测圆海镜卷三

测圆海镜卷三

元　李冶　撰

边股一十七问或问：「乙出东门，南行，不知歩数而止；甲出西门，南行四百八十歩，望见乙，复就乙行五百一十步与乙相防。」问答同前。法曰：倍相减步，以乘二之甲，南行步为平方实，得城径。草曰：「识别得二行相减，余三十步，即乙出东门南行步也。倍相减步，得六十步，以乘二之甲南行步九百六十步，得五万七千六百步，为平方实。如法开之，得二百四十步，即城径也。合问。」或问：「甲出西门，南行四百八十步而止；乙从艮隅，东行八十步，望见甲。」问答同前。法曰：倍南行步，以东行步乘之，为实；东行歩为从，方一步，常法得全径。草曰：立天元一为全径，以减于二之甲，南行步得□□，为两个大差也。以乙东行步乘之，得□□，为圆径幂【寄左】然后以天元幂与左相消，得丨□□，以带纵平方开之，得二百四十步，即城径也。合问。又法，半之，乙东行步，乘南行步，为实；半之，乙东行步，为从，一步常法，得半径。草曰：立天元一为半城径，减甲南行步，得□□为大差也。以半之东行步乘之，得□□，即半径幂【寄左】然后以天元幂为同数，与左相消，得丨□□。开带纵平方，得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：「甲出西门，南行四百八十步而止；乙从艮隅，亦南行一百五十步，望见甲。」问答同前。法曰：两行步相乘为实，南行步为从，方一为隅，得半径。草曰：立天元一为半城径，以减乙，南行步得□□为半梯头，以甲行步为梯底，以乘之得□□为半径幂【寄左】然后以天元幂与左相消，得丨□□，开带纵平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：「甲出西门，南行四百八十步，乙出东门，直行一十六步，望见甲。」问答同前。法曰：以四之东行步乗南行幂为实，从空东行为亷，一步为隅法，得全径。草曰：立天元一为圆径，加乙东行步，得□□为中勾，其甲南行，即中股也。置东行步为小勾，以中股乘之，得□合，以中勾除今不受除，便以为小股也【内寄中勾分母】乃复以中股乗之，得三百六十八万六千四百，又四之，得一千四百七十四万五千六百，为一段圆径幂【寄中勾分母寄左】然后以天元径自之，又以中勾乘之，得□□为同数，与左相消，得丨□□□，以▯纵立方开之，得二百四十步为城径也，合问。按不受除者，无可除之理也。凡二数，此数于彼数有可除之理，则受除；无可除之理，则不受除也。盖除有法有实，实可二，法不可二。此题以中勾为法，而中勾内有一元，又有十六步，其为数已二矣，又何以均分不一之数乎？故曰不受也。寄分者，姑寄其应除之数也。俟求得两相等数，而此数内尚少一除，不除此而转乘彼，则两数仍相等，犹之受除者也。

此所谓以乘代除也。或问：「乙出南门，东行七十二步而止；甲出西门，南行四百八十步，望乙与城防相直，问答同前。」法曰：以乙东行幂乗甲南行为实，乙东行幂为从方，甲南行步内减二之东行步为益亷，一步常法，得半径。草曰：立天元一为半城径，以减南行步，得□□为小股；又以天元加乙东行步，得□□为小勾；又以天元加南行步，得□□为大股。乃置大股在地，以小勾乘之，得下式丨□□，合以小股除之，今不受除，便以为大勾【内寄小股分母】又置天元半径，以分母小股乘之，得□□，以减大勾，得□□□为半个梯底于上；以乙东行七十二步为半个梯头，以乘上位，得□□□为半径幂【内寄小股分母】寄左。然后置天元幂，又以分母小股乘之，得□□□为同数，与左相消，得□□□□，以立方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。又法曰：「以二数相乘为实，相减为从，一虚法，平开得半径。」草曰：别得二数相并为大股，内少一虚勾，其二数相减为大差▯也。立天元一为半径，副置之上位，减于四百八十，得□□为股圆差【即大差股也】下位加七十二，得□□与股圆差相乘，得下式□□□为一大差积【寄左】再以大差勾减于大差股，余□□为较，又加入大差▯四百单八，共得□□为▯较共也。以天元乘之，得□□为同数，与左相消，得□□□，以平方开之，得一百二十步，即半径，合问。前法太烦，故又立此法以就简也。或问：乙出南门，东行，不知步数而立。甲出西门，南行四百八十步，望见乙与城防相直。又就乙行四百零八步，与乙相防，问答同前。法曰：二行步相减，以乘甲南行步为实。甲东行步内减相减步为益，方一步常法，得半径。草曰：「识别得二行相减，余七十二步，即是乙出南门东行数也。更不湏用▯，遂立天元一为半城径，加乙东行得□□，为小勾也。副置南行步上，减天乙得□□，为小股；下加天元得□□，为大股。乃置大股以小勾乘之，得下式丨□□，合以小股除之，今不受除，便以此为大勾也【内带小股分母】又倍天元以小股乘之，得下式□□，以减于大勾得□□□，为勾圆差也。合以股圆差乘之，縁此勾圆差内已带小股分母【小股即股圆差也】更不湏乘，便以此为半段黄方幂【更无分母也】寄左。乃以天元自之，又倍之得□□，为同数，与左相消得□□□，以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。」或问：乙出东门，直行，不知歩数而止；甲出西门，南行四百八十步，望见乙，复就乙斜行五百四十四步，与乙相会。问答同前。法曰：半南行步，减半斜行步，以乘南行步为实，从方空；半斜行，半南行，相减得数，加入南行步为隅法，得半径。

