测圆海镜卷六

测圆海镜卷六

元　李冶　撰

大勾一十八问或问：「乙从东门直行一十六步，甲从干隅东行三百二十步，望乙与城叅相直，问答同前。」法曰：甲东行，内减二之乙，南行，复以乘甲东行为实，四之东行，内减二之乙东行为从，四益隅得半径。草曰：立天元一为半径，以二之加乙东行，得□□为中勾，以中勾减于甲东行，得□□为勾率也。其天元半径即股率也。置甲东行为大勾，以股率乗之，得□合，以勾率除之，不受除，便以此为大股【内带勾率分母】再置天元，以二之，以勾率乗之，得□□，减于大股，余□□为股圆差于上【内有勾率分母】又以二之天元减甲东行，得□□为小差，以乗上位，得□□□为半段黄方幂【内有勾率分母】寄左。然后以天元自之，又以勾率乘之，又就分倍之，得□□□为同数，与左相消，得□□□，开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：乙出东门，南行三十步而立。甲从干隅东行三百二十步，望乙与城叅相直，问答同前。法曰：甲乙相乘为实，甲东行为从，二虚法得半径。草曰：识别具见大股第二问中。立天元为半径，内减乙南行，得□□为虚股，以乘通勾甲东行，得□□为半段城径幂【寄左】然后以天元自之，又就分二之，得□□为同数，与左相消，得□□□。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：乙出南门，直行一百三十五步而立。甲从干隅东行三百二十步，望见乙。问答同前。法曰：以乙南行乘甲东行，幂为实；二之乙南行乘甲东行为从方，亷空二步，常法得半径。草曰：立天元一为半城径，以二之，加于乙，南行得□□为股率。以天元减甲，东行得□□为勾率。乃置乙南行，以勾率乘之，得□□，合股率除不除，便以此为小勾，此即半梯之头【内带股率分母】又以勾率乘之，得□□□为半径幂【内▯股率分母】寄左。乃以股率乘天元幂，得□□□为同数，与左相消，得□○□□，开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：「乙出南门，东行七十二步。甲从西北隅取直行，三百二十步见乙。」问答同前。法曰：二行相乘为实，以东行为从，一步常法，得半径。草曰：立天元一为半城径，以减甲东行步，得□□为梯底，以乙东行七十二步为梯头，以乘之，得□□为半径幂【寄左】然后以天元幂与左相消，得丨□□，以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：「乙从西南隅直东行一百九十二步，甲从西北隅直东行三百二十步，望见乙。」问答同前。法曰：二行步相乘为实，二行相并为法，得半径。草曰：立天元一为半径，副置之上，以减于乙东行，得□□为梯头，于上下位减于甲东行，得□□为梯底，以乘上位，得丨□□为半径幂【寄左】然后以天元幂与左相消，得□□，上法下实即半径也。

合问。或问：「乙从坤隅直南行三百六十步而止，甲从干隅直东行三百二十步，望见乙。」问答同前。法曰：二行步相乗，倍之为实，二之甲东行为从，一步常法得城径。草曰：立天元一以为城径，加一，南行得□□为股，二行步相并得六百八十步为▯。甲东行为勾，勾股相乘得□□，又倍之得□□为二直积【寄左】然后以勾股▯相并得□□为三事和，以天元乘之得丨□为同数，与左相消得丨□□，开平方得二百四十步，即城径也。合问。或问：“东门南不知逺近，有树。甲从干隅东行三百二十步，望树与城叅相直。复就树斜行一百七十步至树，问答同前。”法曰：两段东行步幂内减两段东行斜行相乗数为实【按：或云倍东行步以二行差东之亦同】二之东行为从，一益隅得城径。草曰：别得东行步即大勾，斜行步即小▯也。乃立天元一为城径，减东行步得□□为勾圆差也【今为小勾】置东行步以斜步乘之得□，合以小勾除之，今不受除，便以此为大▯【内带小勾分母】再置东行步以小勾乘之得□□为大勾，以减大▯得□□为大差，合以小差乗之【縁内带小差分母】更不湏乗，便以此为半段黄方幂【更无分母】又二之得□□为一段黄方幂【寄左】然后以天元幂与左相消得□□□，开平方得二百四十步，即城径也。合问。依前问，假令乙出东门，南行不知步数而止，甲从干东行三百二十步，望乙与城相直，复就乙斜行一百七十步。法曰：以甲东行乘二行差幂为实，以甲东行乘二之二行差为从，方二之二行差为隅，法得半径。草曰：「识别得二行相减，余一百五十，即半城径与乙南行共数也。」得此数，更不湏用斜立天元一为半径，减于二行差得□□，即半梯头也。又以二天元减甲东行步得□□，为勾率。又以一百五十为股率。乃置甲东行，以股率乘之得□合勾率除不除，便以此为大股【内寄勾率分母】再置天元，以勾率乘之得□□，以减于大股得□□□，为半梯底也。头底相乘得下□□□□，为半径幂也【内带勾率分母】寄左，然后以勾率乘天元幂得□□□，为同数与左相消得□□□。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：「南门东不知逺近有树，甲从干隅东行三百二十步，见树，复向树斜行二百七十二步，至树。问答同前法。」曰：「二之二行差乘二之甲东行为实，并二之二行差及二之甲东行为从，二步益隅，得城径。」草曰：别得二行相减，余四十八步，即虚积之勾也。立天元一为城径，内减二之二行差，得□□为梯头。于上置甲东行步，以二之内减天元，得□□为梯底。以乘上位，得□□□为城径幂【寄左】然后以天元幂与左相消，得□□□。

