测圆海镜卷十二
测圆海镜卷十二
元 李冶 撰之分一十四问或问：甲乙二人俱在西北隅，乙向直东行，不知步数而止；甲向直南行，望见乙，复向乙斜行。甲告乙云：「我直行、斜行共一千二百八十步，汝东行步居我南行步十五分之八。」法曰：十六之共步幂为实，二百五十七之共步为益，从一十六步常法，得勾圆差。草曰：别得共步，即股▯共也。立天元一为小差，以乘共步，得□为勾幂。就分以二百二十五通之，得□为二百二十五段勾幂【寄左】然后再置共步内减小差，得□□为二股，就分四之，得□□为一十五勾，以自之，得□□□为同数，与左相消，得□□□平方开之，得八十步，即小差也。既得小差，加共步而半之，得六百八十步，即▯也。若以减共步而半之，得六百步，即股也。以股幂减▯幂，余一十万二千四百步，开平方，得三百二十步，即勾也。勾股相乘，倍之，得三十八万四千步，为实。以▯和和一千六百步为法，实如法而一，得二百四十步，即城径也。合问。或问：甲乙二人俱在西北隅，乙直南行，不知步数而立。甲直东行，望见乙，复向乙斜行，与乙相防。甲云：“我共行了一千步。”又云：“我东行步居汝南行步十五分之八。”法曰：二百二十五段，共步幂为实，七百六之共步为益从，二百二十五步，常法得股圆差。草曰：别得共步，即勾▯共也。立天元一为大差，以乘共步，得□。又就分以二百五十六通之，得□为二百五十六个股幂【寄左】然后再置共步内减天元大差，得□□为二勾，就分以一十五之，得□□为十六个股也。以自之，得□□【□□】为同数，与左相消，得□□□。开平方得三百六十，即大差也。副置共步上位减大差而半之，得三百二十步，即勾也。下位加大差而半之，得六百八十步，即▯也。余数各依法求之，合问。或问：「甲乙俱在城西北隅，甲南行不知步数而立；乙东行亦不知步数，望见甲，就甲斜行与之相防。」乙云：「我东步少于城周九分之五。」甲云：「我南行却多于汝东行二百八十步。」问答同前。法曰：别得周居九分，径居三分，乙东行居四分【按此法未详，当加倍较步为实，径分数自之内减二分数为法，得数三之，即城径二十四字】草曰：立天元一为一分之数，以三之得□为径，以四之得□为勾，以径减勾，余□为小差【只天元便是小差】再置小差，加入甲多步，得□□为大差，倍大差，以天元乘之，得□□为一段圆径幂【寄左】再置城径，以自之，得下式□□为同数，与左相消，得□□。上法下实，得八十步，即一分之数也。以三之，得二百四十步，即城径也。合问。或问：「甲出西门，南行，不知步数而立。
乙出北门，东行，望见甲。既而乙云：『我所行居城径六分之五。』甲云：『然则我所行却多于汝二百八十步。』」问答同前。法曰：四之却多步为实，分自之于上，半分母减子得数，倍之，又以减数乘之，减上位为法，得一分之数。草曰：别得却多步，即勾股差也。乃立天元一为一分数，以六之为城径，以五之为乙行。置乙行内减半城径得□为小差也，又加入却多步得□□，又二之得□□为二大差。又以小差乘之得□□为径幂【寄左】然后以径幂□□与左相消得下□□，上法下实得四十步，即一分之数也。六之则为城径，五之则为乙行，又以却多步加乙行即甲行步也。合问。或问：甲、丙二人俱在西北隅，甲向东行，不知步数而立；丙向南行，望见甲与之相防。丙语甲云：“我行既多于汝，又城径少于我四十分之十六【按：四十为股，分十六为径，当云径少于我为四十分之十六。原文脱“为”字，似“十六为股圆差分矣】甲云：“然则吾二人共行了九百二十步。”问答同前。法曰：倍子以减倍母，又乘共行步为实；倍子减倍母，以乘子母并数于上，又以子幂加上位为法。如法得一十五步，即一分之数也。草曰：别得共行步，即通和也。又别得四十分之十六，或作二十分之八，或作十分之四，亦得，但所得分数不同耳。乃立天元一为一分之数，以十六之为城径，以四十之为丙行。丙行减和步，得□□为通勾。勾内减径余，得□□为小差。于上以分母分子相减，余□，又倍之得□为两个大差。以乘上位，得□□为圆径幂【寄左】然后以分子十六分自之，得下□□与左相消，得□□。上法下实，得一十五步，即一分之数也。以十六之，得二百四十步，即城径也。合问。或问：甲乙俱立于城中心，乙出东门直行，不知步数而立；甲出南门直行，亦不知步数，望见乙，向乙斜行，与之相防。乙云：「我居汝南行十五分之八。」又云：「斜行步内，若减甲直行，余三十四步；若减乙直行，余一百五十三步。」问答同前。法曰：以云数二减步为小差，大差以相乘，倍之，开平方，加入大小差并，以自之于上，又以大小差相较数，以自之减上位为实，甲行分乙行分相乘，又倍之为隅法，得一分之数。草曰：别得云步相并得一百八十七，是于皇极▯内少一个皇极黄方靣也。又别得三十四步，是个小勾圆差；其一百五十三步，是一个小股圆差。此二差又相减，余一百一十九，即中差也。乃立天元一为一分之数，以八之得□为乙东行数，以十五之得□为甲南行数。以二数相乘，又倍之得□□为二直积于上【寄左】然后以云步三十四乘一百五十三，得五千二百二，又倍之得一万四百四为平方实，开之得一百二步，即小黄方也。