草曰：识别得二行相减，余六十四步，即半径为股之勾也。立天元为半径，就以为小股。其二行相减，余六十四步，即小勾也。乃置甲南行步加天元，得下式□□为大股，以小勾乘之，得□□，又以小股除之，得□□为大勾。又倍天元一减之，得下式□□□为勾圆差也。半之得□□□于上，乃以天元减甲南行步，得□□为股圆差，以乘上位，得丨□○□为半径幂【寄左】然后以天元幂与左相消，得下式□□□，以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。按此问以小股为除法，盖因小股只一天元，其数不二，犹有可除之理也。然得数降于实数之下者，皆不可以命名。至开方时，仍湏各升一位以计之，是两边各加一乘，犹是寄分之理也。又法，以二数差乘二数，并开方得边勾，复以边股乘之为实，并二数而半之为法，实如法得二百四十步，即城径【此盖用前勾上容圆法也】或问：「乙从干地东行，不知几步而止。甲出西门，南行四百八十步，望见乙，复就乙斜行六百八十步，与乙相防。」问答同前。法曰：并二行数，以二行差乘之，内减二行差幂为实，并二行步及二行差为从，方二步，常法得半径。草曰：识别得二行相减，余二百步，即半圆径与小差勾之共数也。立天元一为半城径，加于二百步，得□□为大勾也。又以天元加于甲南行步四百八十，得□□即大股也。乃以大勾自之，得丨□□为勾幂【寄左】乃置乙斜行六百八十步为大▯，加入大股共得□□于上。再置二行差内减天元，得□□为小差勾，即股▯较，以乘上位，得□□□为同数，与左相消得□□□，以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。又法求小差，二行相减，以自之，又四之为实。二行相减，八之于上；二之，南行步内减二之。二行相减数，又以加上位为益方，二步常法。草曰：立天元一为小差，减二行差，得□□为半城径，以自之，得丨□□，又四之，得□□□为圆径幂【寄左】然后以半城径减于甲南行，得□□，又倍之，得□□为两个大差也。又以天元乘之，得□□○为同数，与左相消，得下式□□□，以平方开之，得八十步为小差也。或问：乙出南门，南行，不知步数，而立。甲出西门，南行四百八十步，望乙与城防相直，复就乙斜行二百五十五步，与乙相防。问答同前。法曰：甲南行，内减二之两行差，余以乘甲南行，又倍之为实，二步为隅，得半径。草曰：别得二行步，相减，余二百二十五步，乃是半径为勾之股也。立天元一为半城径，就以为小勾率，其二行差二百二十五步，即为小股率。乃置甲南行步，加入天元，得□□为大股，以天元小勾乘之，得丨□，合以小股除，今不受除【按此所谓不受除，乃其数竒零不能尽，非无可除之理也，与前辞同而意异】便以此为大勾【内寄小股分母】乃倍天元，以小股乘之，得□，以减大勾，余丨□为一个小差于上【内寄小股分母】乃以天元减甲南行步，得□□为大差也，以乘上位，得□□□，又倍之，得□□□为圆径幂【内寄小股分母】寄左。