开平方得二百四十步，即城径也。合问。或问：「甲从干隅东行三百二十步而止，乙出南门直行不知步数，望见甲，复就甲斜行四百二十五步，与甲相防。」问答同前。法曰：二行步相减，以乘东行幂，得数半之为实，以半之东行步乗东行步于上，二行步相减余乗东行步，减上位为从，二之东行步为益亷，一步常法，得半径。草曰：识别得二行相减是髙积上勾股较【此勾即半径也】又别得是髙▯不及股圆差数，乃立天元为半城径，以减东行步得□□为中勾，其斜行步即中▯也。又置半城径以斜步乗之得□合，以中勾除之不受除，便以此为髙▯【内寄中勾为母】又以二行步相减余一百五步为髙▯不及股圆差数，置此数以中勾乘之得□□，加入髙▯得□□为大差于上【内带中勾分母】又倍天元减东行步得□□为小差，又半之得□□，以乘上位得□□□为半径幂【内有中勾分母】寄左。乃以天元自乗，又以中勾乘之得□□□为同数，与左相消得□□□□，以立方开得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：甲乙二人俱在干隅，乙直南行，不知步数而立；甲直东行三百二十步，望见乙，复就乙斜行六百八十步，与乙相防。问答同前。法曰：以二行差乘甲东行步，又二之为实，以二之二行差为从，一步常法，得城径。草曰：别得二行步，相减，余三百六十步，即股圆差也。乃立天元一为圆径，以减于甲东行步，得□□为小差，以东行斜行差三百六十步乘之，得□□，倍之得□□，为一段城径幂【寄左】乃以天元幂与左相消，得丨□□，开平方得二百四十步，即城径也。合问。或问：“东门外不知逺近有树，甲从干隅东行三百二十步，望树与城叅相直，复就树斜行一百三十六步至树，问答同前。”法曰：倍二行相减数，内减甲东行，得数复以乘甲东行为实【按：或云倍斜步以减甲东行，余以甲东行乗之亦同】倍二行差为从，二步虚常法，得半径。草曰：识别得斜行步，乃树至城心步也。立天元一为半径，加斜行步得□□，即树至城西门之步也。乃以减于甲东行，得下□□为小勾率。其天元半径即小股率，其斜步即小▯数也。再置甲东行步内减天元，得□□为梯底于上。又置梯底内减二之小勾率，得□□【按：倍小勾得三百六十八步少二元，以少二元减梯底之少一元，反为多一元；以三百六十八步减梯底之三百二十步，反为少四十八步也】以乘上位得□□□为半径幂。乃以天元幂与左相消，得下式□□□。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：「南门外不知步数，有槐一株。甲从干隅直东行至柳树下，望见槐树，复斜行至槐树下。