加入相并数一百八十七，得二百八十九为小▯也。以自之得八万三千五百二十一为▯幂于上，以中差幂一万四千一百六十一减上位，余□与左相消，得□□□平方开之得一十七步，即一分之数也。副置一分之数上位，以八之得一百三十六，即乙东行也；下位以十五之得二百五十五，即甲东行也。二位相乘得三万四千六百八十，又倍之得六万九千三百六十为实，以▯二百八十九为法，如法得二百四十步，即城径也。合问。或问：「甲出西门，南行；乙出北门，东行。各不知逺近，两相望见，复相斜行，各行了三百四十步，相防。」甲云：「城径居我南行二分之一。」乙云：「我东行居城径六分之五。」问答同前。法曰：以二之斜行步自之为实，以各行分数自之为幂【按此语未详，当云：以城径六分乘甲南行二分，得十二分，加半城径三分，得十五分为大股分；乙东行五分，加半城径三分，得八分为大勾分，各自之为幂】又相并为隅法，开平方得一分之数。草曰：别得倍斜行为大▯，又别得乙行五分，城径六分，甲行十二分，乃立天元一为一分之数，以六之得□为城径，以五之得□为乙行分，以十二之得□为甲行分。乃副置半城径上位，加甲行步得□，以自之得□□为甲行幂；下位加乙行步得□，以自之得□□为乙行幂。二幂又相并得□□为大▯幂【寄左】然后置大▯六百八十步，以自之得□，与左相消得□□□，平方开之得四十步，即一分之数也。以六之得二百四十步，即城径也，合问。或问：甲出西门，南行，不知步数而立。乙出北门，东行，见之。乙斜行与甲相防。甲乙二人共行了一千三百六十步，其甲南行居斜十七分之十二，其乙东行居斜十七分之五。问答同前。法曰：别得共步，即二▯也。半共步得六百八十步，副置上位，以五之得三千四百，以十七而一得二百步，即乙东行也。下位以十二之得八万一千六百，以十七而一得四百八十，即甲南行也。二行相减，余二百八十，即勾股差也。其余各依法求之，合问。或问：甲出西门，南行，不知步数而立。乙出北门，东行，望见之。既而乙谓甲云：「我取汝六分之五，得六百步。」甲谓乙云：「我取汝五分之三，亦得六百步。」问答同前法。曰：求得各行步【按：见后草】相并，以自之于上，并甲南行幂、乙东行幂，以减上为实，并各行为从，半步常法，得全径。
草曰置【乙取甲六分之五六百步甲取乙五分之三六百步】以上六分五分各自直乗步数讫得人【六分 之五 三千六百步五分 之三 三千步】别得左行三千六百步为六乙行五甲行也右行三千步为五甲行三乙行也以方程法入之乃再置【五甲行 六乙行 三千六百步五甲行 三乙行 三 千 步】先以左行直减右行右上空中余三乙行下余六百步上法下实得二百步即乙行也却以今右行减于元左行上余五甲行空中下余二千四百步上法下实得四百八十步即甲行也既得此数乃立天元一为城径以半之副置二位上以加甲行得□□为通股以自之得□□□为大股幂下位加乙行得□□为通勾以自之得□□□为大勾幂二幂相并得□□□为大▯幂【寄左】乃并甲行乙行以自乗得下式□亦为大▯幂与左相消得下□□□开平方得二百四十步即城径也合问或问：甲从坤隅南行，不知步数，而立。乙从艮隅东行，望见之。既而乙谓甲云：「我所行取汝所行三分之一，得二百步。」甲谓乙云：「我所行内减汝所行四分之三，得三百步。」问答同前。法曰：如法求得各行【按：见后草】以相乗，又二之，开平方，得全径。
草曰置【乙取甲三分 之一 二百步甲减乙四分 之三 三百步】以上三分四分置乗步数讫得【三分之一 六百步 四分之三 一千二百步】别得右行六百步为三乙行一甲行也左行一千二百步为四甲行内少三之乙行步也以方程法入之乃再置【一甲行 三乙行 六 百 步四甲行 三乙行负 一千二百步】先以左行直加右行右上得五甲行中空下一千八百步上法下实得三百六十步即甲行也次以一甲行减元右行六百步余二百四十步以中三除之得八十步即乙行步也甲行乙行二数相乘得数又倍之开平方即城径也合问或问：股圆差如股五分之三，勾圆差如勾四分之一。又云：其大小差相减，余二百八十步，问答同前。法曰：二之中差为实，置股子，以勾母乗之，内减股母为法，得小差。草曰：别得勾圆差，即小差；股圆差，即大差。云步即中差。