然后倍天元，以自之，又以小股乘之，得□□为同数，与左相消，得□○□，以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也，合问。按此题止用股▯求勾法，即得城半径，其必展转数次而后始得者，益见其为发明立天元一之术，使人易晓也。后多有仿此者。或问：「乙出南门，直行一百三十五步而止；甲出西门，南行四百八十步，望乙与城防相直，问答同前。」法曰：二行步相减，余以自乘，内减乙行幂为实，二之甲南行为益，从一步常法，得半径。草曰：立天元一以为半径，便以为勾率。又以天元加乙行步，并以减于甲行步，得□□为股率。乃置乙南行步一百三十五步为小股，以勾率乘之，得□合，以股率除之，今不受除，乃便以此为小勾【内寄股率分母】又置乙南行步加二天元，得□□为大股，以勾率乘之，得□□合，以股率除之，今不受除，便以此为大勾【内寄股率分母】以小勾大勾相乘，得□□□为半径幂【内带股率幂为分母】寄左。然后置天元以自乘，又以股率幂乘之，得丨□□□为同数，与左相消，得□□□以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。按此草得数为九百六十立方少一三乘方与十万零八百平方等，皆虚数也。各降二位，即如各以平方除之，乃为九百六十元少一平方与十万零八百步等。两数等所降之位又等，则两数仍相等，而实积步数乃出矣。故可以带纵平方开之也。此系降位而得实数者，与前升位而得实数者，其理互相发明。草中不言，盖以为不待于言也。或问：甲、乙二人同出西门，向南行，至西南十字道口分路。乙折东行，一百九十二步而立。甲又南行，甲通行四百八十步，望乙与城防相直，问答同前。法曰：两行相乘，得数，又以乙东行乘之，为实。二行相乘，于上位，又置乙东行，以二行相减数乘之，得数，加上位为法。草曰：立天元一为半城径，副置上位，加南行步得□□为大股也；下位减于甲行步得□□为小股也。其乙东行，即小勾也。置大股以小勾乘之，得□□内寄小股□□为母，便以为大勾也。置天元以母通之，得□□减于大勾，得丨□□为半个矮梯底于上。再置乙东行内减天元，得下式□□为半个矮梯头，以乘上位，得下式□□□□为半径幂，寄左。再置天元以自之为幂，又以分母乘之，得□□□为如积，与左相消，得□□上法下实，得一百二十步，即城之半径也。合问。按草中相消法，皆得两边数，此独得一边二数。盖此条共数比彼条共数少一数，又多一数为相等，则多少二数，其必为相等无疑矣。多少数多者，亦仿此。此又相消法中之一变也。又法，二行步相乘为实，倍甲南行，内减乙东行为法。

草曰：立天元一为半城径，副置上位，加甲南行，得□□为大股；下位减甲行步，得□□为小股，便是股圆差也。其乙东行即小勾也。置大股，以小勾乘之，得□□，内寄小股□□为母，便以为大勾也。再置天元，以二之，又以分母乘之，得□□为全径，以减于大勾，余□□□为勾圆差也。合以股圆差乘之，縁内已有小股分母，不湏乘，便以此为两段之半径幂也。更无分母【寄左】然后置天元幂，以二之，得□□为如积，以左相消，得□□，上法下实，得一百二十步，即半城径也。合问。或问：见边股四百八十步，□▯三十四步，问答同前【此题在甲乙二人同出西门，南行至十字道，乙折东行一百九十二步而立，甲又南行，甲通行四百八十步，望见乙与城防相直之后】法曰：□▯乘边股，半之为实；半□▯，半边股相并为从；半步隅法，平方得□股。草曰：立天元一为□股，加□▯，得□□为平勾也。又以天元减边股而半之，得□□为髙股也。平勾髙股相乘，得□□□为半径幂【寄左】然后以天元乘边股，得□为同数，与左相消，得下式□□□。开平方得□股三十步，以乘边股，开平方倍之，即圆城径也。合问。按此问原稿在三卷末。或问：见边股四百八十，明▯一百五十三，问答同前。法曰：二云数相减，复倍之内减边股，复以边股乘之于上，又以明▯幂乘上位为实，以边股乘明▯幂，又二之为从。二云数相减，余以自之为第一亷。二云数相减，又倍之为第二益亷。一常法开三乘方得明勾。草曰：立天元一为明勾，加明▯得□□为髙股也。以髙股减边股，余□□为髙▯，以倍之得□□为黄广▯也。内减边股得□□为□股，复以边股乘之得□□于上，又以明▯自乘得二万三千四百零九为分母，以乘上位得□□为▯分半径幂【寄左】然后置黄广▯以天元乘之得□□，复合以明▯除之不除，寄为母，便以此为全径，又半之得□□为半径，以自之得□□□为同数，与左相消得下式丨□□□□。开三乘方得七十二步，即明勾也。余各依法求之，合问。又法，边股内减二，明▯以边股乘之，复以明▯幂乘之，为三乘方实，亷从并同前。草曰：识别得二数相减，余为髙股虚▯共，又为髙▯明勾共。此余数内又去半径，即明和也。明和明▯相并，即股圆差；相减则明黄方也。又倍明▯加明黄，亦得股圆差也。边股内减明勾，余即大差▯也。立天元一为明勾，减于云数相减数，得□□，即髙▯也。以髙▯减边股，得□□，即髙股也。以髙股减于云数相减数，得□□，即虚▯也。以天元又减虚▯，得□□，即□股也。乃置髙▯，以天元乘之，得□□，合明▯除之，不受除，便以此为髙勾也【即半径】髙勾自之，得丨□□□，为半径幂【内带明▯幂分母】寄左。