甲自云：『我共行了七百四十五步。』乙从坤隅南行，望见槐柳与城叅相直，复斜行至槐树下。乙自云：『我南行步多于斜行步一百五步。』」按，此问下有草，无法。今依细草补之。法曰：置甲共步内，减乙较步，余数折半，自之，再倍乙较步，乗之，为立方实。置上减余折半数，又减二之乙较步，复以减余折半数乗之，为从。甲共步内减乙较步，为亷，五分为负隅，开立方得城径。草曰：识别得一百五步，是大差多于髙▯数，又为髙▯上勾股差数，又别得是甲斜行多于东行数也。乃副置甲共行七百四十五步在地，其上位加一百五步而半之，得四百二十五步，即甲斜行也；其下位减一百五步而半之，得三百二十步，即甲东行也。乃立天元一为圆径，以半之减于甲东行步，得□□为中勾，其甲斜行四百二十五步，即中▯也。再置天元，以半之为小勾，以中▯乘之，得□合以中勾除，不除便以为髙▯于上【内▯中勾分母】别置乙多步一百五步，以中勾乘之，得□□为大差多于髙▯数也，以加入上位，得下式□□为一个大差也。置甲东行，以天元减之，又倍之，得□□为二个小差，以乗大差，得下□□□为一段黄方幂【内带中股分母】寄左。然后置天元幂丨□，以中勾通之，得□□□与左相消，得□□□□开立方得二百四十步，即城径也。合问。或问：「出东门直行，不知步数，有槐树一株；出南门东行，不知步数，有柳树一株。槐栁斜相距一百五十三步。甲从干东行三百二十步，望槐柳与城防相直，问答同前。」法曰：二行相乘讫，又以乗甲东行幂为实，斜行乗甲东行幂，又三之为从，方甲东行幂内减两段二行相乘数为第一亷，二之甲东行为益二亷，二步常法开三乗方得半径。草曰：立天元一为半径，以二之，减于甲东行，得□□为小差，以自之，得□□□，加于甲东行幂，复半之，得□□□为大▯【内寄小差分母】又置斜相距步，以大勾乘之，得□，合大▯除不除，便以此为小勾【内▯大▯分母】乃以天元减甲东行数，得□□为半梯底，以乘小勾，半梯头，得□□为半径幂于上。此半径幂内有大▯分母，此大▯分母元▯小差分母，故先用小差分母以乗上半径幂，得□□□为半径幂也【内▯本大▯分母【寄左】然后以大▯乘天元幂，得□□□□为同数，与左相消，得□□□□□，开三乗方，得一百二十步，即半城径也。合问。或问：甲从干隅东行三百二十步而止。丙出东门，南行；乙出东门，直行。各不知步数而立。甲廻望乙、丙，悉与城叅相直。既而乙就丙斜行三十四步，相防，问答同前。法曰：甲东行，再自之于上，以二之斜行步乘甲东行幂，减上位为立方实。

两段南行幂内减东行斜行相乘数为益从，以甲东行加五【按：加五即加半】为从，亷五分虚隅得全径。草曰：立天元一为城径，以减于甲东行步，得□□为小差，以自之，得丨□□为小差幂也。乃置甲东行幂，内加小差幂，而半之，得□□□为大▯也【内带小差分母】又置甲东行幂，乃减小差幂，而半之，得□□○为大股也【内带小差分母】乃置斜行步在地，以大股乘之，得□□，合以大▯除之，不除，而又倍之，得□□为梯头也【即两个小股内寄大▯为母权寄】乃置天元圆径，以半之，以小差分母通之，得□□，以减于大股，余得□，又倍之，得□为梯底也【即两个边股内亦有小差分母】以乘权寄，得□□□为城径幂也【内寄大▯及小差分母】寄左，然后以天元自之为幂，以大▯通之，又以小差通之，得□□□□□为同数，与左相消，得□□□□，开立方得二百四十步，即城径也。合问。依前问，假令东门外有树，乙出东门，南行不知步数而立【只云树去城步少于乙南行步】甲从干隅向东行三百二十步，望乙与树悉与城叅相直，乙复就树斜行三十四步到树，问答同前。法曰：甲东行，自之，又以斜步乘之，为立方实。置半段甲东行幂于上，以斜步乗甲东行，减上位，为从亷。空半步，常法得勾圆差。草曰，别得乙斜行，即□▯也。□▯得小勾股，即大股▯较也。乃立天元一为勾圆差，以自之为幂，副之上以加于甲东行幂而半之，得□□□为大▯也【寄小差分母】下以减于甲东行幂而半之，得□□□为大股也【寄小差分母】乃置斜步，以大股乘之，得□□□合大▯除不除，便以此为小股【寄大▯分母】又置斜步，以甲东行乗之，得□合大▯除不除，便以此为小勾，而又以通母分通之，得□为同分小勾也【寄大▯分母】注【大股乘时有小差分母，今大勾无母，故又以齐同之】又置斜步，以大▯通之，得□□□为同分小▯也。三位相并，得□□为勾圆差也【寄左】然后置天元，以大▯通之，得□○□为同数，与左相消，得□○□□开立方，得八十步，即勾圆差也。以勾圆差减于甲东行步，余二百四十步，即城径也。合问。或问：“南门外不知步数，有树。甲从干东行三百二十步而立。乙出西门，便南行，望树及甲与城叅相直，却就树斜行二百五十五步至树。问答同前。”法曰：二行相乘于上，以半之。甲东行乗之为实。二行相乘于上，又半之。甲东行以乘，甲东行加上位为益，从甲东行为从亷。一步虚法，开立方得半径。草曰：立天元一为半径，便以为小勾，其斜行即小▯也。乃以甲东行为大勾，以小▯乘之，复以天元除之，得□□，即大▯也。