乃立天元一为小差，以四之得□为勾。勾上加中差，得□□为股。又三之得□□为五个大差也。内减五个天元，得□□为五个中差也【寄左】乃以五之相减，步□与左相消，得□□上法下实，得八十步，即小差也。合问。或问：股圆差如股五分之三，勾圆差如勾四分之一。又云：勾母每分少于股母每分四十步，问答同前法。曰：二之少步，实以股子母相减数，减勾子母相减数为法，如法得小差。草曰：立天元一为勾，圆差便为勾母。每分数，以天元加四十步，得□□为股母。每分数于上，乃以股子减股母，余二分，以乘上位，得□□为城径【寄左】再置天元在地，以勾子减勾母，余三分，以乗之，得□□为同数，与左相消，得下丨□。上法下实，得八十步，即勾圆差也。合问。或问：甲出南门直行，乙出东门直行，望见甲斜行，与甲相防。甲云：我行不及股圆差二十四分之十五。乙云：我行不及勾圆差五分之四。又云：甲行多于乙行一百一十九，股圆差多于勾圆差二百八十。问答同前法曰：以大差母分二十四，以乘甲多一百一十九，得数倍小差母五，得一十，以乘之于上。以小差母五乗二之二差相较数，又九之减上位为实。倍小差母得一十，却以小差乗之，又九之于上。倍甲分母以小差母乗之，得数减上位以为法，得小差一分之数。草曰：立天元一为小差一分之数【此一分之数便是乙直行之数也】以五之得□为小差，加二百八十得下□□为大差。又倍之得□□，以小差乗之得下式□□为一个圆径幂。又九之得□□【寄左】乃又置乙行步加一百一十九□□即甲行步也，以二十四之得□□为九个大差也。倍小差母得□，以乘之得□□为同数，与左相消得□□。上法下实得一十六步，即小差一分之数也。既得此数，余各如法求之，合问。或问：大勾、大股、大▯三事和一千六百步。以明勾除大股，得八步三分之一。以□股除大勾，得一十步三分之二。以虚勾明勾相减，余二十四步。以虚股□股相减，余六十步。问答同前。法曰：六十步加入大三事和，又三之二而一为实，并二云数，分母分子内减六步为法，如法得□股。草曰：别得六十步与二十四步二数相并而半之，得□即明勾□股差也，又为虚勾虚股差也。若以二数直相减，即虚黄方也。其二十四步得二虚勾，即半径也。其六十步得二□股，亦为半径也。立天元一为□股，加差步得□□为明勾也。以乗八步三分之一，得□□为大股也。以天元乗一十步三分之二，得□为大勾也。勾股相并得下□□为大和也【寄左】然后四之天元加入二之六十步，得□□为小三事和。以小三事和加入大三事和，得□□为二个大和也。合折半为大和了。又就三分之为前数，今不折半，三因但身外加五，得□□为同数，与左相消得□□。上法下实得三十步，即□股也。四之□股加入二之六十步，得二百四十步，即城径也。合问按之分即通分也。张邱建谓学者不患乘除之为难，而患通分之为难。又谓夏侯阳之方仓，孙子之荡杯，皆未尽其妙。于是作为算经三卷，以发其义。是书末设十四问，皆以立天元一之法御之，尤为简妙，殆所以明立天元一之法，其用无不周也。又按问中两言以方程入之，《张邱建算经》内数问亦然。盖有通分而乗除不穷，有方程而通分益便，此又因通分及之，非立天元一本法也。秦九韶谓时人误以大衍法为方程者，盖此类也。按右书十二卷皆为立天元一法而作也。其法神明变化，不可端倪。今略举数端言之：如诸法中有求之不可得者，此法求之可得；若此法求之不可得者，则必不可求矣。又诸法中有难求者，虽强探力索，毫厘未至，则不可得；此法但知大意，不待深思，加以步算即可得矣。又诸法中有所求，或先得彼而后得此者，不能移易；此法任其所求，或先得此，或先得彼，无不如志。又诸法有数始可求，一数不具则不可求；此法数不具亦可求，且有无数即可求者。又诸法遇甚繁甚密者，湏次第步算，或累日累月，其功不能再省；此法有经年步算可约之顷刻而得者。凡此皆寻常智虑所不能及，要皆自然之理数。易知易从，然自不习者观之，盖有茫然莫解其故者矣。是书之作，殆深忧▯习者难其人，而其法遂泯于后世也。其誊写鲁鱼，算式舛讹，今悉正之。
测圆海镜卷十二
后序敬斋先生病且革，语其子克修曰：“吾平生著述，死后可尽燔去。独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾尝精思致力焉。后世必有知者，庶可布广垂永乎？”先生于六艺百家，靡不贯串，文集近数百卷，常谦谦不自伐，惟于此书不忘，称异于易箦之间，想有▯妙内得于心者。予以先生与先人同牓之故，素常兄事克修。克修兄命予重为序之，予不敢诡论艳藻，刻画无盐，唐突西子，直以所闻语意载之于后。至元二十四年春三月朔，翰林修撰承直郎广平王德渊后序。