测圆海镜卷九

测圆海镜卷九

元　李冶　撰大斜四问或问：甲丙俱在中心，丙望南门直行，不知步数而止；甲出东门直行，不知步数，望见丙，斜行与丙相防。二人共行了六百八十步，仍云：甲直行少于丙直行一百一十九步。问答同前。法曰：二数相减，余以为幂。内却减差，幂为平实。二数相减，又四之于上，又加入二之差步为益从。二步常法，得皇极勾。草曰：别得共步，即皇极三事和，少步即勾股差也。立天元一为皇极勾，加少步得□□为股也。又以天元加股得□□为和也。以和减共步得□□为▯也。▯自之得□□□为一段▯幂【寄左】然后置股，以天元乘之，又倍之得□□为二直积，加入少步幂□，共得□□□为同数，与左相消得□□□平方而一得一百三十六，即勾也。勾加差为股，勾股相乘倍之为实，勾股和减共步为法，得城径。又法，云数并与云数差相乘【按此句有误，当云和数与倍差相加相减二得数相乘】为平实。云数并与二数差相并得数，以减于八之共步，为益从【按此只云六因和步为益从亦同】一步常法，得皇极黄方。草曰：立天元一为黄方【即虚▯也】副置之上位，加共步得□□为二和也；下位减共步得□□为二▯也。先以二和自乘得丨□□为四段和幂，又以二▯自乘得丨□□为四段▯幂。二数相减，余得□，又倍之得下式□为十六段直积，于天元位【寄左】然后副置二和上位，加二之少步得□□为四股；下位减二之少步得□□为四勾。勾股相乘得丨□□为同数，与左相消得□□□，平方而一得一百二步，即皇极黄方也。余各依法求之，合问。或问：甲丙俱在西北隅，起丙向南行，不知步数，而立甲向东行，望见丙，就丙斜行六百八十步，与丙相防。丙云：「我南行步多于甲东行二百八十步。」问答同前法。曰：以云数差乘云数，并为实，倍多步为从，二为平隅，得大勾。草曰：立天元为大平【按：大平即大勾】加差得□□为股，倍天元乘之得□□为二积【寄左】然后以斜步多步并□与斜步多步较□相乘得□为同数，与左相消得□□□，开平方得三百二十步，即大勾也，合问。或问：甲乙二人共立于艮隅，乙南行过城外而立，甲东行望乙与城叅相直而止。丙丁二人共立于坤隅，丁向东行过城门而立，丙向南行望丁及甲乙悉与城俱相直。丙复就甲斜行六百八十步，与甲相防。乙丁又云：“吾二人直行，共得三百四十二。”问答同前法曰：二云数相乘，倍之为实，倍斜行于上，以二云数相减，加上位为从，一步常法，开平方得城径。草曰：别得斜步，即大▯也。其共步则一径一虚▯共也。其二数相并，为一大和一虚▯共数也。立天元为径，减于共步，得□□为虚▯也。以虚▯复减于天元，得□□为虚和，以斜步乘之，得□□【寄左】乃以天元加斜步，得□□为大和，以虚▯乘之，得□□□为同数，与左相消，得丨□□。开平方得二百四十步，即城径也。合问。或问：「甲从北门向东直行，庚从西门穿城东行，丙从西门向南直行，壬从北门穿城南行。四人遥相望，悉与城叅相直。只云丙相望处六百八十步，庚壬穿城共行了六百三十一步。」问答同前。法曰：共步自之，得数。以共步减斜，余自乘，以减上为实。二之斜步，加入共步减斜余数为从。一步常法，得城径。草曰：共行步为一径，与皇和共也。又为大和皇▯差也。甲丙相望，即大▯也。以共步减大▯，余□为皇极▯上减一径也。立天元一为圆径，减于共步，得□□为皇极和也。以自之，得丨□□于上▯内减共步，余□又以天元加之，得□□为皇极▯。以自之，得丨□□减上位，余得□□为两个皇直积【寄左】乃以天元乘皇▯，得下式丨□为同数，与左相消，得丨□□开平方，得二百四十步，即城径也。合问。