然后置边股，以□股乘之，得□□，为半径幂。又以明▯幂二万三千四百零九分母通之，得□□，为同数，与左相消，得实。从亷隅五层如前式。或问：边股四百八十步，髙▯二百五十五步，问答同前。法曰：以边股减于二之髙▯，复以边股乘之，开平方，得半径。草曰：立天元一为半径，先倍髙▯，内减边股，余□，复以边股乘之，得□□，寄左；以天元幂与左相消，得丨□□，开平方得数，倍之即城径也，合问。或问：边股四百八十步，平▯一百三十六步，答问同前。法曰：置平▯，以边股再乘之为实，以边股自之为益，从平▯为益亷，一虚隅，开立方得半径。草曰：别得平▯，即皇极勾也。立天元一为半径，副之上位加平▯，得□□，即边勾也。下位减于平▯，得□□，即□勾也。置□勾，以边股乘之，得□□，合边勾除今不受除，寄为母，便以此为□股。乃以此边股乘之，得□□，为半径幂【内▯边勾分母】寄左，然后以天元为幂，以分母边勾乘之，得丨□□，为同数，与左相消，得丨□□□。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。或问：边股四百八十步，明股明▯和二百八十八步？问答同前。法曰：「以云之云数相减，余加边股，复以减余乘之，讫又折半于上，又以减余自之，减上位为实，并云数半之为法，得明勾。」草曰：别得二数相减，余为大差勾。立天元一为明勾，减于大差勾，得□□，即半径也。又以天元减半径，得□□，为虚勾于上。又以半径加边股，得□□，为通股于下。上下相乘，得□□□，折半得丨□□，为半径幂【寄左】然后以半径幂丨□□为同数，与左相消，得□□。上法下实，得七十二步，即明勾也。合问。或问：「见边股四百八十步，□勾□▯和五十步，问答同前。」法曰：半边股，半和步相并，得为泛率。以泛半减边股，以自之，又二之于上，以和步乘泛率，减上位为实。以泛率减边股，六之于上，内又加半个边股，三个和步为益，从三步常法得□股。草曰：别得和步得□股，即小差也。小差边股共，即二中差【按此句误】立天元一为□股，加和步得□□，即小差也。以小差加边股而半之，得□□，即中差也。中小差相并，得□□，即大差也。以小差乘之，得□□□，为半段径幂【寄左】然后置边股内减大差，得□□，为半径，以自之，得□□□，又倍之，得下式□□□，与左相消，得下式□□□，开平方，得三十步，即□股也。合问。按草云：以小差边股共，即二中差，有误。盖中差即勾股较，小差即股▯较，边股即勾▯较，与容圆半径和。若设勾二十，股二十一，▯二十九，则勾▯较九，容圆半径六，并之得十五，为边股；股▯较八，为小差。

小差边股共得二十三，勾股较一，为中差，倍之仅得二，则相差二十一矣。是知细草乃因题数之偶合而误，非正法也。今依其术，另设法草于后，以补其阙。法曰：以□勾▯和自之，边股再乘为实；倍边股加□勾▯和，再以□勾▯和乘之为从；又倍□勾▯和减边股，余为益亷；一为隅▯，纵立方开之，得□股。草曰：别得边股即髙股，▯和□股即髙股，▯差□股，▯和即平勾也。立天天一为□股，自之得丨□，应以□勾▯和除之，不除便以为□勾▯较【内寄□勾▯和分母】转以□勾▯和自之得□，为□勾▯和加□勾▯较得丨○□，为倍□▯。又以□勾▯和分母乘倍□股得□，为倍□股与倍□▯相加得丨□□，为倍□股▯和，即倍平勾。又于边股内减□股得□□，为倍髙股。倍髙股、倍平勾相乘得□□□□，为圆径幂，寄左。又以边股□股相乘得□，为半径幂，四因之得□，为圆径幂。又以□勾▯和分母乘之得□，为同数，与左相消得丨□□□，开带纵立方得□股三十步，合问。

测圆海镜卷三<子部,天文算法类,算书之属,测圆海镜》>钦定四库全书