又倍天元减东行，余□□，为小差，以减大▯，余□□□，为大股也。又倍天元以减股，余□□，为大差也。却以半小差□□乗之，得下式□□□，为半径幂【寄左】乃以天元幂与左相消，得丨□□□，开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：南门外不知步数，有槐树一株；东门外不知步数，有柳树一株。槐柳相距二百八十九步。甲从干东行三百二十步，斜望槐柳与城叅相直。问答同前法。曰：二行相乗得数，又自增乘为实；斜行幂乘甲东行，又倍之为益。从两行相乘，又倍之为益亷。二之斜步为第二亷。二步常法，开三乘方得栁至城心步。草曰：别得柳至城心步，即甲立处柳树步也。立天元一为柳至城心步，加斜步得□□为底▯。以天元乘之得丨□○，合斜步除不除，便以此为底勾【寄斜步分母】乃再置通勾，以斜步乘之得□为带母通勾。内减底勾，余□□□为半径。以自之得丨□□□□为半径幂内带斜步幂分母【寄左】乃以天元减斜步得□□为明▯。以天元乘之得□□，合斜步除不除，便以此为半梯头【寄斜步为母】复以底勾半梯底乘之得□□□□为同数，与左相消得□□□□□。开三乘方得一百三十六步，即柳至城心步也。合问。或问：「甲从干隅东行三百二十步而立，乙出城东行，丙出城南行。三人相望，俱与城相直。乙丙共行了一百五十一步。」问答同前。法曰：以甲东行为幂，折半，又以自之为三乘方实，倍共步，加甲东行以乗半段，甲行幂为从方，甲行乗共数为从亷，甲东行加五为第二益亷，二分五厘常法得小差。草曰：别得乙丙共行步，即明股□勾共也。立天元一为小差，以自之副置二位，上位减于甲东行幂，以天元除之，又折半得□○□，即大股也。下位加甲行幂，以天元除之，又折半得□○□，为大▯也。其甲东行，即大勾也。并大勾大股得□□□，即大和也。再立天元以减甲东行步，得□□，即圆径也。以圆径加共行步，得□□，即皇极和也【即小和，又为髙▯平▯共数】又倍之得□□，即黄长▯黄广▯共也。内减大▯得下式□□□，为皇极内小黄方也【亦为虚▯】再置大和□□□，以小黄方乘之得下式□□□□□，合以小和除之，不除便以为城径，内寄小和为母【寄左】然后天元减甲东行得□□，为大黄方，以小和乘之得丨□□，为同数，与左相消得□□□□□，开三乗方得八十步，即小差也。以小差减甲东行，余二百四十步，即城径也。合问。或问：丙出南门，东行；乙出东门，南行。各不知步数而立。甲从干隅东行三百二十步，望乙、丙悉与城防相直。乙就丙斜行一百二步相防，问答同前。

法曰：甲东行，自之于上，倍斜行步乘之，为立方实。倍斜行步乘甲东行于上，加两段甲东行幂，为从。四之甲东行为益亷，四为隅法，得半城径。草曰：别得斜步，即虚▯减于全径，即小和也。乃立天元一为半径，以二之减于甲东行，得□□为小差也。以自之，得□□□为小差幂也。置甲东行幂内加小差幂而半之，得下□□□为大▯【内带小差分母】置甲东行幂内减小差幂而半之，得□□为大股也，内亦带小差为母。又以小差乘大勾，得□□并入大股，得□□□为大和也【带小差母】乃先以小▯乗大和，得下□□□寄左。次以斜步减于二天元，得□□为小和，以乗大▯得下式□□□□为同数，与左相消，得□□□□开立方，得一百二十步，即半城径也。合问。依前问，假令乙出东门，南行；丙出南门，东行，各不知步数而立【只云丙行多于乙行步】甲从干隅东行三百二十步，望乙丙与城防相直。其乙丙共行一百二步，问答同前法。曰：倍共步以乗甲东行幂，为立方实；共步乗甲东行于上，又以甲东行自之，加上位为益，从甲东行为从亷，五分隅常法得城径。草曰：别得共步，便为小▯。得小勾、小股，即与圆径同。立天元为城径，以减乙东行，得□□为小差。以自之，得□□□为小差幂也。乃置甲东行，以自之为幂，副之上以加小差幂，而半之，得□□□为大▯也【内寄小差分母】下以减小差幂，而半之，得□□○为大股也【内寄小差分母】乃置共步在地，以大股乘之，得□□合大▯除不除，便以此为小股也【寄大▯分母】又置共步，以甲东行乘之，得□合以大▯除不除，便以此为小勾，而又以元分母小差乘之，得□□为同分小勾【只寄大▯分母】注【其大▯内元带小差分母，其大勾内却无分母，故母故今复以小差通之，齐同其分母也】又置共步，以大▯通之，得□□□同分小▯也。三位相并，得□□为城径也【内有大▯分母】寄左，然后置天元城径□，以大▯分母通之，得□□□○为同数，与左相消，得□□□□开立方，得二百四十步，即城径也。合问。

测圆海镜卷六<子部,天文算法类,算书之属,测圆海镜》>钦定四库全书