大和八问或问：庚从西门穿城东行二百五十六步而立，壬从北门穿城南行三百七十五步而立。又有甲、丙二人俱在干隅，甲向东行，丙向南行，各不知步数而立。四人遥相望，只云甲、丙共行了九百二十步。问答同前法曰：庚东行幂，壬南行幂，相并于上，并庚壬步而倍之，内减大和，余复减于庚壬，共得数【按：或云并庚壬步以减大和亦同】以自乘减上位为平实，并庚壬步为益，从半步为隅法，得城径。草曰：立天元一为圆径，以半之，副置二位。上以减于庚，东行得□□，为平▯也。下以减于壬，南行得□□，为髙▯也。二▯相并得□□，为皇▯虚▯共也。倍此数得□□，为大▯虚▯共也。以大▯虚▯共减于大和，余□□，为虚勾虚股共也。天元内减虚勾虚股共，余□□，即虚▯也。复置皇▯虚▯共内减虚▯，余□□，即皇极▯也。以自之得□□【寄左】然后以平▯自之得下式□□□，为勾幂也。又以髙▯自之得□□□，为股幂也。二幂相并得□□□，为同数，与左相消得□□□，平方而一得二百四十步，即城径也。合问。或问：丙甲俱在西北隅，甲向东行，不知步数，而立。丙向南行，望见甲，就甲斜行，与甲相防。甲直行，丙直行，共九百二十步【甲步少于丙步】又出东门南行，有柳树一株；出南门东行，有槐树一株。戊己二人同在巽隅，戊就柳树，已从槐树，亦与甲乙遥相望。只云已行少于戊行，数与两树相距数相并得一百四十四步，其二数相减余六十步。问答同前。法曰：二云数相并而半之为虚▯，以乘大和九百二十步于上，以一百四十四减大和，以虚较乘之，减上位为平实，以一百四十四减大和，又二之于上，以二之虚较减上位【按：或云倍甲丙直行共加己戊较与两树距之较，减三之己戊较与两树距之和亦同】为从，四虚隅得太虚勾。草曰：别得甲丙直行，共即大和也。戊就柳树步，即虚股也。已就槐树步，即虚勾也。其一百四十四步，即二明勾。其六十步，即二叀股也。立天元一为虚勾，加明勾得□□，为半径也。倍之得□□，即城径也【又为虚▯上三事和】二云：数相并而半之得□，即小▯也。相减而半之得□，即小较也。以天元加较得□□，即小股也。小勾股共得□□，即小和也。以小三事减大和得□□，即大▯也。乃先置小和，以大▯乘之得下式□□□【寄左】次以小▯乘大和得□□，与左相消得下式□□□。开平方得四十八步，即虚勾也。加明勾又倍之得二百四十步，即城径也。合问。或问：「甲从干隅东行，乙从艮隅南行，丙从干隅南行，丁从坤隅东行。四人遥相望见。既而，甲还至艮隅就乙，丙还至坤隅就丁。

甲丙直行，共九百二十步。甲还就乙，共二百三十步。丙还就丁，共五百五十二步。」问答同前。法曰：并就数以减直行，共复以所并就数乘之为实，并就数减直行，共得数复加入直行，共为法，得虚▯。草曰：别得甲丙直行，共为大和也。甲还就乙步，为小差勾股共也。丙还就丁步，为大差勾股共也。以大差勾股共减于大股，余即虚勾也。以小差勾股共减于大勾，余即虚股也。二数相并得□，为大▯虚▯共也。二数相减，余□，为通差及大虚勾股差共也。又并二数而半之，得□，为太极▯虚▯共，又为太极勾股共也。立天元一为虚▯，先以二共数减于大和，余□，为虚勾虚股和于上次。以虚▯减于二共数，余□□，为大▯，以乘上位得下□□【寄左】然后以天元乘大和，得□，为同数，与左相消得□□。上法下实得一百二步，即虚▯也。加入虚和得二百四十步，即城径也。合问。又法，并云数减大和，复以二数相减乘之为实，并云数减大和得数，复加入大和为法，得虚差。草曰：立天元一为虚较，先以并云数减大和，余□为虚和于上，次以天元减于二就步较□，得□□为通差，以乘之得□□【寄左】然后以天元乘大和，得□为同数，与左相消，得□□。上法下实得四十二步，即虚差也。副置虚和为二位，上加虚差而半之，得九十，即虚股也；下减虚差而半之，得四十八，即虚勾也。勾幂股幂相并得□，开平方得一百二步，即虚▯也。加入虚和得二百四十步，即城径也。合问。或问：依前见大和，只云股圆差上，勾▯差二百一十六，勾圆差上，股▯差二十步，问答同前。法曰：以云数二十步减通和，复以二十步乘之于上，以云数二百一十六减九百步【按：即并二差以减大和】而半之乘上位为立实。三因二十步以减通和，得八百六十；以二百一十六减通和而半之，得二百四十二。二数相乗讫，内减二十之九百步，又以三百四十二及二百一十六共得五百五十八，又以之以减之为从方【按：取从方内语有误，当云三因小差减大和，并二差减大和半之相乘于上，三因大和加大差减三之小差半之，以小差乘之得数减上位为从方】以二百一十六减通和，又以三之二十步减通和相并于上，以二之五百五十八内却减二十步，余以减上位为益亷【按：取益亷内语亦有误，当云三因大和减六之小差为益亷】四步常法得小差股。草曰：别得小差上股▯差□加二股为大勾也。大差上勾▯差□加二勾为大股也。立天元一为小差股加□得□□为小差▯也。小差▯上又加天元得□□为通勾，以减于和步得□□为通股也。通股内减大差上勾▯差□得□□，半之得下式□□，即大差之勾也。

