数也后以大差率九因之则勾得□股得□较得□和得□▯得□黄得□即明段各数也既得明叀各数余可知【按此因明▯即皇极形勾▯差叀▯即皇极形股▯差故以小差率乘各率即得叀段各数以大差率乘各率即得明段各数也】按右二卷，明叀前十八问，后十六问，在集中尤为神妙。惜其中有偶尔思省未至者，亦未暇修饰，故耳。

测圆海镜卷八<子部,天文算法类,算书之属,测圆海镜》>钦定四库全书