大差勾上又加勾▯差□得□□为大差▯也。再置通股以小差▯乘之得□□□，以天元除之得□□□为一个大▯也【泛寄】再置通勾以大差▯乘之得□□□，合以大差勾除不除，寄母便以为大▯【寄左】乃以大差勾乘泛寄得□□□□为同数，与左相消得□□□□，益积开立方得一百五十步为小差股也。合问。或问：「依见前大和，只云髙▯平▯共得三百九十一步，髙▯平▯相较得一百一十九步，问答同前。」法曰：以较数幂减于共数幂，又半之为实，以共数减大和为益，从一步常法开平方，得圆径。草曰：别得髙数，减于通股，为边股内减明股也。平▯减于通勾，为边勾内减明勾也。其共数，即大▯内减皇极▯，又为皇极勾股共也。其相较步，即皇极差也。二云数相并，即黄广▯也。二云数相减，余即黄长▯也。以共数减于大和，余□为皇极▯与圆径共。立天元一为圆径，以减皇极▯与圆径共，得□□为皇极▯也。以共数自之，得□于上。以相较数自之，得□减上位，余□，又半之得□，为两段皇极积【寄左】乃以天元乘皇极▯，得卜□为同数，与左相消，得下□□□。开平方得二百四十步，即城径也。合问。或问：「依前见大和，只云大差▯四百八步，小差▯一百七十步，问答同前。」法曰：以并云数减大和，复以乘大和，又倍之为平实。三之通和于上，又以并云数减大和，加上位为从。二步虚法得圆径。草曰，大差▯减和步余□，为大勾，大差勾共也。以小差▯减大和余□，为大股，小差股共也。云数相并□，即大▯内减虚▯也。云数相减得□，为虚▯平▯共也【按此二语因数偶合而误见前】以相并数减于大和余□，为大差勾，小差股共，又为圆径虚▯共也。立天元一为圆径，减于□得□□，为虚▯也。返以减于圆径得□□，为小和也。以天元减大和得□□，为大▯，以乘小和得□□□【寄左】乃再置虚▯，以通和乘之得□□，与左相消得□□□。开平方得二百四十步，即城径也。合问。或问：「依前见大和只云？黄广▯五百一十步，黄长▯二百七十二步。」问答同前。法曰：云数相并，减大和，复以相并数乘之为实。云数相并，减大和，得数，复以加大和为法，得虚▯。草曰：别得黄广▯，又为大差▯虚▯共，又为边股叀股共也。黄长▯，又为小差▯虚▯共，又为底勾明勾共也。以黄广▯减于大股，余即虚股；以黄长▯减于大勾，余即虚勾。故并数以减于大和，余□为虚和也。以虚和减径□□，即虚▯也。二云数相并，得□为大▯虚▯共也；云数相减，余□为虚▯平▯共【按此句误同上】立天元一为虚▯，以减于七百八十二，得□□为大▯也。

以小和乘之，得□□【寄左】乃以天元虚▯乘大和，得□呔为同数，与左相消，得□□。上法下实得一百二步，即虚▯也。合问。或问：「依前见大和只云边▯五百四十四步，底▯四百二十五？」问答同前。法曰：云数相减，自之为实，以大和减并数为法，得皇极▯。草曰：别得以边▯减大股，余为半径内减平勾，又为平▯内减勾圆差也。以底▯减于大勾，余为髙股内少半径，又为股圆差内少髙股也。二云数相并，得九百六十九，为大▯皇极▯共也。二云数相减□，为皇极勾股差也。并数内减通和，余□，为皇极▯内减圆径也。立天元一为皇极▯，以自之于上，以一百一十九自之减上位，得丨□□，为二皇积【寄左】复置天元内减四十九，得下式□□，为黄方。复以天元乘之，得丨□，与左相消，得□□。上法下实，得二百八十九步，即皇极▯也。内减四十九，余即城径也。合问。按右大和八问，每问于大和外复设二数，然多有大和外设一数即可求者，细考其法，草所载皆三数并用，婉转求之，盖意在发明三数取用之理，非不知其可省也。

测圆海镜卷九

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